奇偶性教师版
专题：函数的奇偶性讲义(教师用)
函数的奇偶性一、函数奇偶性设函数y ＝)(x f 的定义域为D ，如果对于D 任意一个x ，都有D x ∈-，且)(x f -＝－)(x f ，那么这个函数叫做奇函数．设函数y ＝)(x g 的定义域为D ，如果对于D 任意一个x ，都有D x ∈-，且)(x g -＝)(x g ，那么这个函数叫做偶函数．奇函数)(x f 的图象关于原点成中心对称图形． 偶函数)(x g 的图象关于y 轴成轴对称图形． 二、方法归纳1.函数的定义域D 是关于原点的对称点集（即对x ∈D 就有－x ∈D ），是其具有奇偶性的必要条件．2.在公共定义域：两个偶函数的和、差、积、商均为偶函数；两个奇函数的和、差是奇函数，积、 商是偶函数； 偶函数与奇函数的积、商是奇函数．3.判断函数的奇偶性应把握：① 若为具体函数，严格按照定义判断，注意定义域D 的对称性和变换中的等价性． ② 若为抽象函数，在依托定义的基础上，用好赋值法，注意赋值的科学性和合理性．4.定义在关于原点的对称点集D 上的任意函数)(x f ，总可以表示成一个偶函数与一个奇函数的和． 即)(x f ＝)(x F ＋)(x G ，其中)(x F ＝2)()(x f x f -+为偶函数， )(x G ＝2)()(x f x f --为奇函数．5.奇（偶）函数性质的推广：若函数)(x f 的图象关于直线a x =对称，则)2()(a x f x f +=-； 若函数)(x f 的图象关于点)0,(a 对称，则)2()(a x f x f +-=-； 三、典型例题精讲［例1］（1）函数)(x f ＝111122+++-++x x x x 的图象( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线x ＝1对称解析：由=-)(x f 111122+-+--+x x x x ， ∴ =-)(x f ＝11111122+++-++xx xx ＝)1(1)1(122x x x x +++++- ＝－)(x f∴ )(x f 是奇函数，图象关于原点对称． 答案：C【技巧提示】 用定义判定函数的奇偶性需要对函数解析式进行恒等变形，不要轻易断定是非奇非偶函数． （2）分段函数奇偶性的判定又例：函数⎩⎨⎧>-+-<++=0,320,32)(22x x x x x x x f 的奇偶性． 解析：当0>x 时，0<-x3)(2)()(2+-+-=-x x x f ＝322+-x x ＝)(x f -；当0<x 时，0>-x3)(2)()(2--+--=-x x x f ＝322---x x ＝)(x f -∴)(x f 是奇函数．［例2］已知)(x f 是偶函数而且在(0，＋∞)上是减函数，判断)(x f 在(－∞，0)上的增减性并加以证明． 解析：函数)(x f 在(－∞，0）上是增函数．设x 1＜x 2＜0，因为)(x f 是偶函数，所以)(1x f -＝)(1x f ，)(2x f -＝)(2x f ，由假设可知－x 1＞－x 2＞0，又已知)(x f 在(0，＋∞)上是减函数，于是有)(1x f -＜)(2x f -， 即)(1x f ＜)(2x f ，由此可知，函数)(x f 在(－∞，0)上是增函数．【技巧提示】 具有奇偶性的函数，其定义域D 关于原点的对称性，使得函数在互为对称的区间的单调性具有对应性．“偶函数半增半减，奇函数一增全增”．［例3］定义在区间(－∞，＋∞)上的奇函数)(x f 为增函数，偶函数)(x g 在区间[0，＋∞)上的图象与)(x f 的图象重合，设a ＞b ＞0，给出下列不等式：（1）f (b )－f (－a )＞g (a )－g (－b )； （2）f (b )－f (－a )＜g (a )－g (－b )； （3）f (a )－f (－b )＞g (b )－g (－a )； （4）f (a )－f (－b )＜g (b )－g (－a )． 其中成立的是（ ）A ． (1)与(4)B ． (2)与(3)C ． (1)与(3)D ． (2)与(4) 解析：根据函数)(x f 、)(x g 的奇偶性将四个不等式化简，得： （1）f (b )＋f (a )＞g (a )－g (b )； （2）f (b )＋f (a )＜g (a )－g (b )； （3）f (a )＋f (b )＞g (b )－g (a )； （4）f (a )＋f (b )＜g (b )－g (a )．再由题义，有 )(a f ＝)(a g ＞)(b f ＝)(b g ＞0)0()0(==g f ．显然（1）、（3）正确，故选C ．【技巧提示】 具有奇偶性的函数可以根据某个区间的单调性判定其对称的区间的单调性，因而往往与不等式联系紧密．又例：偶函数)(x f 在定义域为R ，且在（－∞，0]上单调递减，求满足)3(+x f ＞)1(-x f 的x 的集合． 解析：偶函数)(x f 在（－∞，0]上单调递减，在［0，＋∞）上单调递增．根据图象的对称性，)3(+x f ＞)1(-x f 等价于|3|+x ＞|1|-x ．解之，1->x ，∴ 满足条件的x 的集合为（－1，＋∞）．［例4］设)(x f 是(－∞，＋∞)上的奇函数，)2(+x f ＝－)(x f ，当0≤x ≤1时，)(x f ＝x ，x 则)5.7(f 等于( )A ．0.5B ． －0.5C ． 1.5D ． －1.5解析：)5.7(f ＝)25.5(+f ＝－)5.5(f ＝－)25.3(+f ＝)5.3(f ＝)25.1(+f ＝－)5.1(f ＝－)25.0(+-f ＝)5.0(-f ＝－)5.0(f ＝－0.5．答案：B【技巧提示】 这里反复利用了)(x f ＝－)(x f 和)2(+x f ＝－)(x f ，后 面的学习我们会知道这样的函数具有周期性．又例：如果函数)(x f 在R 上为奇函数，且在(－1，0)上是增函数，试比较)31(f ，)32(f ，)1(f 的大小关系_________． 解析：∵)(x f 为R 上的奇函数，∴ )31(f ＝－)31(-f ，)32(f ＝－)32(-f ，)1(f ＝－)1(-f ，又)(x f 在(－1，0)上是增函数且－31＞－32＞－1． ∴ )31(-f ＞)32(-f ＞)1(-f ，∴ )31(f ＜)32(f ＜)1(f ．答案：)31(f ＜)32(f ＜)1(f ．［例5］函数)(x f 的定义域为D ＝{}0≠∈x R x ，且满足对于任意D x x ∈21,，有1212()()()f x x f x f x ⋅=+ （1）求(1)f 的值； （2）判断函数)(x f 的奇偶性，并证明；解：（1）令121x x ==，得()10f =；（2）令121x x ==-，得()10f -=，令121,x x x =-=，得()()()1f x f f x -=-+∴ ()()f x f x -=，即)(x f 为偶函数．【技巧提示】 赋值法是解决抽象函数问题的切入点．常赋值有0，1，―1，2，―2，等等．［例6］已知函数)(x f 在(－1，1)上有定义，)21(f ＝－1，当且仅当0＜x ＜1时)(x f ＜0，且对任意x 、y ∈(－1，1)都有)(x f ＋)(y f ＝)1(xyyx f ++，试证明： (1) )(x f 为奇函数；(2) )(x f 在(－1，1)上单调递减． 证明：(1) 由)(x f ＋)(y f ＝)1(xyyx f ++，令x ＝y ＝0，得)0(f ＝0， 令y ＝－x ，得)(x f ＋)(x f -＝)1(2x xx f --＝)0(f ＝0，∴ )(x f ＝－)(x f -， ∴)(x f 为奇函数． (2)先证)(x f 在(0，1)上单调递减．令0＜x 1＜x 2＜1，则f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f (21121x x x x --)∵0＜x 1＜x 2＜1，∴x 2－x 1＞0，1－x 1x 2＞0，∴21121x x x x --＞0，又(x 2－x 1)－(1－x 2x 1)＝(x 2－1)(x 1+1)＜0 ∴x 2－x 1＜1－x 2x 1， ∴0＜21121x x x x --＜1，由题意知f (21121x x x x --)＜0，即f (x 2)＜f (x 1)．∴ )(x f 在(0，1)上为减函数，又)(x f 为奇函数且f (0)＝0．∴)(x f 在(－1，1)上为减函数．【技巧提示】 这种抽象函数问题，往往需要赋值后求特殊的函数值，如(0),(1),(2)f f f ±±等等，一般(0)f 的求解最为常见．赋值技巧常为令0==y x 或y x -=等。
第三讲 函数的奇偶性(教师版)
第三讲函数的奇偶性1．奇、偶函数的概念一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称．2．奇、偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．(2)在公共定义域内①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；②两个偶函数的和、积都是偶函数；③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数．3．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．一条规律奇、偶函数的定义域关于原点对称．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．两个性质(1)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.(2)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．三种方法判断函数的奇偶性，一般有三种方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)性质法．三条结论(1)若对于R上的任意的x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)，且f(2b－x)＝f(x)(其中a＜b)，则：y＝f(x)是以2(b －a )为周期的周期函数．(3)若f (x ＋a )＝－f (x )或f (x ＋a )＝1f (x )或f (x ＋a )＝－1f (x )，那么函数f (x )是周期函数，其中一个周期为T ＝2a ；(3)若f (x ＋a )＝f (x ＋b )(a ≠b )，那么函数f (x )是周期函数，其中一个周期为T ＝2|a －b |.1．(课本改编题)已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是________．2．(课本改编题)下列函数中，所有奇函数的序号是________．①f (x )＝2x 4＋3x 2；②f (x )＝x 3－2x ；③f (x )＝x 2＋1x ；④f (x )＝x 3＋1.3．(2011·广东)设函数f (x )＝x 3cos x ＋1.若f (a )＝11，则f (－a )＝________.4．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )>0的x 的取值范围是________．