轴对称及将军饮马问题教师版
轴对称中的动点问题：将军饮马
轴对称中的动点问题【命题：严学荣 审核：明祥彬】将军饮马问题：如图所示，将军准备从A 点出发，想让马到一条笔直的河流上去饮水，然后再去B 地，那么走怎样的路线最短呢？【题型梳理】一、两点一线型（两定一动） 例1 如图，A 、B 两点在直线l 的异侧，点P 是l 上一动点，若AB ＝5,求P A ＋PB 的最小值．【变式训练】1．如图，直线l 和l 的同侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使P A ＋PB 最小．2． 如图，A 、B 两点在直线l 的同侧，点P 是l 上一动点，若AB ＝5,求PA PB −的最大值．3．如图，直线l 和l 的同侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使PA PB −的最大．l Alll二、一点两线型（一定两动） 例2 如图，点P 是∠MON 内的一点，分别在OM ，ON 上 作点A ，B ．使△P AB 的周长最小【变式训练】1．如图，点A 是∠MON 外的一点，在射线OM 上作点P ，使P A 与点P 到射线ON 的距离之和最小．三、两点两线型（两定两动）例3 如图，点P ，Q 为∠MON 内的两点，分别在OM ，ON 上作点A ，B ．使四边形P AQB 的周长最小【变式训练】如图所示，在一条河的两岸有两个村庄，现要在河上建一座小桥，桥的方向与河流垂直，设河的宽度不变，试问：桥架在何处，才能使从A 到B 的距离最短？【精讲精练】1．如图，在台球桌面ABCD 上，有白和黑两球分别位于M ，N 两点处，问：怎样撞击白球M ，使白球先撞击台边BC ，反弹后再去击中黑球N ？OONAO2．已知，如图△ABC为等边三角形，高AH＝10cm，P为AH上一动点，D为AB的中点，则PD＋PB的最小值为cm．3．如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点，当PC＋PD 最小时，∠PCD＝°．4．如图所示，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为5．如图，在锐角△ABC中，AB＝6，∠BAC＝30°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N 分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是．6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M，连接MB，若AB＝8 cm，△MBC的周长是14 cm，（1）求BC的长（2）在直线MN上是否存在点P，使PA PC−的值最大，若存在，画出点P的位置，并求最大值，若不存在，说明理由．7．如图，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一点M、N，当BM＋MN的值最小时，求AN．DA BCMMNCBA【能力提升】8．直线l 的同侧有两点A 、B ，在直线l 上求两点C 、D ，使得AC 、CD 、DB 的和最小，且CD 的长为定值1cm ，点D 在点C 的右侧．9．长方形OACB ，OA ＝3，OB ＝4，D 为边OB 的中点．若E 、F 为边OA 上的两个动点，且EF ＝2，当四边形CDEF 的周长最小时，画出点E 、F 的位置；10．嘉贡七（2）班举行文艺晚会，桌子摆成两直条（如图中的AO ，BO ），AO 桌面上摆满了桔子，OB 桌面上摆满了糖果，站在C 处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到C 处，请你在下图帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？11．已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，过点A 的直线MN ∥BC ，点P 是MN 上的任意点．求证：PB ＋PC≥2A B ．lB。
数学七年级北师大版 5.2 探索轴对称的性质将军饮马模型
将军饮马模型一、背景知识：【传说】早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天参军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马〞的问题便流传至今．【问题原型】将军饮马造桥选址费马点【涉及知识】两点之间线段最短，垂线段最短；三角形两边三边关系；轴对称；平移；【解题思路】找对称点，实现折转直二、将军饮马问题常见模型1.两定一动型：两定点到一动点的间隔和最小例1：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的间隔之和最小，即PA+PB 最小.作法：连接AB，与直线l的交点Q，Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处，PA+PB最小，且最小值等于AB.原理：两点之间线段最短。
证明：连接AB，与直线l的交点Q，P为直线l上任意一点，在⊿PAB中，由三角形三边关系可知：AP+PB≧AB(当且仅当PQ重合时取﹦)例2：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的间隔之和最小，即PA+PB的和最小.关键：找对称点作法：作定点B关于定直线l的对称点C，连接AC，与直线l的交点Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处，PA+PB和最小，且最小值等于AC.原理：两点之间，线段最短证明：连接AC，与直线l的交点Q，P为直线l上任意一点，在⊿PAC中，由三角形三边关系可知：AP+PC≧AC(当且仅当PQ重合时取﹦)2.两动一定型例3：在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得△BAC周长最短．作法：作点A关于OM的对称点A’，作点A关于ON的对称点A’’，连接A’ A’’，与OM 交于点B，与ON交于点C，连接AB，AC，△ABC即为所求．原理：两点之间，线段最短例4：在∠MON的内部有点A和点B，在OM上找一点C，在ON上找一点D，使得四边形ABCD周长最短．作法：作点A关于OM的对称点A’，作点B关于ON的对称点B’，连接A’ B’，与OM交于点C，与ON交于点D，连接AC，BD，AB，四边形ABCD即为所求．原理：两点之间，线段最短3.两定两动型最值例5：A、B是两个定点，在定直线l上找两个动点M与N，且MN长度等于定长d〔动点M位于动点N左侧〕，使AM+MN+NB的值最小.提示：存在定长的动点问题一定要考虑平移作法一：将点A向右平移长度d得到点A’，作A’关于直线l的对称点A’’，连接A’’B，交直线l于点N，将点N向左平移长度d，得到点M。
利用轴对称的性质解决有关将军饮马问题之压轴题四种模型全攻略(解析版)
利用轴对称的性质解决有关将军饮马问题之压轴题四种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】【类型一几何图形中的最小值问题】【类型二实际问题中的最短路径问题】【类型三一次函数中线段和最小值问题】【类型四一次函数中线段差最大值问题】【典型例题】【类型一几何图形中的最小值问题】1(2023·浙江·八年级假期作业)如图，CD是△ABC的角平分线，△ABC的面积为12，BC长为6，点E，F 分别是CD，AC上的动点，则AE+EF的最小值是()A.6B.4C.3D.2【答案】B【分析】作A关于CD的对称点H，由CD是△ABC的角平分线，得到点H一定在BC上，过H作HF⊥AC于F，交CD于E，则此时，AE+EF的值最小，AE+EF的最小值=HF，过A作AG⊥BC于G，根据垂直平分线的性质和三角形的面积即可得到结论．【详解】解：作A关于CD的对称点H，∵CD是△ABC的角平分线，∴点H一定在BC上，过H作HF⊥AC于F，交CD于E，则此时，AE+EF的值最小，AE+EF的最小值=HF，过A作AG⊥BC于G，∵△ABC的面积为12，BC长为6，∴AG=4，∵CD垂直平分AH，∴AC=CH，∴S△ACH=12AC⋅HF=12CH⋅AG，∴HF=AG=4，∴AE+EF的最小值是4，故选：B．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，解题的关键是正确的作出对称点和利用垂直平分线的性质证明AE+EF的最小值为三角形某一边上的高线．【变式训练】1(2023春·山东济南·七年级统考期末)如图，在△ABC中，AB=AC，BC=4，面积是10；AB的垂直平分线ED分别交AC，AB边于E、D两点，若点F为BC边的中点，点P为线段ED上一动点，则△PBF 周长的最小值为()A.7B.9C.10D.14【答案】A【分析】连接AP，根据线段垂直平分线性质得AP=BP，△PBF周长=BP+PF+BF=AP+PF+BF ≥AF+BF，再根据等腰三角形的性质和三角形的面积求出AF，BF，即可得出答案．【详解】解：如图所示．连接AP，∵DE是AB的垂直平分线，∴AP=BP，∴△PBF周长=BP+PF+BF=AP+PF+BF≥AF+BF．连接AF，∵AB=AC，点F是BC的中点，∴AF⊥BC，∴S△ABC=12BC⋅AF=10．∵BC=4，∴BF=2，AF=5，∴△PBF周长的最小值是AF+BF=5+2=7．故选：A．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，根据轴对称求线段和最小值等，判断△PBF周长的最小值是解题的关键．2(2023秋·河南许昌·八年级许昌市第一中学校联考期末)如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点C为线段EF上一动点，则△CDG周长的最小值为()A.4B.9C.11D.13【答案】C【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线，可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CG+GD的最小值，由此即可得出结论．【详解】解：连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC=12BC⋅AD=12×4AD=18，解得AD=9，∵△CDG的周长=CG+GD+CD，又CD是定值，∴当CG+GD最小时，△CDG的周长最小，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴CG+GD=GA+GD≥AD，∴当A、G、D三点共线时，CG+GD最小，最小值为AD的长，∴△CDG的周长最短=AD+CD=AD+12BC=9+12×4=11．故选：C．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，垂线段最短，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．3(2022春·七年级单元测试)如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AB=4，点E在BC上，且BE =2，点P在∠ABC的平分线BD上运动，则PE+PC的长度最小值为()A.1B.2C.3D.4【答案】B【分析】利用最短路径直接将点对称，然后连线求两线段和的最小值即可．【详解】将E关于BD对称至点E ，连接CE ，∴EP=PE ，∴PE+PC=PE +PC，∴(PE+PC)min=CE ，∵∠ACB=90°，AC=BC，AB=4，且BE=2，∴E 是AB中点，∴CE =1AB=2．2∴PE+PCmin=2故选：B【点睛】此题考查最短路径，解题关键是将一个定点对称，当三点共线时线段之和最短．