【解析版】天津市河东区2013届高三第二次模拟考试数学(理)试题
2013年天津市河东区高考数学二模试卷（理科）
一、选择题：本题共8个小题，每小题5分．共40分.每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求．
2．（5分）（2013•河东区二模）已知实数x，y满足条件，那么2x﹣y的最大值为（）
3．（5分）（2013•河东区二模）函数图象的一个对称轴方程是（）
B
）（）cos[））2x+ ++
x=
4．（5分）（2009•浙江）在二项式的展开式中，含x4的项的系数是（）
解：对于
5．（5分）（2013•河东区二模）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）
．
曲线的一条切线的斜率为，
﹣=，解得
7．（5分）（2013•河东区二模）（其中m、n为正数），若，则2
+
解：∵
∴=3++3+2=3+2
当且仅当=的最小值是，
8．（5分）（2013•河东区二模）己知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x）．当0≤x≤1对，f（x）=x2．若直线y=x+a与函数y=f（x）的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点，
或．
或
时，直线与曲线相切，联立，消
，或
二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．）
9．（5分）（2013•河东区二模）已知i为虚单位，则复数的虚部为﹣1．
解：==
复数
10．（5分）（2012•广东）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出的s的值为8．
s=
s=
11．（5分）（2013•河东区二模）过双曲线的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是4x﹣3y﹣20=0．
k=
=5
双曲线的渐近线方程为±x
k=
y=
12．（5分）（2013•河东区二模）如图，以△ABC的边AB为直径的半圆交AC于点D，交BC于点E，EF⊥AB
于点F，AF=3BF，BE=2EC=2．那么CD=．
=2，所以AC=，
==
故答案为：
13．（5分）（2013•红桥区二模）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．
V=（3=
故答案为：
14．（5分）（2013•河东区二模）在△ABC中，∠A=90°，AB=1，AC=2，设点P，Q满足
，若，则λ=．
由题意推出，根据
解：由题意可得，因为
由于λ
﹣λ
=
故答案为：．
三、解答题：（本大题6个题，共80分）
15．（13分）（2013•河东区二模）已知函数f（x）=（sin2x+cos2x）2﹣2sin22x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若函数y=g（x）的图象是由y=f（x）的图象向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的，当x∈[0，]时，求y=g（x）的最大值和最小值．
，由此求得函数
的范围求得
2x=sin4x+cos4x=
）的最小正周期为．
[．因为，所以
，即）取最大值
16．（13分）（2010•四川）某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为．甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料．
（Ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；
（Ⅱ）求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ．
）甲、乙、丙三位同学每人是否中奖相互独立，可利用独立事件的概率求解，甲中奖概率为，乙、丙没有中奖的概率为
）
，
（）），
答：甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率为
（
××××．
17．（13分）（2013•河东区二模）如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDEF；
（Ⅱ）求证：FC∥平面EAD；
（Ⅲ）求二面角A﹣FC﹣B的余弦值．
，．的法向量为的法向量为
．
．
的法向量为
则有
，得
的法向量为
，＞=
．
18．（13分）（2013•河东区二模）已知a，b为常数，且a≠0，函数f（x）=﹣ax+b+axlnx，f（e）=2（e=2.71828…是自然对数的底数）．
（1）求实数b的值；
（2）求函数f（x）的单调区间．
•
19．（14分）（2013•河东区二模）已知椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F2（3，0），离心率为e．（Ⅰ）若，求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线y=kx与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段AF2，BF2的中点．若坐标原点O在以MN 为直径的圆上，且，求k的取值范围．
）由题意得，得
）由
，
因为
，得
所以，椭圆的方程为．
）由
所以，
因为
所以
，
将其整理为．
因为，所以
所以
20．（14分）（2013•河东区二模）已知正项数列{a n}中，a1=6，点在抛物线y2=x+1上；
数列{b n}中，点B n（n，b n）在过点（0，1），以方向向量为（1，2）的直线上．
（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（文理共答）
（Ⅱ）若f（n）=，问是否存在k∈N，使f（k+27）=4f（k）成立，若存在，求出k 值；若不存在，说明理由；（文理共答）
（Ⅲ）对任意正整数n，不等式≤0成立，求正数a的取值范围．（只理科答）
）将点代入抛物线
）由≤
，设
，利用构造法能求出正数）将点
=
（舍去）
）由≤
≤
，
∴=
，
==。
精品解析：【全国区级联考】天津市河东区2018届高三高考二模数学理科试题(原卷版)
河东区 2018年高考二模考试数学试卷（理工类）参考公式：球的表面积公式球的体积公式，R表示球的半径．如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)。
如果事件A、B相互独立，那么P(A●B)=P(A) ●P(B)。
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确结论的代号填在下表内．1. 是虚数单位，复数在复平面上对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 执行图1所示的程序框图，则S的值为（）图1学,科,网...学,科,网...A. 16B. 32C. 64D. 1283. 若实数x,y满足条件，,则z=2x-y的最大值为（）A. 10B. 6C. 4D. -24. 设x∈R，则“|x|-1＞2x”是“”的（）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件5. 双曲线方程为其中,双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.6. 函数在下列区间单调递增的为（）A. B. C. D.7. 已知正实数a,b,c满足当取最小值时，a+b-c的最大值为（）A. 2B.C.D.8. 已知函数f(x)满足，当x∈[0,1]时，f(x)=x,若在区间（-1,1]上方程f(x)-mx-m=0有两个不同的实根，则实数m的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，满分30分．请将答案填在题中横线上．9. 集合A={x|}，B={x|x-a≥0}，A∩B=A,则a的取值范围是_____________.10. 在极坐标系中，点与圆的圆心的距离为_________.11. 麻团又叫煎堆，呈球形，华北地区称麻团，是一种古老的中华传统特色油炸面食，寓意团圆。
【解析版】天津市南开区2013届高三第二次模拟考试数学(理)试题
2013年天津市南开区高考数学二模试卷（理科）一、选择题：（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1．（5分）（2013•南开区二模）若复数是纯虚数，其中a是实数，则|z|=（）B根据复数=解：复数==i，3．（5分）（2013•南开区二模）如图，直线y=2x与抛物线y=3﹣x2所围成的阴影部分的面积是（）B．解：由，解得×）﹣×，4．（5分）（2013•南开区二模）执行如图所示的程序框图，则输出的S值为（[x]表示不超过x的最大整数）（）5．（5分）（2013•南开区二模）已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图，侧视图均是由三角形与半圆构成，视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为（）B．半径为V=××××π×=6．（5分）（2013•南开区二模）设x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（其中a＞0，b＞0）的最大值为3，则的最小值为（）本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件利用基本不等式求出解：满足约束条件的区域是一个三角形，如图∴（（1+4++×7．（5分）（2013•南开区二模）如图，F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点．若|AB|：|BF2|：|AF2|=3：4：5，则双曲线的离心率为（）B．=，又．=8．（5分）（2013•南开区二模）若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x）且x∈[﹣1，1]时，f（x）=1﹣x2，函数g（x）=，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，5]内的与x轴交点的的图象，=二、填空题：（本大题共6小题每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上）9．