山东省潍坊市2020届高三三模数学试题及答案
0#! "
!槡'+
2#!
/# !
0#! -槡++#
'
分
当且仅当 #! -# 0#! #即 #-槡!时#三棱锥 203.9体积的最大值为槡++! , 分 法一'以 .为坐标原点#以 .2#.3#.4为 ##-#(轴建立 空间直角坐标系!
则 .!%#%#%" #2!槡!#%#%" #4!%#%#槡+" #9!%#槡!#槡+" # 所以)2(4-! 0槡!#%#槡+" #)4(9-!%#槡!#%" #平面 23.的法
所以 2.#20# 又因为 3.#平面 2.4#所以 3.#24# 所以 24#20# 所以+42.为两个平面所成的锐二面角的平面角# )% 分 在 BE*2.4中#易求得
=>;+42.-槡*)% #
所以平面 249与平面 23.所成的锐二面角的余弦值为 槡*)%! )! 分
所以 49%平面 23.#设平面 249"平面 23.-B#
则 B%49#又 3.%49#所以 B%3.#
又点 2是平面 249与平面 23.公共点#所以 B过点 2#
过点 2在圆内作 20%3.交圆于点 0#则直线 20与 B重合#
所以 20为平面 249与平面 23.的交线#
因为 20.3.#2.#3.#
高三数学答案 第"# 页 ! 共 ' 页"
所以对任意 #) ##! ,!%# /C" #%! #) " 87! #! " ! )! 分 !!!!)! 分"
解'!)" 7+! #" -) /!) /#" /!) /#"! /1 /!) /#" + 0!# 7+'! #" -) /!!) /#" /+!) /#" ! /1 /+!) /#" + 0) # 由于 #,! 0)! #%" #故 ) /#8%#因此 7+'! #" 8%#7+! #" 在! 0)! #%" 单调递增#
)%%%% D%&%%!' -!'! * 分
!!" 结合正态分布曲线和题意可知'
"! ;9(0+)" -%&%%)+* ' 分
"! (0+)!;9(0)" -)! !%&::4# 0%&',!'" -%&)*4#* , 分
高三数学参考答案及评分标准
一 单项选择题 每小题 * 分 共 #% 分 ) 0# 3231""* 0, 11$2
二 多项选择题 每小题 * 分 共 !% 分 :(123")%($3"))(123")!($23
三 填空题 每小题 * 分 共 !% 分
!%!%&'
)+!!")#!#! 0-+! -)")*!!!槡**")'! !! # !槡)## ,"
/+!)
/#" !
/1
/+!)
/#" + 0)
0+! +
/)" !) !
/#" + 0)
8!) /#" + 0) /!!) /#" + 0) /1 /+!) /#" + 0) 0+! + /)" !) /#" + 0) !
-+! + /)" !) /#" + 0) 0+! + /)" !) /#" + 0) -%#
!
!
所以 0+! #" 单调递增#0+! #" 90+!%" -%# %+! #" 98+! #" # ' 分
当 #,!%# /C" 时#!) /#" )9!) /#" )/) "! )-%#)#1#+ 0)" #
0+'! #"
-)
/!!)
/#"
/+!)
/#" !
/1
/+!)
/#" + 0)
所以 8! #" *&#-! 槡+! )% 分 ),!!)! 分" 解'!)" 因为四边形 394.为平行四边形# 所以 .4%39! 因为 93#平面 23.#所以 .4#平面 23.# 所以 .4#3.! 因为+2.3是以 23为直径的圆上的圆周角# 所以 3.#2.# 所以 3.#平面 2.4! # 分
又 .'.9!! #则易求得 '-!+ # # 分
所以 %! #" -!;<7!!#/!+ " * * 分
!!" 由题意知 7! #" -!;<7,!! #0!' " /!Байду номын сангаас - -!;<7!## ' 分
高三数学答案 第 ) 页!共 ' 页"
!!" *23.中#设 2.-##3.-槡# 0#! !% 9#9!" # 所以 @*23. -)! 2.23.-)! #2 槡# 0#! #
因为 29-槡4#23-!#所以 39-槡+# 所以 A203.9 -A9023. -)+ @*23.239
-槡'+#2 槡# 0#! -槡'+ 槡#! !#
即 #% -!#-% -! 0!=#
所以 # -!=!! 0!=" #得 =! 0#=/# -%#即 =-!#
所以抛物线 9的标准方程为 #! -#-* * 分
!!" 由题意知 2!!#)" #设 3! #) ###!) " #.! ####! " #
#!) 0) 则 >32-##) 0! -)# ! #) /!" # ' 分
#80) 且 #/% 时# %+! #" 98+! #" ! : 分
高三数学答案 第 * 页!共 ' 页"
! 分
[ ] 又 7+! 0)! " -) /)!
) 0! ) " + /)
/!
) !
"!
/1
/!
) !
"+
0!
-
! ) 0)
0! -!
)
0!
) !
" + /)
0!
!
9! 0! -%#
7+!%" -+ /) 0! -+ 0) 8%#
四 解答题 本大题共 ' 小题 共 4% 分
)4!!)% 分"
解!)" 由图象可得 2-!# ) 分
最小正周期 ?-# D!4)!! 0!+ " -!#则 &-!?!-!! ! 分
由 %!)4!!" -!;<7!4'!/'" -0!#
因为
#) /
0!#所以
>3.
-0 # # #) /!
4
分
3.所在直线方程为 -0##!) -#)0/#!! #0#) " #
{联立
-0#!) #
- 0# #) /!
!
#0#) "
#
#! -#-#
高三数学答案 第 + 页!共 ' 页"
因为 #/#) #得! #/#) " ! #) /!" /)' -%# 即 #!) /! #/!" #) /!#/)' -%# : 分 因为 *-! #/!"! 0#!!#/)'" $%# )% 分 即 #! 0##0'%$%# 故 #$)% 或 #! 0'! 经检验#当 #-0' 时#不满足题意* 所以点 .的横坐标的取值范围是 #$)% 或 #90'! )! 分 !)!!)! 分" 解'!)" %! #" 的定义域为!%# /C" ! ) 分 %'! #" -67#/) 0*## %'!)" -) 0*# 因为 %! #" 在!)#%!)" " 处的切线与直线 #0-/) -% 平行# 所以 ) 0*-)#即 *-%! # 分 !!" 在!)" 的条件下#%! #" -#67##可得 %'! #" -67#/)# 当 #,!%# )1" 时#%'! #" 9%#%! #" 单调递减# 当 #,! )1# /C" 时#%'! #" 8%#%! #" 单调递增# 所以 %! #" -#67#在 #-)1时取得最小值 %! )1" -0)1# 可知 %! #) " $ 0)1! 4 分 由 7! #" -0#1/#) 0!1#/101)# 7'! #" -1## 0!1# 令 8! #" -7'! #" -1## 0!1# 8'! #" -) 10### 所以当 #,!%#)" 时#8'! #" 8%#8! #" 单调递增# ""当 #,!)# /C" 时#8'! #" 9%#8! #" 单调递减! 所以 7'! #" !7'!)" -8!)" -0)1! )% 分 因为 7'! #" ! 0)19%# 所以 7! #" 在!%# /C" 单调递减# 可知 7! #! " 97!%" -0)1#
山东省潍坊市2020届高三第三次线上检测数学试题 含答案
C. x, y且 x y ，使得 a = b = c = d
D. a,b, c, d 中至少有两个大于 1
12.已知在棱长为 1 的正方体 ABCD − A1B1C1D1中，点 E，F，H 分别是 AB, A1D1, BC1 的中
点，下列结论中正确的是
A. D1C1 / / 平面 CHD
B. AC1 ⊥ 平面 BDA1
1.设集合 M = x x2 + x − 2 0 , N = x log2 x 1 ，则 M N =
A.x − 2 x 1 B.x 0 x 1
C.x 1 x 2 D.x − 2 x 2
2.已知向量 AB = (2,1), AC = (3,t ), BC = 1，则AB AC =
A.2
B.3
C.7
D.8
3．设 i 为虚数单位，a∈R，“复数 z = a2 − i2020 是纯虚数”是“ a = 1 ”的 2 1−i
A．充分而不必要条件 C．充分必要条件
B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4．数学的对称美在中国传统文化中多有体现，譬如如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹 组成的网形图案，充分展现了相互转化、对称统一的和谐美．如果能够将圆的周长和面积同
x
最小值为_________；若
p>0，在[1,e]上至少存在一点 x0
，使得
f
( x0
)
2e x0
成立，则实数
p
的取值范围为_________．(本题第一空 2 分，第二空 3 分)
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
( ) 17（. 10 分）在 ABC 中，已知内角 A，B，C 所对的边分别为 a,b, c ， 1 + 3 c = 2b, A = . 6
2020届山东省潍坊市高三第三次模拟数学试题及答案解析
2020届山东省潍坊市高三第三次模拟数学试题一、单选题1．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为-2，且7a 是3a 与9a 的等比中项，则10S 的值为（ ） A ．－110 B ．－90 C ．90 D ．1102．我国古代数学名著《数书九章》是南宋数学家秦九韶所著数学著作，书中共列算题81问，分为9类.全书采用问题集的形式，并不按数学方法来分类.题文也不只谈数学，还涉及自然现象和社会生活，成为了解当时社会政治和经济生活的重要参考文献.《数书九章》中有“米谷粒分”一题，现有类似的题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1634石，验得米夹谷，抽样取米一把，数得254粒夹谷25粒，则这批米内夹谷约为（ ）A ．158石B ．159石C ．160石D ．161石3．设集合A ={x|x >0}，B ={x|x 2−5x −14<0}，则A ∩B 等于（ ）A ．{x|0<x <5}B ．{x|2<x <7}C ．{x|2<x <5}D ．{x|0<x <7}4．已知向量()(),1,2,a x z b y z =-=+，且a b ⊥，若实数,x y 满足不等式组0{700y x x y x -≥+-≤≥，则z 的最大值为（ ）A ．212B ．7C ．14D ．215．“x =1”是“2320x x -+=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x 时，1()sin 23f x x x =-.若2tan 5a f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，32log cos 5b f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，2cos 5c f π⎛⎫= ⎪⎝⎭大小关系为（ ） A ．a b c << B ．b c a << C ．b a c << D ．c b a <<7．若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是（ ）A ．(18π−20) cm 3B ．(24π−20) cm 3C ．(18π−28) cm 3D ．(24π−28) cm 38．已知函数()()()21lnx 12f x x ax a x a R =-+-∈在1x =处取得极大值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B ．(),1-∞ C ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D ．()1,+∞二、多选题9．已知复数122z =-，则下列结论正确的有（ ）A ．1z z ⋅=B ．2z z =C ．31z =-D ．202012z =-+ 10．已知a b c 、、是三条不同的直线，α是一个平面，以下叙述中正确的是（ ）A ．若//a b ，b c ⊥，则a c ⊥B ．若a b ⊥，b c ⊥，则//a cC ．若//a α，b α⊂，则//a bD ．若a α⊥，b α⊂，则a b ⊥11．已知椭圆22:13620x y E +=的左、右焦点分别为12,F F ，定点(1,4)A ，若点P 是椭圆E 上的动点，则1||PA PF +的值可能为（ ）A ．7B ．10C ．17D ．1912．某学生对函数()sin f x x x =进行研究后，得出如下结论，其中正确的是（ ）A ．函数()f x 是偶函数B ．函数()f x 在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．存在常数0M >，使|()f x M x ≤对切实数x 都成立D ．点(),0π是函数()y f x =图象的一个对称中心三、双空题13．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是棱CD ，1CC 的中点，则异面直线1A E 与DF 所成角的大小是______；1A E 与平面11ABB A 所成角的正弦值是______.四、填空题14．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线与圆()2223F x y -+=：相切，且双曲线C 的一个焦点与圆F 的圆心重合，则双曲线C 的方程为______.15．已知函数22,0()(2)1,0x x f x f x x -⎧-≤=⎨-+>⎩，则(2019)f =__________．16．给出下列命题：①存在实数α使得sin cos 1αα=；②存在实数α使得3sin cos 2αα+=； ③5sin 22y x π⎛⎫ ⎪⎝=⎭-是偶函数； ④8x π=是函数5sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的一条对称轴方程； ⑤若α、β是第一象限角，且αβ>，则tan tan αβ>，其中正确命题的序号是______.五、解答题17．已知椭圆E 的方程是2214y x +=，圆O 的方程是221x y +=，直线l 与圆O 相切，与椭圆E 相交于不同的两点A 和B ，求AB 的最大值.18．已知函数22()sin cos 2cos ,.f x x x x x x R =++∈（1）求函数()f x 的最小正周期并判断其在[0,]π上的单调性；（2）求函数()f x 在区间[,]63ππ-上的最大值与最小值并求出相应的x 的值. 19．已知焦点为F 的抛物线()2:20C y px p =>与圆222:1O x y p +=+交于点()01,P y ．（1）求抛物线C 的方程；（2）在第一象限内，圆O 上是否存在点A ，过点A 作直线l 与抛物线C 交于点B (B 为第四象限的点)，与x 轴交于点D ，且以点D 为圆心的圆过点,,O A B ？若存在，求出点A 的坐标；若不存在，说明理由．20．假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布2800()50N ，的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为0p .(1)求0p 的值；(2)某客运公司用A ，B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆．若每天要以不小于0p 的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？参考数据：若2~(,)X N μσ，则P(X )0.6826μσμσ-<+=，P(2X 2)0.9544μσμσ-<+=，P(3X 3)0.9974μσμσ-<+=.21．已知函数()()()21x f x e x ax a a R =++-∈. （1）若2a =，函数()y f x =图象上是否存在两条互相垂直的切线，若存在，求出这两条切线；若不存在，说明理由.（2）若函数()y f x =在[)0,+∞上有零点，求实数a 的取值范围.22．已知函数()(21)cos2x f x x x e x a =++++ （a ∈R ，e 为自然对数的底数），()()ln 21g x x =+，其中()f x 在x =0处的切线方程为y =bx .（1）求a ，b 的值；（2）求证：()g(x)f x ≥；（3）求证：()f x 有且仅有两个零点.【答案与解析】1．D根据等比中项的定义得2739a a a =，结合公差可求出首项，从而可得答案．解：∵7a 是3a 与9a 的等比中项，∴2739a a a =，又数列{}n a 的公差为2-，∴2111(12)(4)(16)a a a -=--，解得120a =，∴20(1)(2)222n a n n =+-⨯-=-， ∴1101010()5(202)1102a a S +==⨯+=， 故选：D ．本题主要考查等差数列的前n 项和，考查等比中项的应用，属于基础题．2．D利用抽取的米夹谷的频率估计总体的频率计算. 由题意可知这批米内夹谷约为251634161254⨯≈(石). 故选：D.本题考查简单随机抽样，用样本频率估计总体，属于基础题.3．D试题分析：由B ={x|x 2−5x −14<0}={x|−2<x <7}，所以A ∩B ={x|0<x <7}，故选D ． 考点：集合的运算．4．A ()20a b x z y z ⋅=-++= ，整理为2z x y =+，如图画出可行域，2y x z =-+ ，目标函数的斜率时-2，当目标函数过点77,22B ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，函数取得最大值，所以max 77212222z =⨯+=，故选A. 