二次函数重难点突破超级讲义
二次函数的重难点
二次函数的重难点引言在高中数学中，二次函数是重要的内容之一。
二次函数的学习，不仅涉及到基本的定义和性质，还包括二次函数的图像、解析式、变形等方面的知识。
在学习二次函数的过程中，学生往往会遇到一些重难点，需要认真对待和克服。
本文将从多个方面来探讨二次函数的重难点，帮助学生更好地理解和掌握这一知识点。
二次函数的基本定义和性质二次函数的定义二次函数是一个形如y=ax2+bx+c的函数，其中a、b、c是常数且a≠0。
二次函数的性质•二次函数的图像是一个抛物线。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
•二次函数的对称轴是垂直于x轴的一条直线，其方程为x=−b2a。
•二次函数的顶点是抛物线的最低点或最高点，其坐标为(−b2a ,f(−b2a))。
•二次函数的图像关于对称轴对称。
二次函数的图像二次函数的图像是理解和掌握二次函数的重要途径之一。
下面将介绍二次函数图像的关键要素和常见变形。
顶点坐标和对称轴二次函数的顶点坐标可以通过将二次函数化简为顶点形式来获得，即y=a(x−ℎ)2+k，其中(ℎ,k)就是顶点坐标。
对称轴的方程可以通过将二次函数化简为顶点形式时得到的x=ℎ获得。
开口方向二次函数的开口方向与二次函数的系数a的正负有关。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
平移和伸缩通过改变二次函数的参数，可以实现平移和伸缩。
当改变顶点坐标(ℎ,k)时，可以实现图像的平移；当改变系数a的值时，可以实现图像的伸缩。
常见变形•平移：左右平移（水平方向变化横坐标）、上下平移（垂直方向变化纵坐标）。
•伸缩：纵向伸缩（改变系数a的绝对值）、横向伸缩（改变系数a的倒数）。
•翻转：关于x轴翻转、关于y轴翻转。
二次函数的解析式标准形式和一般形式一般来说，二次函数的解析式可以表示为y=ax2+bx+c。
但由于二次函数的图像和平移、翻转等变形有关，可以表示为多种形式。
常见的形式有标准形式和一般形式。
二次函数复习讲义
AB F ED C二次函数复习讲义一、知识框架二、具体问题讲解（一）解析式的获取问题 1. 列取例1：正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，F 是CD 上一点，且AE=AF ，设⊿AEF 的面积为y ，EC 的长为x ，求y 与x 的函数关系式，写出自变量的取值范围。
例2：某种品牌的服装进价为每件150元，当售价为每件210元时，每天可售出20件。
现需降价处理，经过市场调查：每件服装每降价2元，每天可多售出1件。
在确保盈利的前提下，若设每件服装降价x 元，每天售出服装的利润为y 元，确定y 与x 之间的函数关系式，并确定自变量的取值范围。
例3：如图，在⊿ABC 中，∠B=900，AB=12cm ，BC=24cm ，动点P 从点A 开始沿着AB 向B 以2cm/s 的速度移动（不与点B 重合），动点Q 从点B 开始沿着BC 向C 以4cm/s 的速度移动（不与点C 重合）。
假设P 、O 分别从A 、B 同时出发，设运动的时间为x s ，四边形APQC 的面积为ycm 2. ⑴求y 与x 之间的关系式，并确定自变量的取值范围；⑵四边形APQC 面积能否成为172cm 2？若能，求出运动的时间；若不能，说明理由。
练：1.在半径为4米的圆中，挖一个半径为xcm 的圆，剩下的圆环面积为ycm 2，则y 与x 的函数关系式为 2.国家决定对某种药品价格分两次降价，若设平均每次的降价率为x ，该药品的原价为18元，降价后的药价为y 元，则y 与x 的函数关系式为 。
3.如图，一矩形场地，两边长分别是80m 、60m ，先欲在场地内修两条宽为xm 的小路，剩余局部的面积为ym 2，则y 与x 之间的关系式为 。
4.某市园丁居民小区要在一块一边靠墙（墙长为15m ）的空地上修建一个矩形花园ABCD 。
花园的一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围成。
如下列图，若设花园BC 边的边长为xm ，花园的面积为Sm 2.则S 与x 的函数关系式为 ；自变量的取值范围为 。
二次函数复习专题讲义
第１-3讲 二次函数全章综合提高【知识清单】 ※一、网络框架※二、清单梳理1、一般的，形如2(0,,,)y ax bx c a a b c =++≠是常数的函数叫二次函数。
例如222212,26,4,5963y x y x y x x y x x =-=+=--=-+-等都是二次函数。
注意：系数a不能为零,,b c 可以为零。
2、二次函数的三种解析式（表达式）2(0)0=00=0000000y ax a y a y a y a x y x x y x a x y x x y x ⎧=≠⎧⎪⎪⎪><⎨⎪><>⎧⎪⎨⎪<<>⎩⎩最小值最大值概念：形如的函数简单二次函数图像：是过（0,0）的一条抛物线对称轴：轴性质最值：当时，；当时，当时，在对称轴左边（即）,随的增大而减小。