5．定义在R 上的函数y ＝f (x )是奇函数，且满足f (1＋x )＝f (1－x )．当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 3，则f (2 013)的值是( )A ．－1B ．0C ．1D ．26．(2011·全国)设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝⎛⎭⎫－52＝( )． A.－12 B.－14 C.14 D.127．(2012·福州一中月考)f (x )＝1x －x 的图象关于( )．A ．y 轴对称B ．直线y ＝－x 对C ．坐标原点对称D ．直线y ＝x 对称8．(2011·广东)设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )．A ．f (x )＋|g (x )|是偶函数B ．f (x )－|g (x )|是奇函数C ．|f (x )|＋g (x )是偶函数D ．|f (x )|－g (x )是奇函数10．(2011·浙江)若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________.解析 法一 ∵f (－x )＝f (x )对于x ∈R 恒成立，∴|－x ＋a |＝|x ＋a |对于x ∈R 恒成立，两边平方整理得ax ＝0对于x ∈R 恒成立，故a ＝0. 法二 由f (－1)＝f (1)， 得|a －1|＝|a ＋1|，得a ＝0. 答案011.（2005年北京西城区模拟题）定义在R 上的奇函数f （x ）在（0，+∞）上是增函数，又f （－3）=0，则不等式xf （x ）＜0的解集为 A.（－3，0）∪（0，3） B.（－∞，－3）∪（3，+∞） C.（－3，0）∪（3，+∞） D.（－∞，－3）∪（0，3）解析：由奇偶性和单调性的关系结合图象来解. 答案：A12.定义在［－2，2］上的偶函数g （x ），当x ≥0时，g （x ）单调递减，若g （1－m ）＜g （m ），求m 的取值范围________.解：由g （1－m ）＜g （m ）及g （x ）为偶函数，可得g （|1－m |）＜g （|m |）.又g （x ）在（0，+∞）上单调递减，∴|1－m |＞|m |，且|1－m |≤2，|m |≤2，解得－1≤m ＜21.题型一 函数奇偶性的判断及奇偶性质的运用 例1 判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝9－x 2＋x 2－9； (2)f (x )＝(x ＋1)1－x 1＋x ； (3)f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3. 探究提高 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域对解决问题是有利的；(2)判断f (x )与f (－x )是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f (x )＋f (－x )＝0(奇函数)或f (x )－f (－x )＝0(偶函数))是否成立． 分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数，分段函数奇偶性的判断，要分别从x >0或x <0来寻找等式f (－x )＝f (x )或f (－x )＝－f (x )成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝lg 1－x 1＋x ；(2)f (x )＝(x －1) 2＋x2－x；(3)f (x )＝{ x 2＋x (x >0)， x 2－x (x <0)；(4)f (x )＝lg (1－x 2)|x 2－2|－2.例2已知函数1222)(+-+⋅=xx a a x f 是定义在实数集上的奇函数，求函数的解析式。
组合数学第21讲_算式结果奇偶性判断(教师版)A4
一．基础奇偶性判别法则1．加减法算式：奇数+奇数=偶数；奇数+偶数=奇数；偶数+偶数=偶．2．乘法算式：奇数×奇数=奇数；奇数×偶数=偶数；偶数×偶数=偶数．3．任何数的乘方结果奇偶性与原数相同．二．三项以及以上的算是奇偶性判别法则1．加减法算式：算式中有奇数个奇数则结果为奇数．（简记为：奇个奇为奇） 2．乘法算式：算式中有偶数则结果为偶数，否则为奇数．（简记为：有偶则为偶）重难点：加减法算式中结果的奇偶性与符号无关．题模一：加减例1.1.1123456789201120122013-++-++-+++-+的结果是奇数还是偶数？ 【答案】奇数【解析】分析，1232013++++和为奇数，把其中任意加号变为减号，结果也一定是奇数． 例1.1.2任意取出1234个连续自然数，它们的总和是奇数还是偶数？【答案】奇数【解析】奇数．12342617÷=，所以在任取的1234个连续自然数中，奇数的个数是奇数．而奇数个奇数之和是奇数，所以它们的总和是奇数．例1.1.3请在9，8，，3，2，1的相邻两个数之间填入“+”或者“-”（不能改变数的顺序），使得结果是1．能否使得结果是0：_________（填“能”或“不能”）．9 8 7 6 5 4 3 2 1 = 19 8 7 6 5 4 3 2 1 = 0【答案】其中一种填法是9876543211--++--++=；不能【解析】有些数前面是“+”，有些数前面是“-”，因此我们可以把1～9分成两部分．由于进行加减法运算可以带符号搬家，我们可以把前面是“-”的数都放到后面去，从而等式左边可以看成前面是“+”的数的总和减去前面是“-”的数的总和，差等于1．由于1～9的总和为12945++⋅⋅⋅+=，根据和差问题的解法，我们可以算出前面是“+”的数的总和为()451223+÷=，前面是“-”的数的总和为()451222-÷=．我们只需要找出和是22的一些数，在它们前面填上“-”，其它前面填上“+”，就能使等式结果是1．例如，12345722+++++=．在1，2，3，4，5，7前面填“-”号，就可以满足要求：9876543211+-+-----=．组合数学第21讲_算式结果奇偶性判断要使结果是0，我们就要把1～9分成两部分，两部分的总和相减等于0，两部分的总和相加等于45，但是452÷不是整数，所以我们没法分成这样的两部分，即不可能使结果是0． 例1.1.4一次宴会上，客人们相互握手，每两人之间都握一次手，请问：所有人握手次数之和是奇数还是偶数？握过奇数次手的人数是奇数还是偶数？【答案】（1）偶数；（2）偶数【解析】（1）每一次握手都是涉及两个人的，所以把所有人的握手次数相加时，每一次握手都是被计算了两次的，所以总和一定是偶数．（2）握手次数总和是偶数，所以加数中奇数的个数一定是偶数，即握过奇数次手的人数是偶数．例1.1.550个互不相同的正整数，总和是2010．这些数里至多有______________个偶数．【答案】42【解析】假设全是偶数，246......1002550++++=，需要减少25502010540-=．100改成1减少99，98改成3减少95，96改成5减少93……25509995918783792016------=，还是太大，且为偶数，所以需要再把至少2个偶数换成奇数，才能使总和变成2010．所以原来的50个数中最少只能有42个偶数．例 1.1.6设a , b , c , d , e , f , g 都是整数，试说明：在,,,,,,a b b c c d d e e f f g g a +++++++中，必有奇数个偶数．【答案】见解析【解析】加数中奇数的个数决定和的奇偶性，反过来，和的奇偶性由加数中奇数的个数决定，所以我们考虑这7个数的和2a b b c c d d e e f f g g a a b c d e f g +++++++++++++=++++++（）（）（）（）（）（）（）（），和是偶数，a b +,b c +,c d +,d e +,e f +,f g +,g a +中，必有偶数个奇数，因而必有奇数个偶数．题模二：乘、n 次方例1.2.1（1）12233499100⨯+⨯+⨯++⨯的结果是奇数还是偶数？（2）133599101⨯+⨯++⨯的结果是奇数还是偶数？【答案】（1）偶数；（2）偶数【解析】（1）每个乘积都是偶数，所以和是偶数．（2）每个乘积都是奇数，和的奇偶性取决于加数中奇数的个数．1、3、5、…、99共有50个奇数，所以结果是偶数．例1.2.218544545459892821544⨯+⨯⨯－的结果是__________．A ．奇数B ．偶数【答案】A【解析】偶数×偶数+奇数×奇数－偶数×偶数=偶数+奇数-偶数=奇数，所以正确答案是A ．例1.2.32000191919919991999⨯⨯⨯⨯+是奇数还是偶数？为什么？【答案】偶数【解析】若干个奇数相乘为奇数，奇数的若干次方为奇数，奇数加奇数为偶数．例1.2.4123419992000123419992000++++++是奇数还是偶数？请说明理由．【答案】偶数【解析】共2000部分相加，其中奇数占一半即有1000项．而偶数个奇数之和为偶数，故结果为偶数．例1.2.5122011,,...,a a a 是1到2011的一个排列，请问122011(1)(2)(2007)a a a --⋅⋅⋅-是偶数还是奇数：_________，并说明理由：_________．【答案】偶数【解析】()()()()()1220111220111220111220110a a a a a a -+-++-=+++-+++=，是偶数；则()11a-、()22a-、…、()20112011a-中至少有一个偶数，其乘积为偶数．例 1.2.6小红写了四个不同的非零整数a,b,c,d，并且说这四个整数满足四个算式：1991a b c d a⨯⨯⨯-=1993a b c d b⨯⨯⨯-=1995a b c d c⨯⨯⨯-=1997a b c d d⨯⨯⨯-=但是小明看过之后立刻说小红是错的，根不不存在这样的四个数，你能证明小明的结论吗？【答案】】见解析【解析】由小红的提出的等式组，我们可以得到(1)1991a bcd⨯-=，(1)1993b acd⨯-=，(1)1995c abd⨯-=，(1)1997d abc⨯-=，发现如果每个等式的结果都是一个奇数，那么要,,,a b c d四个数都是奇数，因为只有奇数与奇数相乘才能得奇数，这样,,,a b c d中任意三个数的乘积也为奇数，导致(1)abd-等四个差均为偶数，乘积结果只能得偶数，发生矛盾．．随练1.1下列错误的是__________．A．奇数+奇数=偶数B．偶数－偶数=偶数C．奇数-偶数=奇数D．偶数-奇数=偶数【答案】D【解析】简单判断奇偶性（加减），D不正确，偶数减去奇数应该是奇数．随练1.2设a、b为正整数，且a b>，则a b+与a b-的奇偶性相同．（）【答案】√【解析】若b为奇数，则a b+与a b-的奇偶性均与a不同；若b为偶数，则a b+与a b-的奇偶性均与a相同．这样，a b+与a b-的奇偶性必相同．随练1.3算式1234192021-+-++-+的结果是奇数还是偶数？【答案】奇数【解析】1~21中，奇数一共有11个，所以结果是奇数．随练1.4（1）12342012+++++的和是奇数还是偶数？