平移型将军饮马问题解法大全
将军饮马问题的11个模型及例题
将军饮马问题的11个模型及例题将军饮马问题是一个经典的逻辑问题，涉及到将军如何用有限数量的马和酒到达目的地。
本文将介绍将军饮马问题的11个模型及相应的例题。
1. 直线模型将军与目的地之间没有障碍物，可以直线前进。
此时，将军只需将马拉到目的地即可。
例题1：将军与目的地之间距离为10公里，马的速度为每小时5公里，将军能否在2小时内到达目的地？2. 单个障碍物模型在将军与目的地之间存在一个障碍物，将军可以绕过该障碍物。
例题2：将军与目的地之间距离为15公里，马的速度为每小时4公里，障碍物位于距离将军起点5公里处，将军能否在3小时内到达目的地？3. 多个障碍物模型在将军与目的地之间存在多个障碍物，将军需要逐一绕过这些障碍物。
例题3：将军与目的地之间距离为20公里，马的速度为每小时6公里，障碍物位于距离将军起点分别为5公里、10公里和15公里的位置，将军能否在4小时内到达目的地？4. 跳跃模型将军可以让马跳过障碍物，从而直接到达目的地。
例题4：将军与目的地之间距离为12公里，马的速度为每小时8公里，将军在距离起点6公里处设置一个障碍物，将军能否在2小时内到达目的地？5. 限时模型将军需要在规定的时间内到达目的地。
例题5：将军与目的地之间距离为30公里，马的速度为每小时10公里，将军需要在3小时内到达目的地，是否可能？6. 守备模型目标地点有守备军，将军需要巧妙规避守备军。
例题6：将军与目的地之间距离为25公里，马的速度为每小时7公里，目的地有一支守备军位于距离目标地点10公里处，将军能否在4小时内到达目的地？7. 短平快模型将军不借助马匹，直接徒步走到目的地。
例题7：将军与目的地之间距离为8公里，将军的步行速度为每小时2公里，将军能否在4小时内到达目的地？8. 时间窗模型将军只能在规定时间范围内到达目的地。
例题8：将军与目的地之间距离为18公里，马的速度为每小时6公里，将军需要在3小时到4小时之间到达目的地，是否可能？9. 兵变模型将军需要利用敌军马匹达到目的地。
专题03 将军饮马求最小值2-平移(解析版)
中考数学压轴题--二次函数第3节 将军饮马求最值2--平移内容导航方法点拨已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。
(原理用平移知识解)（1）点A 、B 在直线m 两侧：过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长，连接BC,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。
（2）点A 、B 在直线m 同侧：例题演练A B E Q P B Q P Q P AC Q P例1．如图1，抛物线y＝x与x轴交于点A，B（A在B左边），与y轴交于点C，连AC，点D与点C关于抛物线的对称轴对称，过点D作DE∥AC交抛物线于点E，交y轴于点P．（1）点F是直线AC下方抛物线上点一动点，连DF交AC于点G，连EG，当△EFG的面积的最大值时，直线DE上有一动点M，直线AC上有一动点N，满足MN⊥AC，连GM，NO，求GM+MN+NO的最小值；【解答】解：（1）如图1中，作FH∥y轴交DE于H．设F（m，m2+m+2）．由题意可知A（﹣6，0），B（﹣2，0），C（0，2），∵抛物线的对称轴x＝﹣4，C，D关于直线x＝﹣4对称，∴D（﹣8，2），∴直线AC的解析式为y＝x+2，∵DE∥AC，∴直线DE的解析式为y＝x+，由，解得或，∴E（2，），H（m，m+），∵S△DEF＝S△DEG+S△EFG，△DEG的面积为定值，∴△DEF的面积最大时，△EFG的面积最大，∵FH的值最大时，△DEF的面积最大，∴FH的值最大时，△EFG的面积最大，∵FH＝﹣m2﹣m+，∵a＜0．开口向下，∴x＝﹣3时，FH的值最大，此时F（﹣3，﹣）．如图2中，作点G关于DE的对称点T，TG交DE于R，连接OR交AC于N，作NM⊥DE于M，连接TM，GM，此时GM+MN+ON的值最小．∵直线DF的解析式为：y＝﹣x﹣2，由，解得，∴G（﹣，），∵TG⊥AC，∴直线GR的解析式为y＝﹣x﹣，由，解得，∴R（﹣，），∴RG＝4，OR＝，∵GM＝TM＝RN，∴GM+MN+ON＝RN+ON+RG＝RG+ON＝4+．∴GM+MN+NO的最小值为4+．练1.1如图1，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，连接BC（1）点G是直线BC上方抛物线上一动点（不与B、C重合），过点G作y轴的平行线交直线BC 于点E，作GF⊥BC于点F，点M、N是线段BC上两个动点，且MN＝EF，连接DM、GN．当△GEF的周长最大时，求DM+MN+NG的最小值；【解答】解：（1）y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣3）（x+1）＝﹣（x﹣1）2+4∴抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）、点B（3，0），与y轴交于点C（0，3），顶点D（1，4），∴直线CB解析式：y＝﹣x+3，∠BCO＝45°∵GE∥y轴，GF⊥BC∴∠GEF＝∠BCO＝45°，∠GFE＝90°∴△GEF是等腰直角三角形，EF＝FG＝GE∴C△GEF＝EF+FG+GE＝（+1）GE设点G（a，﹣a2+2a+3），则点E（a，﹣a+3），其中0＜a＜3∴GE＝﹣a2+2a+3﹣（﹣a+3）＝﹣a2+3a＝﹣（a﹣）2+∴a＝时，GE有最大值为∴△GEF的周长最大时，G（，），E（，），∴MN＝EF＝，E点可看作点F向右平移个单位、向下平移个单位如图1，作点D关于直线BC的对称点D1（﹣1，2），过N作ND2∥D1M且ND2＝D1M∴DM＝D1M＝ND2，D2（﹣1+，2﹣）即D2（，）∴DM+MN+NG＝MN+ND2+NG∴当D2、N、G在同一直线上时，ND2+NG＝D2G为最小值∵D2G＝∴DM+MN+NG最小值为练1.2如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l，点D（﹣4，n）在抛物线上．（1）求直线CD的解析式；（2）E为直线CD下方抛物线上的一点，连接EC，ED，当△ECD的面积最大时，在直线l上取一点M，过M作y轴的垂线，垂足为点N，连接EM，BN，若EM＝BN时，求EM+MN+BN的值．【解答】解：（1）由题意C（0，﹣3），D（﹣4，5），设直线CD的解析式为y＝kx+b，则有解得，∴直线CD的解析式为y＝﹣2x﹣3．（2）如图1中，过点E作EG∥y轴交直线CD于G．设E（m，m2+2m﹣3）．则G（m，﹣2m﹣3），GE＝﹣m2﹣4m．