（5分）（2013•南开区二模）已知集合A={x||2x﹣1|≤3}，B=（﹣3，a），若A∩B=A，则实数a的取值集合是（2，+∞）．10．（5分）（2013•南开区二模）等比数列{a n}的公比为q（q≠0），其前项和为S n，若S3，S9，S6成等差数列，则q3=﹣．=+=，故答案为﹣．11．（5分）（2013•南开区二模）在△ABC中，若a=2，∠B=60°，b=，则BC边上的高等于．S=acsinB=S=b=acsinB=×ah=故答案为：12．（5分）（2013•南开区二模）（坐标系与参数方程）在平面直角坐标系下，曲线（t为参数），曲线（a为参数）．若曲线C l、C2有公共点，则实数a的取值范围．解：曲线（曲线（∴≤﹣2+故答案为：13．（5分）（2013•南开区二模）如图所示，以直角三角形ABC的直角边AC为直径作⊙O，交斜边AB于点D，过点D作⊙O的切线，交BC边于点E．则=．BE=CE=BC∴故答案为．14．（5分）（2013•南开区二模）设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且，若，则λ=﹣．解：由题意，=+∵=故答案为：三、解答题：（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（13分）（2013•南开区二模）设函数．（1）写出函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；（2）当时，函数f（x）的最大值与最小值的和为，求a的值．）当）的最大值与最小值的和为，）的单调递减区间是．）∵，∴．∴时，原函数的最大值与最小值的和=16．（13分）（2013•南开区二模）在某校组织的一次篮球定点投篮测试中，规定每人最多投3次．每次投篮的结果相互独立．在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分，否则得0分．将学生得分逐次累加并用ξ表示，如果ξ的值不低于3分就认为通过测试，立即停止投篮，否则继续投篮，直到投完三次为止．投篮的方案有以下两种：方案1：先在A处投一球，以后都在B处投：方案2：都在B处投篮．甲同学在A处投篮的命中率为0.5，在B处投篮的命中率为0.8．（1）当甲同学选择方案1时．①求甲同学测试结束后所得总分等于4的概率：②求甲同学测试结束后所得总分ξ的分布列和数学期望Eξ；（2）你认为甲同学选择哪种方案通过测试的可能性更大？说明理由．，不中为事件，不中为事件BB）（，不中为事件，不中为事件BBBB（）（）（B）（（（）））17．（13分）（2013•南开区二模）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，侧面PAB 是边长为2的正三角形，侧面PAB⊥底面ABCD．（Ⅰ）设AB的中点为Q，求证：PQ⊥平面ABCD；（Ⅱ）求斜线PD与平面ABCD所成角的正弦值；（Ⅲ）在侧棱PC上存在一点M，使得二面角M﹣BD﹣C的大小为60°，求的值．，，，，的法向量）设，M=，的法向量为，，得，又平面的法向量．∴，∴所以，此时=．18．（13分）（2013•南开区二模）已知数列{a n}的前n项和为S n，且对一切正整数n成立．（1）证明：数列{3+a n}是等比数列，并求出数列{a n}的通项公式；（2）设b n=a n，求数列{b n}的前n项和为B n；（3）数列{a n}中是否存在构成等差数列的四项？若存在求出一组；否则说明理由．===+19．（14分）（2013•南开区二模）已知椭圆的离心率为．（I）若原点到直线x+y﹣b=0的距离为，求椭圆的方程；（II）设过椭圆的右焦点且倾斜角为45°的直线l和椭圆交于A，B两点．（i）当，求b的值；（ii）对于椭圆上任一点M，若，求实数λ，μ满足的关系式．．由此可知椭圆的方程为．：所以．与可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量，有且只有一对实数，使得等成立．同上经可知）∵，∴∵，∴∵，∴解得椭圆的方程为．）∵，∴易知右焦点③与可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量，有且只有一对实数，使得等成立．有：3b20．（14分）（2013•南开区二模）已知函数f（x）=alnx﹣bx2图象上一点P（2，f（2））处的切线方程为y=﹣3x+2ln2+2．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若方程f（x）+m=0在内有两个不等实根，求m的取值范围（其中e为自然对数的底数）；（Ⅲ）令g（x）=f（x）﹣kx，若g（x）的图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）（其中x1＜x2），AB的中点为C（x0，0），求证：g（x）在x0处的导数g′（x0）≠0．，的单调性，结合单调性及在=∴，且内，内有两个不等实根的充要条件是：．，．，得．∴得，∴，即，（。
2016届天津市河东区高三第二次模拟考试数学(理)试题
2016届天津市河东区高三第二次模拟考试数学（理）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求.1. i 是虚数单位，已知11+=+bi iai ，则b a +为（A ．2-B ．0C ．2D ．i -12. 执行右图所示的程序框图，则S 的值为（ ） A ．55 B ．65 C ．36 D ．783. 已知双曲线的一个焦点为)0,5(1F 它的 渐近线方程为x y 34±=，则该双曲线的方程为( A ．191622=-y x B ． 191622=-x yC ． 116922=-y xD ． 116922=-x y4. 已知函数x x f ln )(=与exx g =)(，则它们的图象交点个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．不确定5．“2=a ”是 “点)0,2(P 不在圆042222=-++-y y a ax x 外”的什么条件（ ） A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C . 既不充分也不必要条件 D . 充要条件6. 在三角形ABC 中，A ∠的平分线为AD ，点D 在边BC 上，3=AD ，4=AC ，2=CD ，则A cos 的值为( ) A ．3227 B ．43C ．3217-D ．32177. 如右图所示，在三角形ABC 中，BC AD ⊥，1=AD , 4=BC ，点E 为AC 的中点，215=∙BE DC ，则AB 的长度为( ) A ．2 B ．23C ．2D ．38. 已知))(()(b c a c c f --=，其中c b a -=+1且0,0,0≥≥≥b a c ，则()c f 的取值范围为( ) A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,81 B ．[]1,0C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡41,0D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,91二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.）9. 某学校的学生人数为高一年级150人，高二年级180人，高三年级210人，为了调查该学校学生视力情况需要抽取72人作为样本，若采用分层抽样的方式，则高一和高二年级一共抽取的人数为 ________． 10. 在53)2(xx -的二项展开式中，常数项为___________． 11. 如右图所示，一款儿童玩具的 三视图中俯视图是以3为半径的圆， 则该儿童玩具的体积为______． 12. 正弦曲线x y sin =与直线x y π2=所围成的封闭图形的面积为 ．13. 如右图所示，圆O 上的弦AB 不为直径，DA 切圆O 于点A ，点E 在BA 的延长线上且AC DE //， 点C 为BD 与圆交点，若2,6,3===CD DE AE ， 则=AD ________．14. 已知函数()a a x x f +-=，()24x x g -=，若存在R x ∈使()()x f x g ≥，则a 的取值范围是____________．三、解答题：（本大题6个题，共80分） 15. （本小题满分13分）D已知函数)( 41-)sin2x 62cos()(R x x x f ∈-=π（1）求函数)(x f 的最小正周期及其单调减区间；（2）求函数)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,4π上的最大值和最小值．16. （本小题满分13分）某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语，2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问．（1）在选派的3人中恰有2人会法语的概率；（2）在选派的3人中既会法语又会英语的人数ξ的分布列与期望．17. （本小题满分13分）如图四棱锥ABCD P -，三角形ABC 为正三角形，边长为2，DC AD ⊥，1=AD ，PO 垂直于平面ABCD 于O ，O 为AC 的中点，1=PO ． （1）证明BO PA ⊥； （2）证明//DO 平面PAB ；（3）平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值． 18.（本小题满分13分）椭圆)0( 1:2222>>=+b a by a x C 的右顶点为Q ，O 为坐标原点，过OQ 的中点作x 轴的垂线与椭圆在第一象限交于点A ，点A 的纵坐标为c 23，c 为半焦距． （1）求椭圆的离心率；（2）过点A 斜率为21的直线l 与椭圆交于另一点B ，以AB 为直径的圆过点P(21，29)，求三角形APB 的面积． 19. （本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 为等差数列，0,11>-=n b b （2≥n ）22=+n n a S b 且13223a a a +=．（1） 求{}n a 、{}n b 的通项公式；PBA CDO（2）设nn a c 1=，1112211++⋯++++=n n n c b c b c b T ，证明：25<n T ． 20. （本小题满分14分已知函数x x ae x ae x f x x +--=2212)(． （1）求函数)(x f 在))2(,2(f 处切线方程； （2）讨论函数)(x f 的单调区间；（3）对任意[]1,0,21∈x x ，1)()(12+≤-a x f x f 恒成立，求a 的范围．河东区2016年高三年级 二模考试数学（理）答案9． 44 10。
