理论力学11梁的位移计算汇总.
第六章梁的位移及简单超静定梁-16页word资料
第六章 梁的位移及简单超静定梁内容提要一、平面弯曲时梁的变形与位移Ⅰ、梁的变形1. 挠曲线 平面弯曲时，梁的轴线弯曲成位于形心主惯性平面内的一条光滑连续的平面曲线，称为挠曲线，如图6-1中的11AC B 。
2. 弯曲变形 以挠曲线(中性层)的曲率表示梁弯曲变形程度，曲率与弯矩间的关系为()()1zM x x EI ρ=-(6—1) 式中，()M x 为弯矩，z EI 为梁的弯曲刚度，(6-1)式右端的负号，是因为在图(6-1)所示坐标系中，y 向下为正，挠曲向上凸时曲率正，于是正弯矩产生负曲率，负弯矩产生正曲率。
(6-1)是在小变形，线弹性的条件下导出的，纯弯曲时，弯矩为常量，曲率为常量，挠曲线为一段圆弧线。
横力弯曲时，不计剪力对变形的影响，曲率和弯矩均为x 的函数，曲率与弯矩成正比。
Ⅱ、梁的位移1. 挠度 横截面在垂直于原轴线方向的位移，称为挠度，用w 表示。
表示挠度随横截面位置x 变化规律的方程为挠度(或挠曲线)方程 在图6-1所示坐标系中，w 向下为正，向上为负。
2. 转角 横截面相对于其原方位的角位移，称为转角，用θ表示。
在一般细长梁中，不计剪力对变形的影响，变形后的横截面仍保持为平面，且垂直于梁的挠曲线，于是转角θ也为x 轴与挠曲线在该点的切线之间的夹角。
(图6-1)，在图6-1所坐标系中，θ以顺时针转向为正，反之为负。
在小变形的情况下，转角θ等于挠曲线在该点处的斜率，即 Ⅲ、变形与位移变形与位移是两个不同的概念，但它们又互相联系。
梁的变形(曲率)仅取决于弯矩和梁的弯曲刚度的大小，位移不仅取决于弯矩和梁的弯曲刚度，还与梁的约束条件有关。
二、挠曲线的近似微分方程及其积分Ⅰ、挠曲线的近似微分方程平面曲线在直角坐标系中曲率公式为在小变形时，()211w x '+≈，于是将此式代入(6-1)式，得到线弹性范围内，小变形情况挠曲线的近似微分方程为()()M x w x EI''=-()()EIw x M x ''=-或 (6—2) Ⅱ、通过积分求梁的位移等直梁弯矩不需分段列出时，将(6-2)式积分一次得 再积分一次得式中，1C 和2C 为积分常数，由梁的位移边界条件确定。
第6章梁的位移
梁 的 位 移
§6-1 概
I. 梁的位移
述
直梁ACB； 形心主惯性平面xy； 平面弯曲； 挠曲线AC1B；
F
A C B
x
C1
挠曲线
y
F
A C B
x
w（挠度）
C1
挠曲线
y
挠度：横截面的形心（即轴线上的点）在y方 向的线位移w。在图示坐标系中，方向向下的w为 正。工程中常用梁，w<<l，横截面的形心在x方向 的线位移可略去。
qCF
wCF
qCF×a
由位移关系可得B截面的挠度和转角分别为
wBF
q BF
2 Fa Fa 5Fa wCF qCF a a 3EI EI 3EI 2 Fa q CF EI
3 2 3
qBMe
A B
wBMe
Me= Fa
由图b可得B截面的挠度和转角分别为
wBM e
EI w x M x d x C1
当梁的弯矩方程需要分段列出时，挠曲线的微 分方程也应分段建立。若梁可分为n段，每段分别积 分两次之后，共有2n个积分常数。确定这些积分常 数，除了要应用位移边界条件之外，还要利用分段 处的位移连续条件（挠曲线的连续、光滑条件）， 即在分段点xi处，wi(xi)= wi+1(xi) ，wi (xi)= wi+1(xi) 。
ql 3 ql 3 7 ql 3 48 EI 384 EI 384 EI
q B q B1 q B 2
ql 3 ql 3 9ql 3 48 EI 384 EI 384 EI
例 用叠加法求图示弯曲刚度为EI的外伸梁C截面的 挠度以及D截面的挠度和转角。
简支梁位移计算公式
简支梁位移计算公式
简支梁的位移计算公式可以通过梁的弯曲理论来推导。
在简支
梁的情况下，当集中力作用于梁上时，梁会发生弯曲变形，导致梁
的位移。
位移计算公式可以通过弯曲理论和梁的几何特征来推导。
首先，我们可以使用弹性力学理论中的梁弯曲方程来描述梁的
位移。
对于简支梁而言，可以使用Euler-Bernoulli梁理论来进行
分析。
