数学建模(6离散概率模型)
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数学建模实验报告
湖南城市学院数学与计算科学学院《数学建模》实验报告专业：学号：姓名：指导教师：成绩：年月日目录实验一 初等模型........................................................................ 错误！未定义书签。
实验二 优化模型........................................................................ 错误！未定义书签。
实验三 微分方程模型................................................................ 错误！未定义书签。
实验四 稳定性模型.................................................................... 错误！未定义书签。
实验五 差分方程模型................................................................ 错误！未定义书签。
实验六 离散模型........................................................................ 错误！未定义书签。
实验七 数据处理........................................................................ 错误！未定义书签。
实验八 回归分析模型................................................................ 错误！未定义书签。
实验一 初等模型实验目的：掌握数学建模的基本步骤，会用初等数学知识分析和解决实际问题。
实验内容：A 、B 两题选作一题，撰写实验报告，包括问题分析、模型假设、模型构建、模型求解和结果分析与解释五个步骤。
数学建模专题汇总-离散模型
离散模型§ 1 离散回归模型一、离散变量如果我们用0，1，2，3，4，⋯说明企业每年的专利申请数，申请数是一个离散的变量,但是它是间隔尺度变量，该变量类型不在本章的讨论的被解释变量中。
但离散变量0和1可以用来说明企业每年是否申请专利的事项，类似表示状态的变量才在本章的讨论中。
在专利申请数的问题中，离散变量0，1，2，3 和4 等数字具有具体的经济含义，不能随意更改；而在是否申请专利的两个选择对象的选择问题中，数字0和1只是用于区别两种不同的选择，是表示一种状态。
本专题讨论有序尺度变量和名义尺度变量的被解释变量。
、离散因变量在讨论家庭是否购房的问题中，可将家庭购买住房的决策用数字1 表示，而将家庭不购买住房的决策用数字0 表示。
1 yesx0 no如果x 作为说明某种具体经济问题的自变量，则应用以前介绍虚拟变量知识就足够了。
如果现在考虑某个家庭在一定的条件下是否购买住房问题时，则表示状态的虚拟变量就不再是自变量，而是作为一个被说明对象的因变量出现在经济模型中。
因此，需要对以前讨论虚拟变量的分析方法进行扩展，以便使其能够适应分析类似家庭是否购房的问题。
因为在家庭是否购房问题中,虚拟因变量的具体取值仅是为了区别不同的状态，所以将通过虚拟因变量讨论备择对象选择的回归模型称为离散选择模型。
三、线性概率模型现在约定备择对象的0 和1 两项选择模型中，下标i 表示各不同的经济主体，取值0或l的因变量 y i表示经济主体的具体选择结果，而影响经济主体进行选择的自变量 x i 。
如果选择响应YES 的概率为 p(y i 1/ x i ) ，则经济主体选择响应NO 的概率为 1 p(y i 1/ x i)，则E(y i /x i) 1 p(y i 1/x i) 0 p(y i 0/x i)＝ p(y i 1/x i)。
根据经典线性回归，我们知道其总体回归方程是条件期望建立的，这使我们想象可以构造线性概率模型p(y i 1/ x i) E(y i / x i) x iβ0 1 x i1 L k x ik u i描述两个响应水平的线性概率回归模型可推知，根据统计数据得到的回归结果并不一定能够保证回归模型的因变量拟合值界于[0，1]。
数学建模-概率模型
如对均值为mu、标准差为sigma的正态分布，举例如下：
1．密度函数：p=normpdf(x,mu,sigma) (当mu=0,sigma=1时可缺省)
例 1 画出正态分布 N (0,1) 和 N (0,22 ) 的概率密度函数图形.