4(2023秋·甘肃·八年级统考期末)如图，∠AOB=15°，M是边OA上的一个定点，且OM=12cm，N，P分别是边OA、OB上的动点，则PM+PN的最小值是．【答案】6cm/6厘米【分析】作M关于OB的对称点Q，过Q作QN⊥OA于N，交OB于P，则此时PM+PN的值最小，连接OQ，得出∠QOB=∠AOB=15°，OQ=OM=12cm，PM=PQ，∠QNO=90°，根据含30度角的直角三角形性质求出QN即可．【详解】作M关于OB的对称点Q，过Q作QN⊥OA于N，交OB于P，则此时PM+PN的值最小，连接OQ，则∠QOB =∠AOB =15°，OQ =OM =12cm ，PM =PQ ，∠QNO =90°，∴∠QON =30°，∴QN =12OQ =6，∴PM +PN =PQ +PN =QN =6cm ，故答案为：6cm ．【点睛】此题考查了含30度角的直角三角形的性质，轴对称-最短路径问题，垂线段最短的应用，确定点P 、N 的位置的解题的关键．5(2023春·广东揭阳·七年级惠来县第一中学校考期末)如图，在等腰△ABC 中，AB =AC ，BC =7，作AD ⊥BC 于点D ，AD =12AB ，点E 为AC 边上的中点，点P 为BC 上一动点，则PA +PE 的最小值为．【答案】72【分析】作点A 关于BC 的对称点A ，延长AD 至A ，使AD =A D ，连接A E ，交BC 于P ，此时PA +PE 的值最小，就是A E 的长，证明A E =CD 即可．【详解】解：作点A 关于BC 的对称点A ，延长AD 至A ，使AD =A D ，连接A E ，交BC 于P ，此时PA +PE 的值最小，就是A E 的长，∵AB =AC ，BC =7，AD ⊥BC ，∴BD =CD =72，∵AD =12AB ，∴∠B =30°，∴∠BAD =∠CAD =60°，∵AD =A D ，∴△AA C 是等边三角形，∵点E 为AC 边上的中点，∴A E ⊥AC ，∴A E =CD =72，即PA +PE 的最小值为72，故答案为：72．【点睛】本题考查了轴对称，最短路径问题和直角三角形的性质，解题的关键是根据轴对称的性质作出对称点，掌握线段垂直平分线的性质和等边三角形的性质与判定的灵活运用．6(2023春·广东深圳·七年级统考期末)如图，点C ，D 分别是角∠AOB 两边OA 、OB 上的定点，∠AOB =20°，OC =OD =4．点E ，F 分别是边OB ，OA 上的动点，则CE +EF +FD 的最小值是．【答案】4【分析】如图所示，作点D 关于OA 的对称点H ，作点C 关于OB 的对称点G ，连接OH ，FH ，OG ，EG ，HG ，由轴对称的性质可得∠AOH =∠AOB =∠BOG =20°，OH =OC =OG =4，HF =DF ，EG =CE ，证明△HOG 是等边三角形，HG =OC =4；推出当H 、F 、E 、G 四点共线时，GE +EF +HF 最小，即CE +EF +FD 最小，最小为HG 的长，由此即可得到答案．【详解】解：如图所示，作点D 关于OA 的对称点H ，作点C 关于OB 的对称点G ，连接OH ，FH ，OG ，EG ，HG ，由轴对称的性质可得∠AOH =∠AOB =∠BOG =20°，OH =OC =OG =4，HF =DF ，EG =CE ，∴∠HOG =60°，∴△HOG 是等边三角形，∴HG =OC =4；∵CE +EF +FD =GE +EF +HF ，∴当H 、F 、E 、G 四点共线时，GE +EF +HF 最小，即CE +EF +FD 最小，最小为HG 的长，∴CE +EF +FD 的最小值为4，故答案为：4．【点睛】本题主要考查了轴对称最短路径问题，等边三角形的性质与判定，正确作出辅助线确定CE +EF +FD 有最小值的情形是解题的关键．7(2023春·广东佛山·八年级校考期中)如图，已知△ABC ≌△CDA ，将△ABC 沿AC 所在的直线折叠至△AB C 的位置，点B 的对应点为B ，连结BB ．(1)直接填空：B B 与AC 的位置关系是；(2)点P 、Q 分别是线段AC 、BC 上的两个动点(不与点A 、B 、C 重合)，已知△BB C 的面积为36，BC =8，求PB +PQ 的最小值；(3)试探索：△ABC 的内角满足什么条件时，△AB E 是直角三角形？【答案】(1)B B ⊥AC(2)9(3)当∠ACB =45°时，∠AEB =90°；当∠ABC =90°时，∠AB E =90°【分析】(1)根据轴对称的性质即可判断；(2)根据对称的性质，在B C 上取点M ，使得CQ =CM ，结合对称性质推出PB +PQ =PB +PM ，确定三点共线且垂直于B C 时，取得最小值，结合面积进行计算即可；(3)分∠AB E =90°和∠AEB =90°两种情况，根据翻折变换的性质和平行线的性质解答．【详解】(1)解：∵△ABC 沿AC 所在的直线折叠至△AB C 的位置，点B 的对应点为B ，∴B B ⊥AC ，故答案为：B B ⊥AC ；(2)解：如图所示，在B C 上取点M ，使得CQ =CM ，连接PM ，根据对称的性质，PQ =PM ，∴PB +PQ =PB +PM ，要求PB +PQ 的最小值，求PB +PM 的最小值即可，∴当B 、P 、M 三点共线，且BM ⊥B C 时，PB +PM 取得最小值，此时PB +PM =BM ，如图所示，由对称的性质，B C =BC =8，∵取得最小值时，BM ⊥B C ，∴S △BB C =12B C ∙BM ，即：36=12×8∙BM ，解得：BM =9，∴PB +PQ 的最小值为9；(3)解：①当∠ACB =45°时，∠AEB =90°；∵由翻折变换的性质可知，∠BCA =∠B CA ，∴∠BCB =90°，∵△ABC ≌△CDA ，∴∠BCA =∠DAC ，∴AD ∥BC ，∴∠AEB =∠BCB =90°；②由翻折的性质，当∠ABC =90°时，∠AB E =90°．【点睛】本题考查全等三角形的性质、翻折变换的性质、轴对称-最短路径问题、等腰三角形的性质等，熟知折叠是一种对称变换，属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题关键．8(2023春·广东深圳·七年级统考期末)【初步感知】(1)如图1，已知△ABC 为等边三角形，点D 为边BC 上一动点(点D 不与点B ，点C 重合)．以AD 为边向右侧作等边△ADE ，连接CE ．求证：△ABD ≌△ACE；【类比探究】(2)如图2，若点D 在边BC 的延长线上，随着动点D 的运动位置不同，猜想并证明：①AB 与CE 的位置关系为：；②线段EC 、AC 、CD 之间的数量关系为：．【拓展应用】(3)如图3，在等边△ABC 中，AB =3，点P 是边AC 上一定点且AP =1，若点D 为射线BC 上动点，以DP 为边向右侧作等边△DPE ，连接CE 、BE ．请问：PE +BE 是否有最小值？若有，请直接写出其最小值；若没有，请说明理由．【答案】(1)见解析；(2)①AB ∥CE ，②EC =AC +CD ；(3)有，5【分析】(1)根据等边三角形的性质得AB =AC ，AD =AE ，∠BAC =∠DAE =60°从而证∠BAD =∠CAE ，从而即可证明△ABD ≌△ACE (SAS )；(2)证△ABD ≌△ACE (SAS )得∠B =∠ACE =60°，CE =BD ，∠BAC =∠ACE ，利用平行线的判定及线段的和差关系即可得证；(3)在CD 延长线上截取DM =PC ，连接EM ，证△EPC ≌△EDM (SAS )，得EC =EM ，∠CEM =∠PED =60°，再判定△CEM 是等边三角形得∠ECD =60°，从而有点E 在∠ACD 角平分线上运动，作点P 关于CE 对称点P ，连接BP 与CE 交于点C ，此时点E 与点C 重合，于是BE+PE ≥BC +PC =5，即可求解．【详解】(1)证明：∵△ABC 和△ADE 是等边三角形∴AB =AC ，AD =AE∠BAC =∠DAE =60°∵∠BAC =∠DAE∴∠BAC -∠DAC =∠DAE -∠DAC即∠BAD =∠CAE在△ABD 和△ACE 中，AB =AC∠BAD =∠CAEAD =AE∴△ABD ≌△ACE (SAS )(2)解：AB ∥CE ，EC =AC +CD ，∵△ABC 和△ADE 是等边三角形∴AB =AC ，AD =AE∠BAC =∠DAE =60°∵∠BAC =∠DAE∴∠BAC +∠DAC =∠DAE +∠DAC即∠BAD =∠CAE在△ABD 和△ACE 中，AB =AC∠BAD =∠CAEAD =AE∴△ABD ≌△ACE (SAS )∴∠B =∠ACE =60°，CE =BD∴∠BAC =∠ACE∴AB ∥CE∵CE =BD ，AC =BC∴CE =BD =BC +CD =AC +CD ，故答案为：AB ∥CE ，CE =AC +CD ；(3)有最小值，在CD 延长线上截取DM =PC ，连接EM∵△ABC 和△PDE是等边三角形∴EP =ED ，∠ACB =∠PED =60°，∵∠ACD +∠ACB =180°，∴∠ACD +∠PED =180°-60°+60°=180°，∵∠EPC +∠ACD +∠CDE +∠PED =360°，∴∠EPC +∠CDE =180°，∵∠CDE +∠EDM =180°，∴∠EPC =∠EDM ，在△EPC 和△EDM 中，EP =ED∠EPC =∠EDMPC =DM∴△EPC ≌△EDM (SAS)∴EC =EM ，∠CEM =∠PED =60°∴△CEM 是等边三角形∴∠ECD =60°，∴∠ACE =120°-60°=60°=∠ECD即点E 在∠ACD 角平分线上运动作点P 关于CE 对称点P连接BP 与CE 交于点C此时点E 与点C 重合，BE +PE ≥BC +PC =5∴最小值为5．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质、等边三角形的判定及性质、平行线的判定、角平分线的定义以及最短距离，熟练掌握全等三角形的判定及性质以及等边三角形的判定及性质是解题的关键．【类型二实际问题中的最短路径问题】1(2023春·广东广州·八年级华南师大附中校考期中)如图，A 、B 两个村子在笔直河岸的同侧，A 、B 两村到河岸的距离分别为AC =2km ，BD =5km ，CD =6km ，现在要在河岸CD 上建一水厂E 向A 、B两村输送自来水，要求水厂E到A、B两村的距离之和最短．(1)在图中作出水厂E的位置(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；(2)求水厂E到A、B两村的距离之和的最小值．【答案】(1)见解析(2)85km【分析】(1)延长AC，取A C=AC，再连接A B，与CD交于点E即可；(2)作出以A B为斜边的直角△A BF，求出直角边，利用勾股定理求出结果．【详解】(1)解：如图所示：点E即为水厂的位置；(2)如图，作出以A B为斜边的直角△A BF，由(1)可知：AE=A E，由题意可得：AC=2km，BD=5km，CD=6km，∴A C=AC=2km，BF=5+2=7km，A F=CD=6km，∴水厂E到A、B两村的距离之和的最小值为A B=62+72=85km．【点睛】本题考查了应用与设计作图，勾股定理，主要利用轴对称的性质，找出点A关于CD的对称点是确定建水厂位置的关键．【变式训练】1(2023春·八年级课时练习)如图，A，B两个村庄在河CD的同侧，两村庄的距离为a千米，a2=13，它们到河CD的距离分别是1千米和3千米．为了解决这两个村庄的饮水问题，乡政府决定在河CD边上修建一水厂向A，B两村输送水．(1)在图上作出向A，B两村铺设水管所用材料最省时的水厂位置M．(只需作图，不需要证明)(2)经预算，修建水厂需20万元，铺设水管的所有费用平均每千米为3万元，其他费用需5万元，求完成这项工程乡政府投入的资金至少为多少万元．【答案】(1)见解析；(2)50万元.