chapter9 差错控制编码b

• 循环码的生成多项式 g ( x )
是 ( x n + 1) 的一个（n-k）次因式 是该码多项式组中唯一一个次 数为（n-k）的多 项式 常数项不为0
g ( x ) 和码组长度n一旦确定，则该循环码码组也
就被确定了。 阶数低于 n并能 被 g(x)整除的一组多项 式所对应 的码组构成一个(n,k)循环 码。
则有：
F ( x ) ≡ R ( x ) , 模N ( x )
循环码中，若长为 n的许用码组T(x)，则 x i gT ( x ) 模 x n + 1 的 结果 T ′ ( x ) 所代表的码组，就是T(x)代表 的 码组向左循环移位i 次的结果，即 也是一许用码组。
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除法求余法：
假设信息码多项式为 m( x) ，则系统循环码多项式为：
T ( x ) = x n − k m( x ) + r ( x )
其中，
r ( x ) ≡ x n − k m ( x ) mod g ( x )
h0 0 = M 0 h1 h0 M 0 L hk h1 L M M 0 M L hk 0 h0 L 0 M h1 0 L 0 M M L hk 0
H ( n − k )× n
系统循环码的监督矩阵 H 必为典型形式
H = [PI r ] = QT I r
[
]
G • HT = O
E = [en −1e n− 2 L e0 ] = B − A
校正子 S ：
S = B • H T = (E + A ) • H T = E • H T
S 若和E 之间一一对应，则能代表错码的位置
S
001 010 100 011
E
0000001
错码位置
S
101 110 111 000
E
0010000
d 0 ≥ 2t + 1
一个码组内纠正t个误码
一个码组内纠正t个误码同 时检测e（e>t）个误码
d 0 ≥ e + t + 1 (e > t )
0 A
1 e
2
3 B
0 A
1 t
2
3 t
4
5 B
d0 (a)
d0 (b)
A t e (c) 1 t
B
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• 码多项式
便于用代数学理论研究循环 码
T(x) = a n −1 x n −1 + a n − 2 x n − 2 + L + a1 x + a 0
系数——码元 x——码元位置的标记，不关心取值
• 码多项式的模运算
若一任意多项式F(x)可以表示为：
F ( x ) = N ( x) Q ( x) + R ( x )
错码位置
a0
a4
a5
0000010
0000100
a1
0100000
a2
a3
1000000
0000000
a6
无错
0001000
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9.4 循环码
• 特点：
是线性分组码中 重要的一类（ 具有线性分组码 的特点），代数理论基础严密； 循环性，可按要求的纠错能力系统构造码，简 化编解码设备
a2 a1a（ a2 a1a（ a6 a5 a4 a （ a6 a5 a4 a （ 3 信息位） 0 监督位） 3 信息位） 0 监督位）
0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111
000 011 101 110 110 101 011 000
1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111
• 常用的差错控制方式：
– 检错重发（简称ARQ）： 需要反向信道 – 前向纠错（简称FEC）： 不用反向信道，延时小，实时性好，设备复杂 – 混合纠错（简称HEC） 实时性和译码复杂性较为折中
• 差错控制编码分类：
按差错控制编码的不同功能分： 检错码、纠错码、纠删码； 按信息码元和监督码元之间的检验关系分： 线性码、非线性码； 按信息码元和监督码元之间的约束方式不同分： 分组码、卷积码； 按信息码元在编码后是否保持原来的形式不变分： 系统码、非系统码； 按纠正错误的类型不同分： 纠正随机错误的码、纠正突发错误的码； 按构造差错控制编码的数学方法分： 代数码、几何码、算术码； 按每个码元取值不同分： 二进制、多进制码。
第九章 差错控制编码
差错控制编码是一种信道编码 用于降低误码率提高传输的准确性
• 相关学科：
– 信息论、数理统计、概率论、随机过程、线性 代数、近世代数、数论、有限几何和组合分析等 学科有密切关系 – 已成为应用数学的一个分支。
• 本质：
– 编码是指为了达到某种目的而对信号进行的一 种变换 – 其逆变换称为译码或解码。
生成矩阵G与监督矩阵H的关系：
Q = PT
监督矩阵H在解码过程中可用于检、纠错。
• 汉明码：
上述方法 构造的能纠正单个错码的线性分组 码称为汉明码，其 特点是： 码长 n = 2m − 1
监督码 位 r = n − k = m
信息码位 k = 2 m − m − 1 最小 码距 d 0 = 3
i 0 1 完 备码： 2n− k = 8 = ∑ Cn = C7 +C 7 i=0 t
• 监督矩阵 H：
前述线性方程组可 写成：
a6 + a5 + a4 + a2 = 0 a6 + a5 + a3 + a1 = 0 a + a + a + a = 0 6 4 3 0
记为：
a6 a 5 1110100 a 4 1101010 a = 3 1011001 a2 a1 a 0
则循环码典型形式生成矩阵每行的多项式为：
