相似三角形的性质
相似三角形的性质
相似三角形的性质一、引言相似三角形是几何学中的重要概念，广泛运用于日常生活和科学技术领域。
相似三角形的性质揭示了三角形之间的一种特殊关系，即它们的形状相同但大小不同。
本文将对相似三角形的性质进行详细阐述，以便更好地理解这一几何概念。
二、相似三角形的定义1.∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（对应角相等）2.AB/DE=BC/EF=AC/DF（对应边成比例）那么，三角形ABC与三角形DEF是相似的，记作△ABC≌△DEF。
三、相似三角形的性质1.对应角相等相似三角形的一个基本性质是对应角相等。
这意味着如果两个三角形相似，那么它们的每个角都对应相等。
例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。
2.对应边成比例相似三角形的另一个基本性质是对应边成比例。
这意味着相似三角形的每条边都与另一三角形的对应边成相同的比例。
例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有AB/DE=BC/EF=AC/DF。
3.对应高的比相等相似三角形的对应高（从顶点到对边的垂线）的比相等。
例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有h₁/h₂=k，其中h₁和h₂分别是△ABC和△DEF的对应高，k是相似比。
4.对应中线的比相等相似三角形的对应中线（连接顶点和对边中点的线段）的比相等。
例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有m₁/m₂=k，其中m₁和m₂分别是△ABC和△DEF的对应中线，k是相似比。
5.对应角平分线的比相等相似三角形的对应角平分线（将顶点角平分的线段）的比相等。
例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有s₁/s₂=k，其中s₁和s₂分别是△ABC和△DEF的对应角平分线，k是相似比。
6.面积比等于相似比的平方相似三角形的面积比等于相似比的平方。
例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有S₁/S₂=k²，其中S₁和S₂分别是△ABC和△DEF的面积，k是相似比。
四、相似三角形的判定方法1.AA（角角）相似判定法如果两个三角形有两个角分别相等，那么这两个三角形相似。
三角形的相似性质与判定
三角形的相似性质与判定三角形是平面几何中的基本图形，具有相似性质的三角形在数学和实际应用中起着重要的作用。
本文将探讨三角形的相似性质以及如何判定两个三角形是否相似。
一、相似三角形的定义与性质相似三角形是指具有相同的形状但大小不一的三角形。
它们的边长之比相等，并且对应角度相等。
考虑两个三角形ABC和DEF，若存在一个比值k使得AB/DE=BC/EF=AC/DF=k，则称这两个三角形相似。
相似三角形有以下性质：1. 对应角度相等：∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
2. 对应边长比例相等：AB/DE = BC/EF = AC/DF = k。
3. 对应边长比例相等的性质也可以表达为：AB/BC = DE/EF =AC/DF = 1/k。
二、判定三角形相似的方法1. 三边对应角相等法（SAS法）：如果两个三角形的两条边的比值相等，并且这两个边夹角相等，那么这两个三角形相似。
根据这个方法，可以判定两个三角形是否相似，但需要注意两个三角形的顶点要对应一致。
2. 角-角-角（AAA）法：如果两个三角形的三个角度分别相等，那么这两个三角形相似。
由于一个三角形的内角和为180度，所以只需知道两个角度相等就可以推断出第三个角度相等。
但是需要注意，AAA法只能说明两个三角形是相似的可能性，还需要验证其他条件。
3. 角-边-角（ASA）法：如果两个三角形的一对角度相等，并且夹在两条相等边之间的夹角也相等，那么这两个三角形相似。
4. 边-角-边（SAS）法：如果两个三角形的一对边比值相等，并且两条边之间夹角相等，那么这两个三角形相似。
三、相似三角形的应用1. 比例定理：相似三角形的边长比值等于对应边上的线段比值。
例如，若三角形ABC与三角形DEF相似，则有AB/DE = BC/EF =AC/DF。
2. 测量不可达长度：当实际中无法直接测量到物体的长度时，可以利用相似三角形的性质来计算。
通过测量已知长度的物体与其相似三角形的对应边长，再利用比例关系计算出不可达长度。
相似三角形的性质