根据这个理论，简支梁在受到集中力作用时的最大位移可以
通过以下公式来计算：
δ = (F L^3) / (3 E I)。
在这个公式中，δ代表梁的最大位移，F代表作用在梁上的力
的大小，L代表梁的长度，E代表梁的弹性模量，I代表梁的惯性矩。
这个公式适用于简支梁在受到集中力作用时的情况。
另外，如果梁上分布有均匀载荷，则可以使用不同的公式来计
算梁的位移。
对于简支梁在均匀载荷作用下的位移，可以使用以下
公式：
δ = (5 w L^4) / (384 E I)。
在这个公式中，δ代表梁的最大位移，w代表均匀分布载荷的大小，L代表梁的长度，E代表梁的弹性模量，I代表梁的惯性矩。
需要注意的是，以上提到的公式都是针对简支梁在弹性范围内的情况下推导得出的。
在实际工程中，还需要考虑许多其他因素，例如梁的材料特性、截面形状等，因此在使用这些公式进行位移计算时，需要结合具体情况进行综合考虑。
理论力学第11章习题答案
四川大学 建筑与环境学院 力学科学与工程系 魏泳涛
我在沙滩上写上你的名字，却被浪花带走了；我在云上写上你的名字，却被风儿带走了；于是我在理论力 学的习题答案上写上我的名字.
11.8 如图所示，重物 M 系于弹簧上，弹簧的另一端则固定在置于铅垂平面内的 圆环的最高点 A 上。重物不受摩擦地沿圆环滑下，圆环的半径为 20 cm ，重物的 质量为 5 kg ，如重物在初位置时 AM 20 cm ，且弹簧具有原长，重物的初速度 等于零，弹簧的重量略去不计，欲使重物在最低处时对圆环的压力等于零，弹簧 刚性系数应为多大？
11.5 计算图示各系统的动能 (1)如图(a)所示，质量为 m 、长为 l 的均质圆盘在自身平面内作平面运动，已知圆 盘上 A 、 B 两点的速度方向， B 点的速度为 vB ， 45 ； (2)如图(b)所示，质量为 m1 的均质杆 OA 、一端铰接在质量为 m2 的均质圆盘中心， 另一端放在水平面上，圆盘在地面上作纯滚动，圆心速度为 v ； (3)如图(c)所示质量为 m 的均质细圆环半径为 R ，其上固结一个质量也为 m 的质 点 A ，细圆环在水平面上纯滚动，图示瞬时角速度为 。
魏 魏 魏
泳
F ) 2
涛 涛 涛
解： 滚阻力偶： M N (mg 轮转动角度：
x R
将力 F 向 C 简化， F 对 C 主矩： M C Fr
F sin 60 x M C M
3 FR x F x 总功： Fx (mg ) 2 2 R 2 R Fx F x (1 3 ) (mg ) 2 2 R
涛 涛 涛
解：
1 l 2 (2m)l 2 2m ( ) 2 ml 2 12 3 3 滑块 A 的速度： vA l cos sin 滑块 B 的速度： vB l 1 2 1 2 1 2 5 2 2 系统动能： J D mvA mvB ml 2 2 2 6 l 重力功： (sin 0 sin ) 2mg l (sin 0 sin ) mg 2mgl(sin 0 sin ) 2 1 弹性力功： k[l 2 (1 cos 0 ) 2 l 2 (1 cos ) 2 ] 2 根据动能定理： 5 2 2 1 ml 0 2mgl(sin 0 sin ) k[l 2 (1 cos 0 ) 2 l 2 (1 cos ) 2 ] ( 1 ) 6 2 当 0 60 、 0 时，
理论力学11梁的位移计算
[v] = (0.0013 − 0.0025)l
31
例
７
机床主轴的支撑和受力可简化为如图所示的外伸梁， 其中 P 为由于切削而施加于卡盘上的力，P2 为齿轮间1 的相互作用力。主轴为空心圆截面，外径 D = 80mm ， la 内径 d = 40mm ， = 400mm， = 100mm ， P = 2kN ，
9
梁的位移计算
确定积分常数的条件有两类：边界条件和变形连续条件。 边界条件：位于梁支座处的截面，其挠度或转角常为零 或为已知
y
l
x
y
l
x
固定铰链支座
固定端约束
x = 0, v = 0
x = l, v = 0
⎧v = 0 x = 0⎨ θ =0 ⎩
10
梁的位移计算
变形连续条件：位于梁的中间截面处，其左右极限截面处 的挠度和转角相等。在中间铰链位置左右极限截面的挠度 相等。
第十一章 梁的位移计算
