导数及其应用.导数的应用最值

导数及其应用.导数的应用最值

题型四：函数的最值

【例1】 函数3()31f x x x =-+在闭区间[30]-，

上的最大值和最小值分别是（ ） A ．11-，

B ．117-，

C ．317-，

D ．919-，

【例2】 已知32()26f x x x a =-+（a 是常数）在[22]-，

上有最大值3，那么在[22]-，上的最小值是（ ）

A ．5-

B ．11-

C ．29-

D ．37-

【例3】

设函数1

()20)f x x x x

=+

< 则()f x 的最大值为 ．

【例4】 函数3()34([01])f x x x x =-∈，的最大值是（ ）

A ．1

B ．1

2

C ．0

D ．1-

【例5】 设函数1

()21(0)f x x x x

=+

-<，则()f x （ ） A ．有最大值 B ．有最小值 C ．是增函数 D ．是减函数

【例6】 对于函数()f x ，在使()f x M ≥恒成立的所有常数M 中，我们把M 中的最大值称为函

数()f x 的“下确界”，则函数22

1

()(1)x f x x +=+的下确界为 ．

【例7】 设函数()y f x =在()-∞+∞，

内有定义．对于给定的正数K ，定义函数()()()()K f x f x K

f x K f x K ?=?>?

≤，

取函数()2x f x x e -=--，若对任意的()x ∈-∞+∞，

，恒有()()K f x f x =，则（ ） A ．K 的最大值为2 B ．K 的最小值为2

C ．K 的最大值为1

D ．K 的最小值为1

【例8】 下列说法正确的是（ ）

A ．函数在闭区间上的极大值一定比极小值大

B ．函数在闭区间上的最大值一定是极大值

C ．满足()0f x '=的点可能不是函数的极值点

D ．函数()f x 在区间()a b ，

上一定存在最值

【例9】 函数42()25f x x x =-+在区间[22]-，

上的最大值是 ；最小值是 ．

【例10】 对于函数22e ,0

()1

2,02

x x x f x x x x ???

=?-+>??≤，有下列命题： ①过该函数图象上一点()()2,2f --的切线的斜率为2

2

e -

；

②函数()f x 的最小值为2

e

-；

③该函数图象与x 轴有4个交点；

④函数()f x 在(,1]-∞-上为减函数，在(0,1]上也为减函数． 其中正确命题的序号是 ．

【例11】 已知函数()e ln x f x a x =+的定义域是D ，关于函数()f x 给出下列命题：

① 对于任意()0,a ∈+∞，函数()f x 是D 上的减函数； ② 对于任意(),0a ∈-∞，函数()f x 存在最小值；

③ 存在()0,a ∈+∞，使得对于任意的x D ∈，都有()0f x >成立； ④ 存在(),0a ∈-∞，使得函数()f x 有两个零点． 其中正确命题的序号是_____．（写出所有正确命题的序号）．