线性规划中求最值的几种题型包含（1）z ax by =+的最值，可转化为1a y x z b b =-+的形式，斜率a k b =-当0x =时，z y b=，那么可将z 的最值问题转化为直线的纵截距的最值问题；（2）()()22z x a y b =-+-表示可行域内的点与点(),a b 间距离平方的最值；（3）y b z x a+=+表示可行域内的点与点(),a b --连线斜率的最值；（4）z Ax By C =++可先变形为z =,0Ax By C ++=距离的最值.5．A 将1x =代入232x x -+可判断充分性,求解方程2320x x -+=可判断必要性,即可得到结果. 将1x =代入232x x -+中可得1320-+=,即“1x =”是“2320x x -+=”的充分条件；由2320x x -+=可得()()120x x --=,即1x =或2x =,所以“1x =”不是“2320x x -+=”的必要条件,故选:A本题考查充分条件和必要条件的判定,属于基础题.6．B根据题意当0x 时2()1cos 203f x x '=->，()f x 是定义在R 上的奇函数,则()f x 在定义域上单调递增，2tan tan 154ππ>=，20cos 15π<<，32log cos 05π<，由函数的单调性可得出答案. 由题意知由当0x 时,2()1cos 203f x x '=->，所以()f x 在[)0+，∞上单调递增，且()00f = 又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()f x 在(]0-∞，上单调递增. 所以()f x 在定义域上单调递增. 又因为28tan tan tan 15204πππ=>=，20cos 15π<<，所以32log cos 05π<， 由()f x 在定义域上单调递增，则3222tancos log cos 555f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以b c a <<.故选：B .本题考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，利用单调性比较大小，考查三角函数值大小的的比较，对数值大小的比较，属于中档题7．D试题分析：由三视图可知，该几何体为一个圆柱中间挖去了一个上、下底面为正方形且底面边长分别为4cn 和 2cm 的的棱台，由由三视图可知，圆柱的底面半径为√42+422=2√2，则该几何体的体积为V=π⋅(2√2)2⋅3-13(42+√42⋅22+22)⋅3=24π-28考点：三视图，几何体的体积8．D 当0a =时, ()()n ,?'n f x xl x x f x l x =-=, 由()'0f x >,得1x >,由()'0f x <,得01x <<，∴()f x 在()0,1上递减,在()1,+∞上递增,∴()f x 在1x =处有极小值,即0a =不合题意，排除,A B ;当1a =时, ()()()()()211ln ,'ln ,','02x f x x x x f x x x x g x g x g x x-=-=-==>得1x <， ()'0g x <得1x >,∴()g x 有最大值()10g =，∴()'0f x ≤,∴()f x 在()0,∞+上递减,在1x =处无极值,排除C ,故选D.本题主要考查利用导数研究函数的单调性及极值问题、排除法解选择题，属于难题. 用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法.特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:(1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前n 项和公式问题等等. 9．ACD分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D 选项的时候注意利用复数乘方的性质.因为11131222244z i z ⎛⎫⎛⎫-+=+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭=⎝⋅，所以A 正确；因为221122z ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭=，122z =+，所以2z z ≠，所以B 错误；因为321112222z z z ⎛⎫⎛⎫=⋅=---=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 正确；因为6331z z z =⋅=，所以()2020633644311122zz z z z ⨯+⎛⎫===⋅=-⋅=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以D 正确，故选：ACD.本题考查复数乘法与乘方的计算，其中还涉及到了共轭复数的计算，难度较易.10．AD根据空间直线与直线夹角的定义可判断A ；画图举反例可判断B ；由线面平行的性质可判断C ；由线面垂直的性质可判断D.对于A ，若b c ⊥，则b 与c 所成角为90，若//a b ，则a 与c 所成角也为90，即a c ⊥，故A 正确；。
2020年山东潍坊高三三模理科数学试卷-学生用卷
2020年山东潍坊高三三模理科数学试卷-学生用卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1、【来源】 2020年山东潍坊高三三模理科第1题5分2020年山东潍坊高三三模第1题5分已知集合P={x|1⩽x⩽10}，Q={x|x2+x−6=0}，则P∩Q等于（）．A. {1,2,3}B. {2,3}C. {1,2}D. {2}2、【来源】 2020年山东潍坊高三三模理科第2题5分2020年山东潍坊高三三模第2题5分2019~2020学年四川成都锦江区成都市田家炳中学高一下学期期末理科第6题5分将一直角三角形绕其一直角边旋转一周后所形成的几何体的三视图如右图所示，则该几何体的侧面积是（）．πA. 23B. 2πC. √5πD. 3π3、【来源】 2020年山东潍坊高三三模理科第3题5分2020年山东潍坊高三三模第3题5分2020~2021学年2月陕西西安雁塔区西北大学附属中学高三下学期月考理科（七模）第4题5分 某学校共有教职工120人，对他们进行年龄结构和受教育程度的调查，其结果如下表所示，现从该校教职工中任取1人，则下列结论正确的是（ ）．A. 该教职工具有本科学历的概率低于60%B. 该教职工具有研究生学历的概率超过50%C. 该教职工的年龄在50岁以上的概率超过10%D. 该教职工的年龄在35岁及以上且具有研究生学历的概率超过10%4、【来源】 2020年山东潍坊高三三模理科第4题5分2020年山东潍坊高三三模第4题5分已知向量a →=(−1,3)，b →=(λ,√33)，若a →⊥b →，则a →+√3b →与a →的夹角为（）．A. π6B. π4C. π3D. 23π5、【来源】 2020年山东潍坊高三三模理科第5题5分2020年山东潍坊高三三模第5题5分函数f (x )=(3x −1)lnx 23x +1的部分图象大致为（ ）．A.B.C.D.6、【来源】 2020年山东潍坊高三三模理科第6题5分2020年山东潍坊高三三模第6题5分⩾a恒成立的一个充分条件是（）．若x>0，则x+2020xA. a>80B. a<80C. a>100D. a<1007、【来源】 2020年山东潍坊高三三模理科第7题5分2020年山东潍坊高三三模第7题5分在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问相逢时良马比驽马多行几里？A. 540B. 426C. 963D. 1148、【来源】 2020年山东潍坊高三三模理科第8题5分2020年山东潍坊高三三模第8题5分已知函数f(x)的导函数f′(x)=x4(x−1)3(x−2)2(x−3)，则下列结论正确的是（）．A. f(x)在x=0处有极大值B. f(x)在x=2处有极小值C. f(x)在[1,3]上单调递减D. f(x)至少有3个零点二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9、【来源】 2020年山东潍坊高三三模理科第9题5分2020年山东潍坊高三三模第9题5分设复数z=−12+√32i（i为虚数单位），则以下结论正确的是（）．A. z2⩾0B. z2=zC. z3=1D. z2020=z10、【来源】 2020年山东潍坊高三三模理科第10题5分2020年山东潍坊高三三模第10题5分已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β，γ是三个两两不重合的平面，则下列命题正确的是（ ）．A. 若m ⊥α，n ⊥β，α//β，则m//nB. 若α⊥γ，β⊥γ，则α//βC. 若m//β，n//β，m ，n ⊂α，则α//βD. 若n ⊂α，n ⊥β，则α⊥β11、【来源】 2020年山东潍坊高三三模理科第11题5分2020年山东潍坊高三三模第11题5分在现代社会中，信号处理是非常关键的技术，我们通过每天都在使用的电话或者互联网就能感受到．而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数！函数f (x )=∑sin [(2i−1)x ]2i−17i=1的图象就可以近似地模拟某种信号的波形，则下列说法正确的是（ ）．A. 函数f (x )为周期函数，且最小正周期为πB. 函数f (x )为奇函数C. 函数y =f (x )的图象关于直线x =π2对称D. 函数f (x )的导函数f ′(x )的最大值为712、【来源】 2020年山东潍坊高三三模理科第12题5分2020年山东潍坊高三三模第12题5分2020~2021学年9月湖北武汉江岸区武汉市第六中学高二上学期月考第10题5分2020~2021学年10月山东青岛李沧区青岛第五十八中学高三上学期月考第12题5分2020~2021学年4月重庆九龙坡区重庆外国语学校高三下学期周测A 卷第7题已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|=2，点P(1,1)在椭圆内部，点Q 在椭圆上，则以下说法正确的是（ ）．A. |QF 1|+|QP|的最小值为2a −1B. 椭圆C 的短轴长可能为2C. 椭圆C 的离心率的取值范围为(0,√5−12)D. 若PF 1→=F 1Q →，则椭圆C 的长轴长为√5+√17三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年山东潍坊高三三模理科第13题5分2020年山东潍坊高三三模第13题5分若函数f(x)={lnx,x >0(12)x ,x ⩽0，则f (f (1e ))= ．14、【来源】 2020年山东潍坊高三三模理科第14题5分2020年山东潍坊高三三模第14题5分已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线与圆F:(x −2)2+y 2=3相切，且双曲线C 的一个焦点与圆F 的圆心重合，则双曲线C 的方程为 ．15、【来源】 2020年山东潍坊高三三模理科第15题5分2020年山东潍坊高三三模第15题5分在△ABC 中，∠A =π2，点D 在线段AC 上，且满足AD =2CD ，cosC =35，则sin∠CBD = ．16、【来源】 2020年山东潍坊高三三模理科第16题5分2020年山东潍坊高三三模第16题5分如图1，四边形ABCD 是边长为10的菱形，其对角线AC =12，现将△ABC 沿对角线AC 折起，连接BD ，形成如图2的四面体ABCD ，则异面直线AC 与BD 所成角的大小为 ；在图2中，设棱AC 的中点为M ，BD 的中点为N ，若四面体ABCD 的外接球的球心在四面体的内部，则线段MN 长度的取值范围为 ．四、解答题（本大题共6小题，共70分）17、【来源】 2020年山东潍坊高三三模理科第17题10分2020年山东潍坊高三三模第17题10分2020~2021学年陕西西安高新区高新第三中学高一上学期期末第20题12分)的图象如图所示．已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2(1) 求f(x)的解析式．(2) 将函数f(x)的图象向右平移π个单位长度，得到函数y=g(x)，设ℎ(x)=g(x)+f(x)，求函6]上的最大值．数ℎ(x)在[0,π218、【来源】 2020年山东潍坊高三三模理科第18题12分2020年山东潍坊高三三模第18题12分如图，点C是以AB为直径的圆上的动点（异于A，B），已知AB=2，AE=√7，EB⊥平面ABC，四边形BEDC为平行四边形．(1) 求证：BC⊥平面ACD．(2) 当三棱锥A−BCE的体积最大时，求平面ADE与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．19、【来源】 2020年山东潍坊高三三模理科第19题12分2020年山东潍坊高三三模第19题12分为了严格监控某种零件的一条生产线的生产过程，某企业每天从该生产线上随机抽取10000个零件，并测量其内径（单位：cm）．根据长期生产经验，认为这条生产线正常状态下生产的零件的内径X服从正态分布N(μ,σ2)．如果加工的零件内径小于μ−3σ或大于μ+3σ均为不合格品，其余为合格品．(1) 假设生产状态正常，请估计一天内抽取的10000个零件中不合格品的个数约为多少．(2) 若生产的某件产品为合格品则该件产品盈利；若生产的某件产品为不合格品则该件产品亏损．已知每件产品的利润L（单位：元）与零件的内径X有如下关系：L={−5,X<μ−3σ4,μ−3σ⩽X<μ−σ6,μ−σ⩽X⩽μ+3σ−5,X>μ+3σ，求该企业一天从生产线上随机抽取10000个零件的平均利润．附：若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2)，有P(μ−σ<X⩽μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<X⩽μ+2σ)=0.9544，P(μ−3σ<X⩽μ+3σ)=0.9974．20、【来源】 2020年山东潍坊高三三模理科第20题12分2020年山东潍坊高三三模第20题12分设抛物线E:x2=2py(p>0)的焦点为F，点A是E上一点，且线段AF的中点坐标为(1,1)．(1) 求抛物线E的标准方程．(2) 若B，C为抛物线E上的两个动点（异于点A），且BA⊥BC，求点C的横坐标的取值范围．21、【来源】 2020年山东潍坊高三三模理科第21题12分2020年山东潍坊高三三模第21题12分已知函数f (x )=xlnx −12mx 2(m ∈R )，g (x )=−x+1e x −2e x +e−1e． (1) 若函数f (x )在(1,f (1))处的切线与直线x −y +1=0平行，求m ．(2) 证明：在（1）的条件下，对任意x 1，x 2∈(0,+∞)，f (x 1)>g (x 2)成立．22、【来源】 2020年山东潍坊高三三模理科第22题12分2020年山东潍坊高三三模第22题12分设f n (x )是数列1，(1+x )，(1+x )2，⋯，(1+x )n 的各项和，n ⩾2，n ∈N ．(1) 设g n (x )=f n (x )−2，证明：g n (x )在(−12,0)内有且只有一个零点．(2) 当x >−1时，设存在一个与上述数列的首项、项数、末项都相同的等差数列，其各项和为ℎn (x )，比较f n (x )与ℎn (x )的大小，并说明理由．(3) 给出由公式sin2x =2sinxcosx 推导公式cos2x =cos 2x −sin 2x 的一种方法如下：在公式sin2x =2sinxcosx 中两边求导得：2cos2x =2cosx ⋅cosx −2sinx ⋅sinx ，所以cos2x =cos 2x −sin 2x 成立．请类比该方法，利用上述数列的末项(1+x )n 的二项展开式证明：n ⩾2时，∑(−1)k kC nk nk=1=0（其中C n k 表示组合数）1 、【答案】 D;2 、【答案】 C;3 、【答案】 D;4 、【答案】 B;5 、【答案】 B;6 、【答案】 B;7 、【答案】 A;8 、【答案】 C;9 、【答案】 B;C;D;10 、【答案】 A;D;11 、【答案】 B;C;D;12 、【答案】 A;C;D;13 、【答案】2;=1;14 、【答案】x2−y2315 、【答案】2√5;25;(√14,8);16 、【答案】π2)．17 、【答案】 (1) f(x)=2sin(2x+π3;(2) 2√3．;18 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) √10．5;19 、【答案】 (1) 26．;(2) 56566元．;20 、【答案】 (1) x2=4y．;(2) x⩾10或x<−6．;21 、【答案】 (1) m=0．;(2) 证明见解析．;22 、【答案】 (1) 见解析．;(2) x=0时，f n(x)=ℎn(x)；x>−1且x≠0时，f n(x)<ℎn(x)，理由见解析．;(3) 证明见解析．;第11页，共11页。
2020届山东省潍坊市青州市高三第三次高考模拟考试数学(理)试题Word版含解析