相似三角形的性质相似三角形是指两个或更多个三角形的对应角相等，并且对应边的比值相等的情况。
在几何学中，相似三角形具有一些重要的性质和定理。
本文将介绍相似三角形的性质，并探讨与之相关的定理。
一、1. 对应角相等：当两个三角形的对应角分别相等时，它们是相似三角形。
对应角是指在两个三角形中，两个相对的角。
2. 对应边比值相等：相似三角形的边长之比等于它们的对应边长之比。
即若两个三角形ABC和DEF是相似三角形，那么有AB/DE=BC/EF=AC/DF。
3. 角相等：若两个三角形的一个角分别相等，并且两个边的比值相等，那么这两个三角形也是相似三角形。
4. 边长比值：在相似三角形中，对应边的比值等于任意两边的比值。
例如，在相似三角形ABC和DEF中，有AB/DE=BC/EF=AC/DF，同时也有AB/BC=DE/EF=AC/DF。
二、相似三角形的重要定理1. AA相似定理：如果两个三角形的两个角分别相等，那么这两个三角形是相似的。
具体而言，如果∠A=∠D，且∠B=∠E，则三角形ABC与三角形DEF是相似的。
2. SAS相似定理：如果两个三角形的一对对边成比例，且这两条对边之间的夹角相等，则这两个三角形是相似的。
具体而言，如果AB/DE=BC/EF且∠B=∠E，则三角形ABC与三角形DEF是相似的。
3. SSS相似定理：如果两个三角形的对边比值相等，则这两个三角形是相似的。
具体而言，如果AB/DE=BC/EF=AC/DF，则三角形ABC 与三角形DEF是相似的。
三、使用相似三角形的方法和应用1. 比例求解：根据相似三角形的性质，我们可以利用已知条件和未知数来求解未知边的长度或者未知角的度数。
通过建立各边之间的比例关系，可以使用正比例求解法来解决各种几何问题。
2. 测量不可达距离：在实际应用中，有时我们无法直接测量两点之间的距离，但可以利用相似三角形的性质来间接求解。
通过测量一个已知距离和相关角度，可以建立相似三角形的比例关系，从而求解不可达距离。
相似三角形的基本定义与性质
相似三角形的基本定义与性质相似三角形是中学数学中一个非常重要的概念。
在几何学中，相似三角形是指具有相同形状但不一定相等的三角形。
本文将介绍相似三角形的基本定义与性质，以帮助读者更好地理解和运用相似三角形的知识。
1. 基本定义：相似三角形的定义是：两个三角形的对应角度相等，对应边线之比相等。
换句话说，如果两个三角形的三个角度分别相等，且三边之比相等，那么它们就是相似三角形。
例如，若三角形ABC和三角形DEF的对应角度分别是∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，且边线之比为AB/DE=BC/EF=AC/DF，那么三角形ABC与三角形DEF就是相似三角形。
2. 性质一：相似三角形的对应边线比例相等如果两个三角形相似，那么它们的对应边线之比相等。
也就是说，如果三角形ABC与三角形DEF相似，则有AB/DE=BC/EF=AC/DF。
这一性质在实际应用中非常有用。
例如，当我们在地图上测量两个城市之间的距离时，可以利用相似三角形的边线比例来计算实际距离。
3. 性质二：相似三角形的对应角度相等如果两个三角形相似，那么它们的对应角度相等。
也就是说，如果三角形ABC与三角形DEF相似，则有∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。
这一性质使我们能够根据已知的相似三角形，推导出其他角度的大小关系。
例如，如果我们已知两个三角形相似，且其中一个角度的大小，就可以通过对应角度相等的性质，计算出其他角度的值。
4. 性质三：相似三角形的边线比例等于对应边线的平方如果两个三角形相似，那么它们的边线比例等于对应边线的平方。
也就是说，如果三角形ABC与三角形DEF相似，则有AB/DE=BC/EF=AC/DF=(AB/DE)^2=(BC/EF)^2=(AC/DF)^2。
这一性质可以应用于解决各种问题。
例如，当我们已知三角形的某一边线比例，可以利用相似三角形的边线比例等于对应边线的平方的性质，计算其他边线的比例。
综上所述，相似三角形的基本定义与性质已经介绍完毕。
相似三角形的性质
相似三角形的性质第一部分 知识梳理1. 相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应边之比称为它们的相似比：①相似三角形的对应中线、对应高线、对应角平分线等对应线段之比等于相似比； ②相似三角形的周长之比等于相似比；③相似三角形的面积比等于相似比的平方。
2. 利用相似三角形的性质解决实际问题。
3. 应用相似三角形解决问题时，要重视观察，善于分析图形，抓住图形特征，综合运用三角形、四边形等知识发现等角和比例线段。
