1.4生活中的优化问题1
1 2 产品的价格p（元/吨）之间的关系式为：p 24 200 x , 5
【解析】每月生产x吨产品时的利润为 1 2 f x (24 200 x )x (50 000 200x) 5 1 3 由 f x 3 x 2 24 000 0 x 24 000x 50 000(x 0) 5 5 解得：x=200或x=-200（舍去）．因为f(x)在［0,+≦)内只 有一个点x=200
（1）求y=f (x)在[a，b]内的极值(极大值与极小值)；
（2）将函数的各极值与端点处的函数值f (a)、f (b) 比较，
其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
特别地，如果函数在给定区间内只有一个极值点， 则这个极值点一定是最值点。
例1：海报版面尺寸的设计 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进 行宣传。现让你设计一张如图3.4-1所示的竖向 张贴的海报，要求版心面积为128dm2，上、下 两边各空2dm，左、右两边各空1dm，如何设 计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？
（1）若a≤0，f′(x)=ex-a≥0恒成立，即f(x)在R上递增. 若a>0,ex-a≥0,∴ex≥a,x≥lna.
∴f(x)的单调递增区间为(lna,+∞).
（2）∵f（x）在R内单调递增，∴f′(x)≥0在R上恒成立.
∴ex-a≥0，即a≤ex在R上恒成立.
∴a≤（ex）min，又∵ex>0，∴a≤0. （3）解法一由题意知ex-a≤0在（-∞，0］上恒成立.
【典例】（2010·湖北高考）为了在夏季降温和冬季供 暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热 层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚 的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费 用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关 k Cx 0 x 10 ， 若不建隔热层，每年能源 系： 3x 5 消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能 源消耗费用之和． （1）求k的值及f(x)的表达式； （2）隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求 最小值． 【审题指导】根据自变量x和函数值C的实际意义以及题 目条件可知C（0）＝8.由此可求出f(x)的表达式，进而 求f(x)的最小值.
V V V 2V 3 令S ( r ) 2 4pr 0 ,解得 r ,从而h 2 pr 2p V 2 r 3 p( ) 4V V 2p 3 23 ,即h=2r. p 2p
由于S(r)只有一个极值,所以它是最小值. 答:当罐的高与底直径相等时,所用的材料最省.
【变式】某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x（吨）与
于是宽为 因此,
128
=
=16是函数 S 的极小值点，也是最小值点.所以，
当版心高为16dm，宽为时8dm， 能使四周空白面积最小。
如何解决优化问题?
优化问题
用函数表示的数学问题
优化问题的答案
用导数解决数学问题
问题情景二：饮料瓶大小对饮料公司利润的影响
下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品，若它们 的价格如下表所示，则 （1）对消费者而言，选择哪一种更合算呢？ （2）对制造商而言，哪一种的利润更大？
答:当x=40cm时,箱子容积最大,最大容积是16000cm3.
说明
1、设出变量找出函数关系式； 确定出定义域； 所得结果符合问题的实际意义 2、若函数 f ( x )在定义域内只有一个极值点x0 ， 则不需与端点比较， f ( x0 )即是所求的最大值或 最小值. (所说区间的也适用于开区间或无穷区间)
且生产x吨的成本为R=50 000+200x（元）.问该厂每月生产多少吨
产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润=收入－成本）
1 3 f 200 200 24 000 200 50 000 5
= 3150 000（元）
答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元.
规格（L） 价格（元）
2 5.1
1.25 4.5
0.6 2.5
例1、 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造 成本是0.8pr2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出 售1ml的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制造的瓶子的 最大半径为6cm，则每瓶饮料的利润何时最大，何时最小呢？ 解：∵每个瓶的容积为:
（2）f x 6
2400
3x 5
2
25 54(x ) x 5 3 , 2 3x 5
25 令f′(x)=0，得x=5或 x （舍去）， 3 当x∈(0,5)时，f′(x)<0，当x∈(5,10)时，
f′(x)>0， 故x=5时f(x)取得最小值，且最小值 因此当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小， 且最小值为70万元.