在MATLAB中输入以下命令： x=-6:0.01:6; y=normpdf(x); z=normpdf(x,0,2); plot(x,y,x,z)
9.1 传送系统的效率
背
传送带
景 挂钩
产品
工作台
工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩上运走，若 工作台数固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多。
在生产进入稳态后，给出衡量传送带效 率的指标，研究提高传送带效率的途径
模型分析
• 进入稳态后为保证生产系统的周期性运转，应 假定工人们的生产周期相同，即每人作完一件产 品后，要么恰有空钩经过他的工作台，使他可将 产品挂上运走，要么没有空钩经过，迫使他放下 这件产品并立即投入下件产品的生产。 • 工人们生产周期虽然相同，但稳态下每人生产 完一件产品的时刻不会一致，可以认为是随机的， 并且在一个周期内任一时刻的可能性相同。
例：现有100个零件，其中95个长度合格，94个直径和格， 92个两个尺寸都合格。任取一个，发现长度合格，问直径 合格的概率。
设A=‘长度合格’，B=‘直径合
格’
P( A) 95 , P( AB) 92
100
100
P(B | A) P( AB) 92 P( A) 95
全概率公式和贝叶斯公式
u0 u0
L(
x)
c 2
x
0
(
x
r
)
p(r
)dr
数学建模(6离散概率模型)
的概率为α。
的概率为 95%
如果要求控制y值，适合 解方程组：
怎么办？ 即可
数学建模(6离散概率模型).pptx(3/3)
R2(t)
子系统2推进
可控宇宙火箭推进点火系统
检查每个子系统，子系统1（通讯系统）是并联的，可靠 性为0.998，子系统2（推进系统）是串联的，可靠性为0.8208。 这两个子系统是串联的，所以整个系统的可靠性是两个子系统 可靠性的乘积： Rs(t)=R1(t)*R2(t)=0.998*0.8208=0.8192
pptx13人的健康状况分为健康和疾病两种状态设对特定年龄段的人今年健康明年保持健康状态的概率为08而今年患病明年转为健康状态的概率为07健康与疾病人的健康状态随着时间的推移会随机地发生转变保险公司要对投保人未来的健康状态作出估计订保险金和理赔金的数额若某人投保时健康问10年后他仍处于健康状态的概率n1只取决于x
奥兰多 0.6 坦帕 0.3
0.4
0.6
奥兰多P
坦帕q
0.3 汽车租赁例中奥兰多和坦帕的马尔可夫链
4.模型求解
n 0 1 2 奥兰多 1 0.6 0.48 0.444 0.4332 0.42996 0.428988 0.428696 0.428696 0.428696 0.428696 0.428696 0.428696 0.428696 0.428696 坦帕 0 0.4 0.52 0.556 0.5668 0.57004 0.571012 0.571012 0.571012 0.571012 0.571012 0.571012 0.571012 0.571012 0.571012
对每个状态从当前状态向下一个状态的转移概率之和为1。
例1：汽车租赁
数学建模—概率模型 ppt课件
数学建模—概率模型
v3统计图(examp05-03) v箱线图（判断对称性） v频率直方图（最常用） v经验分布函数图 v正态概率图（+越集中在参考线附近，越近似正态分布）
v4分布检验 vChi2gof,jbtest,kstest,kstest2,lillietest等 vChi2gof卡方拟合优度检验，检验样本是否符合指定分布。它把观测数据分 组，每组包含5个以上的观测值，根据分组结果计算卡方统计量，当样本够 多时，该统计量近似服从卡方分布。 vjbtest,利用峰度和偏度检验。
3 单因素一元方差分析步骤
（ example07_01.m 判断不同院系成绩均值是否相等）
数据预处理
正态性检验 lillietest （p>0.05接受）
方差齐性检验 vartestn （p>0.05接受）
方差分析
anoval （ｐ＝0 有显著差别）
多重比较：两两比较，找出存在显著差异的学院，multcompare
构造观测值矩阵，每一列对应因素Ａ的一个水平，每一行对应因素Ｂ的一个
水平
方差分析
anova2 得到方差分析表