（2）在1、2、3、 (2013)每一个数前，添上加号或减号，请问：能否找到一种添法，使得算式结果为0？【答案】（1）偶数；（2）不能【解析】（1）和的奇偶性只取决于加数中奇数的个数．1~2012中共有1006个奇数，所以和是偶数．（2）不可能．1232013++++，1~2013中共有1007个奇数，所以和为奇数；根据“和差奇偶性相同”可得，1232013++++任意把一些加号变为减号，结果也一定是一个奇数，不可能是0．随练1.513355720072009⨯+⨯+⨯++⨯是奇数还是偶数？为什么？【答案】偶数【解析】结果为()20071211004-÷+=部分的和，每部分为奇数乘奇数，结果为奇数．因此总和为偶数个奇数之和，为偶数．随练1.61335577173⨯+⨯+⨯++⨯的结果是__________.A．奇数B．偶数C．非奇非偶【答案】B【解析】每一项的计算结果都是奇数，一共是36项，相当于36个奇数相加，结果是偶数，所以正确答案是B．⨯+⨯+⨯++⨯的结果是__________.随练1.71335574951A．奇数B．偶数C．不能确定【答案】A【解析】每一项的计算结果都是奇数，一共有25项，所以相当于25个奇数相加，结果仍是奇数，所以正确答案是A．⨯⨯⨯⨯⨯⨯的结果是__________.随练1.8234620132014A．奇数B．偶数C．不能确定【答案】B【解析】任何数与偶数的乘积结果仍是偶数，所以正确答案是B．⨯-⨯-⨯的结果是__________．随练1.915455453485346698A．奇数B．偶数【答案】A【解析】奇数×奇数-奇数×偶数-偶数×偶数=奇数-偶数-偶数=奇数，所以真确答案是A．随练1.10判断下列的奇偶性：（奇数×偶数）÷偶数=__________．A．奇数B．偶数C．不能确定【答案】C⨯÷=结果是奇数，所以上算式的结果的奇偶性【解析】()⨯÷=结果是偶数；22412222无法确定，所以正确答案是C．随练1.11有四个算式：+=□□□．如果每一个算□□□，÷=□□□，-=□□□，⨯=式中都至少有1个偶数和1个奇数，那么12个数中一共有多少个偶数？如果没有前面的限制，这12个数中最少有多少个偶数？最多有多少个偶数？【答案】6个；最少2个，最多12个【解析】在有条件限制时，算式+=里的三个数中，有1个偶数．考察-=，我们可以用同样的方法讨论．不过注意到减法可以变为加法：被减数减数差，因此它和算式+=是同样的类型，因此它也只有1个偶数．=+考察⨯=：如果积为奇数，那么两个乘数应该同为奇数，此时等式中没有偶数，不符合限制条件．如果积为偶数，那么两个乘数应该同为偶数或者一奇一偶．由于每个算式中至少有1个奇数，所以两个乘数必然一奇一偶，此时等式中有2个偶数．被除数商除数”的形式，那么它和考察÷=，注意到除法÷=可以写成“=⨯⨯=是同样的类型，因此它中间也有2个偶数．所以当有限制条件时，12个数中一共有11226+++=个偶数．如果没有限制条件，+=中至少有1个偶数，至多3个偶数．-=与+=是同样的类型，它也至少有1个偶数，，至多3个偶数．⨯=中可以没有偶数，至多3个偶数．÷=与⨯=是同样的类型，它也可以没有偶数，至多3个偶数．因此12个数中至少有11002+++=个偶数，至多有333312+++=个偶数．++++++的结果是__________.作业1234520202021A．奇数B．偶数C．不能确定【答案】B【解析】这里边一共有1010个偶数，1010个奇数，所有奇数的和是偶数，加上所有的偶数，结果是偶数，所以正确答案是B．作业2高思杯足球赛施行单循环赛，赛制规定：每场比赛胜者得2分，负者得0分，平局各得1分．比赛结束后，所有队的得分总和是奇数还是偶数？【答案】偶数【解析】每一场比赛，无论是分胜负还是平局，两个队的得分之和都是2分．而所有队的得分总和即为所有场比赛的得分和之总和，即使若干个2相加，总和是偶数．作业3（1）能否在1、2、3、…、9、10的相邻两个数之间填入加号或减号（不能改变数的顺序），使得结果是25？（2）能否在1、2、3、…、9、10的相邻两个数之间填入加号或减号（不能改变数的顺序），使得结果是36？【答案】（1）可以，答案不唯一；（2）不能【解析】1~10的和为55，和为奇数．根据“和、差奇偶性相同”，那么如果把一部分加号改为减号，那么结果应该仍是奇数，所以：（1）结果为25是可能的，可以是+++-++++-；（2）结果为36是不可能的．12345678910作业4有一串数，最前面的四个数依次是1、9、8、7．从第五个数起，每一个数都是它前面相邻四个数之和的各位数字，那么在这一串数中，会依次出现1、9、8、8这四个数吗？【答案】不会【解析】不会．观察前4个数，奇偶性排列次序为奇奇偶奇，而一个数的奇偶性仅与它的个位数字有关，所以之后的第5个数为奇数，第6个为偶数，第7个为奇数，第8个为奇数，整体的出现规律为奇奇偶奇奇偶奇奇偶奇奇偶……，所以不肯能有两个连续的偶数，所以1、9、8、8不会出现．⨯+⨯+⨯++⨯的结果是__________.作业51335573133A．奇数B．偶数C．非奇非偶【答案】B【解析】奇数与奇数的乘积结果仍是奇数，所以每一个加数都是奇数，一共有16个加数，所以是16个奇数相加，结果是偶数，所以正确答案是B．⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯的结果是__________.作业63691215123126A．奇数B．偶数C．不能确定【答案】B【解析】任何数与偶数的乘积结果仍是偶数，所以正确答案是B．⨯+⨯+⨯的结果是__________．作业720850253561595984865456A．奇数B．偶数【答案】A【解析】偶数×奇数+奇数×奇数+偶数×偶数=偶数+奇数+偶数=奇数+偶数=奇数，所以答案选A．。
函数的奇偶性教案2篇
函数的奇偶性教案第一篇：函数的奇偶性教案目标：1. 了解函数的奇偶性的定义和性质。
2. 判断函数的奇偶性。
3. 通过练习题加深对函数的奇偶性的理解。
预计完成时间：1课时教学步骤：步骤一：引入话题（10分钟）教师可以用一个简单的问题引入话题，例如：你知道什么是函数的奇偶性吗？为什么需要关注函数的奇偶性？学生可以自由发言，激发学生们的兴趣。
步骤二：讲解奇偶性的概念（10分钟）教师简要讲解函数的奇偶性的概念，可以借助一些例子来说明。
奇函数和偶函数是对称的关系，奇函数关于y轴对称，而偶函数关于原点对称。
步骤三：奇偶性的判断方法（15分钟）教师讲解奇偶性的判断方法。
一般来说，对于一元函数，可以通过以下两种方法判断函数的奇偶性。
方法1：使用函数的定义式。
对于奇函数，f(-x)=-f(x)成立；对于偶函数，f(-x)=f(x)成立。
方法2：使用函数的图象。
对于奇函数，其图象关于原点对称；对于偶函数，其图象关于y轴对称。
步骤四：练习题（15分钟）教师提供一些练习题，让学生在纸上完成，然后进行讲解和讨论。
例如：1. 判断函数f(x)=x^3+3x^2-5x是否为奇函数。
2. 判断函数g(x)=2x^2-4是否为偶函数。
3. 利用函数的奇偶性，简化函数h(x)=5x^3-x^2+2x-1的图象。
步骤五：总结（10分钟）教师对本节课内容进行总结，并强调函数的奇偶性的重要性和应用。
第二篇：函数的奇偶性教案（续）目标：1. 掌握奇函数和偶函数的一些常见函数的性质。
2. 进一步加深对函数的奇偶性的理解。
3. 练习函数的奇偶性的判断和应用。
预计完成时间：1课时教学步骤：步骤一：引入话题（10分钟）教师可以复习上节课的内容，然后提问学生，你还记得什么是奇函数和偶函数吗？奇函数和偶函数有哪些性质？步骤二：常见函数的性质（15分钟）教师讲解一些常见函数的性质，例如：1. 幂函数：对于非负整数n，当n为奇数时，函数f(x)=x^n是奇函数；当n为偶数时，函数f(x)=x^n是偶函数。
第二章第3讲函数的奇偶性及周期性(教师版)
第3讲 函数的奇偶性及周期性1．下列函数为偶函数的是( )A ．f (x )＝x －1B ．f (x )＝x 2＋xC ．f (x )＝2x －2－xD ．f (x )＝2x ＋2－x[答案] D2．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1，2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( )A ．－13B ．13C ．12D ．－12B [解析] 因为f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1，2a ]上的偶函数，所以a －1＋2a ＝0，所以a ＝13.又f (－x )＝f (x )，所以b ＝0，所以a ＋b ＝13. 3. 已知函数f (x )是奇函数，在(0，＋∞)上是减函数，且在区间[a ，b ](a <b <0)上的值域为[－3，4]，则在区间[－b ，－a ]上( )A ．有最大值4B ．有最小值－4C ．有最大值－3D ．有最小值－3B [解析] 法一：根据题意作出y ＝f (x )的简图，由图知选B.法二：当x ∈[－b ，－a ]时，－x ∈[a ，b ]，由题意得f (b )≤f (－x )≤f (a )，即－3≤－f (x )≤4，所以－4≤f (x )≤3，即在区间[－b ，－a ]上f (x )min ＝－4，f (x )max ＝3，故选B.4. 函数f (x )的定义域为R ，且对于x ∈R ，恒有f (x ＋2)＝f (x )．当x ∈[2，4]时，f (x )＝x 2－2x ，则f (2 017)＝________．[解析] 由f (x ＋2)＝f (x )，知f (x )是周期T ＝2的周期函数．因为当x ∈[2，4]时，f (x )＝x 2－2x ， 所以f (2 017)＝f (1 007×2＋3)＝f (3)＝32－2×3＝3，即f (2 017)＝3.[答案] 35. 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (1＋x )，则x ＜0时，f (x )＝________．[解析] 当x ＜0时，则－x ＞0，所以f (－x )＝(－x )(1－x )．又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )＝(－x )(1－x )，所以f (x )＝x (1－x )．[答案] x (1－x )函数的奇偶性(1)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________．(2)判断下列函数的奇偶性．①f (x )＝x 3－1x ；②f (x )＝x 2－1＋1－x 2；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2，x ＞0，0，x ＝0，－x 2－2，x ＜0.[解] (1)因为 f (x )为偶函数，所以f (－x )－f (x )＝0恒成立，所以－x ln(－x ＋a ＋x 2)－x ln(x ＋a ＋x 2)＝0恒成立，所以x ln a ＝0恒成立，所以ln a ＝0，即a ＝1.故填1.(2)①原函数的定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称，并且对于定义域内的任意一个x 都有f (－x )＝(－x )3－1－x＝－⎝⎛⎭⎫x 3－1x ＝－f (x )，从而函数f (x )为奇函数． ②f (x )的定义域为{－1，1}，关于原点对称．