r f '(r) f (r) (0，2)
减函数↘
2 0 -1.07p
(2，6]
+
增函数↗
∵f (r)在(2，6]上只有一个极值点 ∴由上表可知，f (2)=-1.07p为利润的最小值
例1、 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造 成本是0.8pr2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出 售1ml的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制造的瓶子的 最大半径为6cm，则每瓶饮料的利润何时最大，何时最小呢？
y
从图中，你 还能看出什 么吗？
r 2 f (r ) 0.8p ( r ) 3
3
2
o
3
r
从图中可以看出: 1、当半径为2cm时,利润最小,这时f(2)<0, 2、当半径为6cm时，利润最大。
例1、在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去
相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成 一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱 子容积最大？最大容积是多少？
4 3 ∴每瓶饮料的利润： y f ( r ) 0.2 pr 0.8pr 2 3 r3 2 = 0.8π( - r ) (0 r 6) 3
4 3 pr ( ml ) 3
令f ' (r ) = 0.8π r - 2r ) 0，得r = 2 (
2
r f '(r) f (r)
(0，2)
x
x x
60
x
60
解:设箱底边长为x,则箱高h=(60-x)/2.箱子容积
V(x)=x2h=(60x2-x3)/2(0<x<60).
3 2 令V ( x ) 60x x 0 ,解得x=0(舍去),x=40.且V(40)= 2 1过大(接近60)时,箱子 的容积很小,因此,16000是最大值.
解：设每瓶饮料的利润为y，则 43 32 r y f ( r ) 0.2 π( pr r )0.80 r 2r 6) ( p = 0.8 33 ∵当r∈(0，2)时， f ( r ) < f (0) 0 而f (6)=28.8p，故f (6)是最大值 答：当瓶子半径为6cm时，每瓶饮料的利润最大， 当瓶子半径为2cm时，每瓶饮料的利润最小.
（2）因为f(x)在x=-1处取得极值， 所以f′(-1)=3×(-1)2-3a=0,∴a=1. 所以f(x)=x3-3x-1,f′(x)=3x2-3, 由f′(x)=0解得x1=-1,x2=1.
由（1）中f(x)的单调性可知，f(x)在x=-1处取得极大值f(1)=1，
在x=1处取得极小值f(1)=-3. 因为直线y=m与函数y=f(x)的图象有三个不同的交点，又f(-
3.4 生活中的优化问题举例
生活中经常会遇到求什么条件下可使用料最 省，利润最大，效率最高等问题，这些问题通常 称为优化问题.这往往可以归结为求函数的最大值 或最小值问题.其中不少问题可以运用导数这一有 力工具加以解决.
复习：如何用导数来求函数的最值？
一般地，若函数y=f (x)在[a，b]上的图象是 一条连续不断的曲线，则求f (x) 的最值的步骤是：
【规范解答】（1）设隔热层厚度xcm，由题意建
k 筑物每年的能源消耗费用为 C x 3x 5 0 x 10 ， 再由C（0）＝8得k=40，故 C x 40 0 x 10 ； 3x 5
又x厘米厚的隔热层建造费用为6x，
所以由题意
40 800 f x 20 6x 6x 0 x 10 . 3x 5 3x 5
解析：（1）f′(x)=3x2-3a=3(x2-a), ①当a＜0时，对x∈R，有f′(x)＞0,所以当a＜0时,f(x)的单
调增区间为(-∞,+∞);
②当a＞0时，由f′(x)＞0解得x＜ a 或x＞ 由f′(x)＜0解得 a ＜x＜
a ,
a ,所以当a＞0时， f(x)的单调增区间为(-∞, a ),( a ,+∞)； f(x)的单调减区间为( a , a ).
800 f 5 6 5 70. 15 5
设a为实数,函数f(x)=x3-x2-x+a.
(1)求f(x)的极值. (2)当a在什么范围内取值时,曲线
y= f(x)与x轴仅有一个交点.
两个交点呢，三个交点呢？
典例 (2009年陕西卷）已知函数f(x)=x3-3ax1,a≠0. （1）求f(x)的单调区间； （2）若f(x)在x=-1处取得极值，直线y=m与y=f(x) 的图象有三个不同的交点，求m的取值范围.
例2、要生产一批带盖的圆柱形铁桶，要求每个
铁桶的容积为定值V，怎样设计桶的底面半径才 能使材料最省？此时高与底面半径比为多少？
r
h
解:设圆柱的高为h,底半径为r,则表面积S=2πrh+2πr2.