【例12】 已知32()21f x x bx cx =+++在区间[]12-，

上是减函数，那么2b c +（ ） A ．有最大值152- B ．有最大值152 C ．有最小值15

2

- D ．有最小

值152

【例13】 求32()395f x x x x =--+在[44]-，

上的最大值和最小值．

【例14】 已知函数24

()f x x x

=+

． ⑴ 求函数()f x 的单调递减区间；

⑵ 当[14]x ∈，

时，求函数()f x 的最大值和最小值．

【例15】 已知函数32()6([12])f x ax ax b x =-+∈-，的最大值为3，最小值为29-，求a 、b 的值．

【例16】 已知函数321

()23

f x ax x =+，其中0a >．若()f x 在区间[11]-，

上的最小值为2-，求a 的值．

【例17】 已知0a ≥，函数2()(2)x f x x ax e =-，当x 为何值时，()f x 取得最小值？

【例18】 设函数3()f x ax bx c =++(0)a ≠为奇函数，其图象在点(1(1))f ，处

的切线与直线670x y --=垂直，导函数()f x '的最小值为12-．

⑴求a ，b ，c 的值；

⑵求函数()f x 的单调递增区间，并求函数()f x 在[13]-，

上的最大值和最小值．

【例19】 设a ∈R ，函数32()3f x ax x =-．

⑴若2x =是函数()y f x =的极值点，求a 的值；

⑵若函数()()()[02]g x f x f x x '=+∈，

，在0x =处取得最大值，求a 的取值范围． ⑶若函数()()()g x f x f x '=+在[02]x ∈，

时的最大值为1，求a 的值．

【例20】 已知函数()3239f x x x x a =-+++，

⑴ 求()f x 的单调递减区间；

⑵ 若()f x 在区间[]22-，上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．

【例21】 已知()ln()[0)f x ax x x e =--∈-，

，． ⑴ 当1a =-时，讨论()f x 的单调性、极值；

⑵ 是否存在实数a ，使()f x 的最小值是3，如果存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．

【例22】 设0a >，函数2()|ln 1|f x x a x =+-．

⑴ 当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；

⑵ 当3a =时，求函数()f x 的单调性；

⑶ 当4a =，[1)x ∈+∞，

时，求函数()f x 的最小值．

【例23】 设3x =是函数23()()e ()x f x x ax b x -=++∈R 的一个极值点．

⑴求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求()f x 的单调区间；

⑵设0a >，2

25()e 4x

g x a ??=+

??

?

．若存在12[04]ξξ∈，

，使得12()()1f g ξξ-<成立， 求a 的取值范围．

【例24】 已知函数247

()2x f x x

-=-，[01]x ∈，

． ⑴求()f x 的单调区间和值域；

⑵设1a ≥，函数32()32g x x a x a =--，[01]x ∈，．若对于任意1[01]x ∈，，总存在0[01]x ∈，，

使得01()()g x f x =成立，求a 的取值范围．

【例25】 已知函数()ln f x ax x =+，(1)x e ∈，

，且()f x 有极值． ⑴求实数a 的取值范围； ⑵求函数()f x 的值域；

⑶函数3()2g x x x =--，证明：1(1)x e ?∈，

，0(1)x e ?∈，，使得01()()g x f x =成立．

【例26】 已知函数()()1ln 1a

f x x ax a x

-=-+

-∈R ． ⑴ 当1

2

a ≤时，讨论()f x 的单调性； ⑵ 设()224g x x bx =-+．当1

4

a =

时，若对任意()102x ∈，，存在[]212x ∈，，使()()12f x g x ≥，求实数b 取值范围．

【例27】 设函数()()()ln ln 20f x x x ax a =+-+>

⑴当1a =时，求()f x 的单调区间；

⑵若()f x 在(]01，

上的最大值为1

2

，求a 的值．

【例28】 已知函数()ln a

f x x x

=+

． ⑴当0a <时，求函数()f x 的单调区间；

⑵若函数()f x 在[]1,e 上的最小值是3

,2

求a 的值．

【例29】 已知a 是实数，函数()()2f x x x a =-．

⑴若(1)3f '=，求a 的值及曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线方程； ⑵求()f x 的极值．

⑶求()f x 在区间[]02，上的最大值．

【例30】 已知函数()2

1ln f x x a x x

=-+-，0a >．

⑴ 讨论()f x 的单调性；

⑵ 设3a =，求()f x 在区间21e ????，上的值域，其中e=2.71828 是自然对数的底数．

【例31】 已知a 为实数，2()(4)()f x x x a =--．

⑴求导数()f x '；

⑵若(1)0f '-=，求()f x 在[22]-，

上的最大值和最小值； ⑶若()f x 在(2)-∞-，

和(2)+∞，上都是递增的，求a 的取值范围．

【例32】 已知函数32()2f x x ax x =+-+，()a R ∈

⑴ 若()f x 在()01，上是减函数，求a 的最大值；

⑵ 若()f x 的单调递减区间是1

13

??

- ??