梁的位移计算
工程实例
2
梁的位移计算
工程实例
3
梁的位移计算
工程实例
本章对平面弯曲下梁变形的基本概念、基本方法以及 简单静不定梁进行简要介绍。
4
梁的位移计算
§１１－１
挠度、转角及其相互关系
挠曲线：梁变形后的轴线。
在小变形情况下，任意横 截面的形心位移是指ｙ方向的 线位移，截面形心垂直于轴线 方向的线位移称为挠度
34
梁的位移计算
增加支撑
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
35
梁的位移计算
改善受力情况 改善受力情况可以减小弯矩，从而减小梁的挠度和转角。
P
y
l
x
ql v= 3EI z
材料力学 梁位移
线性关系；
3.梁上每个荷载引起的位移，不受其他荷载的影响。
简单载荷下梁的挠度和转角见附录IV，必须记住！
例5-5 试用叠加原理求图示弯曲刚度为EIz的简支梁的跨中截面挠 度ωc和梁端截面的转角θA,θB.
F A
wC 2 0
q 2l 2 A2 B 2
24EI
3
ql 384EI
3
wC wC1 wC 2
5ql 5ql 0 768EI 768EI
4
4
（向下）
A A1 A2
ql3 ql3 3ql3 （顺时针） 48EI 384EI 128EI
应选22a工字钢，Wz=309cm3, Iz=3400cm4
(2)校核刚度
wmax Fl 3 40 103 45003 l 11.2mm [ w] 11.25mm 3 4 48EI 48 200 10 3400 10 400
选择22a工字钢。
2、提高刚度措施
T 2L V 2GI P
作业：5-11，5-15(a)
练习题1 用叠加原理求图示弯曲刚度为EI的悬臂梁B 截面的挠度和转角。
q0 q(x) A B x
dx l
x
y
q(x)dx
(a)
A x l
B
x
dwB
解：在任意截面x处取微段dx，则作用在微段上的微 集中荷载为：
q0 x q ( x )d x dx l
w 其中， 与 l
max
为许可值，可查设计手册。
例5-9 图示简支梁，F=40kN, l=4.5m, [σ]=150MPa, [w/l]=1/400, E=200GPa, 选择工字钢型号。 A F l
梁位移计算公式
梁位移计算公式梁的位移计算公式基于梁的受力平衡和材料力学的基本原理。
在这里，我们将讨论一维梁的位移计算方法，即假设梁只在一个平面内受力，并且假设梁的截面尺寸和材料性质均为均匀的。
我们需要确定梁的边界条件。
常见的边界条件有两种：固定边界条件和自由边界条件。
在固定边界条件下，梁的两端被固定，不允许有任何位移和旋转；而在自由边界条件下，梁的两端可以自由位移。
接下来，我们需要确定梁的受力情况。
通常，梁在两端受到外部荷载作用，这些荷载可以是集中力、均布力或者集中力和均布力的组合。
此外，梁还可能受到自重的影响。
在计算位移时，我们需要将这些荷载转化为梁上的内力分布。
针对不同的受力情况，我们可以使用不同的位移计算方法。
在本文中，我们将重点介绍三种常见的位移计算方法：拉梁法、剪梁法和挠梁法。
拉梁法是一种基于受力平衡的位移计算方法。
它假设梁的变形是由拉伸和压缩引起的，而不考虑剪切变形。
根据拉梁法，我们可以通过梁上任意一点的变形位移和受力来计算梁的位移。
剪梁法是一种基于受力平衡和材料切变变形的位移计算方法。
它假设梁的变形是由剪切引起的，并考虑了横截面的形状和材料的性质。
根据剪梁法，我们可以通过梁上任意一点的切变位移和受力来计算梁的位移。
挠梁法是一种基于弯曲变形的位移计算方法。
它假设梁的变形是由弯曲引起的，并考虑了横截面的形状和材料的性质。
根据挠梁法，我们可以通过梁上任意一点的弯曲位移和受力来计算梁的位移。
在实际应用中，我们可以将以上三种方法结合起来，综合考虑拉伸、压缩、剪切和弯曲等因素，来计算梁的位移。
此外，我们还可以使用计算机辅助工具，如有限元分析软件，来进行更精确和复杂的梁位移计算。
需要注意的是，梁的位移计算是一个复杂的过程，需要综合考虑各种因素和假设。
在实际工程中，我们应该根据具体情况选择适当的位移计算方法，并进行合理的假设和简化，以确保计算结果的准确性和可靠性。