∴S△EDC＝•EG•|D x|＝（﹣m2﹣4m）×4＝﹣2（m+2）2+8，∵﹣2＜0，∴m＝﹣2时，△DEC的面积最大，此时E（﹣2，﹣3），∵C（0，﹣3），∴EC∥AB，设CE交对称轴于H，∵B（1，0），∴EH＝OB＝1，∵EM＝BN，∴Rt△EHM≌Rt△BON，∴MH＝ON＝OC＝，∴EM＝BN＝＝，∴EM+MN+BN＝1+．练1.3如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣x+b与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，OB＝1，∠OBC＝60°．（1）如图1，求直线BC的解析式；（2）如图1，线段AC上方抛物线上有一动点P，PD⊥x轴于点H，交线段AC于点D，直线BG ∥AC，交抛物线于点G，点F是直线BC上一动点，FE∥BC交AC于点E，点Q是点A关于直线BG的对称点，连接PE、QF．当线段PD取最大值时，求PE+EF+QF的最小值及点E的坐标；【解答】解：（1）在△BOC中，OB＝1，∠OBC＝60°∴BC＝2，OC＝．∴抛物线解析式为：；令y＝0，得解之得，x1﹣3，x2＝1∴A（﹣3，0），B（1，0），C（0，）设直线BC解析式为：y＝kx+b，经过B（1，0），C（0，）∴，∴，∴；（2）设直线AC解析式为：y＝k1x+b1，经过A（﹣3，0），B（1，0），得设P点坐标为，则D点坐标为∴PD＝═当时，PD有最大值．∴P点坐标为；在R△AOC中，可以求出AC＝2，AB＝4∴AC2+BC2＝12+4＝16＝AB2由勾股定理逆定理得，可得∠ACB＝90°，可得∠CAB＝30°＝∠ABG，由对称可得，AB＝BQ＝4，∠ABQ＝30°+30°＝60°，∴△ABQ是等边三角形．过点Q作QM⊥x轴于点M．∴MB＝4，且OB＝1∴OM＝1，QM＝2∴Q点坐标为（﹣1，﹣2）；由题意得，四边形BCEF是矩形，可得EF＝BC＝2．将Q点沿射线EF方向平移2个单位（向左平移1个单位，向上平移个单位），可得Q′的坐标为（﹣2，﹣），连接P Q′交AC于点E，点E即为所求．P Q′＝PE+EF+QF最小值＝P Q′+EF＝+2，直线P Q的解析式为：联立，解得：x＝﹣，故E点坐标；练1.4如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x﹣与x轴交于A、B两点（点A 在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，对称轴与x轴交于点E，直线CE交抛物线于点F （异于点C），直线CD交x轴交于点G．（1）如图1，求直线CE的解析式和顶点D的坐标；（2）如图1，点P为直线CF上方抛物线上一点，连接PC、PF，当△PCF的面积最大时，点M 是过P垂直于x轴的直线l上一点，点N是抛物线对称轴上一点，求FM+MN+NO的最小值；【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+2x﹣与y轴交于点C，∴C（0，﹣），∵y＝﹣x2+2x﹣＝﹣（x﹣2）2+，∴顶点D（2，），对称轴x＝2，∴E（2，0），设CE解析式y＝kx+b，∴，解得：，∴直线CE的解析式：y＝x﹣；（2）∵直线CE交抛物线于点F（异于点C），∴x﹣＝﹣（x﹣2）2+，∴x1＝0，x2＝3，∴F（3，），过P作PH⊥x轴，交CE于H，如图1，设P（a，﹣a2+2a﹣）则H（a，a﹣），∴PH＝﹣a2+2a﹣﹣（a﹣），＝﹣a2+，∵S△CFP＝PH×3＝﹣a2+，∴当a＝时，S△CFP面积最大，如图2，作点M关于对称轴的对称点M'，过F点作FG∥MM'，FG＝1，即G（4，），∵M的横坐标为，且M与M'关于对称轴x＝2对称，∴M'的横坐标为，∴MM'＝1，∴MM'＝FG，且FG∥MM'，∴FGM'M是平行四边形，∴FM＝GM'，∴FM+MN+ON＝GM'+NM'+ON，根据两点之间线段最短可知：当O，N，M'，G四点共线时，GM'+NM'+ON的值最短，即FM+MN+ON 的值最小，∴FM+MN+ON＝OG＝＝；练1.5如图所示，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别为A（﹣2，0），O（0，0），B（0，4），把△AOB绕点O按顺时针方向旋转90°，得到△COD．（1）求C、D两点的坐标；（2）求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上取两点E、F（点E在点F的上方），且EF＝1，使四边形ACEF 的周长最小，求出E、F两点的坐标．【解答】解：（1）由旋转的性质可知：OC＝OA＝2，OD＝OB＝4∴C点的坐标是（0，2），D点的坐标是（4，0），（2）设所求抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，由题意，得，解得，b＝1，c＝4，∴所求抛物线的解析式为；（3）只需求AF+CE最短，抛物线的对称轴为x＝1，将点A向上平移至A1（﹣2，1），则AF＝A1E，作A1关于对称轴x＝1的对称点A2（4，1），连接A2C，A2C与对称轴交于点E，E为所求，可求得A2C的解析式为，当x＝1时，，∴点E的坐标为，点F的坐标为．练1.6如图1，已知抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，D为顶点．（1）求直线AC的解析式和顶点D的坐标；（2）已知E（0，），点P是直线AC下方的抛物线上一动点，作PR⊥AC于点R，当PR最大时，有一条长为的线段MN（点M在点N的左侧）在直线BE上移动，首尾顺次连接A、M、N、P构成四边形AMNP，请求出四边形AMNP的周长最小时点N的坐标；【解答】解：（1）对于抛物线y＝x2+2x﹣3，令y＝0，得x2+2x﹣3＝0，解得x＝﹣3或1，∴A（﹣3，0），B（1，0），令x＝0，得y＝﹣3，∴C（0，﹣3），∵抛物线y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴顶点D坐标为（﹣1，﹣4），设直线AC的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3，点D坐标（﹣1，﹣4）．（2）如图1中，设P（m，m2+2m﹣3），由题意，当PR最大时，△ACP的面积最大，即四边形APCO的面积最大，∵S四边形APCO＝S△AOP+S△POC﹣S△AOC＝•3•（﹣m2﹣2m+3）+•3•（﹣m）﹣•3•3＝﹣m2﹣m ＝﹣（m+）2+，∴当m＝﹣时，四边形APCO的面积最大，即PR最长，∴P（﹣，﹣），将点P沿BE方向平移个单位得到G（﹣，﹣），作点A关于直线BE的对称点K，连接GK交BE于M，此时四边形APNM的最长最小，∵直线BE的解析式为y＝﹣x+，直线AK的解析式为y＝2x+6，由解得，∴J（﹣，），∵AJ＝JK，∴k（﹣，），∴直线KG的解析式为y＝x+，由解得，∴M（﹣2，），将点M向下平移1个单位，向右平移2个单位得到N，∴N（0，）．。
