紊流理论(紊流模型)
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北航水力学 第六章 层流紊流及其水头损失
非均匀流：当流动截面大小、 形状和方位沿流向有急剧改变 时，如突扩、突缩、弯管等区 域，流动截面上运动参数也随 流程而急剧变化的流动。 局部阻力：非均匀流在局部区域 内产生的阻力。 局部损失：局部阻力所引起流体 能量损失。
局部阻力系数
6.2.2 沿程水头损失与切应力的关系
边界面上切应力 ---------
和流体密度
成反比,而与流体的动力 粘
为比例常数,其值视流动的边界条件而定。 干扰的情况有关。
还与水流流动受外界
是个无量纲数，称为雷诺数Re c 称为下临界雷诺数Re 称为上临界雷诺数
雷诺数是判别流动形态的准则。对于同一边界形状的流动，下临界 雷诺数是一个固定的常数。
上临界雷诺数Re’cr：层流 －> 紊流
当B管中平均流速达到某一值时，层流开始转变紊流 —— 临界状态(临界区)。 临界状态：流束发生动荡、分散、个别地方出现中断。
(c) 再稍开大阀门C：B管中流速超过临界值VK’，则有色液体不再呈 现流束动荡和分散中断，而破碎掺混变成一种紊乱的流动状态，有色流 体质点布满B管中—紊流。 紊流：流体质点既有轴向运动，又有瞬息变化的径向运动，流体质点有大 量的交换混杂，破坏了流线运动。
速度场和压力场都是随机的 紊流的运动不能作为时间和空间坐标的函数描述 可以用统计的方法得出速度、压力、温度等量的平均值
2 紊流扩散
6-3-2湍流输运 1 6-3-3湍流输运 2
分子扩散 ------分 子 热 运 动
有限大小的流体 的扩散 ------湍 流 脉 动
层流
湍流
紊流扩散性是所有紊流运动的另一重要特征 紊流混掺扩散增加了动量、热量和质量的传递率，例如紊 流中沿过流断面上的流速分布，就比层流情况下要均匀的多。
局部阻力系数
6.2.2 沿程水头损失与切应力的关系
边界面上切应力 ---------
和流体密度
成反比,而与流体的动力 粘
为比例常数,其值视流动的边界条件而定。 干扰的情况有关。
还与水流流动受外界
是个无量纲数，称为雷诺数Re c 称为下临界雷诺数Re 称为上临界雷诺数
雷诺数是判别流动形态的准则。对于同一边界形状的流动，下临界 雷诺数是一个固定的常数。
上临界雷诺数Re’cr：层流 －> 紊流
当B管中平均流速达到某一值时，层流开始转变紊流 —— 临界状态(临界区)。 临界状态：流束发生动荡、分散、个别地方出现中断。
(c) 再稍开大阀门C：B管中流速超过临界值VK’，则有色液体不再呈 现流束动荡和分散中断，而破碎掺混变成一种紊乱的流动状态，有色流 体质点布满B管中—紊流。 紊流：流体质点既有轴向运动，又有瞬息变化的径向运动，流体质点有大 量的交换混杂，破坏了流线运动。
速度场和压力场都是随机的 紊流的运动不能作为时间和空间坐标的函数描述 可以用统计的方法得出速度、压力、温度等量的平均值
2 紊流扩散
6-3-2湍流输运 1 6-3-3湍流输运 2
分子扩散 ------分 子 热 运 动
有限大小的流体 的扩散 ------湍 流 脉 动
层流
湍流
紊流扩散性是所有紊流运动的另一重要特征 紊流混掺扩散增加了动量、热量和质量的传递率，例如紊 流中沿过流断面上的流速分布，就比层流情况下要均匀的多。
冯卡门大气紊流模型推导
冯卡门大气紊流模型推导介绍大气紊流是指地球大气中的湍流现象。
冯卡门大气紊流模型是描述大气中的湍流现象的模型。
冯卡门方程冯卡门方程是描述大气紊流的微分方程组。
它包括三个方程：连续性方程、Navier-Stokes方程和状态方程。
连续性方程连续性方程描述了质量守恒的原则，可以表示为：∂ρ∂t+∇⋅(ρu)=0其中，ρ是空气密度，u是速度矢量。
Navier-Stokes方程Navier-Stokes方程描述了动量守恒的原则，可以表示为：∂u ∂t +u⋅∇u=−1ρ∇P+ν∇2u+g其中，P是压力，ν是动力粘性系数，g是重力加速度。
状态方程状态方程描述了气体物理性质与状态之间的关系，通常可以表示为：P=ρRT其中，R是气体常数，T是温度。
大气边界层大气边界层是指大气中靠近地表的一层区域，受到地表摩擦力和大气条件的影响。
在大气边界层中，湍流是主要的运动形式。
大气边界层可以分为三个不同的区域：大气表面层、颠簸层和波动层。
大气表面层大气表面层是距离地表几百米的一层区域。
在大气表面层中，湍流强度较大，主要受到地表摩擦力的影响。
