椭圆与双曲线的经典性质100条讲课稿
椭圆与双曲线的经典性质100条
椭圆与双曲线的对偶性质100条
椭 圆
1．12||||2PF PF a +=
2．标准方程：22
221x y a b
+=
3．11
||
1PF e d =< 4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.
5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.
6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.
7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
8．设A 1、A 2为椭圆的左、右顶点，则△PF 1F 2在边PF 2（或PF 1）上的旁切圆，必与A 1A 2所在的直线切于A 2（或A 1）.
9．椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞o ）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行
的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22
221x y a b
-=.
☆ 10．若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b
+=上，则过0P 的椭圆的切线方程是
00221x x y y
a b
+=. ☆ 11．若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b
+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为
P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y
a b
+=.
★ 12．AB 是椭圆22
221x y a b +=的不平行于对称轴且过原点的弦，M 为AB 的中
点，则2
2OM AB b k k a
?=-.
13．若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b
+=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是
22
00002222x x y y x y a b a b
+=+. 14．若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b
+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是
22002222x x y y x y a b a b
+=+.
16．若椭圆221a b +=（a ＞b ＞0）上中心张直角的弦L 所在直线方程为
1Ax By +=(0)AB ≠,则(1) 22
2211A B a b
+=+;(2) 2222L a A b B =
+. 17．给定椭圆1C ：222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）, 2C ：
22
2
2
2
2
222
()a b b x a y ab a b
-+=+,则(i)对1C 上任意给定的点000(,)P x y ,它的任一直角弦必须经过2C 上一定点M(2222
002222(,)a b a b x y a b a b
---++.
(ii)对2C 上任一点'''000(,)P x y 在1C 上存在唯一的点'M ,使得'M 的任一直角弦都
经过'0P 点.
★ 18．设000(,)P x y 为椭圆（或圆）C:22
221x y a b
+= (a ＞0,. b ＞0)上一点，P 1P 2为曲
线C 的动弦,且弦P 0P 1, P 0P 2斜率存在，记为k 1, k 2, 则直线P 1P 2通过定点00(,)M mx my -(1)m ≠的充要条件是2
12211m b k k m a
+?=-?-.
★ 19．过椭圆22
221x y a b
+= (a ＞0, b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补
的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且20
20BC b x k a y =（常数）.
★ 20．椭圆22
221x y a b
+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意
一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为
122
tan 2
F PF S b γ
?=，2
tan )2b P c γ . 21．若P 为椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦
点, 12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则tan t 22
a c co a c αβ
-=+.
★ 22．椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：
10||MF a ex =+,20||MF a ex =- (1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).
23．若椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为
L ，则当
0＜e ≤1时，可在椭圆上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.
24．P 为椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一
定点，则2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.
25．椭圆221a b
+=（a ＞b ＞0）上存在两点关于直线l ：0()y k x x =-对称
的充要条件是2222
0222
()a b x a b k -≤+.
26．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.
27．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.
28．P 是椭圆cos sin x a y b ?
?=??=?（a ＞b ＞0）上一点，则点P 对椭圆两焦点张直角
的充要条件是22
1
1sin e ?=+. 29．设A,B 为椭圆22
22(0,1)x y k k k a b
+=>≠上两点，其直线AB 与椭圆
22
22
1x y a b +=相交于,P Q ,则AP BQ =. 30．在椭圆22
221x y a b +=中，定长为2m （o ＜m ≤a ）的弦中点轨迹方程为
2222222
22
1()
cos sin x y a b m a b αα
-+=+,其中2222tan b x a y α=-,当0y =时, 90α=o . 31．设S 为椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）的通径，定长线段L 的两端点A,B
在椭圆上移动，记|AB|=l ，00(,)M x y 是AB 中点，则当l S ≥Φ时，有
20max ()2a l x c e =-
222(c a b =-,c
e a =);当l S <Φ
时，有0max ()x =0min ()0x =.
32．椭圆22
221x y a b
+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是
22222A a B b C +≥.
33．椭圆22
0022
()()1x x y y a b
--+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++.
34．设椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端
点）为椭圆上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=,
12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin sin sin c
e a
αβγ==+.
35．经过椭圆222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）的长轴的两端点A 1和A 2的切线，与椭圆上任一点的切线相交于P 1和P 2，则212||||PA PA b ?=.
36．已知椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动
点，且OP OQ ⊥.（1）222
21111
||||OP OQ a b
+=+;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为22224a b a b +;（3）OPQ S ?的最小值是22
22
a b a b +.
37．MN 是经过椭圆222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）过焦点的任一弦，若AB 是经过椭圆中心O 且平行于MN 的弦，则2||2||AB a MN =.
38．MN 是经过椭圆222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）焦点的任一弦，若过椭圆
中心O 的半弦OP MN ⊥，则
222
2111
||||a MN OP a b +=+. 39．设椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）,M(m,o) 或(o, m)为其对称轴上除中心，
顶点外的任一点，过M 引一条直线与椭圆相交于P 、Q 两点，则直线A 1P 、
A 2Q(A 1 ,A 2为对称轴上的两顶点)的交点N 在直线l ：2a x m =(或2
b y m
=)上.
40．设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.
41．过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.
43．设A 、B 、C 、D 为椭圆22
221x y a b
+=上四点,AB 、CD 所在直线的倾斜角
分别为,αβ，直线AB 与CD 相交于P,且P 不在椭圆上,则22222222||||cos sin ||||cos sin PA PB b a PC PD b a ββ
αα
?+=?+.
44．已知椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）,点P 为其上一点F 1, F 2为椭圆的焦
点，12F PF ∠的外（内）角平分线为l ，作F 1、F 2分别垂直l 于R 、S ，当P 跑遍整个椭圆时，R 、S 形成的轨迹方程是
222x y a +=(2222222{[()()]}()[()]b y a ce x c x y cx ce x c +-+?++=+).
45．设△ABC 内接于椭圆Γ，且AB 为Γ的直径，l 为AB 的共轭直径所在的直线，l 分别交直线AC 、BC 于E 和F ，又D 为l 上一点，则CD 与椭圆Γ相切的充要条件是D 为EF 的中点.
46．过椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N
两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则
||||2
PF e
MN =.
47．设A （x 1 ,y 1）是椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）上任一点，过A 作一条斜
率为21
21
b x a y -的直线L ，又设d 是原点到直线 L 的距离, 12,r r 分别是A 到椭圆两焦
ab =.
★ 48．已知椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）和22
22x y a b
λ+=（01λ<< ），一直线
顺次与它们相交于A 、B 、C 、D 四点，则│AB │=|CD │.