第二部分 精讲点拨考点1.相似三角形的性质【例1】 如图，已知△ADE ∽△ABC ，AD=8，BD=4，BC=15，EC=7（1）求DE 、AE 的长；（2）你还能发现哪些线段成比例．变式1 两个等腰直角三角形斜边的比是1：2，那么它们对应的面积比是（ ）A ．1：2B ．1：2 B ．1：4 D ．1：1变式2 将一个五边形改成与它相似的五边形，若面积扩大为原来的9倍，则周长扩大为原来的( )A.9倍B.3倍C.81倍D.18倍 变式3 已知△ABC ∽△A 1B 1C 1，，11AB A B =23，△ABC 的周长为20cm ，面积为40cm 2． 求（1）△A 1B 1C 1的周长；（2）△A 1B 1C 1的面积．考点2. 应用相似三角形证明比例式和乘积式【例2】 △ABC 中，在AC 上截取AD ，在CB 延长线上截取BE ，使AD=BE ，求证：DF •AC=BC •FE变式1 已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=900，M 是BC 的中点，DM ⊥BC 于点E ，交BA 的延长线于点D 。
小结：BCA D E求证：（1）MA 2=MD •ME ；（2）MDMEAD AE =22变式2 △ABC 中，AD 为中线，CF 为任一直线，CF 交AD 于E ，交AB 于F ，求证：AE ：ED=2AF ：FB 。
考点3. 用相似三角形证明两角相等和线段相等【例3】 已知：如图E 、F 分别是正方形ABCD 的边AB 和AD 上的点，且31==AD AF AB EB 。
相似三角形的性质
数学八年级20．相似三角形的性质相似三角形的性质有： 1．对应角相等； 2．对应边成比例；3．对应线段（中线、高、角平分线）之比等于相似比； 4．周长之比等于相似比；5．面积之比等于相似比的平方。
性质（3）主要应用于三角形内接特殊平行四边形的问题，性质（5）进一步丰富了面积有关知识，拓展了我们研究面积问题的视角。
例1．如图，已知□ABCD 中，过点B 的直线顺次与AC 、AD 及CD的延长线相交于点E 、F 、G ，若BE=5，EF=2，则FG 的长是___________.解题思路 由相似三角形建立含FG 的关系式，注意中间比的代换。
例2．如图，已知△ABC 中，DE//FG//BC ，且AD ：DF ：FB=1：2：3， 则SADE：S DFGE 四边形：S FBCG 四边形=（ ）A ．1：9：36B ．1：4：9C ．1：8：27D ．1：8：36解题思路 △ADE 、△AFG 都与△ABC 相似，用△ABC 面积的 代数式分别表示△ADE 、四边形DFGE 、四边形FBCG 的面积。
例3．如图，在△ABC 的内部选取一点P ，过P 点作三条分别与△ABC 的三边平行的直线，这样所得的三个三角形t 1、t 2、t 3 的面积分别为4、9和49，，求△ABC 的面积。
解题思路 由于问题条件中没有具体的线段长，所以不能用面积公式求出有关图形的面积，可考虑应用相似三角形的性质。
例4．在一块锐角三角形的余料上，加工成正方形零件，使正方形的四个顶点都在三角形边上，若三角形的三边长分别为a 、b 、c ，且a ＞b ＞c ，问正方形的两个顶点放在哪条边上可使加工出来的正方形零件面积最大。
解题思路 正方形的两个顶点放在三角形边上有三种情形，把每一种情形的正方形的边长用a 、b 、c 的代数式表示出来。
例5．如图，△PQR 和△P Q R '''是两个全等的等边三角形，它们的重叠部分是一个六边形ABCDEF ，设这个六边形的边长为：AB=a 1，BC=b 1，CD=a 2，DE=b 2，EF=a 3，FA=b 3，求证：222222123123a a ab b b ++=++解题思路 本例是一个颇为复杂的非常规性证明题，显然不能用勾股定理证明，从已知易得相似三角形，由相似三角形的性质寻找解题的突破口。
三角形相似的性质
腾大教育教师辅导教案授课时间：学员姓名 陈圣邦 年 级 初 二 辅导科目 数学 学科教师卢兴伟班 主 任季甜甜课 时 数3教学课题三角形相似的条件教 学 目 标 1 相似三角形的性质 2.位似图形教 学 重 难 点教学内容 课堂收获一 相似三角形的性质：1.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比（相似三角形的对应边的比，叫做相似比）。
2.相似三角形周长的比等于相似比。
3.相似三角形面积的比等于相似比的平方。
例1. （）如图，在中，，，，求。
