傅里叶级数
傅里叶级数公式

傅里叶级数公式傅里叶级数是一种数学工具,用于将一个周期性函数表示为无限多个简单的正弦和余弦函数的和。
它由法国数学家傅里叶在19世纪中叶发现,并在物理学、工程学和其他领域中得到广泛应用。
本文将介绍傅里叶级数的定义、数学表达式和一些应用示例。
定义给定一个周期为T的函数f(t),其傅里叶级数表示为:傅里叶级数公式傅里叶级数公式其中a0、an和bn是傅里叶系数,可以通过以下公式计算:傅里叶系数公式傅里叶系数公式傅里叶系数公式傅里叶系数公式傅里叶系数公式傅里叶系数公式数学表达式傅里叶级数公式可以进一步简化为以下形式:傅里叶级数公式简化形式傅里叶级数公式简化形式其中cn是复傅里叶系数,可以通过以下公式计算:复傅里叶系数公式复傅里叶系数公式应用示例傅里叶级数在信号处理、图像处理和音频处理等领域中有广泛的应用。
以下是一些傅里叶级数的应用示例:1. 信号分析傅里叶级数可以将任意周期性信号分解为不同频率的正弦和余弦函数的和,从而帮助我们理解信号的频谱特征。
通过计算傅里叶系数,我们可以得到信号在不同频率上的幅度和相位信息。
2. 图像压缩傅里叶级数被广泛用于图像压缩算法中,例如JPEG压缩。
通过将图像转换为频域表示,可以将高频部分压缩或丢弃,从而实现图像的压缩和存储。
3. 音频合成傅里叶级数可以用于合成音频信号。
通过给定一些具有不同频率和幅度的正弦和余弦函数的傅里叶系数,我们可以通过求和运算生成一个新的音频信号。
4. 信号滤波傅里叶级数在信号滤波中也有广泛应用。
通过将信号转换到频域,并在频域对信号进行滤波操作,可以实现去除噪声、降低干扰等效果。
总结傅里叶级数是一种将周期性函数表示为正弦和余弦函数的和的数学工具。
它帮助我们理解信号的频谱特征,进行信号分析、图像压缩、音频合成和信号滤波等应用。
通过计算傅里叶系数,我们可以获得信号在不同频率上的幅度和相位信息。
傅里叶级数在现代科学和工程中具有重要的地位,对于理解和处理周期性信号至关重要。
傅里叶级数

− 2
n
T 2
= bn ∫ T sin nωt d t
2
− 2
T 2
2 即 bn = T
T = bn 2
∫
T 2
T − 2
fT ( t )sin nω t d t
最后可得:
a0 fT (t) = + ∑(an cos mωt + bn sin nωt) (1.1) 2 n=1 T 2 2 其 中 a0 = ∫ T fT (t) dt T −2 T 2 2 an = ∫T fT (t) cos nωt dt (n =1,2,L ) T −2 T 2 2 bn = ∫T fT (t) sin nωt dt (n =1,2,L ) T −2
1= 12 dt = T ∫T
− 2 T 2 T 2 T 2
1+ cos 2nωt T cos nωt = ∫T cos nωt dt = ∫T dt = − − 2 2 2 2
2
1− cos 2nωt T sin nωt = ∫T sin nωt dt = ∫T dt = − − 2 2 2 2
T 2
f4 (t) =
n=−∞
∑ f (t + 4n),
+∞
2π 2π π nπ = = , ωn = nω = ω= T 4 2 2
f4(t)
−1
T=4
1
3
t
则
1 T 2 − jωnt cn = ∫ T fT (t )e dt T −2 1 2 1 1 − jωnt − jωnt = ∫ f4 (t )e dt = ∫ e dt T −2 T −1 1 1 1 − jωnt jωn − jωn = e = e −e −Tjωn Tjωn −1 2 sinωn 1 = ⋅ Sa(ωn ) (n = 0, ±1, ±2,L ) T =4 = T ωn 2