又f (－1)＝f (1)＝0，f (－1)＝－f (1)＝0，所以f (x )既是奇函数又是偶函数．③f (x )的定义域为R ，关于原点对称，当x ＞0时，f (－x )＝－(－x )2－2＝－(x 2＋2)＝－f (x )；当x ＜0时，f (－x )＝(－x )2＋2＝－(－x 2－2)＝－f (x )；当x ＝0时，f (0)＝0，也满足f (－x )＝－f (x )． 故该函数为奇函数．[通关练习]1．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A ．y ＝1＋x 2B ．y ＝x ＋1xC ．y ＝2x ＋12x D ．y ＝x ＋e x D [解析] A 选项定义域为R ，由于f (－x )＝1＋（－x ）2＝1＋x 2＝f (x )，所以是偶函数．B 选项定义域为{x |x ≠0}，由于f (－x )＝－x －1x＝－f (x )，所以是奇函数．C 选项定义域为R ，由于f (－x )＝2－x ＋12－x ＝12x ＋2x ＝f (x )，所以是偶函数．D 选项定义域为R ，由于f (－x )＝－x ＋e －x ＝1e x －x ，所以是非奇非偶函数．2．已知函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1(x ∈R )，若f (a )＝2，则f (－a )的值为( )A ．3B ．0C ．－1D ．－2B [解析] 设F (x )＝f (x )－1＝x 3＋sin x ，显然F (x )为奇函数，又F (a )＝f (a )－1＝1，所以F (－a )＝f (－a )－1＝－1，从而f (－a )＝0.故选B.函数的周期性已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x －12.则f (6)＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．2【解析】 当x >0时，x ＋12>12，所以f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋12－12，即f (x ＋1)＝f (x )， 所以f (6)＝f (5)＝f (4)＝…＝f (1)＝－f (－1)＝2.【答案】 D若将本例中“f (－x )＝－f (x )”改为“f (－x )＝f (x )”，其他条件不变，求f (6)的值．[解] 由－1≤x ≤1时，f (－x )＝f (x )可知，f (x )为偶函数．又x >12时，f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x －12， 即f (x ＋1)＝f (x )，故f (x )的周期为1.所以f (6)＝f (5×1＋1)＝f (1)．而f (1)＝f (－1)＝(－1)3－1＝－2，所以f (6)＝－2.[通关练习]1．函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝⎛⎭⎫52的值为( )A ．12B ．14C ．－14D ．－12A [解析] 因为f (x ＋1)＝－f (x )，所以f (x ＋2)＝f [(x ＋1)＋1]＝－f (x ＋1)＝f (x )，即函数f (x )的周期为2.所以f ⎝⎛⎭⎫52＝f ⎝⎛⎭⎫12＋2＝f ⎝⎛⎭⎫12＝2×12⎝⎛⎭⎫1－12＝12. 2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2（1－x ），0≤x ≤1x －1，1<x ≤2，如果对任意的n ∈N *，定义f n (x )＝f {f [f …f,\s \do 4( ,n 个)) (x )]}，那么f 2 017(2)的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3B [解析] 因为f 1(2)＝f (2)＝1，f 2(2)＝f (1)＝0，f 3(2)＝f (0)＝2，所以f n (2)的值具有周期性，且周期为3，所以f 2 017(2)＝f 3×672＋1(2)＝f 1(2)＝1，故选B.函数性质的综合问题(高频考点)(1)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)＞0，则x 的取值范围是________．(2)已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x ，则f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (1)＝__________． 【解析】 (1)因为f (x )是偶函数，所以图象关于y 轴对称．又f (2)＝0，且f (x )在[0，＋∞)上单调递减，则f (x )的大致图象如图所示，由f (x －1)>0，得－2<x －1<2，即－1<x <3.(2)因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0.又f (x )＝－f (－x )，f (x ＋2)＝f (x )，所以f (x ＋1)＝－f (1－x )，令x ＝0，得f (1)＝－f (1)，所以f (1)＝0.f ⎝⎛⎭⎫－52＝f (－2－12)＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝－2.所以f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (1)＝－2. 【答案】 (1)(－1，3) (2)－2[题点通关]角度一 函数的奇偶性与单调性相结合1．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)＞f (－2)，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，12)B ．(－∞，12)∪(32，＋∞)C ．(12，32)D ．(32，＋∞) C [解析] 由f (x )是偶函数得f (－2)＝f (2)，再由偶函数在对称区间上单调性相反，得f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以由2|a －1|＜2，得|a －1|＜12，即12＜a ＜32. 角度二 函数的奇偶性与周期性相结合2．已知f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当x ∈(0，1)时，f (x )＝3x －1，则f ⎝⎛⎭⎫2 0152＝( )A ．3＋1B ．3－1C ．－3－1D ．－3＋1D [解析] 因为f (x ＋2)＝f (x )＝－f (－x )，所以f ⎝⎛⎭⎫2 0152＝f ⎝⎛⎭⎫1 006＋32＝f ⎝⎛⎭⎫32＝－f ⎝⎛⎭⎫－32＝－f ⎝⎛⎭⎫12.又当x ∈(0，1)时，f (x )＝3x －1，所以f ⎝⎛⎭⎫12＝3－1，f ⎝⎛⎭⎫2 0152＝1－ 3. 角度三 函数的奇偶性、周期性、单调性的综合问题3．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0，2]上是增函数，则( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)D [解析] 因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数f (x )是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)．因为f (x )在区间[0，2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数，所以f (x )在区间[－2，2]上是增函数，所以f (－1)<f (0)<f (1)，即f (－25)<f (80)<f (11)．——函数的新定义问题如果定义在R 上的函数f (x )对任意两个不相等的实数x 1，x 2，都有x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)>x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)，则称函数f (x )为“H 函数”．给出下列函数：①y ＝－x 3＋x ＋1；②y ＝3x －2(sin x －cos x )；③y ＝e x ＋1；④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln|x |，x ≠0，0，x ＝0. 以上函数是“H 函数”的是________．(填上所有正确的序号)【解析】 若函数f (x )为“H 函数”，则有x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)>x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)，x 1·[f (x 1)－f (x 2)]>x 2[f (x 1)－f (x 2)]，即(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0.所以“H 函数”f (x )就是R 上的单调递增函数．①y ′＝－3x 2＋1，由y ′>0，解得－33<x <33，所以该函数的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－33，33， 而在区间⎝⎛⎭⎫－∞，－33和⎝⎛⎭⎫33，＋∞上单调递减，显然在R 上不是单调递增函数，即不是“H 函数”． ②y ′＝3－2(cos x ＋sin x )＝3－22sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4.因为sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4∈[－1，1]，所以y ′＝3－22sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≥3－22>0，故该函数在R 上是单调递增函数，即“H 函数”．③因为函数y ＝e x 在R 上是单调递增函数，所以y ＝e x ＋1在R 上也是单调递增函数，即“H 函数”．④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln|x |，x ≠0，0，x ＝0＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x >0，ln （－x ），x <0，0，x ＝0.故该函数在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，所以在R 上不是单调递增函数，即不是“H 函数”．综上，填②③.