【分析】(1)作点A关于直线CD的对称点A ，连接A B，交CD于M点，即M为所求；(2)连接A A交CD于H点，过点B作PB⊥AH，根据勾股定理求出BP，A B=5km即可得出答案．【详解】(1)解：如图，作点A关于直线CD的对称点A ，连接A B，交CD于M点，即M为所求.(2)解：如图，连接A A交CD于H点，过点B作PB⊥AH，由题意可知：AH=A H=1km，PH=3km，AB=13km，∴PA=PH-AH=2km，PA =PH+A H=4km∴在Rt△APB中，BP=AB2-PA2=13-22=3km，∴在Rt△A PB中，A B=A P2+PB2=42+32=5km，由对称性质可知：AM=A M，水管长AM+BM=A M+BM=A B=5km，完成这项工程乡政府投入的资金至少为30+5×3+5=50(万元)【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，勾股定理，题目比较典型，是一道比较好的题目，考查了学生的动手操作能力和计算能力．2(2021秋·江苏苏州·八年级校考阶段练习)如图，小区A与公路l的距离AC=200米，小区B与公路l的距离BD=400米，已知CD=800米，(1)政府准备在公路边建造一座公交站台Q，使Q到A、B两小区的路程相等，求CQ的长；(2)现要在公路旁建造一利民超市P，使P到A、B两小区的路程之和最短，求PA+PB的最小值，并求CP的长度．【答案】(1)475米(2)1000米，8003米【分析】(1)根据勾股定理列出方程2002+x 2=4002+(800-x )2，解方程即可；(2)如图，作点A 关于直线l 的对称点A ，连接A B ，交直线l 于点P ．则AP =A P ，AP +BP =A P +BP ，PA +PB 的最小值为A B ．(1)解：如图1，此时AQ =BQ ．设CQ =x ，则DQ =800-x ，∴2002+x 2=4002+(800-x )2，解得x =475，即CQ 的长为475米；(2)解：如图2，作点A 关于直线l 的对称点A ，连接A B ，交直线l 于点P ．则AP =A P ，AP +BP =A P +BP ，PA +PB 的最小值为8002+400+200 2=1000米．∵AA ∥BD ，∴CP PD =A C BD =200400=12，∴CP CD =13，∴CP =13CD =13×800=8003(米)，即CP 的长度为8003米．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，作图-应用与设计作图，坐标与图形的性质，确定出Q 、P 的位置是本题的关键．3(2023春·全国·七年级专题练习)问题情境：老师在黑板上出了这样一道题：直线l 同旁有两个定点A ，B ，在直线l 上是否存在点P ，使得PA +PB 的值最小？小明的解法如下：如图，作点A 关于直线l 的对称点A ，连接A B ，则A B 与直线l 的交点即为P ，且PA +PB 的最小值为A B ．问题提出：(1)如图，等腰Rt △ABC 的直角边长为4，E 是斜边AB 的中点，P 是AC 边上的一动点，求PB +PE 的最小值．问题解决：(2)如图，为了解决A，B两村的村民饮用水问题，A，B两村计划在一水渠上建造一个蓄水池M，从蓄水池M处向A，B两村引水，A，B两村到河边的距离分别为AC=3千米，BD=9千米，CD=9千米．若蓄水池往两村铺设水管的工程费用为每千米15000元，请你在水渠CD上选择蓄水池M的位置，使铺设水管的费用最少，并求出最少的铺设水管的费用．【答案】(1)210(2)最少的铺设水管的费用是225000元【分析】(1)作点B关于AC的对称点B ，连接BE交AC于P，此时PB+PE的值最小，连接AB先根据勾股定理求出AB的长，再判断出∠BAB =90°，根据勾股定理即可得出结论；(2)根据轴对称的性质确定水厂位置，作A E⊥BD交BD的延长线于点E,根据矩形的性质分别求出DE、A E，根据勾股定理求出A B，得到PA+PB，结合题意计算即可．【详解】(1)解：如图，作点B关于AC的对称点B ，连接B E交AC于P，此时PB+PE的值最小，连接AB ．因为等腰Rt△ABC的直角边长为4，E是斜边AB的中点，所以AB =AB=AC2+BC2=42+42=42，AB=22，AE=12因为∠B AC=∠BAC=45°，所以∠B AB=90°，所以PB+PE=PB +PE=B E=B A2+AE2=422=210．2+22(2)如图，延长AC到点A ，使CA =AC，连接BA 交CD于点M，点M即为所选择的位置，过点A 作A E ⊥BD交BD的延长线于点E．在Rt△BA E中，BE=9+3=12千米，A E=9千米，所以A B=BE2+A E2=92+122=15(千米)，所以最短路线AM+BM=A B=15(千米)，最少的铺设水管的费用为15×15000=225000(元)．答：最少的铺设水管的费用是225000元．【点睛】本题考查的是三角形综合题，轴对称最短路径问题、勾股定理的应用，掌握轴对称的概念和性质、两点之间，线段最短的性质是解题的关键．【类型三一次函数中线段和最小值问题】1(2023春·山东德州·八年级校考阶段练习)如图，一次函数y=12x+2的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边在第二象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°．(可能用到的公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，①AB中点坐标为x1+x22,y1+y22；②AB=x1-x22+y1-y22(1)求线段AB的长；(2)过B、C两点的直线对应的函数表达式．(3)点D是BC中点，在直线AB上是否存在一点P，使得PC+PD有最小值？若存在，则求出此最小值；若不存在，则说明理由．【答案】(1)AB=25(2)y=-13x+2(3)存在，最小值是52【分析】(1)求出点A、B的坐标，再根据勾股定理求解即可；(2)先证明△ACF≌△BAO，得出点C坐标，再根据待定系数法求解即可；(3)作点C关于AB的对称点M，连接MD交直线AB于点P，则此时PC+PD有最小值，即为MD的长，根据中点坐标公式分别求出点D、M的坐标，再根据两点距离公式求解．【详解】(1)对于y=12x+2，令x=0，则y=2，令y=0，则12x+2=0，解得x=-4，∴A -4,0 ,B 0,2 ，∴AB =22+42=25；(2)作CF ⊥x 轴于点F ，如图，则∠CFA =∠AOB =90°，∵等腰Rt △ABC ，∠BAC =90°，∴AC =AB ，∠ACF =90°-∠CAF =∠BAO ，∴△ACF ≌△BAO ，∴CF =OA =4,AF =BO =2，∴C -6,4 ，设直线BC 的解析式为y =mx +n ，则-6m +n =4n =2 ，解得m =-13n =2 ，∴直线BC 的解析式为y =-13x +2；(3)∵D 是BC 中点，∴点D 的坐标是-3,3 ，作点C 关于AB 的对称点M ，连接MD 交直线AB 于点P ，则此时PC +PD 有最小值，且PC +PD =PD +PM =MD ，即PC +PD 的最小值是MD 的长，∵∠CAB =90°，∴C 、A 、M 三点共线，且A 是CM 中点，设M p ,q ，则-6+p 2=-4,4+q 2=0，解得p =-2,q =-4，∴M -2,-4 ，∴MD =-2+3 2+-4-3 2=52，故PC +PD 存在最小值，是52．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、全等三角形的判定和性质、利用轴对称的性质求线段和的最小值以及两点间的距离公式等知识，具有一定的综合性，熟练掌握相关知识、明确求解的方法是解题关键．【变式训练】1(2023春·河北石家庄·八年级石家庄市第四十一中学校考期中)一次函数y =kx +b 的图像经过两点A 4,0 ，B 0,8 ．点D m ,4 在这个函数图像上(1)求这个一次函数表达式；(2)求m 的值；(3)点C 为OA 的中点，点P 为OB 上一动点，求PC +PD 的最小值．【答案】(1)y =-2x +8(2)2(3)42【分析】(1)利用待定系数法求解即可；(2)将D m ,4 代入一次函数解析式求解即可；(3)作C 与C '关于直径y 轴对称，连接C 'D 交y 轴于P ，则PC +PD 的最小值就是线C 'D 的长度，再求出最小值即可．【详解】(1)将A 4,0 ，B 0,8 代入y =kx +b 得，4k +b =08=b ，解得k =-2b =8∴y =-2x +8；(2)将D m ,4 代入y =-2x +8得，4=-2m +8解得m =2；(3)解：如图，由平面坐标系中的对称性可知，C 与C 关于直径y 轴对称，连接C D 交y 轴于P ，则PC +PD 的最小值就是线C D 的长度，∵A 4,0 ，B 0,8 ，∴C 2,0 ，D 2,4 ，∵C 与C 关于直径y 轴对称，∴C -2,0 ，∴C D =42+42=42，∴PC +PD 的最小值为42，故答案为：42．【点睛】此题是一次函数函数综合题，主要考查了轴对称性，一次函数的性质，勾股定理，解本题的关键是找到使距离之和最小时的点P 位置．2(2023春·湖南长沙·八年级校联考期中)如图，直线l 1经过点A 4,0 ，与直线l 2：y =x 交于点B a ,43．(1)求a 的值和直线l 1的解析式；(2)直线l 1与y 轴交于点C ，求△BOC 的面积；(3)在y 轴上是否存在点P ，使得PB +PA 的值最小，若存在，请求出PB +PA 的最小值，若不存在，请说明理由．【答案】(1)a =43，直线l 1的解析式为y =-12x +2(2)43(3)存在，PB +PA 的最小值为4173【分析】(1)由直线l 2：y =x 经过点B a ,43 即可求得a =43，然后利用待定系数法即可求得直线l 1的解析式；(2)由直线l 1的解析式求得点C 的坐标，然后利用三角形面积公式求得即可；(3)作点B 关于y 轴的对称点B -43,43，连接AB ，交y 轴于点P ，则此时PB +PA 的值最小，PB +PA 的最小值为AB ，利用两点之间的距离公式求解即可得．【详解】(1)解：点B a ,43 代入y =x 得：a =43，设直线l 1的解析式为y =kx +b ，将点A 4,0 ，B 43,43 代入得：4k +b =043k +b =43，解得k =-12b =2 ，则直线l 1的解析式为y =-12x +2．(2)解：对于直线l 1：y =-12x +2，当x =0时，y =2，即C 0,2 ,OC =2，则△BOC 的面积=12×2×43=43．(3)解：存在，求解过程如下：如图，作点B 关于y 轴的对称点B -43,43，连接AB ，交y 轴于点P ，则此时PB +PA 的值最小，PB +PA 的最小值为AB ，∵A 4,0 ，∴AB =4+43 2+0-43 2=4173，∴PB +PA 的最小值为4173．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数的解析式等知识点，熟练掌握待定系数法是解题的关键．3(2023春·重庆万州·九年级重庆市万州第一中学校联考期中)如图1，直线l 1:y =-14x +1与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，直线l 2与x 轴，y 轴分别交于C ，D 两点，两直线相交于点P ，已知点C 的坐标为(-2,0)，点P 的横坐标为-45．(1)直接写出点A 、P 的坐标，并求出直线l 2的函数表达式；(2)如图2，过点A 作x 轴的垂线，交直线l 2于点M ，点Q 是线段AM 上的一动点，连接QD ，QC ，当△QDC 的周长最小时，求点Q 的坐标和周长的最小值．(3)在第(2)问的条件下，若点N 是直线AM 上的一个动点，以D ，Q ，N 三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出此时点N 的坐标．