2020届山东省潍坊市青州市高三第三次高考模拟考试数学（理）试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，若全集，，则（）A. B. C. D.2. 设是虚数单位，若复数是纯虚数，则（）A. B. C. D.3. 若，，则的值为（）A. B. C. D.4. 设平面向量，，，则下列说法正确的是（）A. 是的充分不必要条件B. 与的夹角为C. D. 与的夹角为5. 已知双曲线的离心率为，且经过点，则双曲线的实轴长为（）A. B. C. D.6. 若，则二项式的展开式中的常数项为（）A. B. C. D.7. 如图所示程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的分别为，则输出的（）A. B. C. D.8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.9. 已知，，，当时，均有则实数的取值范围是（）A. B.C. D.10. 某旅行社租用两种型号的客车安排名客人旅行，两种车辆的载客量分别为人和人，租金分别为元/辆和元/辆，旅行社要求租车总数不超过辆，且型车不多于型车辆，则租金最少为（）A. 元B. 元C. 元D. 元11. 已知函数的图象经过点，在区间上为单调函数，且的图象向左平移个单位后与原来的图象重合，当，且时，，则（）A. B. C. D.12. 已知点是曲线上任意一点，记直线（为坐标原点）的斜率为，则（）A. 存在点使得B. 对于任意点都有C. 对于任意点都有D. 至少存在两个点使得二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知平面向量，则事件“”的概率为__________．14. 已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，为抛物线上任意一点，且满足，则__________．15. 如图所示，在平面四边形中，，，，，，则__________．16. 在三棱锥中，底面为，且，斜边上的高为，三棱锥的外接球的直径是，若该外接球的表面积为，则三棱锥的体积的最大值为__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列的前项和为，（1）求的通项公式；（2）记，数列的前项和为，求证：.18. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，为的中点..（1）求证：平面平面；（2），在线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为.请说明理由.19. 某房产中介公司2017年9月1日正式开业，现对2017年9月1日到2018年5月1日前个月的二手房成交量进行统计，表示开业第个月的二手房成交量，得到统计表格如下：（1）统计中常用相关系数来衡量两个变量之间线性关系的强弱，统计学认为，对于变量，如果，那么相关性很强；如果，那么相关性一般；如果，那么相关性很弱，通过散点图初步分析可用线性回归模型拟合与的关系，计算得相关系数，并回答是否可以认为两个变量具有很强的线性相关关系（计算结果精确到）（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程（计算结果精确到），并预测该房地产中介公司2018年6月份的二手房成交量（计算结果四舍五入取整数）.（3）该房地产中介为增加业绩，决定针对二手房成交客户开展抽奖活动，若抽中“一等奖”获千元奖金；抽中“二等奖”获千元奖金；抽中“祝您平安”，则没有奖金.已知一次抽奖活动中获得“一等奖”的概率为，获得“二等奖”的概率为，现有甲、乙两个客户参与抽奖活动，假设他们是否中奖相互独立，求此二人所获奖金总额（千元）的分布列及数学期望.参考数据：，，，，，参考公式：，，20. 设椭圆的右焦点为，离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 .（1）求椭圆的方程;（2）若上存在两点，椭圆上存在两个点满足：三点共线，三点共线，且，求四边形的面积的最小值.22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数),在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线是圆心在极轴上，且经过极点的圆.已知曲线上的点对应的参数，射线与曲线交于点（1）求曲线、的直角坐标方程；（2）若点在曲线上的两个点且，求的值.23. 已知函数.（1）求的解集；（2）设函数，若对成立，求实数的取值范围2020届山东省潍坊市青州市高三第三次高考模拟考试数学（理）试题参考答案一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，若全集，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据对数函数的性质，求解，即，再根据集合补集的运算，即可求解.详解：由集合，即，又因为，所以，故选B.点睛：本题主要考查了集合的运算，其中正确求解集合，得到集合，再根据集合的补集运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.2. 设是虚数单位，若复数是纯虚数，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：，由纯虚数的定义可得： .本题选择D选项.3. 若，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式，得，进而求得，即可求解答案.详解：由诱导公式得，平方得，则，所以，又因为，所以，所以，故选C.点睛：本题主要考查了三角函数的化简求值，其中解答中涉及到三角的诱导公式和三角函数的基本关系的灵活应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.4. 设平面向量，，，则下列说法正确的是（）A. 是的充分不必要条件B. 与的夹角为C. D. 与的夹角为【答案】D【解析】分析：由平面向量，且，解得，此时，进而可判断选项，得到答案.详解：由题意，平面向量，且，所以，解得，此时所以是垂直的充要条件，所以选项A不正确；，所以C不正确；由，则，所以向量与的夹角为，则，所以，故选D.点睛：本题主要考查了向量的坐标运算、向量垂直的条件，以及向量的模和向量的夹角公式等知识点，其中熟记向量的基本概念和基本的运算公式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.5. 已知双曲线的离心率为，且经过点，则双曲线的实轴长为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意双曲线的离心率为，得，把点，代入双曲线的方程，解得，即可得到答案.详解：由题意双曲线的离心率为，即，又由，即，所以双曲线的方程为，又因为双曲线过点，代入双曲线的方程，得，解得，所以双曲线的实轴长为，故选C.点睛：本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质，其中熟记双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.6. 若，则二项式的展开式中的常数项为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由题意，得到二项式的展开式的通项，即可求解展开式的常数项.学#科#网...学#科#网...学#科#网...学#科#网...学#科#网...学#科#网...学#科#网...学#科#网...学#科#网...详解：由题意，即二项式为，则展开式的通项为，当时，得到常数项为，故选A.点睛：本题主要考查了二项式定理的应用，其中数据二项展开式的通项公式是解答此类试题的关键，着重考查了推理与运算能力.7. 如图所示程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的分别为，则输出的（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的的值.详解：由程序框图可知：输入，第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，；，退出循环输出，输出因此输出的为，故选D.点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由给定的三视图得该几何体表示左侧是一个以边长为的正方形为底面，高为的四棱锥，右侧为一个值三棱柱，其底面如俯视图所示，高为的直三棱柱，即可求解其体积．详解：由给定的三视图可知，该几何体表示左侧是一个以边长为的正方形为底面，高为的四棱锥，其体积为；右侧为一个值三棱柱，其底面如俯视图所示，高为的直三棱柱，其体积为，所以该几何体的体积为，故选B．点睛：在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线．在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑．求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解．9. 已知，，，当时，均有则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】分析：由题意知在上恒成立，令，结合图形，列出不等式组，即可求解实数的取值范围.详解：由题意，若当时，都有，即在上恒成立，令，由图象可知，若时，，即，此时；若时，，即，此时，所以，综上所述，实数的取值范围是，故选C.点睛：本题主要考查了指数函数的图象与性质的应用，其中将不等式转化为函数的图象之间的关系是解答的关键，着重考查了数形结合和转化与化归思想方法，.10. 某旅行社租用两种型号的客车安排名客人旅行，两种车辆的载客量分别为人和人，租金分别为元/辆和元/辆，旅行社要求租车总数不超过辆，且型车不多于型车辆，则租金最少为（）A. 元B. 元C. 元D. 元【答案】C【解析】设租A型车x辆，B型车y辆时租金为z元则z＝1600x＋2400yx、y满足画出可行域观察可知，直线过点A(5,12)时纵截距最小，∴z min＝5×1 600＋2 400×12＝36800，故租金最少为36800元．选C.视频11. 已知函数的图象经过点，在区间上为单调函数，且的图象向左平移个单位后与原来的图象重合，当，且时，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由题意，求得的值，写出函数的解析式，求函数的对称轴，得到的值，再求解的值即可.详解：由函数的图象过点，所以，解得，所以，即，由的图象向左平移个单位后得，由两函数的图象完全重合，知，所以，又，所以，所以，所以，则其图象的对称轴为，当，其对称轴为，所以，所以，故选B.点睛：本题主要考查了三角函数的图象变换以及三角函数的图象与性质的应用问题，其中解答中根据题设条件得到函数的解析式，以及根据三角函数的对称性，求得的值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.12. 已知点是曲线上任意一点，记直线（为坐标原点）的斜率为，则（）A. 存在点使得B. 对于任意点都有C. 对于任意点都有D. 至少存在两个点使得【答案】B【解析】分析：任取正实数，则直线的斜率为，利用的性质，逐一判定，即可求解.详解：任取正实数，则直线的斜率为，因为，又由成立，因为和中两个个等号成立条件不一样，所以恒成立，即恒成立，排除A；当时，，则，排除C；对于D选项，至少存在两个点使得，即至少存在两解，即至少有两解，又因为恒成立，所以至多有一个解，排除D，综上所述，选项B是正确的，故选B.点睛：本题主要考查了函数性质的综合应用，以及直线的斜率公式，导数在函数中的应用，其中解答中根据题意构造函数，利用函数的单调性和最值求解是解答的关键，着重考查了转化思想和推理、论证能力.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知平面向量，则事件“”的概率为__________．【答案】【解析】分析：由题意得到点表示以为圆心，半径为的圆，其面积为，其中弓形的面积为，即可利用几何概型求解其概率.详解：由题意，平面向量，且，即，表示以为圆心，半径为的圆，其面积为，其中弓形的面积为，所以所求概率为.点睛：本题主要考查了几何概型及其概率的求解，其中根据题意得到相应的图形的面积是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.14. 已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，为抛物线上任意一点，且满足，则__________．【答案】【解析】分析：由抛物线的定义可得，由，求得的值，即可求出锐角的大小.详解：由抛物线的方程，可得准线方程为，设，过点作垂直于抛物线的准线，为垂足，则由抛物线的定义可得，在中，，由直角三角形的边角关系可得，则，所以.点睛：本题主要考查了抛物线的定义、标准方程及其简单的几何性质的应用，其中有直角三角形的边角关系可得是解答的关键和难点，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.15. 如图所示，在平面四边形中，，，，，，则__________．【答案】3【解析】分析：详解：设，在直角中，得，所以，在中，由余弦定理，由于，所以，即，整理得，解得.点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．16. 在三棱锥中，底面为，且，斜边上的高为，三棱锥的外接球的直径是，若该外接球的表面积为，则三棱锥的体积的最大值为__________．【答案】【解析】分析：以构造长方体，此时三棱锥的外接球即为长方体的外接球，其直径为，由已知得当时，此时三棱锥的体积最大，即可求解.详解：以构造长方体，此时三棱锥的外接球即为长方体的外接球，其直径为，因为该外接球的表面积为，所以，设，在三棱锥中，，且斜边上的高为，所以，设斜边上的高为，所以，由，所以，因为，所以，即，即，当且仅当时取得等号，所三棱锥的最大体积为.点睛：本题考查了有关球的组合体问题，以及三棱锥的体积的求法，解答时要认真审题，注意球的性质的合理运用，求解球的组合体问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）根据球的截面的性质，利用勾股定理求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列的前项和为，（1）求的通项公式；（2）记，数列的前项和为，求证：.【答案】（1）；（2）见解析【解析】试题分析：（1）由题意可得,则，易得首项为.所以.（2）由（1）的结果可知，则，放缩之后裂项求和可得.试题解析：（1）设的公比为，由得，,所以，所以.又因为，所以，所以.所以.（2）由（1）知，所以，所以.点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．18. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，为的中点..（1）求证：平面平面；（2），在线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为.请说明理由.【答案】（1）见解析；（2）在处或处【解析】分析：（1）由平面平面，，又由平面，平面，即，利用线面垂直的判定定理，证得平面，再由面面垂直的判定定理即可作出证明.（2）如图建立空间直角坐标系，设，求得平面和的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.详解：（1）∵平面平面，，平面平面，∴平面，又∵平面，∴又∵，，∴平面，平面，即，在中，，为的中点，∴，，∴平面，又平面，∴平面平面（2）如图建立空间直角坐标系，设，则，，，，设，，，，因为，，所以平面，故为平面平面的一个法向量设平面，且，则由得，由得，从而，∴解得，或，即在处或处.点睛：本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和二面角的求解与应用问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成.同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.19. 某房产中介公司2017年9月1日正式开业，现对2017年9月1日到2018年5月1日前个月的二手房成交量进行统计，表示开业第个月的二手房成交量，得到统计表格如下：（1）统计中常用相关系数来衡量两个变量之间线性关系的强弱，统计学认为，对于变量，如果，那么相关性很强；如果，那么相关性一般；如果，那么相关性很弱，通过散点图初步分析可用线性回归模型拟合与的关系，计算得相关系数，并回答是否可以认为两个变量具有很强的线性相关关系（计算结果精确到）（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程（计算结果精确到），并预测该房地产中介公司2018年6月份的二手房成交量（计算结果四舍五入取整数）.（3）该房地产中介为增加业绩，决定针对二手房成交客户开展抽奖活动，若抽中“一等奖”获千元奖金；抽中“二等奖”获千元奖金；抽中“祝您平安”，则没有奖金.已知一次抽奖活动中获得“一等奖”的概率为，获得“二等奖”的概率为，现有甲、乙两个客户参与抽奖活动，假设他们是否中奖相互独立，求此二人所获奖金总额（千元）的分布列及数学期望.参考数据：，，，，，参考公式：，，【答案】（1）变量线性相关行很强；（2）33；（3）见解析【解析】分析：（1）根据相关系式公式，即可求解相关系数，并作出判断；（2）计算回归系数得出回归方程，再根据回归方程估计成交量，即可作答；（3）根据相互独立事件的概率计算随机变量的各种可能取值对应的概率，从而得出分布列，求解数学期望．详解：（1）依题意：，，.因为，所以变量线性相关性很强.（2），，则关于的线性回归方程为.当，所以预计2018年6月份的二手房成交量为.（3）二人所获奖金总额的所有可能取值有、、、、千元. ，，，，.所以，奖金总额的分布列如下表：千元.点睛：本题主要考查统计知识的应用以及回归直线方程的应用和随机变量的分布列和数学期望，解答本题，首先要准确确定所研究对象的基本事件空间、基本事件个数，再利用二项何分布的概率公式，求得概率，得到分布列和求得数学期望，本题属中等难度的题目，计算量不是很大，能很好的考查考生数学应用意识、基本运算求解能力等.20. 设椭圆的右焦点为，离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 .