将军饮马模型-特殊的平行四边形中的最值模型(解析版)
特殊的平行四边形中的最值模型--将军饮马模型“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。
将军饮马问题从本质上来看是由轴对称衍生而来，同时还需掌握平移型将军饮马，主要考查转化与化归等的数学思想。
在各类考试中都以中高档题为主，本专题就特殊的平行四边形背景下的将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
在解决将军饮马问题主要依据是：两点之间，线段最短；垂线段最短；涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。
模型1.求两条线段和的最小值(将军饮马模型)【模型解读】在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；(1)点A、B在直线m两侧：(2)点A、B在直线同侧：【最值原理】两点之间线段最短。
上图中A'是A关于直线m的对称点。
1(2022·山东德州·统考中考真题)如图，正方形ABCD的边长为6，点E在BC上，CE=2，点M是对角线BD上的一个动点，则EM+CM的最小值是()A.62B.35C.213D.413【答案】C【分析】连接AM，AE，根据正方形的对称性可得AM=CM，进而可知EM+CM=EM+AM，再利用A，M，E三点共线时，EM+AM的值最小，将EM+AM转化为AE，最后运用勾股定理即可解答．【详解】如图，连接AM，AE，∵A、C关于BD对称，∴AM=CM，∴EM+CM=EM+AM当A，M，E三点共线时，EM+AM=AE的值最小，即EM+CM的值最小，∵AB=6，BE=BC-CE=4，由勾股定理得：AE=AB2+BE2=62+42=213，即EM+CM的最小值为213，故选C．【点睛】本题考查了运用轴对称解决最短路径问题、勾股定理的应用、正方形的性质，明确当A，M，E三点共线时，EM+AM有最小值是解题的关键．2(2022·内蒙古赤峰·统考中考真题)如图，菱形ABCD，点A、B、C、D均在坐标轴上，∠ABC=120°，点A-3,0，点E是CD的中点，点P是OC上的一动点，则PD+PE的最小值是()A.3B.5C.22D.332【答案】A【分析】直线AC上的动点P到E、D两定点距离之和最小属“将军饮马”模型，由D关于直线AC的对称点B，连接BE，则线段BE的长即是PD+PE的最小值．【详解】如图：连接BE，∵菱形ABCD，∴B、D关于直线AC对称，，∵直线AC上的动点P到E、D两定点距离之和最小∴根据“将军饮马”模型可知BE长度即是PD+PE的最小值．，∵菱形ABCD，∠ABC=120°，点A-3,0，∴∠CDB=60°,∠DAO=30°，OA=3，∴OD=3,AD=DC=CB=23∴△CDB是等边三角形∴BD=23∵点E是CD的中点，∴DE=1CD=3,且BE⊥CD，∴BE=BD2-DE2=3故选：A．2【点睛】本题考查菱形性质及动点问题，解题的关键是构造直角三角形用勾股定理求线段长．3(2023·湖北鄂州·二模)如图，矩形ABCD中，AB=4,AD=3，点E在AB上，且BE=1，点M,F分别为边DC,BC上的动点，将△BEF沿直线EF翻折得到△NEF，连接AM,MN，则AM+MN的最小值为()A.5B.35C.35-2D.35-1【答案】D【分析】作A关于CD的对称点H，连接EH，根据条件求出EH的长度，当H、M、N、E四点共线时，HM+MN最小，即可求出答案．【详解】解：作A关于CD的对称点H，连接EH，∵AD=3，∴AH=2AD=6，∵△BEF沿直线EF翻折得到△NEF，∴△BEF≅△NEF，∴BE=NE=1，∵AB=4，BE=1，∴AE=AB-AE=4-1=3，∵四边形ABCD为矩形，∴∠DAB=90°，在Rt△HAE中，HE=AH2+AE2=62+32=35，当H、M、N、E四点共线时，HM+MN最小，最小为HE-NE=35-1，∴AM+MN的最小值为35-1．故选：D．【点睛】本题主要考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，解答的关键是作出辅助线．4(2023·辽宁抚顺·统考三模)如图，正方形ABCD的边长为3，E为BC边上的动点，连接EA，将EA绕点E顺时针旋转90°得到线段EF，连接FD，则FD+2FE的最小值是．【答案】35【分析】作FH⊥BC交BC的延长线于点H，连接CF并延长，连接AF，首先证明出△ABE≌△EHF AAS，进而得到AB=EH，BE=FH，然后得到△CFH是等腰直角三角形，得到点F在∠DCF的角平分线上运动，作点D关于CF的对称点G，然后得到当点A，F，G三点在一条直线上时，DF+AF有最小值AG，最后利用勾股定理求解即可．【详解】如图所示，作FH⊥BC交BC的延长线于点H，连接CF并延长，连接AF，∵将EA绕点E顺时针旋转90°得到线段EF，∴∠AEF=90°，AE=EF，∵正方形ABCD的边长为3，∴∠B=90°，∴∠BAE+∠AEB=∠CEF+∠AEB=90°，∴∠BAE=∠CEF，又∵∠B=∠EHF，∴△ABE≌△EHF AAS，∴AB=EH，BE=FH，∵AB=BC，∴BC=EH，∴BE=CH，∴CH=FH，又∵FH⊥CG，∴△CFH是等腰直角三角形，∴∠FCH=45°，∴∠DCF=45°，∴点F在∠DCF的角平分线上运动，∵AE=EF，∠AEF=90°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴AF=2EF，∴FD+2FE=FD+AF，作点D关于CF的对称点G，∵点F在∠DCF的角平分线上运动，∴点G在BC的延长线上，∴DF=FG，∴DF+AF=GF+AF≥AG，∴当点A，F，G三点在一条直线上时，DF+AF有最小值AG，∵点D和点G关于CF对称，∴CG=CD=3，∴BG=BC+CG=6，∴在Rt△ABG中，AG=AB2+BG2=35．∴FD+2FE的最小值是35．【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称求最短路径．能够将线段的和通过轴对称转化为共线线段是解题的关键．1.(2023·湖南湘西·统考三模)如图所示，正方形ABCD的边长为2，点E为边BC的中点，点P 在对角线BD上移动，则△PCE周长的最小值是()A.5B.5+1C.25D.25+2【答案】B【分析】作点E关于BD的对称点为E ，连接CE 交BD于点P，可得PE =PE，BE =BE，根据勾股定理求出CE ，可得△PCE周长=PE+PC+CE=PE +PC+CE，即可求解．