九年级数学上册第二十二章二次函数单元复习试题(含答案) (61)
人教版(2024)数学九年级上册第二十二章 二次函数 单元测试(含答案)
第二十二章二次函数一、选择题1. 关于二次函数y=x2与y=−x2的图象，下列说法错误的是( )A．对称轴都是y轴B．顶点都是坐标原点C．与x轴都有且只有一个交点D．它们的开口方向相同2. 如图，关于抛物线y=(x−1)2−2，下列说法错误的是( )A．顶点坐标为(1,−2)B．对称轴是直线x=1C．开口方向向上D．当x>1时，y随x的增大而减小3. 将抛物线y=3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为( )A．y=3(x+2)2+3B．y=3(x−2)2+3C．y=3(x+2)2−3D．y=3(x−2)2−34. 如图是二次函数y=−x2+2x+4的图象，使y≤4成立的x的取值范围是( )A ． 0≤x ≤2B ． x ≤0C ． x ≥2D ． x ≤0 或 x ≥25. 一抛物线的形状、开口方向与 y =12x 2−2x +3 相同，顶点为 (−2,1)，则此抛物线的解析式为 A ． y =12(x−2)2+1 B ． y =12(x +2)2−1 C ． y =12(x +2)2+1D ． y =12(x +2)2−16. 心理学家发现：学生对概念的接受能力 y 与提出概念的时间 x (min) 之间是二次函数关系，当提出概念 13 min 时，学生对概念的接受能力最大，为 59.9；当提出概念 30 min 时，学生对概念的接受能力就剩下 31，则 y 与 x 满足的二次函数表达式为 ( )A ．y =−(x−13)2+59.9B ．y =−0.1x 2+2.6x +31C ．y =0.1x 2−2.6x +76.8D ．y =−0.1x 2+2.6x +437. 已知点 (−1,y 1)，(−312,y 2)，(12,y 3) 在函数 y =3x 2+6x +12 的图象上，则 y 1，y 2，y 3 的大小关系为 ( ) A ． y 1>y 2>y 3B ． y 2>y 1>y 3C ． y 2>y 3>y 1D ． y 3>y 1>y 28. 在某建筑物上从 10 m 高的窗口 A 用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状，如图所示，如果抛物线的最高点 M 离墙 1 m ，离地面403 m ，则水流落在点 B 与墙的距离 OB 是 ( )A ． 2 mB ． 3 mC ． 4 mD ． 5 m9. 二次函数 y =ax 2+bx +c (a ≠0) 的大致图象如图所示，顶点坐标为 (−2,−9a )，下列结论：① 4a +2b +c >0；② 5a−b +c =0；③若方程a(x+5)(x−1)=−1有两个根x1和x2，且x1<x2，则−5<x1<x2<1；④若方程∣ax2+bx+c∣=1有四个根，则这四个根的和为−4．其中正确的结论有( )A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题10. 如果y=(m2−1)x m2−m是二次函数，则m=．11. 若x=1是方程2ax2+bx=3的根，当x=2时，函数y=ax2+bx的函数值为．12. 若抛物线y=x2−2x+m（m为常数）与x轴没有公共点，则实数m的取值范围为．13. 如图，抛物线y=ax2+bx与直线y=mx+n相交于点A(−3,−6)，点B(1,−2)，则关于x的不等式ax2+bx<mx+n的解集为．14. 如图，二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点A(−1,0)，B(3,0)，那么一元二次方程ax2+bx=0的根是．15. 已知抛物线：y=ax2+bx+c(a<0)经过A(2,4)，B(−1,1)两点，顶点坐标为(ℎ,k)，则下列正确结论的序号是．①b>1；②c>2；③ℎ>1；④k≤1．216. 物体自由下落的高度 ℎ（单位：m ）与下落时间 t （单位：s ）之间的关系是 ℎ=4.9t 2，有一个物体从 44.1m 高的建筑物上自由下落，到达地面需要s ．17. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y =13x 2 经过平移得到抛物线 y =13x 2−2x ，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为．三、解答题18. 已知二次函数 y =a (x−1)2+4 的图象经过点 (−1,0)．(1) 求这个二次函数的解析式；(2) 判断这个二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标．19. 已知二次函数 y =x 2+4x +3．(1) 用配方法将二次函数的表达式化为 y =a (x−ℎ)2+k 的形式；(2) 在平面直角坐标系 xOy 中，画出这个二次函数的图象；(3) 根据（2）中的图象，写出一条该二次函数的性质．20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线顶点为C(1,2)，且与直线y=x交于点B(32,32)；点P为抛物线上O，B两点之间一个动点（不与O，B两点重合），过P作PQ∥y轴交线段OB于点Q．(1) 求抛物线的解析式；(2) 当PQ的长度为最大值时，求点Q的坐标；(3) 点M为抛物线上O，B两点之间一个动点（不与O，B两点重合），点N为线段OB上一个动点；当四边形PQNM为平行四边形，且PN⊥OB时，请直接写出Q点坐标．21. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2−4ax+3a−2(a≠0)与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧）．(1) 当抛物线过原点时，求实数a的值；(2) ①求抛物线的对称轴；②求抛物线的顶点的纵坐标（用含a的代数式表示）；(3) 当AB≤4时，求实数a的取值范围．22. 如图，某广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分，抛物线的顶点O落在水平面上，对称轴是水平线OC．点A，B在抛物线造型上，且点A到水平面的距离AC=4米，点B到水平面距离为2米，OC=8米．(1) 请建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数解析式；(2) 为了安全美观，现需在水平线OC上找一点P，用质地、规格已确定的圆形钢管制作两根支柱PA，PB对抛物线造型进行支撑加固，那么怎样才能找到两根支柱用料最省（支柱与地面、造型对接方式的用料多少问题暂不考虑）时的点P？（无需证明）(3) 为了施工方便，现需计算出点O，P之间的距离，那么两根支柱用料最省时点O，P之间的距离是多少？（请写出求解过程）23. 某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件．(1) 求y与x之间的函数表达式．(2) 当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少元？(3) 若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件？24. 如图所示抛物线y=ax2+bx+c过点A(−1,0)，点C(0,3)，且OB=OC．(1) 求抛物线的解析式及其对称轴．(2) 点D，E在直线x=1上的两个动点，且DE=1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长最小值．(3) 点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为3:5两部分，求点P的坐标．答案一、选择题1. D2. D3. A4. D5. C6. D7. C8. B9. B二、填空题10. 211. 612. m>113. x<−3或x>114. x1=−1，x2=315. ①②③16. 317. 9三、解答题18.(1) 把(−1,0)代入二次函数解析式得：4a+4=0，即a=−1，则函数解析式为y=−(x−1)2+4．(2) ∵a=−1<0，∴抛物线开口向下，顶点坐标为(1,4)，对称轴为直线x=1．19.(1) y=x2+4x+3=x2+4x+22−22+3 =(x+2)2−1.(2) 略(3) 当x<−2时，y随x的增大而减小，当x>−2时，y随x的增大而增大．（答案不唯一）20.(1) ∵抛物线顶点为C(1,2)，∴设抛物线的解析式为y=a(x−1)2+2(a≠0)．∵点B(32,32)在抛物线上，∴32=a(32−1)2+2，∴a=−2，∴抛物线的解析式为y=−2(x−1)2+2，即y=−2x2+4x．(2) 设点P的坐标为(x,−2x2+4x)(0<x<32)，则点Q的坐标为(x,x)，∴PQ=−2x2+4x−x=−2x2+3x=−2(x−34)2+98，∵−2<0，∴当x=34时，PQ的长度取最大值，∴当PQ的长度为最大值时，点Q的坐标为(34,34)．(3) (12,12)21.(1) ∵点O(0,0)在抛物线上，∴3a−2=0，a=23．(2) ①对称轴为直线x=2；②顶点的纵坐标为−a−2．(3) （i）当a>0时，依题意，{−a−2<0,3a−2≥0.解得a≥23．（ii）当a<0时，依题意，{−a−2>0,3a−2≤0,解得a<−2．综上，a<−2或a≥23．22.(1) 以点O为原点、射线OC为y轴的正半轴建立直角坐标系，设抛物线的函数解析式为y=ax2，由题意知点A的坐标为(4,8)．∵点A在抛物线上，∴8=a×42，解得a=12，∴所求抛物线的函数解析式为：y=12x2．(2) 找法：延长AC，交建筑物造型所在抛物线于点D，则点A，D关于OC对称．连接BD交OC于点P，则点P即为所求．(3) 由题意知点B的横坐标为2，∵点B在抛物线上，∴点B的坐标为(2,2)，又∵点A的坐标为(4,8)，∴点D的坐标为(−4,8)，设直线BD的函数解析式为y=kx+b，∴{2k+b=2,−4k+b=8,解得：k=−1，b=4．∴直线BD的函数解析式为y=−x+4，把x=0代入y=−x+4，得点P的坐标为(0,4)，两根支柱用料最省时，点O，P之间的距离是4米．23.(1) y=300+30(60−x)=−30x+2100．(2) 设每星期的销售利润为W元，则W=(x−40)(−30x+2100)=−30(x−55)2+6750.所以当x=55时，W取最大值，为6750．所以每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润是6750元．(3) 由题意得(x−40)(−30x+2100)≥6480，解得52≤x≤58．当x=52时，销售量为300+30×8=540（件）；当x=58时，销售量为300+30×2=360（件）．所以若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装360件．24.(1) ∵OB=OC，∴点B(3,0)，则抛物线的表达式为：y=a(x+1)(x−3)=a(x2−2x−3)=ax2−2ax−3a，故−3a=3，解得a=−1，故抛物线的表达式为：y=−x2+2x+3 ⋯⋯①，对称轴为：直线x=1．(2) ACDE的周长=AC+DE+CD+AE，其中AC=10，DE=1是常数，故CD+AE最小时，周长最小，取点C关于函数对称点Cʹ(2,3)，则CD=CʹD，取点Aʹ(−1,1)，则AʹD=AE，故：CD+AE=AʹD+DCʹ，则当Aʹ，D，Cʹ三点共线时，CD+AE=AʹD+DCʹ最小，周长也最小，四边形ACDE的周长的最小值=AC+DE+CD+AE=10+1+AʹD+DCʹ=10+1+AʹCʹ=10+1+13.(3) 如图，设直线CP交x轴于点E，直线CP把四边形CBPA的面积分为3:5两部分，又∵S△PCB:S△PCA=12EB×(y C−y P):12AE×(y C−y P)=BE:AE,则BE:AE=3:5或5:3，则AE=52或32，即：点E的坐标为(32,0)或(12,0)，将点E，C的坐标代入一次函数表达式：y=kx+3，解得：k=−6或−2，故直线CP的表达式为：y=−2x+3或y=−6x+3 ⋯⋯②，联立①②并解得：x=4或8（不合题意已舍去），故点P的坐标为(4,−5)或(8,−45)．。