天津市六校2013届高三第二次联考数学理试题Word版含答案
天津市六校2013届高三第二次联考数学理一． 选择题 1.i 是虚数单位，i33i += （ ）A ．i 123-41 B. i 12341+ C. i 6321+ D. i 63-212.如果命题“p 且q”是假命题，“￢p”也是假命题，则 （ ） A ．命题“￢p 或q”是假命题 B. 命题“p 或q”是假命题 C. 命题“￢p 且q”是真命题 D. 命题“p 且￢q”是真命题3.如图，若框图所给的程序的输出结果是S=990，那么判断框中应填入的关于的判断条件是A ．k≥9？ B. k≥8？ C. k≤8？ D. k≤7？4.设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥≤0y ,0x 0y -x 02-y -x 3，若目标函数z=ax+by （a ＞0，b ＞0）的最大值为2，则a 1+b1的最小值为 （ ） A ．625 B. 38C.2D.4 5.已知等差数列{}n a 中，a 7+a 9=16，S 11=299，则a 12的值是 （ ）A ．15 B.30 C.31 D.64 6.设函数f(x)=Asin （ϕω+x ）（A ＞0，ω＞0，-2π＜ϕ＜2π）的图象关于直线x=32π对称，且周期为π，则f(x) ( ) A.图象过点（0，21） B.最大值为-AC.图象关于（π，0）对称D.在[125π,32π]上是减函数 7.△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，2→AO =→AB +→AC 且→AO =→AB ，则向量→AB 在→BC 方向上的投影为 （ ） A ．21 B. 23 C. -23 D. -21 8．定义在R 上的奇函数f(x),当x≥0时，f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈∈+）,1[3-x -1)1,0[x ），1x （log 21x ，则关于x 的函数F(x)=f(x)-a(0＜a ＜1)的所有零点之和为 （ ）A ．2a -1 B.1-2a C.2-a -1 D.1-2-a 二．填空题9.一个社会调差机构就某地居民月平均收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）。
天津市河东区2013届高三第二次模拟考试物理(Word版有答案)
河东区2013年高三二模考试理科综合 物理试卷理科综合共300分，考试用时150分钟。
物理试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共120分。
第I 卷本卷共8题，每题6分，共48分。
一、单项选择题(每小题6分，共30分。
每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的)1．下列说法正确的是 ( )A ．医学上利用γ射线治疗肿瘤主要是利用了γ射线穿透能力强的特点B ．观察牛顿环时，若用频率更高的单色光照射，同级牛顿环半径将会变大C ．车站、机场等处安检用的非接触式红外温度计利用了红外线的热效应D ．查德威克发现了天然放射现象说明原子具有复杂结构2．北斗导航系统又被称为“双星定位系统”，具有导航、定位等功能。
“北斗”系统中两颗工作卫星1和2均绕地心O 做匀速圆周运动，轨道半径均为r ，某时刻两颗工作卫星分别位于轨道上的A 、B 两位置，如图所示。
若卫星均顺时针运行，地球表面处的重力加速度为g ，地球半径为R ，不计卫星间的相互作用力。
以下判断中正确的是( )A ．这两颗卫星的向心加速度大小相等，均为22R g rB ．卫星1由位置A 运动至位置BC ．如果使卫星l 加速，它就一定能追上卫星2D ．卫星l 由位置A 运动到位置B 的过程中万有引力做正功3．用长度相同的两根细线把A 、B 两小球悬挂在水平天花板上的同一点O ，并用长度相同的细线连接A 、B 。
两小球，然后用力F 作用在小球A 上，如图所示，此时三根细线均处于直线状态，且OB 细线恰好处于竖直方向，两小球均处于静止状态。
不考虑小球的大小，则力F 不可能的方向为( )A ．水平向右B ．竖直向上C ．沿O →A 方向D ．沿B →A 方向4．如图所示，理想变压器原线圈匝数为n 1=1000匝，副线圈匝数为n 2=200匝，将原线圈接在120u t π(V)的交流电源上，已知电阻=100R Ω，电流表A 为理想交流电表。
则下列说法正确的是( )A ．穿过铁芯的磁通量的最大变化率为0．2Wb/sB ．交流电的频率为50HzC ．电流表A 的示数为0． AD ．变压器的输入功率是16W5．如图所示，实线为方向未知的三条电场线，a 、b两带电粒子从电场中的O点以相同的初速度飞出。
天津市河东区高三年级第二次模拟考试.docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作天津市河东区2016年高三年级第二次模拟考试数学试卷（文史类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求.1. i 是虚数单位，已知11+=+bi iai ，则b a +为（）A ．2-B ．0C ．2D ．i -12. 执行右图所示的程序框图，则S 的值为（ ） A ．55 B ．65 C ．36 D ．783. 已知双曲线的一个焦点为)0,5(1F 它的 渐近线方程为x y 34±=，则该双曲线的方程为( ) A ．191622=-y x B ． 191622=-x y 密 封 装 订 线密 封 线 内 不 要 答 题开 始,1,0===S i a 12+=i a a S S +=2+=i i12≤i 是输出S结束否C ．116922=-y x D ．116922=-x y 4. 已知函数x x f ln )(=与exx g =)(，则它们的图象交点个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．不确定5．“2=a ”是“点)0,2(P 不在圆042222=-++-y y a ax x 外”的什么条件（ ） A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C . 既不充分也不必要条件 D . 充要条件 6. 下列选项中为函数412sin )62cos()(--=x x x f π的对称中心为( ) A ．)0,12(π B ．)41,3(-π C ．)0,3(πD ．)0,247(π7. 如右图所示，在三角形ABC 中，BC AD ⊥，1=AD , 4=BC ，点E 为AC 的中点，215=∙BE DC ，则AB 的长度为( ) A ．2 B ．23C ．2D ．38. 已知))(()(b c a c c f --=，其中cb a -=+1且0,0,0≥≥≥b ac ，则()c f 的取值范围为( ) A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,81 B ．[]1,0 C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡41,0 D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,91二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.） 9. 集合)}1(log ,3{2++=a a A ，},1{b B =，B A =则=b ________．10. 从1、2、3、4、5中不重复的随机选取两个数，它们的和为奇数的概率为 ． 11. 已知函数)(x f 为偶函数，且)0(,1)(2>-=x xx x f ，则=-')1(f ． 12. 如右图所示，一款儿童玩具的 三视图中俯视图是以3为半径的圆，ED CAB则该儿童玩具的 体积为______．13. 如右图所示，圆O 上的弦AB 不为直径，DA 切圆O 于点A ，点E 在BA 的延长线上且AC DE //，点C 为BD 与圆交点，若2,6,3===CD DE AE ，则=AD ________．14. 已知函数()a a x x f +-=，()24x x g -=，若存在R x ∈使()()x f x g ≥，则a 的取值范围是__________．三、解答题：（本大题6个题，共80分） 15. （本小题满分13分）某企业生产A 、B 两种产品，它们的原料中均含甲、乙两种溶液，生产每件产品所需两种溶液的剂量如下表所示：单位：升 A B 甲 4 2 乙15生产产品A 和B 每件分别获得利润2万元、3万元，现只有甲、乙两种溶液各60升，该企业有三种生产方案，方案一：只生产A 。
天津市耀华中学2013届高三数学第二次校模拟考试试题 理(含解析)