这个区域的湍流可以通过冯卡门大气紊流模型来描述。
颠簸层颠簸层是距离地表几百米到几千米的一层区域。
在颠簸层中，湍流强度逐渐减弱，主要受到大气条件的影响。
波动层波动层是距离地表几千米以上的一层区域。
在波动层中，湍流强度较小，主要受到大气条件和地形等因素的影响。
大气紊流模拟方法大气紊流模拟是通过数值模拟方法来研究大气中的湍流现象。
目前常用的大气紊流模拟方法包括直接数值模拟（DNS）、大涡模拟（LES）和雷诺平均Navier-Stokes 方程模拟（RANS）等。
直接数值模拟（DNS）直接数值模拟是一种通过求解Navier-Stokes方程来模拟湍流的方法。
它可以精确地模拟湍流的细节，但需要消耗大量的计算资源。
大涡模拟（LES）大涡模拟是一种通过分解湍流流场为尺度较大的大涡和尺度较小的小涡来模拟湍流的方法。
高等流体力学-第四讲
uuj uuj p(u , uj )duduj i i i i
1）同一点上的两脉动速度相关系数（correlation coefficient）
Qij u ( x , t )uj ( x , t ) i
Rij
Qij u 2 uj 2 i
北京工业大学市政学科部——马长明 高等流体(水）力学讲稿
6
第四讲
紊（湍）流运动基础
二、基于统计理论的紊流运动方程
1、基本统计量 对不可压缩流动问题，基本未知量ui，p可认为是具有一定统计规律 的随机变量，即：可表示为
ui ui u i
p p p
其中上划线表示平均值，上ui’ 、p’表示脉动值，称为“涨落” （Fluctuation）。 （1）系综平均与时间平均 1）系综平均（ensemble average）
空间相关图示
R22 (r ) g (r )
u ( x1 )u ( x1 r ) 2 2
u 2 2
f(r) 、g(r )曲线
其中f(r) 、g(r) 存在关系
北京工业大学市政学科部——马长明
高等流体(水）力学讲稿
4
第四讲
紊（湍）流运动基础
（4）充分发展的紊流研究 紊流的发生：剪切层的存在—产生涡。（剪切层的类型图示）
对充分发展的紊流研究分类： 1）自由剪切紊流：剪切层由流速间断面引起，紊动发展 不受边壁的限制； 2）边壁剪切紊流：剪切层由边壁附着引起，紊动发展受 边壁限制。 3）均匀各向同性紊流：作为理论研究的假想模型。流动 中无速度梯度，也无剪切应力。
u i 0 x i
可得：
ui 0 x i
北京工业大学市政学科部——马长明
紊流基本方程及零、单方程模型
du du dy dy
数学模型 单方程模型（K模型）
u K K uj uiu j i t x j x j x j
脉动动能变化率 产生项
ui ui p K u j K x j x j x j
ux
u y x
u y
u y y
uz
u y z
Fi
p 2u y y
uz u u u p ux z u y z uz z Fi 2uz t x y z z
运动方程
ui ui 2ui p u j Fi t x j xi x j x j
u p gh i x xi j
压能和位能的迁移变化率
u u j u i u j ui i ui x j xi x j x j xi
脉动动能变化率 产生项
ui ui p K u j K x x j x j j
扩散项 耗散项
ui Fi
浮力项
K Ck Dk Pk Bk t
紊流数学模型
零方程•单方程
运动方程
紊流时均的运动方程 雷诺方程（Reynolds equation）
基本方程
u u p i u j i F i t x j xi x j
Ⅰ
Ⅰ 动量的时间变化率 Ⅱ 动量的空间对流变化率 Ⅲ 质量力引起的动量变化率 Ⅳ 压强梯度引起的动量变化率 Ⅴ 分子粘性力引起的动量变化率
f g f g
af af
f g f g
第三章紊流模型知识分享
3、紊流模型分类
①零方程模型：常系数模型，混合长模型，剪力模型等 ②单方程模型：k方程模型
③双方程模型：k- 模型
4、评价紊流模型优劣的标准
①适用于多种类型的水流现象； ②具有足够的精度； ③人力和计算机费用适度； ④复杂程度适当。
第三章 紊流模型
五、 紊流的数学描述
紊流是满足连续性条件的，因此对于连续介质流体所导出的连续 性方程和Navier-Stokes方程组可以用于描述紊流的瞬时流态。
从20世纪40年代开始，采用一些紊动量的微分输运方程，例如 紊动动能的输运方程、雷诺应力的输运方程等。这类模型的特 点是理论严谨、概念完整，其中某些模型中提出的基本概念仍 作为目前最先进的紊流模型的理论基础。