第二十二章 二次函数 单元测试(含答案) 2024-2025学年人教版数学九年级上册
第二十二章 二次函数一、选择题（每题3分，共24分）1．下列各式中，y 是x 的二次函数的是（ ）A ．y =1x 2B ．y =x 2+1x +1C ．y =2x 2−1D ．y =x 2−12．下列抛物线中，与y =−3x 2+1抛物线形状、开口方向完全相同，且顶点坐标为(−1,2)的是（ ）A ．y =−3(x +1)2+2B ．y =−3(x−1)2+2C ．y =3(x +1)2+2D ．y =−3(x +1)2+23．在平面直角坐标系中，将二次函数y =3x 2的图象向下平移3个单位长度，所得函数的解析式为（ ）A ．y =3x 2−1B ．y =3x 2+1C ．y =3x 2−3D ．y =3x 2+34．若A (−1,y 1)，B (1,y 2)，C (4,y 3)三点都在二次函数y =−(x−2)2+k 的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系为（ ）A ．y 1<y 2<y 3B ．y 1<y 3<y 2C ．y 3<y 1<y 2D ．y 3<y 2<y 15．二次函数y =−x 2−2x +c 2−2c 在−3≤x ≤2的范围内有最小值为−5，则c 的值（ ）A ．3或−1B ．−1C ．−3或1D ．36．已知二次函数y =x 2−3x +m （m 为常数）的图象与x 轴的一个交点为(1,0)，则关于x 的一元二次方程x 2−3x +m =0的两实数根是（ ）A ．x 1=0，x 2=−1B ．x 1=1，x 2=2C ．x 1=1，x 2=0D ．x 1=1，x 2=37．如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面3m ，水面宽6m ．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是（ ）A ．y =−13x 2B ．y =13x 2C ．y =−3x 2D ．y =3x 28．如图，已知经过原点的抛物线y =a x 2+bx +c(a ≠0)的对称轴是直线x =−1，下列结论中：①ab >0，②a +b +c >0，③当−2<x <0时y <0.正确的个数是（ ）A．0个B．1个C．2个D．3个二、填空题（每题4分，共20分）9．抛物线y=−3(x−1)2−2的对称轴是直线 ．10．若y=(m−2)x m2−2+x−3是关于x的二次函数．则m的值为 ．11．抛物线y=a x2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，与x轴的一个交点为(3,0)，对称轴为直线x=1，则当y≤0时，x的取值范围是 ．12．如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端A点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为2m处达到最高，高度为5m，水柱落地处离池中心距离为6m，则水管的长度OA是 m．13．如图，在平面直角坐标中，抛物线y=a x2+bx(a>0)和直线y=kx(k>0)交于点O和点A，则不等式a x2 +bx<kx的解集为 ．三、解答题（共56分）14．如图所示，二次函数y=a x2+bx+c(a≠0)的图保与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为(−1，0)，M(2，9)为抛物线的顶点.（1）求抛物线的函数表达式.（2）求△MCB的面积.15．如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y=a x2+4x−3的图象的顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D.点B的坐标是(1，0).（1）求A，C两点的坐标，并根据图象直接写出当y>0时x的取值范围.（2）平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后的图象所对应的二次函数的表达式. 16．已知，一个铝合金窗框如图所示，所使用的铝合金材料长度为18m．设AB长为xm，窗户的总面积为Sm2．（1）求S关于x的函数表达式．（2）若AB的长不能低于2m，且AB＜BC，求此时窗户总面积S的最大值和最小值．17．第十九届亚运会在杭州隆重举办，政府鼓励全民加强体育锻炼，李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件50元的乒乓球拍．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y=−10x+900．（1）设月利润为W（元），求W关于x的函数表达式．（2）销售单价定为每件多少元时，所得月利润最大？最大月利润为多少元？（3）若物价部门规定这种乒乓球拍的销售单价不得超过75元，李明想使获得的月利润不低于3000元，求销售单价x的取值范围．18．如图，二次函数y=a x2+bx+c的图象交x轴于A(−1，0)，B(2，0)，交y轴于C(0，−2).（1）求二次函数的解析式；（2）若点M为该二次函数图象在第四象限内一个动点，求点M运动过程中，四边形ACMB面积的最大值；（3）点P在该二次函数图象的对称轴上，且使|PB−PC|最大，求点P的坐标。
人教新版九年级数学上学期 第22章 二次函数 单元训练 ( 含答案)
第22章二次函数(hánshù)一．选择题（共14小题）1．下列各式中，一定是二次函数的有（）①y2＝2x2﹣4x+3；②y＝4﹣3x+7x2；③y＝﹣3x+5；④y＝（2x﹣3）（3x﹣2）；⑤y＝ax+bx+c；⑥y＝（n2+1）x2﹣2x﹣3；⑦y＝m2x2+4x﹣3．A．1个B．2个C．3个D．4个2．对于抛物线y＝﹣2（x+5）2+4，下列说法正确的是（）A．开口向下，顶点坐标（5，4）B．开口向上，顶点坐标（5，4）C．开口向下，顶点坐标（﹣5，4）D．开口向上，顶点坐标（﹣5，4）3．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）的对应值如下表所示：x…0100400…y…2﹣22…则方程ax2+bx+4＝0的根是（）A．x1＝x2＝200 B．x1＝0，x2＝400C．x1＝100，x2＝300 D．x1＝100，x2＝5004．对于题目“一段抛物线L：y＝﹣x（x﹣3）+c（0≤x≤3）与直线l：y＝x+2有唯一公共点，若c为整数，确定所有c的值，”甲的结果是c＝1，乙的结果是c＝3或4，则（）A．甲的结果正确B．乙的结果正确C．甲、乙的结果合在一起才正确D．甲、乙的结果合在一起也不正确5．已知函数y＝，当y＝5时，x的值是（）A．6 B．﹣C．﹣或6 D．±或66．二次函数(hánshù)y＝ax2与一次函数y＝ax+a在同一坐标系中的大致图象可能是（）A．B．C．D．7．已知抛物线y＝x2+bx+c的顶点坐标为（1，﹣3），则抛物线对应的函数解析式为（）A．y＝x2﹣2x+2 B．y＝x2﹣2x﹣2 C．y＝﹣x2﹣2x+1 D．y＝x2﹣2x+1 8．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c＝0的一个解的范围是（）x 6.17 6.18 6.19 6.20y﹣0.03﹣0.010.020.04 A．﹣0.01＜x＜0.02 B．6.17＜x＜6.18C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.209．小颖用计算器探索方程ax2+bx+c＝0的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根x＝﹣3.4，则方程的另一个近似根（精确到0.1）为（）A．4.4 B．3.4 C．2.4 D．1.410．设函数y＝x2+2kx+k﹣1（k为常数），下列说法正确的个数是（）（1）对任意实数k，函数与x轴有两个交点（2）当x≥﹣k时，函数(hánshù)y的值都随x的增大而增大（3）k取不同的值时，二次函数y的顶点始终在同一条抛物线上（4）对任意实数k，抛物线y＝x2+2kx+k﹣1都必定经过唯一定点A．1 B．2 C．3 D．411．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）过A（﹣2，0）、B（0，0）、C（﹣3，y）、D（2，y2）四点，则y1与y2的大小关系是（）1A．y1＜y2B．y1＝y2C．y1＞y2D．不能确定12．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（）A．y＝a（1+x）2B．y＝a（1﹣x）2C．y＝（1﹣x）2+a D．y＝x2+a 13．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与x 轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，下列结论：①4a﹣2b+c＜0；②2a﹣b＜0；③abc＜0；④b2+8a＞4ac．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个14．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，EG⊥AF，FH⊥CE，垂足分别为G，H，设AG＝x，图中阴影部分面积为y，则y与x之间的函数关系式是（）A．y＝3x2B．y＝4x2C．y＝8x2D．y＝9x2二．填空题（共6小题(xiǎo tí)）15．二次函数y＝a（x+1）（x﹣4）的对称轴是．16．已知关于x的函数y＝（m﹣1）x2+2x+m图象与坐标轴只有2个交点，则m ＝．17．已知直线y＝x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数的图象经过A、B两点，且对称轴方程为x＝1，那么这个二次函数的解析式是．18．某快递公司十月份快递件数是10万件，如果该公司第四季度每个月快递件数的增长率都为x（x＞0），十二月份的快递件数为y万件，那么y关于x的函数解析式是．19．如图，线段AB＝10，点P在线段AB上，在AB的同侧分别以AP、BP为边长作正方形APCD和BPEF，点M、N分别是EF、CD的中点，则MN的最小值是．20．如图，已知函数y＝与y＝ax2+bx（a＞0，b＞0）的图象交于点P．点P 的纵坐标为1．则关于x的方程ax2+bx+＝0的解为．三．解答题（共4小题）21．已知二次函数y＝﹣x2+x+（1）将y＝﹣x2+x+成y＝a（x﹣h）2+k的形式：（2）在坐标系中利用(lìyòng)描点法画出此抛物线x……y……（3）当﹣3＜x＜3时，观察图象直接写出函数值y的取值的范围．（4）将该抛物线在x上方的部分（不包含与x的交点）记为G，若直线y＝x+b与G只有一个公共点，则b的取值范围是．22．如图，抛物线y＝a（x﹣1）（x+3）交x轴于A、B两点，交y轴于点C，∠BAC＝45°．（1）求a的值；（2）点D为第三象限内抛物线上的一点，当△DAC的面积为3时，求D点的坐标．23．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件，设衬衫的单价降x元，每天获利y 元．（1）如果商场里这批衬衫的库存只有44件，那么衬衫的单价应降多少元，才能使得这批衬衫一天内售完，且获利最大，最大利润是多少？