49．已知椭圆22
221x y a b
+=（ a ＞b ＞0）
,A 、B 、是椭圆上的两点，线
段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则2222
0a b a b x a a
---<<. 51．设过椭圆的长轴上一点B （m,o ）作直线与椭圆相交于P 、Q 两点，A 为椭圆长轴的左顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于过B 点的直线MN ：x n =于M ，N 两点,则90MBN ∠=o
2
22
()a m a a m b n a -?=++. 52．L 是经过椭圆22
221x y a b
+=（ a ＞b ＞0）长轴顶点A 且与长轴垂直的直
线，E 、F 是椭圆两个焦点，e 是离心率,点P L ∈，若EPF α∠=，则α是锐角且
sin e α≤或sin arc e α≤（当且仅当||ab
PH c
=时取等号）. 53．L 是椭圆22
221x y a b
+=（ a ＞b ＞0）的准线，A 、B 是椭圆的长轴两顶点,
点P L ∈，e 是离心率，EPF α∠=，H 是L 与X 轴的交点c 是半焦距，则α是
锐角且sin e α≤或sin arc e α≤（当且仅当||ab
PH c
=时取等号）.
54．L 是椭圆22
221x y a b
+=（ a ＞b ＞0）的准线，E 、F 是两个焦点，H 是L 与
x 轴的交点，点P L ∈，EPF α∠=,离心率为e ，半焦距为c ，则α为锐角且
2sin e α≤或2sin arc e α≤
（当且仅当||PH =.
55．已知椭圆22
221x y a b
+=（ a ＞b ＞0），直线L 通过其右焦点F 2,且与椭圆
相交于A 、B 两点，将A 、B 与椭圆左焦点F 1连结起来，则
222
2
112
(2)||||a b b F A F B a
-≤?≤（当且仅当AB ⊥x 轴时右边不等式取等号，当且仅当A 、F 1、B 三点共线时左边不等式取等号）.
56．设A 、B 是椭圆22
221x y a b
+=（ a ＞b ＞0）的长轴两端点，P 是椭圆上的
一点，PAB α∠=, PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)22222|cos |||s ab PA a c co αγ=-.(2) 2
tan tan 1e αβ=-.(3) 222
2
2cot PAB a b S b a
γ?=-.
57．设A 、B 是椭圆22
221x y a b
+=（ a ＞b ＞0）长轴上分别位于椭圆内（异于
原点）、外部的两点，且A x 、B x 的横坐标2A B x x a ?=，（1）若过A 点引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，则PBA QBA ∠=∠；（2）若过B 引直线与这椭圆相
交于P 、Q 两点，则180PBA QBA ∠+∠=o .
58．设A 、B 是椭圆22
221x y a b
+=（ a ＞b ＞0）长轴上分别位于椭圆内（异于
原点），外部的两点，（1）若过A 点引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，（若B P 交椭圆于两点，则P 、Q 不关于x 轴对称），且PBA QBA ∠=∠，则点A 、B 的横坐标A x 、B x 满足2A B x x a ?=；（2）若过B 点引直线与这椭圆相交于P 、Q
两点，且180PBA QBA ∠+∠=o ,则点A 、B 的横坐标满足2A B x x a ?=.
59．设'
,A A 是椭圆22
221x y a b
+=的长轴的两个端点，'QQ 是与'AA 垂直的弦，
则直线AQ 与''
AQ 的交点P 的轨迹是双曲线22221x y a b
-=.
60．过椭圆22
221x y a b
+=（ a ＞b ＞0）的左焦点F 作互相垂直的两条弦AB 、
CD 则2222282()
||||ab a b AB CD a b a
+≤+≤+.
61．到椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）两焦点的距离之比等于a c
b
-（c 为半焦
距）的动点M 的轨迹是姊妹圆222()x a y b ±+=.
62．到椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）的长轴两端点的距离之比等于a c
b
-（c
为半焦距）的动点M 的轨迹是姊妹圆222()()a b
x y e e
±+=.
63．到椭圆22
221x y a b
+=（ a ＞b ＞0）的两准线和x 轴的交点的距离之比为
a c
b -（
c 为半焦距）的动点的轨迹是姊妹圆22222()()a b
x y e e
±+=（e 为离心率）. 64．已知P 是椭圆22
221x y a b
+=（ a ＞b ＞0）上一个动点，',A A 是它长轴的
两个端点,且AQ AP ⊥,''
AQ A P ⊥，则Q 点的轨迹方程是222241x b y a a
+=.
65．椭圆的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴之长的比例中项.
66．设椭圆22
221x y a b +=（ a ＞b ＞0）长轴的端点为',A A ,11(,)P x y 是椭圆上的
点过P 作斜率为21
21
b x a y -的直线l ，过',A A 分别作垂直于长轴的直线交l 于',M M ,
则
（1）''2||||AM A M b =.（2）四边形''MAA M 面积的最小值是2ab .
67．已知椭圆22
221x y a b
+=（ a ＞b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭
圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BC x ⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.
68．OA 、OB 是椭圆
22
22()1x a y a b
-+=（ a ＞0,b ＞0）的两条互相垂直的弦，O 为坐标原点，则（1）直线AB 必经过一个定点2
222(,0)ab a b +.(2) 以O A 、O B 为
直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是22222
2222()()ab ab x y a b a b
-+=++(0)x ≠.
69．(,)P m n 是椭圆
22
22()1x a y a b
-+=（a ＞b ＞0）上一个定点，P A 、P B 是互相垂直的弦，则（1）直线AB 必经过一个定点222222222
2()()
(,)ab m a b n b a a b a b
+--++.（2）以P A 、P B 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是
22224222222222222
[()]()()()ab a m b n a b n a b x y a b a b a b ++--+-=+++(x m ≠且y n ≠).
70．如果一个椭圆短半轴长为b ，焦点F 1、F 2到直线L 的距离分别为d 1、d 2，那么（1）212d d b =，且F 1、F 2在L 同侧?直线L 和椭圆相切.（2）212d d b >，且F 1、F 2在L 同侧?直线L 和椭圆相离，（3）212d d b <，或F 1、
F 2在L 异侧?直线L 和椭圆相交.
71．AB 是椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）的长轴，N 是椭圆上的动点，过N
的切线与过A 、B 的切线交于C 、D 两点，则梯形ABDC 的对角线的交点M 的轨迹方程是22241(0)x a y y +=≠.
72．设点00(,)P x y 为椭圆22
221x y a b
+=（ a ＞b ＞0）的内部一定点，AB 是椭
圆22
221x y a b
+=过定点00(,)P x y 的任一弦，当弦AB 平行（或重合）于椭圆长轴所在直线时22222200max 2
()
(||||)a b a y b x PA PB b
-+?=.当弦AB 垂直于长轴所在直线时, 22222200min 2
()
(||||)a b a y b x PA PB b -+?=.
73．椭圆焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切.
74．椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点. 75．椭圆两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线长为定值a+c 与a-c. 76．椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c.