《傅里叶级数》课件

FFT的出现极大地促进了数字信号处理领域的发展,尤其在实时信号处理 和大数据分析方面。
小波变换与傅里叶级数的关系
01
小波变换是一种时间和频率的局部化分析方法,用于多尺度信 号处理和分析。
02
小波变换与傅里叶级数都是信号的频域表示方法,但小波变换
频域处理
傅里叶变换将图像从空间域转换到频域,使得图 像的频率特征更加明显,便于进行滤波、增强等 操作。
图像压缩
通过分析图像的频谱,可以去除不重要的频率成 分,从而实现图像的压缩,节省存储和传输资源 。
图像去噪
傅里叶变换在图像去噪中发挥了重要作用,通过 滤除噪声对应的频率成分,可以有效去除图像中 的噪声。
傅里叶级数提供了一种将 复杂信号分解为简单正弦 波的方法,有助于理解和 处理信号。
频谱分析
通过傅里叶变换,可以分 析信号的频率成分,这在 通信、音频处理等领域有 广泛应用。
滤波器设计
利用傅里叶级数或其变换 形式,可以设计各种滤波 器,用于提取特定频率范 围的信号或抑制噪声。
图像处理中的应用
1 2 3
数值分析中的应用
求解微分方程
傅里叶级数在数值分析中常用于 求解初值问题和偏微分方程,通 过离散化和变换,将复杂问题转 化为易于处理的简单问题。
数值积分与微分
傅里叶级数在数值积分和微分中 也有应用,可以将复杂的积分或 微分运算转换为易于计算的离散 形式。
插值与拟合
傅里叶级数可以用于多项式插值 和函数拟合,通过选取适当的基 函数,可以构造出精度较高的插 值函数或拟合模型。
04
傅里叶级数的扩展知识
离散傅里叶变换
离散傅里叶变换(DFT)是连续傅里叶变换的离 散化形式,用于将时域信号转换为频域信号。
傅里叶级数的基本概念

傅里叶级数的基本概念
傅里叶级数是一种将任意周期函数表示为一系列正弦和余弦函数的方法。
它是以法国数学家傅里叶的名字命名的。
傅里叶级数的基本概念包括:
1. 周期函数:傅里叶级数适用于周期函数,即具有重复性的函数。
周期函数可以用一个周期T来描述,即f(t+T) = f(t)。
2. 基函数:傅里叶级数中的基函数是正弦和余弦函数。
正弦函数的频率是函数在一个周期内重复的次数,余弦函数则是正弦函数相位向右移动90度得到的。
基函数的频率可以用角频率ω表示。
3. 傅里叶级数公式:傅里叶级数表示一个周期函数f(t)可以表示为一个无穷级数的形式:f(t) = a0/2 + Σ(an*cos(nωt) +
bn*sin(nωt)),其中a0/2是函数的平均值,an和bn是函数的系数。
4. 傅里叶系数:傅里叶级数中的系数an和bn可以通过积分计算得到。
an表示在周期T内函数f(t)与cos(nωt)的乘积的平均值,bn则是与sin(nωt)的乘积的平均值。
这些系数代表了基函数的贡献程度。
5. 频谱:傅里叶级数可以将一个周期函数表示成一系列频率成分的和。
这些频率成分称为频谱,由基函数的频率ω和对应的系数确定。
傅里叶级数的基本概念可以帮助我们理解和分析周期函数的特性,以及应用于信号处理、图像处理和物理学等领域。
傅里叶级数

∫πcos nxdx = 0,
π
π
∫πsin nxdx = 0,
π
( n = 1,2,3,L)
0, m ≠ n ∫ πsin mx sin nxdx = π, m = n, 0, m ≠ n ∫ πcos mx cos nxdx = π, m = n,
π
∫π
π
sin mx cos nxdx = 0.