2013年天津市耀华中学高考数学二模试卷（理科）一、选择题：共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上.1．（5分）（2008•辽宁）复数的虚部是（）A．B．C．D．考点：复数的代数表示法及其几何意义．分析：本小题主要考查复数的相关运算及虚部概念．解答：解：依题：∴虚部为故选B．点评：本题是对基本概念的考查．2．（5分）下列有关命题的叙述，错误的个数为（）①已知等差数列{a n}的前n项和为S n，则“a6+a7＞0”是“S9≥S3”的充要条件②命题“存在实数x，使x＞l”的否定是“对任意实数x，使x＜1”③命题“若x2﹣4x+3=0，则x=l或x=3”的逆否命题为“若x≠1或x≠3，则x2﹣4x+3≠0④若p∨q为假命题，则p、q均为假命题．A．1B．2C．3D．4考点：命题的真假判断与应用．专题：阅读型．分析：对①，利用等差数列的性质判断即可；对②，根据特称命题的否定为全称命题来判断即可；对③，根据逆否命题的定义及逻辑连接词“或、且”的含义来判断即可；对④，根据复合命题真值表判断即可．解答：解：对①，∵a6+a7=a5+a8=a4+a9＞0，∴S9﹣S3=a4+a5+…+a9＞0，∴a6+a7＞0⇒S9＞S3；而S9≥S3时，a6+a7＞0不一定成立，故①错误；对②，命题“存在实数x，使x＞l”的否定应是“对任意实数x，使x≤1”，故②错误；对③，命题“若x2﹣4x+3=0，则x=l或x=3”的逆否命题应为“若x≠1且x≠3，则x2﹣4x+3≠0”，故③错误；对④，根据复合命题真值表，若p∨q为假命题，则p、q均为假命题，④正确．故选C．点评：本题借助考查命题的真假判断，考查等差数列的性质、特称命题的否定及复合命题的真假判定．3．（5分）由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4C．D．6考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出曲线y=，直线y=x ﹣2的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解．解答：解：联立方程得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为S=．故选C．点评：本题考查曲边图形面积的计算问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的转化与化归能力和运算能力，考查学生对定积分与导数的联系的认识，求定积分关键要找准被积函数的原函数，属于定积分的简单应用问题．4．（5分）设二项式（a＞0）的展开式中x3的系数为A，常数项为B，若B=4A，则a的值是（）A．1B．2C．3D．4考点：二项式定理的应用．专题：计算题；概率与统计．分析：利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为3，0，求出A，B，再列出方程求出a．解答：解：展开式的通项为Tr+1==（﹣a）r 令6﹣=3，得r=2，则A==15a2令6﹣=0，得r=4，则B==15a4∵B=4A∴15a4=4×15a2∵a＞0，∴a=2．故选B．点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题，考查学生的计算能力，属于中档题．5．（5分）（2012•广东）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为6，则输出s的值为（）A．105 B．16 C．15 D．1考点：循环结构．专题：计算题；压轴题．分析：本循环结构是当型循环结构，它所表示的算式为s=1×3×5×…×（2i﹣1），由此能够求出结果．解答：解：如图所示的循环结构是当型循环结构，它所表示的算式为s=1×3×5×…×（2i﹣1）∴输入n的值为6时，输出s的值s=1×3×5=15．故选S．点评：本题考查当型循环结构的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．6．（5分）在△AB C中，设，则sinB的值为（）A．B．1C．D．考点：正弦定理；两角和与差的余弦函数．专题：解三角形．分析：在△ABC中，由 a+c=2b，利用正弦定理可得sinA+sinC=2sinB，再利用和差化积公式、诱导公式以及A﹣C=，求得sin的值，可得 cos的值，再利用二倍角公式求得sinB 的值．解答：解：在△ABC中，∵a+c=2b，由正弦定理可得 sinA+sinC=2sinB，∴2sin cos=4sin cos．再由A﹣C=，可得 sin cos=2sin cos，解得sin=，∴cos=．故sinB=2sin cos=，故选D．点评：本题主要考查正弦定理、两角和差的余弦公式、以及和差化积公式的应用，属于中档题．7．（5分）（2013•天津模拟）在平行四边形ABCD中，，，连接CE、DF相交于点M，若，则实数λ与μ的乘积为（）A．B．C．D．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：由题意可得=2（λ﹣μ）+μ，由E、M、C三点共线，可得2λ﹣μ=1，①同理可得=，由D、M、F三点共线，可得λ+μ=1，②，综合①②可得数值，作乘积即可．解答：解：由题意可知：E为AB的中点，F为BC的三等分点（靠近B）故===（λ﹣μ）+μ=2（λ﹣μ）+μ，因为E、M、C三点共线，故有2（λ﹣μ）+μ=1，即2λ﹣μ=1，①同理可得===，因为D、M、F三点共线，故有λ+（μ）=1，即λ+μ=1，②综合①②可解得λ=，，故实数λ与μ的乘积=故选B点评：本题考查平面向量基本定理即意义，涉及三点共线的结论，属中档题．8．（5分）（2013•浙江模拟）已知P为抛物线y2=4x上一个动点，Q为圆x2+（y﹣4）2=1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到y轴距离之和最小值是（）A．B．C．D．考点：圆与圆锥曲线的综合．专题：计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先根据抛物线方程求得焦点坐标，根据圆的方程求得圆心坐标，根据抛物线的定义可知P到准线的距离等于点P到焦点的距离，进而问题转化为求点P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小值，根据图象可知当P，Q，F三点共线时P到点Q的距离与点P到抛物线的y轴距离之和的最小，为圆心到焦点F的距离减去圆的半径减去y轴与准线的距离．解答：解：抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），圆x2+（y﹣4）2=1的圆心为C（0，4），根据抛物线的定义可知点P到准线的距离等于点P到焦点的距离，进而推断出当P，Q，F三点共线时P到点Q的距离与点P到抛物线的y轴距离之和的最小为：|FC|﹣r﹣1=﹣1﹣1=，故选B．点评：本题主要考查了抛物线的定义的应用．考查了学生转化和化归，数形结合等数学思想．二、填空题：共6个小题，每小题5分，共30分，将答案填写在后面的答题卡上9．（5分）对某商店一个月（30天）内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数分别是46 、45 ．考点：茎叶图．专题：概率与统计．分析：直接利用茎叶图，求出该样本的中位数、众数，即可．解答：解：由题意可知茎叶图共有30个数值，所以中位数为：=46．出现次数最多的数是45，故众数是45．故答案为：46，45．点评：本题考查该样本的中位数、众数、极差，茎叶图的应用，考查计算能力．10．（5分）已知直线PA切⊙O于点A，PBM是⊙O的一条割线，如图所示有∠P=∠BAC，若PA=，BM=9，BC=5，则AB= ．考点：与圆有关的比例线段．专题：计算题．分析：先根据切割线定理得到PA2=PB•PM，求出PB的长；结合PA为⊙O的切线，∠PAB=∠ACB，又有∠P=∠BAC得到△PAB∽△ACB，得到，进而求出结果．解答：解：∵PA为⊙O的切线，PBC是过点O的割线，∴PA2=PB•PM，即PA2=PB•（PB+BM），又∵PA=，BM=9，∴（）2=PB•（PB+9），∴PB=7，又∵PA为⊙O的切线，∴∠PAB=∠ACB，又有∠P=∠BAC，∴△PAB∽△ACB，∴，∴AB===故答案为：．点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，切割线定理，圆周角定理等知识点的应用，主要考查学生的推理能力，综合性比较强，有一定的难度．11．（5分）（2012•湖北）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为12π．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由题意三视图可知，几何体是有3个圆柱体组成的几何体，利用三视图的数据，求出几何体的体积即可．解答：解：由题意可知几何体是有两个底面半径为2，高为1的圆柱与一个底面半径为1，高为4的圆柱组成的几何体，所以几何体的条件为V=2×22π×1+12π×4=12π．故答案为：12π．点评：本题考查三视图与几何体的关系，考查空间想象能力与计算能力．12．（5分）已知数列{a n}满足，则的最小值为．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：利用数列递推式，可得数列{}是以10为首项，1为公差的等差数列，可得数列的通项，再利用函数的单调性，即可求的最小值．解答：解：∵∴，=1∴数列{}是以10为首项，1为公差的等差数列∴=n+9∴==n++11∵y=n+在（0，3）上单调递减，在（3，+∞）上单调递增∴n=4时，取得最小值为故答案为：点评：本题考查数列递推式，考查等差数列的判断，考查数列的最值，取得数列的通项是关键．13．（5分）若关于x的不等式2﹣x2≥|x﹣a|至少有一个正数解，则实数a的取值范围是．考点：函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：原不等式为：2﹣x2≥|x﹣a|，我们在同一坐标系画出y=2﹣x2（y≥0，x＞0）和 y=|x|两个图象，利用数形结合思想，易得实数a的取值范围．解答：解：不等式为：2﹣x2≥|x﹣a|，且0≤2﹣x2．在同一坐标系画出y=2﹣x2（y≥0，x＞0）和 y=|x|两个函数图象，将绝对值函数 y=|x|向左移动，当右支经过（0，2）点，a=﹣2；将绝对值函数 y=|x|向右移动让左支与抛物线y=2﹣x2（y≥0，x＞0）相切时，由可得 x2﹣x+a﹣2=0，再由△=0 解得a=．数形结合可得，实数a的取值范围是．故答案为：．点评：本题考查的知识点是一元二次函数的图象，及绝对值函数图象，其中在同一坐标中，画出y=2﹣x2（y≥0，x＞0）和 y=|x|两个图象，结合数形结合的思想得到答案，是解答本题的关键．14．（5分）函数f（x）在R上既是奇函数又是减函数，且当θ∈（0，）时，f（cos2θ+2msinθ）+f（﹣2m﹣2）＞0恒成立，则实数m的取值范围是．考点：复合三角函数的单调性；奇偶性与单调性的综合．专题：压轴题；函数的性质及应用．分析：根据函数是奇函数原不等式化简为f（cos2θ+2msinθ）＞f（2m+2），再借助于函数的单调性可得1﹣2sin2θ+2msinθ＜2m+2，利用换元法并且借助于恒成立问题的解决方法得到答案．解答：解：∵函数f（x）在R上是奇函数，f（cos2θ+2msinθ）+f（﹣2m﹣2）＞0 ∴f（cos2θ+2msinθ）＞f（2m+2）∵y=f（x）是减函数，∴cos2θ+2msinθ＜2m+2恒成立．∴1﹣2sin2θ+2msinθ＜2m+2恒成立．设t=sinθ∈[0，1]，等价于2t2﹣2mt+2m+1＞0在t∈[0，1]恒成立．只要g（t）=2t2﹣2mt+2m+1在[0，1]的最小值大于0即可．（1）当m＜0时，最小值为g（0）=2m+1≥0，所以可得：0＞m≥﹣（2）当0≤m≤1时，最小值为g（）=﹣m2+2m+1≥0，所以可得：0≤m≤1（3）当m＞1时，最小值为g（1）=2≥0恒成立，得：m＞1，综之：m≥﹣为所求的范围．