77．椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). 注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.
78．椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 79．椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.
80．椭圆焦三角形中,椭圆中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成比例.
81．椭圆焦三角形中,半焦距、外点与椭圆中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例.
82．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行.
83．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足的距离为椭圆长半轴的长.
84．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和椭圆长轴为直径的圆的切点.
85．椭圆焦三角形中,非焦顶点的外角平分线与焦半径、长轴所在直线的夹角的余弦的比为定值e.
86．椭圆焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的内角平分线. 87．椭圆焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的外角平分线.
88．椭圆焦三角形中,过非焦顶点的切线与椭圆长轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过两焦点.
89. 已知椭圆22
221(0,0)x y a b a b
+=>>(包括圆在内)上有一点P ,过点P 分别作
直线b y x a =及b
y x a
=-的平行线，与直线OP 分别交于,R Q ,O 为原点，则：.
（1）222||||OM ON a +=；（2）222||||OQ OR b +=.
90. 过平面上的P 点作直线1:b l y x a =及2:b
l y x a
=-的平行线，分别交x 轴
于,M N ，交y 轴于,R Q .（1）若222||||OM ON a +=，则P 的轨迹方程是2222
1(0,0)x y a b a b +=>>.(2)若222
||||OQ OR b +=，则P 的轨迹方程是22
22
1(0,0)x y a b a b +=>>. 91. 点P 为椭圆22
221(0,0)x y a b a b
+=>>(包括圆在内)在第一象限的弧上任意
一点，过P 引x 轴、y 轴的平行线，交y 轴、x 轴于,M N ，交直线b
y x a
=-于
,Q R ，记 OMQ ?与ONR ?的面积为12,S S ，则：122
ab S S +=.
92. 点P 为第一象限内一点，过P 引x 轴、y 轴的平行线，交y 轴、x 轴于
,M N ，交直线b
y x a
=-于,Q R ，记 OMQ ?与ONR ?的面积为12,S S ，已知
122
ab
S S +=
，则P 的轨迹方程是22221(0,0)x y a b a b +=>>.
双曲线
1．12||||||2PF PF a -=
2．标准方程：22
221x y a b
-=
3．
11
||
1PF e d => 4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.
5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.
6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.
7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切.
8．设A 1、A 2为双曲线的左、右顶点，则△PF 1F 2在边PF 2（或PF 1）上的旁切圆，必与A 1A 2所在的直线切于A 2（或A 1）.
9．双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴
平行的直线交双曲线于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22
221x y a b
+=.
10．若000(,)P x y 在双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切
线方程是00221x x y y
a b
-=.
11．若000(,)P x y 在双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的
两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y
a b
-=.
12．AB 是双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴且过原点的
弦，M 为AB 的中点，则2
2OM AB b k k a ?=.
13．若000(,)P x y 在双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）内，则被Po 所平分的中
点弦的方程是22
00002222x x y y x y a b a b
-=-.
14．若000(,)P x y 在双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）内，则过Po 的弦中点的
轨迹方程是22002222x x y y
x y a b a b
-=-.
15．若PQ 是双曲线22
221x y a b
-=（b ＞a ＞0）上对中心张直角的弦，则
122222121111(||,||)r OP r OQ r r a b +=-==. 16．若双曲线22
221x y a b
-=（b ＞a ＞0）上中心张直角的弦L 所在直线方程为
1Ax By +=(0)AB ≠,则(1) 22
2211A B a b -=+
;(2) 2222
||
L a A b B =-.
17．给定双曲线1C ：222222b x a y a b -=（a ＞b ＞0）, 2C ：
22
2
2
2
2
222()a b b x a y ab a b
+-=-,则(i)对1C 上任意给定的点000(,)P x y ,它的任一直角弦必
须经过2C 上一定点M(2222
002222(,)a b a b x y a b a b
++---.
(ii)对2C 上任一点'''000(,)P x y 在1C 上存在唯一的点'M ,使得'M 的任一直角弦都
经过'0P 点.
18．设000(,)P x y 为双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）上一点，P 1P 2为曲线C 的
动弦,且弦P 0P 1, P 0P 2斜率存在，记为k 1, k 2, 则直线P 1P 2通过定点
00(,)M mx my -(1)m ≠的充要条件是2
122
11m b k k m a +?=?-.
19．过双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞o ）上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角
互补的直线交双曲线于B,C 两点，则直线BC 有定向且20
20
BC b x k a y =-（常数）.
20．双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲
线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t
2
F PF S b co γ
?=，
2
cot )2
b P
c γ . 21．若P 为双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）右（或左）支上除顶点外的任一
点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则tan t 22
c a co c a αβ
-=+（或
tan t 22
c a co c a βα
-=+）. 22．双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c
当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-. 当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--.
23．若双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线
为L ，则当
1＜e ≤1时，可在双曲线上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.
24．P 为双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为双曲
线内一定点，则21||2||||AF a PA PF -≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线且P 和2,A F 在y 轴同侧时，等号成立.
25．双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）上存在两点关于直线l ：0()y k x x =-对
称的充要条件是2222
0222()a b x a b k
+>-.
26．过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.
27．过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.
28．P 是双曲线sec tan x a y b ?
?=??=?
（a ＞0，b ＞0）上一点，则点P 对双曲线两焦点
张直角的充要条件是22
1
1tan e ?=-. 29．设A,B 为双曲线22
22x y k a b
-=（a ＞0,b ＞0，0,1k k >≠）上两点，其直
线AB 与双曲线22
221x y a b -=相交于,P Q ,则AP BQ =.
30．在双曲线22
221x y a b
-=中，定长为2m （m ）0）的弦中点轨迹方程为
2222222
22
1()
cos sin x y a b m a b αα
--=-,其中2222tan b x a y α=-,当0y =时, 90α=o . 31．设S 为双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞o ）的通径，定长线段L 的两端点
A,B 在双曲线上移动，记|AB|=l ，00(,)M x y 是AB 中点，则当l S ≥Φ时，有20min ()2a l x c e =+222(c a b =+,c e a =);当l S <Φ
时，有0min ()x =32．双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）与直线0Ax By C ++=有公共点的充要
条件是22222A a B b C -≤.
33．双曲线22
0022
()()1x x y y a b
---=（a ＞0,b ＞0）与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C -≤++.
34．设双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端
点）为双曲线上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=,
12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin (sin sin )c
e a αγβ==±-.
35．经过双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）的实轴的两端点A 1和A 2的切线，
与双曲线上任一点的切线相交于P 1和P 2，则212||||PA PA b ?=.