【答案】(1)A (4,0)，P -45,65 ；y =x +2(2)点Q 的坐标为Q 4,65,周长的最小值22+426,(3)4,585 或4,145 或4,6+4265 或4,6-4265 【分析】(1)对于l 1:y =-14x +1，令y =0，求出x =4可得点A 的坐标，再把点P 的横坐标代入y =-14x +1，求出x 的值即可得到点P 的坐标，再运用待定系数法求出直线l 2的解析式即可；(2)先求出点D 的坐标，再运用勾股定理求出CD =22，过点D 作AM 的对称点D ，得D 8，2 ，连接D C ，交AM 于占M ，由两点之间，线段最短可知DQ +CQ 的最小值为D C 的长，从而可得△CDQ 周长的最小值，再运用待定系数法求出直线D C 的解析式，进一步可得出点Q 的坐标；(3)设N 4,t ，分别求出DN 、QN 、DQ 的长，再分DN =QN ，DN =DQ ，QN =DQ 三种情况讨论求解即可．【详解】(1)对于y =-14x +1，当y =0时，-14x +1=0，解得，x =4，∴A (4,0)，∵点P 的横坐标为-45，∴y =-14×-45 +1=65,∴P -45,65；设直线l 2的解析式为y =kx +b ,把C -2,0 ,P -45,65代入y =kx +b ,得，-2k +b =0-45k +b =65，解得：k =1b =2 ，∴直线l 2的解析式为y =x +2；(2)对于直线y =x +2，当x =0时，y =2,∴D (0,2),过点D 作点D 关于AM 的对称点D ，连接D C 交AM 于点D ，根据“两点之间，线段最短”可知，DQ +CQ 的最小值为D C 的长，∵D (0,2)，∴D 8,2又C -2，0∴CD =8-(-2) 2+2-0 2=426，CD =22+22=22∴△CDQ 的周长最小值为：CD +CD =22+426,设D C 的解析式为：y =mx +n ,把C -2，0 ，D 8,2 代入y =mx +n ,得，-2m +n =08m +n =2 ，解得，m =15n =25∴直线D C 的解析式为y =15x +25,当x =4时，y =15×4+25=65,∴Q 4,65；(3)设N (4,t )，∵Q 4,65，C -2，0，∵DN 2=(0-4)2+(2-t )2=(2-t )2+16,QN 2=t -65 2,DQ 2=(0-4)2+2-45 2=41625.当DN =QN 时，有DN 2=QN 2,∵(2-t )2+16=t -65 2，解得，t =585,∴N 4,585；当DN =DQ 时，有DN 2=DQ 2,∴(2-t )2+16=41625，解得，t 1=145，t 2=65(不符合题意，舍去)∴N 4,145当QN =DQ 时，有QN 2=DQ 2,∴t -65 2=41625，解得，t =6+4265，t 2=6-4265，∴N 4,6+4265 或N 4,6-4265，综上,点N 的坐标为:4,585 或4,145 或4,6+4265 或4,6-4265【点睛】本题考查一次函数综合题、三角形的面积、等腰三角形的性质和判定、最短问题等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用对称解决最值问题．【类型四一次函数中线段差最大值问题】1(2023秋·四川成都·八年级统考期末)如图所示，直线l 1:y =x -1与y 轴交于点A ，直线l 2:y =-2x -4与x 轴交于点B ，直线l 1与l 2交于点C ．(1)求点A ,C 的坐标；(2)点P 在直线l 1上运动，求出满足条件S △PBC =S △ABC 且异于点A 的点P 的坐标；(3)点D (2,0)为x 轴上一定点，当点Q 在直线l 1上运动时，请直接写出DQ -BQ 的最大值．【答案】(1)点A 的坐标为(0,-1)，点C 的坐标为(-1,-2)(2)(-2,-3)(3)10【分析】(1)根据直线与坐标轴交点的特点即可求解，联立两条直线的解析式，解二元一次方程组即可求解；(2)根据直线与坐标轴的交点，求出△ABC 的面积，设P (p ,p -1)，用含p 的式子表示△PBC 的面积，根据S △PBC =S △ABC 即可求解；(3)如图，作点B 关于直线l 1的对称点B ，连接B D 并延长交直线l 1于Q ，求DQ -BQ 的最大值转换为求B D ，根据勾股定理即可求解．【详解】(1)解：∵直线l 1:y =x -1与y 轴交于点A ，∴令x =0，则y =-1，∴点A 的坐标为(0,-1)，联立直线l 1:y =x -1与直线l 2:y =-2x -4得，y =x -1y =-2x -4 ，解得，x =-1y =-2 ，∴点C 的坐标为(-1,-2)．(2)解：如图，直线l1与x 轴交于点M ，直线l 1:y =x -1，令y =0，则x =1，∴点M 的坐标(1,0)，直线l 2:y =-2x -4，令y =0，则x =-2，∴点B 的坐标(-2,0)，且点C (-1,-2)，∴BM =3，∴S △ABC =S △MBC -S △ABM =12×3×2-12×3×1=32，∵S △PBC =S △ABC ，∵点P 在直线l 1上运动，且点P 只能在点C 的左下方，∴设P (p ,p -1)，∴S△PBC=S△MPB-S△CBM=12×3×p-1-12×3×2=32，∴p-1=3，∴p-1=±3，解得p=-2或p=4(舍去)，∴当P(-2,-3)时，S△PBC=S△ABC=32；∴满足条件S△PBC=S△ABC且异于点A的点P的坐标为(-2,-3)．(3)解：如图，作点B关于直线l1的对称点B ，连接B D并延长交直线l1于Q，∴BQ=B Q，BE=B E，设直线l1交x轴于E，由(2)知E1,0，∵OE=OA=1，∴∠OEA=45°，∴∠B EB=90°，∵点B的坐标(-2,0)，∴BE=B E=3，∴点B 的坐标(1,-3)，∴DQ-BQ的最大值为DQ-B Q=B D，∵点D(2,0)，∴B D=(2-1)2+32=10，∴DQ-BQ的最大值为10．【点睛】本题主要考查一次函数与几何的综合，掌握一次函数图像的性质，几何图形的变换，解二元一次方程组的方法，勾股定理等知识是解题的关键．【变式训练】1如图①，平面直角坐标系中，直线y=kx+b与x轴交于点A(-10，0)，与y轴交于点B，与直线y=-73x交于点C(a，7)．(1)求直线AB的表达式；(2)如图②，在(1)的条件下，过点E作直线l⊥x轴，交直线y=-73x于点F，交直线y=kx+b于点G，若点E的坐标是(-15，0)，求△CGF的面积；(3)点M为y轴上OB的中点，直线l上是否存在点P，使PM-PC的值最大？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；【答案】(1)y=x+10(2)240(3)存在，13【分析】(1)先求得点C 的坐标(-3.7)，再将C (-3，7)和A (-10，0)代入y =kx +b ，即可得到直线AB 的解析式；(2)先求得点G 、F 的坐标，再利用三角形面积公式求解即可；(3)由三角形的三边关系可知当点P 、M 、C 在一条直线上时，PM -PC 的值最大，据此求解即可；(1)将点C (a ，7)代入y =-73x ，可得a =-3，∴点C 的坐标为(-3，7)，将C (-3，7)和A (-10，0)代入y =kx +b ，可得-3k +b =7-10k +b =0 ，解得k =1b =10 ，∴直线AB 的解析式为y =x +10；(2)∵点E 的坐标是(-15，0)．∴当x =-15时，y =-73×(-15)=35和y =-15+10=-5，∴点F 的坐标为(-15，35)，点G 的坐标为(-15，-5)，∴S ΔCGF =12GF ×(x c -x E )=12×40×12=240；(3)存在，证明：由三角形的三边关系可知当点P 、M 、C 在一条直线上时，PM -PC 的值最大，令x =0，则y =10，∴点B 的坐标(0，10)，∵点M 为y 轴上OB 的中点，∴点M 的坐标为(0，5)，设直线MC 的解析式为y =ax +5，将C (-3，7)代入得：7=-3a +5，解得：a =-23，∴直线MC 的解析式为y =-23x +5，当x =-15时，y =-23×(-15)+5=15，∴点P 的坐标为(-15，15)，∴PM -PC =CM =(-3-0)2+(7-5)2=13；【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，三角形的面积，轴对称性质，全等三角形的判定与性质的综合应用，解题关键是掌握三角形面积在坐标系内的求法，并且能够熟练使用三角形全等解题．2在进行13.4《最短路径问题》的学习时，同学们从一句唐诗“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”(唐•李颀《古从军行》出发，一起研究了蕴含在其中的数学问题--“将军饮马”问题．同学们先研究了最特殊的情况，再利用所学的轴对称知识，将复杂问题转化为简单问题，找到了问题的答案，并进行了证明．下列图形分别说明了以上研究过程．证明过程如下：如图4，在直线l上另取任一点C ，连结AC ,BC ,B C ，∵点B，B 关于直线l对称，点C，C 在l上，∴CB=，C B=，∴AC+CB=AC+CB =．在△AC B 中，∵AB <AC +C B ，∴AC+CB<AC +C B ，即AC+CB最小．(1)请将证明过程补充完整．(直接填在横线上)(2)课堂小结时，小明所在的小组同学提出，如图1，A，B是直线l同旁的两个定点．在直线l上是否存在一点P，使PB-PA的值最大呢？请你类比“将军饮马”问题的探究过程，先说明如何确定点P的位置，再证明你的结论是正确的．(3)如图，平面直角坐标系中，M2,2的最大值,N4,-1,MN=13，P是坐标轴上的点，则PM-PN为，此时P点坐标为．(直接写答案)【答案】(1)CB ,C B ,AB(2)连结BA并延长，交直线l于点P，点P即为所求；证明见解析(3)5或13；6,0或0,5【分析】(1)根据点B，B 关于直线l对称，可得CB=CB ，C B=C B ，从而得到AC+CB=AC+CB = AB ．在△AC B 中，根据三角形的三边关系，即可；(2)连结BA并延长，交直线l于点P，点P即为所求，根据三角形的三边关系，即可；(3)分两种情况讨论：当时点P在x轴上时，作点N关于x轴的对称点N ，连接MN ，延长MN 交x轴于点P，则点P即为所求；此时PM-PN的最大值为MN ；当点P在y轴上时，连接MN，延长NM交y轴于点P ，则点P 即为所求，此时PM-PN的最大值为MN=13，即可求解．【详解】(1)解：证明：如图4，在直线l上另取任一点C ，连结AC ,BC ,B C ，∵点B，B 关于直线l对称，点C，C 在l上，∴CB=CB ，C B=C B ，∴AC+CB=AC+CB =AB ．在△AC B 中，∵AB <AC +C B ，∴AC+CB<AC +C B ，即AC+CB最小．故答案为：CB ,C B ,AB。
函数中将军饮马问题教学设计
函数中将军饮马问题教学设计一、教学内容解析通过轴对称思想建立模型解决数学中的最短路径问题，是近几年中考中常出现且大多以压轴题的形式出现的考查点。
由于中学生数学建模能力不强，许多学生认为解决最短路径问题比较困难，无从下手。
本文通过运用“将军饮马”问题中的轴对称思想在一些复杂图形中建立轴对称模型，解决求线段和、三角形周长等一类最小值问题以及函数动点中的最小值问题，给数学教育工作者中考备考提出一些建议。
本节课以数学史中的一个经典故事“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间、线段最短”的问题。
【教学目标】1.要求学生能将实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的“点”、“线”，把最短路径问题抽象为数学中的线段和最小问题，能利用轴对称变换转化为“两点之间，线段最短”问题，通过逻辑推理证明所求距离最短，从而解决一些复杂图形中求函数动点中的最值问题。