【解析】解：作点E关于BD的对称点为E ，连接CE 交BD于点P，如图所示，∵E关于BD的对称点为E ，∴PE =PE，BE =BE，∵正方形ABCD的边长为2，点E为边BC的中点，∴BC=2，BE=EC=1，∴BE =1，∴CE =BE +BC=12+22=5，∵△PCE周长=PE+PC+CE，又∵PE +PC=PE+PC≥E C，∴△PCE周长=PE+PC+CE=PE +PC+CE≥E C+CE=5+1，∴△PCE周长最小值为5+ 1，故选：B．【点睛】本题考查了轴对称的性质，正方形的性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握轴对称的性质．2.(2023春·成都市九年级期中)如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=5，E、F分别是边AB、BC上的动点，且EF=4，M为EF中点，P是边AD上的一个动点，则CP+PM的最小值是．【答案】11【分析】作点C关于AD的对称点G，连接PG、GD、BM、GB，则当点P、M在线段BG上时，GP+PM +BM最小，从而CP+PM最小，在Rt△BCG中由勾股定理即可求得BG的长，从而求得最小值．【解析】如图，作点C关于AD的对称点G，连接PG、GD、BM、GB由对称的性质得：PC=PG，GD=CD∵GP+PM+BM≥BG∴CP+PM=GP+PM≥BG-BM 则当点P、M在线段BG上时，CP+PM最小，且最小值为线段BG-BM∵四边形ABCD是矩形∴CD=AB=6，∠BCD=∠ABC=90° ∴CG=2CD=12EF=2∵M为线段EF的中点，且EF=4∴BM=12在Rt△BCG中，由勾股定理得：BG=CG2+BC2=122+52=13∴GM=BG-BM=13-2=11即CP+PM的最小值为11．【点睛】本题是求两条线段和的最小值问题，考查了矩形性质，折叠的性质，直角三角形斜边上中线的性质，两点间线段最短，勾股定理等知识，有一定的综合性，关键是作点C关于AD的对称点及连接BM，GP+ PM+BM的最小值转化为线段CP+PM的最小值．3.(2022·湖南娄底·中考真题)菱形ABCD的边长为2，∠ABC=45°，点P、Q分别是BC、BD上的动点，CQ+PQ的最小值为．【答案】2【分析】过点C作CE⊥AB于E，交BD于G，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE为FG+CG的最小值，当P与点F重合，Q与G重合时，PQ+QC最小，在直角三角形BEC中，勾股定理即可求解．【解析】解：如图，过点C作CE⊥AB于E，交BD于G，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE为FG+CG的最小值，当P与点F重合，Q与G重合时，PQ+QC最小，BC=2∵菱形ABCD的边长为2，∠ABC=45°，∴Rt△BEC中，EC=22∴PQ+QC的最小值为2故答案为：2【点睛】本题考查菱形性质，勾股定理，轴对称的性质，掌握轴对称的性质求线段和的最小值是解题关键．模型2.平移型将军饮马(将军过桥模型)【模型解读】已知，如图1将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？考虑MN长度恒定，只要求AM+NB最小值即可．问题在于AM、NB彼此分离，所以首先通过平移，使AM 与NB连在一起，将AM向下平移使得M、N重合，此时A点落在A'位置(图2)．问题化为求A'N+NB最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置(图3)．图1图2图3【最值原理】两点之间线段最短。
(完整版)将军饮马问题
点）上的一个动点，求当m取何值时，CM+DM有最小值？
y C'
M O
Bx
提示：作点C关于OB的对称点C', 连接C'D，C'D与OB相交于点M, 过点D作y轴的垂线，所以
C'OM与C' ED相似
所以 C'O OM C' E ED
C E
D
将军饮马问题
• 例题1：从A地到B地，哪一条路线最短？
路线1
路线2
A
路线3
B
路线4
定理：在同一平面上，两点之间的距离直线最短
变式1：
• P,Q两地分别位于河的两岸，现在在河上修建一座桥（桥
必须垂直于河岸），使得从P地到Q地的距离是最短的，请
问桥应该建在哪里？
作法：
P
1.先将Q点沿着垂直于河岸的方向向河
A 河岸
A'
B' B
草 地
• 例题3：一只蚂蚁沿着一个圆柱外壁从A点到B点，请问蚂 蚁应该怎样走才能使路程最短？
B
B
A
A
圆柱侧面展开图
• 变式3：一只蚂蚁在一个AB为5cm，BC为3cm，B'B为4cm的
长方体的A点，如果它想爬到C'点，那么这只蚂蚁应该怎
样走才能使路程最短？
D'
C
’
D’
C' A'
B'
C
A'
B
’ A'
B'
’
4
D
C
A
B
A
5
B3 C A
B
展开图1：由勾股定理AC' 5 3• 4 32 展开图2：由勾股定理AC' 5•4 3 35
(完整版)将军饮马问题的11个模型及例题
AP+PQ取得最小值AQ，根据垂线段最短，当
AQ⊥ON时，AQ最小.
2. 已知：如图，A为锐角∠MON内一定点；
要求：在射线OM上找一点P，在射线ON上找一点Q，使
AP+PQ的值最小.
解：作点A关于OM的对称点A′，过点A′作AQ⊥ON
于点Q，A′Q交OM于点P，此时AP+PQ最小；
点到l的距离不相等）
要求：在直线l上找一点P，使︱PA-PB︱的值最大
解：作点B关于直Байду номын сангаасl的对称点B´，连接B´A并延长交
于点P，点P即为所求；
理由：根据对称的性质知l为线段BB´的中垂线，由中垂
线的性质得：PB=PB´，要使︱PA-PB︱最大，则需
︱PA-PB´︱值最大 ，从而转化为模型3.
典型例题1-1
∴PM=OE= ，∵OE=OE′，∴PM=OE′，PM∥OE′，
(a为定值)的线段PQ在l上移动（P在Q左边）
要求：确定PQ的位置，使得AP+PQ+QB最小
分析：PQ为定值，只需AP+QB的值最小，可通过平移，
使P、Q“接头”，转化为基本模型
解：将点A沿着平行于l的方向，向右移至A´，使
AA´=PQ=a,连接A´B交直线l于点Q，在l上截取
PQ=a（P在Q左边），则线段PQ即为所求，此时
AP+PQ+QB的最小值为A´B+PQ，即A´B+a
理由：易知四边形APQA´为平行四边形，则PA=QA´，
当A´、Q、B三点共线时，QA´+QB最小，即PA+QB
最小，又PQ长为定值此时PA+PQ+QB值最小.