1348∆∆∆ABC DE BC AD BD S S ABC ADE //==（）如图，在中，正方形的两个顶点、在上，另两个顶点2∆ABC EFGH E F BC G 、H 分别在AC 、AB 上，BC=15cm ，BC 边上的高AD=10cm ，求正方形的面积。
AH M GB E D F C1解：（）11 DE BC B //∴∠=∠∠=∠∴A AADE ABC ∆∆~∴=+=+=A D A BA D A DB DB D B D B D3334∴=∴=∴=S S S S A D E A BCA D E A D E ∆∆∆∆()3448916272（2）设正方形边长为x则H G H E M D G F EF xA M A D M D x======-=-10正方形HEFG HG BC ∴// ∴∠=∠1B∠=∠∴HAG BACAHG ABC ∆∆~∴=A M A D H G B C （相似三角形对应高的比等于相似比）∴-=101015xx15101015015101510150251506()-=-=--=--=-=x x x x x x x x cm （）S cm 正方形（）==63622图形的放大与缩小如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比.例1 下列说法正确的是（）A.两个图形如果是位似图形，那么这两个图形一定全等；B.两个图形如果是位似图形，那么这两个图形不一定相似；C.两个图形如果是相似图形，那么这两个图形一定位似；D.两个图形如果是位似图形，那么这两个图形一定相似。
相似三角形的性质(经典全面)
一、相似的有关概念1．相似形具有相同形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状相同，大小不一定相同．相似图形之间的互相变换称为相似变换． 2．相似图形的特性两个相似图形的对应边成比例，对应角相等． 3．相似比两个相似图形的对应角相等，对应边成比例．二、相似三角形的概念1．相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形．如图，ABC △与A B C '''△相似，记作ABC A B C '''△∽△，符号∽读作“相似于”．A 'B 'C 'CB A2．相似比相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”．三、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等如图，ABC △与A B C '''△相似，则有A A B B C C '''∠=∠∠=∠∠=∠，，．A 'B 'C 'CB A2．相似三角形的对应边成比例 如图，ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC ACk A B B C A C ===''''''（k 为相似比）． 相似三角形的性质及判定A 'B 'C 'CB A3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比．如图1，ABC △与A B C '''△相似，AM 是ABC △中BC 边上的中线，A M ''是A B C '''△中B C ''边上的中线，则有AB BC AC AMk A B B C A C A M ====''''''''（k 为相似比）． M 'MA 'B 'C 'C BA图1如图2，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AHk A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）． H 'H AB C C 'B 'A '图2如图3，ABC △与A B C '''△相似，AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平分线，则有AB BC AC ADk A B B C A C A D ====''''''''（k 为相似比）．D 'D A 'B C 'C B A图34．相似三角形周长的比等于相似比． 如图4，ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC ACk A B B C A C ===''''''（k 为相似比）．应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC ACk A B B C A C A B B C A C ++====''''''''''''++．A 'B 'C 'CB A图45．相似三角形面积的比等于相似比的平方．