通过以上的讨论，我们可以看到，梁的位移计算是一个重要且复杂的问题。
建筑力学第十一章 梁和结构的位移
11-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分
一、梁的挠曲线近似微分方程
d2w dx 2 dw 1 d x
2
3
2
M x EI
dw 与 1 相比十分微小而可以忽略不计, dx
d2w M x 2 dx EI
2
解:
=
F
wC1
wC1
Fl 3EI
ql ql l 128EI 48EI 2
2 qB wC l 2
3
4 3
3
+
wB
C
B
2 wC 2 wB wC 7 ql 4 384 EI
wC wC1 wC 2
qB
2 wC
C
wC 2
Fl 7ql 3EI 384 EI
解: 6. 利用边界条件确定积分常数
当 x =0 时， wA= 0 q
A x
B
当 x =l 时，
wB= 0
分别代入转角与挠度方程，得积分常数：
D 0, C 1 3 ql 24
F
A
l
FB
7. 给出转角方程和挠度方程： q
q 4 x 3 6 lx 2 l 3 24 E I q w x 4 2 lx 3 l 3 x 24 E I
(b)建筑结构起拱 (起拱)：把结构做成具有一定上弯度的初始弯曲
形式，用以抵消由挠度产生的下垂现象。(需要计算结构位移)
9/72
11-1 概述
三、计算结构位移的目的 3.为建筑起拱和结构架设提供位移数据
大型桥梁施工进行悬臂拼装时，结构自重、施工机械等临时
荷载的作用，悬臂部分将产生挠度，需计算结构位移，便于拼装 时使构件准确就位；
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梁的位移计算
确定积分常数的条件有两类：边界条件和变形连续条件。 边界条件：位于梁支座处的截面，其挠度或转角常为零 或为已知
y
l
x
y
l
x
固定铰链支座
固定端约束
x = 0, v = 0
x = l, v = 0
⎧v = 0 x = 0⎨ θ =0 ⎩
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梁的位移计算
变形连续条件：位于梁的中间截面处，其左右极限截面处 的挠度和转角相等。在中间铰链位置左右极限截面的挠度 相等。
第十一章 梁的位移计算
梁的位移计算
工程实例
2
梁的位移计算
工程实例
3
梁的位移计算
工程实例
本章对平面弯曲下梁变形的基本概念、基本方法以及 简单静不定梁进行简要介绍。
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梁的位移计算
§１１－１
挠度、转角及其相互关系
挠曲线：梁变形后的轴线。
在小变形情况下，任意横 截面的形心位移是指ｙ方向的 线位移，截面形心垂直于轴线 方向的线位移称为挠度
y
2l 3 l
x
边界条件
变形连续条件
2 x = 0, v = 0; x = l , v = 0 3
2 x = l , v1 = v2 ,θ1 = θ 2 ; 3
11
梁的位移计算
思考：
用积分法计算图示梁的挠度和转角，其边界条件和 连续条件是什么？
y
q
x
l
答：边界条件 x = 0 v = 0 连续性条件 x = l
2
A
a
F
b
Bx
a F l
17
例
３
２、分两段积分
b
2
b
3
EIv 1 = Fx1 + C1 x 1 + D1 y EIθ 1 =Fx1 + C1 F b a bF 2 F2 6 l A 2l C x 1 EIθ 2 =x2 − ( x2 − a ) + C2 b x2 F 2 l2 l bF 3 F3 l EIv2 =x2 − ( x2 − a ) + C 2 x2 + D2 6 l6 ３、确定积分常数 Fb 22 x1 = 0, v1 = 0 x1 = x2 = a , C1 = C2 = −(l − b ) 6 l x2 = l , v2 = 0 v1 = v2 θ 1 = θ 2 D1 = D2 = 0
3
16
例
３
求简支梁最大挠度，Ｆ已知，EI为常数。
解
１、建立挠曲线微分方程
y