2.培养学生探究问题的兴趣和合作交流的意识，提高解题能力，体会感悟转化的数学思想.【教学重点】利用两点之间，线段最短及轴对称变换解决有关最短距离问题。
【教学难点】如何找动点、定点、对称点、对称轴，利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题。
【课时设计】1 课时教学过程：教师活动“将军饮马”问题在古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，有位将军不远千里专程来向他请教一个问题：将军从位于 A 点的军营出发到河边饮马，然后再去 B 军营，饮马的地点选在哪，才能使所走的总路程最短？1.这个问题中A 点和B 点在河的不同侧；2. A 点和B 点在河的同侧；（1）（2）例（2015 年广东中考题）如图，反比例函数(k≠0，x＞0)图象与直线y=3x 相交于点C，过直线上点A(1，3)作AB⊥x轴于点B，交反比例函数图象于点D，且AB=3BD。
（1）求k 的值；（2）求点C 的坐标；（3）在y 轴上确定一点M，使点M 到C、D 两点距离之和d=MC+MD 最小，求点M 的坐标。
2022年中考数学二次函数压轴突破 专题02 将军饮马模型(教师版含解析)
将军饮马模型考情分析：通过全国中考试题分析来看，将军饮马的模型多出现在中考二次函数压轴题第二问中出现，难度不大，但需要注意对称点的选择，动点通常在对称轴上，而且已知定点中往往有一个与x 轴的交点.考法主要有以下几种：1.求取最小值时动点坐标2.求最小值.3.求三角形或四边形周长最小值.模型一：两定点一动点如图，A,B 为定点，P 为l 上动点，求AP+BP 最小值解析：作点A 关于直线的对称点A'，连接P A'，则P A '=P A ，所以P A +PB =P A '+PB当A'、P 、B 三点共线的时候，P A'+PB =A'B ，此时为最小值(两点之间线段最短)PBAA 'ABP 折点端点A 'P BA如图，P 为定点，M 、N 分别为OA 和OB 上的动点，求△PMN 周长最小值解析：分别作点P 关于OA 、OB 的对称点，则△PMN 的周长为PM +MN +NP =P'M +MN +NP ''，当P '、M 、N 、P ''共线时，△PMN 周长最小．模型三：两定点两动点如图，P 、Q 为两定点，M 、N 分别为OA 、OB 上的动点，求四边形PQMN 的最小值.解析：∵PQ 是条定线段，∴只需考虑PM +MN +NQ 最小值即可， 分别作点P 、Q 关于OA 、OB 对称， PM +MN +NQ =P 'M +MN +NQ '，当P '、M 、N 、Q '共线时，四边形PMNQ 的周长最小。
BBBB如图，P 为定点，M 、N 分别为OA 、OB 上的动点，求PM +MN 最小值。
解析：作点P 关于OA 对称的点P '，PM +MN =P 'M +MN ，过点P '作OB 垂线分别交OA 、OB 于点M 、N ， 得PM +MN 最小值(点到直线的连线中，垂线段最短)模型五：将军饮马有距离例一、如图，A 、D 为定点，B 、C 为直线l 上两动点，BC 为定值，求AB+BC+CD 最小值？解析：BC 为定值，只需求AB+CD 最小即可；平移AB 至CE ,则变成求CE+CD 的最小值，基本将军饮马的模型例二、如图，A 、D 为定点，B 、C 为直线l 1 、l 2上两动点，BC ⊥l 1，求AB+BC+CD 最小值？解析：BC 为定值，只需求AB+CD 最小即可；BB平移CD至BE，则变成求AB+BE最小，基本将军饮马.经典例题剖析：例一：如图1(注：与图2完全相同)，在直角坐标系中，抛物线经过点(1,0)A、(5,0)B、(0,4)C三点．(1)求抛物线的解析式和对称轴；(2)P是抛物线对称轴上的一点，求满足PA PC+的值为最小的点P坐标(请在图1中探索)；【分析】(1)将点A、B的坐标代入二次函数表达式得：2(1)(5)(65)y a x x a x x=--=-+，即可求解；(2)连接B、C交对称轴于点P，此时PA PC+的值为最小，即可求解；【解答】解：(1)将点A、B的坐标代入二次函数表达式得：2(1)(5)(65)y a x x a x x=--=-+，则54a=，解得：45a=，抛物线的表达式为：224424(65)4555y x x x x=-+=-+，函数的对称轴为：3x=，顶点坐标为16(3,)5-；(2)连接B、C交对称轴于点P，此时PA PC+的值为最小，将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y kx b=+得：054k bb=+⎧⎨=⎩，解得：454kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，直线BC的表达式为：445y x=-+，当3x =时，85y =， 故点8(3,)5P ；例二：如图，直线3y x =-+与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点，抛物线2y x bx c =-++经过点B 、C ，与x 轴另一交点为A ，顶点为D ．(1)求抛物线的解析式；(2)在x 轴上找一点E ，使EC ED +的值最小，求EC ED +的最小值；【分析】(1)直线3y x =-+与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点，则点B 、C 的坐标分别为(3,0)、(0,3)，将点B 、C 的坐标代入二次函数表达式，即可求解；(2)如图1，作点C 关于x 轴的对称点C '，连接CD '交x 轴于点E ，则此时EC ED +为最小，即可求解； 【解答】解：(1)直线3y x =-+与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点，则点B 、C 的坐标分别为(3,0)、(0,3)， 将点B 、C 的坐标代入二次函数表达式得：9303b c c -++=⎧⎨=⎩，解得：23b c =⎧⎨=⎩，故函数的表达式为：223y x x =-++，令0y =，则1x =-或3，故点(1,0)A -； (2)如图1，作点C 关于x 轴的对称点C '，连接CD '交x 轴于点E ，则此时EC ED +为最小，函数顶点D 坐标为(1,4)，点(0,3)C '-，将C '、D 的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线C D '的表达式为：73y x =-， 当0y =时，37x =， 故点3(7E ，0)，则EC ED +的最小值为DC '=例三：如图，以D 为顶点的抛物线2y x bx c =-++交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，直线BC 的表达式为3y x =-+． (1)求抛物线的表达式；(2)在直线BC 上有一点P ，使PO PA +的值最小，求点P 的坐标；【分析】(1)先求得点B 和点C 的坐标，然后将点B 和点C 的坐标代入抛物线的解析式得到关于b 、c 的方程，从而可求得b 、c 的值；(2)作点O 关于BC 的对称点O '，则(3,3)O '，则OP AP +的最小值为AO '的长，然后求得AO '的解析式，最后可求得点P 的坐标；【解答】解：(1)把0x =代入3y x =-+，得：3y =，(0,3)C ∴． 把0y =代入3y x =-+得：3x =，(3,0)B ∴，将(0,3)C 、(3,0)B 代入2y x bx c =-++得：9303b c c -++=⎧⎨=⎩，解得2b =，3c =．∴抛物线的解析式为223y x x =-++．(2)如图所示：作点O 关于BC 的对称点O '，则(3,3)O '． O '与O 关于BC 对称，PO PO ∴='．OP AP O P AP AO ∴+='+'．∴当A 、P 、O '在一条直线上时，OP AP +有最小值．设AP 的解析式为y kx b =+，则033k b k b -+=⎧⎨+=⎩，解得：34k =，34b =．AP ∴的解析式为3344y x =+． 将3344y x =+与3y x =-+联立，解得：127y =，97x =，∴点P 的坐标为9(7，12)7．例四：如图，抛物线2y ax bx c =++的图象过点(1,0)A -、(3,0)B 、(0,3)C ．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使得PAC ∆的周长最小，若存在，请求出点P 的坐标及PAC ∆的周长；若不存在，请说明理由；【分析】(1)由于条件给出抛物线与x 轴的交点(1,0)A -、(3,0)B ，故可设交点式(1)(3)y a x x =+-，把点C 代入即求得a 的值，减小计算量．(2)由于点A 、B 关于对称轴：直线1x =对称，故有PA PB =，则PAC C AC PC PA AC PC PB ∆=++=++，所以当C 、P 、B 在同一直线上时，PAC C AC CB ∆=+最小．利用点A 、B 、C 的坐标求AC 、CB 的长，求直线BC 解析式，把1x =代入即求得点P 纵坐标．【解答】解：(1)抛物线与x 轴交于点(1,0)A -、(3,0)B ∴可设交点式(1)(3)y a x x =+- 把点(0,3)C 代入得：33a -=1a ∴=-2(1)(3)23y x x x x ∴=-+-=-++∴抛物线解析式为223y x x =-++(2)在抛物线的对称轴上存在一点P ，使得PAC ∆的周长最小． 如图1，连接PB 、BC点P 在抛物线对称轴直线1x =上，点A 、B 关于对称轴对称PA PB ∴=PAC C AC PC PA AC PC PB ∆∴=++=++当C 、P 、B 在同一直线上时，PC PB CB +=最小 (1,0)A -、(3,0)B 、(0,3)C221310AC ∴=+=，223332BC =+=1032PAC C AC CB ∆∴=+=+最小设直线BC 解析式为3y kx =+把点B 代入得：330k +=，解得：1k =-∴直线:3BC y x =-+132P y ∴=-+=∴点(1,2)P 使PAC ∆的周长最小，最小值为1032+专题训练1．(2020秋•马山县期中)如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于点A 、(1,0)B ，与y 轴交于点C ，直线122y x =-经过点A 、C ．抛物线的顶点为D ，对称轴为直线l ． (1)求抛物线的解析式；(2)设点G 是y 轴上一点，是否存在点G ，使得GD GB +的值最小，若存在，求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】(1)利用一次函数的性质求得点A 、C 的坐标，然后把点A 、B 、C 的坐标分别代入二次函数解析式，利用待定系数法求得二次函数解析式；(2)利用轴对称-最短路径方法得点G ，先计算B D '的解析式，令0x =可得点G 的坐标． 【解答】解：(1)如图1，对于直线122y x =-，令0y =，得4x =，令0x =，得2y =-，∴点(4,0)A ，点(0,2)C -，将(4,0)A ，(1,0)B ，(0,2)C -代入抛物线解析式得：164002a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，解得：12522a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩，∴抛物线解析式为215222y x x =-+-；(2)存在．如图3，取点B 关于y 轴的对称点B '，则点B '的坐标为(1,0)-，连接B D '，直线B D '与y 轴的交点G 即为所求的点．