如图5，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AHk A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）．进而可得21212ABC A B C BC AH S BC AH k S B C A H B C A H '''⋅⋅==⋅=''''''''⋅⋅△△．H 'H AB C C 'B 'A '图5四、相似三角形的判定1．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 2．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似．3．如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．4．如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似．可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似．5．如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．6．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）7．如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似．五、相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法”． 1．横向定型法欲证AB BCBE BF=，横向观察，比例式中的分子的两条线段是AB 和BC ，三个字母A B C ，，恰为ABC △的顶点；分母的两条线段是BE 和BF ，三个字母B E F ，，恰为BEF △的三个顶点．因此只需证2．纵向定型法欲证AB DEBC EF=，纵向观察，比例式左边的比AB 和BC 中的三个字母A B C ，，恰为ABC △的顶点；右边的比两条线段是DE 和EF 中的三个字母D E F ，，恰为D E F △的三个顶点．因此只需证ABC DEF △∽△． 3．中间比法由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线，等比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形．这种方法就是等量代换法．在证明比例式时，常用到中间比．比例中项式的证明，通常涉及到与公共边有关的相似问题。
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的对应高AD和A'D'． 则∠ADB =∠A'D'B'. ∵△ABC∽△A'B'C' ∴∠B＝∠B'
∴△ABD∽△A'B'D'
AD AB k A' D' A' B'
BD
A' B' D'
C
C'
通过前面的思考、探索、推理，我们得到 相似三角形有如下性质；
相似三角形对应高的比等于相似比。
三、例题讲解
例：如图，已知AB=4，A‘B' =8，AC=3， A‘C' =6,∠A=∠A′,求C'D'
A′
D′
Байду номын сангаас
B′
C′
A D
B
C
四、例题讲解
▪ 1.已知两个三角形的相似比是1：5，则这 两个三角形对应高的比是（ ）。
▪ 2.如图，已知△ABC∽ △A'B'C',且AD 、 BE是△ABC的高， A'D' 、B‘E'是△ A'B'C' 的高。求证：AD· B‘E' = A'D' ·BE
高、角平分线、中线的长度，周长、面积等
高
角平分线
中线
探相究似三1--角-高形线对应高的比等于相似比.
性质1：相似三角形对应高的比等于相似比
如果两个三角形相似，那么它们对应高的比等于相似比。
已知：如图，△ABC∽△A‘B’C‘，相似比为k。
求证：它们对应高等于相似比。
A
如图，分别作△ABC和△A'B'C'
一、温故知新
1. 相似三角形的判定方法：
1.定义（三边对应成比例，三角相等） 2.平行 3.三边成比例 4.两边成比例且夹角相等 5.两角分别相等 6.斜边和一条直角边成比例 2.相似比
3. 相似三角形的性质：
对应角相等， 对应边成比例 相似三角形还有哪些性质？
二、学习新知
？ 思考
三角形中，除了角度和边长外，还有哪些 几何量？
1、相似三角形的性质 ①相似三角形的对应角相等,对应边成比例. ②相似三角形对应高的比等于相似比.
2. 相似三角形的判定方法：
1.定义（三边对应成比例，三角相等） 2.平行 3.三边成比例 4.两边成比例且夹角相等 5.两角分别相等 6.斜边和一条直角边成比例