(完整)初中几何折叠习题(带图)

图形翻折

1、如图，把直角三角形纸片沿着过点B 的直线BE 折叠，折痕交AC 于点E ，欲使直角顶点C 恰好落在斜边AB 的中点上，那么∠A 的度数必须是 ．

2、如图，在矩形ABCD 中，,6=AB 将矩形ABCD 折叠，使点B 与点D 重合，C 落在C '处，若21：：=BE AE ，则折痕EF 的长为 ．

3、已知△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，点D 是边AC 上一点，连BD ，若沿直线BD 翻折，点A 恰好落在边BC 上，则AD ：DC= ．

A C

B

E

D

C B

A

A ’

4、如图，已知边长为6的等边三角形ABC 纸片，点E 在AC 边上，点F 在AB 边上，沿EF 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 的位置，且ED ⊥BC,则CE 的长是( )． (A)31224- (B)24312- (C)18312- (D)31218-

5、正方形纸片ABCD 中，边长为4，E 是BC 的中点，折叠正方形，使点A 与点E 重合，压平后，得折痕MN （如图）

设梯形ADMN 的面积为1S ，梯形BCMN 的面积为2S ，那么1S :2S =

6、如图2,把腰长为4的等腰直角三角形折叠两次后,得到一个小三角形的周长是

.

7、如图1，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，75,ABC ?∠=将梯形沿直线EF 翻折，使B 点落在线段AD 上，记作'B 点，连结'B B 、交EF 于点O ，若'90B FC ?∠=，则:EO FO = .

A N C D

B

M 图2

B 'O

F E

D C B A

8、等边△OAB 在直角坐标系中的位置如图所示，折叠三角形使点B 与y 轴上的点C 重合，折痕为MN ，且CN 平行于x 轴，则∠CMN = 度．

9、有一块矩形的纸片ABCD ，AB=9,AD=6,将纸片折叠，使得AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 沿DE 向右翻折，AE 与BC 的交点为F ，则△CEF 的面积为 ．

A B A D B D B

F

D C

E C E C

10、如图，有一矩形纸片ABCD ，AB =10，AD =6，将纸片折叠，使AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 以DE 为折痕向右折叠，AE 与BC 交于F ，那么△CEF 的面积是 。

A

B

O

C

（第12题） x

y

E D E D A B C D C B A B C A

第12题图

11、如图1，在等腰直角△ABC 中，AB =AC ，点D 在BC 上，060=∠ADB ，将△ADC 沿AD 翻折后点C

落在点C /，则AB 与BC /的比值为________.

12、△ABC 中，BC=2，∠ABC=30°，AD 是△ABC 的中线，把△ABD 沿AD 翻折到同一平面，点B 落在B′的位置，若AB′⊥BC ，则B′C=__________．

13、在△ABC 的纸片中，∠B =20°，∠C =40°，AC =2，将△ABC 沿边BC 上的高所在直线折叠后B 、C 两点之间的距离为 ．

14、如图，长方形纸片ABCD 中，AD ＝9，AB =3，将其折叠，使其点D 与点B 重合，点C 至点C /，折痕为EF ．求△BEF 的面积．

C /F E D

C

B

A

15、如图，在直角梯形ABCD 中，AD//BC ， DC ⊥BC ，E 为BC 边上的点，将直角梯形ABCD 沿对角线BD 折叠，使△ABD △与EBD 重合.若∠A=120°，AB=4cm ，求EC 的长．

E D

C

B A

16、如图，矩形AOBC ，以O 为坐标原点，OB 、OA 分别在x 轴、y 轴上，点A 的坐标为（0，3），点B 的坐标为（5，0），点E 是BC 边上一点，如把矩形AOBC 沿AE 翻折后，C 点恰好落在x 轴上点F 处．

（1）求点F 的坐标；

（2）求线段AF 所在直线的解析式．

将一张矩形纸对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形是 [ D ]

A ．矩形

B ．三角形

C ．梯形

D ．菱形

如图，折叠长方形的一边AD ，点D 落在BC 边的点F 处，已知AB=8cm, BC=10cm ,求AE 的长.

y

E

B O A x C

F

.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO 是正方形，点C 的坐标是（4，0）。

（1）直接写出A 、B 两点的坐标。A ______________ B____________

（2）若E 是BC 上一点且∠AEB=60°，沿AE 折叠正方形ABCO ，折叠后点B 落在平面内点F 处，请画出点F 并求出它的坐标。

（3）若E 是直线．．BC 上任意一点，问是否存在这样的点E ，使正方形ABCO 沿AE 折叠后，点B 恰好落在x 轴上的某一点P 处？若存在，请写出此时点P 与点E 的坐标；若不存在，请说明理由。