（2）如果商场销售这批衬衫要保证(bǎozhèng)每天盈利不少于1200元，那么衬衫的单价应降多少元？24．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2过B（﹣2，6），C（2，2）两点，（1）试求抛物线的解析式．（2）记抛物线顶点为D，求△BCD的面积；（3）将直线y＝﹣x向上平移b个单位，所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点，请求出b的取值范围．参考答案一．选择题（共14小题(xiǎo tí)）1．解：①y2＝2x2﹣4x+3，不符合二次函数的定义，不是二次函数；②y＝4﹣3x+7x2，是二次函数；③y＝﹣3x+5，分母中含有自变量，不是二次函数；④y＝（2x﹣3）（3x﹣2）＝6x2﹣13x+6，是二次函数；⑤y＝ax2+bx+c，含有四个自变量，不是二次函数；⑥y＝（n2+1）x2﹣2x﹣3，含有两个自变量，不是二次函数；⑦y＝m2x2+4x﹣3，含有两个自变量，不一定是二次函数．∴只有②④一定是二次函数．故选：B．2．解：∵抛物线y＝﹣2（x+5）2+4，∴抛物线的开口方向向下，顶点坐标为（﹣5，4）．故选：C．3．解：由抛物线经过点（0，2）得到c＝2，因为抛物线经过点（0，2）、（400，2），所以抛物线的对称轴为直线x＝200，而抛物线经过点（100，﹣2），所以抛物线经过点（300，﹣2），所以二次函数解析式为y＝ax2+bx+2，方程ax2+bx+4＝0变形为ax2+bx+2＝﹣2，所以方程ax2+bx+4＝0的根理解为函数值为﹣2所对应的自变量的值，所以方程ax2+bx+4＝0的根为x1＝100，x2＝300．故选：C．4．解：∵抛物线L：y＝﹣x（x﹣3）+c（0≤x≤3）与直线l：y＝x+2有唯一公共点∴①如图1，抛物线与直线相切，联立解析(jiě xī)式得x2﹣2x+2﹣c＝0△＝（﹣2）2﹣4（2﹣c）＝0解得：c＝1，当c＝1时，相切时只有一个交点，和题目相符所以不用舍去；②如图2，抛物线与直线不相切，但在0≤x≤3上只有一个交点此时两个临界值分别为（0，2）和（3，5）在抛物线上∴c的最小值＝2，但取不到，c的最大值＝5，能取到∴2＜c≤5又∵c为整数∴c＝3，4，5综上，c＝1，3，4，5，所以甲乙合在一起也不正确，故选：D．5．解：∵函数y＝，∴当x≤2时，x2﹣1＝5，得x1＝﹣，x2＝（舍去），当x＞2时，x﹣1＝5，得x＝6，故当y＝5时，x的值是或6，故选：C．6．解：由一次函数y＝ax+a可知(kě zhī)，一次函数的图象与x轴交于点（﹣1，0），排除A、B；当a＞0时，二次函数y＝ax2开口向上，一次函数y＝ax+a经过一、二、三象限，当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、三、四象限，排除C；故选：D．7．解：A、y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，顶点坐标为（1，1），不合题意；B、y＝x2﹣2x﹣2＝（x﹣1）2﹣3，顶点坐标为（1，﹣3），符合题意；C、y＝﹣x2﹣2x+2＝﹣（x+1）2+3，顶点坐标为（﹣1，3），不合题意；D、y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，顶点坐标为（1，0），不合题意．故选：B．8．解：由表格中的数据看出﹣0.01和0.02更接近于0，故x应取对应的范围．故选：C．9．解：∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣3.4，0），又抛物线的对称轴为：x ＝﹣1，∴另一个交点坐标为：（1.4，0），则方程的另一个近似根为1.4，故选：D．10．解：（1）△＝b2﹣4ac＝4k2﹣4k+4＝（2k﹣1）2+3＞0，故对任意实数k，函数与x轴有两个交点，符合题意；（2）函数的对称轴为：x＝﹣＝﹣k，a＞1，故当x≥﹣k时，函数y的值都随x的增大而增大，符合题意；（3）函数的对称轴为：x＝﹣k，则顶点坐标为：（﹣k，﹣k2+k﹣1），故顶点在抛物线：y＝﹣x2﹣x﹣1上，k取不同的值时，二次函数y的顶点始终在同一条抛物线上，符合题意；（4）y＝x2+2kx+k﹣1＝x2+k（2x+1）﹣1，当x＝﹣时，y＝﹣，故对任意实数k，抛物线y＝x2+2kx+k﹣1都必定经过唯一定点，符合题意；故选：D．11．解：抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）过A（﹣2，0）、B（0，0），则函数(hánshù)的对称轴为：x＝﹣1，x＝﹣3比x＝2离对称轴近，故y＞y2，1故选：C．12．解：设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，依题意得第三个月第三个月投放单车a（1+x）2辆，则y＝a（1+x）2．故选：A．13．解：（1）当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，故①符合题意；（2）函数的对称轴为：x＝﹣＞﹣1，故b＞2a，故②符合题意；（3）ab同号，c＞0，故③不符合题意；（4）顶点纵坐标大于2，故＞2，故④符合题意；故选：C．14．解：设正方形的边长为2a，∴BC＝2a，BE＝a，∵E、F分别是AB、CD的中点，∴AE＝CF，∵AE∥CF，∴四边形AFCE是平行四边形，∴AF∥CE，∵EG⊥AF，FH⊥CE，∴四边形EHFG是矩形，∵∠AEG+∠BEC＝∠BCE+∠BEC＝90°，∴∠AEG＝∠BCE，∴tan∠AEG＝tan∠BCE，∴＝，∴EG＝2x，∴由勾股定理可知：AE＝x，∴AB＝BC＝2x，∴CE＝5x，易证：△AEG≌△CFH，∴AG＝CH，∴EH＝EC﹣CH＝4x，∴y＝EG•EH＝8x2，故选：C．二．填空题（共6小题(xiǎo tí)）15．解：令y＝a（x+1）（x﹣4）＝0，解得：x＝﹣1或x＝4，∴y＝a（x+1）（x﹣4）与x轴交与点（﹣1，0），（4，0）∴对称轴为：x＝＝．故答案为：x＝．16．解：（1）当m﹣1＝0时，m＝1，函数为一次函数，解析式为y＝2x+1，与x轴交点坐标为（﹣，0）；与y轴交点坐标（0，1）．符合题意．（2）当m﹣1≠0时，m≠1，函数为二次函数，与坐标轴有两个交点，则过原点，且与x轴有两个不同的交点，于是△＝4﹣4（m﹣1）m＞0，解得，（m﹣）2＜，解得m＜或m＞．将（0，0）代入解析式得，m＝0，符合题意．（3）函数为二次函数时，还有一种情况是：与x轴只有一个交点，与Y轴交于交于另一点，这时：△＝4﹣4（m﹣1）m＝0，解得：m＝．故答案为：1或0或．17．解：直线y＝x﹣3中，令y＝0，求得x＝3；令x＝0，则y＝﹣3，∴A（3，0），B（0，﹣3），设二次函数(hánshù)的解析式为y＝ax2+bx+c，∵二次函数的图象经过A、B两点，且对称轴方程为x＝1，∴，解得，∴这个二次函数的解析式是y＝x2﹣2x﹣3，故答案为y＝x2﹣2x﹣3．18．解：根据题意得：y＝10（x+1）2，故答案为：y＝10（x+1）219．解：作MG⊥DC于G，如图所示：设MN＝y，PC＝x，根据题意得：GN＝5，MG＝|10﹣2x|，在Rt△MNG中，由勾股定理得：MN2＝MG2+GN2，即y2＝52+（10﹣2x）2．∵0＜x＜10，∴当10﹣2x＝0，即x＝5时，y2最小值＝25，∴y最小值＝5．即MN的最小值为5；故答案为：5．20．解：∵P的纵坐标为1，∴1＝﹣，∴x＝﹣3，∵ax2+bx+＝0化为于x的方程ax2+bx＝﹣的形式，∴此方程的解即为两函数图象交点的横坐标的值，∴x＝﹣3．故答案(dáàn)为：x＝﹣3．三．解答题（共4小题）21．解：（1）y＝﹣x2+x+＝（x2﹣2x）+＝（x2﹣2x+1﹣1）+＝（x﹣1）2+＝（x﹣1）2+2（2）列表得：用描点画图象得：（3）x＝﹣3时，y＝﹣5，x＝3时，y＝0当﹣3＜x＜1时，y随x的增大而增大，且x＝1时，y＝2故答案为：﹣5＜y≤2（4）整理得：x2＝3﹣2b当方程只有一个解时，即对应的两函数图象只有一个交点∴3﹣2b＝0，解得：b＝把x＝﹣1，y＝0代入y＝x+b，得b＝1把x＝3，y＝0代入y＝x+b，得b＝﹣3∴b≤﹣3时，直线(zhíxiàn)y＝x+b与G没有交点；﹣3＜b＜1时，直线y＝x+b与G有一个交点；1≤b＜时，直线y＝x+b与G有两个交点；b＝时，直线y＝x+b与G有一个交点，b＞，直线y＝x+b与G无交点．故答案为：﹣3＜b＜1或b＝22．解：（1）当y＝0时，a（x﹣1）（x+3）＝0，解得x1＝1，x2＝﹣3，∴A（﹣3，0），B（1，0），∵∠BAC＝45°，∴△OAC为等腰直角三角形，∴OC＝OA＝3，∴C（0，﹣3），把C（0，﹣3）代入y＝a（x﹣1）（x+3）得﹣3＝a（0﹣1）（0+3），解得a＝1，∴抛物线解析式为y＝（x﹣1）（x+3），即y＝x2+2x﹣3；（2）在y轴取点E使S△ACE＝3，过点E作AC的平行线交第三象限的抛物线于点D，如图，设E（0，t），∵×（﹣3﹣t）×3＝3，解得t＝﹣5，∴E（0，﹣5），易得直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3，∴直线DE的解析式为y＝﹣x﹣5，解方程组得或，∴D点坐标为（﹣1，﹣4），（﹣2，﹣3）．23．解：（1）y＝44（40﹣x）＝﹣44x+1760，∵20+2x≥44，∴x≥12，∵y随x的增大(zēnɡ dà)而减小，∴当x＝12时，获利最大值1232；答：如果商场里这批衬衫的库存只有44件，那么衬衫的单价应12元，才能使得这批衬衫一天内售完，且获利最大1232元；（2）y＝（20+2x）（40﹣x）＝﹣2（x﹣15）2+1250，当y＝1200时，1200＝﹣2（x﹣15）2+1250，∴x＝10或x＝20，∵当x＜15时，y随x的增大而增大，当x＞15时，y随x的增大而减小，当10≤x≤20时，y≥1200，答：如果商场销售这批衬衫要保证每天盈利不少于1200元，那么衬衫的单价应降不少于10元且不超过20元；24．解：（1）把B（﹣2，6），C（2，2）两点坐标代入得：，解这个方程组，得，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x+2；（2）∵y＝x2﹣x+2＝（x﹣1）2+，∴顶点D（1，），∴△BCD的面积＝4×﹣×3×﹣×1×﹣×4×4＝3．（3）由消去y得到(dé dào)x2+x+4﹣2b＝0，当△＝0时，直线与抛物线相切，1﹣4（4﹣2b）＝0，∴b＝，当直线y＝﹣x+b经过点C时，b＝5，当直线y＝﹣x+b经过点B时，b＝3，∵直线y＝﹣x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点，∴＜b≤3．内容总结（1）第22章二次函数一．选择题（共14小题）1．下列各式中，一定是二次函数的有（）①y2＝2x2﹣4x+3（2）（2）如果商场销售这批衬衫要保证每天盈利不少于1200元，那么衬衫的单价应降多少元。
人教版九年级数学上册第22章《二次函数》单元测试题含答案