【答案】 ②③设函数f (x )的定义域为D ，如果存在非零常数T ，对任意的x ∈D ，都有f (x ＋T )＝T ·f (x )，则称函数f (x )是“似周期函数”，非零常数T 为函数f (x )的“似周期”．现有四个关于“似周期函数”的命题：①如果“似周期函数”f (x )的“似周期”为－1，那么它是周期为2的周期函数；②函数f (x )＝x 是“似周期函数”；③函数f (x )＝2－x 是“似周期函数”；④如果函数f (x )＝cos ωx 是“似周期函数”，那么“ω＝k π，k ∈Z ”．其中真命题有________．(写出所有真命题的序号)[解析] 对于①，如果“似周期函数”f (x )的“似周期”为－1，则f (x －1)＝－f (x )，所以f (x －1)＝－f (x )＝－[－f (x ＋1)]＝f (x ＋1)，故它是周期为2的周期函数，故①正确；对于②，若函数f (x )＝x 是“似周期函数”，则存在非零常数T ，对任意的x ∈R ，都有f (x ＋T )＝T ·f (x )，即x ＋T ＝Tx ，即(1－T )x ＋T ＝0对任意的x ∈R 恒成立，显然不成立，故②不正确；对于③，若函数f (x )＝2－x 是“似周期函数”，则存在非零常数T ，对任意的x ∈R ，都有2－x －T ＝T ·2－x ，即(T －2－T )·2－x ＝0对任意的x ∈R 恒成立，则T －2－T ＝0，由函数y ＝x －12x 的单调性可知，存在T ＞0，使得T －2－T ＝0，故函数f (x )＝2－x 是“似周期函数”，故③正确；对于④，若函数f (x )＝cos ωx 是“似周期函数”，则存在非零常数T ，使得cos[ ω(x ＋T )]＝cos(ωx ＋ωT )＝T ·cos ωx ，故T ＝1或T ＝－1，且ωT ＝k π，k ∈Z ，故ω＝k π，k ∈Z ，故④正确．[答案] ①③④1．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上是减函数的是( )A ．y ＝x －1B ．y ＝ln x 2C ．y ＝cos x xD ．y ＝－x 2 D [解析] 由函数的奇偶性排除A 、C ，由函数的单调性排除B ，由y ＝－x 2的图象可知当x >0时此函数为减函数，又该函数为偶函数，故选D.2．设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，当x ∈[－2，1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x 2－2，－2≤x ≤0，x ，0<x <1，则f ⎝⎛⎭⎫52＝( ) A ．0 B ．1 C ．12D ．－1 D [解析] 因为f (x )是周期为3的周期函数，所以f ⎝⎛⎭⎫52＝f ⎝⎛⎭⎫－12＋3＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝4×⎝⎛⎭⎫－122－2＝－1，故选D.3．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0，2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)＝( )A ．2B ．－2C ．－98D ．98B [解析] 因为f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )的周期T ＝4，又f (x )在R 上是奇函数，所以f (7)＝f (－1)＝－f (1)＝－2.4．奇函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)为偶函数，且f (1)＝2，则f (4)＋f (5)的值为( )A ．2B ．1C ．－1D ．－2A [解析] 设g (x )＝f (x ＋1)，因为f (x ＋1)为偶函数，则g (－x )＝g (x )，即f (－x ＋1)＝f (x ＋1)， 因为f (x )是奇函数，所以f (－x ＋1)＝f (x ＋1)＝－f (x －1)，即f (x ＋2)＝－f (x )，f (x ＋4)＝f (x ＋2＋2)＝－f (x ＋2)＝f (x )，则f (4)＝f (0)＝0，f (5)＝f (1)＝2，所以f (4)＋f (5)＝0＋2＝2，故选A.5．已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x ＋1)＝1f （x ），若f (x )在[－1，0]上是减函数，那么f (x )在[2，3]上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减的函数D ．先减后增的函数A [解析] 由题意知f (x ＋2)＝1f （x ＋1）＝f (x )，所以f (x )的周期为2，又函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x )在[－1，0]上是减函数，则f (x )在[0，1]上是增函数，所以f (x )在[2，3]上是增函数．6．若函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0，2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在[－1，3]上的解集为( )A ．(1，3)B ．(－1，1)C ．(－1，0)∪(1，3)D ．(－1，0)∪(0，1)C [解析] f (x )的图象如图．当x ∈[－1，0)时，由xf (x )>0，得x ∈(－1，0)；当x ∈[0，1)时，由xf (x )>0，得x ∈∅；当x ∈[1，3]时，由xf (x )>0，得x ∈(1，3)．故x ∈(－1，0)∪(1，3)．7．函数f (x )在R 上为奇函数，且x >0时，f (x )＝x ＋1，则当x <0时，f (x )＝________．[解析] 因为f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x ＋1，所以当x <0时，－x >0，f (x )＝－f (－x )＝－(－x ＋1)，即x <0时，f (x )＝－(－x ＋1)＝－－x －1.[答案] －－x －18．若偶函数y ＝f (x )为R 上周期为6的周期函数，且满足f (x )＝(x ＋1)(x －a )(－3≤x ≤3)，则f (－6)等于________．[解析] 因为y ＝f (x )为偶函数，且f (x )＝(x ＋1)(x －a )(－3≤x ≤3)，所以f (x )＝x 2＋(1－a )x －a ，1－a ＝0.所以a ＝1.f (x )＝(x ＋1)(x －1)(－3≤x ≤3)．f (－6)＝f (－6＋6)＝f (0)＝－1.[答案] －19．函数f (x )＝e x ＋x (x ∈R )可表示为奇函数h (x )与偶函数g (x )的和，则g (0)＝________．[解析] 由题意可知h (x )＋g (x )＝e x ＋x ①，用－x 代替x 得h (－x )＋g (－x )＝e －x －x ，因为h (x )为奇函数，g (x )为偶函数，所以－h (x )＋g (x )＝e －x －x ②.由(①＋②)÷2得g (x )＝e x ＋e －x 2，所以g (0)＝e 0＋e 02＝1. [答案] 110．设定义在R 上的函数f (x )同时满足以下条件：①f (x )＋f (－x )＝0；②f (x )＝f (x ＋2)；③当0≤x ≤1时，f (x )＝2x －1，则f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫52＝________． [解析] 依题意知：函数f (x )为奇函数且周期为2，所以f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫52＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫－12＋f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)－f ⎝⎛⎭⎫12＋f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f (0)＝21－1＋21－1＋20－1＝ 2.[答案] 211．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ＞0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x ＜0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．[解] (1)设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)由(1)知f (x )在[－1，1]上是增函数，要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增．结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2＞－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1，3]．12．设函数f (x )＝（x ＋1）2＋sin x x 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________． [解析] f (x )＝（x ＋1）2＋sin x x 2＋1＝1＋2x ＋sin x x 2＋1.设g (x )＝2x ＋sin x x 2＋1，则g (－x )＝－g (x )， 所以g (x )是奇函数．由奇函数的图象可知g (x )max ＋g (x )min ＝0，所以M ＋m ＝[g (x )＋1]max ＋[g (x )＋1]min ＝2＋g (x )max ＋g (x )min ＝2.[答案] 213．设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x .(1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成的图形的面积．[解] (1)由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (x ＋4)＝f ((x ＋2)＋2)＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以f (x )是以4为周期的周期函数．所以f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4)＝－f (4－π)＝－(4－π)＝π－4.(2)由f (x )是奇函数与f (x ＋2)＝－f (x )，得f ((x －1)＋2)＝－f (x －1)＝f (－(x －1))，即f (1＋x )＝f (1－x )．从而可知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )的图象如图所示．设当－4≤x ≤4时，f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×⎝⎛⎭⎫12×2×1＝4. 14．已知函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (x －1)<2，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．[解] (1)因为对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，所以令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)， 所以f (1)＝0.(2)f (x )为偶函数．证明如下：令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，所以f (－1)＝12f (1)＝0. 令x 1＝－1，x 2＝x ，有f (－x )＝f (－1)＋f (x )，所以f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数．(3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，由(2)知，f (x )是偶函数，所以f (x －1)<2⇔f (|x －1|)<f (16)．又f (x )在(0，＋∞)上是增函数．所以0<|x －1|<16，解之得－15<x <17且x ≠1.所以x 的取值范围是(－15，1)∪(1，17)．。