故答案为：m≥﹣．点本题考查函数单调性与奇偶性的综合，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思评：想，属于中档题．三．解答题：共6个小题，总计80分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知向量，，函数．（Ⅰ）求f（x）的最大值，并求取最大值时x的取值集合；（Ⅱ）已知a、b、c分别为△ABC内角A、B、C的对边，且a，b，c成等比数列，角B为锐角，且f（B）=1，求的值．考点：平面向量数量积的运算；正弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）把给出的向量的坐标代入函数解析式，化简整理后得到，直接由即可得到使函数取得最大值1的x的取值集合；（Ⅱ）由B为锐角，利用f（B）=1求出B的值，把要求的式子切化弦，由a，b，c 成等比数列得到sin2B=sinAsinC，代入化简后即可得到结论．解答：解：（Ⅰ）==﹣2===．故f（x）max=1，此时，得．所以取得最大值的x的集合为{x|}．（Ⅱ）由f（B）=，又∵0＜B＜，∴．∴，∴．由a，b，c成等比数列，则b2=ac，∴sin2B=sinAsinC．∴==．点评：本题考查了平面向量数量积的运算，考查了正弦定理，解答此题的关键是“降幂化积”，“角边互化”．是解决此类问题常用到的办法，此题是中档题．16．（13分）一个袋子中有形状和大小完全相同的3只白球与2只黑球，若取至一个白球得2分，取到一个黑球得3分，（I）若无放回地依次抽取3个小球，求得分不少于7分的概率．（II）若从袋子中有放回地依次取出3只球，求总得分ξ的概率分布列及期望Eξ．考点：离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（I）从5个球中无放回地依次抽取3个小球共有种方法，可得所求事件的对立事件共1种情形，可得其概率，进而可得所求；（II）由题意可得甲的总得分ξ共有有6、7、8、9四种情况，分别求得概率，进而可得ξ的概率分布列和期望．解答：解：（I）从5个球中无放回地依次抽取3个小球共有种方法，记“无放回地依次抽取3个小球，得分不少于7分”为事件A，其对立事件为“无放回地依次抽取3个小球，得分少于7分”即抽到的是3只白球，仅1种情况．故可得P（A）=1﹣P（）=1﹣=1﹣=（II）由题意可得甲的总得分ξ共有有6、7、8、9四种情况，P（ξ=6）==，P（ξ=7）==，P（ξ=8）==，P（ξ=9）==故ξ的概率分布列为：ξ 6 7 8 9P \frac{27}{125} \frac{36}{125} \frac{8}{125}故甲总得分的数学期望Eξ==点评：本题考查离散型随机变量及其分布列，涉及数学期望的求解，属中档题．17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，PA=PB=3，BC=1，AB=2，AD=3，O是AB中点．（I）证明CD⊥平面POC；（II）求二面角C﹣PD﹣O的平面角的余弦值．（Ⅲ）在侧棱PC上是否存在点M，使得BM∥平面POD，若存在试求出，若不存往，清说明理由．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（I）过C点作CE⊥AD于E，△OCD中算出OC=、CD=2且OD=，由勾股定理的逆定理证出OC⊥CD．利用面面垂直的性质与线面垂直的性质，证出PO⊥CD，结合线面垂直判定定理即可证出CD⊥平面POC；（II）设CD的中点为F，连结OF，分别以OB、OF、OP为x轴、y轴、z轴，建立直角坐标系O﹣xyz．可得C、D、P、O各点的坐标，从而可得、的坐标，利用垂直向量数量积为0的方法建立方程组，解出=（3，1，0）为平面P0D的一个法向量，同理求出平面PCD的一个法向量为=（，，1）．利用空间向量夹角公式算出、夹角的余弦值为，即可得到二面角C﹣PD﹣O的平面角的余弦值；（III）设侧棱PC上存在点M且=λ，使得BM∥平面POD．算出向量=（﹣λ，﹣λ+1，2λ），根据平面的平行向量与其法向量互相垂直，得到•=0，解出，由此即可得到在侧棱PC上存在点M，当=时满足BM∥平面POD．解答：解：（I）平面ABCD内，过C点作CE⊥AD于E∵直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC=1，AB=2，AD=3，∴AE=1，CE=2 Rt△CDE中，DE=2，可得CD==2∵Rt△BOC中，BO=AB=1，BC=1，∴OC==同理，得OD==∴OD2=10=OC2+CD2，可得△OCD是以CD为斜边的直角三角形，∴OC⊥CD∵PA=PB，O是AB中点，∴PO⊥AB，∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PO⊂平面PAB，∴PO⊥平面ABCD，结合CD⊂平面ABCD，得PO⊥CD∵PO、OC是平面POC内的相交直线，∴CD⊥平面POC；（II）设CD的中点为F，连结OF，则直线OB、OF、OP两两互相垂直，分别以OB、OF、OP为x轴、y轴、z轴，建立直角坐标系O﹣xyz，如图所示则C（1，1，0），D（﹣1，3，0），P（0，0，2），可得=（0，0，2），=（﹣1，3，0），设=（x，y，z）为平面P0D的一个法向量，则，取y=1，得x=3且z=0，得=（3，1，0）同理求出平面PCD的一个法向量为=（，，1）∵cos＜，＞===∴二面角C﹣PD﹣O的平面角的余弦值等于；（III）设侧棱PC上存在点M，使得BM∥平面POD，此时=λ，则∵=（1，1，﹣2），=（0，1，0）∴=λ=（﹣λ，﹣λ，2λ），可得=+=（﹣λ，﹣λ+1，2λ），∵BM∥平面POD，=（3，1，0）为平面P0D的一个法向量∴•=﹣3λ﹣λ+1=0，解之得因此，侧棱PC上存在点M，当=时满足BM∥平面POD．点本题给出特殊的四棱锥，求证线面垂直、求二面角的余弦值并探索线面垂直的存在评：性．着重考查了面面垂直的性质、线面垂直的判定与性质和利用空间向量研究面面角、线面平行等知识，属于中档题．18．（13分）（2011•昌平区二模）已知数列{a n}满足a1=，且对任意n∈N*，都有．（Ⅰ）求证：数列为等差数列；（Ⅱ）试问数列{a n}中a k﹣a k+1（k∈N*）是否仍是{a n}中的项？如果是，请指出是数列的第几项；如果不是，请说明理由．（Ⅲ）令，证明：对任意n∈N*，都有不等式成立．考点：用数学归纳法证明不等式；等差关系的确定；数列与不等式的综合．专题：证明题；综合题．分析：（Ⅰ）条件可变形为a n a n+1+2a n=4a n a n+1+2a n+1，整理得2a n﹣2a n+1=3a n a n+1，两边同除以a n a n+1，可得，从而可得数列是以为首项，公差为的等差数列．（II）由（Ⅰ）可得数列的通项公式为，所以，从而可得=．只需证明是正整数即可．（Ⅲ）由（II）知：，．下面用数学归纳法证明：2n+4＞（n+4）2对任意n∈N*都成立．对于当n=k（k∈N*）时，有2k+4＞（k+4）2，当n=k+1时，2（k+1）+4=2•2k+4＞2（k+4）2=2k2+16k+32=（k+5）2+k2+6k+7＞（k+5）2，从而可证．解答：解：（Ⅰ）∵∴a n a n+1+2a n=4a n a n+1+2a n+1，即2a n﹣2a n+1=3a n a n+1，所以所以数列是以为首项，公差为的等差数列．（II）由（Ⅰ）可得数列的通项公式为，所以∴=．因为当k∈N*时，一定是正整数，所以是正整数．所以a k﹣a k+1是数列{a n}中的项，是第项．（Ⅲ）证明：由（II）知：，．下面用数学归纳法证明：2n+4＞（n+4）2对任意n∈N*都成立．（1）当n=1时，显然25＞52，不等式成立．（2）假设当n=k（k∈N*）时，有2k+4＞（k+4）2，当n=k+1时，2（k+1）+4=2•2k+4＞2（k+4）2=2k2+16k+32=（k+5）2+k2+6k+7＞（k+5）2即有：也成立．综合（i）（ii）知：对任意n∈N*，都有不等式成立．点评：本题以数列递推式为载体，考查等差数列的定义，考查不等式的证明，解题的关键是正确利用递推式求通项，掌握数学归纳法的证题步骤．19．（14分）已知椭圆的左顶点A（﹣2，0），过右焦点F且垂直于长轴的弦长为3．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若过点A的直线l与椭圆交于点Q，与y轴交于点R，过原点与l平行的直线与椭圆交于点P，求证：为定值．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：计算题；综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）依题意，可求得a=2，b2=3，从而可得椭圆C的方程；（Ⅱ）由题意知，直线AQ，OP斜率存在，故设为k，则直线AQ的方程为y=k（x+2），直线OP的方程为y=kx．可得R（0，2k），|AR|=2，A（x1，y1），Q（x2，y2），联立方程组，得：（4k2+3）x2+16k2x+16k2﹣12=0，利用韦达定理可得x1+x2=﹣，x1x2=，从而求得|AQ|=；再设y=kx与椭圆交另一点为M（x3，y3），P（x4，y4），可求得，|x4|=，从而得|OP|=•；继而可求得的值．解：（1）a=2，设过右焦点F且垂直于长轴的弦为MN，将M（c，y M）代入椭圆方程解答：+=1，解得y M=±，…（2分）故=3，可得b2=3．…（4分）所以，椭圆方程为+=1．…（6分）（2）由题意知，直线AQ，OP斜率存在，故设为k，则直线AQ的方程为y=k（x+2），直线OP的方程为y=kx．可得R（0，2k），则|AR|=2，…（8分）设A（x1，y1），Q（x2，y2），联立方程组，消去y得：（4k2+3）x2+16k2x+16k2﹣12=0，x1+x2=﹣，x1x2=，则|AQ|=|x1﹣x2|==．…（11分）设y=kx与椭圆交另一点为M（x3，y3），P（x4，y4），联立方程组，消去y得（4k2+3）x2﹣12=0，|x4|=，所以|OP|=|x4|=•．…（13分）故==2．所以等于定值2…（15分）点评：本题主要考椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力，属于难题．20．（14分）已知函数 f（x）=x2+2lnx+aln（1+x2）．（I）若a=求f（x）的极值；（II）已知f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2（i）求a的取值范围（ii）求证：f（x1）＜1﹣4ln2（III） a=0时，求证[f'（x）]n﹣2n﹣1f'（x n）≥2n（2n﹣2）考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题；压轴题；导数的综合应用．