人教版九年级数学上册第22章《二次函数》单元测试题一、选择题：（每题3，共30分） 1.抛物线2(1)2y x =-+的顶点坐标是( ). A ．（1，2）B ．（1，-2）C ．（-1， 2）D ．（-1，-2）2. 把抛物线2=+1y x 向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线( ). A ．()231y x =+- B ．()233y x =++ C ．()231y x =-- D ．()233y x =-+3、抛物线y=(x+1)2＋2的对称轴是（ ） A ．直线x=－1 B ．直线x=1 C ．直线y=－1 D ．直线y=14、二次函数221y x x =-+与x 轴的交点个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．35、若,,,,,123351A yB yC y 444⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为二次函数2y x 4x 5=+-的图象上的三点，则123y y y 、、的大小关系是（ ）A.123y y y <<B.213y y y <<C.312y y y <<D.132y y y <<6、在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c 和二次函数y=ax 2+c 的图象大致为（ ）OxyOxyOxyOxy(A)(B)(C)(D)7.〈常州〉二次函数y =ax 2+bx +c （a 、b 、c 为常数且a ≠0）中的x 与y 的部分对x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5 y 12 5 0 －3 －4 －3 0 5 12 （1）二次函数y =ax 2+bx +c 有最小值，最小值为－3；（2）当－12＜x ＜2时，y ＜0；（3）二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴有两个交点，且它们分别在y 轴两侧.则其中正确结论的个数是（ ）A.3B.2C.1D.08.〈南宁〉已知二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图3所示，下列说法错误的是（ ）A.图象关于直线x =1对称B.函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的最小值是－4C.－1和3是方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两个根D.当x ＜1时，y 随x 的增大而增大9、二次函数与882+-=x kx y 的图像与x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ） A.2<kB.02≠<k k 且C.2≤kD.02≠≤k k 且10. 如图，菱形ABCD 中，AB =2，∠B =60°，M 为AB 的中点．动点P 在菱形的边上从点B 出发，沿B →C →D 的方向运动，到达点D 时停止．连接MP ，设点P 运动的路程为x ，MP 2 ＝y ，则表示y 与x 的函数关系的图象大致为（ ）.二、填空题：（每题3，共30分）11.已知函数()x x m y m 3112+-=+，当m = 时，它是二次函数.12、抛物线3842-+-=x x y 的开口方向向 ，对称轴是 ，最高点的坐标是 ，函数值得最大值是 。
人教版数学九年级上册 第22章 《二次函数》章末复习题(含答案)
第22章《二次函数》章末复习题限时：120分钟满分：120分一．选择题（每题3分，共36分）1．抛物线y＝x2﹣6x+5的顶点坐标为（）A．（3，﹣4）B．（3，4）C．（﹣3，﹣4）D．（﹣3，4）2．若二次函数y＝x2﹣6x+c的图象过A（﹣1，y1），B（2，y2），C（，y3），则y1，y 2，y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y2＞y1＞y3D．y3＞y1＞y23．对抛物线：y＝﹣x2+2x﹣3而言，下列结论正确的是（）A．与x轴有两个交点B．开口向上C．与y轴的交点坐标是（0，3）D．顶点坐标是（1，﹣2）4．一小球被抛出后，距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）满足下面函数关系式：h＝﹣5（t﹣1）2+6，则小球距离地面的最大高度是（）A．1米B．5米C．6米D．7米5．已知函数y＝（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．k＜4 B．k≤4 C．k＜4且k≠3 D．k≤4且k≠3 6．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（）A．a＞0B．当x＞1时，y随x的增大而增大C．c＜0D．3是方程ax2+bx+c＝0的一个根7．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2+2x+3绕着它与y轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是（）A．y＝﹣（x+1）2+2 B．y＝﹣（x﹣1）2+4 C．y＝﹣（x﹣1）2+2 D．y＝﹣（x+1）2+48．若x1，x2（x1＜x2）是方程（x﹣a）（x﹣b）＝1（a＜b）的两个根，则实数x1，x2，a，b的大小关系为（）A．x1＜x2＜a＜b B．x1＜a＜x2＜b C．x1＜a＜b＜x2D．a＜x1＜b＜x29．已知二次函数y＝ax2的图象开口向上，则直线y＝ax﹣1经过的象限是（）A．第一、二、三象限B．第二、三、四象限C．第一、二、四象限D．第一、三、四象限10．下列图象中，能反映函数y随x增大而减小的是（）A．B．C．D．11．已知拋物线y＝﹣x2+2，当1≤x≤5时，y的最大值是（）A．2 B．C．D．12．小明从如图所示的二次函数y＝ax2+bx+c的图象中，观察得出了下面五条信息：①c＜0，②abc＞0，③a﹣b+c＞0，④2a﹣3b＝0，⑤4a+2b+c＞0，你认为其中正确信息的个数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个二．填空题（每题4分，共,20分）13．已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣c＝0无实数解，则抛物线y＝﹣x2﹣bx+c经过象限．14．若点（1，5），（5，5）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两个点，则此抛物线的对称轴是．15．请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向下；②与y轴的交点坐标为（0，3）．此二次函数的解析式可以是．16．飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y＝60t﹣t2，在飞机着陆滑行中，最后2s滑行的距离是m．17．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点（﹣1，0）和点（0，﹣3），且顶点在第四象限．设m＝a+b+c，则m的取值范围是．三．解答题（共64分）18．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax与x轴交于A，B两点（A在B的左侧）．（1）求点A，B的坐标；（2）已知点C（2，1），P（1，﹣a），点Q在直线PC上，且Q点的横坐标为4．①求Q点的纵坐标（用含a的式子表示）；②若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．19．为倡导节能环保，降低能源消耗，提倡环保型新能源开发，造福社会．某公司研发生产一种新型智能环保节能灯，成本为每件40元．市场调查发现，该智能环保节能灯每件售价y（元）与每天的销售量为x（件）的关系如图，为推广新产品，公司要求每天的销售量不少于1000件，每件利润不低于5元．（1）求每件销售单价y（元）与每天的销售量为x（件）的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）设该公司日销售利润为P元，求每天的最大销售利润是多少元？（3）在试销售过程中，受国家政策扶持，毎销售一件该智能环保节能灯国家给予公司补贴m（m≤40）元．在获得国家每件m元补贴后，公司的日销售利润随日销售量的增大而增大，则m的取值范围是（直接写出结果）．20．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图①，若点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m（0＜m＜3），连接CD、BD、BC、AC，当△BCD的面积等于△AOC面积的2倍时，求m的值；（3）若点N为抛物线对称轴上一点，请在图②中探究抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．21．如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣）三点（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，则点P的坐标为；（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．22．若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，函数值y与自变量x的部分对应值如表：x…﹣2 ﹣1 0 1 2 …y…0 ﹣2 ﹣2 0 4 …（1）求该二次函数的表达式；（2）当y≥4时，求自变量x的取值范围．23．如图，直线y＝与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点A，C的抛物线y＝ax2+bx ﹣3与x轴的另一个交点为点B（2，0），点D是抛物线上一点，过点D作DE⊥x轴于点E，连接AD，DC．设点D的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）当点D在第三象限，设△DAC的面积为S，求S与m的函数关系式，并求出S的最大值及此时点D的坐标；（3）连接BC，若∠EAD＝∠OBC，请直接写出此时点D的坐标．参考答案一．选择1．解：∵y＝x2﹣6x+5，＝x2﹣6x+9﹣9+5，＝（x﹣3）2﹣4，∴抛物线y＝x2﹣6x+5的顶点坐标为（3，﹣4）．故选：A．2．解：根据题意，得y 1＝1+6+c＝7+c，即y1＝7+c；y 2＝4﹣12+c＝﹣8+c，即y2＝﹣8+c；y3＝9+2+6﹣18﹣6+c＝﹣7+c，即y3＝﹣7+c；∵7＞﹣7＞﹣8，∴7+c＞﹣7+c＞﹣8+c，即y1＞y3＞y2．故选：B．3．解：A、∵△＝22﹣4×（﹣1）×（﹣3）＝﹣8＜0，抛物线与x轴无交点，本选项错误；B、∵二次项系数﹣1＜0，抛物线开口向下，本选项错误；C、当x＝0时，y＝﹣3，抛物线与y轴交点坐标为（0，﹣3），本选项错误；D、∵y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣2，∴抛物线顶点坐标为（1，﹣2），本选项正确．故选：D．4．解：∵高度h和飞行时间t满足函数关系式：h＝﹣5（t﹣1）2+6，∴当t＝1时，小球距离地面高度最大，∴h＝﹣5×（1﹣1）2+6＝6米，故选：C．5．解：①当k﹣3≠0时，（k﹣3）x2+2x+1＝0，△＝b2﹣4ac＝22﹣4（k﹣3）×1＝﹣4k+16≥0，k≤4；②当k﹣3＝0时，y＝2x+1，与x轴有交点．故选：B ．6．解：∵抛物线开口向下，∴a ＜0，故A 选项错误； ∵抛物线与y 轴的正半轴相交，∴c ＞0，故C 选项错误；∵对称轴x ＝1，∴当x ＞1时，y 随x 的增大而减小；故B 选项错误； ∵对称轴x ＝1，∴另一个根为1+2＝3，故D 选项正确． 故选：D ．7．解：由原抛物线解析式可变为：y ＝（x +1）2+2，∴顶点坐标为（﹣1，2），与y 轴交点的坐标为（0，3）， 又由抛物线绕着它与y 轴的交点旋转180°，∴新的抛物线的顶点坐标与原抛物线的顶点坐标关于点（0，3）中心对称， ∴新的抛物线的顶点坐标为（1，4）， ∴新的抛物线解析式为：y ＝﹣（x ﹣1）2+4． 故选：B ．8．