2020年高三总复习数学人教旧版-必修1[第5讲 函数的奇偶性]讲义(教师版)
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∴y＝xf（x）是偶函数． 对于 C，g（﹣x）＝（﹣x）2＋f（﹣x）＝x2﹣f（x）， ∴y＝x2＋f（x）为非奇非偶函数， 对于 D，g（﹣x）＝（﹣x）2f（﹣x）＝﹣x2f（x）＝﹣g（x）， ∴y＝x2f（x）是奇函数． 故选 B．
函数奇偶性用定义判断，看 f（﹣x）和 f（x）的关系，注意奇偶函数的定义域的对称性，若 定义域不关于原点对称，一定是非奇非偶函数．
练习 1. 已知函数 f（x）＝ax3＋bx＋1，若 f（a）＝8，则 f（﹣a）＝
【答案】﹣6 【解析】∵函数 f（x）＝ax3＋bx＋1， ∴f（﹣x）＝a（﹣x）3＋b（﹣x）＋1＝﹣ax3﹣bx＋1， ∴f（﹣x）＋f（x）＝2，
．
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∴f（﹣a）＋f（a）＝2． ∵f（a）＝8， ∴f（a）＝﹣6． 故答案为﹣6．
练习 2. 定义在（﹣1，1）上的奇函数 f（x）＝
，则常数 m＝ ，n＝ ．
【答案】m＝0，n＝0． 【解析】因为函数 f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，所以必定有 f（0）＝ 0，
⇒m＝
此时 f（x）＝
，
函数的奇偶性教师版
1.函数的奇偶性的定义：设()y f x =，x A ∈，若对于任意x A ∈，都有()()f x f x -=-，则称()y f x =为奇函数；图象关于原点对称若对于任意x A ∈，都有()()f x f x -=，则称()y f x =为偶函数；图象关于y 轴对称2.奇偶函数的性质：（1）函数具有奇偶性定义域必须关于原点对称；（2）已知奇函数求参数，可用)1()1(f f -=-，若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =．已知偶函数求参数，可用)1()1(f f =-（3）奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性.（4）奇函数在关于原点对称的区间内有相反的最值，偶函数在关于原点对称的区间内有相同的最值3.判断函数的奇偶性的方法：（1）定义法：首先判断其定义域是否关于原点中心对称. 若不对称，则为非奇非偶函数；若对称，则再判断()()f x f x =-或()()f x f x =-是否定义域上的恒等式；判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：()()0f x f x ±-=，()1()f x f x =±-． （2）图象法；（3）性质法：设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域12D D D = 上：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇⨯奇=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇；题型1．判断下列各函数的奇偶性：1.()2433xx x f -+-= 2.()22++-=x x x f3. ()22+--=x x x f4.()(f x x =-5.11)(22-+-=x x x f 的奇偶性。
解：函数的定义域满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-010122x x ，即为}11{，-，函数的图象表示两个点：（-1，0），（1，0）。
其图象既关于原点对称，又关于y 轴对称。
从而函数f(x)既是奇函数又是偶函数。
专题05 函数周期性,对称性,奇偶性问题(教师版)-2024年高考二级结论速解技巧
()()()()012...516f f f f ++++× ()()()()()01234f f f f f +++++， 01633=×+=，故选：B.2．（2023·河南郑州·统考一模）已知函数()f x 定义域为R ，()1f x +为偶函数，()2f x +为奇函数，且满足()()122f f +=，则()20231k f k ==∑（ ） A ．2023− B ．0 C ．2 D ．2023【答案】B【详解】因为(1)f x +为偶函数，所以(1)(1)−+=+f x f x ，所以(2)()f x f x −+=， 因为(2)f x +为奇函数，所以(2)(2)f x f x −+=−+， 所以(2)()f x f x +=−，所以(4)(2)()f x f x f x +=−+=， 所以()f x 是以4为周期的周期函数，由(2)(2)f x f x −+=−+，令0x =，得(2)(2)f f =−，则(2)0f =， 又(1)(2)2f f +=，得(1)2f =， 由(2)(2)f x f x −+=−+，令1x =，得(1)(3)f f =−，则(3)2f =−， 由(2)()f x f x +=−，令2x =，得(4)(2)0f f =−=， 则(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=， 所以20213()[(1)(2)(3)(4)]505(1)(2)(3)05052(2)0k f k f f f f f f f ==+++×+++=×++−=∑. 故选：B ．3．（2023秋·江西抚州·高三临川一中校考期末）若函数()f x 的定义域为R ，且()1f x +是偶函数，()1f x +关于点()2,0成中心对称，则函数()f x 的一条对称轴为（ ） A ．2023x = B ．2022x =C ．2021x =D ．2020x =【答案】C【详解】因为()1f x +是偶函数，所以()()11f x f x +=−+，所以()f x 关于1x =对称，即()()2f x f x =−，因为()1f x +关于点()2,0成中心对称，且()f x 向左平移1个单位长度之后得到()1f x +， 所以()f x 关于()3,0对称，所以()()60f x f x +−=， 因为()()2f x f x =−，()()60f x f x +−=， 所以()()62f x f x −−=−，故()()()48f x f x f x =−+=+，故()f x 的周期为8， 因为()f x 关于1x =对称，关于()3,0对称，所以()f x 关于5x =对称，由图象可知，()y f x =与|lg |y x =有10个交点， 所以方程()lg f x x =有10个根. 故答案为：10。
2.1.4函数的奇偶性1教案教师版
2.1.4 函数的奇偶性(一)【学习要求】1.理解函数的奇偶性及其几何意义；2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质；3.掌握判断函数奇偶性的方法与步骤． 【学法指导】通过学习函数奇偶性概念的形成过程，加深对函数的奇偶性概念的理解；通过从代数的角度给予函数奇偶性严密的代数形式表达，培养严谨、认真、科学的探究精神，并渗透数形结合的数学思想方法. 填一填：知识要点、记下疑难点1.奇函数的定义：设函数y ＝f(x)的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有－x∈D，且 f(－x)＝－f(x) ，则这个函数叫做奇函数．2.奇函数的性质：如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以 坐标原点 为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以 坐标原点 为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．3.偶函数的定义：设函数y ＝g(x)的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有－x∈D，且 g(－x)＝g(x) ，则这个函数叫做偶函数．4.偶函数的性质：如果一个函数是偶函数，则它的图象是以 y 轴 为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y 轴 对称，则这个函数为偶函数. 研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境] 美丽的蝴蝶，盛开的鲜花，六角形的雪花晶体，中国的古建筑，我们学校的综合大楼，它们都具有对称的美. 这种“对称美”在数学中也有大量的反映．今天，让我们开启知识的大门，进入更精彩纷呈的函数奇偶性的学习．探究点一 奇函数的概念问题1 观察函数f(x)＝x 和f(x)＝1x(下图)，你能发现两个函数图象有什么共同特征吗？答： 通过观察，得出两函数图象的共同特征为：定义域关于原点对称，图象关于原点对称．问题2 求当x 分别取－3，－2，－1,1,2,3时，函数f(x)＝x 的值，及当x 分别取－3，－2，－1,1,2,3时，函数f(x)＝1x的函数值，从中你能发现什么规律吗？答： 对函数f(x)＝x 有：f(－3)＝－3＝－f(3)，f(－2)＝－2＝－f(2)，f(－1)＝－1＝－f(1)；对函数f(x)＝1x 有：f(－3)＝－13f(3)，f(－2)＝－12＝－f(2)，f(－1)＝－1＝－f(1)．存在的规律是：两个关于原点对称的x 的值，其函数值互为相反数．