第三章 紊流模型
在20世纪60年代中期，计算机的威力已足够强大，才有可能 求解时均流偏微分方程，也才有可能检验、应用和发展这一 类紊流模型。
涡度脉动的三维性 紊流是涡度的脉动强度很大的有
旋三维运动。
第三章 紊流模型
第三章 紊流模型
二、紊流现象及相应的研究课题
②河流中的淡水注人海洋，与 咸水混合，在河口区域内，水 中含盐量的分布规律如何？是 否影响水中动植物的生长？
①热电厂的废气排人大气层中，这 些废气在风的作用下如何运动？是 否有可能触及地面，地面上废气的 浓度如何？
第三章 紊流模型
③管流中的突然放大段，通常 在突然放大处形成涡旋，使流 态复杂，涡旋的尺寸和流速分 布如何确定？局部阻力系数如 何计算？
④溢流坝反弧段的高速水流有可 能在反弧段末端引起空蚀破坏， 如何计算反弧段紊流的速度场。 压力场，预测空泡在水中的发生、 发展和溃灭，从而寻求减免空蚀 破坏的合理措施。
作为紊流的通解，纳维埃－斯 托克斯方程描述了流体运动的 一切细节
①零方程模型：常系数模型，混合长模型，剪力模型等 ②单方程模型：k方程模型
③双方程模型：k- 模型
4、评价紊流模型优劣的标准
①适用于多种类型的水流现象； ②具有足够的精度； ③人力和计算机费用适度； ④复杂程度适当。
第三章 紊流模型
五、 紊流的数学描述
紊流是满足连续性条件的，因此对于连续介质流体所导出的连续 性方程和Navier-Stokes方程组可以用于描述紊流的瞬时流态。
从20世纪40年代开始，采用一些紊动量的微分输运方程，例如 紊动动能的输运方程、雷诺应力的输运方程等。这类模型的特 点是理论严谨、概念完整，其中某些模型中提出的基本概念仍 作为目前最先进的紊流模型的理论基础。
第三章 紊流模型
在20世纪60年代中期，计算机的威力已足够强大，才有可能 求解时均流偏微分方程，也才有可能检验、应用和发展这一 类紊流模型。
涡度脉动的三维性 紊流是涡度的脉动强度很大的有
旋三维运动。
第三章 紊流模型
第三章 紊流模型
二、紊流现象及相应的研究课题
②河流中的淡水注人海洋，与 咸水混合，在河口区域内，水 中含盐量的分布规律如何？是 否影响水中动植物的生长？
①热电厂的废气排人大气层中，这 些废气在风的作用下如何运动？是 否有可能触及地面，地面上废气的 浓度如何？
第三章 紊流模型
③管流中的突然放大段，通常 在突然放大处形成涡旋，使流 态复杂，涡旋的尺寸和流速分 布如何确定？局部阻力系数如 何计算？
④溢流坝反弧段的高速水流有可 能在反弧段末端引起空蚀破坏， 如何计算反弧段紊流的速度场。 压力场，预测空泡在水中的发生、 发展和溃灭，从而寻求减免空蚀 破坏的合理措施。
作为紊流的通解，纳维埃－斯 托克斯方程描述了流体运动的 一切细节
第十章紊流
2017/9/30
西安交通大学流体力学课程组
8
时均法运算性质
设 f,
f ，g g 为紊流时均参数，
脉动参数， f ， g 为瞬时参数
(1)
f f
1 f T
T 2 T t 2 t
1 fd f T
T 2 T t 2 t
d f
时均值的时均值仍为原时均值
(2) f g f g
ui ui ui ui 2ui 1 p uj uj uj uiuj t x j x j x j x j xi x j x j
2017/9/30 西安交通大学流体力学课程组 21
脉动速度方程
瞬时量方程
ui ui 2 ui 1 p uj t x j xi x j x j
ui u 1 p uj i t x j xi x j ui u u i j x j
fg f g f g
f f x x
u j x j 0
ui ui ui 2 ui 1 p uj uj t x j x j xi x j x j
ui uj ( uiuj ) ui (u iuj ) x j x j x j x j
f f f
如
2017/9/30
u u u
p p p
7
西安交通大学流体力学课程组
紊流的时间平均法
严格来说，时均平均法只适用定常紊流，实际上已推广 用于非定常紊流 定常紊流是指时均特性不随时间变化的紊流流动 将紊流流动分为两部分，即：时均流动和脉动运动
时均流动代表主流，关注的重点是时均流动特性 脉动流动反映紊流的实质，对时均流动一切特性都产生 影响
紊流理论(紊流模型)
ui 0 – 根据 xi
u v 0 x y
2
– v’与u’具有相同量级，且符号相反，则有
