第9章 差错控制编码习题解答
通信原理(陈启兴版)第9章课后习题答案
第9章差错控制编码9.1 学习指导9.1.1 要点差错控制编码常称为纠错编码，或信道编码，其基本思想是在发送端根据一定的规律在待发送的信息码元中加入监督码元，接收端就可以利用监督码元与信息码元的关系来发现或纠正错误，其实质就是通过牺牲有效性来换取可靠性的提高。
本章的要点有差错控制技术和编码分类；最小码距与纠检错能力；线性分组码的生成、监督和纠错；循环码的生成多项式、生成矩阵、编码和译码；卷积码的矩阵、多项式和图形描述方法。
1. 差错控制技术对于不同类型的信道，应该采用不同的差错控制技术。
差错控制技术主要有以下四种。
(1) 检错(error detection)重发(retransmission)：在发送码元序列中加入差错控制码元，接收端利用这些码元检测到有错码时，利用反向信道通知发送端，要求发送端重发，直到正确接收为止。
所谓检测到有错码，是指在一组接收码元中知道有一个或一些错码，但是不知道该错码应该如何纠正。
在二进制系统中，这种情况发生在不知道一组接收码元中哪个码元错了。
因为若知道哪个码元错了，将该码元取反即能纠正，即将错码“0”改为“1”或将错码“1”改为“0”就可以了，不需要重发。
在多进制系统中，即使知道了错码的位置，也无法确定其正确取值。
采用检错重发技术时，通信系统需要有双向信道传送重发指令。
(2)前向纠错(Forward Error Correction)：这时接收端利用发送端在发送码元序列中加入的差错控制码元，不但能够发现错码，还能将错码恢复其正确取值。
在二进制码元情况下，能够确定错码的位置，就相当于能够纠正错码。
采用FEC时，不需要反向信道传送重发指令，也没有因反复重发而产生的时延，故实时性好。
但是为了能够纠正错码，而不是仅仅检测到错码，和检错重发相比，需要加入更多的差错控制码元。
故设备要比检测重发设备复杂。
(3)反馈(feedback)校验(check out)：这时不需要在发送序列中加入差错控制码元。
第9章 差错控制编码习题解答
0 1
1 1
0 1
1 0
0 0
0 1 0 ⎥⎥ 0 0 1⎥
⎢⎣1 0 1 0 1 1 1 0 1⎥⎦
⎡1 0 1 0 1 1 1 0 1⎤
⎯将 初⎯第 等⎯变4行换⎯移至⎯第1⎯行→⎢⎢⎢11
0 0
0 1
1 0
0 1
0 0
1 0
1 1
0 ⎥⎥ 0⎥
⎢⎣0 1 1 1 0 0 0 0 1⎥⎦
⎡1 1 1 0 0 1 0 0 0⎤
接收码字为T (x) = x14 + x5 + x +1
x8 + x7 + x6 + x4 +1 x14 + x5 + x +1
x6 + x5 + x3
x14 + x13 + x12 + x10 + x6
x13 + x12 + x10 + x6 + x5 + x +1
x13 + x12 + x11 + x9 + x5
和 R1 的输出端口串入一个非门。
7级缓存器(延时器)
异或器
译码
T (x) T0
T1
T2
T3
T4
T5
T6
输出
a0
a1
a2
a3
a4
a5
a6
除法运算器
R1
余数最低位
R2
余数
R3
K
余数最高位
S 校正 信号输出
R1
R2
R3
Q1n
Q2 n
反馈移位寄存器及输出和S校正信号产生器
清华-第9章习题答案
清华-第9章习题答案第9章练习题9.1什么是IPQoS？参考答案：IPQoS是指当IP数据报流经一个或多个网络时，其所表现的性能属性，诸如业务有效性、延迟、抖动、吞吐量、包丢失率等9.2综合服务IntServ由哪几个部分组成？有保证的服务和受控负载的服务有何区别？参考答案：IntServ的四个组成部分：（1）资源预留协议RSVP，也就是信令协议，（2）接纳控制（admiioncontrol）程序，（3）分类程序（claifier），（4）调度程序（cheduler）。
Int-Serv定义了两种新的业务模型：保证型（Guaranteed）业务和控制型载荷（Controlled-Load）。