g i ( x) = x n −i + ri ( x)
其中，
(i = 1,2,L , k )
( i = 1, 2,L, k )
ri ( x ) ≡ x k −i xn − k mod g ( x) ≡ x n −i mod g ( x )
• 循环码的监督矩阵H：
• 分类：
– 信源编码 – 信道编码
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• 信源编码：
用尽可能少的码符号尽快地传送尽可能多 的信源消息，以提高通信的有效 性。
• 信道编码：
充分利用已给信道，使 传输的信息量最大 而发生错误的概率 任意小，以提高通信的可靠 性。
(1,1,1) a2 (0,0,0) (1,0,0)
(0,0,1) a0
(1,0,1)
码距的几何意义
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Hale Waihona Puke Baidu
• 码距与检错和纠错能力的关系 一个码组内检测e个误码
d0 ≥ e + 1
111 100 010 001 001 010 100 111
• 生成矩阵G：
用矩阵形式表示上面的线性方程组：
10 0 0111 010 0110 [a6 a5 a4 a3 a2 a1a0 ] = [ a6 a5 a4 a3 ] 0 010101 0 0 01011
9.3 线性分组码
• 特点：
– 分组码： 将信息码分组后各自进行编码，记为（n，k）； – 线性： 信息码元与监督码元之间的关系满足一组线性方程 组； – 封闭性： 任意两个许用码组之和仍为一许用码组； – 最小码距： 等于最小码重（全“ 0”码组除外）。
例：（7,4）码，若 a 6、a 5、a 4、a 3代表4个信 a 2、 a1、 a 0 这3个代表监督码元，满足的线 息元， 性方程组如下：
得到的系统循环码 多项式
T ( x ) = x n − k m( x ) + r ( x )
可用除法电路（主 要是用带反馈 的线性移位寄存 器）来实现
e a + b +
输入
K f
c m
d
+
输出
（7，3）码编码器
• 循环码的解码
记为：
A = [ a6 a5 a4 a3 ] ⋅ G
典型形式的生成矩阵G：
G = [ I k Q]
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• 已知生成矩阵 G，则 根据信息码元 就可得到 整个分组码码组； • 已知k个线性 无关的码组也 可以构成 G， 再由 G生成其余码组； • 由典型形式的生成 矩阵生成的线性分组码 A 必定是系统码； • 非典型形式的 G可以 经过运算化为 典型形式。
香农定理：（存在性定理）
• 第一定理：无失真 信源编码定理。
采用无失真最佳信源编码可使得用于每个信源符号的 编码位数尽可能地小，但它的极限是原始信源的熵值。超过 了这一极限就不可能实现无失真的译码。
• 香农第二定理：有 噪信道编码定 理。
当信道的信息传输率不超过信道容量时，采用合适的 信道编码方法可以实现无差错传输，但若信息传输率超过了 信道容量，就不可能实现无差错传输。
纠错能力 t = 1
是一种高 效率码，编码 效率为 η = k / n = (2r − 1 − r ) /(2r − 1) = 1 − r / n
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• 解码过程
错误图样E： 传输中产生的错码行矩阵。 设发送码组A ，接收 到的码组B ，则收发码组之差记作
• 循环码的生成矩阵G： x k −1 g ( x) k −2 x g ( x ) G ( x) = M xg ( x ) g ( x)
注：这样得到的G不是典型形式，可通过线性变 化进行转换，也可用除法求余的 方法求得典型形 式的生成矩阵G。
• 香农第三定理：有 损信源编码定 理。
保真度条件下对信源进行压缩的极限值，即在一定 失真情况下信源信息率可压缩的最低限度。
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9.1 基本概念
• 基本思想：
按照某种规则，增加冗余，来检、纠错。
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9. 2 纠错编码原理
• 概念：
– – – – 分组码 许用码组、禁用码组 码重 码距、汉明距离、最小码距（ d 0 ）
a1 (0,1,0) (1,1,0)
(0,1,1)
0 0 (模 2） 0
H • A T = O T 或A • H T = O
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典型形式监督矩阵H：
1110 M100 H = 1101M 010 = [PI r ] 1011M 001
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• 循环码的编码方法：
将信息码多项式 m( x )升(n-k)次幂后除以生 成多 项式 g ( x ) x n − k m( x ) r ( x)
g ( x) = Q( x ) + g ( x)
a2 = a6 + a5 + a 4 a1 = a6 + a5 + a3 a = a + a + a 0 6 4 3
给定信息码元后，就可算出相应的监督码元， 从 而得出整个码组。
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