– 考虑紊动应力与粘性应力符号的一致性有
du u v l dy
' ' 2
du 2 du du l t u v l dy dy dy
' '
d ( u) 2 du t m ,m l l u2 dy dy
雷诺方程数值模拟（RANS）
• 零方程模型——混掺长度模型
– 普朗特假定l与从固体壁面算起的法向距离y成正比： l ky ，k=0.4（平板紊流边界层l~y 分布图） – 对于自由剪切紊流，混掺长度与断面混掺区宽度成 正比
带入可得12121212121412ckkcck57ransu方向v方向58rans对于k方程如果第一内结点设臵在粘性底层内贴近壁面的地方k0但按壁面函数法的要求将第一内结点布臵在对数规律层那里k的产生与耗散都比向壁面的扩散大得多取壁面上k1153020040059rans为了克服壁面函数法和低re数模型的缺陷近年来发展了区域模型法
• 零方程模型——混掺长度模型
– 卡门相似理论。上式每一项都有长度的尺度，假定 与混掺长度成比例，即
du dy
d u d u l, 2 2 dy 1 dy
2
1
2
d u 1 l 3 dy 2
2
3
– 卡门在分析时只取上式的第一项
du l dy
d u dy 2
概述
• 雷诺时均方程模型发展史
– 1942年，Kolmogorov提出了第一个完整的紊流模 型，除了k方程，还引入了另外一个参数ε，能量耗 散率，得到了双方程模型，即k-ε模型。70年代得 到应用。 – 他们的共同贡献是指出了封闭 Reynolds 方程或 Reynolds 应力的封闭表达式应从湍流脉动场的性 质去寻找。称为一阶封闭格式。 – 周培源（1945）和Rotta（1951），绕过 Boussinesq 涡粘性假定，提出了一个描述紊流切 应力张量演化的微分方程，即雷诺应力张量，得到 了应力输运模型，也称为二阶封闭或者二阶矩封闭 模型。70年代得到应用。
u v 0 x y
2
– v’与u’具有相同量级，且符号相反，则有
– 考虑紊动应力与粘性应力符号的一致性有
du u v l dy
' ' 2
du 2 du du l t u v l dy dy dy
' '
d ( u) 2 du t m ,m l l u2 dy dy
雷诺方程数值模拟（RANS）
• 零方程模型——混掺长度模型
– 普朗特假定l与从固体壁面算起的法向距离y成正比： l ky ，k=0.4（平板紊流边界层l~y 分布图） – 对于自由剪切紊流，混掺长度与断面混掺区宽度成 正比
带入可得12121212121412ckkcck57ransu方向v方向58rans对于k方程如果第一内结点设臵在粘性底层内贴近壁面的地方k0但按壁面函数法的要求将第一内结点布臵在对数规律层那里k的产生与耗散都比向壁面的扩散大得多取壁面上k1153020040059rans为了克服壁面函数法和低re数模型的缺陷近年来发展了区域模型法
• 零方程模型——混掺长度模型
– 卡门相似理论。上式每一项都有长度的尺度，假定 与混掺长度成比例，即
du dy
d u d u l, 2 2 dy 1 dy
2
1
2
d u 1 l 3 dy 2
2
3
– 卡门在分析时只取上式的第一项
du l dy
d u dy 2
概述
• 雷诺时均方程模型发展史
– 1942年，Kolmogorov提出了第一个完整的紊流模 型，除了k方程，还引入了另外一个参数ε，能量耗 散率，得到了双方程模型，即k-ε模型。70年代得 到应用。 – 他们的共同贡献是指出了封闭 Reynolds 方程或 Reynolds 应力的封闭表达式应从湍流脉动场的性 质去寻找。称为一阶封闭格式。 – 周培源（1945）和Rotta（1951），绕过 Boussinesq 涡粘性假定，提出了一个描述紊流切 应力张量演化的微分方程，即雷诺应力张量，得到 了应力输运模型，也称为二阶封闭或者二阶矩封闭 模型。70年代得到应用。
紊流计算理论公式
湍流量的指定方法湍流强度I定义为相对于平均速度u_avg的脉动速度u^'的均方根。
小于或等于1%的湍流强度通常被认为低强度湍流，大于10%被认为是高强度湍流。
从外界，测量数据的入口边界，你可以很好的估计湍流强度。
例如：如果你模拟风洞试验，自由流的湍流强度通常可以从风洞指标中得到。
在现代低湍流风洞中自由流湍流强度通常低到0.05%。
.对于内部流动，入口的湍流强度完全依赖于上游流动的历史，如果上游流动没有完全发展或者没有被扰动，你就可以使用低湍流强度。