36．已知双曲线221a b
-=（b ＞a ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为双曲线
上两动点，且OP OQ ⊥.（1）222
21111
||||OP OQ a b +=-;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a b b a -;（3）OPQ S ?的最小值是22
22
a b b a
-. 37．MN 是经过双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）过焦点的任一弦(交于两
支)，若AB 是经过双曲线中心O 且平行于MN 的弦，则2||2||AB a MN =. 38．MN 是经过双曲线22
221x y a b
-=（a ＞b ＞0）焦点的任一弦(交于同支)，若
过双曲线中心O 的半弦OP MN ⊥，则22
22111
||||a MN OP a b -=-. 39．设双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）,M(m,o)为实轴所在直线上除中心，
顶点外的任一点，过M 引一条直线与双曲线相交于P 、Q 两点，则直线A 1P 、
A 2Q(A 1 ,A 2为两顶点)的交点N 在直线l ：2
a x m
=上.
40．设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.
41．过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 42．设双曲线方程22
221x y a b
-=,则斜率为k(k ≠0)的平行弦的中点必在直线
l ：y kx =的共轭直线'
y k x =上,而且2'2b kk a =.
43．设A 、B 、C 、D 为双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞o ）上四点,AB 、CD 所
在直线的倾斜角分别为,αβ，直线AB 与CD 相交于P,且P 不在双曲线上,则22222222||||cos sin ||||cos sin PA PB b a PC PD b a ββ
αα
?-=?-.
44．已知双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）,点P 为其上一点F 1, F 2为双曲线
的焦点，12F PF ∠的外（内）角平分线为l ，作F 1、F 2分别垂直l 于R 、S ，当P 跑遍整个双曲线时，R 、S 形成的轨迹方程是
222x y a +=(322224223222{()[()]}[()]()a b x c a b x b c a c x c y ab c y -+-+-=).
45．设△ABC 三顶点分别在双曲线Γ上，且AB 为Γ的直径，l 为AB 的共轭直径所在的直线，l 分别交直线AC 、BC 于E 和F ，又D 为l 上一点，则CD 与双曲线Γ相切的充要条件是D 为EF 的中点.
46．过双曲线221a b
-=（a ＞0,b ＞0）的右焦点F 作直线交该双曲线的右
支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则
||||2PF e
MN =. 47．设A （x 1 ,y 1）是双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）上任一点，过A 作一
条斜率为21
21
b x a y 的直线L ，又设d 是原点到直线 L 的距离, 12,r r 分别是A 到双曲线
ab =.
48．已知双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）和22
22x y a b
λ-=（01λ<< ），一
条直线顺次与它们相交于A 、B 、C 、D 四点，则│AB │=|CD │.
49．已知双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）,A 、B 是双曲线上的两点，线段
AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则22
0a b x a
+≥或220a b x a +≤-.
50．设P 点是双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）上异于实轴端点的任一
点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2
122||||1cos b PF PF θ
=-.(2)
122cot 2
PF F S b γ
?=.
51．设过双曲线的实轴上一点B （m,o ）作直线与双曲线相交于P 、Q 两点，A 为双曲线实轴的左顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于过B 点的直线
MN ：x n =于M ，N 两点,则90MBN ∠=o
222()a m a a m b n a -?=-++. 52．L 是经过双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）焦点F 且与实轴垂直的直
线，A 、B 是双曲线实轴的两个焦点，e 是离心率,点P L ∈，若EPF α∠=，则
α是锐角且1sin e α≤或1sin arc e α≤（当且仅当||ab
PH c
=时取等号）.
53．L 是经过双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）的实轴顶点A 且与x 轴垂直
的直线，E 、F 是双曲线的准线与x 轴交点,点P L ∈，e 是离心率，EPF α∠=，
H 是L 与X 轴的交点c 是半焦距，则α是锐角且1sin e α≤或1
sin arc e
α≤（当且
仅当||ab
PA c
=时取等号）.
54．L 是双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）焦点F 1且与x 轴垂直的直线，E 、
F 是双曲线准线与x 轴交点，H 是L 与x 轴的交点，点P L ∈，EPF α∠=,离心
率为e ，半焦距为c ，则α为锐角且21sin e α≤
或2
1sin arc e α≤（当且仅当
1||PF =
. 55．已知双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0），直线L 通过其右焦点F 2,且与双
曲线右支交于A 、B 两点，将A 、B 与双曲线左焦点F 1连结起来，则
222
112
(2)||||a b F A F B a
+?≥（当且仅当AB ⊥x 轴时取等号）. 56．设A 、B 是双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）的长轴两端点，P 是双曲线
上的一点，PAB α∠=, PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)22222|cos ||||s |ab PA a c co αγ=-.(2) 2
tan tan 1e αβ=-.(3) 222
2
2cot PAB a b S b a
γ?=+. 57．设A 、B 是双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）实轴上分别位于双曲线一
支内（含焦点的区域）、外部的两点，且A x 、B x 的横坐标2A B x x a ?=，（1）若过A 点引直线与双曲线这一支相交于P 、Q 两点，则PBA QBA ∠=∠；（2）若
过B 引直线与双曲线这一支相交于P 、Q 两点，则180PBA QBA ∠+∠=o .
58．设A 、B 是双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）实轴上分别位于双曲线一
支内（含焦点的区域），外部的两点，（1）若过A 点引直线与双曲线这一支相交于P 、Q 两点，（若B P 交双曲线这一支于两点，则P 、Q 不关于x 轴对称），且PBA QBA ∠=∠，则点A 、B 的横坐标A x 、B x 满足2A B x x a ?=；（2）
若过B 点引直线与双曲线这一支相交于P 、Q 两点，且180PBA QBA ∠+∠=o ,则点A 、B 的横坐标满足2A B x x a ?=.
59．设'
,A A 是双曲线22
221x y a b
-=的实轴的两个端点，'QQ 是与'AA 垂直的
弦，则直线AQ 与''
AQ 的交点P 的轨迹是双曲线22221x y a b
+=.
60．过双曲线22
221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的右焦点F 作互相垂直的两条弦
AB 、CD,则2
228||||||
ab AB CD a b ≤+-.
61．到双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）两焦点的距离之比等于c a
b
-（c 为
半焦距）的动点M 的轨迹是姊妹圆222()()x ec y eb ±+=.
62．到双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的实轴两端点的距离之比等于
c a
b
-（c 为半焦距）的动点M 的轨迹是姊妹圆222()x a y b ±+=.
63．到双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）的两准线和x 轴的交点的距离之比
为c a b -（c 为半焦距）的动点的轨迹是姊妹圆222()()b x a y e
±+=（e 为离心率）.
64．已知P 是双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）上一个动点，',A A 是它实轴
的两个端点,且AQ AP ⊥,''
AQ A P ⊥，则Q 点的轨迹方程是222241x b y a a
-=.
65．双曲线的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和实轴之长的比例中项.