方差分析表把数据差异分为三部分（或四部分）： 列均值之间的差异引起的变差 列均值之间的差异引起的变差 行列交互作用引起的变差 （随机误差） 后续可以进行多重比较，multcompare，找出哪种组合是最优的
Computer Science | Software Engineering & Information System
数学建模—概率模型
目的：用一个函数近似表示变量之间的不确定关系。 1 一元线性回归分析 做出散点图，估计趋势；计算相关系数矩阵； regress函数，可以得到回归系数和置信区间,做残差分析，剔除异常点，重 新做回归分析 Regstats 多重线性或广义回归分析，它带有交互式图形用户界面，可以处 理带有常数项、线性项、交叉项、平方项等模型 robustfit函数：稳健回归（加权最小二乘法）
数学建模 离散模型图论选讲
v2 v5
v6 v1 v3
v2 v5 v6
v3
v1
v2
v4
v2
树与图的最小树
• 赋权图中求最小树的方法：破圈法和避圈法 破圈法：任取一圈，去掉圈中最长边，直到无圈。 v3 v1 v5 8 7 5 v2 4 3
8
v4 v3
5
1 v6 v5
26v14源自521v6 边数＝n-1=5
v2
3
v4
树与图的最小树
C
E
树与图的最小树
树是图论中结构最简单但又十分重要的图。在自然和社会领 域应用极为广泛。 例 乒乓求单打比赛抽签后，可用图来表示相遇情况，如下 图所示。
运动员 A
B C
D
E
F G
H
树与图的最小树
• 例 某企业的组织机构图也可用树图表示。
厂长
人事科
财务科
总工 程师
生产副 厂长
经营副 厂长
开发科
技术科
• 图的模型应用
图的基本概念与模型
例 有甲,乙,丙,丁,戊,己6名运动员报名参加A,B,C,D,E,F 6个项目的比赛。下表中打√的是各运动员报告参加的比赛 项目。问6个项目的比赛顺序应如何安排，做到每名运动员 都不连续地参加两项比赛。
甲 乙 丙 丁 戊 己
A √ √ √ √
B
C
√
√
D √ √
E
F
得到最小树： v1 4 2 v2 3 v4
v3 5
v5 1 v6 Min C(T)=15
树与图的最小树
•避圈法:
•去掉G中所有边，得到n个孤立点；然后加边。 •加边的原则为：从最短边开始添加，加边的过程中不能形 成圈，直到点点连通(即:n-1条边)。 v3 v1 v5 8 7 5 v2 4 3 v4
数学建模简明教程课件：离散模型
①最高层：这一层次中只有一个元素，一般它是分析问题 的预定目标或理想结果，因此也称为目标层.
5
②中间层：这一层次中包含了为实现目标所涉及的中间环 节，它可以由若干个层次组成，包括所需考虑的准则、子准则 ，因此也称为准则层.
③最低层：这一层次包括了为实现目标可供选择的各种措 施、决策方案等，因此也称为措施层或方案层.
16
⑤若A的最大特征值λmax对应的特征向量为W＝(w1，…，
wn)T，则
aij
wi wj
， i, j 1,2,, n ，即
w1 w1
w1
w1 w2
wn
w2 w2
w2
A w1 w2
wn
wn wn
wn
w1 w2
wn
17
定理6.3 n阶正互反矩阵A为一致矩阵当且仅当其最大特
征根λmax＝n，且当正互反矩阵A非一致时，必有λmax>n. 根据定理6.3，我们可以由λmax是否等于n来检验判断矩阵A
当CR<0.10时，认为层次总排序结果具有较满意的一致性
并接受该分析结果.
26
6.1.2 层次分析法的应用
在应用层次分析法研究问题时，遇到的主要困难有两个： (1)如何根据实际情况抽象出较为贴切的层次结构； (2)如何将某些定性的量作比较，接近实际以定量化处理. 层次分析法对人们的思维过程进行了加工整理，提出了一 套系统分析问题的方法，为科学管理和决策提供了较有说服力 的依据.但层次分析法也有其局限性，主要表现在： (1)它在很大程度上依赖于人们的经验，主观因素的影响很 大，它至多只能排除思维过程中的严重非一致性，却无法排除 决策者个人可能存在的严重片面性.
3
6.1.1 层次分析法的基本原理与步骤
5
②中间层：这一层次中包含了为实现目标所涉及的中间环 节，它可以由若干个层次组成，包括所需考虑的准则、子准则 ，因此也称为准则层.
③最低层：这一层次包括了为实现目标可供选择的各种措 施、决策方案等，因此也称为措施层或方案层.