右端级数收敛吗?若收敛是否收敛于 右端级数收敛吗?若收敛是否收敛于f(x)?
f ( x)在 a, b]光滑: f ′( x )在[a , b]连续. [ 光滑: 连续. f ( x)在 a, b]按段光滑: [ 按段光滑:
f ( x )在[a , b]有定义,且至多有有限 个第一类 有定义, 间断点, 间断点, f ′( x )在 [a , b] 除有限个点外有定义且 连续,在这有限个点上 f ′( x ) 左右极限存在. 左右极限存在. 连续,
第, 古今往来,众多数学家一直在寻找用简单函数较好 地近似代替复杂函数的途径,除了理论上的需要外, 地近似代替复杂函数的途径,除了理论上的需要外, 它对实际应用的领域的意义更是不可估量. 它对实际应用的领域的意义更是不可估量. 在微积分发明之前,这个问题一直没有本质上的 在微积分发明之前, 突破. 突破. 熟知的简单函数:幂函数,三角函数. 熟知的简单函数:幂函数,三角函数.
π π
1 π bn = ∫π f ( x)sinnxdx π
( n = 1,2,3,L)
f(x)的傅里叶系数 的傅里叶系数
1 π ) an = π ∫π f ( x)cos nxdx, (n = 0,1,2,L 1 π bn = ∫π f ( x)sinnxdx, (n = 1,2,L) π 1 2π ) an = π ∫0 f ( x)cos nxdx, (n = 0,1,2,L 或 2 bn = 1 π f ( x)sin nxdx, (n = 1,2,L ) ∫0 π
《傅里叶级数》课件

傅里叶系数: a_n和b_n,可 以通过积分计算 得到
傅里叶级数的收 敛性:对于满足 一定条件的函数, 傅里叶级数收敛 于该函数
傅里叶级数的计算步骤
傅里叶级数的计算实例
实例:计算正弦函数的傅里 叶级数
计算步骤:确定周期、确定 频率、确定振幅、确定相位
傅里叶级数的定义:将周期函 数分解为无穷多个正弦和余弦 函数的和
傅里叶级数未来的研究方向与挑战
傅里叶级数的快速算法研究 傅里叶级数的应用领域拓展 傅里叶级数的理论研究与证明 傅里叶级数的计算复杂性与优化
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实例:计算余弦函数的傅里 叶级数
实例:计算三角函数的傅里 叶级数
实例:计算复杂函数的傅里 叶级数
傅里叶级数的应 用实例
信号处理中的应用
滤波器设计:傅里叶级数可以用于设计各种滤波器,如低通滤波器、高通滤波器等。 信号分析:傅里叶级数可以用于分析信号的频率成分,如分析信号的频谱、功率谱 等。
信号处理:傅里叶级数可以用于处理信号,如信号的压缩、增强、去噪等。
傅里叶级数的周期性
傅里叶级数是一种周期函数 周期性是傅里叶级数的基本性质之一 周期性是指函数在一定区间内重复出现 周期性是傅里叶级数在信号处理、图像处理等领域里叶级数的展开式
傅里叶级数的定 义:将周期函数 分解为无穷多个 正弦函数和余弦 函数的线性组合
傅里叶级数的展 开式:f(x) = a_0 + Σ[a_n * cos(nωx) + b_n * sin(nωx)]
数值分析中的应用
傅里叶级数在信号处理中的应用 傅里叶级数在图像处理中的应用 傅里叶级数在音频处理中的应用 傅里叶级数在金融数据分析中的应用
其他应用领域
傅里叶级数
2. 三角级数的一般形式
一般的三角级数为
取 1, 由于
A A i n ( n x ) 0 ns n
n 1
s i n c o s n x c o s s i n n x s i n ( n x ) n n n
a0 设 A0 , 2
A s i n a , A c o s b n n n n n n
最简单的周期运动,可用正弦函数
y A s i n ( x )
( 1 )
来描写。 由(1)所表达的周期运动称为简谐振动
初 相 角 , 其 中 A 振 幅 , 角 频 率 ,
简谐振动(1)的周期为
2 T
对于较为复杂的周期运动,常可以用几个 简谐振动
f ( x )cos nxdx ,
1
n0,1,2,
f ( x )sin nxdx
1
, n 1 , 2 ,
2. Fourier系数和Fourier级数 Euler―Fourier公式:
如 f 是以2 为周期 的函数 , 则
可换为
c 2
c
设函数 f ( x ) 在区间[ , ] 上可积,称公式
1 , s i n k x sinkxdx 0 ,
k 1 , 2 , ;
k , h 1 , 2 ,
s i n k x c o s h x d x s i n, k x c o s h x 1 s i n ( kh ) x s i n ( kh ) x d x 0, 2
傅里叶级数
a0 dx an cos nxdx bn sin nxdx 2 n 1 n 1
a0 2 a0 2
1 a0 f ( x )dx
傅里叶级数
§9.4 傅里叶级数
(2) 求ak .