66．设双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）实轴的端点为',A A ,11(,)P x y 是双曲
线上的点过P 作斜率为21
21b x a y 的直线l ，过',A A 分别作垂直于实轴的直线交l 于
',M M ,则
（1）''2||||AM A M b =.（2）四边形''MAA M 面积的最小值是2ab .
67．已知双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过
双曲线右焦点F 的直线与双曲线相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BC x ⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.
68．OA 、OB 是双曲线22
2
2()1x a y a b
--=（a ＞0,b ＞0,且a b ≠）的两条互相垂直的弦，O 为坐标原点，则（1）直线AB 必经过一个定点2
2
2
2(,0)ab b a -.(2) 以O A 、O B 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是
22222
2222()()ab ab x y b a b a
-+=--(0)x ≠. 69．(,)P m n 是双曲线22
2
2()1x a y a b
--=（a ＞0,b ＞0）上一个定点，P A 、P B 是互相垂直的弦，则（1）直线AB 必经过一个定点
222222222
2()()(,)ab m b a n a b b a b a +-+--.（2）以P A 、P B 为直径的两圆的另一个交点Q
的轨迹方程是
22224222222222222
[()]()()()
ab a m b n a b n a b x y b a b a b a -++-+-=---(x m ≠且y n ≠). 70．如果一个双曲线虚半轴长为b ，焦点F 1、F 2到直线L 的距离分别为d 1、d 2，那么（1）212d d b =，且F 1、F 2在L 同侧?直线L 和双曲线相切,或L
是双曲线的渐近线.（2）212d d b >，且F 1、F 2在L 同侧?直线L 和双曲线相离，（3）212d d b <，或F 1、F 2在L 异侧?直线L 和双曲线相交.
71．AB 是双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）的实轴，N 是双曲线上的动
点，过N 的切线与过A 、B 的切线交于C 、D 两点，则梯形ABDC 的对角线的交点M 的轨迹方程是22241(0)x a y y -=≠.
72．设点00(,)P x y 为双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）的内部(（含焦点的区
域）)一定点，AB 是双曲线过定点00(,)P x y 的任一弦.
(1)如a b ≥,则当弦AB 垂直于双曲线实轴所在直线时222222
00min 2
()(||||)b x a y a b PA PB a --?=.
(2)如a b <,则当弦AB 平行（或重合）于双曲线实轴所在直线时,
222222
00min 2
()(||||)b x a y a b PA PB b
--?=. 73．双曲线焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以双曲线实轴为直径的圆相外切.
74．双曲线焦三角形的内切圆必切长轴于非焦顶点同侧的实轴端点. 75．双曲线两焦点到双曲线焦三角形内切圆的切线长为定值a+c 与a-c. 76．双曲线焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c.
77．双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).
注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.
78．双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.
79．双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项. 80．双曲线焦三角形中,双曲线中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成比例.
81．双曲线焦三角形中,半焦距、外点与双曲线中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例.
82．双曲线焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的内角平分线引垂线,则双曲线中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行.
83．双曲线焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点内角平分线引垂线,则双曲线中心与垂足的距离为双曲线实半轴的长.
84．双曲线焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的内角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和双曲线实轴为直径的圆的切点.
85．双曲线焦三角形中,非焦顶点的内角平分线与焦半径、实轴所在直线的夹角的余弦的比为定值e.
86．双曲线焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的外角平分线. 87．双曲线焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的内角平分线.
88．双曲线焦三角形中,过非焦顶点的切线与双曲线实轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过两焦点.
89. 已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>上有一点P ，过P 分别引其渐近线的平
行线，分别交x 轴于,M N ，交y 轴于,R Q ， O 为原点，则： （1）2||||OM ON a ?=； （2）2||||OQ OR b ?=.
90. 过平面上的P 点作直线1:b l y x a =及2:b
l y x a
=-的平行线，分别交x 轴
于,M N ，交y 轴于,R Q .（1）若2||||OM ON a ?=，则P 的轨迹方程是2222
1(0,0)x y a b a b -=>>.(2)若2
||||OQ OR b ?=，则P 的轨迹方程是22
221(0,0)x y a b a b
-=>>. 91. 点P 为双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>在第一象限的弧上任意一点，过P
引x 轴、y 轴的平行线，交y 轴、x 轴于,M N ，交直线b
y x a
=-于,Q R ，记
OMQ ?与ONR ?的面积为12,S S ，则：12||2
ab S S -=. 92. 点P 为第一象限内一点，过P 引x 轴、y 轴的平行线，交y 轴、x 轴于
,M N ，交直线b
y x a
=-于,Q R ，记 OMQ ?与ONR ?的面积为12,S S ，已知
12||2
ab
S S -=
，则P 的轨迹方程是22221(0,0)x y a b a b -=>>或22
22
1(0,0)y x a b b a -=>>.
椭圆与双曲线的必背的经典结论
椭圆与双曲线的必背的经典结论 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径 的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 22 1x y a b +=上，则过0 P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ， 则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-，即0202y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是22 00002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆 22 22 1x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+.
圆锥曲线知识点整理
高二数学圆锥曲线知识整理 解析几何的基本问题之一：如何求曲线（点的轨迹）方程。它一般分为两类基本题型：一是已知轨迹类型求其方程，常用待定系数法，如求直线及圆的方程就是典型例题；二是未知轨迹类型，此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外，通常设法利用已知轨迹的定义解题，化归为求已知轨迹类型的轨迹方程。因此在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与动点坐标有关的方程（等量关系），侧重于数的运算，一是寻找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运用。 在基本轨迹中，除了直线、圆外，还有三种圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线。 1、三种圆锥曲线的研究 （1）统一定义，三种圆锥曲线均可看成是这样的点集：? ?????>=0e ,e d |PF ||P ，其中 F 为定点，d 为P 到定直线的距离，如图。 因为三者有统一定义，所以，它们的一些性质，研究它们的一些方法都具有规律性。 当0
高考数学椭圆与双曲线重要规律定理
椭圆与双曲线性质--（重要结论） 清华附中高三数学备课组 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的 两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是 002 2 1x x y y a b + =. 6. 若000(,)P x y 在椭圆 222 2 1x y a b + =外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程 是 002 2 1x x y y a b + =. 7. 椭圆 222 2 1x y a b + = (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点 角形的面积为1 2 2 tan 2 F P F S b γ ?=. 8. 椭圆 2 2 22 1x y a b + =（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||M F a ex =+,20||M F a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦 点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆 222 2 1x y a b + =的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22 O M AB b k k a ?=- ， 即0 2 02 y a x b K AB - =。 12. 若000(,)P x y 在椭圆222 2 1x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是 2 2 00002 2 2 2 x x y y x y a b a b + = + . 13. 若000(,)P x y 在椭圆 222 2 1x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002 2 2 2 x x y y x y a b a b + = + . 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长 轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支） 5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是 002 2 1x x y y a b - =. 6. 若000(,)P x y 在双曲线 222 2 1x y a b - =（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是002 2 1x x y y a b -=. 7. 双曲线 222 2 1x y a b - =（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=， 则双曲线的焦点角形的面积为1 2 2 t 2 F P F S b co γ ?=. 8. 双曲线 2 2 221x y a b -=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c 当00(,)M x y 在右支上时，10||M F ex a =+,20||M F ex a =-. 当00(,)M x y 在左支上时，10||M F ex a =-+,20||M F ex a =-- 9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别 交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于 点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是双曲线 222 2 1x y a b - =（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 02y a x b K K AB OM = ?，即0 2 02 y a x b K AB = 。 12. 若000(,)P x y 在双曲线 222 2 1x y a b - =（a ＞0,b ＞0）内，则被Po 所平分的中点弦的方程是 2 2 00002 2 2 2 x x y y x y a b a b - = - . 13. 若000(,)P x y 在双曲线 222 2 1x y a b - =（a ＞0,b ＞0）内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是 22002 2 2 2 x x y y x y a b a b - = - .