在对称轴右边（即）,随的增大而增大。
增减性当时，在对称轴左边（即）,随的增大而增大。
在对称轴右边（即）,随的增大而减小。
二次函数2222(0)004242440=0=440y ax bx c a a a b ac b a a b x a ac b ac b a y a y a a a ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩=++≠⎧><⎪⎪-⎪⎨⎪⎪=⎪⎩--><>最小值最大值概念：形如的函数，注意还有顶点式、交点式以及它们之间的转换。
开口方向：，开口向上；，开口向下。
图像：是一条抛物线顶点坐标：（-,）对称轴：-最值：当时，，当时，一般二次函数性质：当时，在对称轴左增减性：22022b b x y x x y x a a b b a x y x x y x a a ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧⎪<>⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪<<>⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩边（即-）,随的增大而减小。
在对称轴右边（即-）,随的增大而增大。
二次函数优秀讲义
二次函数解析式的7种求法一、一样式当题目给出函数图像上的三个点时，设为一样式c b a y ++=χχ2，转化成一个三元一次方程组，以求得a ，b ，c 的值； 二、极点式假设已知抛物线的极点或对称轴、极值，那么设为极点式()k h x a y +-=2．这极点坐标为（ h ，k ），对称轴方程x = h ，极值为当x = h 时，y 极值=k 来求出相应的系数； 三、两根式已知图像与 x 轴交于不同的两点()()1200x x ，，，，设二次函数的解析式为()()21x x x x a y --=，依照题目条件求出a 的值．四、已知二次函数与x 轴的一交点与对称轴和另外一点抛物线过两点A(1，0)，B(0，-3)，且对称轴是直线x=2，求其解析式. 五、已知二次函数与x 轴的两个交点及最值已知二次函数的图象过点（-2，0），（6，0），最小值是 92-，求二次函数的解析式。
六、已知二次函数的对称轴、与x 轴交点的截距和另外一点抛物线过(-1,-1)点,它的对称轴是x=2,且在x 轴上截取长度为４的线段，求此函数的解析式．七、翻折型（对称性）：（1）关于x 轴对称的两个图象的极点关于x 轴对称，两个图象的开口方向相反，即a 互为相反数．（2）关于y 轴对称的两个图象的极点关于y 轴对称，两个图象的形状大小不变，即a 相同．（3）关于通过其极点且平行于x 轴的直线对称的两个函数的图象的极点坐标不变，开口方向相反，即a 互为相反数． 提高练习：1.已知直线2-=x y 与抛物线c bx ax y ++=2相交于点（2，m ）和（n ，3）点，抛物线的对称轴是直线3=x ．求此抛物线的解析式．2.已知二次函数y ＝（m 2－2）x 2－4mx ＋n 的图象的对称轴是x ＝2，且最高点在直线y ＝21x ＋1上，求那个二次函数的解析式。
3、把抛物线y=ax ²+bx+c 向下平移1个单位，再向左平移5个单位时的极点坐标为（-2，0），且a+b+c=0，求a 、b 、c 的值。
第3讲：二次函数实际问题重难点题型
初三数学1v1讲义二次函数实际问题本章进步目标★★★★★Level 5【难点·题型一】 球类运动问题◇方法技巧◇由几个特征点，确定函数关系式；求字母系数的取值问题，可构造不等式求解【例】如图,排球运动员站在点O 处练习发球,将球从O 点正上方2m 的A 处发出,把球看成点,其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式()h x a y +-=26.已知球网与O 点的水平距离为9m ，高度为2.43m ，球场的边界距O 点的水平距离为18m.(1)当h=2.6时,求y 与x 的关系式(不要求写出自变量x 的取值范围) (2)当h=2.6时，球能否越过球网?球会不会出界?请说明理由； (3)若球一定能越过球网，又不出边界，求h 的取值范围。
〖针对练习1〗1.小明为了检测自己实心球的训练情况,再一次投掷的测试中,实心球经过的抛物线如图所示,其中出手点A 的坐标为(0,916),球在最高点B 的坐标为(3,925).(1)求抛物线的解析式；(2)已知某市男子实心球的得分标准如表：假设小明是春谷中学九年级的男生，求小明在实心球训练中的得分；得分 16 15 14 13 12 11 10 9 掷远（米） 8.6 8.3 8 7.7 7.3 6.9 6.5 6.1 得分 8 7 6 5 4 3 2 1 掷远（米）5.85.55.24.84.44.03.53.0(3)在小明练习实心球的正前方距离投掷点7米处有一个身高1.2米的小朋友在玩耍,问该小朋友是否有危险(如果实心球在小孩头顶上方飞出为安全,否则视为危险)，请说明理由。