22151592()22228y x x x =-+-=--+，∴顶点5(2D ，9)8，设直线B D '的解析式为(0)y kx d k =+≠， 则05928k d k d -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：928928k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线B D '的解析式为992828y x =+， 当0x =时，928y =， ∴点G 的坐标为9(0,)28． 2．(2019•遵义)如图，抛物线21:2C y x x =-与抛物线22:C y ax bx =+开口大小相同、方向相反，它们相交于O ，C 两点，且分别与x 轴的正半轴交于点B ，点A ，2OA OB =．(1)求抛物线2C 的解析式；(2)在抛物线2C 的对称轴上是否存在点P ，使PA PC +的值最小？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由；【分析】(1)1C 、22:C y ax bx =+开口大小相同、方向相反，则1a =-，将点A 的坐标代入2C 的表达式，即可求解；(2)作点C 关于1C 对称轴的对称点(1,3)C '-，连接AC '交函数2C 的对称轴于点P ，此时PA PC +的值最小，即可求解；【解答】解：(1)令：220y x x =-=，则0x =或2，即点(2,0)B ，1C 、22:C y ax bx =+开口大小相同、方向相反，则1a =-，则点(4,0)A ，将点A 的坐标代入2C 的表达式得：0164b =-+，解得：4b =，故抛物线2C 的解析式为：24y x x =-+；(2)联立1C 、2C 表达式并解得：0x =或3，故点(3,3)C ，作点C 关于2C 对称轴的对称点(1,3)C '，连接AC '交函数2C 的对称轴于点P ，此时PA PC +的值最小为：线段AC '的长度=此时点(2,2)P ；3．(2020秋•金乡县期中)如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点(0,3)C -，A 点的坐标为(1,0)-．(1)求二次函数的解析式；(2)若Q 为抛物线对称轴上一动点，当Q 在什么位置时QA QC +最小，求出Q 点的坐标，并求出此时QAC ∆的周长．【分析】(1)用待定系数法即可求解；(2)点A 关于函数对称轴的对称点为点B ，连接BC 交函数对称轴于点Q ，连接AQ ，则此时QAC ∆的周长最小，进而求解．【解答】解：(1)(1,0)A -，(0,3)C -在2y x bx c =++上， 则103b c c -+=⎧⎨=-⎩，解得23b c =-⎧⎨=-⎩， ∴二次函数的解析式为223y x x =--；(2)点A 关于函数对称轴的对称点为点B ，连接BC 交函数对称轴于点Q ，连接AQ ，则此时QAC ∆的周长最小，理由：QAC ∆的周长AC AQ QC AB AQ QC BC CQ =++=++=+为最小，由点B 、C 的坐标得，直线BC 的表达式为3y x =-，当1x =时，32y x =-=-，即点(1,2)Q -，则QAC ∆的周长最小值BC AC =+==．4．(2020秋•房县期中)如图，抛物线213y x mx n =-+与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点(0,1)C -，且对称轴1x =．(1)求出抛物线的解析式及A ，B 两点的坐标；(2)在对称轴上方是否存在点D ，使三角形ADC 的周长最小？若存在，求出点D 的坐标；若不存在．说明理由(使用图1)；【分析】(1)用待定系数法即可求解；(2)连接CB 交对称轴于点D ，此时三角形DAC 周长最小，进而求解；【解答】解：(1)抛物线与y 轴交于点(0,1)C -，且对称轴x l =， 则11231m n -⎧-=⎪⎪⨯⎨⎪=-⎪⎩，解得231m n ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴抛物线解析式为212133y x x =--， 令2121033y x x =--=，得：11x =-，23x =， (1,0)A ∴-，(3,0)B ；(2)在对称轴上存在D 使三角形形DAC 的周长最小，连接CB 交对称轴于点D ，此时三角形DAC 周长最小．设BC 的解析式为y kx b =+，把(3,0)B 、(0,1)C -分别代入上式得：130b k b =-⎧⎨+=⎩，解得131k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， 故直线BC 的解析式为113y x =-， 当1x =时，23y =-， 所以点D 的坐标为2(1,)3-； 5．(2020秋•青羊区校级期中)如图，抛物线25()2y a x h =-+经过点(1,0)A ，(0,3)C ． (1)求抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标；(2)如图①，在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使得四边形PAOC 的周长最小？若存在，求出此时P 点坐标；若不存在，请说明理由；【分析】(1)根据函数的对称性即可求解；(2)A、B两点关于对称轴对称，连接BC交对称轴于点P，则P点即为所求，进而求解；【解答】解：(1)由抛物线表达式知，函数的对称轴为52x=，而点(1,0)A，根据点的对称性，则512(1)42xB=+⨯-=，故点B的坐标为(4,0)；(2)存在，理由：抛物线经过点(1,0)A，(4,0)B，A∴、B关于对称轴对称，如图1，连接BC，BC ∴与对称轴的交点即为所求的点P ，此时PA PC BC +=，∴四边形PAOC 的周长最小值为：OC OA BC ++，(1,0)A ，(4,0)B ，(0,3)C ，设直线BC 解析式为y kx n =+，把B 、C 两点坐标代入可得403k n n +=⎧⎨=⎩，解得343k n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BC 的解析式为334y x =-+， 由抛物线的表达式知，抛物线的对称轴为52x =， 当52x =时，39348y x =-+=， 故点P 的坐标为5(2，9)8； 6．(2019•柳州)如图，直线3y x =-交x 轴于点A ，交y 轴于点C ，点B 的坐标为(1,0)，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过A ，B ，C 三点，抛物线的顶点为点D ，对称轴与x 轴的交点为点E ，点E 关于原点的对称点为F ，连接CE ，以点F 为圆心，12CE 的长为半径作圆，点P 为直线3y x =-上的一个动点． (1)求抛物线的解析式；(2)求BDP ∆周长的最小值；【分析】(1)直线3y x =-，令0x =，则3y =-，令0y =，则3x =，故点A 、C 的坐标为(3,0)、(0,3)-，即可求解；(2)过点B 作直线3y x =-的对称点B '，连接BD 交直线3y x =-于点P ，直线B B '交函数对称轴与点G ，则此时BDP ∆周长BD PB PD BD B B =++=+'为最小值，即可求解；【解答】解：(1)直线3y x =-，令0x =，则3y =-，令0y =，则3x =，故点A 、C 的坐标为(3,0)、(0,3)-，则抛物线的表达式为：2(3)(1)(43)y a x x a x x =--=-+，则33a =-，解得：1a =-，故抛物线的表达式为：243y x x =-+-⋯①；(2)连接DB '交于直线于P ；此时三角形BDP 周长BD PB PD BD DB =++=+'为最小值，(2,1)D ，则点(2,1)G -，即：BG EG =，即点G 是BB '的中点，过点(3,2)B '-，BDP ∆周长最小值BD B D =+'7．(2019•荆州)如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC 的顶点A ，C 的坐标分别为(6,0)，(4,3)，经过B ，C 两点的抛物线与x 轴的一个交点D 的坐标为(1,0)．(1)求该抛物线的解析式；(2)若AOC ∠的平分线交BC 于点E ，交抛物线的对称轴于点F ，点P 是x 轴上一动点，当PE PF +的值最小时，求点P 的坐标；【分析】(1)由平行四边形OABC 的性质求点B 坐标，根据抛物线经过点B 、C 、D 用待定系数法求解析式．(2)由OE 平分AOC ∠易证得COE AOE OEC ∠=∠=∠，故有CE OC =，求得点E 坐标，进而求得直线OE 解析式．求抛物线对称轴为直线7x =，即求得点F 坐标．作点E 关于x 轴的对称点点E '，由于点P 在x 轴上运动，故有PE PE '=，所以当点F 、P 、E '在同一直线上时，PE PF PE PF FE ''+=+=最小．用待定系数法求直线E F '解析式，即求得E F '与x 轴交点P 的坐标．【解答】解：(1)平行四边形OABC 中，(6,0)A ，(4,3)C6BC OA ∴==，//BC x 轴610B C x x ∴=+=，3B C y y ==，即(10,3)B设抛物线2y ax bx c =++经过点B 、C 、(1,0)D∴10010316430a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 解得：19149139a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩∴抛物线解析式为211413999y x x =-+-(2)如图1，作点E 关于x 轴的对称点E '，连接E F '交x 轴于点P (4,3)C5OC ∴= //BC OAOEC AOE ∴∠=∠ OE 平分AOC ∠AOE COE ∴∠=∠OEC COE ∴∠=∠5CE OC ∴==59E C x x ∴=+=，即(9,3)E∴直线OE 解析式为13y x = 直线OE 交抛物线对称轴于点F ，对称轴为直线：149712()9x =-=⨯-7(7,)3F ∴点E 与点E '关于x 轴对称，点P 在x 轴上 (9,3)E '∴-，PE PE '= ∴当点F 、P 、E '在同一直线上时，PE PF PE PF FE ''+=+=最小 设直线E F '解析式为y kx h =+ ∴93773k h k h +=-⎧⎪⎨+=⎪⎩解得：8321k h ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴直线8:213E F y x '=-+ 当82103x -+=时，解得：638x = ∴当PE PF +的值最小时，点P 坐标为63(8，0)．。
难关必刷03轴对称之将军饮马模型(3种类型30题专练)(解析版)
难关必刷03轴对称之将军饮马模型（3种类型30题专练）【模型梳理】如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？B军营河如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？这个问题的难点在于PA+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．【模型解析】作点A关于直线的对称点A’，连接PA’，则PA’=PA，所以PA+PB=PA’+PB当A’、P、B三点共线的时候，PA’+PB=A’B ，此时为最小值（两点之间线段最短）类型一：两定一动在OA 、OB 上分别取点M 、N ，使得△PMN 周长最小．此处M 、N 均为折点，分别作点P 关于OA （折点M 所在直线）、OB （折点N 所在直线）的对称点，化折线段PM +MN +NP 为P ’M +MN +NP ’’，当P ’、M 、N 、P ’’共线时，△PMN 周长最小．类型二：两定两动在OA 、OB 上分别取点M 、N 使得四边形PMNQ 的周长最小。