高考数学椭圆与双曲线的经典性质50条经典法则
椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论） 高三数学备课组 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积 为122 tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆 准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于 点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则2 2OM AB b k k a ?=-，即0 202y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+. 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端 点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支） 5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y a b -=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2 的直线方程是00221x x y y a b -=. 7. 双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦 点角形的面积为122 t 2 F PF S b co γ ?=. 8. 双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c 当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-. 当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =-- 9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦 点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和 A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.
高中数学【椭圆与双曲线】知识点总结
高中数学【椭圆与双曲线】知识点总结 姓名： （一）椭圆 1.椭圆的定义 如果平面内一动点到两定点距离之和等于正的常数（大于两定点的距离），则动点的规迹是椭圆 即|PF1|+|PF2|=2a 其中P是动点，F1,F2是定点且|F1F2|=2C 当a>c时表示 当a=c时表示 当a 标准方程 x,y的范围 顶点焦点对称轴对称中心 长半轴的长短半轴的长焦距 离心率e= 范围e越大椭圆越e越小椭圆越 准线焦半径公式|PF1|= |PF2|= (F1，F2分别为椭圆的下上两焦点，P为椭圆上的一点) 4.椭圆系 （1）共焦点的椭圆系方程为 22 2 1 x y k k c += - (其中k>c2,c为半焦距) （2 ）具有相同离心率的标准椭圆系的方程 22 22 (0) x y a b λλ +=> (二) 双曲线 1.双曲线的定义 如果平面内一个动点到两定点距离之差的绝对值等于正的常数（小于两定点间的距离），那么动点的轨迹是双曲线 若一个动点到两定点距离之差等于一个常数，常数的绝对值小于两定点间的距离，那么动点的轨迹是双曲线的一支 F1，F2为两定点，P为一动点，(1)若||PF1|-|PF2||=2a ①0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是 ②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是 ③2a=0则动点P的轨迹是 (2) 若|P F1|-|PF2|=2a ①0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是 ②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是 ③2a=0则动点P的轨迹是 2.双曲线的标准方程 双曲线知识点总结班级姓名 知识点一：双曲线的定义在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0 且）的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距. 注意：1. 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； 2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 3. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； 4．若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； 5．若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。 知识点二：双曲线的标准方程 1．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中； 2．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中. 注意：1．只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到双曲线的标准方程； 2．在双曲线的两种标准方程中，都有； 3．双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.当的系数为正时，焦点在轴上， 双曲线的焦点坐标为，；当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为， . 知识点三：双曲线的简单几何性质 双曲线（a＞0，b＞0）的简单几何性质 （1）对称性：对于双曲线标准方程（a＞0，b＞0），把x换成― x，或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、―y，方程都不变，所以双曲线（a＞0，b ＞0）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。 （2）范围：双曲线上所有的点都在两条平行直线x=―a和x=a的两侧，是无限延伸的。因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a或x≥a。（3）顶点：①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。 ②双曲线（a＞0，b＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A1（―a，0），A2（a，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。 ③两个顶点间的线段A1A2叫作双曲线的实轴；设B1（0，―b），B2（0，b）为y轴上的两个点，则线段B1B2叫做双曲线的虚轴。实轴和虚轴的长度分别为|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长。 注意：①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆。 ②双曲线的焦点总在实轴上。③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。 （4）离心率：①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表示，记作。 ②因为c＞a＞0，所以双曲线的离心率。由c2=a2+b2，可得， 所以决定双曲线的开口大小，越大，e也越大，双曲线开口就越开阔。所以离心率可以用来表示 双曲线开口的大小程度。③等轴双曲线，所以离心率。 （5）渐近线：经过点A2、A1作y轴的平行线x=±a，经过点B1、B2作x轴的平行线y=±b，四条直线 围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是，我们把直线叫做双曲线的渐近线。 注意：双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交。 标准方程 图形 性质 焦点，， 焦距 范围，， 椭圆的定义、性质及标准方程 高三数学备课组 刘岩老师 1. 椭圆的定义： ⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。 ⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数 )10(< 双曲线中常见结论： 1、离心率e=a c =21）（a b 2、焦半径 3、通径及通径长a b 2 2 4、焦点到准线的距离c b 2，中心到准线的距离c a 2 8、双曲线λ=-2222b y a x (λ≠0)和122 22=-b y a x 有相同的渐近线和相同的离心率。 9、P 为双曲线上一点，则21F PF ?的面积为S= θsin b 2 121212线的离心率为e= α ββαsin sin sin -+） （ 例（湖南卷）已知双曲线22a x －22 b y ＝1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，右准线与一条渐近线 交于点A ，△OAF 的面积为2 2 a （O 为原点），则两条渐近线的夹角为 （D ） A ．30o B ．45o C ．60o D ．90o 例双曲线）（0122≠=-m n n y m x 的离心率为2，则n m 的值为（ ） A ．3 B ． 3 1 C ．3或 3 1 D ．以上都不对 椭圆的几何性质 一、教学目标 (一)知识教学点 通过椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，能正确地画出椭圆的图形，并了解椭圆的一些实际应用． (二)能力训练点 通过对椭圆的几何性质的教学，培养学生分析问题和解决实际问题的能力． (三)学科渗透点 使学生掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解，这样才能解决随之而来的一些问题，如弦、最值问题等． 