【难点·题型二】 桥梁、隧道问题◇方法技巧◇建立数学模型，将实际问题转化为数学问题，并结合函数图像进行分析.题型一：水位变化问题【例1】如图,小河上有一拱桥,拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB 和矩形的三边AE,ED,DB 组成,已知河底ED 是水平的,ED=16米,AE=8米,抛物线的顶点C 到ED 的距离是11米，以ED 所在的直线为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴建立平面直角坐标系。
二次函数复习专题讲义
二次函数【知识清单】※一、清单梳理1、一般的，形如2(0,,,)y ax bx c a a b c =++≠是常数的函数叫二次函数。
例如222212,26,4,5963y x y x y x x y x x =-=+=--=-+-等都是二次函数。
注意：系数a 不能为零，,b c 可以为零。
2、二次函数的三种解析式（表达式）①一般式：2(0,,,)y ax bx c a a b c =++≠是常数②顶点式：2()(,,0)y a x h k a h k a =-+≠为常数，且，顶点坐标为(,)h k ③交点式：1212()()(0,,)y a x x x x a x x x =--≠其中是抛物线与轴的交点的横坐标3、二次函数的图像位置与系数,,a b c 之间的关系①a ：决定抛物线的开口方向及开口的大小。
当0a >时，开口方向向上；当0a <时，开口方向向下。
||a 决定开口大小，当||a 越大，则抛物线的开口越小；当||a 越小，则抛物线的开口越大。
反之，也成立。
②c ：决定抛物线与y 轴交点的位置。
当0c >时，抛物线与y 轴交点在y 轴正半轴（即x 轴上方）；当0c <时，抛物线与y 轴交点在y 轴负半轴（即x 轴下方）；当0c =时，抛物线过原点。
反之，也成立。
③ a b 和：共同决定抛物线对称轴的位置。
当02b a->时，对称轴在y 轴右边；当02b a -<时，对称轴在y 轴左边；当02b a-=（即当0b =时）对称轴为y 轴。
反之，也成立。
④特别：当1x =时，有y a b c =++；当1x =-时，有y a b c =-+。
反之也成立。
4、二次函数2()y a x h k =-+的图像可由抛物线2y ax =向上（向下），向左（向右）平移而得到。
具体为：当0h >时，抛物线2y ax =向右平移h 个单位；当0h <时，抛物线2y ax =向左平移h -个单位，得到2()y a x h =-；当0k >时，抛物线2()y a x h =-再向上平移k 个单位，当0k <时，抛物线2()y a x h =-再向下平移k -个单位，而得到2()y a x h k =-+的图像。
二次函数重点难点总结
初中二次函数知识点总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c=+的性质： 上加下减。
()2x h -4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y a x b x c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y a x b x c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y a x b x c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y a x b x c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-； ()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2=++的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，)c；y ax bx c3. 二次函数常用解题方法总结：⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶根据图象的位置判断二次函数2=++中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号y ax bx c判断图象的位置，要数形结合；⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)++≠本身就是所含字母x的二次函数；ax bx c aa>时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数图像参考：。
二次函数重点难点总结
初中二次函数知识点总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c=+的性质： 上加下减。