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1.4 生活中的优化问题举例
=3.2-2x(m).
4
高为
由题意知 x>0,x+0.5>0,且 3.2-2x>0,
∴0<x<1.6.
设容器的容积为 V m3,
则有 V=x(x+0.5)(3.2-2x)
=-2x3+2.2x2+1.6x(0<x<1.6).
∴V'=-6x2+4.4x+1.6.
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令 V'=0,有 15x2-11x-4=0,
解得
4
x1=1,x2=-15(舍去).
∴当 x∈(0,1)时,V'(x)>0,V(x)为增函数,
x∈(1,1.6)时,V'(x)<0,V(x)为减函数.
∴V 在 x∈(0,1.6)时取极大值 V(1)=1.8,这个极大值就是 V 在
x∈(0,1.6)时的最大值,即 Vmax=1.8.这时容器的高为 1.2 m.
此时 Smax=42=16(m2).
答案:16 m2
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2.用总长为 14.8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架,如果所
制作容器的底面的一边比另一边长 0.5 m,那么高为多少时容器的容
积最大?并求出它的最大容积.
解:设容器底面短边的边长为 x m,则另一边长为(x+0.5) m,
14.8-4x-4(x+0.5)
思路分析:表示面积时,首先要建立适当的平面直角坐标系,借助
椭圆的方程,可表示出等腰梯形的高.
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解:(1)依题意,以 AB 的中点 O 为原点建立平面直角坐标系(如
图所示),则点 C 的横坐标为 x,点 C 的纵坐标为
4
高为
由题意知 x>0,x+0.5>0,且 3.2-2x>0,
∴0<x<1.6.
设容器的容积为 V m3,
则有 V=x(x+0.5)(3.2-2x)
=-2x3+2.2x2+1.6x(0<x<1.6).
∴V'=-6x2+4.4x+1.6.
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令 V'=0,有 15x2-11x-4=0,
解得
4
x1=1,x2=-15(舍去).
∴当 x∈(0,1)时,V'(x)>0,V(x)为增函数,
x∈(1,1.6)时,V'(x)<0,V(x)为减函数.
∴V 在 x∈(0,1.6)时取极大值 V(1)=1.8,这个极大值就是 V 在
x∈(0,1.6)时的最大值,即 Vmax=1.8.这时容器的高为 1.2 m.
此时 Smax=42=16(m2).
答案:16 m2
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2.用总长为 14.8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架,如果所
制作容器的底面的一边比另一边长 0.5 m,那么高为多少时容器的容
积最大?并求出它的最大容积.
解:设容器底面短边的边长为 x m,则另一边长为(x+0.5) m,
14.8-4x-4(x+0.5)
思路分析:表示面积时,首先要建立适当的平面直角坐标系,借助
椭圆的方程,可表示出等腰梯形的高.
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解:(1)依题意,以 AB 的中点 O 为原点建立平面直角坐标系(如
图所示),则点 C 的横坐标为 x,点 C 的纵坐标为
数学：1.4《生活中的优化问题举例》教案(1)(新人教A版选修2-2)
§1.4生活中的优化问题举例（2课时）教学目标：1． 使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。
2． 提高将实际问题转化为数学问题的能力。
教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题。
教学难点：利用导数解决生活中的一些优化问题。
教学过程：一．创设情景生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题。
二．新课讲授导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。
解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。
再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具。
利用导数解决优化问题的基本思路：三．典例分析例1．汽油的使用效率何时最高我们知道，汽油的消耗量w （单位：L ）与汽车的速度v （单位：km/h ）之间有一定的关系，汽油的消耗量w 是汽车速度v 的函数．根据你的生活经验，思考下面两个问题：（1） 是不是汽车的速度越快，汽车的消耗量越大？（2） “汽油的使用率最高”的含义是什么？分析：研究汽油的使用效率（单位：L/m ）就是研究秋游消耗量与汽车行驶路程的比值．如果用G 表示每千米平均的汽油消耗量，那么w G s=，其中，w 表示汽油消耗量（单位：L ），s 表示汽油行驶的路程（单位：km ）．这样，求“每千米路程的汽油消耗量最少”，就是求G 的最小值的问题通过大量的统计数据，并对数据进行分析、研究，人们发现，汽车在行驶过程中，汽油平均消耗率g （即每小时的汽油消耗量，单位：L/h ）与汽车行驶的平均速度v （单位：km/h ）之间有如图所示的函数关系()g f v =。
1.4 生活中的优化问题---市级优质课课件
价为180元/天时，房间会全部住满；房间单
价每增加10元，就会有一个房间空闲。如果
游客居住房间，宾馆每天每间需花费20元的
各种维护费用，房间定价为多少时，宾馆利 润最大？
解：设每个房间每天的定价为x元， x 180 则利润f(x)=(50)(x-20) 10 1 2 =- x 70 x 1360(180 x 680) 10 1 ' 令f ( x) x 70 0, 解得x 350. 5 当x (180,350)时，f ' ( x) 0; 当x (350, 680)时，f ' ( x) 0. 因此，x 350是函数f ( x)的极大值点，也是最大值点， 所以当每个房间定价为350元/天时，宾馆利润最大. 答：当每个房间定价为350元/天时，宾馆利润最大.