解：用作图法比较简单，首先作出y ＝（x ﹣a ）（x ﹣b ）图象，任意画一个（开口向上的，与x 轴有两个交点），再向下平移一个单位，就是y ＝（x ﹣a ）（x ﹣b ）﹣1，这时与x 轴的交点就是x 1，x 2，画在同一坐标系下，很容易发现： 答案是：x 1＜a ＜b ＜x 2． 故选：C ．9．解：∵二次函数y＝ax2的图象开口向上，∴a＞0；又∵直线y＝ax﹣1与y轴交于负半轴上的﹣1，∴y＝ax﹣1经过的象限是第一、三、四象限．故选：D．10．解：A、根据图象可知，函数在实数范围内是增函数，即函数y随x增大而增大；故本选项错误；B、根据图象可知，函数在对称轴的左边是减函数，函数y随x增大而减小；函数在对称轴的右边是增函数，即函数y随x增大而增大；故本选项错误；C、根据图象可知，函数在两个象限内是减函数，但是如果不说明哪个象限内是不能满足题意的；故本选项错误；D、根据图象可知，函数在实数范围内是减函数，即函数y随x增大而减小；故本选项正确．故选：D．11．解：∵拋物线y＝﹣x2+2的二次项系数a＝﹣＜0，∴该抛物线图象的开口向下；而对称轴就是y轴，∴当1≤x≤5时，拋物线y＝﹣x2+2是减函数，＝﹣+2＝．∴当1≤x≤5时，y最大值故选：C．12．解：①由二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上可知a＞0，图象与y轴交点在负半轴，c＜0，正确；②由图象可知x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，正确；③对称轴x＝﹣＞0，a＞0，b＜0，abc＞0，正确；④对称轴x＝﹣＝，﹣3b＝2a，2a﹣3b＝﹣6b，错误；⑤由图象可知x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，正确．所以①②③⑤四项正确．故选：C．二．填空题（共5小题）13．解：∵关于x的一元二次方程x2+bx﹣c＝0无实数解，∴△＝b2+4c＜0，∵抛物线y＝﹣x2﹣bx+c中，二次项系数﹣1＜0，∴抛物线的开口向下，∵判别式＝（﹣b）2﹣4×（﹣1）×c＝b2+4c＜0，∴抛物线与x轴无交点，∴抛物线在x轴的下方，∴抛物线y＝﹣x2﹣bx+c经过第三、四象限；故答案为：三、四．14．解：∵点（1，5），（5，5）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两个点，且纵坐标相等．∴根据抛物线的对称性知道抛物线对称轴是直线x＝＝3．故答案为：x＝3．15．解：设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c．∵抛物线开口向下，∴a＜0．∵抛物线与y轴的交点坐标为（0，3），∴c＝3．取a＝﹣1，b＝0时，二次函数的解析式为y＝﹣x2+3．故答案为：y＝﹣x2+3（答案不唯一）．16．解：当y取得最大值时，飞机停下来，则y＝60t﹣1.5t2＝﹣1.5（t﹣20）2+600，此时t＝20，飞机着陆后滑行600米才能停下来．因此t的取值范围是0≤t≤20；即当t＝18时，y＝594，所以600﹣594＝6（米）故答案是：6．17．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与坐标轴分别交于点（0，﹣3）、（﹣1，0），∴c ＝﹣3，a ﹣b +c ＝0， 即b ＝a ﹣3， ∵顶点在第四象限， ∴﹣＞0，＜0，又∵a ＞0， ∴b ＜0，∴b ＝a ﹣3＜0，即a ＜3，b 2﹣4ac ＝（a +c ）2﹣4ac ＝（a ﹣c ）2＞0∵a ﹣b +c ＝0， ∴a +b +c ＝2b ＜0， ∴a +b +c ＝2b ＝2a ﹣6， ∵0＜a ＜3，∴a +b +c ＝2b ＝2a ﹣6＞﹣6， ∴﹣6＜a +b +c ＜0． ∴﹣6＜m ＜0． 故答案为：﹣6＜m ＜0． 三．解答题（共6小题）18．解：（1）令y ＝0，即0＝ax 2﹣4ax ， 解得x 1＝0，x 2＝4， ∴A （0，0），B （4，0）．答：点A 、B 的坐标为：（0，0），（4，0）； （2）①设直线PC 解析式为y ＝kx +b ， 将点C （2，1），P （1，﹣a ）代入解得：k ＝1+a ，b ＝﹣3a ﹣1，∴直线PC 解析式为y ＝（1+a ）x ﹣3a ﹣1， 当x ＝4时，y ＝3a +3， 所以点Q 的纵坐标为3a +3．②∵当点Q 在B 上方或与点B 重合时，抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，3a+3≥0，∴a≥﹣1∴当a＜0时，抛物线开口向下，抛物线只能与点Q相交，∴﹣1≤a＜0当a＞0时，抛物线开口向上，只能与点P相交，当x＝1时，y＝﹣a，y＝﹣3a，所以抛物线与点P不相交．综上：a的取值范围是：﹣1≤a＜019．解：（1）设每件销售单价y（元）与每天的销售量为x（件）的函数关系式为y＝kx+b，把（1500，55）与（2000，50）代入y＝kx+b得，，解得：，∴每件销售单价y（元）与每天的销售量为x（件）的函数关系式为y＝﹣x+70，当y≥45时，﹣x+70≥45，解得：x≤2500，∴自变量x的取值范围1000≤x≤2500；（2）根据题意得，P＝（y﹣40）x＝（﹣x+70﹣40）x＝﹣x2+30x＝﹣（x ﹣1500）2+22500，∵﹣＜0，P有最大值，当x＜1500时，P随x的增大而增大，∴当x＝1500时，P的最大值为22500元，答：每天的最大销售利润是22500元；（3）由题意得，P＝（﹣x+70﹣40+m）x＝﹣x2+（30+m）x，∵对称轴为x＝50（30+m），∵1000≤x≤2500，∴x的取值范围在对称轴的左侧时P随x的增大而增大，50（30+m）≥2500，解得：m≥20，∴m的取值范围是：20≤m≤40．故答案为：20≤m≤40．20．解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+2中，得：，解得：，∴抛物线解析式为；（2）过点D作y轴平行线交BC于点E，把x＝0代入中，得：y＝2，∴C点坐标是（0，2），又B（3，0）∴直线BC的解析式为，∵∴∴＝，由S△BCD ＝2S△AOC得：∴，整理得：m2﹣3m+2＝0解得：m1＝1，m2＝2∵0＜m＜3∴m的值为1或2；（3）存在，理由：设：点M的坐标为：（m，n），n＝﹣x2+x+2，点N（1，s），点B（3，0）、C（0，2），①当BC是平行四边形的边时，当点C向右平移3个单位，向下平移2个单位得到B，同样点M（N）向右平移3个单位，向下平移2个单位N（M），故：m+3＝1，n﹣2＝s或m﹣3＝1，n+2＝s，解得：m＝﹣2或4，故点M坐标为：（﹣2，﹣）或（4，﹣）；②当BC为对角线时，由中点公式得：m+1＝3，n+3＝2，解得：m＝2，故点M（2，2）；综上，M的坐标为：（2，2）或（﹣2，）或（4，）．21．解：（Ⅰ）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），∵A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣）三点在抛物线上，∴，解得：∴抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣；（2）连接BC，如图1所示，∵抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣，∴其对称轴为直线x＝﹣＝﹣＝2，连接BC，如图1所示，设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），且过B（5，0），C（0，﹣）∴，解得，∴直线BC的解析式为y＝x﹣，当x＝2时，y＝1﹣＝﹣，∴P（2，﹣），故答案为：（2，﹣）；（3）存在点N ，使以A ，C ，M ，N 四点构成的四边形为平行四边形．如图2所示，①当点N 在x 轴下方时， ∵抛物线的对称轴为直线x ＝2，C （0，﹣），∴N 1（4，﹣）；②当点N 在x 轴上方时，如图，过点N 2作N 2D ⊥x 轴于点D ，在△AN 2D 与△M 2CO 中，∴△AN 2D ≌△M 2CO （ASA ）， ∴N 2D ＝OC ＝，即N 2点的纵坐标为．∴x 2﹣2x ﹣＝，解得x ＝2+或x ＝2﹣， ∴N 2（2+，），N 3（2﹣，）．综上所述，符合条件的点N 的坐标为（4，﹣）或（2+，）或（2﹣，）． 22．解：（1）根据表中可知：点（﹣1，﹣2）和点（0，﹣2）关于对称轴对称， 即对称轴是直线x ＝﹣，设二次函数的表达式是y ＝a （x +）2+k ，把点（﹣2，0）和点（0，﹣2）代入得：，解得：a＝1，k＝﹣，y＝（x+）2﹣＝x2+x﹣2，所以该二次函数的表达式是y＝x2+x﹣2；（2）当y＝4时，y＝x2+x﹣2＝4，解得：x＝﹣3或2，所以当y≥4时，自变量x的取值范围是x≤﹣3或x≥2．23．解：（1）在y＝﹣x﹣3中，当y＝0时，x＝﹣6，即点A的坐标为：（﹣6，0），将A（﹣6，0），B（2，0）代入y＝ax2+bx﹣3得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝x2+x﹣3；（2）设点D的坐标为：（m，m2+m﹣3），设DE交AC于F，则点F的坐标为：（m，﹣m﹣3），∴DF＝﹣m﹣3﹣（m2+m﹣3）＝﹣m2﹣m，∴S△ADC ＝S△ADF+S△DFC＝DF•AE+•DF•OE＝DF•OA＝×（﹣m2﹣m）×6 ＝﹣m2﹣m＝﹣（m+3）2+，∵a＝﹣＜0，∴抛物线开口向下，存在最大值，∴当m＝﹣3时，S△ADC又∵当m＝﹣3时，m2+m﹣3＝﹣，∴存在点D（﹣3，﹣），使得△ADC的面积最大，最大值为；（3）①当点D与点C关于对称轴对称时，D（﹣4，﹣3），根据对称性此时∠EAD＝∠ABC．②作点D（﹣4，﹣3）关于x轴的对称点D′（﹣4，3），直线AD′的解析式为y＝x+9，由，解得或，此时直线AD′与抛物线交于D（8，21），满足条件，综上所述，满足条件的点D坐标为（﹣4，﹣3）或（8，21）。
九年级数学上册第二十二章《二次函数》测试卷-人教版(含答案)
九年级数学上册第二十二章《二次函数》测试卷-人教版（含答案）考试范围:全章综合测试 参考时间:120分钟 满分:120分一、选择题(每小题3分，共30分)1.对于函数y ＝5x 2，下列结论正确的是（ ）A . y 随x 的增大而增大B . 图象开口向下C .图象关于y 轴对称D .无论x 取何值，y 的值总是正的 【答案】C .详解：a ＝5＞0，开口向上，对称轴为y 轴，在y 轴左侧，y 随x 的增大而减小，在y 轴的右侧， y 随x 的增大而增大，当x ＝0时，y ＝0. 故A 错，B 错，C 对，D 错，∴答案选C . 2.二次函数y ＝x 2－4x 的图象的对称轴是（ ）A . x ＝4B . x ＝－4C . x ＝－2D . x ＝2 【答案】D .详解：a ＝1，b ＝－4，由对称轴公式，对称轴为x ＝－2ba＝2，故选D . 3.二次函数y ＝2(x ＋1)2－3的图象的顶点坐标是（ ）A . (1，3)B . (－1，3)C . (1，－3)D .(－1，－3) 【答案】D .详解：知识点：抛物线的顶点式为y ＝a (x －h )2＋k ，顶点坐标为(h ，k ).4.进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价. 若设平均每次降价的 百分率是x ，降价后的价格为y 元，原价为a 元，则y 与x 之间的函数关系式为（ ） A . y ＝2a (x －1) B . y ＝2a (1－x ) C . y ＝a (1－x 2) D . y ＝a (1－x )2 【答案】D .详解：第一次降价后的价格为a (1－x )元，第二次降价后的价格为a (1－x )2，故选D . 5.用配方法将函数y ＝x 2－2x ＋2写成y ＝a (x －h )2＋k 的形式是（ ）A . y ＝(x －1)2＋1B . y ＝(x －1)2－1C . y ＝(x －1)2－3D . y ＝(.x ＋1)2－1 【答案】A .