dvb (0 ≤ x1 ≤ a ) EI 2 = Fx1 dxl2 dvb (a ≤ x 2 ≤ l ) EI 2 = Fx2 − F ( x2 − a ) dxl
b C x 1 b x 2 M 1 ( x 1 ) = F x1 F l l (0 ≤ x1 ≤ a ) l b (a ≤ x 2 ≤ l ) M 2 ( x2 ) = Fx2 − F ( x2 − a ) l
y A
q
θ
Bx
x
v
l
向上为正，向下为负
v = f ( x)
－－挠曲线方程
弯曲变形时，横截面绕中性轴转动的角度称为转角
θ = θ ( x)
－－转角方程Βιβλιοθήκη 逆转为正，顺转为负5
梁的位移计算
q
θ
B
A
x
v
l
θ
dv θ ≈ tgθ = dx
横截面的转角与挠曲线在该截面处的斜率近似相等， 即挠曲线方程的一阶导数为转角方程。
=
２、积分求通解
2
x
2
dxEI z PP x
θ =∫
13
例
θ =∫
１
PP x
2
( x − l )dx =( − lx) + C EI zEI z 2 ３、确定积分常数 32
P
xvlxP x=0 θP= =0 C =D=0 v = ∫∫
y
l
x
( x − l )dxdx =( − ) + Cx + D ４、转角方程和挠曲线方程 EI zEI z 62 3 2 2
3 2
M ( x) = EI z
7
－挠曲线微分方程
梁的位移计算
在小变形情况下
dvM =±
2
2
正负号与弯矩符号规定及所取坐标系有关 dxEI z
y
M >0
dv >0
2
y
M <0
dv <0
2
O
2
dx
x
O
2
dx
x
d vM =
2
2
－挠曲线近似微分方程
8
dxEI z
梁的位移计算
§１１－３
积分法求梁的位移
d vM ( x) =
３、确定积分常数
ql 3 q 4 EI z v = x −x + Cx + D 1224
x=0 v=0
3
Bx
ql 2
x=l
x
l
ql D=0 C=−, 24 ４、转角方程和挠曲线方程
q l 21 3l θ=( x − x − ) EI z 4624
3
qx l 2 1 3 l v=x − )( x − EI z 122424
6
梁的位移计算
§１１－２
曲率公式
挠曲线微分方程
q
θ
B
1M ( x) = ρ ( x) EI z dv
2
A
x
v
l
θ
挠曲线为一平面曲线，其上任一点的曲率
ρ
1 =±
dv
2
2
2
dx ⎡ ⎛ dv ⎞ ⎢1 + ⎜⎟ ⎢ ⎝ dx ⎠ ⎣
⎤ 2 ⎥ ⎥ ⎦ 微小量
3
±
2
dx dv 2 ⎤⎡ 1+ ( ) ⎥⎢ dx ⎦⎣
P x lx Px v=( − ) θ=( − lx) EI z 62 EI z 2 ５、确定最大挠度和最大转角 θ max
x
Pl =−
2
Pl v=−
3 14
例
２
求简支梁挠曲线方程，ｑ已知，EI为常数。
解
１、建立挠曲线微分方程
ql 2
y
q
11 2 M ( x) = qlx − qx 2 d v M ( x) 22 1 11 2
a
x = a+l v = 0 θ = 0 v1 = v2
12
例
１
如图所示悬臂梁，在自由端受集中力Ｐ作用，设ＥＩ为 常量，试求梁的最大挠度和最大转角。
解 １、建立挠曲线近似微分方程
取坐标系如图所示，弯矩方程
P
y
l
x
M ( x) = − P (l − x) = P ( x − l) 2 d v P( x − l )
==( qlx − qx )
2
A
Bx
x
l
ql 2
２、积分求通解 dxEI zEI z 22 ql 2 q 3 EI zθ = x − x + C 46 ql 3 q 4 EI z v = x −x + Cx + D
15
例
２
ql 2 q 3 EI zθ = x − x + C y 46 q
v=0
A
ql 2
2 2
dvM dxEI ( z x)
θ ( x) = = ∫
⎛ M ( x) ⎞ v( x) = ∫ dxEI ⎜∫ z
dx + C
dx ⎟dx + Cx + D C,D 为积分常数，由梁的位移约束条件确定。 ⎝ EI z⎠ 挠曲线近似微分方程通解的积分常数确定以后，就得 到了挠曲线方程和转角方程，这种求梁变形的方法称为积 分法。