16
⑤若A的最大特征值λmax对应的特征向量为W＝(w1，…，
wn)T，则
aij
wi wj
， i, j 1,2,, n ，即
w1 w1
w1
w1 w2
wn
w2 w2
w2
A w1 w2
wn
wn wn
wn
w1 w2
wn
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定理6.3 n阶正互反矩阵A为一致矩阵当且仅当其最大特
征根λmax＝n，且当正互反矩阵A非一致时，必有λmax>n. 根据定理6.3，我们可以由λmax是否等于n来检验判断矩阵A
当CR<0.10时，认为层次总排序结果具有较满意的一致性
并接受该分析结果.
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6.1.2 层次分析法的应用
在应用层次分析法研究问题时，遇到的主要困难有两个： (1)如何根据实际情况抽象出较为贴切的层次结构； (2)如何将某些定性的量作比较，接近实际以定量化处理. 层次分析法对人们的思维过程进行了加工整理，提出了一 套系统分析问题的方法，为科学管理和决策提供了较有说服力 的依据.但层次分析法也有其局限性，主要表现在： (1)它在很大程度上依赖于人们的经验，主观因素的影响很 大，它至多只能排除思维过程中的严重非一致性，却无法排除 决策者个人可能存在的严重片面性.
3
6.1.1 层次分析法的基本原理与步骤
数学建模离散型概率分布
解 由题意可知，抽检4个样品，相当于做4重
贝努利试验，其中一等品的个数X ~ B(k, 4, 0.8) 因为 (n 1) p 50.8 4 为整数，所以 X 的最
可能值为4和3
X 的概率分布如下表所示。
X k 0
1
2
3
4
P(X k) 0.0016 0.0256 0.1536 0.4096 0.4096
若事件 A 出现的次数 X ~ B(k, n, p), 那么其对立事件
A 出现的次数Y ~ B(k, n, q), 其中
q 1 p, k 0,1, , n, k k n,
因此
P( X k) P(Y n k), P(X k) P(Y n k)
P(k1 X k2 ) P(n k2 Y n k1)
泊松分布的背景及应用
二十世纪初罗瑟福和盖克两位科学家在观察
P{ X k} 0.001, 当 k 11时
图示概率分布
泊松分布(稀有事件模型)
设随机变量所有可能取的值为0, 1, 2,,而取各个 值的概率为
k e
P{X k}
,
k 0,1,2,,
k!
其中 0是常数.则称X 服从参数为的泊松分
布,记为 X ~ P().
P5 (3) C53 0.73 (1 0.7)3 0.3087
若 X 的分布律为：
P{X k} Cnk pk qnk , k 0,1, 2, n
则称随机变量 X 服从参数为 n,p 的二项分布
记为 X ~ B(n , p) 其中 q ＝ 1 － p
两个基本性质
(1) P( X k ) Cnk pk (1 p)nk 0
贝努利试验，其中一等品的个数X ~ B(k, 4, 0.8) 因为 (n 1) p 50.8 4 为整数，所以 X 的最
可能值为4和3
X 的概率分布如下表所示。
X k 0
1
2
3
4
P(X k) 0.0016 0.0256 0.1536 0.4096 0.4096
若事件 A 出现的次数 X ~ B(k, n, p), 那么其对立事件
A 出现的次数Y ~ B(k, n, q), 其中
q 1 p, k 0,1, , n, k k n,
因此
P( X k) P(Y n k), P(X k) P(Y n k)
P(k1 X k2 ) P(n k2 Y n k1)
泊松分布的背景及应用
二十世纪初罗瑟福和盖克两位科学家在观察
P{ X k} 0.001, 当 k 11时
图示概率分布
泊松分布(稀有事件模型)
设随机变量所有可能取的值为0, 1, 2,,而取各个 值的概率为
k e
P{X k}
,
k 0,1,2,,
k!
其中 0是常数.则称X 服从参数为的泊松分
布,记为 X ~ P().