（1）求椭圆的方程;（2）若上存在两点，椭圆上存在两个点满足：三点共线，三点共线，且，求四边形的面积的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】分析：（）由题意可知及，即可求得和的值，求得椭圆的标准方程；（2）讨论直线的斜率不存在，求得弦长，求得四边形的面积；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立方程组，运用韦达定理和弦长公式，以及四边形的面积公式，计算即可求得最小值.详解：（1）∵过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为，∴，∵离心率为，∴，又，解得，，，∴椭圆的方程为（2）（i）当直线的斜率不存在时，直线的斜率为，此时，，（ii）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立，得，设的横坐标分别为，则，∴，由可得直线的方程为，联立椭圆的方程，消去，得设的横坐标为，则∴，令，则，综上点睛：本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常利用的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.21. 已知(1)求的单调区间;(2)设，为函数的两个零点，求证：.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】分析：（1）由函数，求得，通过讨论实数的取值范围，即可求出函数的单调区间；（2）构造函数，与图象两交点的横坐标为，问题转化为，令，根据函数的单调性即可作出证明.详解：（1）∵，∴当时，∴，即的单调递增区间为，无减区间；当时，∴，由，得，时，，时，，∴时，易知的单调递增区间为，单调递减区间为，（2）由（1）知的单调递增区间为，单调递减区间为，不妨设，由条件知，即构造函数，与图象两交点的横坐标为由可得而，∴知在区间上单调递减，在区间上单调递增，可知欲证，只需证，即证，考虑到在上递增，只需证由知，只需证令，则，所以为增函数，又，结合知，即成立，即成立.点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数),在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线是圆心在极轴上，且经过极点的圆.已知曲线上的点对应的参数，射线与曲线交于点（1）求曲线、的直角坐标方程；（2）若点在曲线上的两个点且，求的值.【答案】（1），；（2）【解析】分析：（1）将及对应的参数，代入，解得，即可得出曲线的直角坐标方程，由于曲线是圆心在极轴上，且过极点的圆，将点代入，即可求解曲线的方程；（2）设在曲线上，求得和，即可求解的值.详解：（1）将及对应的参数，代入，得，即，所以曲线的方程为为参数，即.设圆的半径为，由题意，圆的极坐标方程为.（或）将点代入，得，即所以曲线的极坐标方程为，即（2）设在曲线上，所以，，所以点睛：本题主要考查了椭圆的参数方程，极坐标方程与直角坐标方程，以及圆的极坐标与直角坐标方程的互化，以及直线极坐标方程的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.23. 已知函数.（1）求的解集；（2）设函数，若对成立，求实数的取值范围【答案】（1）或；（2）【解析】分析：（1）对分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果；（2）即的图象恒在，图象的上方，作出函数图像，根据直线恒过定点，结合函数图象即可的结果.详解：（1）∴，即∴①或②或③解不等式①：；②：无解；③：，所以的解集为或（2）即的图象恒在，图象的上方，可以作出的图象，而，图象为恒过定点，且斜率变化的一条直线，作出函数，图象如图，其中，可求：∴，由图可知，要使得的图象恒在图象的上方，实数的取值范围为.。
2020届山东省潍坊市高考模拟训练文科数学模拟试题(三)有答案(加精)
高考模拟训练试题文科数学(三)本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共5页，满分为150分，考试用时120分钟，考试结束后将答题卡交回．注意事项：1．答卷前，考生务必用0.5毫米规格黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在规定的位置上．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米规格黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不得使用涂改液、胶带纸、修正带和其他笔．4．不按以上要求作答以及将答案写在试题卷上的，答案无效．第I 卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中。
只有一项是符合题目要求的．1.若复数z =，则z =A. 12B.2 C.1 D.2 2.已知集合(){}{}22ln ,90A x y x xB x x ==-=-≤，则A B ⋂= A. [][]3,01,3-⋃B. [)[]3,01,3-⋃C. ()0,1D.[]3,3-3.在ABC ∆中，内角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，若3,2a b B A ==∠=∠，则cos A 的值为A.3B. 3C. 6D. 84.设0a >且1a ≠，则“函数()()log 0a f x x =+∞是，上的增函数”是“函数()()1x g x a a =-g 是R 上的减函数”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，有下列命题：①若,//m n m n αα⊥⊥，则；②若//,m m ααββ⊥⊥，则； ③若,//m m βαβα⊥⊥，则；④若,m n m n αβ⊥⊥⊥，，则αβ⊥. 其中正确命题的个数是A.0B.1C.2D.36.若不等式组0,0,,24x y y x s y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩表示的平面区域是一个三角形，则实数s 的取值范围是 A. 024s s <≤≥或 B. 02s <≤C. 4s ≥D. 24x x ≤≥或7.一个算法的程序框图如图所示，该程序输出的结果为A. 89B. 910C. 1011D. 11128.若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是A. 22cmB. 333cmC. 33cmD. 33cm 9.如图，已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，124,F F P =是双曲线右支上的一点，2F P y 与轴交于点A ，1APF ∆的内切圆在边1PF 上的切点为Q ，若=1PQ ，则双曲线的离心率是A.3B.2C. 3D. 2 10.对定义域为D 的函数，若存在距离为d 的两条平行直线1122::l y kx m l y kx m =+=+和()12m m <，使得当x D ∈时，()12kx m f x kx m +≤≤+恒成立，则称函数()()f x x D ∈在有一个宽度为d 的通道.有下列函数：①()1f x x =；②()sin f x x =；③()21f x x =-；④()31f x x =+.其中在[)1,+∞上有一个通道宽度为1的函数是A.①②B.③④C.①③D.①④ 第II 卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.将答案填在题中横线上.11.某高校从参加今年自主招生考试的1000名学生中随机抽取100名学生的成绩进行统计，得到如图所示的样本频率分布直方图.若规定60分及以上为合格，则估计这1000名学生中合格人数有________名.12.现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为24a .类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________.13.已知直线10x y -+=与圆心为C 的圆22240x y x y a ++-+=相交于A,B 两点，且AC BC ⊥，则实数a 的值为________.14.设0,0,22x y x y >>+=，则211x y++的最小值为_______. 15.设()()()22,sin 52012x x f x g x a a a x π==+->+，若对于任意[]10,1x ∈，总存在[]00,1x ∈，使得()()01g x f x =成立，则a 的取值范围是_______.三、解答题：本大题共6个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16. （本小题满分12分）已知函数()()4cos sin 06f x x x a πωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭g图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为π.（I ）求a ω和的值； （II ）求函数()[]0f x π在，上的单调递减区间.17. （本小题满分12分）某市一水电站的年发电量y （单位：亿千瓦时）与该市的年降雨量x （单位：毫米）有如下统计数据：（I ）若从统计的5年中任取2年，求这2年的发电量都低于8.0亿千瓦时的概率；（II ）由表中数据求得线性回归方程为$$=0.004y x a+.该水电站计划2015年的发电量不低于9.0亿千瓦时，现由气象部门获悉2015年的降雨量约为1800毫米，请你预测2015年能否完成发电任务.若不能，缺口约为多少亿千瓦时？18. （本小题满分12分）如图，斜三棱柱1111111ABC A B C A B AC -=中，，点E ，F 分别是1111,B C A B 的中点，111,60AA AB BE A AB ===∠=o .（I ）求证：1//AC 平面1A BE ；（II ）求证：BF ⊥平面111A B C .19. （本小题满分12分）已知数列{}n a 的各项均为正数，n S 表示数列{}n a 的前n 项的和，且22n n n S a a =+.（I ）求1a ；（II ）数列{}n a 的通项公式；（III ）设11n n n b a a +=g ，记数列{}n b 的前n 项和n T .若对(),4n n N T k n *∈≤+恒成立，求实数k 的取值范围.20. （本小题满分13分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的上顶点为A ，右项点为B ，离心率2,e O =为坐标原点，圆222:3O x y +=与直线AB 相切. （I ）求椭圆C 的标准方程；（II ）直线()():20l y k x k =-≠与椭圆C 相交于E ，F 两不同点，若椭圆C 上一点P 满足OP//l ，求EPF ∆面积的最大值及此时的2k .21. （本小题满分14分） 已知函数()()ln ,2a f x x g x x==-（a 为实数）. （I ）当1a =时，求函数()()()x f x g x ϕ=-的最小值； （II ）若方程()()2 1.5f x eg x =（其中e=2.71828…）在区间[]0.5,2上有解，求实数a 的取值范围.（III ）若()()()22,u x f x x mx y u x =++=当存在极值时，求m 的取值范围，并证明极值之和小于3ln 2--.。
2024年山东潍坊市高三三模数学高考试卷试题(含答案详解)
潍坊市高考模拟考试（潍坊三模）数学2024.5一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合题目要求.1．设复数πsin 2i 4z θ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭是纯虚数，则θ的值可以为（）A ．π4B ．5π4C ．2023π4D ．2025π42．已知集合{}{}3,2,1,0,1,2,3,|3,Z A B x x n n =---==∈，则A B ⋂的子集个数是（）A ．3个B ．4个C ．8个D ．16个3．如图，半径为1的圆M 与x 轴相切于原点O ，切点处有一个标志，该圆沿x 轴向右滚动，当圆M 滚动到与出发位置时的圆相外切时(记此时圆心为N )，标志位于点A 处，圆N 与x 轴相切于点B ，则阴影部分的面积是（）A ．2B ．1C ．π3D ．π44．某同学在劳动课上做了一个木制陀螺，该陀螺是由两个底面重合的圆锥组成．已知该陀螺上、下两圆锥的体积之比为1:2，上圆锥的高与底面半径相等，则上、下两圆锥的母线长之比为（）A B ．12C ．2D 5．牛顿迭代法是求方程近似解的一种方法．如图，方程()0f x =的根就是函数()f x 的零点r ，取初始值()0,x f x 的图象在点()()00,x f x 处的切线与x 轴的交点的横坐标为()1,x f x 的图象在点()()11,x f x 处的切线与x 轴的交点的横坐标为2x ，一直继续下去，得到12,,,n x x x ，它们越来越接近r ．设函数()2f x x bx =+，02x =，用牛顿迭代法得到11619x =，则实数b =（）A ．1B ．12C ．23D ．346．已知1F ，2F 分别为椭圆C ：22162x y+=的左、右焦点，点()00,P x y 在C 上，若12F PF ∠大于π3，则0x 的取值范围是（）A ．(),-∞+∞B ．(C ．(),-∞+∞D ．(7．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且()1e f =，当0x >时，()1e xf x x<'+，则不等式()ln 1e xf x x ->的解集为（）A ．()0,1B ．()0,∞+C ．()1,∞+D ．()()0,11,∞⋃+8．已知()()()()()()828901289321111x x a a x a x a x a x ++=+++++++++ ，则8a =（）A ．8B ．10C ．82D ．92二、多项选择题:本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M N ，分别为棱111,C D C C 的中点，则（）A ．直线BN 与1MB 是异面直线B ．直线MN 与AC 所成的角是3πC ．直线MN ⊥平面ADND ．平面BMN 截正方体所得的截面面积为98.10．下列说法正确的是（）A ．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，事件“至少有一个黑球”与事件“至少有一个红球”是互斥事件B ．掷一枚质地均匀的骰子两次，“第一次向上的点数是1”与“两次向上的点数之和是7”是相互独立事件C ．若123452,,,,,x x x x x 的平均数是7，方差是6，则12345,,,,x x x x x 的方差是65D ．某人在10次射击中，设击中目标的次数为X ，且()10,0.8B X ，则8X =的概率最大11．已知12F F ，双曲线()222:104x y C b b-=>的左、右焦点，点P 在C 上，设12PF F △的内切圆圆心为I ，半径为r ，直线PI 交12F F 于Q ，若53PQ PI = ，1215PI PF t PF =+，R t ∈则（）A ．25t =B ．圆心I 的横坐标为1C ．5r =D ．C 的离心率为2三、填空题:本大题共3个小题，每小题5分，共15分.12．已知向量()()()1,2,4,2,1,a b c λ==-=，若()20c a b ⋅+= ，则实数λ=13．已知关于x 的方程()()2cos 0x k ωϕω+=≠的所有正实根从小到大排列构成等差数列，请写出实数k 的一个取值为14．已知,,a b c 均为正实数，函数()()22ln f x x a b x x =+++．（1）若()f x 的图象过点()1,2，则12a b+的最小值为；（2）若()f x 的图象过点(),ln c ab c +，且()3a b t c +≥恒成立，则实数t 的最小值为．四、解答题:本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、说明过程或演算步骤.15．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,2AB AC AB AC AA ⊥==，E 是棱BC的中点．(1)求证：1//A C 平面1AB E ；(2)求二面角11A B E A --的大小．16．已知正项等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且12311S S S ++，，成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)若()1,1sin ,2nn n n S b n S n π⎧⎪⎪=⎨-⎪⋅⎪⎩为奇数，为偶数，求数列{}n b 的前4n 项和.17．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，E 为直线:1l y =-上一点，动点F 满足FE l ⊥，OF OE ⊥ .(1)求动点F 的轨迹C 的方程;(2)若过点1,02T ⎛⎫⎪⎝⎭作直线与C 交于不同的两点,M N ，点()1,1P ，过点M 作y 轴的垂线分别与直线,OP ON 交于点,A B .证明：A 为线段BM 的中点.18．某高校为了提升学校餐厅的服务水平，组织4000名师生对学校餐厅满意度进行评分调查，按照分层抽样方法，抽取200位师生的评分(满分100分)作为样本，绘制如图所示的频率分布直方图，并将分数从低到高分为四个等级:满意度评分[0,60)[60,80)[80,90)[]90100，满意度等级不满意基本满意满意非常满意(1)求图中a 的值，并估计满意度评分的25%分位数;(2)若样本中男性师生比为1:4，且男教师评分为80分以上的概率为0.8，男学生评分为80分以上的概率0.55，现从男性师生中随机抽取一人，其评分为80分以上的概率为多少?