练习3：在边长为a的正方形铁皮的四角切去相 等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一 个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子 容积最大？
x
x
解:设箱底边长为 x,则箱高
2
3x 求导数，得V ( x) ax 2 2
ax a 2 x V ( x) Sh x ( ) x , (0 x a) 2 22 2
ax h 2 箱子容积 3
2a 即当x 时，箱子容积最大。 3 2a
3x 2a 令V ( x) ax 0，解得x 或x （舍去） 0 2 32a 2a 当x (0, )时，V ( x) 0；当x ( , a)时，V ( x) 0. 3 3 2a x 是函数V ( x)的极大值点，也是最大值点。 3
新课标人教A版选修2—2第一章 导数及其应用
巩固练习
答案：D
答案：A
生活中的优化问题举例(27)
解决生活中优化问题的四个步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系，建立实际问题的数学模 型，写出实际问题中变量之间的函数关系y=f(x)； (2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)=0； (3)比较函数在区间端点和使f′(x)=0的点的数值的大小，最 大(小)者为最大(小)值； (4)写出答案.
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【解析】设圆锥的高为x cm，则底面半径为 202 xc2m，
其体积为V=1 πx(202-x2)(0<x<20)，
3
V′= 1π(400-3x2)，令V′=0，
3
解得x1=2 0
3
3 ，x2=
2(0舍去3 ).
3
当0<x<2 0 3 时，V′>0；当 2 0<x3 <20时，V′<0，
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2.解应用题的思路和方法
解应用题首先要在阅读材料、理解题意的基础上把实际问题抽
象成数学问题，就是从实际问题出发，抽象概括，利用数学知
识建立相应的数学模型，再利用数学知识对数学模型进行分析、
研究，得到数学结论，然后再把数学结论返回到实际问题中去.
其思路如下：
实际问题
数学化 转化成数学问题
问 决题
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2.在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再 把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底 的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？
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【解析】1.由题意，设矩形边长AD＝2x，则AB＝4-x2，
∴矩形面积为S=2x(4-x2)=8x-2x3(0<x<2).∴S′=8-6x2.
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【归纳】解答题1，2时的注意点与解答本题2时的关键点. 提示：(1)解答题1，2时，注意函数的定义域应该是实际问题 情境中符合实际情况的自变量的取值范围. (2)解答题2时，关键是正确地得到函数解析式后对函数极值点 的判断，当函数在给定的区间上只有一个极值点时，该极值点 为最值点.
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【解析】设圆锥的高为x cm，则底面半径为 202 xc2m，
其体积为V=1 πx(202-x2)(0<x<20)，
3
V′= 1π(400-3x2)，令V′=0，
3
解得x1=2 0
3
3 ，x2=
2(0舍去3 ).
3
当0<x<2 0 3 时，V′>0；当 2 0<x3 <20时，V′<0，
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2.解应用题的思路和方法
解应用题首先要在阅读材料、理解题意的基础上把实际问题抽
象成数学问题，就是从实际问题出发，抽象概括，利用数学知
识建立相应的数学模型，再利用数学知识对数学模型进行分析、
研究，得到数学结论，然后再把数学结论返回到实际问题中去.