P5 (3) C53 0.73 (1 0.7)3 0.3087
若 X 的分布律为：
P{X k} Cnk pk qnk , k 0,1, 2, n
则称随机变量 X 服从参数为 n,p 的二项分布
记为 X ~ B(n , p) 其中 q ＝ 1 － p
两个基本性质
(1) P( X k ) Cnk pk (1 p)nk 0
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数学建模(6离散概率模型).pptx(2/3)
例3 测16名成年女子的身高与腿长所得数据如下：
散点图
总平方和：
回归平方和：
散点图
残差平方和：
最小二乘法
a=0.7194 ,b=-16.0730
可信程度? 进行检验
F=180.9531, p=0.0000
r2=0.9282
案例的MATLAB求解代码：
应用matlab工具箱中解决回归问题：
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
p(1)=1; q(1)=0; for n=1:15 p(n+1)=0.6*p(n)+0.3*q(n); q(n+1)=0.4*p(n)+0.7*q(n); end format short g p, q n=1:16; plot(n,p,'c-') hold on plot(n,q,'m--') legend('奥兰多-','坦帕--') xlabel('x') ylabel('y')
宇宙火箭通讯系统（并联运行）
两个独立部件的可靠性分别是R1(t)=0.95,R2(t)=0.96, 则系统可靠性是： Rs(t)= R1(t)+R2(t)-R1(t)*R2(t)=0.998 或 Rs(t)=1-0.05*0.04=0.998(多个部件并联用此方法最佳) 注意：整个并联系统的可靠性大于任何单个部件的可靠性，其中任何一个
汽车出租例题的迭代解
5.模型解释
如果最初两个分店总共有n辆车，那么14个时段后大约57%的车将在坦帕， 43%的车将在奥兰多，于是，若开始每个城市有100辆车，则稳定状态下114 辆车将在坦帕，86辆车将在奥兰多（只需要大约5天就可达到这种状态）。
数学建模(6离散概率模型).pptx(1/3)
例2 健康与疾病
;
0 05
3、残差分析： 画出残差及其置信区间： rcoplot（r，rint）
从残差图可以看出，除第 残差图应该有什么特点？ 二个数据外，其余数据的残差 离零点均较近，且残差的置信 区间均包含零点，这说明回归 模型 y=-16.073+0.7194x能较好 的符合原始数据，而第二个数 据可视为异常点.
n时状态概率趋于稳定值，稳定值与初始状态无关
串联系统是所有部件全都可使用时才运转正常的系统。
R1(t)=0.9 R2(t)=0.95 R3(t)=0.96
串联系统
并联系统是只要有一个部件可使用就运转正常的系统。
R1(t)=0.95 MW（微波） 无线电发送 R2(t)=0.96 FM（调频） 无线电发送
并联系统
宇宙火箭推进系统（有3节串联助推火箭）
3个部件的可靠性分别是R1(t)=0.90,R2(t)=0.95,R3(t)=0.96, 则系统可靠性是它们的乘积： Rs(t)=R1(t)*R2(t)*R3(t)=0.8208 注意：整个串联系统的可靠性小于任何单个部件的可靠性，因为每个部件的 可靠性小于1。各单元之间的失效时间随机变量互为独立时，如果有某一单元 发生故障，则引起系统失效的系统。
奥兰多 0.6 坦帕 0.3
0.4
0.6
奥兰多P
坦帕q
0.3 汽车租赁例中奥兰多和坦帕的马尔可夫链
4.模型求解
n 0 1 2 奥兰多 1 0.6 0.48 0.444 0.4332 0.42996 0.428988 0.428696 0.428696 0.428696 0.428696 0.428696 0.428696 0.428696 0.428696 坦帕 0 0.4 0.52 0.556 0.5668 0.57004 0.571012 0.571012 0.571012 0.571012 0.571012 0.571012 0.571012 0.571012 0.571012
单元都能单独支撑整个系统的运行。
串并联组合系统
RMW(t) R1(t) RFM(t)
子系统1通讯
§6-3 线性回归
R3(t) 由一个或一组非随机变量来估计或预测另一 个随机变量时建立的线性模型所做的统计分析， 称为线性回归分析。 回归分析需解决三个问题： 1、确定参数， 2、显著性检验， 3、预测和控制。