()2x h -4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y a x b x c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y a x b x c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y a x b x c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y a x b x c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-； ()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2=++的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，)c；y ax bx c3. 二次函数常用解题方法总结：⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶根据图象的位置判断二次函数2=++中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号y ax bx c判断图象的位置，要数形结合；⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)++≠本身就是所含字母x的二次函数；ax bx c aa>时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数图像参考：。
二次函数复习专题讲义
二次函數【知識清單】 ※一、網路框架※二、清單梳理1、一般の，形如2(0,,,)y a x b x c a a b c =++≠是常数の函數叫二次函數。
例如222212,26,4,5963y x y x y x x y x x =-=+=--=-+-等都是二次函數。
注意：係數a不能為零，,b c 可以為零。
2(0)0=00=0000000y ax a y a y a y a x y x x y x a x y x x y x ⎧=≠⎧⎪⎪⎪><⎨⎪><>⎧⎪⎨⎪<<>⎩⎩最小值最大值概念：形如的函数简单二次函数图像：是过（0,0）的一条抛物线对称轴：轴性质最值：当时，；当时，当时，在对称轴左边（即）,随的增大而减小。
在对称轴右边（即）,随的增大而增大。
增减性当时，在对称轴左边（即）,随的增大而增大。
在对称轴右边（即）,随的增大而减小。
二次函数2222(0)004242440=0=440y ax bx c a a a b ac b a a b x a ac b ac b a y a y a a a ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩=++≠⎧><⎪⎪-⎪⎨⎪⎪=⎪⎩--><>最小值最大值概念：形如的函数，注意还有顶点式、交点式以及它们之间的转换。
开口方向：，开口向上；，开口向下。
图像：是一条抛物线顶点坐标：（-,）对称轴：-最值：当时，，当时，一般二次函数性质：当时，在对称轴左增减性：22022b b x y x x y x a a b b a x y x x y x a a ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧⎪<>⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪<<>⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩边（即-）,随的增大而减小。
在对称轴右边（即-）,随的增大而增大。
当时，在对称轴左边（即-）,随的增大而增大。
二次函数的重难点
二次函数的重难点
二次函数的重难点在于其基本性质和图像特征，主要包括以下几点：
1. 二次函数的方程及变形：熟练掌握二次函数的一般式、标准式和顶点式，并能够根据不同条件进行变形，例如平移、伸缩等。
2. 二次函数的图像特征：了解二次函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线，能够根据方程中的参数确定图像的几何特征，如对称轴、顶点坐标、开口方向和大小等。
3. 二次函数的根及相关知识：知道二次函数的根的定义及求解方法，熟悉与根有关的相关知识，如零点、解析式和判别式等。
4. 二次函数的应用：熟练掌握二次函数在实际问题中的应用，如最值问题、两点确定二次函数、图像的平移和伸缩等。
以上这些都是二次函数学习中的重难点，通过反复练习和深入理解，可以提高解题效率和准确度，从而更好地掌握二次函数的知识。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