其思路如下：
实际问题
数学化 转化成数学问题
问 决题
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2.在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再 把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底 的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？
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【解析】1.由题意，设矩形边长AD＝2x，则AB＝4-x2，
∴矩形面积为S=2x(4-x2)=8x-2x3(0<x<2).∴S′=8-6x2.
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【归纳】解答题1，2时的注意点与解答本题2时的关键点. 提示：(1)解答题1，2时，注意函数的定义域应该是实际问题 情境中符合实际情况的自变量的取值范围. (2)解答题2时，关键是正确地得到函数解析式后对函数极值点 的判断，当函数在给定的区间上只有一个极值点时，该极值点 为最值点.
1.4生活中的优化问题举例
解：设当汽车以x km/h的速度行驶时，从甲地到乙地 的耗油量为h(x) L，则
1 3 100 3 h( x ) ( x x 8). 128000 80 x 1 2 800 15 x (0 x 120) 1280 x 4
x 800 x3 803 h '( x) 2 (0 x 120) 2 640 x 640 x
这里的w是汽油消耗量，s是汽车行驶的路程
W 若用G来表示每千米平均的汽油消耗量，则 G . S
例2、通过研究，人们发现汽车在行驶过程中，汽油的 平均消耗率 g（即每小时的汽油消耗量， 单位: L / h） 与汽车行驶的平均速度v（单位: km）之间，有如图的 函数关系 g = f (v) ，那么如何根据这个图象中的数据来 g 的几何意 解决汽油的使用效率最高的问题呢？ v w 义是什么？ 分析：每千米平均的汽油消耗量 G = ，这里 w是汽油 s 消耗量，s是汽车行驶的路程 g (L/h) ∵w=gt，s=vt 15 w gt g P(v，g) G = s vt v 10 g 所以由右图可知，当直线 OP 如图所示， 表示经过原点 v kmin f '(90) 为曲线的切线时，即斜率 k取 5 与曲线上的点 P(v，g)的直线 0.07 最小值时，汽油使用效率最高 的斜率k 90 120 v(km/h) O 30 50
例2、经统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的 耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式 可以表示为：
1 3 3 y x x 8(0 x 120). 128000 80
若已知甲、乙两地相距100千米。 （I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到 乙地要耗油为 17.5 升; （II）若速度为x千米/小时，则汽车从甲地到乙地需 行驶
1.4生活中的优化问题举例(三).ppt1
半径为 6cm时,利润最大 .
y 换一个角度: 如果 我 们不用导 数工具 ,直接 从函数的图象 (图 r3 2 1.4 4)上观察,你有什么发现? f r 0.8π 3 r 从图象上容 易看出,当 r 3 时,
f 3 0,即瓶子半径是 3cm 时, 饮料的利润与饮料瓶的成本恰
解：⑴P(x) = R(x) – C(x) = – 10x3 + 45x2 + 3240x – 5000 MP (x) = P ( x + 1 ) – P (x) = – 30x2 + 60x +3275 (其中 xN 且 x[1, 20]). ⑵∵ P( x ) = – 30x2 + 90x + 3240 = – 30( x +9 )(x – 12) ∴当 1< x < 12 时, P( x ) > 0, P(x)单调递增, 当 12 <x < 20 时, P( x ) < 0 , P ( x ) 单调递减. ∴ x = 12 时, P(x)取最大值,即年建造 12 艘船时, 公司 造船的年利润最大. ⑶由 MP(x ) = – 30( x – 1) 2 + 3305 (xN 且 x[1, 20]). ∴当 1< x ≤ 20 时，MP (x)单调递减. MP (x)是减函数说明:随着产量的增加,每艘利润与前一 台比较,利润在减少.