(3)设在样本中，学生、教师的人数分别为()1200m n n m ≤≤≤，，记所有学生的评分为12,,m x x x ，，其平均数为x ，方差为2x s ，所有教师的评分为12,,n y y y ，，其平均数为y ，方差为2y s ，总样本的平均数为z ，方差为2s ，若245x y x y s s s ==，试求m 的最小值.19．一个完美均匀且灵活的项链的两端被悬挂，并只受重力的影响，这个项链形成的曲线形状被称为悬链线.1691年，莱布尼茨、惠根斯和约翰・伯努利等得到“悬链线”方程e e 2x xccc y -⎛⎫+ ⎪⎝⎭=，其中c 为参数.当1c =时，就是双曲余弦函数()e e ch 2x x x -+=，类似地双曲正弦函数()e e sh 2x xx --=，它们与正、余弦函数有许多类似的性质.(1)类比三角函数的三个性质：①倍角公式sin22sin cos x x x =；②平方关系22sin cos 1x x +=；③求导公式()()''sin cos cos sin x x x x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，写出双曲正弦和双曲余弦函数的一个正确的性质并证明；(2)当0x >时，双曲正弦函数()sh y x =图象总在直线y kx =的上方，求实数k 的取值范围；(3)若1200x x >>，，证明：()()()()()2221112121ch sh 1ch sh sin sin cos .x x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤+--⋅+>+--⎣⎦⎣⎦1．C【分析】根据题意得到πsin 04θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，将四个选项代入检验，得到答案.【详解】由题意得πsin 04θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，A 选项，当π4θ=时，ππsin 144⎛⎫+= ⎪⎝⎭，不合题意，A 错误；B 选项，当5π4θ=时，5ππsin 144⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，不合要求，B 错误；C 选项，当2023π4θ=时，2023ππsin sin 506π044⎛⎫+==⎪⎝⎭，故C 正确；D 选项，当2025π4θ=时，2025ππsin 144⎛⎫+=⎝⎭，D 错误.故选：C 2．C【分析】由交集的定义求得A B ⋂，根据子集个数的计算方法即可求解．【详解】由题意得，{3,0,3}A B ⋂=-，则A B ⋂的子集有328=个，故选：C ．3．B【分析】根据给定条件，求出劣弧AB 的长，再利用扇形面积公式计算即得．【详解】由圆M 与圆N 外切，得2MN =，又圆M ，圆N 与x 轴分别相切于原点O 和点B ，则2OB MN ==，所以劣弧AB 长等于2OB =，所以劣弧AB 对应的扇形面积为12112⨯⨯=.故选：B 4．A【分析】由圆锥的体积公式及圆锥高、半径与母线的关系计算即可．【详解】设上、下两圆锥的底面半径为r ，高分别为12,h h ，体积分别为12,V V ，因为上圆锥的高与底面半径相等，所以1h r =，则2111222221π1312π3r h V h r V h h r h ====得，22h r =，=，5=，故选：A ．5．D【分析】求得()f x 在()()22f ,的切线方程，代入16,019⎛⎫⎪⎝⎭求解即可．【详解】()2f x x b '=+，(2)4f b '=+，()242f b =+，则()f x 在()()22f ,处的切线方程为()()()4242y b b x -+=+-，由题意得，切线过16,019⎛⎫⎪⎝⎭代入得，()()16424219b b ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭，解得34b =，故选：D ．6．D【分析】由已知可知1PF ，2PF的坐标和模，由向量数量积的定义及坐标运算可得关于0x 的不等关系，即可求解.【详解】因为椭圆C ：22162x y +=，所以26a =，22b =，所以2224c a b =-=，所以()12,0F -，()22,0F ，因为点()00,P x y 在C 上，所以2200162x y +=，所以2200123y x =-，0x <<，又()1002,PF x y =--- ，()2002,PF x y =-- ，所以222120002423PF PF x y x ⋅=+-=- ，又)10033PF x ==+=+ ，)2003PF x x ==-=- ，所以121212cos PF PF PF PF F PF ⋅=⋅∠ ，因为12F PF ∠大于π3，所以121212πcos cos 3PF PF F PF PF PF ⋅∠<⋅ ，所以()()2000221233332x x x -<+⋅-⋅，解得0x <<所以0x 的取值范围是(.故选：D .7．A【分析】由不等式化简构造新函数，利用导数求得新函数的单调性，即可求解原不等式.【详解】不等式()ln 1exf x x->等价于()e ln x f x x >+，即()e ln 0x f x x -+>，构造函数()()e ln ,0x g x f x x x =-+>，所以1()()e xg x f x x''=--，因为0x >时，()1e xf x x<'+，所以()0g x '<对(0,)∀∈+∞x 恒成立，所以()g x 在(0,)+∞单调递减，又因为(1)(1)e ln10g f =--=，所以不等式()e ln 0x f x x -+>等价于()(1)g x g >，所以01x <<，即()ln 1exf x x->的解集为()0,1.故选：A.8．B【分析】由()()()()88321211x x x x ⎡⎤⎡⎤++=++++⎣⎦⎣⎦，利用二项式定理求解指定项的系数.【详解】()()()()88321211x x x x ⎡⎤⎡⎤++=++++⎣⎦⎣⎦，其中()811x ⎡⎤++⎣⎦展开式的通项为()()88188C 11C 1rrr r rr T x x --+=+⋅=+，N r ∈且8r ≤，当0r =时，()()8818C 11T x x =+=+，此时只需乘以第一个因式()12x ⎡⎤++⎣⎦中的2，可得()821x +；当1r =时，()()77128C 181T x x =+=+，此时只需乘以第一个因式()12x ⎡⎤++⎣⎦中的()1x +，可得()881x +.所以82810a =+=.故选：B【点睛】关键点点睛：本题的关键点是把()()832x x ++表示成()()81211x x ⎡⎤⎡⎤++++⎣⎦⎣⎦，利用即可二项式定理求解.9．ABD【分析】根据异面直线成角，线面垂直的判定定理，梯形面积公式逐项判断即可.【详解】对于A ，由于BN ⊂平面11BB C C ，1MB 平面1111BB C C B ,B BN =∉，故直线BN 与1MB 是异面直线，故A 正确；对于B ，如图，连接1CD ，因为M N ，分别为棱111C D C C ，的中点，所以1∥MN CD ，所以直线MN 与AC 所成的角即为直线1CD 与AC 所成的角，又因为1ACD △是等边三角形，所以直线1CD 与AC 所成的角为π3，故直线MN 与AC 所成的角是π3，故B 正确；对于C ，如图，假设直线MN ⊥平面ADN ，又因为DN ⊂平面ADN ，所以MN DN ⊥，而222MN DN DM ===，这三边不能构成直角三角形，所以DN 与MN 不垂直，故假设错误，故C 错误；对于D ，如图，连接11,A B A M ，因为111,A B CD CD MN ∥∥，所以1//A B MN ，所以平面BMN 截正方体所得的截面为梯形1A BNM ，且11,2MN A B A M BN ====4，所以截面面积为19(2248⨯+⨯=，故D 正确.故选：ABD.10．BCD【分析】由互斥事件的定义即可判断A ；由独立事件的乘法公式验证即可判断B ；由平均值及方差的公式即可判断C ；由二项分布的概率公式即可判断D ．【详解】对于A ，事件“至少有一个黑球”与事件“至少有一个红球”可以同时发生，所以不是互斥事件，故A 错误；对于B ，设A =“第一次向上的点数是1”，B =“两次向上的点数之和是7”，则()16P A =，()61366P B ==，()136P AB =，因为()()()P AB P A P B =⋅，所以事件A 与B 互相独立，故B 正确；对于C ，由123452,,,,,x x x x x 的平均数是7，得12345,,,,x x x x x 的平均数为8，由123452,,,,,x x x x x 方差是6，则()()222222123451234514752536xx x x x x x x x x ++++-+++++⨯+=，所以()()222222123451234516856x x x x x x x x x x ++++-+++++⨯=，所以12345,,,,x x x x x 的方差()()22222212345123451685655xx x x x x x x x x ++++-+++++⨯=，故C 正确；对于D ，由()10,0.8B X 得，当()110,Z x r r r =≤≤∈时，()101041C 55rrr P x r -⎛⎫⎛⎫==⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当2r ≥时，令()()()101011111041C 411551141C 55r rr r r r P x r r P x r k ----⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪=-⎝⎭⎝⎭==≥=-⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，即445r ≤，令()()()10101911041C 1551141041C 55r rrr r r P x r r P x r k -+-+⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪=+⎝⎭⎝⎭==≥=+-⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得395r ≥，即394455r ≤≤，所以当8r =时，()8P X =最大，故D 正确，故选：BCD ．11．ACD【分析】由121533PQ PF t PF =+ ，且12,,F Q F 三点共线，得到25t =，可判定A 正确；根据双曲线的定义和122EF EF c +=，求得12,EF a c EF c a =+=-，可判定B 错误；利用角平分线定理得到11222PF QF PF QF ==，结合三角形的面积公式，分别求得,c r 的值，可判定C 正确；结合离心率的定义和求法，可判定D 正确.【详解】对于A 中，因为12515333PQ PI PF t PF ==+，且12,,F Q F 三点共线，所以15133t +=，可得25t =，所以A 正确；对于B 中，设切点分别为,,E F G ，则12122EF EF PF PF a -=-=，又因为122EF EF c +=，所以12,EF a c EF c a =+=-，所以点E 为右顶点，圆心I 的横坐标为2，所以B 错误；对于C 中，因为121233PQ PF PF =+ ，所以122QF QF =，由角平分线定理，得11222PF QF PF QF ==，又因为1224PF PF a -==，所以128,4PF PF ==，由53PQ PI = 可得52P y r =，所以()121152122222PF F S c r c r =+⋅=⨯⨯ ，可得4c =，所以128F F =，则12PF F △为等腰三角形，所以1211(812)422PF F S r =+⋅=⨯⨯ 5r =，所以C 正确；对于D 中，由离心率422c e a ===，所以D 正确.【点睛】方法点拨：对于双曲线的综合问题的求解策略：1、与双曲线的两焦点有关的问题，在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合122PF PF a -=，运用平方的方法，建立12PF PF ⋅的联系；2、当与直线有关的问题，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式，根与系数的关系构造相关变量关系式进行求解；3、当与向量有关相结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系转化为点的坐标问题，再根据与系数的关系，将所求问题与条件建立联系求解.12．3-【分析】根据向量线性运算和数量积公式得到方程，求出答案.【详解】()()()22,44,26,2a b +=+-=，()()()21,6,2620c a b λλ⋅+=⋅=+=，解得3λ=-.故答案为：3-13．10,,12（答案不唯一，填写其中一个即可）【分析】根据三角降幂公式化简，再结合图象求得k 的取值即可.【详解】因为()()2cos 0x k ωϕω+=≠，所以cos 2()12x k ωϕ++=，即cos 2()21x k ωϕ+=-，要想方程所有正实根从小到大排列构成等差数列，则需要210k -=或1±，所以10,1,2k =.故答案为：10,,12（答案不唯一，填写其中一个即可）.14．9113【分析】（1）由()f x 的图象过点()1,2得21a b +=，根据基本不等式“1”的妙用计算即可；（2）由()f x 的图象过点(),ln c ab c +得()22c ac b a c +=-，进而得出22c ac b a c+=-，利用换元法及基本不等式即可求得3ca b+的最大值，即可得出t 的最小值．【详解】（1）由()f x 的图象过点()1,2得，(1)122f a b =++=，即21a b +=，所以()12222559b a a b a b a b ⎛⎫++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当22b a a b =，即13a b ==时等号成立．由()3a b t c +≥恒成立得，3ct a b≥+，（2）因为()f x 的图象过点(),ln c ab c +，则()()22ln ln f c c a b c c ab c =+++=+，即()22c ac b a c +=-，当2a c =时，0c =不合题意舍，所以2a c ≠，即2a c ≠，则22c acb a c+=-，则由0b >得2a c >，所以222222233533512ac c c ac a ac c c a b a ac c a a a c c c --===+-+⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭+-，设20am c-=>，所以()()222237332521351a m m c m m a a m m c c -==+++-++⎛⎫-+ ⎪⎝⎭1131337m m =≤++，当且仅当33m m=，即1m =，则3,4a c b c ==时，等号成立，故答案为：9；113．【点睛】方法点睛：第二空由()f x 的图象过点(),ln c ab c +得出22c acb a c+=-，代入消元得出关于,a c 的齐次式，换元后根据基本不等式计算可得．15．(1)证明见解析(2)30︒【分析】（1）取11B C 的中点D ，连接1,,A D CD DE ，先得出平面1//A DC 平面1AB E ，由面面平行证明线面平行即可；（2）建立空间直角坐标系，根据面面夹角的向量公式计算即可．【详解】（1）取11B C 的中点D ，连接1,,A D CD DE ，由直三棱柱111ABC A B C -得，1111,//B C BC B C BC =，1111,//AA BB AA BB =，因为E 是棱BC 的中点，点D 是11B C 的中点，所以1B D CE =，所以四边形1ECDB 为平行四边形，所以1//CD B E ，同理可得四边形1BEDB 为平行四边形，所以11,//,BB DE BB DE =所以11,//AA DE AA DE =，所以四边形1AEDA 为平行四边形，所以1//A D AE ，因为AE ⊂平面1AB E ，1A D ⊄平面1AB E ，所以1A D //平面1AB E ，同理可得//CD 平面1AB E ，又1A D CD D = ，1,A D CD ⊂平面1A DC ，所以平面1//A DC 平面1AB E ，又1AC ⊂平面1A DC ，所以1//A C 平面1AB E ．（2）设122AB AC AA ===，以A 为原点，分别以1,,AB AC AA 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则()()()()110,0,0,0,0,1,2,0,1,1,1,0A A B E ，所以()()()()11111,1,0,2,0,1,2,0,0,1,1,1AE AB A B EA ====--，设平面1AEB 的一个法向量为()1111,,n x y z =，由11100AE n AB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得，1111020x y x z +=⎧⎨+=⎩，取11x =，的()11,1,2n =-- ，设平面11A EB 的一个法向量为()2222,,n x y z =，由112120A B n EA n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得，2222200x x y z =⎧⎨--+=⎩，取21y =，的()20,1,1n = ，设平面1AEB 与平面11A EB 的夹角为θ，则1212cos n n n n θ⋅===由图可知二面角11A B E A --为锐角，则二面角11A B E A --的大小为30︒．