（1）保证型业务严格界定端到端数据报延迟，并具有不丢包的保证；虽不能控制固定延迟，但能保证排队延迟的大小，网络使用加权公平排队，用于需要严格QoS保证的应用；（2）控制型载荷利用统计复用的方法控制载荷，用于比前者具更大灵活性的应用，可假设网络包传输的差错率近似于下层传输媒质的基本包差错率；包平均传输延迟～网络绝对延迟（光传输延迟+路由器转发延迟）。
3）尽力服务：不提供任何类型的服务保证。
9.3试述资源预留协议RSVP的工作原理。
参考答案：（1）发送方应该向接收方发送一个RSVP信息。
RSVP信息同其他IP包一样通过各个路由器到达目的站点；接收端接收到发送端发送的路径信息之后，由接收端逆向发起资源预留的过程；资源预留信息沿着原来信息包相反的方向对沿途的路由器逐个进行资源预留。
（2）Int-Serv还有一个目前很难解决的问题，那就是资源预留和路由协议之间的矛盾。
从路由协议角度来看它是一条好的路径；可从资源预留来看，路由器没有足够的资源可以预留，不能为应用数据流建立起一条路径，因此这一进程只能停留在这里，等待上层超时拆除这个应用进程，再重新建立路径。
（3）资源预留协议还要求沿途的每个路由器为每一个数据流都维持一个“软状态(Per-flowofttate)”。
差错控制编码摘要+结论
摘要本文通过对数字通信的各种信道编码方式、差错控制的类型以及差错控制编码分类的总结和分析，并根据各种常用信道编码的比特差错率和码字差错率之间关系的差异，提出了差错控制编码对数字通信系统可靠性影响的定量计算结果，并用MATLAB仿真软件进行了分析和比较，又根据差错性能和信号带宽、信噪比、传输速率之间的关系，提出了评价干扰数字通信系统等级的一些方案，可以为进一步研究数字通信系统干扰效果的评估准则做一个理论基础。
另外，本文探讨了在MATLAB语言环境下差错控制系统仿真的设计和实现。
根据差错控制系统的理论基础结合SIMULINK软件包实现对控制系统的建模，并结合MATLAB 仿真达到差错控制的目的。
可以得到在不同频带利用率条件下的差错控制能力的定量结果，也可以得到在相同频带利用率条件下不同打孔(删除方案)图形的差错控制能力的定量结果。
关键词：差错控制编码；仿真；MATLAB；SIMULINK结论本文从缩短卷积码、缩短卷积码加交织、自适应均衡系统、迭代译码的级联卷积码在差错控制中所占的重要位置入手，研究了他们在MATLAB中的实现，通过讨论进一步加深了对差错控制的理解。
在其原理的基础之上，进行了系统的设计。
比如在具有检错重发和前向纠错的电路中，信源重要性信息与信道状态信息在信息传输过程中不断的地通知编码器(可变速率)和解码器，根据信源信息的重要性和解码检错的情况，被检测到的信道的状态信息，以及调整编码速率的指令，在可变速率编码器、解码器之间传达，以实现最少的差错发生。
本文在研究了差错控制的设计理论之后讨论了其在MATLAB中的实现，并结合了SIMULINK软件包，达到了差错控制的目的。
构建一个具有卷积、解卷积和打孔、插零功能以及相应的传输环境的仿真系统，就可以对各类卷积码进行缩短卷积码的仿真研究，并且可以得到在不同频带利用率条件下的差错控制能力的定量结果，也可以得到在相同频带利用率条件下不同打孔(删除方案)图形的差错控制能力的定量结果。
通信原理课后习题
《通信原理》第一章绪论1.1什么是通信？通信系统是如何分类的？1.2模拟信号和数字信号的区别是什么？1.3何谓数字通信?数字通信的优缺点是什么？1.4请画出数字通信系统的基本原理方框图，并说明各个环节的作用？1.5对于二进制信息源，在等概发送时，每一符号所包含的信息量是否等于其平均信息量？1.6衡量数字通信系统的主要性能指标是什么？1.7设英文字母中A,B，C，D出现的概率各为0.001,0.023,0。
003，0。
115，试分别求出它们的信息量.1.8已知某四进制信源｛0，1,2,3｝，当每个符号独立出现时,对应的概率为P0，P1，P2，P3，且P+P1+P2+P3=1。
（1）试计算该信源的平均信息量。