考虑PQ 是条定线段，故只需考虑PM +MN +NQ 最小值即可，类似，分别作点P 、Q 关于OA 、OB 对称，化折线段PM +MN +NQ 为P ’M +MN +NQ ’，当P ’、M 、N 、Q ’共线时，四边形PMNQ 的周长最小。
类型三：一定两动在OA 、OB 上分别取M 、N 使得PM +MN 最小。
此处M 点为折点，作点P 关于OA 对称的点P ’，将折线段PM +MN 转化为P ’M +MN ，即过点P ’作OB 垂线分别交OA 、OB 于点M 、N ，得PM +MN 最小值（点到直线的连线中，垂线段最短）BBBBBB【题型讲解】类型一：两定一动【例1】如图，在中，，是的两条中线，是上一个动点，则下列线段的长度等于最小值的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【详解】在中，，AD 是的中线，可得点B 和点D 关于直线AD 对称，连结CE ，交AD 于点P ，此时最小，为EC 的长，故选B.【变式】如图，点P 是∠AOB 内任意一点，∠AOB =30°，OP =8，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，则△PMN 周长的最小值为___________．【分析】△PMN 周长即PM +PN +MN 的最小值，此处M 、N 均为折点，分别作点P 关于OB 、OA 对称点P ’、P ’’，化PM +PN +MN 为P ’N +MN +P ’’M ．当P ’、N 、M 、P ’’共线时，得△PMN 周长的最小值，即线段P ’P ’’长，连接OP ’、OP ’’，可得△OP ’P ’’为等边三角形，所以P ’P ’’=OP ’=OP =8．P OBAMNA类型二：两定两动【例2】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =6．AB =12，AD 平分∠CAB ，点F 是AC 的中点，点E 是AD 上的动点，则CE +EF 的最小值为 A ．3B ．4C ．D ．【分析】此处E 点为折点，可作点C 关于AD 的对称，对称点C ’在AB 上且在AB 中点，化折线段CE +EF 为C ’E +EF ，当C ’、E 、F 共线时得最小值，C ’F 为CB 的一半，故选C ．【变式】如图，在锐角三角形ABC 中，BC =4，∠ABC =60°， BD 平分∠ABC ，交AC 于点D ，M 、N 分别是BD ，BC 上的动点，则CM +MN 的最小值是 A()E AFCDB()NMDCBAAB ．2C ．D ．4【分析】此处M 点为折点，作点N 关于BD 的对称点，恰好在AB 上，化折线CM +MN 为CM+MN ’．因为M 、N 皆为动点，所以过点C 作AB 的垂线，可得最小值，选C ．类型三：一定两动【例3】点P 是定点，在OA 、OB 上分别取M 、N ，使得PM+MN 最小。
《将军饮马问题》教案 (2)
《将军饮马问题》教案一、问题背景：唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。
”诗中隐含着一个有趣的数学问题。
如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后再到B点宿营，请问怎样走使总的路程最短？B·营地A·山峰河流这个问题在古罗马时代就有了，传说在亚历山大城有位精通数学和物理的学者，名叫海伦。
一天，以为罗马将军专程拜访他，向他请教一个百思不其解的问题。
将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河边同侧的B 营地开会，应怎样走使路程最短？这个问题很简单，海伦略加思索就解决了二、引用“饮马问题”：将军饮马问题，应用拓展到人教版八年级上册轴对称性质当中一实际应用问题：如图所示，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？B·镇A·镇L三、教学方法的探究：当教师在组织教学活动中，平铺直叙得讲，学生不易理解。
“将军饮马”问题，在学生理解方面，存在两大难点，一是如何利用轴对称的性质作出使得线路最短的点。
二是说明最短的理由，如何设计探究活动组织有意义的方法和策略，成为了突出重点、突破难点，化难为易的关键，可采用镜面反射的原理创设探究活动，使问题简单化，学生易于理解和掌握。
设想把河流看作诗一面平面镜，村庄A、B看作诗甲、乙两人，这样设计：甲、乙两人分别位于镜面的同侧A、B两点，甲、乙通过镜面分别看到自己的影子A′、B′。
如图，连接AB′，AB′与L交于C，甲、乙通过镜面都能看到对方的影子。
连接A′C与BC，探究：BALC C′A′B′（1）、AC与A′C，B′C与BC上存在什么关系，说明理由。
（2）、AC+B′C与AC+BC存在大小关系如何，说明理由。
（3）、平面镜L有异于C点的另外一点C′，连接AC′、BC′、B′C′，AC′+BC′与AC′+B′C′是否相等？AC′+BC′与AC+BC是否相等？不相等大小关系如何？说明理由。
最短路径问题(将军饮马为题) 优秀教案
人教版八年级上册第十三章轴对称课题学习最短路径问题教学设计课题人教版八年级上册第十三章轴对称教具准备多媒体课件，正方体纸盒13.4课题学习最短路径问题学具准备正方体纸盒，三角板课时共（1）课时，第（1）课时执教教师教材分析本节课是在学生已经学习了“两点之间，线段最短”“垂线段最短”的基础上，借助轴对称研究以数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题．学情分析最短路径问题从本质上说是极值问题，作为八年级的学生，在此之前很少接触，解决这方面问题的经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的极值问题，更会感到陌生，无从下手。
教学目标知识与技能1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题。
2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用。
3.感悟转化思想。
过程与方法1.在将实际问题抽象成几何图形的过程中,提高分析问题、解决问题的能力。
；2.渗透数学建模的思想。
情感态度与价值观1.通过有趣的问题提高学习数学的兴趣.2.体验数学学习的实用性,体现人人都学有所用的数学教学重点利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题；培养学生解决实际问题的能力.教学难点路径最短的证明教学过程设计设计意图一、以旧引新，激情引趣1、利用101PPT中本课的一道习题，复习“两点之间，线段最短”为了激发学生的求知欲，利用蚂蚁爬行最短路径问题激情引趣。
充分利用101PPT学科工具中立体展开还原的动画过程，让学生通过观察纸盒的打开过程，寻找蚂蚁的爬行捷径。
从而引出线段公理：两点之间线段最短和垂线段的性质：垂线段最短让学生体会新知识是在原有知识基础上“生长”出来的。
以旧引新，给予学生亲切感，树立学好本节课的信心。
二、展示目标，合理定位利用思维导图，展示本节课的学习目标三、探究新知，教师主导1、师生一起借助信息技术探究“将军饮马问题（一）”传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：将军每天骑马从城堡出发，到军营，途中马要到小溪边饮水一次。
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轴对称及“将军饮马”问题知识点睛轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．这条直线就是它的对称轴．这时我们就说这个图形关于这条直线(或轴)对称．如下图，ABC∆是轴对称图形．两个图形轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就是说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．如下图，ABC∆关于直线l对称，l叫做对称轴．A和'A，B和'B，C和'C是对A B C∆与'''称点．对称轴的性质：对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段．即：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．如图，直线l经过线段AB的中点O，并且垂直于线段AB，则直线l就是线段AB的垂直平分线．线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．如图，点P是线段AB垂直平分线上的点，则PA PB=．线段垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．成轴对称的两个图形的对称轴的画法：如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．因此，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．成轴对称的两个图形的主要性质：①成轴对称的两个图形全等②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点连线的垂直平分线轴对称变换的方法应用：轴对称变换是通过作图形关于一直线的对称图形的手段，把图形中的某一图形对称地移动到一个新的位置上，使图形中的分散条件和结论有机地联系起来．常用的辅助线有角平分线条件时的各种辅助线，本质上都是对称变换的思想．轴对称变换应用时有下面两种情况：⑴图形中有轴对称图形条件时，可考虑用此变换；⑵图形中有垂线条件时，可考虑用此变换．重、难点重点：理解轴对称的概念，并且熟悉掌握轴对称的性质以及作图，同时理解轴对称变换的概念，能很好的做出轴对称变换的图形，并能很好的利用轴对称的知识来解决题目例题精讲板块一、轴对称与轴对称图形的认识【例 1】下列”QQ表情”中属于轴对称图形的是( )A．B．C．D．【解析】C【巩固】(08年广东省)下列图形中是轴对称图形的是()【解析】C【例 2】(09湖南株洲)下列四个图形中，不是轴对称图形的是()A．B．C．D．【解析】Ｄ【巩固】(2004泸州)下列各种图形不是轴对称图形的是()【解析】C．【巩固】(2003吉林)下面四个图形中，从几何图形的性质考虑，哪一个与其他三个不同？请指出这个图形，并简述你的理由．答：图形__________；理由是__________．【解析】②;四个图形中，只有图②不是轴对称图形．【例 3】如图，它们都是对称图形，请观察并指出哪些是轴对称图形，哪些图形成轴对称．【解析】轴对称图形：1，3，4，6，8，10成轴对称的图形有：2，5，7，9【例 4】(09黑龙江哈尔滨)下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()【解析】D【巩固】(2004北京)下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A．等腰三角形B．等腰梯形C．正方形D．平行四边形【解析】C【例 5】(2003四川)我国主要银行的商标设计基本上都融入了中国古代钱币的图案，下列我国四大银行的商标图案中是轴对称图形而不是中心对称图形的是()【解析】C【例 6】(2003北京市海淀区)羊年话”羊”字象征着美好和吉祥，•下列图案都与”羊”字有关，其中是轴对称图形的个数是()A．1；B．2；B．3；D．4【解析】B【巩固】⑴(08山东省青岛市)下列图形中，轴对称图形的个数是()A．1B．2C．3D．4⑵如图所示的图案是我国几家银行标志，其中轴对称图形有()A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】⑴B；⑵Ｃ【例 7】(上海)正六边形是轴对称图形，它有条对称轴．