详解：y ＝x 2－2x ＋2＝(x 2－2x ＋1)＋1＝(x －1)2＋1，故选A .6.把抛物线y ＝2x 2绕原点旋转180°，再向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，所得 的抛物线的函数表达式为（ ）A . y ＝2(x －1)2－2B . y ＝2(x ＋1)2－2C . y ＝－2(x －1)2－2D . y ＝－2(.x ＋1)2－2 【答案】C .详解：原抛物线的顶点为(0，0)，旋转180°后，开口向下，顶点为(0，0)，两次平移后的 顶点为(1，－2)，故答案为y ＝－2(x －1)2－2.7. 在比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y＝－14x2＋bx＋c的一部分(如图)，其中出球点B离地面O点的距离是1m，球落地点A到O点的距离是4m，那么这条抛物线的解析式是（）A. y＝－14x2＋34x＋1 B. y＝－14x2＋34x－1C. y＝－14x2－34x＋1 D. y＝－14x2－34x－1【答案】A.详解：依题意，点B的坐标为(0，1)，点A的坐标为(4，0)，把A( 4，0)，B(0，1)代入y＝－14x2＋bx＋c，解得b＝34，c＝1，故选A.另法：由B(0，1)，可排除B、D，根据“左同右异”的规律，可排除C.8.抛物线y＝ax2－2ax＋c经过点A(2，4)，若其顶点在第四象限，则a的取值范围为（）A. a＞4B. 0＜a＜4C. a＞2D. 0＜a＜2【答案】A.详解：把A(2，4)代入，得c＝4，∴y＝ax2－2ax＋4＝a(x－1)2＋4－a，顶点为(1，4－a)，∵顶点在第四象限，∴4－a＜0，∴a＞4.9.飞机着陆后滑行的距离y(m)关于滑行时间t(s)的函数解析式是y＝60t－32t2，飞机着陆至停下来共滑行（）A. 20米B. 40米C. 400米D. 600米【答案】D.详解：配方得y＝－32(t－20)2＋600，∴当t＝20时，y取得最大值600，即飞机着陆后滑行600米才能停下来.10. 如图，抛物线y＝－2x2＋mx＋n与x轴交于A、B两点. 若线段AB的长度为4，则顶点C到x轴的距离为（）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】C.详解：令y＝0，得－2x2＋mx＋n＝0，解得x＝284m m n ±+.∴AB＝|x1－x2|＝282m n+=4，∴m2＋8n＝64.∴244ac ba-＝24(2)4(2)n m---＝288m n+＝8，故答案选C.二、填空题(每小题3分，共18分)11.抛物线y ＝2x 2－4的顶点坐标是___________. 【答案】(0，－4).详解：a ＝2，b ＝0，c ＝－4，开口向上，对称轴为y 轴，顶点为(0，－4).12. 若方程ax 2＋bx ＋c ＝0的解为x 1＝－2，x 2＝4，则二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为______. 【答案】直线x ＝1. 详解：x ＝242-+＝1. 13.如图，抛物线y ＝a (x －2)2＋k (a 、k 为常数且a ≠0)与x 轴交于点A 、B 两点， 与y 轴交于点C ，过点C 作CD ∥x 轴与抛物线交于点D . 若点A 坐标为 (－2，0)，则OBCD的值为_________. 【答案】32.详解：抛物线的对称轴为x ＝2，C 在y 轴上，∴CD ＝4.又∵A (－2，0)，∴B (6，0)，∴OB ＝6. ∴6342OB CD ==. 14.如图，Rt △OAB 的顶点A (－2，4)在抛物线y ＝ax 2上，将Rt △OAB 向右 平移得到△O 1AB 1，平移后的O 1A 1与抛物线交于点P ，若P 为线段A 1O 1 的中点，则点P 的坐标为________. 【答案】P (2，2).详解：把A (－2，4)代入y ＝ax 2得a ＝1，∴y ＝x 2. ∵A (－2，4)，∴点A 1的纵坐标为4， ∵P 为O 1A 1的中点，∴点P 的纵坐标为2， 把y ＝2代入y ＝x 2，得x ＝±2. 取x ＝2，∴P (2，2).15.下列关于二次函数y ＝x 2－2mx ＋1(m 为常数)的结论： ①该函数的图象与函数y ＝－x 2＋2mx 的图象的对称轴相同； ②该函数的图象与x 轴有交点时，m ＞1；③该函数的图象的顶点在函数y ＝－x 2＋1的图象上；④点A (x 1，y 1)与点B (x 2，y 2)在该函数的图象上，若x 1＜x 2，x 1＋x 2＜2m ，则y 1＜y 2· 其中正确的结论是________________(填写序号). 【答案】①③.详解：对于①，根据对称轴公式，两抛物线对称轴均为x ＝m ，故①正确； 对于②，Δ＝b 2－4ac ＝4m 2－4≥0，∴m ≥1或m ≤－1，故②错； 对于③，y ＝x 2－2mx ＋1的顶点为(m ，－m 2＋1)，显然③正确； 对于④，抛物线的开口向上，对称轴为x ＝m ，∵x 1＋x 2＜2m ，∴122x x +＜m ，P O 1A 1B 1又∵x1＜x2，∴点A离对称轴的距离大于点B离对称轴的距离，∴y1＞y2，故④错；综上，正确的有①③.16.如图，抛物线y＝x2＋2x与直线y＝2x＋1交于A、B两点，与直线x＝2交于点D，将抛物线沿着射线AB方向平移25个单位. 在整个平移过程中，点D经过的路程为___________.【答案】738.详解：平移前，D(2，8)，∴直线AB的解析式为y＝2x ＋1，∴抛物线沿射线AB方程平移25个单位时，相当于抛物线向右平移了4个单位，向上平移了2个单位. ∵原抛物线顶点为M(－1，－1)，平移后的顶点为M′(3，1)，平移后的抛物线为y＝(x－3)2＋1，此时D′(2，2)，直线MM′的解析式为y＝12x－12，平移过程中，抛物线的顶点始终在y＝12x－12上，设顶点为(a，12a－12)，－1≤a≤3，抛物线的解析式为y＝(x－a)2＋12a－12，当x＝2时，y＝(2－a)2＋12a－12＝a2－72a＋72，即在平移过程中，抛物线与直线x＝2的交点的纵坐标为y＝a2－72a＋72，∵y＝a2－72a＋72＝(a－74)2＋716，∴当a＝74时，点D到达最低点，此时D(2，716)当a＝3时，y＝(x－3)2＋1，此时D(2，2)；观察图形，可知点D的运动路径为D(2，8)→D(2，716)→D(2，2)，路径长为(8－716)＋(2－716)＝738.三、解答题(共8题，共72分)17.(8分)通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.(1) y＝x2－4x＋6；(2) y＝－4x2＋4x.【答案】(1) y＝x2－4x＋6＝x2－4x＋4＋2＝(x－2)2＋2，开口向上，对称轴为x＝2，顶点坐标为(2，2).(2) y＝－4x2＋4x＝－4(x2－x)＝－4(x2－x＋14－14)＝－4(x－12)2＋1，yxM‘MBAD2O开口向下，对称轴为x ＝12，顶点坐标为(12，1).18.(8分)二次函数的最大值为4，其图象的对称轴为x ＝2，且过点(1，2)，求此函数的解析式. 【答案】∵函数的最大值为4，图象的对称轴为x ＝2， ∴可设函数的解析式为y ＝a (x －2)2＋4，把(1，2)代入，得：a (1－2)2＋4＝2，解得a ＝－2， ∴函数的解析式为y ＝－2(x －2)2＋4.19.(8分)二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 图象上部分点的横坐标x 、纵坐标y 的对应值如下表： (1)求二次函数的表达式；(2)画出二次函数的示意图，结合函数图象， 直接写出y ＜0时自变量x 的取值范围. 【答案】(1) 把(0，3)，(1，0)代入y ＝x 2＋bx ＋c ， 得：310c b c =⎧⎨++=⎩，解得43b c =-⎧⎨=⎩，∴二次函数的表达式为y ＝x 2－4x ＋3；(2) 函数的图象如图所示，由图象，可知当1＜x ＜3时，y ＜0.20.(8分)二次函数的图象与直线y ＝x ＋m 交于x 轴上一点A (－1，0)， 图象的顶点为C (1，－4). (1)求这个二次函数的解析式；(2)若二次函数的图象与x 轴交于另一点B ，与直线 y ＝x ＋m 交于另一点D ，求△ABD 的面积. 【答案】(1)∵图象的顶点为C (1，－4)，可设抛物线的解析式为y ＝a (x －1)2－4， 把(－1，0)代入，得：4a －4＝0，∴a ＝1. ∴抛物线的解析式为y ＝(x －1)2－4， 即y ＝x 2－2x －3.(2)令y ＝0，得x 2－2x －3＝0，∴x 1＝－1，x 2＝3. ∴B (3，0). 把A (－1，0)代入y ＝x ＋m ，得m ＝1，∴y ＝x ＋1. 联立2123y x y x x =+⎧⎨=--⎩，解得1110x y =-⎧⎨=⎩，2245x y =⎧⎨=⎩，∴D (4，5). ∵A (－1，0)，B (3，0)，∴AB ＝4，x… 0 1 2 3 … y … 3 0 －1 0 …yx123O∴△ABD 的面积S ＝12×4×5＝10.21.(8分)如图，抛物线y ＝－12x 2＋52x －2与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C . (1)求△ABC 各顶点的坐标及△ABC 的面积；(2)过点C 作CD ∥x 轴交抛物线于点D . 若点P 在线段AB 上以 每秒1个单位长度的速度由点A 向点B 运动，同时点Q 在线 段CD 上以每秒1.5个单位长度的速度由点D 向点C 运动，问： 经过几秒时，PQ ＝AC ?【答案】(1)令y ＝0，得－12x 2＋52x －2＝0，得x 1＝1，x 2＝4. ∴A (1，0)，B (4，0).令x ＝0，得y ＝－2，∴C (0，－2).△ABC 的面积为S ＝12AB ·OC ＝12×3×2＝3.(2) 设经过t 秒后，PQ ＝AC . 则AP ＝t ，P (1＋t ，0) 抛物线的对称轴为x ＝2.5，∵C (0，－2)，∴D (5，－2). DQ ＝1.5t ，∴CQ ＝5－1.5t ，∴Q (5－1.5t ，－2).过P 作PH ⊥CQ 于H ，则PH ＝OC ，∵PQ ＝AC ，∴HQ ＝OA ＝1. 即|(1＋t )－(5－1.5t )|＝1，化简得|2.5t －4|＝1，解得t ＝2或65.所以，经过2秒或65秒时，PQ ＝AC .22. (10分)如图，有一面长为a m 的墙，利用墙长和30m 的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形 花圃，设花圃的宽AB 为x m ，面积为S m 2. (1)当a ＝10时；①求S 与x 的关系式，并写出自变量x 的取值范围； ②如果要围成面积为48m 2的花圃，AB 的长是多少m ? (2)求长方形花圃的最大面积.【答案】(1) ①AB ＝CD ＝x ，BC ＝30－3x ， ∴S ＝x (30－3x )＝－3x 2＋30x ， 由0＜BC ≤a ，得0＜30－3x ≤10，∴203≤x ＜10. ② 令S ＝48，得－3x 2＋30x ＝48，即x 2－10x ＋16＝0，H30－3xxxx解得：x ＝8或2(舍)，∴AB 的长为8m . (2) S ＝－3x 2＋30x ＝－3(x －5)2＋75， ∵0＜30－3x ≤a ，∴10－3a≤x ＜10.∵抛物线开口向下，对称轴为x ＝5，1°当10－3a≤5时，即a ≥15，此时当x ＝5时，S 取得最大值75；2°当10－3a＞5，即0＜a ＜15，此时S 随x 的增大而减小，则当x ＝10－3a 时，S 的最大值为10a －13a 2.答：当a ≥15时，长方形花圃的最大面积为75m 2；当0＜a ＜15，长方形花圃的最大面积为(10a －13a 2)m 2.23.