分析：（I）a=﹣时求出导数f′（x），在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，由导数符号即可求得其极值；（II）（i）求导数f′（x）=，令t=x2，问题转化为方程t2+（a+2）t+1=0有两个不同正根，从而有，解出即得a的范围；（ii）由（i）知x1，x2为方程x4+（a+2）x2+1=0的两根，且结合韦达定理可知，0＜x1＜1，再由a＜﹣4，得f（x1）=+2lnx1+aln（1+）＜+2lnx1﹣4ln（1+），令g（x1）=+2lnx1﹣4ln（1+），利用导数可判断g（x1）的单调性，由单调性得g（x1）＜g（1），整理后即得结论；（III）a=0时求出，，则左边[f'（x）]n ﹣2n﹣1f'（x n）=2n（++），令S n=++，利用倒序相加法可得2S n，再运用基本不等式即可证明；解解：（I）a=﹣时，f（x）=x2+2lnx﹣ln（1+x2）（x＞0），f′（x）=2x+﹣答：=，当0＜x＜时，f′（x）＞0，当时，f′（x）＜0，当x＞时，f′（x）＞0，故f（x）极小=f（）=2+ln2﹣，f（x）极大=f（）=．（II）由（I）计算过程不难计算出f′（x）=，令t=x2，故只需t2+（a+2）t+1=0有两个不同正根，即，所以a的范围为a＜﹣4．因此x1，x2为方程x4+（a+2）x2+1=0的两根，且结合韦达定理可知，0＜x1＜1，再由a＜﹣4，所以f（x1）=+2lnx1+aln（1+）＜+2lnx1﹣4ln（1+），令g（x1）=+2lnx1﹣4ln（1+），易知g′（x1）≥0，即g′（x1）单调递增，所以g（x1）＜g（1）=1﹣4ln2，从而命题得证．（III）a=0时，f（x）=x2+ln2x，所以，，故左边[f'（x）]n﹣2n﹣1f'（x n）=2n（++），令S n=++，利用倒序相加法可得，2S n=（x n﹣2+）+（x n﹣4+）+…+（x n﹣4+）+（+x n﹣2）≥2（++…++）=2（2n﹣2），从而命题得证．点评：本题考查利用导数研究函数的极值、单调性，考查二次方程根的分布及二项式定理，考查学生综合运用知识解决问题的能力，解决（III）问的关键是利用倒序相加法其S n．。
天津市河东区2013届高三二模语文试卷及答案
天津市河东区2013届高三第二次模拟考试语文试卷本试卷分为第I卷(选择题)和第II卷两部分，共l50分，考试用时l50分钟。
第I卷注：①本卷共l2小题，每小题3分，共36分。
②请将本卷试题答案填写在第Ⅱ卷上面的表格之内。
一、(15分)1．下列加点字的读音全都正确的一组是A．颀长(qí) 龃龉(wǔ)联袂(mèi) 蜚声中外(fēi)B．饥馑(jǐn) 搭讪(shàn) 忸怩(niè) 鼎铛玉石(chēng) C．珐琅(fà) 滥觞(shāng) 炫目(xuàn) 力能扛鼎(gāng)D．哂笑(shěn)款识(zhì) 怆然(chuàng) 弦外之音(xuán)2：下列各组词语中，没有错别字的一组是A．熟谙售罄煞风景莫衷一是B．怂恿度假亲和力金欧无缺C．喋血沉缅折跟头心无旁骛D．磨砺剽窃捅漏子因才施教3．下列各句横线处应填入的词语，最恰当的一组是(1)我们的道德体系是以伦理为核心的，它的价值观往往偏重于别人的，而缺少自我灵魂中的忏悔和自责。
(2)南山佛教文化苑是一个新崛起的大型文化和生态旅游园区，依山傍海，园林设计匠心独具，一草一木，一砖一瓦均含禅理，环境清静，风景独秀，不失为一个放松身心、休闲养性的好去处。
(3)冯小刚导演的《集结号》中的主人公谷智鑫是一个的角色，其他演员几乎成了不重要的人物了。
A．评价优雅举足轻重 B．评判优雅举重若轻C．评价幽雅举重若轻 D．评判幽雅举足轻重4．下列各句中，加点的成语使用不恰当的一项是A．“生命的价值在于厚度而不在于长度，在于奉献而不在于获取。
”院士的话入木三分，让我们深受教育。
B．等待瞻仰烈士遗容的人们排着长队，万籁无声地肃立在寒风中。
C．日本右翼势力对“疆独、台独、藏独力暗送秋波，企图借助分裂分子达到反华和对抗中国的目的，理所当然地遭到了中国政府和民众的强烈反对·D．按照新课改精神，教师应当以培养学生的综合能力为根本，当学生遇到疑难问题时，教师要善于启发引导，不要越俎代庖。
【解析版】天津市河西区2013届高三总复习质量调查(二)数学(理)试题
2013年天津市河西区高考数学二模试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2011•安徽）设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为（）．解：复数==a bx2﹣+24．（5分）（2013•河东区二模）给出计算的值的一个程序框图如图，其中判断框内应填入的条件是（）当加到时，总共经过了5．（5分）（2013•河东区二模）设，则二项式展开式中常数项是=），则二项式故二项式6．（5分）（2013•河东区二模）如图在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠D为直角，AB=3，AD=，E为BC中点，若=3，则的值是（）根据利用向量的加法运算求出量的加减法运算求出和，由向量的数量积运算性质求出解：由题意得，=为直角，∴，即，得AC==中点，∴=，且∴•（﹣7．（5分）（2013•河东区二模）在△ABC中角A、B、C的对边分别是a、b、c，若（2b﹣c）cosA=acosC，B．cosA=，A=．8．（5分）（2013•河东区二模）定义域R的奇函数f（x），当x∈（﹣∞，0）时f（x）+xf'（x）＜0恒成立，logπ二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．则成绩比较稳定的是乙．（=[[10．（5分）（2013•河东区二模）已知一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为16πm3．×11．（5分）（2013•河东区二模）已知集合M={x||x﹣4|+|x﹣1|＜5}，N={x|（x﹣a）（x﹣6）＜0}，且M∩N=（2，b），则a+b=7．12．（5分）（2013•河东区二模）已知抛物线C的参数方程为（t为参数），设抛物线C的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为，那么|PF|=8．的斜率为的参数方程的斜率是﹣，故点y=44|PF|=13．（5分）（2013•河东区二模）已知圆O的半径为3，从圆O外一点A引切线AD和割线ABC，圆心O到AC的距离为2，AB=3，则切线AD的长为．BC=2AD=14．（5分）（2013•河东区二模）对任意实数a，b，函数F（a，b）=，如果函数f（x）=﹣x2+2x+3，g（x）=x+1，那么函数H（x）=F（f（x），g（x））的最大值等于3．，根据一次函数与二次函==三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）（2013•河东区二模）已知函数f（x）=sinxcosϕ+cosxsinϕ（其中x∈R，0＜φ＜π），且函数的图象关于直线对称．（I）求f（x）的最小正周期及φ的值；（Ⅱ）若，求sin2α的值．代入即可求出2x++（2x+，将x=﹣；）+）），，﹣16．（13分）（2013•河东区二模）近年来，政府提倡低碳减排，某班同学利用寒假在两个小区逐户调查人们的生活习惯是否符合低碳观念．若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”．数据B小区，求这4人中恰有2人是低碳族的概率；（2）A小区经过大力宣传，每周非低碳族中有20%的人加入到低碳族的行列．如果2周后随机地从A小区中任选25个人，记X表示25个人中低碳族人数，求E（X）．人，两周后非低碳族的概率个人中低碳族人数服从二项分布，即17．（13分）（2005•江西）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动．（1）证明：D1E⊥A1D；（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；（3）AE等于何值时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．）通过观察，根据三垂线定理易得：不管点本题可采用杂．根据既可以求得点．，从而，从而的距离为的法向量，可求得的大小为，所以根据余弦定理可得的大小为．∴，∴中，∵，∴∵，∴∴∴）．从而，，也即，．的法向量，∴∴∴（不合，舍去）．AE=的大小为18．（13分）（2013•河东区二模）已知有两个数列{a n }，{b n }，它们的前n 项和分别记为S n，T n ，且数列{a n }是各项均为正数的等比数列，S m =26，前m 项中数值最大的项的值为18，S 2m =728，又（I ）求数列{a n }，{b n }的通项公式．（II ）若数列{c n }满足c n =b n a n ，求数列{c n }的前n 项和P n ．，利用得，∴即及得，n…∴，…19．（14分）（2013•河东区二模）已知两圆C1：x2+y2﹣2x=0，C2：（x+1）2+y2=4的圆心分别为C1，C2，P为一个动点，且|PC1|+|PC2|=2．（1）求动点P的轨迹M的方程；（2）是否存在过点A（2，0）的直线l与轨迹M交于不同的两点C、D，使得|C1C|=|C1D|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．＞2a=从而可得线段=＞=椭圆的方程为，即动点的方程为；由方程组得（，解得﹣＜，当﹣＜，==20．（14分）（2013•河东区二模）已知函数f（x）=e x﹣kx，x∈R（e是自然对数的底数，e=2.71828…）（1）若k=e，求函数f（x）的极值；（2）若k∈R，求函数f（x）的单调区间；（3）若k∈R，讨论函数f（x）在（﹣∞，4]上的零点个数．，，解得点，或解得或综上所述，当，设切点坐标为，则即切线的斜率是所以由此，还可以知道，当，所以时，综上所述，当。
天津市河东区高考数学二模试卷 理(含解析)