16．(1)21n a n =+(2)28(1)41nn n n -++【分析】（1）根据12311S S S ++，，成等比数列求得1a ，即可求得{}n a 的通项公式.（2）根据{}n a 的通项公式求得n S ，分奇偶项分别求出n b 再求和，即可求得{}n b 的前4n 项和.【详解】（1）因为2213(1)(1)S S S =++，所以2111(22)(1)(37)a a a +=++，即11(1)(3)0a a +-=，解得11a =-或3，又因为0n a >，所以13a =，所以32(1)21n a n n =+-=+.（2）1()(2)2n n n a a S n n +==+，所以1111()22nS n n =-+，所以n 为奇数时，1341134111111111111(1()()2323524141n n b b b S S S n n --+++=+=-+-++--+ 11(1)241n =-+，n 为偶数时，424424(42)44(42)16n n n n b b S S n n n n n--+=-=-⨯-⨯+=-24416(12)8(1)n b b b n n n +++=-+++=-+ ，所以前4n 项和4112(1)8(1)8(1)24141n nT n n n n n n =--+=-+++.17．(1)2y x =(2)证明见详解.【分析】（1）设动点F 的坐标为(),x y ，直接利用题中的条件列式并化简，从而求出动点F 的轨迹方程；（2）要证A 为线段BM 的中点，只需证12A B x x x =+即可，设直线的方程为12x my =+，设点()11,M x y ，()22,N x y ，()1,A A x y ，()1,B B x y ，联立直线与曲线的方程，列出韦达定理，由直线OP ，ON 可求得点,A B ，计算120B A x x x +-=即可证.【详解】（1）设点(),F x y ，则(),1E x -，因为OF OE ⊥，所以0OF OE =⋅ ，所以20x y -=，即2x y =，所以动点F 的轨迹方程为：2y x =；（2）因为BM y ⊥轴，所以设()11,M x y ，()22,N x y ，()1,A A x y ，()1,B B x y ，若要证A 为线段BM 的中点，只需证12A B x x x =+即可，当直线MN 斜率不存在或斜率为0时，与抛物线只有一个交点，不满足题意，所以直线MN 斜率存在且不为0，12120x x y y ≠，设直线MN ：12x my =+，0m ≠，由212x my y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩得22210mx x -+=，442148m m ∆=-⨯⨯=-，由题意可知，直线MN 与抛物线C 有两个交点，所以0∆>，即480m ->，所以12m <，由根与系数的关系得，121x x m +=，1212x x m=，由题意得，直线OP 方程y x =，所以()11,A y y ，直线ON 方程22y y x x =，所以2112,x y B y y ⎛⎫⎪⎝⎭，所以22212111111111222222212B A x y x x x x x x x y x x x x y x x ⎛⎫⋅+-=+-=+-=+- ⎪⎝⎭()121211112122222112202x x x x x x x x x x x x x x m m +-⎛⎫=⋅=+-=-⨯= ⎪⎝⎭，所以A 为线段BM 的中点.18．(1)0.035a =；72.5(2)0.6(3)160【分析】（1）由频率分布直方图的概率和为1，列出方程，求得0.035a =，再利用百分位数的计算方法，即可求解；（2）设“抽到男学生”为事件A ，“评分80分以上”为事件B ，结合全概率公式，即可求解；（3）根据题意，利用方差的计算公式，求得245x y s s s =，得到160y x y x s s m n s s +=，令x y s t s =，得到160n my t +=，利用基本不等式求得nmy t+≥200n m =-，得出不等式160≥m 的范围，即可求解.【详解】（1）解：由频率分布直方图的性质，可得：(0.0020.0040.00140.00200.0025)101a +++++⨯=，解得0.035a =，设25%分位数为0x ，由分布直方图得0.020,040.140.2++=，所以0700.05100.2x -=，解得072.5x =.（2）解：设“抽到男学生”为事件A ，“评分80分以上”为事件B ，可得()0.8,(|)0.55,()0.2,(|)0.8P A P B A P A P B A ====，由全概率公式得()()(|)()(|)0.80.550.20.80.6P B P A P B A P A P B A =⋅+⋅=⨯+⨯=.（3）解：由x y =，可得mx n yz x m n+==+，所以22222111111[()()][()()]200200m n m ni i i i i j i j s x z y z x x y y =====-+-=-+-∑∑∑∑2214()2005x y x y ms ns s s =+=，所以22160x y x y ms ns s s +=，即160y xy xs s mn s s +=，令x y s t s =，则160nmy t+=，由于n my t +≥=n my t =时，等号成立，又因为200n m =-，可得160≥=220064000m m -+≥，解得40m ≤或160m ≥，因为1200n m ≤≤≤且200m n +=，所以160m ≥，所以实数m 的最大值为160.19．(1)答案见解析，证明见解析(2)(],1-∞(3)证明见解析【分析】（1）类比，写出平方关系，倍角关系和导数关系，并进行证明；（2）构造函数()()sh F x x kx =-，()0,x ∞∈+，求导，分1k ≤和1k >两种情况，结合基本不等式，隐零点，得到函数单调性，进而得到答案；（3）结合新定义将所证变为()()121112121e sin e sin e cos x x x x x x x x x +-+>-+-，设函数()=e sin x f x x -，即证()()()12121f x x f x x f x >+'+，先利用导数求得()=e cos x f x x -'在()0,∞+上单调递增，再设()()()()()111,0h x f x x f x xf x x =+-->'，利用导数得其单调性及()0h x >，从而()()()111f x x f x xf x >+'+，得证.【详解】（1）平方关系：()()22chsh 1x x -=；倍角公式：()()()sh 22sh ch x x x =；导数：()()sh()ch()ch()sh()x x x x ''⎧=⎪⎨=⎪⎩.理由如下：平方关系，()()2222e e e e ch sh 22x x x x x x --⎛⎫⎛⎫+--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222e e e e 12244x x x x --++=--=+；倍角公式：()()()()()22e e e e e e sh 22sh ch 22x x x x x x x x x ----+-===；导数：()()e e ee sh()ch 22x xxxx x --'--+===，()e e ch()sh 2x x x x -'-==；以上三个结论，证对一个即可.（2）构造函数()()sh F x x kx =-，()0,x ∞∈+，由（1）可知()()ch F x x k ='-，①当1k ≤时，由e e ch()12x xx -+=≥，又因为0x >，故e e x x -≠，等号不成立，所以()()ch 0F x x k '=->，故()F x 为严格增函数，此时()(0)0F x F >=，故对任意0x >，()sh x kx >恒成立，满足题意；②当1k >时，令()()(),0,G x F x x ∞∈'=+，则()()sh 0G x x ='>，可知()G x 是严格增函数，答案第15页，共15页由(0)10G k =-<与1(ln 2)04G k k=>可知，存在唯一0(0,ln 2)x k ∈，使得0()0G x =，故当0(0,)x x ∈时，0()()()0F x G x G x =<='，则()F x 在0(0,)x 上为严格减函数，故对任意0(0,)x x ∈，()()00F x F <=，即()sh x kx >，矛盾；综上所述，实数k 的取值范围为(],1-∞；（3）因为()()ch sh e xx x +=，所以原式变为()()21212121e 1e sin sin cos x x x x x x x x --⋅>+--，即证()()121112121e sin e sin e cos x x x x x x x x x +-+>-+-，设函数()=e sin x f x x -，即证()()()12121f x x f x x f x >+'+，()=e cos x f x x -'，设()()=e cos x t x f x x =-'，()e sin x t x x '=+，0x >时()0t x '>，()t x 在()0,∞+上单调递增，即()=e cos x f x x -'在()0,∞+上单调递增，设()()()()()111,0h x f x x f x xf x x =+-->'，则()()()11h x f x x f x =+'-''，由于()=e cos x f x x -'在()0,∞+上单调递增，11x x x +>，所以()()11f x x f x +>''，即()0h x '>，故()h x 在()0,∞+上单调递增，又()00h =，所以0x >时，()0h x >，所以()()()1110f x x f x xf x +-->'，即()()()111f x x f x xf x >+'+，因此()()()12121f x x f x x f x >+'+恒成立，所以原不等式成立，得证.【点睛】思路点睛：对新定义的题型要注意一下几点：（1）读懂定义所给的主要信息筛选出重要的关键点（2）利用好定义所给的表达式以及相关的条件（3）含有参数是要注意分类讨论的思想.。
山东省潍坊市2019-2020学年第三次高考模拟考试数学试卷含解析
山东省潍坊市2019-2020学年第三次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请全校m 名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对(),x y ；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(),x y 的个数a ；最后再根据统计数a 估计π的值，那么可以估计π的值约为（ ） A ．4amB ．2a m+ C ．2a mm+ D ．42a mm+ 【答案】D 【解析】 【分析】由试验结果知m 对0～1之间的均匀随机数,x y ，满足0101x y <<⎧⎨<<⎩，面积为1，再计算构成钝角三角形三边的数对(,)x y ，满足条件的面积，由几何概型概率计算公式，得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积，即可估计π的值． 【详解】解：根据题意知，m 名同学取m 对都小于1的正实数对(),x y ，即0101x y <<⎧⎨<<⎩，对应区域为边长为1的正方形，其面积为1，若两个正实数,x y 能与1构成钝角三角形三边，则有22110101x y x y x y ⎧+<⎪+>⎪⎨<<⎪⎪<<⎩， 其面积142S π=-；则有142a m π=-，解得42a mmπ+= 故选：D ． 【点睛】本题考查线性规划可行域问题及随机模拟法求圆周率的几何概型应用问题. 线性规划可行域是一个封闭的图形，可以直接解出可行域的面积；求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解.2．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，设其前n 项和n S ，若14+=nn n a a （n *∈N ），则5S =（ ）A ．30B．C．D ．62根据14+=nn n a a ，分别令1,2n =，结合等比数列的通项公式，得到关于首项和公比的方程组，解方程组求出首项和公式，最后利用等比数列前n 项和公式进行求解即可. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由题意可知中：10,0a q >>.由14+=nn n a a ，分别令1,2n =，可得124a a =、2316a a =，由等比数列的通项公式可得：1112114162a a q a a q a q q ⎧⋅⋅=⎧=⎪⇒⎨⎨⋅⋅⋅==⎪⎩⎩因此552)12S -==-故选：B 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式和前n 项和公式的应用，考查了数学运算能力.3．盒中装有形状、大小完全相同的5张“刮刮卡”，其中只有2张“刮刮卡”有奖，现甲从盒中随机取出2张，则至少有一张有奖的概率为( ) A ．12B ．35C ．710D ．45【答案】C 【解析】 【分析】先计算出总的基本事件的个数，再计算出两张都没获奖的个数，根据古典概型的概率，求出两张都没有奖的概率，由对立事件的概率关系，即可求解. 【详解】从5张“刮刮卡”中随机取出2张，共有2510C =种情况，2张均没有奖的情况有233C =（种），故所求概率为3711010-=. 故选:C. 【点睛】本题考查古典概型的概率、对立事件的概率关系，意在考查数学建模、数学计算能力，属于基础题. 4．过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点FC 于点M(M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为（ ） AB．C．D．联立方程解得M(3，23)，根据MN ⊥l 得|MN|＝|MF|＝4，得到△MNF 是边长为4的等边三角形，计算距离得到答案. 【详解】依题意得F(1,0)，则直线FM 的方程是y ＝3(x －1)．由2314y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩得x ＝13或x ＝3.由M 在x 轴的上方得M(3，23)，由MN ⊥l 得|MN|＝|MF|＝3＋1＝4又∠NMF 等于直线FM 的倾斜角，即∠NMF ＝60°，因此△MNF 是边长为4的等边三角形 点M 到直线NF 的距离为34232⨯= 故选：C. 【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力.5．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，若函数()f x 在1x =处取得极大值，则函数()y xf x =-'的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】由题意首先确定导函数的符号，然后结合题意确定函数在区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞和0,1x x ==处函数的特征即可确定函数图像. 【详解】Q 函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()f x 在1x =处取得极大值，∴当1x >时，()0f x '<；当1x =时，()0f x '=；当1x <时，()0f x '>.0x ∴<时，()0y xf x '=->，01x <<时，()0y xf x '=-<，当0x =或1x =时，()0y xf x '=-=；当1x >时，()0xf x '->. 故选：B 【点睛】根据函数取得极大值，判断导函数在极值点附近左侧为正，右侧为负，由正负情况讨论图像可能成立的选项，是判断图像问题常见方法，有一定难度. 6．执行程序框图，则输出的数值为（ ）A ．12B ．29C ．70D ．169【答案】C 【解析】 【分析】由题知：该程序框图是利用循环结构计算并输出变量b 的值，计算程序框图的运行结果即可得到答案. 【详解】0a =，1b =，1n =，022b =+=，5n <，满足条件，2012a -==，2n =，145b =+=，5n <，满足条件， 5122a -==，3n =，21012b =+=，5n <，满足条件，12252a -==，4n =，52429b =+=，5n <，满足条件，295122a -==，5n =，125870b =+=，5n =，不满足条件，输出70b =. 故选：C 【点睛】本题主要考查程序框图中的循环结构，属于简单题.7．五名志愿者到三个不同的单位去进行帮扶，每个单位至少一人，则甲、乙两人不在同一个单位的概率A ．25B ．1325C ．35D ．1925【答案】D 【解析】 【分析】三个单位的人数可能为2，2，1或3，1，1，求出甲、乙两人在同一个单位的概率，利用互为对立事件的概率和为1即可解决. 【详解】由题意，三个单位的人数可能为2，2，1或3，1，1；基本事件总数有2231335352332222C C C C A A A A + 150=种，若为第一种情况，且甲、乙两人在同一个单位，共有122332C C A 种情况；若为第二种情况，且甲、乙两人在同一个单位，共有112332C C A 种，故甲、乙两人在同一个单位的概率 为36615025=，故甲、乙两人不在同一个单位的概率为61912525P =-=. 故选：D. 【点睛】本题考查古典概型的概率公式的计算，涉及到排列与组合的应用，在正面情况较多时，可以先求其对立事件，即甲、乙两人在同一个单位的概率，本题有一定难度.8．在区间[1,1]-上随机取一个数k ，使直线(3)y k x =+与圆221x y +=相交的概率为（ ）A ．12B ．13C．4D．3【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与圆相交，可求出k 的取值范围，根据几何概型可求出相交的概率. 【详解】因为圆心(0,0)，半径1r =，直线与圆相交，所以1d =≤，解得44k -≤≤所以相交的概率224P ==,故选C.本题主要考查了直线与圆的位置关系，几何概型，属于中档题.9．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【详解】详解：由题意知，题干中所给的是榫头，是凸出的几何体，求得是卯眼的俯视图，卯眼是凹进去的，即俯视图中应有一不可见的长方形， 且俯视图应为对称图形故俯视图为故选A.点睛：本题主要考查空间几何体的三视图，考查学生的空间想象能力，属于基础题。