将军饮马问题
B'
C
A'
B
’ A'
B'
’
4
D
C
A
B
A
5
B3 C A
B
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综合题：
• 例题4（2011年海珠区九年级上学期期末调研测试改编）
•
函数
y
1 2
x2
3 2
x 2 的顶点是D，点M（m,0）是线段OB（含两端
点）上的一个动点，求当m取何值时，CM+DM有最小值？
y C'
M O
Bx
提示：作点C关于OB的对称点C', 连接C'D，C'D与OB相交于点M, 过点D作y轴的垂线，所以
C'OM与C' ED相似
所以 C'O OM C' E ED
C E
D
A 河岸
A'
B' B
草 地
• 例题3：一只蚂蚁沿着一个圆柱外壁从A点到B点，请问蚂 蚁应该怎样走才能使路程最短？
B
B
A
A
圆柱侧面展开图
• 变式3：一只蚂蚁在一个AB为5cm，BC为3cm，B'B为4cm的
长方体的A点，如果它想爬到C'点，那么这只蚂蚁应该怎
样走才能使路程最短？
D'
C
’
D’
CБайду номын сангаас A'
岸平移，且平移的距离为河的宽度，
得到Q'点
河
2.连接PQ‘，则PQ’与上侧的河岸
初三数学培优专题（1）“平移后将军饮马”问题
初三培优专题（1） “平移后将军饮马”问题【引例】已知A （1，1）、B （4，2）．（1）P 为x 轴上一动点，求P A +PB 的最小值和此时P 点的坐标；点的坐标；（2）P 为x 轴上一动点，求PBPA 的值最大时P 点的坐标；点的坐标；（3）（平移后“将军饮马”）CD 为x 轴上一条动线段，D 在C 点右边且CD ＝1，求当AC +CD +DB 的最小值和此时C 点的坐标；点的坐标；方法：解决的关键还是抓不变的CD ，一抓其长度不变，将“三动线段”转化为“两动线段”；二抓CD 方向及长度不变，利用平移，构造平行四边形，将其转化为“两定一动”型“将军饮马”问题，在动点的数量上减少了1。
答案（答案（11）（）（22，0） （2）（）（-2-2-2，，0）（3）13+1 ，(53,0)yxBOA yxBOA yxBOA CD【例】（2013年成都中考）在平面直角坐标系中，已知抛物线21(2y x bx c b =-++，c 为常数）的顶点为P ，等腰直角三角形ABC 的顶点A 的坐标为(0,1)-，C 的坐标为(4,3)，直角顶点B 在第四象限． （1）如图，若该抛物线过A ，B 两点，求该抛物线的函数表达式；（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P 在直线AC 上滑动，且与AC 交于另一点Q ． ()i 若点M 在直线AC 下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以M 、P 、Q 三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M 的坐标；()ii 取BC 的中点N ，连接NP ，BQ ．试探究PQNP BQ +是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．解：（1）Q 等腰直角三角形ABC 的顶点A 的坐标为(0,1)-，C 的坐标为(4,3) ∴点B 的坐标为(4,1)-．Q 抛物线过(0,1)A -，(4,1)B -两点， ∴1116412c b c =-⎧⎪⎨-⨯++=-⎪⎩，解得：2b =，1c =-， ∴抛物线的函数表达式为：21212y x x =-+-．（2）方法一：)(0i A Q ，1)-，(4,3)C ，∴直线AC 的解析式为：1y x =-．设平移前抛物线的顶点为0P ，则由（1）可得0P 的坐标为(2,1)，且0P 在直线AC 上． Q 点P 在直线AC 上滑动，∴可设P 的坐标为(,1)m m -，则平移后抛物线的函数表达式为：21()12y x m m =--+-．解方程组：211()(1)2y x yx m m =-⎧⎪⎨=--+-⎪⎩， 解得111x m y m =⎧⎨=-⎩，2223x m y m =-⎧⎨=-⎩ (,1)P m m ∴-，(2,3)Q m m --．过点P 作//PE x 轴，过点Q 作//QF y 轴，则(2)2PE m m =--=，(1)(3)2QF m m =---=． 022PQ AP ∴==．若以M 、P 、Q 三点为顶点的等腰直角三角形，则可分为以下两种情况： ①当PQ 为直角边时：点M 到PQ 的距离为22（即为PQ 的长）． 由(0,1)A -，(4,1)B -，0(2,1)P 可知，0ABP ∆为等腰直角三角形，且0BP AC ⊥，022BP =．如答图1，过点B 作直线1//l AC ，交抛物线21212y x x =-+-于点M ，则M 为符合条件的点．∴可设直线1l 的解析式为：1y x b =+， (4,1)B -Q ，114b ∴-=+，解得15b =-，∴直线1l 的解析式为：5y x =-．解方程组251212y x y x x =-⎧⎪⎨=-+-⎪⎩，得：1141x y =⎧⎨=-⎩，2227x y =-⎧⎨=-⎩ 1(4,1)M ∴-，2(2,7)M --．②当PQ 为斜边时：2MP MQ ==，可求得点M 到PQ 的距离为2． 如答图2，取AB 的中点F ，则点F 的坐标为(2,1)-． 由(0,1)A -，(2,1)F -，0(2,1)P 可知：0AFP ∆为等腰直角三角形，且点F 到直线AC 的距离为2．过点F 作直线2//l AC ，交抛物线21212y x x =-+-于点M ，则M 为符合条件的点．∴可设直线2l 的解析式为：2y x b =+， (2,1)F -Q ，212b ∴-=+，解得23b =-， ∴直线2l 的解析式为：3y x =-．解方程组231212y x y x x =-⎧⎨=-+-⎪⎩，得：111525x y ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩，221525x y ⎧=-⎪⎨=--⎪⎩ 3(15M ∴+，25)-+，4(15M -，25)--． 综上所述，所有符合条件的点M 的坐标为：1(4,1)M -，2(2,7)M --，3(15M +，25)-+，4(15M -，25)--．方法二：(0,1)A Q ，(4,3)C ， :1AC l y x ∴=-，Q 抛物线顶点P 在直线AC 上，设(,1)P t t -，∴抛物线表达式：21()12y x t t =--+-，AC l ∴与抛物线的交点(2,3)Q t t --，Q 以M 、P 、Q 三点为顶点的三角形是等腰直角三角形，(,1)P t t -，①当M 为直角顶点时，(,3)M t t -，212132t t t -+-=-，15t ∴=±，1(15M ∴+，52)-，2(15M -，25)--，②当Q 为直角顶点时，点M 可视为点P 绕点Q 顺时针旋转90︒而成， 将点(2,3)Q t t --平移至原点(0,0)Q '，则点P 平移后(2,2)P '， 将点P '绕原点顺时针旋转90︒，则点(2,2)M '-，将(0,0)Q '平移至点(2,3)Q t t --，则点M '平移后即为点(,5)M t t -，∴212152t t t -+-=-，14t ∴=，22t =-，1(4,1)M ∴-，2(2,7)M --，③当P 为直角顶点时，同理可得1(4,1)M -，2(2,7)M --， 综上所述，所有符合条件的点M 的坐标为：1(4,1)M -，2(2,7)M --，3(15M +，25)-+，4(15M -，25)--．)