二、教材分析 1．重点：椭圆的几何性质及初步运用． (解决办法：引导学生利用方程研究曲线的性质，最后进行归纳小结．) 2．难点：椭圆离心率的概念的理解． (解决办法：先介绍椭圆离心率的定义，再分析离心率的大小对椭圆形状的影响，最后通过椭圆的第二定义讲清离心率e的几何意义．) 3．疑点：椭圆的几何性质是椭圆自身所具有的性质，与坐标系选择无关，即不随坐标系的改变而改变． (解决办法：利用方程分析椭圆性质之前就先给学生说明．) 三、活动设计 提问、讲解、阅读后重点讲解、再讲解、演板、讲解后归纳、小结． 四、教学过程 (一)复习提问 1．椭圆的定义是什么？ 第二章 2.3 双曲线 双曲线 标准方程（焦点在x 轴） )0,0(122 22>>=-b a b y a x 标准方程（焦点在y 轴） )0,0(122 22>>=-b a b x a y 定义 第一定义：平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值是常数（小于12F F ）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。 {}a MF MF M 22 1 =-()212F F a < 第二定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离的比是常数e ，当1e >时，动点的轨迹是双曲线。定点F 叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e （1e >）叫做双曲线的离心率。 范围 x a ≥，y R ∈ y a ≥，x R ∈ 对称轴 x 轴 ，y 轴；实轴长为2a ,虚轴长为2b 对称中 心 原点(0,0)O 焦点坐标 1(,0)F c - 2(,0)F c 1(0,)F c - 2(0,)F c 焦点在实轴上，22c a b =+；焦距：122F F c = 顶点坐标 （a -,0） (a ,0) (0, a -,) (0，a ) x y P 1 F 2 F x y P x y P 1F 2F x y x y P 1 F 2 F x y x y P 1F 2F x y P 离心率 e a c e (= >1) 准线方 程 c a x 2 ± = c a y 2 ± = 准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离：c a 2 2 顶点到准线的 距离 顶点1A （2A ）到准线1l （2l ）的距离为c a a 2 - 顶点1 A （2A ）到准线2l （1l ）的距离为a c a +2 焦点到准线的 距离 焦点1F （2F ）到准线1l （2l ）的距离为c a c 2 - 焦点1F （2F ）到准线2l （1l ）的距离为c c a +2 渐近线 方程 x a b y ±= x b a y ±= 共渐近 线的双曲线系 方程 k b y a x =-2222（0k ≠） k b x a y =-22 2 2（0k ≠） 1. 双曲线的定义 ① 当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，则表示点M 在双曲线右支上； 当a MF MF 212=-时，则表示点M 在双曲线左支上； ② 注意定义中的“（小于12F F ）”这一限制条件，其根据是“三角形两边之和之差小于第三边”。 若2a =2c 时，即2 12 1F F MF MF =-,当2121F F MF MF =-，动点轨迹是以2F 为端点向 右延伸的一条射线；当2112F F MF MF =-时，动点轨迹是以1F 为端点向左延伸的一条射线； 若2a ＞2c 时，动点轨迹不存在. 2. 双曲线的标准方程判别方法是： 如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上； 如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上. 对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上. 3. 双曲线的内外部 (1)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ?->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b ?-<. 数学概念、方法、题型、易误点技巧总结——圆锥曲线（一） 省市安乡县第五中学龚光勇收集整理 1.圆锥曲线的两个定义： （1）第一定义中要重视“括号”的限制条件：椭圆中，与两个定点F，F的距离的和等于常数，且此常数一定要大于，当常数等于时，轨迹是线段FF，当常数小于时，无轨迹；双曲线中，与两定点F，F的距离的差的绝对值等于常数，且此常数一定要小于|FF|，定义中的“绝对值”与＜|FF|不可忽视。若＝|FF|，则轨迹是以F，F为端点的两条射线，若﹥|FF|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。比如： ①已知定点，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是 A．B． C．D．（答：C）； ②方程表示的曲线是_____（答：双曲线的左支） （2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。 如已知点及抛物线上一动点P（x,y）,则y+|PQ|的最小值是_____（答：2） 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （1）椭圆：焦点在轴上时（）（参数方程，其中为参数），焦点在轴上时＝1（）。方程表示椭圆的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B）。比如： ①已知方程表示椭圆，则的取值围为____（答：）； ②若，且，则的最大值是____，的最小值是___（答：） （2）双曲线：焦点在轴上： =1，焦点在轴上：＝1（）。方程表示双曲线的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B异号）。比如： ①双曲线的离心率等于，且与椭圆有公共焦点，则该双曲线的方程_______（答：）； ②设中心在坐标原点，焦点、在坐标轴上，离心率的双曲线C过点，则C的方程为_______ 椭圆与双曲线的对偶性质92条 椭 圆 1．12||||2PF PF a += 2．标准方程：22 221x y a b += 3．11 || 1PF e d =< 4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆切. 8．设A 1、A 2为椭圆的左、右顶点，则△PF 1F 2在边PF 2（或PF 1）上的旁切圆，必与A 1A 2所在的直线切于A 2（或A 1）. 9．椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞o ）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭 圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22 221x y a b -=. 10．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 11．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦 P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 12．AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴且过原点的弦，M 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-. 13．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=，则被Po 所平分的中点弦的方程是 22 00002222x x y y x y a b a b +=+. 14．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+. 15．若PQ 是椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）上对中心直角的弦，则 122222 121111(||,||)r OP r OQ r r a b +=+==. 16．若椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）上中心直角的弦L 所在直线方程为1Ax By +=(0)AB ≠, 椭圆知识点 【知识点1】椭圆的概念: 在平面内到两定点F 1、F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距． 当动点设为M 时，椭圆即为点集P ={}12|2M MF MF a += 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若)(2121 F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形。 【知识点2】椭圆的标准方程 焦点在x 轴上椭圆的标准方程: ()22 2210x y a b a b += >>，焦点坐标为（c ，0)，（-c ，0) 焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为：()22 2210x y a b b a += >>焦点坐标为（0，c ，）(o ，-c ) 【知识点3】椭圆的几何性质: 规律: (1)椭圆焦点位置与x 2，y 2系数间的关系：焦点在分母大的那个轴上. (2)椭圆上任意一点M 到焦点F 的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a ＋c ，最小距离为a －c . (3)在椭圆中，离心率 2 222 2a b a a c a c e -===(4)椭圆的离心率e 越接近１椭圆越扁；e 越接近于０，椭圆就接近于圆； (5)离心率公式：在21PF F ?