（2）指出每个符号的概率为多少时，平均信息量最大，其值为多少？1.9已知二进制信号的传输速率为4800bit/s,若码元速率不变，试问变换成四进制和八进制数字信号时的传输速率各为多少?1.10在强干扰环境下，某电台在5min内共接收到正确信息量为355Mbit，假定系统信息速率为1200kbit/s。
（1）试问系统误码率Pb是多少?（2）若具体指出系统所传数字信号为四进制信号，P值是否改b变？为什么？（3）若假定数字信号为四进制信号，系统码元传输速率为是多少/1200kBaud，则Pb1.11设一信息源的输出为由256个不同符号组成,其中32个出现的概率为1/64，其余224个出现的概率为1/448。
信息源每秒发出2400个符号，且每个符号彼此独立.试计算该信息源发送信息的平均速率及最大可能的信息速率。
1.12二进制数字信号一以速率200bit/s传输，对此通信系统连续进行2h的误码测试，结果发现15bit差错。
问该系统的误码率为多少？如果要求误码率在1＊107-以下，原则上应采取一些什么措施？第二章随机信号分析2。
1 判断一个随机过程是广义平稳的条件?2.2 平稳随机过程的自相关函数具有什么特点？2。
第9章习题答案 计算机组成原理课后答案(清华大学出版社 袁春风主编)
3. 假定一个政府机构同时监控100路移动电话的通话消息，通话消息被分时复用到一个带宽为4MBps的网络上，复用使得每传送1KB的通话消息需额外开销150µs，若通话消息的采样频率为4KHz，每个样本的量化值占16位，要求计算每个通话消息的传输时间，并判断该网络带宽能否支持同时监控100路通话消息？参考答案：每路移动电话1秒钟所要传输的数据量：4000HZ x(16/8)B=8000B=7.8125KB该网络传输1KB数据所需要的时间为：150µs+(1KB / 4MB)=394µs所以实际传输100路移动电话所需时间为：394µs/KB x7.8125KB x 100=0.31s因为0.31s小于1秒钟，故该网络带宽支持同时监控100路通话消息。
4．假定一个程序重复完成将磁盘上一个4KB的数据块读出，进行相应处理后，写回到磁盘的另外一个数据区。
各数据块内信息在磁盘上连续存放，并随机地位于磁盘的一个磁道上。
磁盘转速为7200RPM，平均寻道时间为10ms，磁盘最大数据传输率为40MBps，磁盘控制器的开销为2ms，没有其他程序使用磁盘和处理器，并且磁盘读写操作和磁盘数据的处理时间不重叠。
若程序对磁盘数据的处理需要20000个时钟周期，处理器时钟频率为500MHz，则该程序完成一次数据块“读出-处理-写回”操作所需的时间为多少？每秒钟可以完成多少次这样的数据块操作？参考答案：平均旋转等待时间：(1s / (7200/60)) / 2 ≈8.33/2 ≈4.17ms因为块内信息连续存放，所以数据传输时间：4KB / 40MBps ≈0.1ms平均存取时间T ：寻道时间+ 旋转等待时间+ 数据传输时间= 10ms + 4.17ms + 0.1ms = 14.27ms读出时间(写回时间)：14.27ms+2ms = 16.27ms数据块的处理时间：20000 / 500MHz ≈0.04ms因为数据块随机存放在某个磁道上，所以，每个数据块的“读出-处理-写回”操作时间都是相同的，所以完成一次操作时间：16.27ms x 2+0.04ms = 32.58ms每秒中可以完成这样的数据块操作次数：1s / 32.58ms ≈30次5. 假定主存和磁盘存储器之间连接的同步总线具有以下特性：支持4字块和16字块两种长度（字长32位）的突发传送，总线时钟频率为200MHz ，总线宽度为64位，每个64位数据的传送需1个时钟周期，向主存发送一个地址需要1个时钟周期，每个总线事务之间有2个空闲时钟周期。
第九章差错控制编码
第九章差错控制编码
2021年3月24日星期三
§1 基本概念
第九章差错控制编码
2021年3月24日星期三
检错和纠错
第九章差错控制编码
2021年3月24日星期三
常用的差错控制方式1
第九章差错控制编码
2021年3月24日星期三
（1）停发等候重发方式
Tw 发送端： 1
接收端：
Ti 2
第九章差错控制编码