2020年高考模拟山东省潍坊市(3月份) 高考数学模拟试卷含解析
2020年高考数学模拟试卷（3月份）一、选择题1．设集合M＝{x|x2+x﹣2≤0}，N＝{x|log2x＜1}，则M∩N＝（）A．{x|﹣2≤x≤1}B．{x|0＜x≤1}C．{x|1≤x＜2}D．{x|﹣2≤x＜2} 2．已知向量＝（2，1），＝（3，t），||＝1，则•＝（）A．2B．3C．7D．83．设i为虚数单位，a∈R，“复数z＝﹣是纯虚数“是“a＝1“的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．数学的对称美在中国传统文化中多有体现，譬如如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的和谐美．如果能够将圆的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数“，下列说法错误的是（）A．对于任意一个圆，其“优美函数“有无数个B．f（x）＝x3可以是某个圆的“优美函数”C．正弦函数y＝sin x可以同时是无数个圆的“优美函数”D．函数y＝f（x）是“优美函数”的充要条件为函数y＝f（x）的图象是中心对称图形5．已知cos（﹣φ）＝，且|φ|＜，则tanφ等于（）A．﹣B．C．D．﹣6．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，且该棱柱的体积为，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，则该球的表面积为（）A．4πB．4πC．8πD．32π7．将全体正整数排成一个三角形数阵，按照以上排列的规律，第10行从左向右的第3个数为（）A．13B．39C．48D．588．已知F为双曲线C：﹣＝1（a＞b＞0）的右焦点，A，B是双曲线C的一条渐近线上关于原点对称的两点，•＝0，且AF的中点在双曲线C上，则C的离心率为（）A．﹣1B．2﹣1C．+1D．+1二、多项选择题9．我国于2015年10月宣布实施普遍二孩政策，为了解户籍、性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄群体中随机抽取了容量为140的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各70人；男性60人，女性80人，绘制的不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图如图所示，其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述正确的是（）A．是否倾向选择生育二胎与户籍有关B．是否倾向选择生育二胎与性别有关C．调查样本中倾向选择生育二胎的群群中，男性人数与女性人数相同D．倾向选择不生育二胎的群群中，农村户籍人数多于城镇户籍人数10．已知圆C：x2+y2﹣2x＝0，点A是直线y＝kx﹣3上任意一点，若以点A为圆心，半径为1的圆A与圆C没有公共点，则整数k的值可能为（）A．﹣2B．﹣1C．0D．111．已知a＝x lgx，b＝y lgy，c＝x lgy，d＝y lgx，且x≠1，y≠1，则（）A．∃x，y∈R+，使得a＜b＜c＜dB．∀x，y∈R+，都有c＝dC．∃x，y且x≠y，使得a＝b＝c＝dD．a，b，c，d中至少有两个大于112．已知在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F，H分别是AB，A1D1，BC1的中点，下列结论中正确的是（）A．D1C1∥平面CHDB．AC1⊥平面BDA1C．三棱锥D﹣BA1C1的体积为D．直线EF与BC1所成的角为30°三、填空题13．已知二项式的展开式中含x3项的系数是160，则实数a的值是．14．将函数f（x）＝2sin（2x﹣）向左平移个单位后得函数g（x），则g（x）在[0，]上的最大值是15．某超市春节大酬宾，购物满100元可参加一次抽奖活动，规则如下：顾客将一个半径适当的小球放入如图所示的容器正上方的人口处，小球在自由落下的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中，顾客相应获得袋子里的奖品．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左向右下落的概率都为．若活动当天小明在该超市购物消费108元，按照活动规则，他可参加一次抽奖，则小明获得A袋中的奖品的概率为16．已知函数f（x）＝px﹣﹣2lnx，若f（x）在定义域内为单调递增函数，则实数p的最小值为；若p＞0，在[1，e]上至少存在一点x0，使得f（x0）＞成立，则实数p的取值范围为．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，（1）c＝2b，A＝．（1）求C；（2）若•＝1，求c．18．甲、乙两同学在复习数列时发现原来曾经做过的一道数列问题因纸张被破坏，导致一个条件看不清，具体如下：等比数列{a n}的前n项和为S n，已知，（1）判断S1，S2，S3的关系；（2）若a1﹣a3＝3，设b n＝|a n|，记{b n}的前n项和为T n，证明：T n＜．甲同学记得缺少的条件是首项a1的值，乙同学记得缺少的条件是公比q的值，并且他俩都记得第（1）问的答案是S1，S3，S2成等差数列．如果甲、乙两同学记得的答案是正确的，请你通过推理把条件补充完整并解答此题．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，E 为线段PB的中点．（1）证明：点F在线段BC上移动时，△AEF为直角三角形；（2）若F为线段BC的中点，求二面角A﹣EF﹣D的余弦值．20．已知椭圆C1：+＝1（a＞b＞0）的右顶点与抛物线C2：y2＝2px（p≥0）的焦点重合．C1的离心率为，过C1的右焦点F且垂直于x轴的直线截C2所得的弦长为4．（1）求椭圆C1和抛物线C2的方程；（2）过点M（3，0）的直线l与椭圆C1交于A，B两点，点B关于x轴的对称点为点E，证明：直线AE过定点．21．调味品品评师的重要工作是对各种品牌的调味品进行品尝，分析、鉴定，调配、研发，周而复始、反复对比．对调味品品评师考核测试的一种常用方法如下：拿出n瓶外观相同但品质不同的调味品让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n瓶调味品，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试．根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分．现设n＝4，分别以a1，a2，a3，a4表示第一次排序时被排为1，2，3，4的四种调味品在第二次排序时的序号，并令X＝|1﹣a1|+|2﹣a2|+|3﹣a3|+|4﹣a4|，则X是对两次排序的偏离程度的一种描述．（如第二次排序时的序号为1，3，2，4，则X＝2）．（1）写出X的所有可能值构成的集合；（2）假设a1，a2，a3+a4的排列等可能地为1，2，3，4的各种排列，求X的数学期望；（3）某调味品品评师在相继进行的三轮测试中，都有X≤2．（i）试按（2）中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）；（ⅱ）请你判断该调味品品评师的品味鉴别能力如何？并说明理由．22．已知函数f（x）＝a x（a＞0，a≠1）．（1）当a＝e（e为自然对数的底数）时，（i）若G（x）＝f（x）﹣2x﹣m在[0，2]上恰有两个不同的零点，求实数m的取值范围；（ii）若，求T（x）在[0，1]上的最大值；（2）当，数列{b n}满足．求证：．参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M＝{x|x2+x﹣2≤0}，N＝{x|log2x＜1}，则M∩N＝（）A．{x|﹣2≤x≤1}B．{x|0＜x≤1}C．{x|1≤x＜2}D．{x|﹣2≤x＜2}【分析】可以求出集合M，N，然后进行交集的运算即可．解：∵M＝{x|﹣2≤x≤1}，N＝{x|0＜x＜2}，∴M∩N＝{x|0＜x≤1}．故选：B．2．已知向量＝（2，1），＝（3，t），||＝1，则•＝（）A．2B．3C．7D．8【分析】由＝﹣先求出的坐标，然后根据||＝1，可求t，结合向量数量积定义的坐标表示即可求解．解：因为＝﹣＝（1，t﹣1）；∵||＝1，∴12+（t﹣1）2＝12⇒t＝0；∴＝（3，1），∴•＝2×3+1×1＝7；故选：C．3．设i为虚数单位，a∈R，“复数z＝﹣是纯虚数“是“a＝1“的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】先化简z，求出a，再判断即可．解：复数z＝﹣＝﹣是纯虚数，则a2＝1，a＝±1，a＝±1是a＝1的必要不充分条件，故选：B．4．数学的对称美在中国传统文化中多有体现，譬如如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的和谐美．如果能够将圆的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数“，下列说法错误的是（）A．对于任意一个圆，其“优美函数“有无数个B．f（x）＝x3可以是某个圆的“优美函数”C．正弦函数y＝sin x可以同时是无数个圆的“优美函数”D．函数y＝f（x）是“优美函数”的充要条件为函数y＝f（x）的图象是中心对称图形【分析】利用“优美函数”的定义判断选项A，B，C正确，函数y＝f（x）的图象是中心对称图形，则函数y＝f（x）是“优美函数”，但是函数y＝f（x）是“优美函数”时，图象不一定是中心对称图形，举出反例，可判断选项D错误．解：对于A：过圆心的直线都可以将圆的周长和面积同时平分，所以对于任意一个圆，其“优美函数”有无数个，故选项A正确；对于B：因为函数f（x）＝x3图象关于原点成中心对称，所以将圆的圆心放在原点，则函数f（x）＝x3是该圆的“优美函数”，故选项B正确；对于C：将圆的圆心放在正弦函数y＝sin x的对称中心上，则正弦函数y＝sin x是该圆的“优美函数”，故选项C正确；对于D：函数y＝f（x）的图象是中心对称图形，则函数y＝f（x）是“优美函数”，但是函数y＝f（x）是“优美函数”时，图象不一定是中心对称图形，如图所示：，所以函数y＝f（x）的图象是中心对称图形是函数y＝f（x）是“优美函数”的充分不必要条件，故选项D错误，故选：D．5．已知cos（﹣φ）＝，且|φ|＜，则tanφ等于（）A．﹣B．C．D．﹣【分析】利用两角差得余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简已知的等式，得到sinφ的值，然后由φ的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cosφ的值，再由同角三角函数间的基本关系，由sinφ和cosφ的值求出tanφ的值即可．解：由cos（﹣φ）＝cos cosφ+sin sinφ＝，得sinφ＝﹣，又|φ|＜，得到﹣＜φ＜，∴cosφ＝＝，则tanφ＝＝﹣．故选：D．6．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，且该棱柱的体积为，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，则该球的表面积为（）A．4πB．4πC．8πD．32π【分析】利用三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为，AB＝2，AC ＝1，∠BAC＝60°，求出AA1，再求出△ABC外接圆的半径，即可求得球的半径，从而可求球的表面积．解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，∴×2×1×sin60°×AA1＝，∴AA1＝2∵BC2＝AB2+AC2﹣2AB•AC cos60°＝4+1﹣2，∴BC＝．设△ABC外接圆的半径为R，则＝2R，∴R＝1．∴外接球的半径为，∴球的表面积等于4π×（）2＝8π．故选：C．7．将全体正整数排成一个三角形数阵，按照以上排列的规律，第10行从左向右的第3个数为（）A．13B．39C．48D．58【分析】根据题意，分析可得第n行的第一个数字为+1，进而可得第20行的第一个数字，据此分析可得答案．解：由排列的规律可得，第n﹣1行结束的时候共排了1+2+3+…+（n﹣1）＝＝个数，则第n行的第一个数字为+1，则第10行的第一个数字为46，故第10行从左向右的第3个数为48；故选：C．8．已知F为双曲线C：﹣＝1（a＞b＞0）的右焦点，A，B是双曲线C的一条渐近线上关于原点对称的两点，•＝0，且AF的中点在双曲线C上，则C的离心率为（）A．﹣1B．2﹣1C．+1D．+1【分析】根据条件设出A，B的坐标，结合向量数量积求出A，B的坐标，结合中点坐标公式建立方程进行求解即可．解：设双曲线的一条渐近线是y＝x，设A（m，m），m＞0，则B（﹣m，﹣m），F（c，0），则由•＝0得（c﹣m，﹣m）•（c+m，m）＝0，得c2﹣m2﹣＝0，即c2＝m2，得m2＝a2，则m＝a，即A（a，b），则AF的中点为（，），∵AF的中点在双曲线C上，∴﹣＝1，即（）2＝1+＝，即（1+e）2＝，则（1+e）2＝5，则1+e＝，即e＝，故选：A．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．我国于2015年10月宣布实施普遍二孩政策，为了解户籍、性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄群体中随机抽取了容量为140的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各70人；男性60人，女性80人，绘制的不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图如图所示，其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述正确的是（）A．是否倾向选择生育二胎与户籍有关B．是否倾向选择生育二胎与性别有关C．调查样本中倾向选择生育二胎的群群中，男性人数与女性人数相同D．倾向选择不生育二胎的群群中，农村户籍人数多于城镇户籍人数【分析】由比例图，可得是否倾向选择生育二胎与户籍、性别有关，倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数，倾向选择生育二胎的人员中的男性人数与女性人数，即可得出结论．解：由不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图，知：在A中，城镇户籍倾向选择生育二胎的比例为40%，农村户籍倾向选择生育二胎的比例为80%，∴是否倾向选择生育二胎与户籍有关，故A正确；在B中，男性倾向选择生育二胎的比例为80%，女性倾向选择生育二胎的比例为60%，∴是否倾向选择生育二胎与性别有关，故B正确；在C中，男性倾向选择生育二胎的比例为80%，人数为60×80%＝48人，女性倾向选择生育二胎的比例为60%，人数为80×60%＝48人，∴倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数相同，故C正确；在D中，倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数为70×（1﹣80%）＝14人，城镇户籍人数为70×（1﹣40%）＝42人，∴倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数，故D正确．故选：ABCD．10．已知圆C：x2+y2﹣2x＝0，点A是直线y＝kx﹣3上任意一点，若以点A为圆心，半径为1的圆A与圆C没有公共点，则整数k的值可能为（）A．﹣2B．﹣1C．0D．1【分析】由题意可得圆心（1，0）到直线y＝kx﹣3（k∈Z）的距离大于或等于2，利用点到直线的距离公式求得k的范围，可得结论．解：圆C的方程为x2+y2﹣2x＝0，即（x﹣1）2+y2＝1，半径为1，由题意可得，圆心（1，0）到直线y＝kx﹣3（k∈Z）的距离大于或等于2，即≥2，求得﹣1≤k≤7，∴k＝﹣1或0或1，故选：BCD．11．已知a＝x lgx，b＝y lgy，c＝x lgy，d＝y lgx，且x≠1，y≠1，则（）A．∃x，y∈R+，使得a＜b＜c＜dB．∀x，y∈R+，都有c＝dC．∃x，y且x≠y，使得a＝b＝c＝dD．a，b，c，d中至少有两个大于1【分析】根据对数的定义可得lga＝lg2x，lgb＝lg2y，lgc＝lgxlgy，lgd＝lgxlgy，即可判断各选项．解：a＝x lgx，b＝y lgy，c＝x lgy，d＝y lgx，且x≠1，y≠1，则lga＝lg2x，lgb＝lg2y，lgc＝lgxlgy，lgd＝lgxlgy，则∀x，y∈R+，都有c＝d，故B正确，A，C不正确，对于D：假设a，b，c，d中最多有一个大于1，若x＞10，y＞10，则a＞1，b＞1，c＞1，d＞1，则假设不成立，故则a，b，c，d中至少有两个大于1，D正确故选：BD．12．已知在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F，H分别是AB，A1D1，BC1的中点，下列结论中正确的是（）A．D1C1∥平面CHDB．