状态与状态转移
0.8
0.2
0.3
1
0.7
2
Xn+1只取决于Xn和pij, 与Xn-1, …无关 状态转移具 有无后效性
状态与状态转移
0.8
0.2
0.3
1
0.7
2
§6-2 部件和系统可靠性建模
给定a(0), 预测 a(n), n=1,2…
n
0 1 0 0 1
1 0.8 0.2 0.7 0.3
2 0.78 0.22 0.77 0.33
6 离散概率模型
§6-1 离散系统的概率模型 §6-2 部件和系统可靠性建模 主讲人：何旭彪 §6-3 线性回归
1
2
§6-1 离散系统的概率模型
我们学会利用比例和确定比例系数的方法建立模型， 如果比例系数是随机的，怎么办？ 马尔可夫链：是在任何给定时刻具有同样多个状态或结果的一 个过程。马氏链模型描述一类重要的随机动态系统（过程）的模型。
对每个状态从当前状态向下一个状态的转移概率之和为1。
例1：汽车租赁
1.识别问题
下一状态
2.模型假设
假设最初全部汽车都在奥兰多。
奥兰多
当前状态
坦帕 0.4 0.7
3.模型建立
定义如下变量： pn=第n时段末在奥兰多可供出租的汽车的百分比 qn=第n时段末在坦帕可供出租的汽车的百分比 构造概率模型：
0.7
人的健康状态随着时间的推移会随机地发生转变 保险公司要对投保人未来的健康状态作出估计, 以制 订保险金和理赔金的数额 人的健康状况分为健康和疾病两种状态，设对特 定年龄段的人，今年健康、明年保持健康状态的概率 为0.8, 而今年患病、明年转为健康状态的概率为0.7， 若某人投保时健康, 问10年后他仍处于健康状态的概率
[b, bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,alpha) 回归系数
回归系数的区间估计 残差 显著性水平 （缺省时为 ） 置信区间
用于检验回归模型的统计量， 有三个数值：相关系数r2、 F值、与F对应的概率p
x=[143 145 146 147 149 150 153 154 155 156 157 158 159 160 162 164]; X=[ones(16,1)x]; Y=[88 85 88 91 92 93 93 95 96 98 97 96 98 99 100 102]; [b, bint,r,rint,stats]=regress(Y,X) b, bint,stats
预测与控制
应用回归方程，给出 x0，可算出 但与实测值y0 有偏差。 刻画了误差引起的总的变动情况 残差平方和：S如何研究偏差？ 残=
令
称为剩余标准差 为什么是 n-2而不是n？
统计量：
对于给定的置信水平α，y0取值在
当n比较大时，y0 取值在 在 的概率为 68%，在 的概率为 99%。 想一想，为什么？
R2(t)
子系统2推进
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ可控宇宙火箭推进点火系统
检查每个子系统，子系统1（通讯系统）是并联的，可靠 性为0.998，子系统2（推进系统）是串联的，可靠性为0.8208。 这两个子系统是串联的，所以整个系统的可靠性是两个子系统 可靠性的乘积： Rs(t)=R1(t)*R2(t)=0.998*0.8208=0.8192
的概率为α。
的概率为 95%
如果要求控制y值，适合 解方程组：
怎么办？ 即可
数学建模(6离散概率模型).pptx(3/3)
1-p q
马氏链 (Markov Chain) 的概念：
•一个事件有许多结果，系统在每个时期所处的 状态是随机的； •从一时期到下时期的状态按一定概率转移；
p
状态1
1-q
状态2
•下时期状态只取决于本时期状态和转移概率， 即已知现在，将来与过去无关（无后效性）。
马氏链 (Markov Chain)是时间、状态均为离散的随机转移过程，
3 0.778 0.222
…
设投保 时健康 设投保 时疾病
∞
a1(n) a2(n) a1(n) a2(n)
… 7/9 … 2/9 7/9 2/9
0.777 … 0.333 …
一个部件或系统的可靠性是在指定的时间内没有失 效的概率。 记f(t)为一个零件、部件或系统在时间t内的失效率， 即f(t)是一个概率分布，设F(t)是相应于f(t)的累积 分布函数，定义一个零件、部件或系统的可靠性为 R(t)=1-F(t)这样，在任何时间t的可靠性等于1减去 时间t的累积失效率。 系统是由若干部件（子系统、元器件）相互有机地 组合起来，可以完成某种工作任务的具有一定输入、 输出特性的整体。