如果流动完全发展，湍流强度可能就达到了百分之几。
完全发展的管流的核心的湍流强度可以用下面的经验公式计算：例如，在雷诺数为50000是湍流强度为4%湍流尺度l是和携带湍流能量的大涡的尺度有关的物理量。
在完全发展的管流中，l被管道的尺寸所限制，因为大涡不能大于管道的尺寸。
L和管的物理尺寸之间的计算关系如下：l07L=.0其中L为管道的相关尺寸。
因子0.07是基于完全发展湍流流动混合长度的最大值的，对于非圆形截面的管道，你可以用水力学直径取代L。
如果湍流的产生是由于管道中的障碍物等特征，你最好用该特征长度作为湍流长度L而不是用管道尺寸。
注意：公式Ll07=并不是适用于所有的情况。
它只是在大多.0数情况下得很好的近似。
对于特定流动，选择L和l的原则如下：对于完全发展的内部流动，选择强度和水力学直径指定方法，并在水力学直径流场中指定L=D_H。
对于旋转叶片的下游流动，穿孔圆盘等，选择强度和水力学直径指定方法，并在水力学直径流场中指定流动的特征长度为L 对于壁面限制的流动，入口流动包含了湍流边界层。
选择湍流强度和长度尺度方法并使用边界层厚度d_99来计算湍流长度尺度l，在湍流长度尺度流场中输入l=0.4d_99这个值湍流粘性比m_t/m直接与湍流雷诺数成比例(Re_t?k^2/(e n))。
Re_t在高湍流数的边界层，剪切层和完全发展的管流中是较大的(100到1000)。
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– 引入数学方程或者代数公式，确定所产生的新未知 项雷诺应力 uiu ，而不引入新的变量。 j
雷诺方程数值模拟（RANS）
• 涡粘性假设（紊动粘性）
du – 对应层流中切应力与流速梯度关系的公式： dy
– 引入一个涡粘度 t ，将紊流中的雷诺应力与流场 中的时均流速梯度建立下述关系：
概述
• DNS之外的其他方法
– 大涡模拟LES。 – DNS可以获得尺度大于网格尺度的紊流结构，但却 无法模拟小于该网格尺度的紊动结构。 – 大涡模拟的思路是： DNS模拟大尺度紊流运动，而 利用亚网格尺度模型模拟小尺度紊流运动对大尺度 紊流运动的影响。 – LES较DNS拟占计算机的内存小，模拟需要的时间 也短，并且能够得到较雷诺平均模型更多的信息。
du1 1 d u1 2 u( y1 dy ) u1 dy dy 2 dy 2 dy
2
du2 1 d 2u2 2 u( y2 dy ) u2 dy dy 2 dy 2 dy
雷诺方程数值模拟（RANS）
• 零方程模型——混掺长度模型
– 卡门相似理论。既然水流中各点紊动的基本格局彼 此相似，则影响流速变化的各个因素之间应该成一 定比例：
• 零方程模型——混掺长度模型
– 卡门相似理论。上式每一项都有长度的尺度，假定 与混掺长度成比例，即
du dy
d u d u l, 2 2 dy 1 dy
2
1
2
d u 1 l 3 dy 2
2
3
– 卡门在分析时只取上式的第一项
du l dy
d u dy 2
du du t uv t t dy dy
ui u j t - uiuj t x j xi
雷诺方程数值模拟（RANS）
• 涡粘性假设（紊动粘性）
– 当i=j时，假设不合理，引入湍流脉动所产生的压力
ui u j t - uiuj t ptij x j xi
' '
d ( u) 2 du t m ,m l l u2 dy dy
雷诺方程数值模拟（RANS）
• 零方程模型——混掺长度模型
– 普朗特假定l与从固体壁面算起的法向距离y成正比： l ky ，k=0.4（平板紊流边界层l~y 分布图） – 对于自由剪切紊流，混掺长度与断面混掺区宽度成 正比
du 1 l k1 b, u max u min dy b
–则
t k1b u max u min
雷诺方程数值模拟（RANS）
• 零方程模型——混掺长度模型
– 卡门相似理论。卡门假定：（1）除了在周界外， 紊流现象与水流的粘性无关；（2）水流中各点紊 动的基本格局彼此相似，所不同的只是时间和长度 尺度。 – 假定水层y1和y2处的流速分别为u1和u2，则在其附 近，流速变化可以用泰勒级数表示：
雷诺方程数值模拟（RANS）
• 零方程模型——混掺长度模型
– 定义 y1 l y1 y1 l 的平均流速差为脉动，则 根据泰勒展开
u( y l ) u( y ) u( y )l / 1! u( y )l 2 / 2!