五大板块―――1.重点 2.难点 3.考试易错点 4.提高能力点 5.思想方法拓展点 1 二次函数考点分析培优 核心知识点： ★★★二次函数的图像抛物线的时候应抓住以下五点： 开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点．
★★二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0） 一般式：y=ax2+bx+c，三点：顶点坐标（－2ba，244acba），对称轴x=－2ba ，最值 顶点式：y=a（x－h）2+k，顶点坐标对称轴：顶点坐标（h，k），对称轴x=h 交点式：y=a(x- x1)(x- x2)，（有交点的情况）与x轴的两个交点坐标x1，x2 ，对称轴为221xxh
★★★a b c作用分析 │a│的大小决定了开口的宽窄，│a│越大，开口越小，│a│越小，开口越大，
a，b的符号共同决定了对称轴的位置，当b=0时，对称轴x=0，即对称轴为y轴，当a，b同号时，对称轴x=－2ba<0，
即对称轴在y轴左侧，当a，b•异号时，对称轴x=－2ba>0，即对称轴在y轴右侧，（左同右异y轴为0） c•的符号决定了抛物线与y轴交点的位置，c=0时，抛物线经过原点，c>0时，与y轴交于正半轴；c<0时，与y•轴交于负半轴，以上a，b，c的符号与图像的位置是共同作用的，也可以互相推出．
中考分考点分析
１. 二次函数解析式及定义型问题(顶点式中考要点) １.把二次函数的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数关系式是2)1(2xy则原二次函数的解析式为 ２.二次函数的图象顶点坐标为（2，1），形状开品与抛物线y= - 2x2相同，这个函数解析式为________。
３.如果函数1)3(232kxxkykk是二次函数,则k的值是______ ４.（08绍兴）已知点11()xy，，22()xy，均在抛物线21yx上，下列说法中正确的是（ ） A．若12yy，则12xx B．若12xx，则12yy C．若120xx，则12yy D．若120xx，则12yy
５.(兰州10) 抛物线cbxxy2图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为322xxy，则b、c的值为（ ） A . b=2， c=2 B. b=2，c=0 C . b= -2，c=-1 D. b= -3， c=2 ★６.抛物线5)43()1(22xmmxmy以Y轴为对称轴则。M＝ ７.二次函数52aaxy的图象顶点在Y轴负半轴上。且函数值有最小值，则m的取值范围是
8.函数245(5)21aayaxx, 当a_______时, 它是一次函数; 当a_______时, 它是二次函数. 9.抛物线2)13(xy当x 时，Y随X的增大而增大 10.抛物线42axxy的顶点在X轴上，则a值为_____
顶点式中考一般式与交点式中考要点专题 图数关系+增减性专题 与方程不等式专题+与坐标轴交点专题 形积专题（中考重点） 应用专题（中考重点） 动点+存在性专题（中考重点） 五大板块―――1.重点 2.难点 3.考试易错点 4.提高能力点 5.思想方法拓展点
2 ★11.已知二次函数2)3(2xy，当X取1x和2x时函数值相等，当X取1x+2x时函数值为 12.若二次函数kaxy2，当X取X1和X2（21xx）时函数值相等,则当X取X1+X2时，函数值为 13.若函数2)3(xay过（２.９）点，则当X＝４时函数值Y＝ ★14.若函数khxy2)(的顶点在第二象限则，h 0 ，k 0 15.已知二次函数当x=2时Y有最大值是１.且过（３.０）点求解析式？
16.将121222xxy变为nmxay2)(的形式，则nm=_____。 ★17.已知抛物线在X轴上截得的线段长为６.且顶点坐标为（２，３）求解析式？（讲解对称性书写）
2、一般式与交点式中考要点 18.如果抛物线y=x2-6x+c-2的顶点到x轴的距离是3,那么c的值等于（ ） A 8 B 14 C 8或14 D -8或-14 19.二次函数y=x2-(12-k)x+12,当x>1时，y随着x的增大而增大，当x<1时，y随着x的增大而减小，则k的值应取（ ） A 12 B 11 C 10 D 9 20.若0b，则二次函数12bxxy的图象的顶点在 （ ）A第一象限B第二象限 C第三象限D第四象限 21.不论x为何值,函数y=ax2+bx+c(a≠0)的值恒大于0的条件是( ) A.a>0,△>0 B.a>0, △<0 C.a<0, △<0 D.a<0, △<0 ★22.已知二次函数)1(3)1(2aaxxay的图象过原点则a的值为 23.二次函数432xxy关于Y轴的对称图象的解析式为 关于X轴的对称图象的解析式为 关于顶点旋转１８０度的图象的解析式为 24. 二次函数y=2(x+3)(x-1)的x轴的交点的个数有__个，交点坐标为_______。 25.已知二次函数222xaxy的图象与X轴有两个交点，则a的取值范围是 26.二次函数y=(x-1)(x+2)的顶点为___,对称轴为 _。 27.抛物线y=(k-1)x2+(2-2k)x+1，那么此抛物线的对称轴是直线_________，它必定经过________和____ 28.若二次函数3622xxy当X取两个不同的值X1和X2时，函数值相等，则X1+X2=