PQii NP BQ+存在最大值．理由如下：由)i 知22PQ =为定值，则当NP BQ +取最小值时，PQNP BQ +有最大值．如答图2，取点B 关于AC 的对称点B '，易得点B '的坐标为(0,3)，BQ B Q ='． 连接QF ，FN ，QB '，易得//FN PQ ，且FN PQ =， ∴四边形PQFN 为平行四边形． NP FQ ∴=．222425NP BQ FQ B Q FB ∴+=+''=+=…． ∴当B '、Q 、F 三点共线时，NP BQ +最小，最小值为25．∴PQ NP BQ +的最大值为2210525=． 【变式1】（2019•沈阳）•沈阳）如图，如图，如图，在平面直角坐标系中，在平面直角坐标系中，在平面直角坐标系中，抛物线抛物线22(0)y ax bx a =++≠与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，抛物线经过点(2,3)D --和点(3,2)E ，点P 是第一象限抛物线上的一个动点．（1）求直线DE 和抛物线的表达式； （2）在y 轴上取点(0,1)F ，连接PF ，PB ，当四边形OBPF 的面积是7时，求点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，的条件下，当点当点P 在抛物线对称轴的右侧时，在抛物线对称轴的右侧时，直线直线DE 上存在两点M ，N （点M 在点N 的上方），且22MN =，动点Q 从点P 出发，沿P M N A →→→的路线运动到终点A ，当点Q 的运动路程最短时，请直接写出此时点N 的坐标．解：（1）将点D 、E 的坐标代入函数表达式得：34229322a b a b -=-+⎧⎨++=⎩，解得：1232a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 故抛物线的表达式为：213222y x x =-++，同理可得直线DE 的表达式为：1y x =-⋯①；（2）如图1，连接BF ，过点P 作//PH y 轴交BF 于点H ，将点FB 代入一次函数表达式，同理可得直线BF 的表达式为：114y x =-+，设点213(,2)22P x x x -++，则点1(,1)4H x x -+，211131412221722224OBF PFBOBPF SS S PH BO x x x ∆∆⎛⎫=+=⨯⨯+⨯⨯=+-+++-= ⎪⎝⎭四边形， 解得：2x =或32， 故点(2,3)P 或3(2，25)8；（3）当点P 在抛物线对称轴的右侧时，点(2,3)P ，过点M 作//A M AN '，过作点A '直线DE 的对称点A ''，连接PA ''交直线DE 于点M ，此时，点Q 运动的路径最短，22MN =Q ，相当于向上、向右分别平移2个单位，故点(1,2)A '，A A DE '''⊥，则直线A A '''过点A '，则其表达式为：3y x =-+⋯②，联立①②得2x =，则A A '''中点坐标为(2,1)， 由中点坐标公式得：点(3,0)A ''，同理可得：直线A P ''的表达式为：39y x =-+⋯③， 联立①③并解得：52x =，即点5(2M ，3)2， 点M 沿ED 向下平移22个单位得：1(2N ，1)2-．【变式2】（2019•深圳）如图抛物线2y ax bx c =++经过点(1,0)A -，点(0,3)C ，且OB OC =． （1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点D 、E 在直线1x =上的两个动点，且1DE =，点D 在点E 的上方，求四边形ACDE 的周长的最小值．（3）点P 为抛物线上一点，连接CP ，直线CP 把四边形CBPA 的面积分为3:5两部分，求点P 的坐标．解：（1）OB OC =Q ，∴点(3,0)B ， 则抛物线的表达式为：22(1)(3)(23)23y a x x a x x ax ax a =+-=--=--，故33a -=，解得：1a =-，故抛物线的表达式为：223y x x =-++⋯①， 函数的对称轴为：1x =；（2）ACDE 的周长AC DE CD AE =+++，其中10AC =、1DE =是常数， 故CD AE +最小时，周长最小，取点C 关于函数对称点(2,3)C '，则CD C D ='， 取点(1,1)A '-，则A D AE '=，故：CD AE A D DC +='+'，则当A '、D 、C '三点共线时，CD AE A D DC +='+'最小，周长也最小，四边形ACDE 的周长的最小值10110110113AC DE CD AE A D DC A C =+++=++'+'=++''=++；（3）如图，设直线CP 交x 轴于点E ，直线CP 把四边形CBPA 的面积分为3:5两部分，又11:():():22PCB PCA C P C P S S EB y y AE y y BE AE ∆∆=⨯-⨯-=Q ， 则:BE AE ，3:5=或5:3，则52AE =或32，即：点E 的坐标为3(2，0)或1(2，0)，将点E 、C 的坐标代入一次函数表达式：3y kx =+， 解得：6k =-或2-，故直线CP 的表达式为：23y x =-+或63y x =-+⋯② 联立①②并解得：4x =或8（不合题意值已舍去），故点P 的坐标为(4,5)-或(8,45)-．【变式3】如图，二次函数24y x x =-的图象与x 轴、直线y x =的一个交点分别为点A 、B ，CD 是线段OB 上的一动线段，且2CD =，过点C 、D 的两直线都平行于y 轴，与抛物线相交于点F 、E ，连接EF ．（1）点A 的坐标为 ，线段OB 的长= ； （2）设点C 的横坐标为m①当四边形CDEF 是平行四边形时，求m 的值；②连接AC 、AD ，求m 为何值时，ACD ∆的周长最小，并求出这个最小值．解：（1）24y x x =-Q 中，令0y =，则204x x =-，解得10x =，24x =，(4,0)A ∴， 解方程组24y x y x x =⎧⎨=-⎩，可得00x y =⎧⎨=⎩或55x y =⎧⎨=⎩，(5,5)B ∴，225552OB ∴=+=． 故答案为：(4,0)，52；（2）①Q 点C 的横坐标为m ，且////CF DE y 轴，(,)C m m ∴，2(,4)F m m m -，又2CD =Q ，且CD 是线段OB 上的一动线段，(2D m ∴+，2)m +，(2E m +，2(2)4(2))m m +-+，2(4)CF m m m ∴=--，22[(2)4(2)]DE m m m =+-+-+， Q 当四边形CDEF 是平行四边形时，CF DE =，22(4)2[(2)4(2)]m m m m m m ∴--=+-+-+，解得52m =；②如图所示，如图所示，过点过点A 作CD 的平行线，的平行线，过点过点D 作AC 的平行线，的平行线，交于点交于点G ，则四边形ACDG是平行四边形，AC DG ∴=，作点A 关于直线OB 的对称点A '，连接A D '，则A D AD '=，∴当A '，D ，G 三点共线时，A D DG A G ''+=最短，此时AC AD +最短， (4,0)A Q ，2AG CD ==， (0,4)A '∴，(42G +，2)，设直线A G '的解析式为y kx b =+，则42(42)b k b =⎧⎪⎨=++⎪⎩，解得94274k b ⎧-=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线A G '的解析式为94247y x -=-+， 解方程组94247y x y x =⎧⎪⎨-=-+⎪⎩，可得12221222x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，1(222D ∴+，122)2+， 2CD =Q ，且CD 是线段OB 上的一动线段，1(222C ∴-，122)2-， ∴点C 的横坐标1222m =-， 由(4,0)A ，1(222C -，122)2-可得，2211(422)(022)322AC =-++-+=， 由(4,0)A ，1(222D +，122)2+可得，2211(422)(22)322AD =--++=， 又2CD =Q ，ACD∴∆的周长2338CD AC AD =++=++=， 故当1222m =-时，ACD ∆的周长最小，这个最小值为8．