u1 u y1 u y1l
雷诺方程数值模拟（RANS）
• 零方程模型——常数模型
– 对于大体积水体水力计算的计算方法，对整个流场 采用一个常数作为紊动粘性（扩散）系数，其数值 根据实验资料确定。 – 在充分发展紊流区，紊动粘性系数是一个常数。没 有固体边界的自由剪切紊流，如射流和尾流，紊动 粘性系数都是常数。 – 缺陷：在管道或者槽道的流动中，常数模型过粗， 如在明渠水流中，紊动粘性系数沿水深的分布近似 为抛物线，如果取为常数，将得不出合理的流速场。
概述
• 直接求解连续方程和运动方程，即 DNS(Direct Numerical Simulation)。 • 原则上讲，DNS并无理论上的困难。
– 一方面，描述紊流运动的精确的微分方程已经得出， 即N－S方程；从数学观点看来，紊流就是N－S方 程的通解。 – 另一方面，数值计算方法的发展，已足以求解N－S 方程。 – 但是，现代计算机的储存的能力和运算速度尚不足 以求解任何一个实际的紊流问题。
雷诺方程数值模拟（RANS）
• 雷诺时均方程的封闭问题
ux u y uz 0 x y z
– 将瞬时值写成时均值+脉动值 u u u ，代入连 续方程和运动方程，并对方程两边取平均：
ui ui 1 p ui uj fi uiuj t x j xi x j x j
概述
• 雷诺时均方程模型发展史
– 1895年，Reynolds发表对紊流研究结果的文章。 – 1897年，Boussinesq((布辛涅司克))涡粘性假定。 – 他们都没有尝试对雷诺方程进行系统的求解，许多 粘性流动的机理尚未清楚。 – 1925年，Prandtl 提出了混合长度理论来计算涡粘 性，为早期的研究奠定了基础。早期贡献最为显著 的还有von Karman，1930 年提出相似性假定。此 类模型并没有引入微分方程，称为零方程或者代数 模型。 – 1945年，Prandtl 提出一个涡粘性依赖于紊动能k 的模型，建议使用一个偏微分方程的模型对精确的 k方程进行近似，得到了单方程模型，即k方程模型。
ui 0 – 根据 xi
u v 0 x y
2
– v’与u’具有相同量级，且符号相反，则有
– 考虑紊动应力与粘性应力符号的一致性有
du u v l dy
' ' 2
du 2 du du l t u v l dy dy dy
– 紊流涡粘度与层流中的粘度相对应，也可称为表观 粘度。粘度是流体本身的物理特性，与流动情况无 关。但是涡粘度则不是流体的物理性质，而是紊流 的一种流动特性，决定于流动的时均流速场和边界 条件。 – 引入涡粘性假设并未构成紊流模型，只是提供了构 造紊流模型的基础，但使模拟紊动应力问题转化为 确定的分布。
雷诺方程数值模拟（RANS）
• 零方程模型
– 介绍三种比较简单的紊流模型（常数模型，混合长 模型，自由剪力层模型），均采用紊动粘性概念， 均不包含紊动量的微分输运方程。
• 确定紊动粘性系数的方法
– 一是直接根据实验资料，用尝试法建立经验公式； 主要是常数模型。 – 二是将紊动粘性系数与时均速度的分布建立联系。 主要指混合长模型，自由剪力层模型。
雷诺方程数值模拟（RANS）
• 零方程模型——混掺长度模型
– 在气体运动中，气体分子以随机的方式运动，气体 分子运动一个平均分子自由程后与其他气体分子发 生碰撞，并产生动量交换。 – 普朗特（1925年）提出混掺长度理论：假设在紊流 运动中，与气体分子运动相似，流体微团在运动过 程中保持原有的运动特征不变，直到运行某一距离 后与周围其它微团相混掺，失去原有的运动特征 （动量、热量、含沙量等），与当地的平均性质取 得一致。这一运动距离l，相当于微团的生命跨度， 称为紊流的掺混长度。
概述
• 紊流模型分类
– 直接数值模拟（DNS）。直接求解N－S方程，必 须采用很小的时间步长与空间步长。 – 大涡模拟（LES）。 DNS模拟大尺度运动，亚网格 上模拟小尺度运动。 – Reynolds时均方程法（RANS）。将N－S方程对 时间平均，并通过一些假定建立模型，是目前工程 中所采用的基本方法。根据对雷诺应力的处理方式 不同，分为基于涡粘性假设的模型和应力输运模型 两类，根据引入方程的数量，前者又分为零方程、 单方程和双方程模型。
概述
• DNS实际应用中的困难
– 紊流运动所包含的单元，比流动区域的尺度要小得 多。为了用数值计算方法求解紊动单元的运动要素， 数值计算的网格必须比紊动单元的尺度更小。如此 之多的网格点贮存各种变量，远远超过了现代计算 机的内存容量，而且，随着网格点的增加，算术运 算的次数显著增多，所需计算的时间令人望而却步。 – 塞弗曼（P G Saffmann）在1977年曾经预言，大 约在本世纪末，高度发展的计算机将有足够的能力 用数值计算方法求解紊流的精确方程，但在较近的 未来，精确地求解紊流问题无疑是不可能的。 – 到现在，DNS算法已有很大发展。
概述
• 雷诺时均方程模型发展史