29.若抛物线22yxxa的顶点在x轴的下方，则a的取值范围是（ ） Ａ．1a Ｂ．1a Ｃ．1a≥ Ｄ．1a≤
30.抛物线y= (k2-2)x2+m-4kx的对称轴是直线x=2，且它的最低点在直线y= -21+2上，求函数解析式。
31.已知二次函数图象与x轴交点（2,0）(-1,0)与y轴交点是（0，-1）求解析式及顶点坐标。 32.y= ax2+bx+c图象与x轴交于A、B与y轴交于C，OA=2，OB=1 ，OC=1，求函数解析式
32—35 ★★★★★抛物线562xxy与x轴交点为A，B，（A在B左侧）顶点为C.与Y轴交于点D (1)求△ABC的面积。 (2)若在抛物线上有一点M，使△ABM的面积是△ABC的面积的２倍。求M点坐标(得分点的把握) 五大板块―――1.重点 2.难点 3.考试易错点 4.提高能力点 5.思想方法拓展点 3 0 2 3x
y
（3）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由. (4)在抛物线上是否存在一点P，使四边形PBAC是等腰梯形，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由
3、二次函数图象与系数关系+增减性 36.二次函数cbxaxy2 图象如下，则a,b,c取值范围是 37已知y=ax2+bx+c的图象如下， 则：a____0 b___0 c___0 a+b+c____0， a-b+c__0 2a+b____0 b2-4ac___0 4a+2b+c 0 38.二次函数cbxaxy2的图象如图所示．有下列结论：
①240bac；②0ab；③0abc；④40ab；⑤当2y时，x等于0． ⑥02cbxax有两个不相等的实数根⑦22cbxax有两个不相等的实数根 ⑧0102cbxax有两个不相等的实数根⑨42cbxax有两个不相等的实数根 其中正确的是（ ）
39.（天津市）已知二次函数cbxaxy2的图象如上图所示，下列结论： ① 0abc；② cab；③ 024cba；④ bc32；⑤ )(bammba，（1m的实数） 其中正确的结论有（ ）。 A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
40.小明从右边的二次函数cbxaxy2图象中，观察得出了下面的五条信息： ①0a，②0c，③函数的最小值为3，④当0x时，0y，⑤当1202xx时，12yy． 你认为其中正确的个数为（ ） Ａ．2 Ｂ．3 Ｃ．4 Ｄ．5
41.已知二次函数cbxaxy2，其中abc，，满足0abc和930abc ，则该二次函数图象的对称轴是直线 ． 42.直已知y=ax2+bx+c中a<0，b>0，c<0 ，△<0，函数的图象过 象限。
43.若),41(),,45(),,413(321yCyByA为二次函数245yxx的图象上的三点，
则1y，2y，3y的大小关系是（ ） A．123yyy B．213yyy C．312yyy D．132yyy 44.在同一平面直角坐标系中，一次函数yaxb和二次函数2yaxbx的图象可能为（ ）
yOxy
OxyOxy
Ox
ＡＢＣＤ
（第36题图） （第37题图） （第38题图） 五大板块―――1.重点 2.难点 3.考试易错点 4.提高能力点 5.思想方法拓展点
4 O xy
C A
y
x O
45.二次函数cbxaxy2的图象如图所示，则直线ybxc的图象不经过（ ） Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限
46.抛物线y=ax2+bx+c的图象如图，OA=OC，则 （ ） （A） ac+1=b （B） ab+1=c （C）bc+1=a （D）以上都不是
47.已知二次函数y=a2x+bx+c,且a＜0,a-b+c＞0,则一定有（ ） Ａ 24bac ＞0 Ｂ24bac＝０ Ｃ24bac＜０ Ｄ24bac≤０ 48.若二次函数y=ax2+bx+c的顶点在第一象限，且经过点（0，1），（-1，0），则S=a+b+c的变化范围是 ( ) （A）01 (C) 149.（10包头）已知二次函数2yaxbxc的图象与x轴交于点(20)，、1(0)x，，且112x，与y轴的正半轴的交点在(02)，的下方．下列结论：①420abc；②0ab；③20ac；④210ab．其中正确结论的个数是 个． 50.（10 四川自贡）y=x2＋（1－a）x＋1是关于x的二次函数，当x的取值范围是1≤x≤3时，y在x＝1时取得最大值，则实数a的取值范围是（ ）。A．a=5 B．a≥5 C．a＝3 D．a≥3
4、二次函数与方程不等式 51.y=ax2+bx+c中，a<0，抛物线与x轴有两个交点A（2，0）B（-1，0），则ax2+bx+c>0的解是____________; ax2+bx+c<0的解是____________