4 3 S 3 S S 3 h h 3h 由①得 b= h,代入②,∴l= 3 h 3 h h 3
l′ = 3
S S S S =0, ∴ h = , 当 h < 时， l ′ <0, h > 时，l′>0. 2 4 4 4 h 3 3 3
1.4生活中的优化问题举例
练习1、 一条长为l的铁丝截成两段，分别弯成两个 正方形，要使两个正方形的面积和最小， 两段铁丝的长度分别是多少？
解：设两段铁丝的长度分别为x,l-x,
其中0<x<l 则两个正方形面积和为
S
=
s1
+ s2
=( x)2 4
+( l
- x)2 4
=
1 (2x2 16
-
2lx
+
l2
)
S 1 (4x 2l) 1 (2x l)
生活中经常遇到求利润最大、用料 最省、效率最高等问题，这些问题称 为优化问题，优化问题有时也称为最 值问题．解决这些问题具有非常重要 的现实意义．
通过前面的学习，我们知道，导数是求函 数最大（小）值的有力工具，本节我们运 用导数，解决一些生活中的优化问题。
类型一：求面积、容积的最大问题
例1、海报版面尺寸的设计： 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传，
解：设版心的高为xdm，则版心的
1dm
m
宽 128 dm，此时四周空白面积为 2dm x
S( x) ( x 4)(128 2) 128 x
2x 512 8 ( x 0) x
S
'(
x
)
2
512 x2
2dm
S(
x)
2
x
512 x
8，S
'(
x)
2
512 x2
令S '(x) 0可解得x 1（6 x -16舍去）
V(x)=x2h=(60x2-x3)/2(0<x<60).
令
V(x)= 60x - 3 x2 = 0 2
,解得x=0(舍去),x=40.且
1.4生活中的优化问题(带答案)
1。
4生活中的优化问题举例1．要制做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高为() A。
错误!cm B．错误!cm C.错误!cm D．错误!cm ［答案] D2．用总长为6m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的相邻两边长之比为3:4，那么容器容积最大时，高为()A．0.5m B．1m C．0。
8m D．1.5m[答案］ A［解析］设容器底面相邻两边长分别为3x m、4x m,则高为错误!＝错误!(m），容积V＝3x·4x·错误!＝18x2－84x3错误!，V′＝36x－252x2,由V′＝0得x＝1或x＝0（舍去)．x∈错误!时，V′〉0，x∈错误!时，V′<0，7所以在x＝错误!处，V有最大值，此时高为0。
5m。
3．内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为(）A．R B．2R C.错误!R D．错误!R［答案］ C［解析］设圆锥高为h,底面半径为r，则R2＝（h－R）2＋r2，∴r2＝2Rh－h2, ∴V＝错误!πr2h＝错误!h(2Rh－h2)＝错误!πRh2－错误!h3，V′＝错误!πRh－πh2。
令V′＝0得h＝错误!R.当0<h〈错误!R时，V′〉0；当错误!<h〈2R时，V′〈0。
因此当h＝错误!R时，圆锥体积最大．4．福建炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时时，原油温度（单位:℃)为f（x）＝错误!x3－x2＋8(0≤x≤5），那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是（）A．8 B．错误!C．－1 D．－8［答案］ C[解析］瞬时变化率即为f′（x)＝x2－2x为二次函数，且f′(x）＝(x－1）2－1，又x∈[0,5],故x＝1时,f′（x）min＝－1.5．某厂生产某种产品x件的总成本：C(x)＝1 200＋错误!x3，又产品单价的平方与产品件数x成反比,生产100件这样的产品的单价为50元,总利润最大时，产量应定为__________件．[答案］25[解析]设产品单价为a元，又产品单价的平方与产品件数x成反比，即a2x＝k，由题知a＝错误!。
1.4生活中的优化问题举例课件人教新课标
2.利用导数解决生活中优化问题的一般步骤是什么? 剖析:利用导数解决生活中优化问题的一般步骤如下:
重难聚焦
名师点拨1.在求实际问题的最大(小)值时,一定要考虑实际问题的 意义,不符合实际意义的值应舍去. 2.在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'(x)=0的 情形,如果函数在这点有极大(小)值,那么不与端点值比较,也可以知 道这就是最大(小)值. 3.在解决实际优化问题时,不仅要注意将问题中涉及的变量关系用 函数关系表示,还应确定出函数关系中自变量的定义区间.