a0 f ( x )cos kxdx 2
cos kxdx
[an cos nx cos kxdx bn sin nx cos kxdx ]
n 1
ak cos 2 kxdx ak ,
ak
f ( x )cos kxdx
1
( k 1, 2, 3,)
傅里叶级数
傅里叶级数
§9.4 傅里叶级数
傅里叶级数:以傅里叶系数为系数的三角级数.
a0 (a n cos nx bn sin nx ) 2 n1
问题:
a0 f ( x ) 条件 ? (a n cos nx bn sin nx ) 2 n1
傅里叶级数
§9.4 傅里叶级数
3、收敛条件 定理:若 f ( x ) 是以 2 为周期的周期函数,且在一个 周期内连续或只有有限个第一类间断点,则 f ( x ) 的傅 里叶级数收敛,并且
(1) 当 x 是 f ( x ) 的连续点时,级数收敛于 f ( x ) .
f ( x 0) f ( x 0) (2)当 x是 f ( x ) 的间断点时,收敛于 . 2
f ( 0) f ( 0) (3) 当 x为端点 x 时,收敛于 . 2
傅里叶级数
信号与系统课件--§4.2 傅里叶级数
an =0,展开为正弦级数。 例
▲ ■ 第 5页
3 .f(t)为奇谐函数——f(t) = –f(t±T/2)
此时 其傅里叶级数中 只含奇次谐波分量, 而不含偶次谐波分量 即 a0=a2=…=b2=b4=…=0
f(t)
0
T/2
T
t
4. f(t)为偶谐函数——f(t) = f(t±T/2) 此时 其傅里叶级数中 只含偶次谐波分量, 而不含奇次谐波分量 即 a1=a3=…=b1=b3=…=0
系数an , bn称为傅里叶系数
an 2 T
T
2 T 2
f (t ) cos( nt ) d t
bn
T
2
T 2 T 2
f (t ) sin( nt ) d t
可见, an 是n的偶函数, bn是n的奇函数。
▲ ■ 第 3页
其他形式
f (t ) A0 2
将上式同频率项合并,可写为n 1
1 2
An
2
n
| Fn |
2
直流和n次谐波分量在1电阻上消耗的平均功率之和。 n≥0时, |Fn| = An/2。 证明 这是Parseval定理在傅里叶级数情况下的具体体现。
▲
■
第 9页
bn An sin n
bn n arctan a n
n的偶函数:an , An , |Fn | n的奇函数: bn ,n
▲ ■ 第 8页
四、周期信号的功率——Parseval等式
周期信号一般是功率信号,其平均功率为
1 T
T 0
f (t )dt (
傅里叶级数
b
则称ϕ 与 ψ 在 [a , b] 上是正交的, 或在 [a , b]上具有正 上具有正 上是正交 正交的 交性. 由此三角函数系(4)在 交性 由此三角函数系 在 [ − π, π ] 上具有正交性 上具有正交性 正交性. 或者说(5)是正交函数系. 或者说 是正交函数系. 是正交函数系
山西大同大学数计学院
二、以 2π 为周期的函数的傅里叶级数
现应用三角函数系(5)的正交性来讨论三角级数 现应用三角函数系 的正交性来讨论三角级数(4) 的正交性来讨论三角级数 之间的关系. 与级数(4)的系数 的和函数 f 与级数 的系数 a0 , an , bn 之间的关系 定理15.2 若在整个数轴上 定理 a0 ∞ f ( x ) = + ∑ (an cos nx + bn sin nx ) (9) 2 n=1 且等式右边级数一致收敛, 则有如下关系式: 且等式右边级数一致收敛, 则有如下关系式: 1 π an = ∫ f ( x )cos nxdx , n = 0,1,2,L , (10a ) π −π 1 π bn = ∫ f ( x )sin nxdx , n = 1,2,L , (10b ) π −π