(10分)某小区内超市在“新冠肺炎”疫情期间，两周内标价为10元/斤的某种水果，经过两次 降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同. (1)求该种水果每次降价的百分率；(2)①从第一次降价的第1天算起，第x 天(x 为整数)的售价、销量及储存和损耗费用的 相关信息如表所示：已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x (天)的利润为y (元)， 求y 与x (1≤x ＜15)之间的函数解析式，并求出第几天时销售利润最大.②在①的条件下，问这14天中有多少天的销售利润不低于330元，请直接写出结果. 【答案】(1) 设该种水果每次降价的百分率为x ，依题意，得： 10(1－x )2＝8.1，解得x ＝0.1或1.9(舍去). 答：该种水果每次降价的百分率为10%.(2) ① 当1≤x ＜9时，第一次降价后的价格为10(1－10%)＝9(元)， ∴y ＝(9－4.1)(80－3x )－(40＋3x )＝－17.7x ＋352，y 随x 的增大而减小，∴当x ＝1时，y 取得最大值为334.3(元)； 当9≤x ＜15时，第二次降价后的价格为8.1(元)，∴y ＝(8.1－4.1)(120－x )－(3x 2－64x ＋400)＝－3x 2＋60x ＋80＝－3(x －10)2＋380， 图象的开口向下，当x ＝10时，y 取得最大值为380(元)＞334.3(元).时间x (天) 1≤x ＜9 9≤x ＜15 售价(元/斤) 第1次降价后的价格第2次降价后的价格销量(斤) 80－3x 120－x 储存和损耗费用(元)40＋3x3x 2－64x ＋400综上，第10天时销售利润最大. ②7天.提示：当1≤x ＜9时，y ＝－17.7x ＋352≥330，解得x ≤220177， ∵x 为正整数，∴x ＝1；当9≤x ＜15时，y ＝－3(x －10)2＋380≥330，解得10－563≤x ≤10＋563， ∵x 为正整数，9≤x ＜15，∴x ＝9，10，11，12，13，14，共6天； 1＋6＝7，故一共有7天.24.(12分)直线y ＝kx ＋k ＋2与抛物线y ＝12x 2交于A 、B 两点(A 在B 的左侧). (1)直线AB 经过一个定点M ，直接写出M 点的坐标；(2)如图1，点C (－1，m )在抛物线上，若△ABC 的面积为3，求k 的值；(3)如图2，分别过A 、B 且与抛物线只有唯一公共点的两条直线交于点P ，求OP 的最小值. 【答案】(1) M (－1，2)；提示：y ＝k (x ＋1)＋2， 直线AB 过定点，令x ＋1＝0， 得y ＝2，∴定点为M (－1，2). (2) 过C 作CD ∥y 轴交AB 于D ，把C (－1，m )代入y ＝12x 2，得C (－1，12).把x ＝－1代入y ＝kx ＋k ＋2，得D (－1，2)， ∴CD ＝2－12＝32.联立2212y kx k y x =++⎧⎪⎨=⎪⎩，得x 2－2kx －(2k ＋4)＝0， 设点A 、B 的横坐标分别为a 、b ，则a 、b 为上述方程的根， ∴a ＋b ＝2k ，ab ＝－(2k ＋4).∵△ABC 的面积为3，由铅垂法，得12CD (b －a )＝3，即12×32(b －a )＝3，∴b －a ＝4. 两边平方，得(a ＋b )2－4ab ＝16，∴(2k )2＋4(2k ＋4)＝16， 整理，得：k 2＋2k ＝0，解得k ＝0或－2. (3) 设点A 、B 的横坐标分别为a 、b ，则a ≠b . 由(2)，a ＋b ＝2k ，ab ＝－(2k ＋4)，∴设直线P A 的解析式为y ＝px ＋q ，联立212y px qy x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，得 x 2－2px －2q ＝0，D∵P A 与抛物线只有唯一公共点，∴上述方程有两个相等的实数根(x 1＝x 2＝a )， 由根与系数的关系，得a ＋a ＝2p ，a ·a ＝－2q ，∴p ＝a ，q ＝－12a 2.∴直线P A 的解析式为y ＝ax －12a 2.同理，直线PB 的解析式为y ＝bx －12b 2.联立221212y ax a y bx b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得x ＝2a b +＝k ，y ＝2ab ＝－(k ＋2). ∴P (k ，－k －2).∴OP 2＝k 2＋(－k －2)2＝2k 2＋4k ＋4＝2(k ＋1)2＋2， 当k ＝－1时，OP 2.。
人教版九年级数学上册《第二十二章二次函数 》测试卷-带参考答案
人教版九年级数学上册《第二十二章二次函数》测试卷-带参考答案一、单选题1．将二次函数化为顶点式正确的是（）A．B．C．D．2．若将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，则所得抛物线的表达式为（）A．B．C．D．3．某商品的进价为每件20元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出5件．则每星期售出商品的利润y（单位：元）与每件涨价x（单位：元）之间的函数关系式是（）A．B．C．D．4．如图，小强在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮筐底的距离l是（）A．3m B．3.5m C．4m D．4.5m5．函数，当时，此函数的最小值为，最大值为1，则m的取值范围是（）A．B．C．D．6．二次函数与x轴的两个交点的横坐标分别为m和n，且，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．7．如图，抛物线与轴交于点，点的坐标为，在第四象限抛物线上有一点，若是以为底边的等腰三角形，则点的横坐标为（）A．B．C．D．或8．已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②若点，均在二次函数图象上，则；③关于x的一元二次方程有两个相等的实数根；④满足的x的取值范围为．其中正确结论的个数为（）．A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题9．抛物线的顶点在轴上，则.10．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，如果水面下降0.5m，那么水面宽度增加m．11．函数是描述现实世界中变化规律的数学模型，运用函数知识可以解决实际问题，如飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式形，则飞机着陆后滑行的最大距离是m．12．已知点、和都在函数的图象上，则、和的大小关系为（用“”连接）．13．如图，抛物线与x轴相交于点、点，与y轴相交于点C，点D 在抛物线上，当轴时，．三、解答题14．如图，一辆宽为米的货车要通过跨度为米，拱高为米的单行抛物线隧道从正中通过，抛物线满足表达式保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有米的距离，求货车的限高应是多少．15．电商平台销售某款儿童组装玩具，进价为每件100元，在销售过程中发现，每周的销售量y（件）与每件玩具售价x（元）之间满足一次函数关系（其中，且x为整数）．当每件玩具售价为120元时，每周的销量为80件；当每件玩具售价为140元时，每周的销量为40件．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当每件玩具售价为多少元时，电商平台每周销售这款玩具所获的利润最大？最大周利润是多少元？16．教科书中例1：有一个窗户形状如图①所示，上部是一个半圆，下部是一个矩形．如果制作窗框的材料总长为6m，如何设计这个窗户，使透光面积最大？这道例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35m时，透光面积最大值约为1.05 m2．我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形(如图②)，材料总长仍为6 m，利用图②，解答下列问题：（1）若AB为1m，求此时窗户的透光面积．（2）与教科书中例1比较，改变窗户形状后，窗户的透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明．17．某杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板的右端处弹跳起经过最高点后下落到右端的椅子处，其身体看成一点运动的路线是一条抛物线的一部分，如图，已知，演员起跳点的高度，演员离开地面的最大高度是，此时，演员到起跳点的水平距离为．（1）求该抛物线的解析式；（2）已知人梯高，为了成功完成此次表演，那么人梯到起跳点的水平距离应为多少18．如图，抛物线与x轴相交于点A、点B，与y轴相交于点C.（1）请直接写出点A，B，C的坐标；（2）若点P是抛物线段上的一点，当的面积最大时求出点P的坐标，并求出面积的最大值.（3）点F是抛物线上的动点，作交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由.参考答案：1．B2．A3．A4．D5．C6．C7．A8．B9．2510．2 ﹣411．60012．13．414．解：当时米．答：货车的限高应是米．15．（1）解：设y与x之间的函数关系式为由已知得解得因此y与x之间的函数关系式为（其中，且x为整数）；（2）解：设每周销售这款玩具所获的利润为W由题意得W关于x的二次函数图象开口向上，且x为整数当时，W取最大值，最大值为1800即当每件玩具售价为130元时，电商平台每周销售这款玩具所获的利润最大，最大周利润是1800元．16．（1）解：由已知可得：AD==则S=1×=；（2）解：设AB= xm，则AD=（3-x）m，AF=（3-x）m∵AB＞0，AD＞0，AF＞0∴0<x<设窗户的面积为S由已知可得：S= AB×AD= x(3-x)=-x2+3x=-（x-）2+当x=时，S有最大值，为∵＞1.05∴现在窗户透光的最大值变大.17．（1）解：根据题意可知，抛物线的顶点坐标为设抛物线的解析式为把代入得：解得：抛物线的解析式为（2）解：当时解得：不符合题意，舍去答：人梯到起跳点的水平距离应为．18．（1），和（2）解：如图，连接设点当时，即点P的坐标为时，有最大值；（3）解：存在.①如图，当四边形为时抛物线对称轴为直线的坐标为②如图，当四边形为时，作于点G和和综上所述，点F的坐标为或或。
2023-2024学年人教版九年级数学上册《第二十二章 二次函数》单元测试卷附有答案