– 1942年，Kolmogorov提出了第一个完整的紊流模 型，除了k方程，还引入了另外一个参数ε，能量耗 散率，得到了双方程模型，即k-ε模型。70年代得 到应用。 – 他们的共同贡献是指出了封闭 Reynolds 方程或 Reynolds 应力的封闭表达式应从湍流脉动场的性 质去寻找。称为一阶封闭格式。 – 周培源（1945）和Rotta（1951），绕过 Boussinesq 涡粘性假定，提出了一个描述紊流切 应力张量演化的微分方程，即雷诺应力张量，得到 了应力输运模型，也称为二阶封闭或者二阶矩封闭 模型。70年代得到应用。
二、紊流模型 • 1、概述 • 2、雷诺方程数值模拟（RANS）
• 3、大涡模拟（LES） • 4、直接数值模拟（DNS）
概述
• 紊流运动的瞬时连续方程和运动方程 • 连续方程
• 运动方程
ui u 0， 0 xi
du 1 f p 2 u dt ui ui 2 ui 1 p uj fi t x j xi x j x j
du1 dy
– 因此
du2 d 2 u1 2 dy dy
d 2 u2 d 3u1 3 2 dy dy
d 3u2 dy 3
du1 dy
d 2u1 du2 2 dy dy
d 2u2 d 2u1 , 2 2 dy dy
雷诺方程数值模拟（RANS）
• 涡粘性假设（紊动粘性）
du – 对应层流中切应力与流速梯度关系的公式： dy
– 引入一个涡粘度 t ，将紊流中的雷诺应力与流场 中的时均流速梯度建立下述关系：
概述
• DNS之外的其他方法
– 大涡模拟LES。 – DNS可以获得尺度大于网格尺度的紊流结构，但却 无法模拟小于该网格尺度的紊动结构。 – 大涡模拟的思路是： DNS模拟大尺度紊流运动，而 利用亚网格尺度模型模拟小尺度紊流运动对大尺度 紊流运动的影响。 – LES较DNS拟占计算机的内存小，模拟需要的时间 也短，并且能够得到较雷诺平均模型更多的信息。
du1 1 d u1 2 u( y1 dy ) u1 dy dy 2 dy 2 dy
2
du2 1 d 2u2 2 u( y2 dy ) u2 dy dy 2 dy 2 dy
雷诺方程数值模拟（RANS）
• 零方程模型——混掺长度模型
– 卡门相似理论。既然水流中各点紊动的基本格局彼 此相似，则影响流速变化的各个因素之间应该成一 定比例：
• 零方程模型——混掺长度模型
– 卡门相似理论。上式每一项都有长度的尺度，假定 与混掺长度成比例，即
du dy
d u d u l, 2 2 dy 1 dy
2
1
2
d u 1 l 3 dy 2
2
3
– 卡门在分析时只取上式的第一项
du l dy
d u dy 2
du du t uv t t dy dy
ui u j t - uiuj t x j xi
雷诺方程数值模拟（RANS）
• 涡粘性假设（紊动粘性）
– 当i=j时，假设不合理，引入湍流脉动所产生的压力
ui u j t - uiuj t ptij x j xi
' '
d ( u) 2 du t m ,m l l u2 dy dy
雷诺方程数值模拟（RANS）
• 零方程模型——混掺长度模型
– 普朗特假定l与从固体壁面算起的法向距离y成正比： l ky ，k=0.4（平板紊流边界层l~y 分布图） – 对于自由剪切紊流，混掺长度与断面混掺区宽度成 正比
du 1 l k1 b, u max u min dy b
–则
t k1b u max u min
雷诺方程数值模拟（RANS）
• 零方程模型——混掺长度模型
– 卡门相似理论。卡门假定：（1）除了在周界外， 紊流现象与水流的粘性无关；（2）水流中各点紊 动的基本格局彼此相似，所不同的只是时间和长度 尺度。 – 假定水层y1和y2处的流速分别为u1和u2，则在其附 近，流速变化可以用泰勒级数表示：
雷诺方程数值模拟（RANS）
• 零方程模型——混掺长度模型
– 定义 y1 l y1 y1 l 的平均流速差为脉动，则 根据泰勒展开
u( y l ) u( y ) u( y )l / 1! u( y )l 2 / 2!
u1 u y1 u y1l
雷诺方程数值模拟（RANS）
• 零方程模型——常数模型
– 对于大体积水体水力计算的计算方法，对整个流场 采用一个常数作为紊动粘性（扩散）系数，其数值 根据实验资料确定。 – 在充分发展紊流区，紊动粘性系数是一个常数。没 有固体边界的自由剪切紊流，如射流和尾流，紊动 粘性系数都是常数。 – 缺陷：在管道或者槽道的流动中，常数模型过粗， 如在明渠水流中，紊动粘性系数沿水深的分布近似 为抛物线，如果取为常数，将得不出合理的流速场。
概述
• 直接求解连续方程和运动方程，即 DNS(Direct Numerical Simulation)。 • 原则上讲，DNS并无理论上的困难。
– 一方面，描述紊流运动的精确的微分方程已经得出， 即N－S方程；从数学观点看来，紊流就是N－S方 程的通解。 – 另一方面，数值计算方法的发展，已足以求解N－S 方程。 – 但是，现代计算机的储存的能力和运算速度尚不足 以求解任何一个实际的紊流问题。
雷诺方程数值模拟（RANS）
• 雷诺时均方程的封闭问题
ux u y uz 0 x y z