问题3 你能把问题2中的由具体的函数值得出的规律扩展到一般形式吗？ 答： 对于R 内任意的一个x ，都有f(－x)＝－f(x)．小结 设函数y ＝f(x)的定义域为D ，如果对于D 内任意一个x ，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则这个函数叫做奇函数．问题4 平面直角坐标系中，点P(x ，f(x))关于原点对称的点的坐标是什么？ 答： (－x ，－f(x))．问题5 若点P(x ，f(x))是奇函数y ＝f(x)的图象上的一点，如何说明点P(x ，f(x))关于原点对称的点P′(－x ，－f(x))也在函数y ＝f(x)的图象上？答： 由奇函数的定义知，对于奇函数y ＝f(x)的定义域D 内任意一个x ，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)， 即当x 的值为－x 时，其函数值为－f(x)，所以点P′(－x ，－f(x))也在这个奇函数y ＝f(x)的图象上． 问题6 由问题5的讨论，你能得出奇函数的图象具有怎样的对称性？具有奇函数图象对称性的函数是否为奇函数？ 答： 如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形； 反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数． 探究点二 偶函数的概念问题1 观察下列函数的图象，你能通过函数的图象，归纳出三个函数的共同特征吗？答： 三个函数的定义域关于原点对称，三个函数的图象关于y 轴对称． 问题2 关于y 轴对称的点的坐标有什么关系？ 答： 横坐标互为相反数，纵坐标相等．问题3 怎样说明函数f(x)＝x 2的图象关于y 轴对称？答： 对于R 上任意的一个x ，都有f(－x)＝(－x)2＝x 2＝f(x)，即函数f(x)＝x 2的图象上任意一点(x ，f(x))关于y 轴对称的点(－x ，f(x))也在函数y ＝x 2的图象上．所以y ＝x 2的图象关于y 轴对称．问题4 如果函数y ＝f(x)的图象关于y 轴对称，我们就说这个函数是偶函数，类比奇函数的定义，如何定义偶函数？答： 设函数y ＝f(x)的定义域为D ，如果对于D 内任意一个x ，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x), 则这个函数叫做偶函数．问题5 类比奇函数图象的对称性，偶函数的图象有怎样的对称性质？答： 如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y 轴为对称轴的轴对称图形； 反之，如果一个函数的图象是以y 轴为对称轴的轴对称图形，则这个函数为偶函数． 例1 判断下列函数哪些是偶函数：(1)f(x)＝x 2＋1；(2)f(x)＝x 2，x∈[－1,3]；(3)f(x)＝0. 解： (1)由解析式可知函数的定义域为R ， 由于f(－x)＝(－x)2＋1＝x 2＋1＝f(x)， 所以函数为偶函数；(2)由于函数的定义域不关于原点对称，故函数不是偶函数； (3)函数的定义域为R ，由于f(－x)＝0＝f(x)， 所以函数为偶函数．小结：利用定义法判断函数是不是偶函数时，首先应看函数定义域是否关于原点对称，即对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量． 跟踪训练1 判断下列函数是否为偶函数． (1)f(x)＝(x ＋1)(x －1)；(2)f(x)＝x 3－x 2x －1.解：(1)函数的定义域为R ，因函数f(x)＝(x ＋1)(x －1)＝x 2－1， 又因f(－x)＝(－x)2－1＝x 2－1＝f(x)，所以函数为偶函数．(2)函数f(x)＝x 3－x 2x －1不是偶函数，因为它的定义域为{x|x∈R 且x≠1}，并不关于原点对称． 例2 判断下列函数是否具有奇偶性： (1)f(x)＝x ＋x 3＋x 5；(2)f(x)＝x ＋1.解： (1)函数f(x)＝x ＋x 3＋x 5的定义域为R ， 当x∈R 时，－x∈R ，因为f(－x)＝－x －x 3－x 5＝－(x ＋x 3＋x 5)＝－f(x)，所以函数f(x)＝x ＋x 3＋x 5是奇函数.(2)函数f(x)＝x ＋1的定义域为R ，当x∈R 时，－x∈R ， 因为f(－x)＝－x ＋1＝－(x －1)，－f(x)＝－(x ＋1)． 所以f(－x)≠－f(x)，f(－x)≠f(x)，所以函数f(x)＝x ＋1既不是奇函数也不是偶函数．小结： (1)对于一个函数来说，它的奇偶性有四种可能：是奇函数但不是偶函数；是偶函数但不是奇函数；既是奇函数又是偶函数；既不是奇函数也不是偶函数．(2)用定义判断函数奇偶性的步骤：①先求定义域，看是否关于原点对称；②再判断f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是否恒成立． 跟踪训练2 判断下列各函数的奇偶性： (1)f(x)＝(x －2)2＋x2－x； (2)f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2 x<－1，0 |x|≤1，－x ＋2 x>1.解： (1)由2＋x2－x≥0，得定义域为[－2,2)，关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数．(2)x<－1时，f(x)＝x ＋2，－x>1， ∴f(－x)＝－(－x)＋2＝x ＋2＝f(x)；x>1时，f(x)＝－x ＋2，－x<－1，f(－x)＝－x ＋2＝f(x)．－1≤x≤1时，f(x)＝0，－1≤－x≤1，f(－x)＝0＝f(x)．∴对定义域内的每个x 都有f(－x)＝f(x)，因此f(x)是偶函数． 探究点三 函数奇偶性的应用 例3 如图，给出了偶函数y ＝f(x)的局部图象，试比较f(1)与f(3)的大小． 解 ∵f(－3)>f(－1)，又f(－3)＝f(3)，f(－1)＝f(1)． ∴f(3)>f(1)．小结 本题有两种解法，一种是通过图象观察，f(－3)>f(－1)，选用偶函数定义，得f(3)>f(1)；另一种方法是利用偶函数图象的对称性．跟踪训练3 研究函数y ＝1x2的性质并作出它的图象解： 已知函数的定义域是x≠0的实数集，即{x∈R |x≠0}．由函数的解析式可知：对任意的x 值，对应的函数值y>0，函数的图象在x 轴上方； 函数的图象在x ＝0处断开，被分成两部分； f(－x)＝f(x)，函数为偶函数． 列表、描点，画出函数的图象．由图象可看出，函数在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数. 练一练：当堂检测、目标达成落实处1.下列函数中不是偶函数的是 ( D ) A ．f(x)＝－3x 2 B ．f(x)＝3x 2＋|x|C ．f(x)＝＋－2D ．f(x)＝x 2－x ＋12.已知f(x)是定义在R 上的奇函数，则 ( D ) A ．f(x)－f(－x)>0 B ．f(x)－f(－x)≤0 C ．f(x)·f(－x)>0 D ．f(x)·f(－x)≤0解析： 由f(x)是定义在R 上的奇函数，得f(－x)＝－f(x)，f(x)－f(－x)＝2f(x)，但不知道f(x)的正负，而f(x)·f(－x)＝－f 2(x)≤0是恒成立的，故选D.3.如果偶函数f(x)在区间[－5，－2]上是减函数，且最大值为7，那么f(x)在区间[2,5]上是 ( )A ．增函数且最小值为－7B ．增函数且最大值为7C ．减函数且最小值为－7解析： 因f(x)是偶函数，所以f(x)的图象关于y 轴对称，由对称性可知选B. 课堂小结：1.两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x ，如果都有f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔f(x)为奇函数；如果都有f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔f(x)为偶函数．2.两个性质：函数为奇函数⇔它的图象关于原点对称；函数为偶函数⇔它的图象关于y 轴对称．。
2.2.2函数的奇偶性(老师版)
创一教育学科教师辅导讲义知识梳理一、函数奇偶性的概念【问题导思】1．对于函数f(x)＝x2，f(x)＝|x|，以－x代替x.函数值发生变化吗？其图象有何特征？【提示】以－x代x各自的函数值不变，即f(－x)＝f(x)；图象关于y轴对称．2．对于函数f(x)＝x3，f(x)＝1x，以－x代替x，函数值发生变化吗？其图象有何特征？【提示】以－x代替x各自的函数值互为相反数，即f(－x)＝－f(x)；图象关于原点对称．1．偶函数一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，如果对于任意的x∈A，都有f(－x)＝f(x)，那么称函数y＝f(x)是偶函数．2．奇函数一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，如果对于任意的x∈A，都有f(－x)＝－f(x)，那么称函数y＝f(x)是奇函数．3．奇偶性如果函数f(x)是奇函数或偶函数，我们就说函数f(x)具有奇偶性．4．奇、偶函数的图象性质偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称.例题精讲例1：函数奇偶性的判定判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝x 2－1＋1－x 2；(2)f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3； (3)f (x )＝x 2＋1x2. 【思路探究】 首先判断函数的定义域是否关于原点对称，在定义域关于原点对称的情况下，判断f (x )与f (－x )之间的关系．【自主解答】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1≥0，1－x 2≥0，得x 2＝1，∴x ＝±1， 即函数的定义域为{－1,1}，关于原点对称．∵f (－1)＝0＝f (1)，且f (－1)＝－f (1)＝0，∴f (x )既是奇函数又是偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x 2≥0，|x ＋3|－3≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2≤4，x ≠0，且x ≠－6， ∴－2≤x ≤2且x ≠0，关于原点对称，∴f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3＝4－x 2x ＋3－3＝4－x 2x ， ∵f (－x )＝4－x 2－x＝－f (x )，∴f (x )是奇函数． (3)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称．∵f (－x )＝(－x )2＋1(－x )2＝x 2＋1x 2＝f (x )， ∴f (x )是偶函数．【规律方法】1．