【变式4】（2016年福建龙岩压轴）如图，在直角坐标系中，抛物线259()28y a x =-+与M e 交于A ，B ，C ，D 四点，点A ，B 在x 轴上，点C 坐标为(0,2)-． （1）求a 值及A ，B 两点坐标；（2）点(,)P m n 是抛物线上的动点，当CPD ∠为锐角时，请求出m 的取值范围； （3）点E 是抛物线的顶点，M e 沿CD 所在直线平移，点C ，D 的对应点分别为点C '，D '，顺次连接A ，C '，D '，E 四点，四边形AC D E ''（只要考虑凸四边形）的周长是否存在最小值？若存在，请求出此时圆心M '的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）Q 抛物线259()28ya x =-+经过点(0,2)C -，2592(0)28a ∴-=-+，12a ∴=-，2159()228y x ∴=--+，当0y =时，2159()0228x --+=，14x ∴=，21x =， A Q 、B 在x 轴上， (1,0)A ∴，(4,0)B ．（2）由（1）可知抛物线解析式为2159()228y x =--+，C ∴、D 关于对称轴52x =对称，(0,2)C -Q ， (5,2)D ∴-，如图1中，连接AD 、AC 、CD ，则5CD =，(1,0)A Q ，(0,2)C -，(5,2)D -，5AC ∴=，25AD =，222AC AD CD ∴+=， 90CAD ∴∠=︒，CD ∴为M e 的直径，∴当点P 在圆外部的抛物线上运动时，CPD ∠为锐角， 0m ∴<或14m <<或5m >．（3）存在．如图2中，将线段C A '平移至D F '，则5AF C D CD =''==，(1,0)A Q ，(6,0)F ∴，作点E 关于直线CD 的对称点E '，连接EE '正好经过点M ，交x 轴于点N ，Q 抛物线顶点5(2，9)8，直线CD 为2y =-， 5(2E ∴'，4141))8-， 连接E F '交直线CD 于H ，AE Q ，C D ''是定值，AC ED ∴'+'最小时，四边形AC D E ''的周长最小，AC D E FD D E FD E D E F '+'='+'='+'''Q …， 则当点D '与点H 重合时，四边形AC D E ''的周长最小，设直线E F '的解析式为y kx b =+，5(2E 'Q ，41)8-，(6,0)F ， ∴可得411232814y x =-， 当2y =-时，19041x =， 190(41H ∴，2)-，5(2M Q ，2)-， 1901554141DD ∴'=-=， Q 51517524182-=， 175(82M ∴'，2)-【变式5】（2014广州中考数学）已知平面直角坐标系中两定点(1,0)A -、(4,0)B ，抛物线22(0)y ax bx a =+-≠过点A ，B ，顶点为C ，点(P m ，)(0)n n <为抛物线上一点．（1）求抛物线的解析式和顶点C 的坐标；（2）当APB ∠为钝角时，求m 的取值范围； （3）若32m >，当APB ∠为直角时，将该抛物线向左或向右平移5(0)2t t <<个单位，点C 、P 平移后对应的点分别记为C '、P '，是否存在t ，使得首位依次连接A 、B 、P '、C '所构成的多边形的周长最短？若存在，构成的多边形的周长最短？若存在，求求t 的值并说明抛物线平移的方向；的值并说明抛物线平移的方向；若不存在，若不存在，若不存在，请说请说明理由．解：（1）Q 抛物线22(0)y ax bx a =+-≠过点A ，B ，∴2016420a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得：1232a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴抛物线的解析式为：213222y x x =--； 221313252()22228y x x x =--=--Q ， 3(2C ∴，25)8-．（2）如图1，以AB 为直径作圆M ，则抛物线在圆内的部分，能使APB ∠为钝角，3(2M ∴，0)，M e 的半径52=．P 'Q 是抛物线与y 轴的交点，2OP ∴'=，2252MP OP OM ∴'='+=，P ∴'在M e 上，P ∴'的对称点(3,2)-，∴当10m -<<或34m <<时，APB ∠为钝角．（3）方法一：存在；抛物线向左或向右平移，因为AB 、P C ''是定值，所以A 、B 、P '、C '所构成的多边形的周长最短，只要AC BP '+'最小；第一种情况：抛物线向右平移，AC BP AC BP '+'>+， 第二种情况：向左平移，如图2所示，由（2）可知(3,2)P -，又3(2C Q ，25)8- 3(2C t '∴-，25)8-，(3,2)P t '--， 5AB =Q ，(2,2)P t ∴''---，要使AC BP '+'最短，只要AC AP '+''最短即可， 点C '关于x 轴的对称点3(2C t ''-，25)8， 设直线P C ''''的解析式为：y kx b =+， 2(2)253()82t k bt k b -=--+⎧⎨=-+⎪⎩， 解得412841132814k b t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ ∴直线414113282814y x t =++， 当P ''、A 、C ''在一条直线上时，周长最小， 4141130282814t ∴-++=1541t ∴=． 故将抛物线向左平移1541个单位连接A 、B 、P '、C '所构成的多边形的周长最短． 方法二：AB Q 、P C ''是定值，A ∴、B 、P '、C '所构成的四边形的周长最短，只需AC BP '+'最小， ①若抛物线向左平移，设平移t 个单位，3(2C t ∴'-，2525))8-，(2,2)P t ''---， Q 四边形P ABP '''为平行四边形， AP BP ∴''='，AC BP '+'最短，即AC AP '+''最短，C '关于x 轴的对称点为3(2C t ''-，25)8， C ''，A ，P ''三点共线时，AC AP '+''最短，AC AP K K'''=，2502831212t t +=-++-+， 1541t ∴=． ②若抛物线向右平移，同理可得1541t =-， ∴将抛物线向左平移1541个单位时，A 、B 、P '、C '所构成的多边形周长最短．。
2020中考数学总复习：将军饮马型最值问题-解题技巧总结精选全文
图T3-13
1
10
3
3
(3)∵y=- x2+ x,∴抛物线的对称轴为直线 x=5.