如图，已知矩形ABCD 沿着直线BD 折叠，使点C 落在C /处，BC /交AD 于E ，AD =8，AB =4，则DE 的长为（ ）．

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

解：∵四边形ABCD 是矩形，

∴AD ∥BC ，即∠1=∠3， 由折叠知，∠1=∠2，C′D=CD=4、BC′=BC=8，

∴∠2=∠3，即DE=BE ， 设DE=x ，则EC′=8-x ，

在Rt △DEC′中，DC'2+EC'2=DE 2

∴42+（8-x ）2=x 2解得：x=5， ∴DE 的长为5．

A B

C O E

x y

A B D

F E

C

三、图形翻折综合题

1、如图，E 是正方形ABCD 的边AD 上的动点，F 是边BC 延长线上的一点，且BF =EF ，AB =12，设AE =x ，BF =y ．

（1）当△BEF 是等边三角形时，求BF 的长；

（2）求y 与x 之间的函数解析式，并写出它的定义域；

（3）把△ABE 沿着直线BE 翻折，点A 落在点A '处，试探索：△BF A '能否为等腰三角形？如果能，请求出AE 的长；如果不能，请说明理由．

（1）当△BEF 是等边三角形时，∠ABE =30°．…………………………………（1分）

∵AB =12，

∴AE =34．………………………………………………………………（1分）

∴BF =BE =38．…………………………………（1分）

（2）作EG ⊥BF ，垂足为点G ．……………………（1分）

根据题意，得EG =AB =12，FG =y -x ，EF =y ．…（1分）

∴22212)(+-=x y y ．…………………………（1分）

A C D

E F A C D

E F

∴所求的函数解析式为)120(21442<<+=x x

x y ．…………………………（1分，1分） （3）∵∠AEB =∠FBE =∠FEB ，∴点A '落在EF 上．…………………………………（1分）

∴AE E A ='，∠F A B '=∠E A B '=∠A =90°．………………………………………（1分）

∴要使△BF A '成为等腰三角形，必须使F A B A '='．

而12=='AB B A ，E A BF E A EF F A '-='-='，

∴12=-x y ．……………………………………（1分） ∴1221442=-+x x

x ．整理，得0144242=-+x x ． 解得21212±-=x ． 经检验：21212±-=x 都原方程的根，但21212--=x 不符合题意，舍去．

当AE =12212-时，△BF A '为等腰三角形．……………………………………（1分）

即3

3163310332+-=x x y （2分） （2） 顶点P （)33,5-

AP=AB=BP=6 （1分）

∴ 0'60=∠PAP （1分）

作AP G P ⊥'于G ，则x AG 21=，x G P 23'= A C D

E

F A '

又y PE E P =='，y x EG --=2

16 在EG P Rt '?中，222)2

16()23(y y x x =--+ （2分） ∴ )60(123662<<-+-=x x

x x y （2分） （3）若x EP ⊥'轴 则x y 26=-

x x

x x 21236662=-+-- 36121-=x ，36122+=x （舍去） （1分） ∴ )0,3614('-P

若x FP ⊥'轴 则x y 2

16=- x x x x 2

11236662=-+-- 6363-=x ，6364--=x （舍去） （1分） ∴ )0,436('-P

若x EF ⊥轴， 显然不可能。∴ )0,3614('-P 或 )0,436('-P （1分+1分）

4、已知边长为3的正方形ABCD 中，点E 在射线BC 上，且BE=2CE ，连结AE 交射线DC 于点F ，若?ABE 沿直线AE 翻折，点B 落在点1B 处.