AC1⊥平面BDA1C．三棱锥D﹣BA1C1的体积为D．直线EF与BC1所成的角为30°【分析】A中，利用线面平行的判定定理，得出D1C1∥平面CHD；B中，建立空间直角坐标系，利用向量的数量积判断垂直，得出AC1⊥平面BDA1；C中，计算三棱锥D﹣BA1C1的体积即可；D中，利用向量的数量积求夹角即可．解：如图1所示，由题意，C1D1∥CD，C1D1⊄平面CHD，CD⊂平面CHD，所以D1C1∥平面CHD，A正确；建立空间直角坐标系，如图2所示；由AB＝1，则＝（﹣1，1，1），＝（﹣1，﹣1，0），＝（1，0，1）；所以•＝1﹣1+0＝0，•＝﹣1+0+1＝0，所以⊥，⊥，所以AC1⊥平面BDA1，B正确；三棱锥D﹣BA1C1的体积为＝﹣4＝1﹣4×××1×1×1＝，所以C错误；E（1，，0），F（0，0，），所以＝（﹣1，﹣，），＝（﹣1，0，1），所以cos＜，＞＝＝＝，所以与所成的角是30°，D正确．故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知二项式的展开式中含x3项的系数是160，则实数a的值是2．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得含x3的项，再根据含x3项的系数等于160求得实数a的值．解：二项式的展开式的通项公式为T r+1＝•a r•x12﹣3r，令12﹣3r＝3，求得r＝3，可得展开式中含x3项的系数是•a3＝160，解得实数a＝2，故答案为：2．14．将函数f（x）＝2sin（2x﹣）向左平移个单位后得函数g（x），则g（x）在[0，]上的最大值是【分析】由题意利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求出g（x）在[0，]上的最大值．解：将函数f（x）＝2sin（2x﹣）向左平移个单位后，得函数g（x）＝2sin（2x+﹣）＝2sin（2x+）的图象，在[0，]上，2x+∈[，]，故当2x+＝时，函数g（x）取得最小值为1；当2x+＝时，函数g（x）取得最大值为．故答案为：．15．某超市春节大酬宾，购物满100元可参加一次抽奖活动，规则如下：顾客将一个半径适当的小球放入如图所示的容器正上方的人口处，小球在自由落下的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中，顾客相应获得袋子里的奖品．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左向右下落的概率都为．若活动当天小明在该超市购物消费108元，按照活动规则，他可参加一次抽奖，则小明获得A袋中的奖品的概率为【分析】小球落入A袋中的概率为P（A）＝1﹣P（B），由此利用对立事件概率计算公式能求出小球落入A袋中的概率．解：∵将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由落下，小球在下落过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中，小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率分别为，小球落入A袋中的概率为：P（A）＝1﹣P（B）＝1﹣2×＝．故答案为：．16．已知函数f（x）＝px﹣﹣2lnx，若f（x）在定义域内为单调递增函数，则实数p的最小值为1；若p＞0，在[1，e]上至少存在一点x0，使得f（x0）＞成立，则实数p的取值范围为（，+∞）．【分析】先求出导函数f'（x），要使f（x）在定义域（0，+∞）内为单调递增函数，只需f'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，即在（0，+∞）上恒成立，再利用基本不等式求出，所以p≥1，从而实数p的最小值为1，由题意可知不等式f （x）＞在[1，e]上有解，设F（x）＝f（x）﹣＝px﹣﹣2lnx﹣，利用导数得到[F（x）]max＝F（e）＝，即可解得实数p的取值范围．解：∵函数f（x）＝px﹣﹣2lnx，x∈（0，+∞），∴f'（x）＝p+﹣＝，要使f（x）在定义域（0，+∞）内为单调递增函数，只需f'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，即px2﹣2x+p≥0在（0，+∞）上恒成立，∴在（0，+∞）上恒成立，∵，当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立，∴p≥1，∴实数p的最小值为1，由题意可知，不等式f（x）＞在[1，e]上有解，设F（x）＝f（x）﹣＝px﹣﹣2lnx﹣，∴F'（x）＝p+﹣+＝＞0，∴函数F（x）在[1，e]上单调递增，∴[F（x）]max＝F（e）＝，解得：，∴实数p的取值范围为：（，+∞），故答案为：1，（，+∞）．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，（1）c＝2b，A＝．（1）求C；（2）若•＝1，求c．【分析】（1）结合正弦定理以及三角形的内角和求出sin C＝cos C；即可求解；（2）先根据内角和以及两角和的正弦公式求出sin B；在结合正弦定理得到a＝；b＝；代入数量积即可求解结论．解：（1）∵（1）c＝2b，A＝；结合正弦定理得：（1）sin C＝2sin B＝2sin（﹣C）＝2（cos C+sin C），∴sin C＝cos C；∵C∈（0，π）；∴C＝；（2）由（1）得：sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+sin C cos A＝×+×＝；∵＝⇒a＝；b＝；∴•＝ab cos C＝××cos C＝c2×××＝1；∴c2＝4；∴c＝2 （负值舍）．即c＝2．18．甲、乙两同学在复习数列时发现原来曾经做过的一道数列问题因纸张被破坏，导致一个条件看不清，具体如下：等比数列{a n}的前n项和为S n，已知q＝﹣，（1）判断S1，S2，S3的关系；（2）若a1﹣a3＝3，设b n＝|a n|，记{b n}的前n项和为T n，证明：T n＜．甲同学记得缺少的条件是首项a1的值，乙同学记得缺少的条件是公比q的值，并且他俩都记得第（1）问的答案是S1，S3，S2成等差数列．如果甲、乙两同学记得的答案是正确的，请你通过推理把条件补充完整并解答此题．【分析】（1）可补充公比q的值，由等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，计算可得所求结论；（2）由等比数列的通项公式求得b n＝n•（）n，再由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，不等式的性质，即可得证．解：（1）由题意可得S1＝a1，S2＝a1+a2＝a1﹣a1＝a1，S3＝a1+a2+a3＝a1﹣a1+a1＝a1，可得S1+S2＝2S3，即S1，S3，S2成等差数列；（2）证明：由a1﹣a3＝3，可得a1﹣a1＝3，解得a1＝4，b n＝|a n|＝•|4•（﹣）n﹣1|＝n•（）n，则T n＝（1•+2•+3•+…+n•），T n＝（1•+2•+3•+…+n•），上面两式相减可得T n＝（++++…+﹣n•）＝[﹣﹣n•]，化简可得T n＝（1﹣），由1﹣＜1，可得T n＜．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，E 为线段PB的中点．（1）证明：点F在线段BC上移动时，△AEF为直角三角形；（2）若F为线段BC的中点，求二面角A﹣EF﹣D的余弦值．【分析】（1）利用等腰三角形的性质可得：AE⊥PB，再利用线面垂直的性质定理判定定理及其正方形的性质可得：BC⊥平面PAB，进而证明AE⊥平面PBC，即可得出结论．（2）由题意，以AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，令PA ＝2，易知平面DAF的一个法向量为＝（0，0，1）．设平面AEF的法向量为＝（x，y，z），则•＝•＝0，可得：．利用向量夹角公式即可得出．【解答】（1）证明：因为PA＝AB，E为线段PB的中点，所以AE⊥PB，因为PA⊥底面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC，又因为底面ABCD为正方形，所以BC⊥AB，又PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，∵AE⊂平面PAB，∴BC⊥AE，因为PB∩BC＝B，所以AE⊥平面PBC，因为FE⊂平面PBC，所以AE⊥EF，所以点F在线段BC上移动时，△AEF为直角三角形．（2）解：由题意，以AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，令PA＝2，则A（0，0，0），B（2，0，0），E（1，0，1），F（2，1，0），易知平面DAF的一个法向量为＝（0，0，1）；设平面AEF的法向量为＝（x，y，z），则•＝•＝0，可得：2x+y＝0，x+z ＝0，取＝（1，﹣2，﹣1），所以cos＜，＞＝＝﹣，由图可知：二面角A﹣EF﹣D的平面角为钝角，因此余弦值为﹣．20．已知椭圆C1：+＝1（a＞b＞0）的右顶点与抛物线C2：y2＝2px（p≥0）的焦点重合．C1的离心率为，过C1的右焦点F且垂直于x轴的直线截C2所得的弦长为4．（1）求椭圆C1和抛物线C2的方程；（2）过点M（3，0）的直线l与椭圆C1交于A，B两点，点B关于x轴的对称点为点E，证明：直线AE过定点．【分析】（1）由题意可得a＝，由于椭圆的离心率可得a，c的关≤系，进而可得p，c的关系，再由过C1的右焦点F且垂直于x轴的直线截C2所得的弦长为4可得c的值，再由a，b，c的关系求出椭圆的方程及抛物线的方程；（2）设直线AB的方程，及A，B的坐标由题意可得E的坐标，将直线与椭圆联立可得两根之和及两根之积，求出直线AE的直线方程，将两根之和及之积代入可得恒过定点．解：（1）由C1的离心率为，可得＝，所以a＝2c，因为椭圆的右顶点与抛物线的焦点重合，所以a＝，p＝2a，所以可得p＝4c，过C1的右焦点F且垂直于x轴的直线截C2所得的弦长为4，k令x＝c代入抛物线的方程：可得y2＝2p•c，所以|y|＝＝2c，即4＝2，解得c＝1，所以a＝2，p＝4c＝4由b2＝a2﹣c2可得b2＝4﹣1＝3，所以椭圆C1和抛物线C2的方程分别为：+＝1，y2＝8x；（2）由题意可得直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为：x＝my+3，设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意可得E（x2，﹣y2），直线与椭圆联立：，整理可得：（4+3m2）y2+18my+15＝0，△＝182m2﹣4（4+3m2）•15＞0，可得m2＜7，y1+y2＝，y1y2＝，直线AE的方程为：y﹣y1＝（x﹣x1），整理可得：y＝x﹣+＝x﹣＝x+＝（x﹣）所以当x＝时，y＝0，即过定点（，0），所以可证直线AE过定点（，0）．21．调味品品评师的重要工作是对各种品牌的调味品进行品尝，分析、鉴定，调配、研发，周而复始、反复对比．对调味品品评师考核测试的一种常用方法如下：拿出n瓶外观相同但品质不同的调味品让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n瓶调味品，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试．根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分．现设n＝4，分别以a1，a2，a3，a4表示第一次排序时被排为1，2，3，4的四种调味品在第二次排序时的序号，并令X＝|1﹣a1|+|2﹣a2|+|3﹣a3|+|4﹣a4|，则X是对两次排序的偏离程度的一种描述．（如第二次排序时的序号为1，3，2，4，则X＝2）．（1）写出X的所有可能值构成的集合；（2）假设a1，a2，a3+a4的排列等可能地为1，2，3，4的各种排列，求X的数学期望；（3）某调味品品评师在相继进行的三轮测试中，都有X≤2．（i）试按（2）中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）；（ⅱ）请你判断该调味品品评师的品味鉴别能力如何？并说明理由．【分析】（1）在1，2，3，4中奇数与偶数各有两个，从而a2，a4中的奇数个数等于a1，a3中的偶数个数，进而|1﹣a1|+|3﹣a3|与|2﹣a2|+|4﹣a4|的奇偶性相同，由此能举出使得X 所有可能值构成的集合．（2）可用列表或树状图列出1，2，3，4的一共24种排列，由此能求出X的数学期望．（3）（ⅰ）首先P（X≤2）＝P（X＝0）+P（X＝2）＝，将三轮测试都有X≤2的概率记做p，由独立性假设能求出结果．（ⅱ）由于p＝是一个很小的概率，这表明如果仅凭随机猜测得到三轮测试都有X≤2的结果的可能性很小，从而我们认为该品酒师确定有良好的味觉鉴别功能，不是靠随机猜测．解：（1）X的可能值集合为{0，2，4，6，8}，在1，2，3，4中奇数与偶数各有两个，所以a2，a4中的奇数个数等于a1，a3中的偶数个数，因此|1﹣a1|+|3﹣a3|与|2﹣a2|+|4﹣a4|的奇偶性相同，从而X＝（|1﹣a1|+|3﹣a3|）+（|2﹣a2|+|4﹣a4|）必为偶数，X的值非负，且易知其值不大于8．由此能举出使得X的值等于0，2，4，6，8各值的排列的例子．（2）可用列表或树状图列出1，2，3，4的一共24种排列，计算每种排列下的X值，在等可能的假定下，得到X02468PEX＝+8×＝5．（3）（ⅰ）首先P（X≤2）＝P（X＝0）+P（X＝2）＝，将三轮测试都有X≤2的概率记做p，由上述结果和独立性假设，得p＝＝．（ⅱ）由于p＝是一个很小的概率，这表明如果仅凭随机猜测得到三轮测试都有X≤2的结果的可能性很小，所以我们认为该品酒师确定有良好的味觉鉴别功能，不是靠随机猜测．22．已知函数f（x）＝a x（a＞0，a≠1）．（1）当a＝e（e为自然对数的底数）时，（i）若G（x）＝f（x）﹣2x﹣m在[0，2]上恰有两个不同的零点，求实数m的取值范围；（ii）若，求T（x）在[0，1]上的最大值；（2）当，数列{b n}满足．求证：．【分析】（1）a＝e时，（i）G（x）＝e x﹣2x﹣m，G'（x）＝e x﹣2，判断函数的单调性，求解函数的最值，推出m的范围．（ii），．通过①当n＝0时，②当n＞0时，③当n＜0时，利用函数的导数，求解函数的最值．（2），转化求解函数的通项公式，利用不等式求解结果即可．解：（1）a＝e时，（i）G（x）＝e x﹣2x﹣m，G'（x）＝e x﹣2，故G（x）在（0，ln2）上单调递减；在（ln2，+∞）上单调递增；故G（x）＝e x﹣2x﹣m在[0，2]上恰有两个相异实根，故解得2﹣2ln2＜m＜1．（ii），∴．①当n＝0时，T'（x）＝e x＞0，T（x）在[0，1]上为增函数，则此时T（x）＝T（1）＝e；②当n＞0时，上为增函数，故T（x）在[0，1]上为增函数，此时T（x）＝T（1）＝e；③当n＜0时，上为增函数，在上为减函数，若，即n＜﹣2时，故T（x）在上为增函数，在上为减函数，此时，若，即﹣2≤n＜0时，T（x）在[0，1]上为增函数，则此时T（x）max＝T（1）＝e；综上所述：．（2），即，所以．。
山东省潍坊市寿光现代中学2020届高三三模考试数学试卷
' +$! 时# ! 0)" >>.>+ -% ! 其中 .>+ 表示组合数" >,)
高三数学试题第"# 页! 共 # 页"
高三数学参考答案及评分标准
一 单项选择题 每小题 * 分 共 #% 分 ) 0# 3231""* 0, 11$2
二 多项选择题 每小题 * 分 共 !% 分 :(123")%($3"))(123")!($23
1(#!'
2(:'+
3())#
,(已知函数 %! #" 的导函数 %'! #" -## ! #0)"+ ! #0!"! ! #0+" #则下列结论正确的是
$(%! #" 在 #-% 处有极大值
1(%! #" 在 #-! 处有极小值
2(%! #" 在 ,)#+- 上单调递减
3(%! #" 至少有 + 个零点
0#! "
!槡'+
2#!
/# !
0#! -槡++#
'
分
当且仅当 #! -# 0#! #即 #-槡!时#三棱锥 203.9体积的最大值为槡++! , 分 法一'以 .为坐标原点#以 .2#.3#.4为 ##-#(轴建立 空间直角坐标系!
$(& 8,%
1(& 9,%
2(& 8)%%
3(& 9)%%
4!在我国古代著名的数学专著( 九章算术) 里有一段叙述'今有良马与驽马发长安至齐#
【6.16潍坊高考三模数学】2020年6月山东省潍坊市2020届高三第三次模拟数学试卷含答案
一单项选择题本大题共 , 小题每小题 * 分共 #% 分!在每小题给出的四个选项中只
有一项是符合题目要求的!
)!已知集合 "-% #.)!#!)%& #$-% #.#! /#0' -%& #则 ""$等于
$(%)#!#+&
1(%!#+&
2(%)#!&
3(%!&
!!将一直角三角形绕其一直角边旋转一周后所形成的几何体的三
高三数学试题第"! 页! 共 # 页"
$(& 8,%
1(& 9,%
2(& 8)%%
3(& 9)%%
4!在我国古代著名的数学专著( 九章算术) 里有一段叙述'今有良马与驽马发长安至齐#
齐去长安一千一百二十五里#良马初日行一百零三里#日增十三里*驽马初日行九十七
里#日减半里*良马先至齐#复还迎驽马#二马相逢!问相逢时良马比驽马多行几里+
$(*#%
二多项选择题本大题共 # 小题每小题 * 分共 !% 分!在每小题给出的四个选项中有
多项符合题目要求全部选对的得 * 分选对但不全的得 + 分有选错的得 % 分!
:!设复数 (-0)! /槡!+)#则以下结论正确的是
$((! $%
1(((!%!% -(
)%!已知 *#+ 是两条不重合的直线###$#%是三个两两不重合的平面#则下列命题正确的是
1(#!'
2(:'+
3())#
,(已知函数 %! #" 的导函数 %'! #" -## ! #0)"+ ! #0!"! ! #0+" #则下列结论正确的是