?，，求函数()y f x =图像过点()11，的切线与两坐标轴围成图形的面积．

【例33】 设曲线e (0)x y x -=≥在点(e )t M t -，处的切线l 与x 轴，y 轴所围成的三角形的面积为

()S t ，

⑴求切线l 的方程；⑵求()S t 的最大值．

【例34】 已知函数323()2

f x x mx n =-+，12m <<，

⑴ 若()f x 在区间[11]-，

上的最大值为1，最小值为2-，求m 、n 的值； ⑵ 在⑴的条件下，求经过点(2, 1)P 且与曲线()f x 相切的直线l 的方程； ⑶ 设函数()f x 的导函数为()g x ，函数2()31()6

x

g x x F x e ++=?，试判断函数()F x 的极值点个数，并求出相应实数m 的范围．

【例35】 在实数集R 上定义运算(1)x y x a y ??=+-：（

），若()2

f

x x =

，()g x x =，若

()()()F x f x g x =

?．

⑴求()F x 的解析式；

⑵若()F x 在R 上是减函数，求实数a 的取值范围；

⑶若53

a =，()F x 的曲线上是否存在两点，使得过这两点的切线互相垂直，若存在，求出切线方程；若不存在，说明理由．

【例36】 已知函数()2

()ln 12

ax f x x a x =+-+，a ∈R ，且0a ≥．

⑴若(2)1f '=，求a 的值；

⑵当0a =时，求函数()f x 的最大值； ⑶求函数()f x 的单调递增区间．

【例37】 已知函数3221

()(1)(,)3

f x x ax a x b a b =-+-+∈R

⑴若1x =为()f x 的极值点，求a 的值；

⑵若()y f x =的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为30x y +-=， 求()f x 在区间[2,4]-上的最大值；

⑶当0a ≠时，若()f x 在区间(1,1)-上不单调，求a 的取值范围．

【例38】 已知函数3221

()(1)(,)3

f x x ax a x b a b =-+-+∈R

⑴若1x =为()f x 的极值点，求a 的值；

⑵若()y f x =的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为30x y +-=， ①求()f x 在区间[2,4]-上的最大值；

②求函数()[()(2)]()x G x f x m x m e m -'=+++∈R 的单调区间．

【例39】 已知函数()1e x a f x x ??

=+ ??

?，其中0a >．

⑴求函数()f x 的零点；

⑵讨论()y f x =在区间(,0)-∞上的单调性；

⑶在区间,2a

??

-∞- ??

?上，()f x 是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请

说明理由．

【例40】 已知函数2()()e x f x x mx m =-+，其中m ∈R ．

⑴若函数()f x 存在零点，求实数m 的取值范围；

⑵当0m <时，求函数()f x 的单调区间，并确定此时()f x 是否存在最小值，如果存在，求出最小值；如果不存在，请说明理由．

【例41】 已知函数()ln f x x =-，(0)x e ∈，．曲线()y f x =在点(())t f t ，处的切线与x 轴和y 轴分别

交于A 、B 两点，设O 为坐标原点，求AOB ?面积的最大值．

【例42】 已知函数(

)f x =

⑴写出函数()f x 的定义域，并求函数()f x 的单调区间；

⑵设过曲线()y f x =上的点P 的切线l 与x 轴、y 轴所围成的三角形的面积为S ，求S 的最小值，并求此时点P 的坐标．

【例43】 函数2()1(00)f x ax a x =->>，，该函数图象在点P 2

00(1)x ax -，处的切线为l ，设切线l 分

别交x 轴和y 轴于两点M 和N ．

⑴将MON ?（O 为坐标原点）的面积S 表示为0x 的函数0()S x ；

⑵若1(0)M x ，，

函数()y f x =的图象与x 轴交于点(0)T t ，，则1x 与t 的大小关系如何？证明你的结论；

⑶若在01x =处，0()S x 取得最小值，求此时a 的值及0()S x 的最小值．

【例44】 如图，曲线段OMB 是函数2()(06)f x x x =≤≤的图象，BA x ⊥轴于点A ，曲线段OMB 上

一点2()M t t ，处的切线PQ 交x 轴于点P ，交线段AB 于点Q ，

⑴若t 已知，求切线PQ 的方程；⑵求QAP ?的面积的最大值．