2021年3月24日星期三
纠错编码的例子
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2021年3月24日星期三
说明
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2021年3月24日星期三
差错控制编码的效果分析
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基本概念
第九章差错控制编码
2021年3月24日星期三
基本概念
第九章差错控制编码
100
0010
101
1010
010
0011
110
1011
001
0100
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001
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100
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000
1111
111
第九章差错控制编码
（7，4）汉明码
第九章差错控制编码
2021年3月24日星期三
（7，4）汉明码的生成矩阵
第九章差错控制编码
第九章差错控制编码
2021年3月24日星期三
（2）返回重发方式
发送端： 接收端：
12345623 456789
NAK
从码组2开始重发
通信原理（陈启兴版）第9章课后习题答案
a.监督子仅与错误图样有关，而与发送的具体码字无关； b.若S =0，则判断没有错码出现，它表明接收的码字是一个许用码字，当然如果错码超过了纠错能力，也无法检测出错码。若S≠0,判断有错码出现; c.在纠错能力范围内，不同的错误图样具有不同的监督子，监督子是H 阵中“与错误码元相对应”的各列之和。对于纠一位错码的监督矩阵，监督子就是H 阵中与错误码元位置对应的各列。 (3) 汉明码 汉明码是能够纠正单个错误而且编码效率高的线性分组码。关于线性分组码的分析方法全部适用于汉明码。 一般说来，如果希望用r 个监督码元构造的(n ,k )线性分组码能够纠正一位错码，则要求 21r n -≥ (9-7) 汉明码满足条件 21r n -= (9-8) 汉明码的监督矩阵H 的列是由所有非零的互不相同的(n-k )重二元序列组成。如果码字中哪一位发生错误，其伴随式就是H 中该列的列矢量。 5. 循环码 在线性分组码中，有一种重要的码称为循环码(cyclic code)。它是在严密的代数学理论基础上建立起来的。这种码的编码和解码设备都不太复杂，而且检纠错的能力较强。循环码除了具有线性码的一般性 质外，还具有循环性。循环性是指任一码组循环一位（即将最右端的一个码元移至左端，或反之）以后，仍为该码中的一个码组。 (1) 码多项式 在代数编码理论中，为了便于计算，通常用多项式去描述循环码，它把码组 中各码元当作是一个多项式(poly-nomial)的系数，即把一个长度为n 的码组表示成 121210()n n n n T x a x a x a x a ----=++++ (9-9) 在循环码中，若T (x )是一个长为n 的许用码组，则x i ﹒T (x )在按模x n +1运算下，也是该编码中的一个许用码组，即若 ） （模)1()()(+'≡?n i x x T x T x (9-10) 则T '(x )也是该编码中的一个许用码组。 (2) 生成多项式 在一个(n , k )循环码中，有一个且仅有一个次数为(n-k )的多项式： 111()11n k n k n k g x x a x a x -----=?+++ (9-11) 称此g (x )为该循环码的生成多项式。g (x )表示该循环码的前(k -1)位皆为“0”的码组。g (x )有如下性质： a. g (x )是一个常数项为1，最高次数为(n -k )次，且是x n +1的一个因式。 b. 所有码多项式T (x )都可被g (x )整除，而且任意一个次数不大于(k -1)的多项式乘g (x )都是码多项式。 (3) 生成矩阵G 在循环码中，一个(n , k )码有2k 个不同的码组。若用g (x )表示其中前(k -1)位皆为“0”的码组，则g (x )，xg (x )，x 2g (x )，?，x k-1g (x )都是码组，而且这k 个码组是线性无关的。因此它们可以用来构成此 循环码的生成矩阵G 。一旦确定了g (x )，则整个(n , k )循环码就被确定了。 因此，循环码的生成矩阵G 可以写成 12()()()()()k k x g x x g x x xg x g x --?????? ? ?=???????? G (9-12) 由于上面的生成矩阵不是标准阵，这样编码得到的码字一般不是系统码。 (4) 系统循环码的编码思路 a. 用信息码元的多项式m (x )表示信息码元。 b. 用x n - k 乘m (x ),得到 x n - k m (x )。 c. 用g (x )除x n - k m (x )，得到商Q (x )和余式r (x )，即 ()()()()() n k x m x r x Q x g x g x -=+ (9-13) d. 编出的码组()T x 为 ()()()n k T x x m x r x -=+ (9-14) (5) 循环码的译码 接收端可以将接收码组R (x )用原生成多项式g (x )去除。当传输中未发生错误 时，接收码组与发送码组相同，即R (x ) = T (x )，故接收码组R (x )必定能被g (x )整除；若码组在传输中发生错误，则R (x ) ≠ T (x )，R (x )被g (x )除时可能除不尽而有余项，从而发现错误。 纠正错码相对复杂。因此，原则上纠错可按下述步骤进行： a. 用生成多项式g (x )除接收码组R (x )，得出余式r (x )。 b. 按余式r (x )，用查表的方法或通过某种计算得到错误图样E (x )；例如，通过计算校正子S 和表中的关系，就可以确定错码的位置。 c. 从R(x )中减去E (x )，便得到已经纠正错码的原发送码组T (x )。 6. 卷积码 卷积码是指把信源输出的信息序列，以k 个信息码元划分为一组，通过编码器输出长为n (≥k )的码段。与线性分组码不同的是：卷积码的子码中(n -k )个监督码不仅与本组的信息码元有关，而且也与其前 m 组的信息码元有关。一般用(n ,k ,m )表示，其中m 为编码存储器，它表示输入信息在编码器中需存储的单位时间。编码效率R =k /n 。 类似于线性分组码，卷积码的输入序列A =[…a k-2 a k-1 a k a k+1…]，输出序列0:10:20:31:11:21:32:12:22:3[,,,,,,,,,]C c c c c c c c c c =，监督矩阵H ∞和生成矩阵G ∞具有下列关系 ,0,0T T T C MG H C G H ∞∞∞∞==?= (9-15) 卷积码可以采用解析表示法，即采用码的生成矩阵、监督矩阵和码的多项式 来计算分析。此外，由于卷积码的特点，还可以采用图形表示法来研究，即从树状图、网格图和状态图的观点进行研究。 卷积码的译码方法主要有三种：序列译码、大数逻辑解码(门限译码)和概率解码(最大似然译码)。 9.1.2 难点 本章的难点主要有汉明码的特点及检验接收码组B 是否出错的方法。
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1
解：
(1) 检测e个随机错误,则要求d0 ≥ e +1 (2) 纠t个随机错误,则要求d0 ≥ 2t +1 (2) 纠t个,同时检测e个(e > t)随机错误,则要求d0 ≥ t + e +1 由上述公式得 : (5,1)重复码d0 = 5,故能检4位错,纠2位错, 并同时能纠1位错和检3位错.
x11 + x10 + x9 + x6 + x +1
x11 + x10 + x9 + x7 + x3
x7 + x6 + x3 + x +1
得余多项式为x7 + x6 + x3 + x +1
由于余多项式不为0, 故码字在传输过程中有错, 故需要重发.