所产生的一般形式的三角级数. 所产生的一般形式的三角级数. 容易验证,若三角级数( )收敛, 容易验证,若三角级数(4)收敛,则它的和一定是一 为周期的函数. 个以 2π 为周期的函数. 关于三角级数( )的收敛性有如下定理: 关于三角级数(4)的收敛性有如下定理:
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定理 15.1 若级数 | a0 | ∞ + ∑ (| an | + | bn |). 2 n =1 收敛,则级数(4)在整个数轴上绝对收敛且一致收敛. (4)在整个数轴上绝对收敛且一致收敛 收敛,则级数(4)在整个数轴上绝对收敛且一致收敛. 对任何实数x, 证 对任何实数 ,由于
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x 与 y 正交,若(x,y)=0
R n 中的内积实质上是: R n 中的任意两元素通过史(7。3)有唯一的实数与之对应,
此对应具有上述性质(1)—(4) 。从这个意义上讲,我们可以在很多集合上定义内积。例 如,C[a,b],若 f,g ∈ C[a,b],定义
( f , g ) = ∫ f ( x) g ( x)dx
又可得到
∫ π cos mx cos nxdx = ⎨ ⎩0
−
π
⎧π
m=n m≠n m=n m≠n
∫ π sin mx sin nxdx = ⎨ ⎩0
−
π
⎧π
∫ πcos mx sin nxdx = 0
−
π
பைடு நூலகம்
这种性质为什么称为正交呢? 在线性代数中, R 表示 n 维向量的集合。两 n 维向量 x=( x1 , x 2 ...x n ) ,y=( y1 , y 2 ... y n )
a
b
(7。5)
容易验证由式(7。5)所定义的对应具有性质(1)—(4) 。称(f,g)为 f 与 g 的内积。同 样的,若 (f, g)=0 (7.6) 则称 f 与 g 正交。当 a= − π , b = π 时,三角函数系便在内积式(7。5)的意义下成为正交系。 这正是我们称之为正交的原因。
内积与正交的概念在 R 中的重要性是显然的,这种重要性对凡是能建立内积的集合 来说都是一样的,这使得该集合有了直观的几何特征。运用内积,是现代数学的一个重要方 法,是一门较深的数学课程“泛涵分析”研究的一个重要内容。许多问题,只有在内积引入 后, 才能得到彻底解决, 包括我们正在讨论的傅立叶级数。 有兴趣的读者在学完此门课程后, 可自学“泛涵分析” 。
n =1
∞
π
π
π
−π
−π
−π
故
ak =
类似的,用 sin kx 乘式(7。2)两边,再从 −π 到 π 积分,利用正交性得
f ( x) cos kxdx π∫π
−
1
π
bk =
f ( x) sin kxdx π∫π
−
1
π
称式(7.7)给出的各数 a0 , an , bn (n = 1, 2,3,......) 为函数 f(x)的傅里叶系数。 从系数公式(7.7)看,只要 f(x)在 [−π , π ] 上可积,形式上的傅里叶级数总是存在的,
n
的内积定义为
( x, y ) = ∑ xi yi
i =1
n
(7。3)
内积具有下述性质: (1) (x+y, (2) (ax,
z)=(x, z)+ (y, z) y) =a (x, y)
(a 是任意实数)
(3) (x,y)=(y,x)
(4) (x,x) ≥ 0,
称两向量
等号成立当且仅当 x 是一零向量。 (7.4)
记为,
f ( x) ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������