– 将瞬时值写成时均值+脉动值 u u u ，代入连 续方程和运动方程，并对方程两边取平均：
ui ui 1 p ui uj fi uiuj t x j xi x j x j
概述
• 雷诺时均方程模型发展史
– 1895年，Reynolds发表对紊流研究结果的文章。 – 1897年，Boussinesq((布辛涅司克))涡粘性假定。 – 他们都没有尝试对雷诺方程进行系统的求解，许多 粘性流动的机理尚未清楚。 – 1925年，Prandtl 提出了混合长度理论来计算涡粘 性，为早期的研究奠定了基础。早期贡献最为显著 的还有von Karman，1930 年提出相似性假定。此 类模型并没有引入微分方程，称为零方程或者代数 模型。 – 1945年，Prandtl 提出一个涡粘性依赖于紊动能k 的模型，建议使用一个偏微分方程的模型对精确的 k方程进行近似，得到了单方程模型，即k方程模型。
ui 0 – 根据 xi
u v 0 x y
2
– v’与u’具有相同量级，且符号相反，则有
– 考虑紊动应力与粘性应力符号的一致性有
du u v l dy
' ' 2
du 2 du du l t u v l dy dy dy
– 紊流涡粘度与层流中的粘度相对应，也可称为表观 粘度。粘度是流体本身的物理特性，与流动情况无 关。但是涡粘度则不是流体的物理性质，而是紊流 的一种流动特性，决定于流动的时均流速场和边界 条件。 – 引入涡粘性假设并未构成紊流模型，只是提供了构 造紊流模型的基础，但使模拟紊动应力问题转化为 确定的分布。
雷诺方程数值模拟（RANS）
• 零方程模型
– 介绍三种比较简单的紊流模型（常数模型，混合长 模型，自由剪力层模型），均采用紊动粘性概念， 均不包含紊动量的微分输运方程。
• 确定紊动粘性系数的方法
– 一是直接根据实验资料，用尝试法建立经验公式； 主要是常数模型。 – 二是将紊动粘性系数与时均速度的分布建立联系。 主要指混合长模型，自由剪力层模型。
雷诺方程数值模拟（RANS）
• 零方程模型——混掺长度模型
– 在气体运动中，气体分子以随机的方式运动，气体 分子运动一个平均分子自由程后与其他气体分子发 生碰撞，并产生动量交换。 – 普朗特（1925年）提出混掺长度理论：假设在紊流 运动中，与气体分子运动相似，流体微团在运动过 程中保持原有的运动特征不变，直到运行某一距离 后与周围其它微团相混掺，失去原有的运动特征 （动量、热量、含沙量等），与当地的平均性质取 得一致。这一运动距离l，相当于微团的生命跨度， 称为紊流的掺混长度。
概述
• 紊流模型分类
– 直接数值模拟（DNS）。直接求解N－S方程，必 须采用很小的时间步长与空间步长。 – 大涡模拟（LES）。 DNS模拟大尺度运动，亚网格 上模拟小尺度运动。 – Reynolds时均方程法（RANS）。将N－S方程对 时间平均，并通过一些假定建立模型，是目前工程 中所采用的基本方法。根据对雷诺应力的处理方式 不同，分为基于涡粘性假设的模型和应力输运模型 两类，根据引入方程的数量，前者又分为零方程、 单方程和双方程模型。
概述
• DNS实际应用中的困难
– 紊流运动所包含的单元，比流动区域的尺度要小得 多。为了用数值计算方法求解紊动单元的运动要素， 数值计算的网格必须比紊动单元的尺度更小。如此 之多的网格点贮存各种变量，远远超过了现代计算 机的内存容量，而且，随着网格点的增加，算术运 算的次数显著增多，所需计算的时间令人望而却步。 – 塞弗曼（P G Saffmann）在1977年曾经预言，大 约在本世纪末，高度发展的计算机将有足够的能力 用数值计算方法求解紊流的精确方程，但在较近的 未来，精确地求解紊流问题无疑是不可能的。 – 到现在，DNS算法已有很大发展。
概述
• 雷诺时均方程模型发展史
– 1942年，Kolmogorov提出了第一个完整的紊流模 型，除了k方程，还引入了另外一个参数ε，能量耗 散率，得到了双方程模型，即k-ε模型。70年代得 到应用。 – 他们的共同贡献是指出了封闭 Reynolds 方程或 Reynolds 应力的封闭表达式应从湍流脉动场的性 质去寻找。称为一阶封闭格式。 – 周培源（1945）和Rotta（1951），绕过 Boussinesq 涡粘性假定，提出了一个描述紊流切 应力张量演化的微分方程，即雷诺应力张量，得到 了应力输运模型，也称为二阶封闭或者二阶矩封闭 模型。70年代得到应用。
二、紊流模型 • 1、概述 • 2、雷诺方程数值模拟（RANS）
• 3、大涡模拟（LES） • 4、直接数值模拟（DNS）
概述
• 紊流运动的瞬时连续方程和运动方程 • 连续方程
• 运动方程
ui u 0， 0 xi
du 1 f p 2 u dt ui ui 2 ui 1 p uj fi t x j xi x j x j
du1 dy
– 因此
du2 d 2 u1 2 dy dy
d 2 u2 d 3u1 3 2 dy dy
d 3u2 dy 3
du1 dy
d 2u1 du2 2 dy dy
d 2u2 d 2u1 , 2 2 dy dy