9-10 设（7,3）线性分组码的监督矩阵为
⎡1 0 1 1 0 0 0 ⎤
接收码字为T (x) = x14 + x5 + x +1
x8 + x7 + x6 + x4 +1 x14 + x5 + x +1
x6 + x5 + x3
x14 + x13 + x12 + x10 + x6
x13 + x12 + x10 + x6 + x5 + x +1
x13 + x12 + x11 + x9 + x5
H
=
⎢⎢1 ⎢1
1 1
1 0
0 0
1 0
0 1
0 ⎥⎥ 0⎥
⎢
⎥
⎣0 1 1 0 0 0 1⎦
试解答以下问题：
（1）监督码元与信息码元之间的关系表达式；
（2）列出所有的许用码字； （3）汉明距离 d0 = ? （4）画出编码器电路；
（5）校正子的数学表达式；
（6）列出错误码位、错误图样和校正子输出之间关系的表格；
⎯初⎯等⎯变⎯换→⎢⎢⎢10
0 0
1 1
1 0
1 1
0 0
1 0
0 1
0 ⎥⎥ 0⎥
⎢
⎥
⎣0 1 1 1 0 0 0 0 1⎦
3
9-7 有如下所示两个生成矩阵 G1和G2 ，试说明它们能否生成相同的码字？
⎡1 0 1 1 0 0 0 ⎤
G1
=
⎢⎢0 ⎢0
1 0
01 10
1 1
0 1
0
⎥ ⎥
0⎥
⎢⎣0
0
010
1
1
⎥ ⎦
⎡1 0 0 0 1 0 1 ⎤
G2
=
⎢⎢0 ⎢0
1 0
0 1
0 0
1 1
1 1
1
⎥ ⎥
0⎥
⎢⎣0
0
010
1
1
⎥ ⎦
解：
经初等变换后，它们的标准阵相同，故能生成相同码字。
⎡1 0 0 0 1 0 1⎤
G1
=
G2
=
⎢⎢0 ⎢0
1 0
0 1
0 0
1 1
1 1
1 ⎥⎥ 0⎥
⎢ ⎣0
0
01
9-3 已知八个码字分别为 000000、001110、010101、011011、100011、101101、110110、 111000，试求其最小码距 d0 。
解：
已知8个码组为 000000, 001110, 010101, 011011, 100011, 101101, 110110, 111000 方法一 : 两两比较,可得最小汉明距离,这种方法在 码组大时较麻烦. 方法二 : 利用码组是否具有封闭性来判断.所谓封 闭性是指, 码组中任意两组异或运算的结果,仍然 属于该码组中的一个码, 这和实数运算具有封闭性 是类似的.具体方法是 :除全0码外,找出1的个数为最 少的码,该码中1的个数为最小汉明距离,故得d0 = 3.