判断函数的奇偶性要遵循定义域优先的原则，如果定义域不关于原点对称，则该函数必为非奇非偶函数．2．用定义判断函数奇偶性的步骤：【变式训练】判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝x －1x；(2)f (x )＝|x ＋2|＋|x －2|； (3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x (x <0)，－x 2＋x (x >0). 【解】 (1)f (x )的定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．∵f (－x )＝(－x )－1－x＝－(x －1x )＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数．(2)f (x )的定义域为R .f (－x )＝|－x ＋2|＋|－x －2|＝|x ＋2|＋|x －2|＝f (x )，∴f (x )是偶函数．(3)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝－(－x )2－x＝－(x 2＋x )＝－f (x )，当x >0时，－x <0，则f (－x )＝(－x )2－x＝－(－x 2＋x )＝－f (x )，综上所述，对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)．都有f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．例2：奇偶函数的图象及应用已知函数f (x )＝1x 2＋1在区间[0，＋∞)上的图象如图2－2－4所示，请据此在该坐标系中补全函数f (x )在定义域内的图象，请说明你的作图依据．【思路探究】 先证明f (x )是偶函数，依据其图象关于y 轴对称作图．【自主解答】 ∵f (x )＝1x 2＋1，∴f (x )的定义域为R .又对任意x ∈R ，都有f (－x )＝1(－x )2＋1＝1x 2＋1＝f (x )， ∴f (x )为偶函数．则f (x )的图象关于y 轴对称，其图象如图所示：【规律方法】1．利用函数的奇偶性作用，其依据是奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y 轴对称，画图象时，一般先找出一些关键点的对称点，然后连点成线．2．由于奇函数、偶函数图象的对称性，我们可以由此得到作函数图象的简便方法，如作出函数y ＝|x |的图象．因为该函数为偶函数，故只需作出x ≥0时的图象，对x ≤0时的图象，关于y 轴对称即可．【变式训练】设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]．若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如图2－2－5所示，则不等式f (x )<0的解集是________．图2－2－5【解析】 注意到奇函数的图象关于原点成中心对称，用对称的思想方法画全函数f (x )在[－5,5]上的图象(如图)，数形结合，得f (x )<0的解集为{x |－2<x <0或2<x ≤5}．【答案】 (－2,0)∪(2,5]课堂小测1．函数y ＝f (x )在区间[2a －3，a ]上具有奇偶性，则a ＝________.【解析】 由题意知，区间[2a －3，a ]关于原点对称，∴2a －3＝－a ，∴a ＝1.【答案】 12．函数f (x )＝x 4＋1x 2＋1的奇偶性为________． 【解析】 ∵x ∈R ，又f (－x )＝(－x )4＋1(－x )2＋1＝x 4＋1x 2＋1＝f (x )， ∴f (x )是偶函数．【答案】 偶函数3．(2013·抚顺高一检测)已知函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝1，则f (－2)的值为________．【解析】 ∵当x >0时，f (x )＝1，∴f (2)＝1，又f (x )是奇函数，∴f (－2)＝－f (2)＝－1.【答案】 －14．(2013·常州高一检测)已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－2x .(1)求出函数f (x )在R 上的解析式；(2)画出函数f (x )的图象．【解】 (1)①由于函数f (x )是定义域为R 的奇函数，则f (0)＝0；②当x <0时，－x >0，∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－2(－x )]＝－x 2－2x ，综上：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x x >0，0 x ＝0，－x 2－2x x <0.(2)图象如图：师生小结课后作业一、填空题1．函数f (x )＝－x ＋1x的奇偶性是________． 【解析】 ∵f (x )的定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称．又f (－x )＝x －1x＝－f (x )．故f (x )为奇函数． 【答案】 奇函数2．(2013·黄山高一检测)已知函数f (x )＝a －2x为奇函数，则a ＝________. 【解析】 ∵函数f (x )为奇函数，∴f (－x )＋f (x )＝0，即a ＋2x ＋a －2x＝0， ∴2a ＝0，即a ＝0.【答案】 03．若函数f (x )＝x 3－bx ＋a ＋2是定义在[a ，b ]上的奇函数，则b －a ＝________.【解析】 f (x )＝x 3－bx ＋a ＋2是定义在[a ，b ]上的奇函数，有f (－x )＝－f (x )，即－x 3＋bx ＋a ＋2＝－x 3＋bx －a亲爱的同学们，这节课我们学了哪些内容？ 1．利用奇偶函数图象的对称性，我们可以作出函数的大致图象，然后观察图象得出结论． 2．已知奇偶函数在某个区间上的解析式，我们利用对称性可求出这个区间的对称区间上的解析式．要注意“求谁设谁”． 3．解含“f ”的不等式，应具备两个方面：一是能转化为f (x 1)<f (x 2)或f (x 1)>f (x 2)的形式，二是f (x )的单调性已知．特别是f (x )为偶函数时，应把不等式f (x 1)<f (x 2)转化为f (|x 1|)<f (|x 2|)的形式，利用x ∈[0，＋∞)的单调性求解．－2可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2＝0，a ＝－b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝2， 所以b －a ＝4.【答案】 44．下列说法中正确的是________．①函数y ＝3x 2，x ∈(－2,2]是偶函数；②函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x <0，x 3，x ≥0，是奇函数； ③函数f (x )＝x ＋1既不是奇函数也不是偶函数；④f (x )＝x 2＋1是偶函数．【解析】 ①不正确，因为定义域不关于原点对称，故①不正确；②不正确，当x >0时，－x <0，∴f (－x )＝(－x )2＝x 2≠x 3且x 2≠－x 3，故②不正确；③正确，∵f (－x )＝－x ＋1≠x ＋1，f (－x )＝－x ＋1≠－x －1，故f (x )＝x ＋1是非奇非偶函数，故③正确． ④正确，∵f (－x )＝(－x )2＋1＝x 2＋1＝f (x )，故④正确．【答案】 ③④5.图2－2－6已知f (x )是定义在[－2,0)∪(0,2]上的奇函数，当x >0时，f (x )的图象如图2－2－6所示，那么f (x )的值域是________．【解析】 ∵x ∈(0,2]时，f (x )的值域为(2,3]，由于奇函数的图象关于原点对称，故当x ∈[－2,0)时，f (x )∈[－3，－2)，∴f (x )的值域为[－3，－2)∪(2,3]．【答案】 [－3，－2)∪(2,3]6．设函数f (x )＝ax 3＋cx ＋5，已知f (－3)＝3，则f (3)＝________.【解析】 设g (x )＝ax 3＋cx ，则g (x )为奇函数，∴g (－3)＝－g (3)．∵f (－3)＝g (－3)＋5＝3，∴g (－3)＝－2，∴g (3)＝2，∴f (3)＝g (3)＋5＝7.【答案】 77．(2013·青岛高一检测)定义在R 上的奇函数f (x )，若当x >0时，f (x )＝x 2－2x ，则x <0时f (x )＝________.【解析】 设x <0，则－x >0，又f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－2·(－x )]＝－x 2－2x .【答案】 －x 2－2x创一教育11 / 11创造奇迹，只做第一！。
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1.3.2 奇偶性
1．函数奇偶性的概念
谈重点对函数奇偶性的理解
(1)定义是判断或讨论函数的奇偶性的依据，由定义知，若x是函数定义域中的一个数值，则－x也必然在该定义域中．因此，函数y＝f(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是：定义域在数轴上所示的区间关于原点对称．换言之，所给函数的定义域若不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性，即这个函数是非奇非偶函数．
(2)函数的奇偶性与单调性的差异．奇偶性是函数在定义域上的对称性，单调性是反映函数在某一区间上的函数值的变化趋势．奇偶性是相对于函数的整个定义域来说的，这一点与函数的单调性不同，从这个意义上讲，函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质，只有对定义域中的每一个x，都有f(－x)＝－f(x)(f(－x)＝f(x))，才能说f(x)是奇(偶)函数．
(3)若奇函数在原点处有定义，则有f(0)＝0．
(4)函数按奇偶性可以分为四类：奇函数，偶函数，既是奇函数又是偶函数，既不是奇函数又不是偶函数．若f(－x)＝f(x)，且f(－x)＝－f(x)，则函数f(x)既是奇函数又是偶函数，此时f(x)＝－f(x)，即f(x)＝0．因此既是奇函数又是偶函数的函数只有一类，即f(x)＝0，x?D，D是关于原点对称的实数集．
【例1－1】函数f(x)＝，x?(0,1)的奇偶性是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数
解析：因为函数f(x)＝，x?(0,1)的定义域是(0,1)，不关于原点对称，所以函数f(x)是非奇非偶函数．答案：C
【例1－2】已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2)＝3，则f(－2)等于
( )
A．3 B．2 C．－2 D．－3
解析：由于函数f(x)是定义在R上的奇函数，
则f(－2)＝－f(2)＝－3．答案：D 1x 1x。