八年级下册数学--二次根式知识点整理

二次根式

1、算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x 的平方等于 a，那么这个正数x 叫做

a的算术平方根。

2、解不等式（组）：尤其注意当不等式两边乘( 除以 ) 同一个负数，不等号方向改变。

如：-2x ＞4，不等式两边同除以 -2 得 x＜-2 。不等式组的解集是两个不等式解集的

｛X ≥-2的解集为-2≤x＜5。

公共部分。如X ＜5

3、分式有意义的条件：分母≠ 0

4、绝对值：｜a｜=a（a≥0）；｜a｜= - a（a＜0）

一、二次根式的概念

一般地，我们把形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。

★ 正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：

（1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“”，“”的根指数

22

为2，即“”，我们一般省略根指数 2，写作“”。如 5 可以写作 5 。（2）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。

（3）式子 a 表示非负数 a 的算术平方根，因此 a≥0， a ≥0。其中 a≥0 是 a 有意义的前提条件。

（4）在具体问题中，如果已知二次根式 a ，就意味着给出了a≥0 这一隐含条件。（5）形如 b a （a≥0）的式子也是二次根式， b 与 a 是相乘的关系。要注意当 b 是分

88 22

数时不能写成带分数，例如3 2 可写成3，但不能写成23 2 。

练习：一、判断下列各式，哪些是二次根式？（1） 6 ；（2）-18 ；（3）x2+1 ；

（4）3

-8 ；（5）x2+2x+1 ；（6）3｜x｜；（7）1+2x （x＜- 1 ）

2

二、当 x 取什么实数时，下列各式有意义？

（1） 2-5x ；

（2） 4x 2+4x+1

二、二次根式的性质：

二次根式的性质

a （ a ≥0）的性质

符号语言

文字语言

应用与拓展

注意

a ≥0

一个非负 （1）二次根式的非负性（ a ≥ 0，

a （a ≥ 0）的最 数的算术

（a ≥0）

平方根是 a ≥0）应用较多，如： a+1 + b-3

小值为 0。

非负数。

=0，则 a+1=0，b-3=0，即 a= -1 ， b=3；又如

x-a + a-x ，则 x 的取

值范围是 x-a ≥ 0， a-x ≥ 0，解得 x=a 。

（2）具有非负性的性质： ①a 2≥ 0；

②｜ a ｜≥ 0；③ a ≥0（a ≥ 0）。

（3）若 a 2+｜b ｜+ c =0 ，则 a=0，

（

2

2

a ）（a ≥0） （ a ）= a

的性质 （a ≥0）

b=0，c=0，即若几个非负数的和等

于 0，则这几个非负数分别等于 0。

一个非负

正用公式：（ 5 2

=5；（ 2

） 逆用公式可以在实数

数的算术 ） m+1 范围内分解因式，如 2

=m 2+1；逆用公式：若 a ≥0，则 a= 平方根的 a 2

-5=a 2- （ 5 ） 2 平方等于 2 21

1

2

它本身。

（ a ） 如： 2=（ 2） ，2=（

2）

=(a+ 5 )(a- 5 )

a 2

的性质

a 2 = ｜ a ｜

一个数的 （ 1）正用公式：

=a （a ≥0）

平方的算

或

术平方根 =｜3- π｜ =3-π

2

=

等于这个

a = ｜ a ｜ 数的绝对

- a （a ＜0） 值。

1 公式： 3

3

=

练习：计算（ 1）（

3 ）2 (2)

（4 3 ）2

5

1 2

2

（4）- （- 8）

（6） x -2x+1 +

（ 3- π2) 化简形如 a 2 的式

（ 2）逆用 子时，先转化为

2

1 ｜ ｜形式，再根据

3 ×3 a

=3

a 的符号去掉绝对

值号。

(3)

（-6 2)

x 2-6x+9 （1≤x ≤3）

★（ a ）2（a ≥0）与

a 2 的区别与联系：

（ a ）2a2

表示的意义不表示非负数 a 的算术平方根的表示 a2的算术平方根同平方

取值范围不同a≥0 a 为任意实数区

读法不同读作“根号 a 的平方”或“ a读作“根号 a2”或“ a 的平方

的算术平方根的平方”的算术平方根”

被开方数不同被开方数是 a被开方数是 a2别运算顺序不同先开放后平方先平方后开方运算结果，运算（ a ）2 =a，依据平方与开平依据算术平方根的定义得到

依据不同方互为逆运算得到

作用不同（ a ）2 = a（a≥0），正向运用可a2 = ｜a｜，正向运用可以将根号

化简二次根式，逆向运用可以将任意内的非负因式取算术平方根移到根

一个非负数写成一个数的平方的形号外，逆用运用可以将根号外的非

式负因式平方后移到根号内联系①含有两种相同的运算，都要进行平方与开方

②结果都是非负数；③ a≥0 时，（ a ）2= a2

三、代数式

用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连

接起来的式子叫代数式。例： 3，x，x+y，3x （x≥0），-ab ，s

（t ≠0，x3都是代数式

t

注（ 1）单独一个数或字母也是代数式；（2）代数式中不能含有关系符号（＞，＜， =等）（1）将两个代数式用关系符号（＞，＜， =等）连接起来的式子叫关系式，方程和不等式都是关系式。如2x+3＞3x-5 是关系式。

2x-2

练习：下列式子：① 0；②π③2+x=4；④3＞1；⑤ 2a+3b；⑥2-x (x≤2)，其中是代数式的有（）