2016年天津市河东区高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求.1．i是虚数单位，已知=bi+1，则a+b为（）A．﹣2 B．0 C．2 D．1﹣i2．执行如图所示的程序框图，则S的值为（）A．55 B．65 C．36 D．783．已知双曲线的一个焦点为F1（5，0），它的渐近线方程为y=±x，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．4．已知函数f（x）=lnx与g（x）=，则它们的图象交点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．不确定5．“a=2“是“点P（2，0）不在圆x2﹣2ax+a2+y2﹣4y=0外”的什么条件（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件 D．充要条件6．在三角形ABC中，∠A的平分线为AD，点D在边BC上，AD=3，AC=4，CD=2，则cosA的值为（）A．B．C．﹣D．7．如图所示，在三角形ABC中，AD⊥BC，AD=1，BC=4，点E为AC的中点， =，则AB的长度为（）A．2 B．C．D．8．已知f（c）=（c﹣a）（c﹣b），其中a+b=1﹣c且c≥0，a≥0，b≥0．则f（c）的取值范围为（）A．[﹣，1] B．[0，1] C．[0，] D．[﹣，1]二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.）9．某学校的学生人数为高一年级150人，高二年级180人，高三年级210人，为了调查该学校学生视力情况需要抽取72人作为样本，若采用分层抽样的方式，则高一和高二年级一共抽取的人数为．10．（﹣）5的展开式中的常数项是（用数字作答）．11．如图所示，一款儿童玩具的三视图中俯视图是以3为半径的圆，则该儿童玩具的体积为．12．曲线y=sinx与直线y=x所围成的平面图形的面积是．13．如图所示，圆O上的弦AB不为直径，DA切圆O于点A，点E在BA的延长线上且DE∥AC，点C为BD与圆交点，若AE=3，DE=6，CD=2，则AD= ．14．已知函数f（x）=|x﹣a|+a，g（x）=4﹣x2，若存在x∈R使g（x）≥f（x），则a的取值范围是．三、解答题：（本大题6个题，共80分）15．已知函数f（x）=cos（2x﹣）sin2x﹣（x∈R）（1）求函数f（x）的最小正周期及其单调减区间；（2）求函数f（x）在[﹣，0]上的最大值和最小值．16．某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语，2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问．（1）在选派的3人中恰有2人会法语的概率；（2）在选派的3人中既会法语又会英语的人数ξ的分布列与期望．17．如图四棱锥P﹣ABCD，三角形ABC为正三角形，边长为2，AD⊥DC，AD=1，PO垂直于平面ABCD于O，O为AC的中点，PO=1．（1）证明PA⊥BO；（2）证明DO∥平面PAB；（3）平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值．18．椭圆C：=1（a＞b＞0）的右顶点为Q，O为坐标原点，过OQ的中点作x轴的垂钱与椭圆在第一象限交于点A，点A的纵坐标为c，c为半焦距．（1）求椭圆的离心率；（2）过点A斜率为的直线l与椭圆交于另一点B，以AB为直径的圆过点P（，），求三角形APB的面积．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}为等差数列，b1=﹣1，b n＞0（n≥2），b2S n+a n=2且3a2=2a3+a1．（1）求{a n}、{b n}的通项公式；（2）设c n=，T n=++…+，证明：T n＜．20．已知函数f（x）=ae x x﹣2ae x﹣x2+x．（1）求函数f（x）在（2，f（2））处切线方程；（2）讨论函数f（x）的单调区间；（3）对任意x1，x2∈[0，1]，f（x2）﹣f（x1）≤a+1恒成立，求a的范围．2016年天津市河东区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求.1．i是虚数单位，已知=bi+1，则a+b为（）A．﹣2 B．0 C．2 D．1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得a，b的值，则答案可求．【解答】解：由==bi+1，得a=1，b=﹣1，∴a+b=0．故选：B．2．执行如图所示的程序框图，则S的值为（）A．55 B．65 C．36 D．78【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的a，S，i的值，当i=13时不满足条件i≤12，退出循环，输出S的值为78，从而得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得a=0，i=1，S=0执行循环体，a=3，S=3，i=3满足条件i≤12，执行循环体，a=7，S=10，i=5满足条件i≤12，执行循环体，a=11，S=21，i=7满足条件i≤12，执行循环体，a=15，S=36，i=9满足条件i≤12，执行循环体，a=19，S=55，i=11满足条件i≤12，执行循环体，a=23，S=78，i=13不满足条件i≤12，退出循环，输出S的值为78．故选：D．3．已知双曲线的一个焦点为F1（5，0），它的渐近线方程为y=±x，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的渐近线方程，利用待定系数法进行求解即可．【解答】解：∵双曲线的渐近线方程为y=±x，即，∴对应的双曲线方程为，∵双曲线的一个焦点为F1（5，0），∴c=5，且λ＞0，则﹣=1，则a2=9λ，b2=16λ，则c2=9λ+16λ=25λ=25，则λ=1，即双曲线的方程为，故选：C4．已知函数f（x）=lnx与g（x）=，则它们的图象交点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．不确定【考点】函数的图象．【分析】令h（x）=lnx﹣，判断h（x）的单调性并计算h（x）的极值，根据极值与0的大小关系判断h（x）的零点个数，得出答案．【解答】解：令h（x）=lnx﹣，则h′（x）=．∴当0＜x＜e时，h′（x）＞0，当x＞e时，h′（x）＜0．∴当x=e时，h（x）取得最大值h（e）=0．∴h（x）=lnx﹣只有一个零点，即f（x）与g（x）的图象只有1个交点，故选：B．5．“a=2“是“点P（2，0）不在圆x2﹣2ax+a2+y2﹣4y=0外”的什么条件（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件 D．充要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】点P（2，0）不在圆x2﹣2ax+a2+y2﹣4y=0外，则≤4，解出即可判断出结论．【解答】解：圆x2﹣2ax+a2+y2﹣4y=0配方化为：（x﹣a）2+（y﹣2）2=4，若点P（2，0）不在圆x2﹣2ax+a2+y2﹣4y=0外，则≤4，解得≤a≤2+2，∴“a=2“是“点P（2，0）不在圆x2﹣2ax+a2+y2﹣4y=0外”的充分不必要条件．故选：A．6．在三角形ABC中，∠A的平分线为AD，点D在边BC上，AD=3，AC=4，CD=2，则cosA的值为（）A．B．C．﹣D．【考点】余弦定理的应用；三角形中的几何计算．【分析】直接利用余弦定理求出A的一半的余弦函数，然后利用二倍角公式求解即可．【解答】解：在三角形ABC中，∠A的平分线为AD，点D在边BC上，AD=3，AC=4，CD=2，则cos===，cosA=2cos2﹣1=2×﹣1=．故选：D．7．如图所示，在三角形ABC中，AD⊥BC，AD=1，BC=4，点E为AC的中点， =，则AB的长度为（）A．2 B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可以D为坐标原点，BC，AD所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，并设BD=x，从而CD=4﹣x，这样便可写出图形上各点的坐标，从而可求出向量的坐标，根据进行向量数量积的坐标运算便可建立关于x的方程，解出x，从而得出点B的坐标，从而便可得出AB的长度．【解答】解：以D为原点，分别以BC，AD所在直线为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，设BD=x，CD=4﹣x，则：D（0，0），A（0，﹣1），B（﹣x，0），C（4﹣x，0），E（）；∴；∴；∵x＞0，∴解得x=1；∴B（﹣1，0），又A（0，﹣1）；∴．故选：C．8．已知f（c）=（c﹣a）（c﹣b），其中a+b=1﹣c且c≥0，a≥0，b≥0．则f（c）的取值范围为（）A．[﹣，1] B．[0，1] C．[0，] D．[﹣，1]【考点】函数的值域．【分析】由f（c）=（c﹣a）（c﹣b）=c2﹣（a+b）c+ab，缩小后利用配方法求得f（c）的最小值；然后再由基本不等式放大，再由配方法求得f（c）的最大值．【解答】解：f（c）=（c﹣a）（c﹣b）=c2﹣（a+b）c+ab≥c2﹣c（a+b）=c2﹣c（1﹣c）=，当c=，a=0，b=时，f（c）=，∴f（c）的最小值为﹣；又f（c）=c2﹣（1﹣c）c+ab===，由0≤c=1﹣a﹣b≤1，得当c=1时，f（c）有最大值为1．∴f（c）的取值范围为[]．故选：A．二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.）9．某学校的学生人数为高一年级150人，高二年级180人，高三年级210人，为了调查该学校学生视力情况需要抽取72人作为样本，若采用分层抽样的方式，则高一和高二年级一共抽取的人数为44 ．【考点】分层抽样方法．【分析】先求出每个个体被抽到的概率以及高一和高二年级的总人数，用高一和高二年级的总人数乘以每个个体被抽到的概率，即得所求．【解答】解：每个个体被抽到的概率等于=，而高一和高二年级的总人数是 150+180=330，故高一和高二年级一共抽取的人数为330×=44，故答案为：4410．（﹣）5的展开式中的常数项是﹣80 （用数字作答）．【考点】二项式系数的性质．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．【解答】解：（﹣）5的二项展开式的通项公式为T r+1=•（）5﹣r•（﹣1）r•（）r=（﹣2）r••，令15﹣5r=0，解得r=3，故展开式中的常数项为﹣80．故答案为：﹣80．11．如图所示，一款儿童玩具的三视图中俯视图是以3为半径的圆，则该儿童玩具的体积为54π．