∵A,O 两点关于对称轴对称,∴PA=PO,
当 P,O,D 三点在一条直线上时,PA+PD=PO+PD=OD,此时△ PAD 的周长最小.
如图,OD 与对称轴的交点即为满足条件的点 P,
由(2)可知 D 点坐标为(10,5).
1
1
1
∵S△ PAB=3S 矩形 ABCD,∴2AB·h=3AB·AD,
2
∴h=3AD=2,∴动点 P 在与 AB 平行且与 AB 的距离是 2 的线段 l 上,如图,作点 A
关于直线 l 的对称点 A',连接 AA',BA',则 BA'即为所求的最短距离.在 Rt△ ABA'中,
AB=4,AA'=2+2=4,∴BA'= 2 + '2 = 42 + 42 =4 2,即 PA+PB 的最小值为
)
D.80°
[答案]D
[解析]分别作A关于直线BC和CD的对称点A',A″,连接A'A″,交BC于E,交CD于F,则
A'A″长即为△AEF周长的最小值.作DA延长线AH,易知∠DAB=130°,∠HAA'=50°.
又∠EA'A=∠EAA',∠FAD=∠A″,且∠EA'A+∠EAA'=∠AEF,∠FAD+∠A″=
图T3-4
.
[答案] 2 5
[解析]如图,在 CB 上截取 CM=CA,连接 DM.
= ,
在△ CDA 与△ CDM 中, ∠ = ∠,
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平移型“将军饮马”问题解法大全
如下图，大家都熟悉求两条线段和最短的“将军饮马”模型，就是通过对称把同侧两定点转化为异侧两定点，再利用两点之间线段最短，找到我们要得的动点，进而求出最短距离。
在直线l上找一动点P,使得PA+PB之和最短，就是我们熟知的“将军饮马”模型，即（“两定一动型”----两个定点+一个动点）。
如果本题拓展为在直线l上找两个动点P、Q（PQ两动点间距离为定值），使得AP+PQ+BQ的距离之和最短，又该如何处理呢（“两动一定型”）
法一：先对称后平移
作定点A关于动点所在直线（河）的对称点A',将点A'沿直线平移PQ的长度得A”,连接A”B,则交直线（河）于点Q,将点Q沿直.最短AP+PQ+BQ即此时P,个长度得点PQ线反向平移
思路：作对称（同侧变异侧）---对称点平移定长线段（“一定两动”化“两定一动”）---连接两定点---动点反向平移定长线段---连接所得点.
法二：先平移后对称
将点A沿直线平移PQ的长度得A',作定点A'关于动点所在直线（河）的对称点A”,连接A”B,则交直线（河）于点Q,将点Q沿直线反向平移PQ个长度得点P,即此时AP+PQ+BQ最短.
思路：定点平移定长线段（“一定两动”化“两定一动”）----作对称（同侧变异侧）----连接两定点---动点反向平移定长线段---连接所得点.
作图模型：对称+平移+连接+反向平移+连接
简析：典型的“平移型将军饮马问题”（要将“一定两动”转变为“两定一动”问题即转化为“饮马问题”）.具体思路均是构造定点关于动点所在直线（河）的对称点.
反思：“平移型将军饮马”问题，需通过平移定线段转化为“将军饮马”问题来解决.具体思路可“先对称后平移”，也可“先平移后对称”.通过平移将一定点变为两定点，再将同侧定点通过对称转变为异侧定点，连接原定点和对称点即可得最短距离.
(思路：定点沿河平移定长，作出对称点，连接异侧两定点)
简析：典型的“平移型将军饮马问题”（要将“一定两动”转变为“两定一动”问题即转化为“饮马问题”）.具体思路均是构造定点关于动点所在直线（河）的对称点.
简析：非典型的“平移型将军饮马问题”（要将“一定两动”转变为“两定一动”问题即转化为“饮马问题”，但本题2动点不同在河上是难点）.具体思路均是构造定点关于动点所在直线（河）的对称点.反思：“平移型将军饮马”问题，需通过平移定线段转化为“将军饮马”问题来解决.具体思路可“先对称后平移”，也可“先平移.后对称”
通过平移将一定点变为两定点，再将同侧定点通过对称转变为异侧定点，将动点平移到异侧定点连线上即可得最短距离.
(思路：定点沿河平移定长，作出对称点，连接异侧两定点，平移动点至定点连线上)
需要我们有化动为定思想，，问题“平移型将军饮马”非典型的反思：将某动点看作定点，再通过平移定线段转化为“将军饮马”问题来解决.具体思路可“先对称后平移”，也可“先平移后对称”.
(思路：定点沿河平移定长，作出对称点，连接异侧两定点，平移动点至定点连线上)
本质为转化思想：
化同侧为异侧（对称变换）
平移定距离（平移变换）
化折线为直线（两点之间线段最短）
总结：“平移型将军饮马”又可细分为以下4种类型：
①典型的“平移型将军饮马”（一定两动型---动点均在直线“河”上）．作对称+再平移（化为“两定一动”）+去连接+反平移
②非典型的“平移型将军饮马”（一定两动型---动点只有1点在直线“河”上）
作对称+再平移+去连接+另一动点反平移至直线
③非典型的“平移型将军饮马”（三动点型）
假定某动为定点+作对称+再平移（化为“两定一动”）+去连接+反平移
④非典型的“平移型将军饮马”（两定两动）即“造桥选址”问题
先沿河垂直方向平移桥长+连接+反向平移.。