题型一
题型二
题型三
题型四
典例透析
利润最大问题 【例3】 某分公司经销某品牌产品,每件产品的成本为3元,并且每 件产品需向总公司交a(3≤a≤5)元的管理费,估计当每件产品的售 价为x(9≤x≤11)元时,一年的销售量为(12-x)2万件. (1)求分公司一年的利润L(单位:万元)与每件产品的售价x的函数关 系式; (2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润L最大?并求出 L的最大值Q(a). 分析:(1)利用题中等量关系找出L与x的函数关系式;(2)求出(1)中函 数关系式的导函数,再利用导数求最值.
当x=140时,y=175,即当x=140,y=175时,S取得最小值24 500. 故当广告的高为140 cm,宽为175 cm时,可使矩形广告的面积最小.
题型一
题型二
题型三
题型四
典例透析
典例透析
题型一
题型二
题型三
题型四
解:(1)隔热层厚度为 x cm,
由题意知每年能源消耗费用为 C(x)= 3xk+5, 再由 C(0)=8,得 k=40,因此 C(x)= 3x4+05. 而建造费用为 C1(x)=6x.
重难聚焦
名师点拨1.在求实际问题的最大(小)值时,一定要考虑实际问题的 意义,不符合实际意义的值应舍去. 2.在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'(x)=0的 情形,如果函数在这点有极大(小)值,那么不与端点值比较,也可以知 道这就是最大(小)值. 3.在解决实际优化问题时,不仅要注意将问题中涉及的变量关系用 函数关系表示,还应确定出函数关系中自变量的定义区间.
题型一
题型二
题型三
题型四
典例透析
利润最大问题 【例3】 某分公司经销某品牌产品,每件产品的成本为3元,并且每 件产品需向总公司交a(3≤a≤5)元的管理费,估计当每件产品的售 价为x(9≤x≤11)元时,一年的销售量为(12-x)2万件. (1)求分公司一年的利润L(单位:万元)与每件产品的售价x的函数关 系式; (2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润L最大?并求出 L的最大值Q(a). 分析:(1)利用题中等量关系找出L与x的函数关系式;(2)求出(1)中函 数关系式的导函数,再利用导数求最值.
当x=140时,y=175,即当x=140,y=175时,S取得最小值24 500. 故当广告的高为140 cm,宽为175 cm时,可使矩形广告的面积最小.
题型一
题型二
题型三
题型四
典例透析
典例透析
题型一
题型二
题型三
题型四
解:(1)隔热层厚度为 x cm,
由题意知每年能源消耗费用为 C(x)= 3xk+5, 再由 C(0)=8,得 k=40,因此 C(x)= 3x4+05. 而建造费用为 C1(x)=6x.
优化问题
2 32 8 72
512 当且仅当 2 x 即x 16时取等 x
此时版心的宽为 128 8(dm ) 16
答：应使用版心宽为8dm，长为 16dm，四周空白面积最小
例2、（利润最大问题）某制造商制造并 出售球形瓶装饮料.瓶子制造成本是 0.8π r2分.已知每出售1ml的饮料,可获 利0.2分,且瓶子的最大半径为6cm. １）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的 利润最大？ ２）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润 最小？
1.4 生活中的优化问题
-----优化问题与导数的综合应用
一、什么是优化问题？
生活中求“利润最大”、“用料最省”、 “效率最高”等问题叫优化问题
二、优化问题举例
例1、（面积最小问题）学校或班级举行活动， 通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如 图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积 为 128dm2, 上、下两边各空2dm,左、右两边各空 1dm。如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面 积最小？
（提示：总费用=司机工资+油费）
120 x3 120 解 : y 28 (6 ) 6 x 12000 x
7680 3 2 x (30 x 100 ) x 50
3 3 ( x 64000 ) ' y 25x 2
令y ' 0得x 40
当30 x 40时y 0,函数递减；
y
r3 f ( r ) 0.8 ( r2) 3
从图像你能看 出什么来？
o
2
3
r
例3、（费用最低）
某老板安排一名司机把 客户从A地送往B地，已知AB 两地相距 120KM。假设汽油价格是 6元 / L，当汽车以 xKM / h(30 x 100)的速度行驶时，耗油率 为（6 x3 ) L / h, 司机每小时的工资是 28元，如不考虑其他 12000 因素，请写出从 A地到B地的总费用y元，最经济的车速 是多少？