（1）如图6：若点E 在线段BC 上，求CF 的长；

（2）求1sin DAB ∠的值；

（3）如果题设中“BE=2CE ”改为“x CE

BE =”，其它条件都不变，试写出?ABE 翻折后与正方形ABCD 公共部分的面积y 与x 的关系式及定义域.（只要写出结论，不要解题过程）

图 6

A D C F E B

A D

C B 备用图

（07嘉定第25题）

25.（1）解：∵AB ∥DF ∴CE

BE CF AB =…………………1分 ∵BE=2CE ，AB=3 ∴

CE

CE CF 23= ………………1分 ∴23=CF ……………………2分 （2）若点E 在线段BC 上，如图1

设直线1AB 与DC 相交于点M

由题意翻折得：∠1=∠2

∵AB ∥DF

∴∠1=∠F

∴∠2=∠F

∴AM=MF …………………………………………1分

设DM=x ，则CM=x -3 又2

3=CF ∴AM=MF=x -2

9 在Rt ?ADM 中，222AM DM AD =+

A D

C F E

B

图1 A D C F E B B 1

M

1

2

∴222)29(3x x -=+ ∴45=

x …………………1分 ∴DM=45，AM=4

13 ∴1sin DAB ∠=AM DM =13

5…………………………1分 若点E 在边BC 的延长线上，如图2

设直线1AB 与CD 延长线相交于点N 同理可得：AN=NF

∵BE=2CE ∴BC=CE=AD

∵AD ∥BE ∴

FC

DF CE AD = ∴DF=FC=23……1分 设DN=x ，则AN=NF=2

3+x 在Rt ?ADN 中，222AN DN AD =+ ∴222)2

3(3+=+x x ∴49=x ………………1分 ∴DN=49，AN=4

15 1sin DAB ∠=AN DN =5

3………………………………1分 （3）若点E 在线段BC 上，2

29+=x x y ，定义域为0>x …………………2分 若点E 在边BC 的延长线上，x x y 299-=，定义域为1>x .…………2分

5、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝16，动点P 从点A 出发沿AC 边向点C 以每秒3个单位长的速度运动，动点Q 从点C 出发沿CB 边向点B 以每秒4个单位长的速度运动．P ，Q 分别从点A ，C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．在运动过程中，△PCQ 关于直线PQ 对称的图形是△PDQ ．设运动时间为t （秒）．

（1）设四边形PCQD 的面积为y ，求y 与t 的函数关系式及自变量t 的取值范围；

（2）是否存在时刻t ，使得PD ∥AB ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由； A D

C

B

B 1

N 图2

E

F

（3）通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t ，使得PD ⊥AB ？若存在，请估计t 的值

在括号中的哪个时间段内（0≤t ≤1；1＜t ≤2；2＜t ≤3；3＜t ≤4）；若不存在，请简要说明理由．

（07奉贤第25题）

25．（1）由题意知 CQ ＝4t ，PC ＝12－3t ，………………1分

∴S △PCQ =

t t CQ PC 2462

12+-=?． ∵△PCQ 与△PDQ 关于直线PQ 对称， ∴y=2S △PCQ t t 48122+-=．………………2分

（(04)t <<……………………………………1分

（2）设存在时刻t ，使得PD ∥AB ，延长PD 交BC 于点M ，如图，……1分

若PD ∥AB ，则∠QMD =∠B ，又∵∠QDM =∠C =90°，

∴

Rt △QMD ∽Rt △ABC ， 从而AC

QD AB QM =，……………2分 ∵QD =CQ =4t ，AC ＝12，

第25题图 A

P

Q

B

D

C 图2 A

P C

Q

B D

M

AB =221216+=20，

∴QM =203

t ．…………………2分 若PD ∥AB ，则

CP CM CA CB =，得20412331216t t t +-=，………………2分 解得t ＝1211

．………………1分 ∴当t ＝1211

秒时，PD ∥AB ． （3）存在时刻t ，使得PD ⊥AB ．时间段为：2＜t ≤3．………………2分

26.(2007.绵阳)当身边没有量角器时，怎样得到一些特定度数的角呢？动手操作有时可以解

“燃眉之急”．如图，已知矩形ABCD ，我们按如下步骤操作可以得到一个特定的角：（1）以点A 所在直线为折痕，折叠纸片，使点B 落在AD 上，折痕与BC 交于E ；（2）将纸片展平后，再一次折叠纸片，以E 所在直线为折痕，使点A 落在BC 上，折痕EF 交AD 于F ．则∠AFE =（ ）

A ．60?

B ．67.5?

C ．72?

D ．75?

27.（2012?鸡西）如图所示，沿DE 折叠长方形ABCD 的一边，使点C 落在AB 边上的点F 处，若AD=8，且△AFD 的面积为60，则△DEC 的面积为 ．

解：∵四边形ABCD 是矩形，

∴∠A=∠B=90°，BC=AD=8，CD=AB ，

∵△AFD 的面积为60，

即AD?AF=60，

解得：AF=15，

A

B C

∴DF==17，

由折叠的性质，得：CD=CF=17，

∴AB=17，

∴BF=AB﹣AF=17﹣15=2，

设CE=x，则EF=CE=x，BE=BC﹣CE=8﹣x，

在Rt△BEF中，EF2=BF2+BE2，

即x2=22+（8﹣x）2，

解得：x=，

即CE=，

∴△DEC的面积为：CD?CE=×17×=．

故答案为：．

28.(2012?丽水)如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°．∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠CEF的度数是．

解：连接BO，

∵∠BAC＝50°，∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，

∴∠OAB＝∠ABO＝25°，

∵等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，

∴∠ABC＝∠ACB＝65°，

∴∠OBC＝65°－25°＝40°，

∵，

∴△ABO≌△ACO，

∴BO＝CO，

∴∠OBC＝∠OCB＝40°，

∵点C沿EF折叠后与点O重合，

∴EO＝EC，∠CEF＝∠FEO，

∴∠CEF＝∠FEO＝＝50°，

故答案为：50°．

29.