中，α=∠21F PF ，β=∠12F PF ，()β αβαsin sin sin ++=e 二、椭圆其他结论 1、若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b += 若已知切线斜率K ，切线方程为222b k a kx y +±= 椭圆与双曲线的必背的经典结论 案场各岗位服务流程 销售大厅服务岗： 1、销售大厅服务岗岗位职责： 1)为来访客户提供全程的休息区域及饮品; 2)保持销售区域台面整洁; 3)及时补足销售大厅物资,如糖果或杂志等; 4)收集客户意见、建议及现场问题点； 2、销售大厅服务岗工作及服务流程 阶段工作及服务流程 班前阶段1）自检仪容仪表以饱满的精神面貌进入工作区域 2）检查使用工具及销售大厅物资情况，异常情况及时登记并报告上级。 班中工作程序服务 流程 行为 规范 迎接 指引 递阅 资料 上饮品 （糕点） 添加茶水工作1）眼神关注客人，当客人距3米距离侯客迎询问客户送客户 注意事项 15度鞠躬微笑问候：“您好！欢迎光临！”2）在客人前方1-2米距离领位，指引请客人向休息区，在客人入座后问客人对座位是否满意：“您好！请问坐这儿可以吗？”得到同意后为客人拉椅入座“好的，请入座！” 3）若客人无置业顾问陪同，可询问：请问您有专属的置业顾问吗？，为客人取阅项目资料，并礼貌的告知请客人稍等，置业顾问会很快过来介绍，同时请置业顾问关注该客人； 4）问候的起始语应为“先生-小姐-女士早上好，这里是XX销售中心，这边请”5）问候时间段为8:30-11:30 早上好11:30-14:30 中午好 14:30-18:00下午好 6）关注客人物品，如物品较多，则主动询问是否需要帮助（如拾到物品须两名人员在场方能打开，提示客人注意贵重物品）； 7）在满座位的情况下，须先向客人致 待； 阶段工作及服务流程 班中工作程序工作 要求 注意 事项 饮料（糕点服务） 1）在所有饮料（糕点）服务中必须使用 托盘； 2）所有饮料服务均已“对不起，打扰一 下，请问您需要什么饮品”为起始； 3）服务方向：从客人的右面服务； 4）当客人的饮料杯中只剩三分之一时， 必须询问客人是否需要再添一杯，在二 次服务中特别注意瓶口绝对不可以与 客人使用的杯子接触； 5）在客人再次需要饮料时必须更换杯 子； 下班程 序1）检查使用的工具及销售案场物资情况，异常情况及时记录并报告上级领导； 2）填写物资领用申请表并整理客户意见；3）参加班后总结会； 4）积极配合销售人员的接待工作，如果下班 双曲线知识点 一、 双曲线的定义： 1. 第一定义： 到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点． 要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a ＜|F 1F 2|. 当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支； 当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线； 当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在. 2. 第二定义： 动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线 二、 双曲线的标准方程： 122 22=-b y a x （a ＞0，b ＞0）(焦点在x 轴上)； 122 22=-b x a y （a ＞0，b ＞0）(焦点在y 轴上)； 1. 如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上. a 不一定大于b. 2. 与双曲线12222=-b y a x 共焦点的双曲线系方程是122 2 2=--+k b y k a x 3. 双曲线方程也可设为：22 1(0)x y mn m n - => 例题：已知双曲线C 和椭圆22 1169 x y +=有相同的焦点，且过(3,4)P 点，求双曲线C 的 轨迹方程。 三、 点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系： 1 点与双曲线： 点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ?-> 点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b ?-< 点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>上22 0022-=1x y a b ? 2 直线与双曲线： （代数法） 设直线:l y kx m =+，双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 联立解得 02)(222222222=----b a m a mkx a x k a b 1) 0m =时，b b k a a -<<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； b k a ≥，b k a ≤-，或k 不存在时直线与双曲线没有交点； 2) 0m ≠时， k 存在时， 若0222=-k a b a b k ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若2220b a k -≠，222222222(2)4()()a mk b a k a m a b ?=----- 222222 4()a b m b a k =+- 椭圆知识点 【知识点1】椭圆的概念: 在平面内到两定点1、2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距． 当动点设为M 时，椭圆即为点集P ={}12|2M MF MF a += 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若)(2121 F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形。 【知识点2】椭圆的标准方程 焦点在x 轴上椭圆的标准方程: ()22 2210x y a b a b += >>，焦点坐标为（c ，0)，（-c ，0) 焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为：()22 2210x y a b b a += >>焦点坐标为（0，c ，）(o ，-c ) 【知识点3】椭圆的几何性质: 规律: (1)椭圆焦点位置与x 2，y 2系数间的关系：焦点在分母大的那个轴上. (2)椭圆上任意一点M 到焦点F 的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a ＋c ，最小距离为a －c . (3)在椭圆中，离心率2 2 2 22221a b a b a a c a c e -=-=== (4)椭圆的离心率e 越接近１椭圆越扁；e 越接近于０，椭圆就接近于圆； (5)离心率公式：在21PF F ?中，α=∠21F PF ，β=∠12F PF ，()β αβαsin sin sin ++=e 二、椭圆其他结论 标准方程 ()22 22 10x y a b a b += >> ()22 22 10x y a b b a += >> 图形 性质 范围 a x a -≤≤ b y b -≤≤ 对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点 A 1(－a,0)， A 2(a,0) B 1(0，－b )，B 2(0，b ) A 1(0，－a )，A 2(0，a ) B 1(－b,0)，B 2(b,0) 轴 长轴A 1A 2的长为2a ；短轴B 1B 2的长为2b 焦距 ∣F 1F 2 |=2c 离心率 e= c a ∈(0,1) a ，b ，c 的关系 c 2＝a 2－b 2 第二讲椭圆和双曲线的方程、性质 教学目标：熟练运用椭圆、双曲线定义和性质解题。 1.一圆形纸片的圆心为O ，点Q 是圆内异于O 的一点，点A 在圆周上．把纸片折叠使点 A 与点Q 重合，然后抹平纸片，折痕CD 与OA 交于P 点，当点A 运动时，点P 的轨迹 是 （ ）. 2.已知椭圆22 22:1(0)x y E a b a b +=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交椭圆于,A B 两点.若AB 的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为 （ ） A ． 2214536x y += B ．2213627x y += C ．2212718x y += D ．22 1189x y += 3.椭圆22 :143 x y C +=的左、右顶点分别为12,A A ,点P 在C 上且直线2PA 的斜率的取值范围是[]2,1--,那么直线1PA 斜率的取值范围是（ ） A ．1324 ??????， B ．3384??????， C ．112??????， D ．314?? ???? ， 4.若椭圆1C :1212212=+b y a x (011>>b a )和椭圆2C :122 2 222=+b y a x (022>>b a )的焦 点相同且12a a >.给出如下四个结论: ① 椭圆1C 和椭圆2C 一定没有公共点; ② 11 22 a b a b >; ③ 2 2212221b b a a -=-; ④1212a a b b -<-. 其中,所有正确结论的序号是( ) A.①③ B①③④ C ．①②④ D ．②③④ 5.过椭圆14 162 2=+y x 上一点P 作圆222=+y x 的两条切线，切点为B A ,，过B A ,的直线与两坐标轴的交点为N M ,，则MON ?的面积的最小值为（ ） A. 23 B. 32 C. 2 1 D. 2 6.已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准 线分别交于A , B 两点, O 为原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 的面积(完整版)双曲线经典知识点总结
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