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为上下两部分组成，上面是一个球，下面是一个圆锥．利用体积计算公式即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体为上下两部分组成，上面是一个球，下面是一个圆锥．∴该儿童玩具的体积V=×33+×6=54π．故答案为：54π．12．曲线y=sinx与直线y=x所围成的平面图形的面积是2﹣．【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】分别画出直线y=x与曲线y=sinx的图象，确定出交点，积分区间，则问题可解【解答】解：分别画出直线y=x与曲线y=sinx，如图所示，则y=x与曲线y=sinx的交点坐标是（﹣，0），（0，0），（，0），∴直线y=x与曲线y=sinx围成的区域面积S=2（sinx﹣x）dx=2（﹣cosx﹣x2）|=2[（0﹣）+1]|=2﹣；故答案为：2﹣．13．如图所示，圆O上的弦AB不为直径，DA切圆O于点A，点E在BA的延长线上且DE∥AC，点C为BD与圆交点，若AE=3，DE=6，CD=2，则AD= 4 ．【考点】弦切角；与圆有关的比例线段．【分析】利用圆的弦切角定理与平行线的性质可证明△ADE∽△DBE．解得AB，再利用平行线的性质可得BC，利用切线长定理即可得出．【解答】解：∵DA切圆O于点A，∴∠DAC=∠B．∵DE∥AC，∴∠DAC=∠ADE．∴∠ADE=∠B．又∠AED公用，∴△ADE∽△DBE．∴，即=，解得AB=9．由DE∥AC，∴=，∴，解得BC=6．∵DA切圆O于点A，∴AD2=DC•DB=2×（2+6）=16，解得AD=4．故答案为：4．14．已知函数f（x）=|x﹣a|+a，g（x）=4﹣x2，若存在x∈R使g（x）≥f（x），则a的取值范围是．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】通过讨论x的范围结合二次函数的性质得到△≥0，求出a的范围即可．【解答】解：若存在x∈R使g（x）≥f（x），即x2+|x﹣a|+a﹣4≤0有解，x≥a时，x2+x﹣4≤0，显然有解，x＜a时，x2﹣x+2a﹣4≤0，由△=1﹣4（2a﹣4）≥0，解得：a≤，故答案为：．三、解答题：（本大题6个题，共80分）15．已知函数f（x）=cos（2x﹣）sin2x﹣（x∈R）（1）求函数f（x）的最小正周期及其单调减区间；（2）求函数f（x）在[﹣，0]上的最大值和最小值．【考点】正弦函数的单调性；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．【分析】（1）利用倍角公式降幂，再由两角和与差的正弦化积，由周期公式求得周期，再由复合函数的单调性求得函数f（x）的单调减区间；（2）由x得范围求出相位的范围，则函数f（x）在[﹣，0]上的最大值和最小值可求．【解答】解：（1）=，最小正周期T=．由，得，∴函数f（x）的单调减区间为[]，k∈Z；（2）由x∈[﹣，0]，得4x∈[]，∴，则f（x）在[﹣，0]上的最大值为，最小值为．16．某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语，2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问．（1）在选派的3人中恰有2人会法语的概率；（2）在选派的3人中既会法语又会英语的人数ξ的分布列与期望．【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）直接利用古典概型的概率计算方法求解即可．（2）ξ的取值为0、1、2、3，求出对应的概率，得到分布列然后求解期望．【解答】解：（1）事件A“选派的三人中恰有2人会法语的概率为；…（2）ξ的取值为0、1、2、3，则，，，；分布列为：ξ0 1 2 3P．…17．如图四棱锥P﹣ABCD，三角形ABC为正三角形，边长为2，AD⊥DC，AD=1，PO垂直于平面ABCD于O，O为AC的中点，PO=1．（1）证明PA⊥BO；（2）证明DO∥平面PAB；（3）平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）以A为原点建立空间直角坐标系A﹣xyz，求出相关点的坐标，推出，，利用，证明PA⊥BO．（2）求出平面APB法向量为=（x0，y0，z0），求出，通过，证明DO∥平面PAB．（3）求出平面DPC法向量为，结合（2），利用空间向量的数量积求解平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值．【解答】解：（1）证明：如图以A为原点建立空间直角坐标系A﹣xyz，则，A（0，0，0），B（，﹣1，0），C（，1，0），D（0，1，0），O（，，0），P（，，1）…=（，，1），=（1，，0），，∴PA⊥BO．…（2）证明： =（，，1），=（，﹣1，0），设平面APB法向量为=（x0，y0，z0）可得，令x°=1，则=（1，，）…．=（，，0），，DO∥平面PAB…（3）=（，，1），=（，0，0）设平面DPC法向量为，可得，令y°=1，则=（0，1，）…．平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值为…18．椭圆C：=1（a＞b＞0）的右顶点为Q，O为坐标原点，过OQ的中点作x轴的垂钱与椭圆在第一象限交于点A，点A的纵坐标为c，c为半焦距．（1）求椭圆的离心率；（2）过点A斜率为的直线l与椭圆交于另一点B，以AB为直径的圆过点P（，），求三角形APB的面积．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意得到A点坐标，代入椭圆方程即可求得椭圆的离心率；（2）把椭圆方程用含有a的代数式表示，写出直线l的方程，联立直线方程和椭圆方程，求得B的坐标，由数量积为0求得a值，得到，代入三角形面积公式得答案．【解答】解：（1）由题意可知，点A的坐标为（，），∴，即，∴b2=3c2，联立b2=a2﹣c2，得a2﹣c2=3c2，即a2=4c2，∴；（2）由（1）得，A（），则过A（）且斜率为的直线方程为y﹣=（x﹣），即y=，椭圆方程为，联立，得2x2+ax﹣a2=0，解得：B（﹣a，0），∵AB为直径的圆过点P（，），∴，即﹣（）（）﹣=0．解得：a=﹣5（舍），或a=．∴，，则=，，∴=．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}为等差数列，b1=﹣1，b n＞0（n≥2），b2S n+a n=2且3a2=2a3+a1．（1）求{a n}、{b n}的通项公式；（2）设c n=，T n=++…+，证明：T n＜．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）设b n的公差为d，d＞1，b1=﹣1，b n＞0（n≥2），b2S n+a n=2且3a2=2a3+a1．求出d，然后求解{b n}、{a n}的通项公式．（2）c n=，利用错位相减法求解T n，即可证明T n＜．【解答】解：（1）设b n的公差为d，d＞1，b2=﹣1+d，b n=﹣1+d（n﹣1）当n=1时，当n≥2时，b2S n+a n①b2S n﹣1+a n﹣1②由①﹣②得到，由已知，解为d=2，d=1（舍）{b n}、{a n}的通项公式分别为n∈N*…（2）证明：、当n≥2时，，设①②由①﹣②得到，整理为．∴…20．已知函数f（x）=ae x x﹣2ae x﹣x2+x．（1）求函数f（x）在（2，f（2））处切线方程；（2）讨论函数f（x）的单调区间；（3）对任意x1，x2∈[0，1]，f（x2）﹣f（x1）≤a+1恒成立，求a的范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，运用点斜式方程可得切线的方程；（2）求出f（x）的导数f′（x）=（x﹣1）（ae x﹣1），对a讨论，分a≤0时，a=时，a ＞时，0＜a＜时，由导数大于0，可得增区间；导数小于0可得减区间；（3）通过讨论a的范围，确定函数在闭区间[0，1]上的单调性，求出f（x）在[0，1]上的最大值和最小值，解关于a的不等式，求出即可．【解答】解：（1）函数f（x）=ae x x﹣2ae x﹣x2+x的导数为：f′（x）=a（e x+xe x）﹣2ae x﹣x+1=（x﹣1）（ae x﹣1），可得f（x）在（2，f（2））处切线斜率为ae2﹣1，切点为（2，0），即有切线的方程为y﹣0=（ae2﹣1）（x﹣2），即为y=（ae2﹣1）（x﹣2）；（2）由f（x）的导数为f′（x）=（x﹣1）（ae x﹣1），①当a=0时，f′（x）=﹣（x﹣1），当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）递减；当x＜1时，f′（x）＞0，f（x）递增；②当a＜0时，当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）递减；当x＜1时，f′（x）＞0，f（x）递增；③当a＞0时，若a=，则f′（x）=（x﹣1）（e x﹣1﹣1），f（x）在R上递增；若a＞，则f′（x）＞0即为（x﹣1）（x﹣ln）＞0，可得x＞1或x＜ln；f′（x）＜0即为（x﹣1）（x﹣ln）＜0，可得ln＜x＜1；若0＜a＜，则f′（x）＞0即为（x﹣1）（x﹣ln）＞0，可得x＜1或x＞ln；f′（x）＜0即为（x﹣1）（x﹣ln）＜0，可得1＜x＜ln．综上可得，a≤0时，f（x）的增区间为（﹣∞，1），减区间为（1，+∞）；a=时，f（x）的增区间为R；a＞时，f（x）的增区间为（1，+∞），（﹣∞，ln），减区间为（ln，1）；0＜a＜时，f（x）的增区间为（ln，+∞），（﹣∞，1），减区间为（1，ln）；（3）由（2）得：①a≤0时，f（x）在[0，1]递增，f（x）max=f（1）=﹣ae，f（x）min=f（0）=﹣2a，∴﹣ae+2a≤a+1，解得：≤a≤0，②0＜a≤时，ln＞1，∴f（x）在[0，1]递增，f（x）max=f（1）=﹣ae，f（x）min=f（0）=﹣2a，∴﹣ae+2a≤a+1，解得：≤a，故0＜a≤符合题意，③＜a＜1时，0＜ln＜1，f（x）在[0，ln）递增，在（ln，1]递减，而f（1）﹣f（0）=+a（2﹣e）＜0，∴f（x）max=f（ln）=，f（x）min=f（1）=﹣ae，∴2ln﹣2﹣+ae﹣）≤a+1，不等式无解，④a≥1时，f（x）在[0，1]递减，∴f（x）max=f（0）=﹣2a，f（x）min=f（1）=﹣ae，∴﹣2a+ae﹣≤a+1，解得：a≥﹣，综上，a∈[，]∪[1，+∞）．。