【解析】6．点拨：可以画出例图进行分析，明确正n边形有n条对称轴．【巩固】(2003河北省)下列图案中，有且只有三条对称轴的是()【解析】D【巩固】⑴(08苏州)下列图形中，轴对称图形．．．．．的是⑵下列图形中对称轴最多的是()A．圆B．正方形C．等腰三角形D．线段【解析】⑴D；⑵Ａ【例 8】作出下图所示的图形的对称轴：【解析】答案见右上图．【巩固】作出下图所示的成轴对称图形的对称轴：【解析】答案见右上图．【例 9】求作线段AB的垂直平分线【解析】略【例10】已知：如图，ABC∠两∠及两点M、N．求作：点P，使得PM PN=，且P点到ABC边所在的直线的距离相等．【解析】因为是两边所在的直线，所以有两个答案．答案一：ABC∠内角平分线与线段MN的垂直平分线的交点答案二：ABC∠外角平分线与线段MN的垂直平分线的交点【例11】 (2003长沙)如图，请根据小文在镜中的像写出他的运动衣上的实际号码：_______．【解析】 108【例12】 (2004河南)如图，直线l 是四边形ABCD 的对称轴，若AB CD =，有下面的结论：①AB CD ∥②AC BD ⊥③AO OC =④AB BC ⊥，其中正确的结论有_______．【解析】 ①②③【巩固】(2003安徽)如图，l 是四边形ABCD 的对称轴，如果AD BC ∥，有下列结论：①AB CD ∥②AB BC =③AB BC ⊥④AO OC =．其中正确的结论是_________．(•把你认为正确的结论的序号都填上)【解析】 ①、②、④【例13】 (2003南宁市)尺规：把右图(实线部分)补成以虚线L 为对称轴的轴对称图形，你会得到一只美丽蝴蝶的图案(不用写作法、保留作图痕迹)．【解析】 答案见右上图．板块二、轴对称的应用【例14】 如图，ABC ∆和'''A B C ∆关于直线l 对称，且90B ∠=︒，''6cm A B =，求'B ∠的度数和AB的长．【解析】 ∵ABC ∆和'''A B C ∆关于直线l 成轴对称∴'B B ∠=∠，''AB A B =；又∵90B ∠=︒，''6cm A B =∴'90B ∠=︒，6cm AB =．【例15】 如图，有一块三角形田地，10cm AB AC ==，作AB 的垂直平分线ED 交AC 于D ，交AB 于E ，量得BDC ∆的周长为17m ，请你替测量人员计算BC 的长．【解析】 ∵ED 垂直平分AB ∴DA DB =，∵17m BD DC BC ++=，∴17m AD DC BC ++=∵10m AC =，∴7m BC =．【巩固】如图，ABC ∆中，BC 边的垂直平分线DE 交BC 于D ，交AC 于E ，5BE =厘米，BCE ∆的周长是18厘米，则BC 等于多少厘米？【解析】 ∵ED 垂直平分BC∴EB EC =，∵BEC ∆的周长为18cm∴8cm BC =．【例16】 如图，已知40AOB ∠=︒，CD 为OA 的垂直平分线，求ACB ∠的度数．【解析】 ∵CD 垂直平分OA ∴CO CA =∴O A ∠=∠∵40O ∠=︒∴40A ∠=︒∴80ACB A O ∠=∠+∠=︒．【例17】 (2004陕西)已知：如图，在ABC ∆中，2AB BC ==，120ABC ∠=︒，BC 平行于x 轴，点B •的坐标是(3,1)-．⑴画出ABC ∆关于y 轴对称的'''A B C ∆；⑵求以点A 、B 、'B 、'A 为顶点的四边形的面积．【解析】 ⑴画图正确⑵过A 点作AD BC ⊥，交BC 的延长线于点D ，则18060ABD ABC ∠=︒-∠=︒，在Rt ABD ∆中，BD ＝AB ·cos ∠ABD ＝2×12＝1AD ＝AB ·sin ∠ABD =2又知点B 的坐标为(-3，1)可得点A 的坐标为(41-+，∵'AA y ⊥轴，'BB y ⊥轴∴''AA BB ∥∵AB 与''A B 不平行∴以点''A B B A ，，，为顶点的四边形是等腰梯形由点A 、B 的坐标可求得∴梯形''ABB A 的面积＝12(AA ′+BB ′)·AD ＝12×(8+6)．板块三、轴对称在几何最值问题中的应用【例18】 已知点A 在直线l 外，点P 为直线l 上的一个动点，探究是否存在一个定点B ，当点P 在直线l 上运动时，点P 与A 、B 两点的距离总相等，如果存在，请作出定点B ；若不存在，请说明理由．【解析】 点B 与点A 重合，或者点B 是点A 关于直线l 的对称点．【例19】 如图，在公路a 的同旁有两个仓库A 、B ，现需要建一货物中转站，要求到A 、B 两仓库的距离和最短，这个中转站M 应建在公路旁的哪个位置比较合理？【解析】 答案见右上图．【巩固】若此题改成，在a 上找到M 、N 两点，且10MN =，M 在N 的左边，使四边形ABMN 的周长最短．【解析】 见右上图．【例20】 (”五羊杯”邀请赛试题)如图，45AOB ∠=︒，角内有点P ，在角的两边有两点Q 、R (均不同于O 点)，求作Q 、R ，使得PQR ∆的周长的最小．【解析】 见右上图．【巩固】如图，M 、N 为ABC ∆的边AC 、BC 上的两个定点，在AB 上求一点P ，使PMN∆的周长最短．【解析】 见右上图．【例21】 (2000年全国数学联赛)如图，设正ABC ∆的边长为2，M 是AB 边上的中点，P 是BC 边上的任意一点，PA PM +的最大值和最小值分别记为s 和t ．求22s t -的值．【解析】 作点M 关于BC 的对称点'M ，连接'AM 、'PM ．由点M 、'M 关于BC 对称可知，'PM PM =．故''PA PM PA PM AM +=+≥当且仅当A 、P 、'M 共线时，等号成立，故22(')7t AM ==．另外两个临界位置在点B 和点C 处．当点P 位于点C 处时，2PA PM AC CM +=+=当点P 位于点B 处时，3PA PM AB BM +=+=． 故22(27s ==+22s t -=本题也可作点A 关于BC 的对称点'A ，连接'A M 、'PA ．【例22】 已知如图，点M 在锐角AOB ∠的内部，在OB 边上求作一点P ，使点P 到点M 的距离与点P 到OA 的边的距离和最小． 【解析】 见右上图．【例23】 已知：A 、B 两点在直线l 的同侧，在l 上求作一点M ，使得||AM BM -最小．【解析】 见右上图．【巩固】已知：A 、B 两点在直线l 的同侧，在l 上求作一点M ，使得||BM AM -最大．【解析】 见右上图．【例24】 (07年三帆中学期中试题)如图，正方形ABCD 中，8AB =，M 是DC 上的一点，且2DM =，N 是AC 上的一动点，求DN MN +的最小值与最大值．【解析】 找点D 关于AC 的对称点，由正方形的性质可知，B 就是点D 关于AC 的对称点，连接BN 、BM ，由DN MN BN MN BM +=+≥可知，当且仅当B 、N 、M 三点共线时，DN MN +10=．当点N 在AC 上移动时，有三个特殊的位置我们要考察：BM 与AC 的交点，即DN MN +取最小值时；当点N 位于点A 时，8DN MN AD AM +=+=+当点N 位于点C 时，8614DN MN CD CM +=+=+=．故DN MN +的最大值为8+ 【巩固】例题中的条件不变，求DN MN -的最小值与最大值．【解析】 当DN MN =时，DN MN -有最小值为0，此时点N 位于DM 的垂直平分线与AC 的交点处．2DN MN DM -≤=，当点N 与点C 重合时，等号成立，此时有最大值2．【巩固】(黑龙江省中考题)如图，已知正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且2DM =，N 是AC 上的一个动点，则DN MN +的最小值是【解析】 连接BM 交AC 于N ，此点即为所求．所以根据勾股定理，10DN MN +=．【例25】 (2004郸县改编)某供电部门准备在输电主干线l 上连接一个分支线路同时向新落成的A 、B 两个居民小区送电，分支点为M ，已知居民小区A 、B 到主干线l 的距离分别为12AA =千米，12BB =千米，且114A B =千米．⑴居民小区A 、B 在主干线l 的两旁如图⑴所示，那么分支点M 在什么地方时总线路最短？最短线路的长度是多少千米？⑵如果居民小区A 、B 在主干线l 的同旁，如图⑵所示，那么分支点M 在什么地方时总线路最短？此时分支点M 与1A 距离多少千米？【解析】 ⑴连结AB ，AB 与l 的交点就是所求的分支点M ，分支点开在此处总线路最短，如图，因为1190BB M AA M ∠=∠=︒，11BMB AMA ∠=∠．所以11B BM A AM ∆∆≌．所以12A M =．由勾股定理，得AM BM ==AB AM BM =+=M 在线段11A B 上距A点⑵如图，作B 点关于直线l 的对称点2B ，连结2AB 交直线l 于点M ，此处即为分支点，由图可知，1A M 的长度为2千米．点拨：在解本题时，应注意线段最短，在第⑵问中也可以先画A 点的对称点A 2．【例26】 (09山东临沂)如图，A ，B 是公路l (l 为东西走向)两旁的两个村庄，A 村到公路l 的距离1km AC =，B 村到公路l 的距离2km BD =，B 村在A 村的南偏东45︒方向上．⑴求出A ，B 两村之间的距离；⑵为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P ，要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点P 的位置(保留清晰的作图痕迹，简明书写作法)．【解析】 ⑴方法一：设AB 与CD 的交点为O ，根据题意可得45A B ∠=∠=︒．∴ACO ∆和BDO ∆都是等腰直角三角形．∴AOBO =∴A B ，两村的距离为)km AB AO BO =+==方法二：过点B 作直线l 的平行线交AC 的延长线于E ．易证四边形CDBE 是矩形，∴2CE BD ==．在Rt AEB ∆中，由45A ∠=︒，可得3BE EA ==．∴A B ，两村的距离为．⑵作图正确，痕迹清晰．作法：①分别以点A B ，为圆心，以大于12AB 的长为半径作弧， B AC D l N M O P 北东 BAC D l两弧交于两点M，N，作直线MN；②直线MN交l于点P，点P即为所求．家庭作业【习题1】(08苏州)下列图形中，轴对称图形．．．．．的是【解析】D【习题2】⑴(09湖南株洲)下列四个图形中，不是轴对称图形的是()A．B．C．D．⑵(08山东烟台)下列交通标志中，不是轴对称图形的是()⑶(08年广东省)下列图形中是轴对称图形的是()【解析】⑴Ｄ；⑵Ｃ；⑶Ｃ．【习题3】如图，ABC⊥，E是BC的中点，求∠=︒，BD为ABC∠的平分线，DE BCA∆中，90∠的度数．C【解析】∵BD平分ABC∠∴ABD EBD∠=∠∵DE垂直平分BC∴BD CD∠=∠=，DBE C∴ABD DBE C∠=∠=∠∵90∠=︒A∴30∠=∠=∠=︒．ABD DBE C【习题4】(四川省竞赛题)如图，在等腰Rt ABCCA CB==，E的BC上一点，满足∆中，3+长度之和最小．2BE=，在斜边AB上求作一点P使得PC PE【解析】见右上图．【习题5】在正方形ABCD中，E在BC上，2CE=，P在BD上，求PE和PC的长度BE=，1之和的最小值．【解析】当'E、P、C三点共线时，PE PC+备选【备选1】(2004天津)在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()【解析】C【备选2】判断下列图形(图)是否为轴对称图形？如果是，说出它有几条对称轴．⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻⑼【解析】是轴对称图形的有：⑵，⑷，⑹，⑺，⑼；分别有1条，1条，4条，1条，2条对称轴．【备选3】(2008年荆门市中考题)如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点M、N分别是变AB、BC的中点，在对角线AC求作一点P使得PM PN+的值最小．【解析】见右上图．。