⊕ e2
⎪⎩s1 = e5 ⊕ e4 ⊕ e0
（6）列出错误码位、错误图样和校正子输出之间关系的表格如下：
S4S3S2S1
e6e5e4e3e2e1e0
哪位出错
对应 4-16 译码 器输出
0000
0000000
无错
Z0
0001
0000001
b0
Z1
0010
0000010
b1
Z2
0100
0000100
b2
Z1
或
出错 指示
门
6
9-11 已知（7,4）循环码的生成多项式为 g(x) = x3 + x + 1 ，试解答以下问题： （1）设计出该循环码的编码电路； （2）设计出该循环码的译码电路，分以下步骤进行： ① 已知发送端发送的正确码字为 T = a6a5a4a3a2a1a0 = 0100111 ，若 a6 有错，利用它设 计译码器中的校正电路（即反馈移位寄存器的哪些输出应接非门）； ② 写出译码电路中反馈移位寄存器的状态方程； ③ 画出状态转换表； ④ 画出状态转换图； ⑤ 分析当码字中的 a5 、 a4 、 a3 、 a2 、 a1 、 a0 分别出错时，译码器能否正确纠错？ 从而论证译码器的设计是否正确。 解 根据图 9-7 所示的规则，得除法电路为例 9-5 图所示。 1、编码电路的设计结果如下图所示。
和 R1 的输出端口串入一个非门。
7级缓存器(延时器)
异或器
译码
T (x) T0
T1
T2
T3
T4
T5
T6
输出
a0
a1
a2
a3
a4
a5
a6
除法运算器
R1
余数最低位
R2
余数
R3
K
余数最高位
S 校正 信号输出
R1
R2
R3
Q1n
Q2 n
反馈移位寄存器及输出和S校正信号产生器
Q3 n
&
7
（2）根据上图，得反馈移位寄存器的状态方程为
K2
D0
D1
D2
输入信息码
2
输出码字
1 K1
2、译码电路的设计结果下如图所示。
（1）其中反馈移位寄存器的哪些输出端要加非门可由码元 a6 发生错误来确定。a6 出错，
码字变成 1100111，对应的码多项式为 T (x) = x6 + x5 + x 2 + x + 1，余多项式为 x2 → 100 ，在 R2
0
1 1⎥⎦
9-8 已知（7,4）循环码的生成多项式为 g(x) = x3 + x +1 。 （1）求生成矩阵和监督矩阵； （2）写出循环码的全部码字。
解：
(7,4)循环码, k = 4, r = 3, g(x) = x3 + x +1
G(
x)
k
−2
g
(
⎥ x)⎥
⎢⎢LLL
⎢⎣1 1 0 1 0 0 1⎥⎦
9-9 已 知 （ 15,7 ） 循 环 码 由 g(x) = x8 + x7 + x6 + x4 + 1 生 成 ， 问 接 收 码 字 为 T (x) = x14 + x5 + x + 1 ，是否需要重发？ 解：
4
已知(15,7)循环码, g(x) = x8 + x7 + x6 + x4 +1
0 1
1 1
0 1
1 0
0 0
0 1 0 ⎥⎥ 0 0 1⎥
⎢⎣1 0 1 0 1 1 1 0 1⎥⎦
⎡1 0 1 0 1 1 1 0 1⎤
⎯将 初⎯第 等⎯变4行换⎯移至⎯第1⎯行→⎢⎢⎢11
0 0
0 1
1 0
0 1
0 0
1 0
1 1
0 ⎥⎥ 0⎥
⎢⎣0 1 1 1 0 0 0 0 1⎥⎦
⎡1 1 1 0 0 1 0 0 0⎤
⎡1 0 0 0 1 0 1⎤
G
=
⎢⎢0 ⎢0
1 0
0 1
11 0 0 11
0
⎥ ⎥
⎯初⎯等⎯变⎯换→⎢⎢0
0⎥
⎢0
1 0
0 1
0 0
1 1
1 1
1 ⎥⎥ 0⎥
⇒
⎢
⎥
⎣0 0 0 1 0 1 1⎦
⎢
⎥
⎣0 0 0 1 0 1 1⎦
⎡1 1 1 0 1 0 0 ⎤ H = ⎢⎢0 1 1 1 0 1 0⎥⎥
（7）画出译码器电路。
解：
⎡1 0 1 1 0 0 0 ⎤
⎧a3 = a4 ⊕ a6
（1）由：
H
=
⎢⎢1 ⎢1
1 1
⎢
⎣0 1
1 0 1
0 0 0
1 0 0
0 1 0
0 ⎥⎥ 0⎥
⎥ 1⎦
，得：
⎪⎪⎪⎨aa12 ⎪⎩a0
= = =
a4 a5 a4
⊕ a5 ⊕ a6 ⊕ a5
⊕
a6
（2）所有的许用码字如下： a6a5a4 000 001 010 011 100 101 110 111
x4 + x2 + x +1 x6
x2 +1
x6 + x4 + x3 + x2
x4 + x3 + x2
x4 + x2 + x +1
x3 + x +1