2023-2024学年人教版九年级数学上册《第二十二章 二次函数》单元测试卷附有答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题(共10小题，满分40分)1．关于抛物线22y x x =-+，下列说法错误的是（ ） A ．该抛物线经过原点B ．该抛物线的对称轴是直线1x =C ．该抛物线的最大值为1D ．当0x >时，y 随x 增大而减小2．已知一次函数y ＝ax ＋b 的图象如图所示，那么二次函数y ＝ax 2＋bx ＋1的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．3．用20cm 长的绳子围成一个矩形，如果这个矩形的一边长为xcm ，面积是Scm 2，则S 与x 的函数关系式为（ ）A ．S ＝x （20﹣x ）B ．S ＝x （20﹣2x ）C ．S ＝x （10﹣x ）D ．S ＝2x （10﹣x ）4．将抛物线向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是（ ） A ． B ． C ．D ．5．若抛物线2y x bx c =++与x 轴两个交点之间的距离为2，抛物线的对称轴为直线1x =，将此抛物线向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的新抛物线的顶点坐标为（ ） A ．(2,3)--B ．(1,3)-C ．(3,2)-D ．(2,3)-6．如图所示，抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）的对称轴为直线1x =，与y 轴的一个交点坐标为()0,3，其部分图象如图所示，下列结论：①<0abc ；①40a c +>；①方程20ax bx c ++=有一个实根大于2；①当0x <时，y 随x 增大而增大．其中结论正确的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个7．下列抛物线平移后可得到抛物线y=-（x -2）2的是（ ） A ．y=-x 2B ．y=x 2-2C ．y=（x -2）2+1D ．y=（2-x ）28．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是（ ） ①abc ＜0；①a+c ＞0；①2a+b=0；①关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0的解是x 1=﹣1，x 2=3①b 2＜4acA ．①①①B ．①①①①C ．①①①D ．①①①9．设函数221y x kx k =-+-（k 为常数），下列说法正确的是（ ）A ．对任意实数k ，函数与x 轴都没有交点B ．存在实数n ，满足当x n ≥时，函数y 的值都随x 的增大而减小C ．k 取不同的值时，二次函数y 的顶点始终在同一条直线上D ．对任意实数k ，抛物线221y x kx k =-+-都必定经过唯一定点 10．在平面直角坐标系中，若点()11,M x y ，()()2212,N x y x x <是抛物线()220y mx x m m =-+>上的两点，且满足124x x +=时，都有12y y >，则m 的取值范围是（ ）A ．102m <<B ．104m <<C ．12m >D ．1142m <<二、填空题（共8小题，满分32分）11．二次函数y=﹣2（x ﹣1）2+3的图象与y 轴的交点坐标是 ．12．若点A(2，m )在函数21y x =-的图象上，则点A 关于x 轴的对称点的坐标是 . 13．把抛物线2y x =-向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线()213y x =--+. ( )14．已知抛物线22y x mx m =-++，当21x -<<时，y 随x 的增大而增大，m 的取值范围是 ． 15．已知抛物线y ＝ax 2（a ≠0）过点（﹣2，6），在下列5个点中，对于不在此抛物线上的一点P ，将点P 平移到点P ′，使点P ′在此抛物线上，写出点P 的坐标及平移方法：（1，32），（﹣1，32），（1，﹣32），（2，8），（2，3）答： ．16．某电商销售一款夏季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用a 元（a ＞0）．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动，即从第1天起每天的单价均比前一天降1元．通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销量增加4件．在这30天内，要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t （t 为正整数）的增大而增大，a 的取值范围应为 ．17．若将图中的抛物线y =x 2-2x +c 向上平移，使它经过点（2，0），则此时的抛物线位于x 轴下方的图象对应x 的取值范围是 .18．如图所示，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，有下列4个结论：①abc＞0；①b＞a+c；①4a+2b+c＞0；①b2﹣4ac＞0；其中正确的是．三、解答题（共6小题，每题8分，满分48分）19．某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．(1)若商场经营该商品一天要获利润2160元，并让顾客得到实惠，则每件商品的售价应为多少元？(2)如果要使商场一天获得最大利润，每件衬衫应降价多少元？20．已知二次函数2=++过点A（1，0），B(-3，0)，C（0，-3）y ax bx c(1)求二次函数的解析式；(2)在抛物线的对称轴上求点F，使AF+CF最小，求点F的坐标．(3)在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为6，求点P的坐标．21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx +1交y 轴于点A ，交x 轴正半轴于点B （4，0），交直线AD 于点D （3，52），过点D 作DC ①x 轴于点C ．（1）直接写出：a ＝ ，b ＝ ；（2）点P 为x 轴正半轴上一动点，过点P 作PN ①x 轴交直线AD 于点M ，交抛物线于点N ；若点P 在线段OC 上（不与O 、C 重合），连接CM ，求①PCM 面积的最大值．22．函数y=ax 2（a≠0）的图象与直线y=2x ﹣3交于点（1，b ）． （1）求a 和b 的值．（2）求抛物线y=ax 2的解析式，并求出顶点坐标和对称轴．（3）求抛物线与直线y=﹣2的两个交点及顶点所构成的三角形的面积．23．如图，已知抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于点1,0A 和点()3,0B -，与y 轴交于点()0,3C ．(1)求拋物线的解析式；(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使CMP为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．24．在平面直角坐标系xOy中，抛物线23=-++与x轴交于点A和点B（点A在点By x mx左侧），（1）若抛物线的对称轴是直线x=1，求出点A和点B的坐标，并画出此时函数的图象；（2）当已知点P（m，2），Q(－m，2m－1)．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求m的取值范围．参考答案：12．（2，-3）13．√14．m1≥15．（1，﹣32）向上平移3个单位，点（2，8）向下平移2个单位16．0＜a＜617．0＜x＜218．①①①．19．(1)92(2)520．(1)223y x x=+-；(2)F（1-，2-）；(3)P（17-+，3）或（17--，3）或（0，3-）或P（2-，3-）．21．（1）﹣34和114；（2）最大值为251622．(1)a=-1,b=-1;(2) 顶点坐标（0，0），对称轴x=0;(3)6 23．(1)223y x x=--+(2)存在，点P坐标为(1,6)-或(1,10)-或(1,10)--或5 (1,)3 -24．（1）点A坐标为(－1，0)，点B坐标为(3，0)；（2）m≤－2 或m≥1。
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九年级数学上册第二十二章二次函数单元复习试题（含答案）
已知a 为一元二次方程2430x x -+=的根，则以a 、2a +、4为三边边长的三角形的周长为_________．
【答案】12
【解析】
【分析】
先解一元二次方程求出a 的值为3或1，接着分类讨论，根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，看能否构成三角形即可求解．
【详解】
解：解方程2430x x -+=得3x =或1x =
当3a =时，三角形的三边分别为：3，4，5，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边知，可以构成一个三角形，此时周长为：3+4+5=12；
当1a =时，三角形的三边分别为：1，4，5，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边知，不可以构成一个三角形；
故答案为：12．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边等知识点，熟练掌握这些知识点是解决此题的关键．
62．已知函数22(0)(0)
x x x y x x ⎧-+>=⎨≤⎩的图象如图所示，若直线y x m =+与该图象恰有两个不同的交点，则m 的取值范围为_____．
【答案】104
m <<
【解析】
【分析】 直线与y x =有一个交点，与22y x x =-+有两个交点，则有0m >，
22x m x x +=-+时，140m ∆=->，即可求解．
【详解】
解：直线y x m =+与该图象恰有三个不同的交点，
则直线与y x =有一个交点，
∴0m >，
∵与22y x x =-+有两个交点，
∴22x m x x +=-+，
140m ∆=->， ∴14
m <
， ∴104m <<； 故答案为104
m <<
． 【点睛】 本题考查二次函数与一次函数的图象及性质；能够根据条件，数形结合的进行分析，可以确定m 的范围．
63．已知二次函数图象经过原点和点()2,4，且图象与x 轴的另一个交点到
原点的距离是3，则这个二次函数的解析式为_________．
【答案】226y x x =-+或22655
y x x =+ 【解析】
【分析】
根据图象与x 轴的另一个交点到原点的距离是3得出这个交点可能是(3,0)或者是(-3,0)，再根据两点式去计算即可．
【详解】
∵图象与x 轴的另一个交点到原点的距离是3
∴坐标可能是(3,0)或者(-3,0)
设函数解析式为()()12y a x x x x =--
①图象过(3,0)、(0,0)、(2,4)时代入计算得：226y x x =-+
②图象过(-3,0)、(0,0)、(2,4)时代入计算得：22655
y x x =+ 综上所述：226y x x =-+或22655
y x x =+． 【点睛】
注意考虑全面，用两点式或顶点式算二次函数解析式时，最后的结果通常要化为一般式．
64．如图所示，在同一坐标系中，作出①y=3x 2②y=12
x 2③y=x 2的图象，则图象从里到外的三条抛物线对应的函数依次是（填序号）________
【答案】(1)(3)(2)
【解析】
【分析】
抛物线的形状与|a|有关，根据|a|的大小即可确定抛物线的开口的宽窄．【详解】
∵y=3x2，∵y=1
2x2，∵y=x2中，二次项系数a分别为3、1
2
、1，
∵3＞1＞1
2，
∵抛物线∵y=1
2
x2的开口最宽，抛物线∵y=3x2的开口最窄．
故依次填：∵∵∵．
【考点】
二次函数的图象．
65．某商店销售一种进价为50元/件的商品，当售价为60元/件时，一天可卖出200件；经调查发现，如果商品的单价每上涨1元，一天就会少卖出10件.设商品的售价上涨了x元/件（x是正整数），销售该商品一天的利润为y元，那么y与x的函数关系式为_________________（不写出x的取值范围）【答案】2
101002000
y x x
=-++
【解析】
【分析】
根据题意，得出每件商品的利润以及商品的销量，即可得出y与x的函数关系式．
【详解】
解：设每件商品的售价上涨x元/件（x为正整数），
则每件商品的利润为：（60−50＋x）=（10+x）元，销量为：（200−10x）
件，
所以商品总利润为：y＝（10＋x）（200−10x）2
=-++，
101002000
x x 故答案为：2
101002000
=-++．
y x x
【点睛】
此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据每天的利润＝一件的利润×销售量，建立函数关系式，从而借助二次函数解决实际问题．。