平面向量的概念及其线性运算
2020年高一下学期第1讲：平面向量的基本概念与线性运算(含解析)
4若两个向量相等，则它们的起点和终点分另重合；
5若a//b,b//c，则a//C.
A.0个B.1个C.2个D.3个
2.下列命题中，正确的是（）
a.a与b共线，b与c共线，则a与c也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点总是一平行四边形的四个顶点
十、十muruur r
和0A交于E，设AB占，AO b
(1)用向量a与b表示向量Oc,CD；
…uuumu，亠
(2)若OE OA，求实数的值.
26.如图，已知ABC的面积为14,D、E分别为边AB、BC上的点，且AD:DB BE:EC2:1,AE
(1)求及；
rr uuu
(2)用aLeabharlann b表示BP;(3)求PAC的面积.
动点
uuu
P满足OP
uur
OA
uuur
/AB
(uuu
|AB|
uuur
AC、
-uuu^),
|AC|
[0,），则P的轨迹一定通过
ABC的（）
A.外心
B.内心
C.重心
D.垂心
1 2.如图，四边形ABCD是正方形,
延长CD至E,
使得
DE CD.若动点P从点A出发，沿正方形
A点，其中
UUU
AP
UUL
AB
AE，下列判断正确的是（）
3
|CB|,
若
AB BC，贝U(
)
2
2
5
5
A .-
B .-
C.
D.
3
3
3
3
5.已知|a11,
rrr
平面向量的概念及其线性运算课件-2025届高三数学一轮复习
（1）是判断两个向量共线的主要依据.若 ,则与共线,且当时,与同向;当时,与 反向.
（2）若与不共线且，则 .
（3）要证明，，三点共线，只需证明与共线，即证 .若已知，，三点共线，则必有与共线，从而存在实数 ，使得 .
（4）（ ， 为实数），若，，三点共线，则 .
1.【微点1】（多选题）[2024·唐山六校联考] 对于任意向量， ，下列说法中正确的有( )
BD
A. B. C. D.
[解析] 对于A，当， 为非零向量且不共线时，不等式不成立，故A错误；对于B，易知，故B正确；对于C，若非零向量， 方向相反，则，故C错误；对于D，易知，故D正确.故选 .
相同
相反
平行
续表
2.向量的线性运算
运算
定义
法则（或几何意义）
运算律
加法
求两个向量和的运算
_
①交换律： ；#b#②结合律：
减法
求两个向量差的运算
三角形法则
平行四边形法则
三角形法则
运算
定义
法则（或几何意义）
运算律
数乘
求实数 与向量 的积的运算
（1） .#b#（2）当时，与 的方向相同；当时，的方向与 的方向相反；当时，
3.已知（ , 为实数）,若,,三点共线,则 .
4.向量三角不等式①已知非零向量,,则（当与 反向共线时左边等号成立;当与 同向共线时右边等号成立）;②已知非零向量,,则（当与 同向共线时左边等号成立;当与 反向共线时右边等号成立）.
◆ 对点演练 ◆
题组一 常识题
1.［教材改编］ _____.
[解析] ，为不共线的非零向量，， ，，则， .因为，所以与不共线，所以，， 三点不共线，故A不正确；因为，所以与共线，所以，，三点共线，故B正确；因为 ，所以与不共线，所以，，三点不共线，故C不正确；因为 ，所以与不共线，所以，， 三点不共线，故D不正确.故选B.
《平面向量》第1讲 平面向量的概念和线性运算
小结
1. 基本概念.
2. 向量的线性运算(加法、减法、数乘).
运算结果仍然是一个向量.
3. 两个向量共线的充要条件.
三点共线的应用.
一.向量的基本概念
[例题1]. 下列说法正确的是 .
(1).0 的方向是任意的；
(2).0// a;
(3). 0 0;
(4).0 a a 0 a;
(5). 0 0; (6).0 a 0.
二.向量的线性运算
[例题2]. 设O是正六边形ABCDEF的中点. (1) 与 OA 相等的向量有 (2) 设 AC a, BD b, 请用这两个向量表示 CD . .
课题：
向量的基本概念与线性运算
知识点1.向量的基本概念
(1) 既有大小，又有方向的量叫向量. (2) 长度为0的向量叫零向量． (3) 长度等于1的向量单位向量．
[ [
Y Y
] ]
[ (4) 方向相同的非零向量叫平行向量. [ (5) 平行向量又叫共线向量． [ [ (6) 长度相等的向量叫相等向量．
BC CD
(2) 证明：A、B、D三点共线.
(3) 试确定实数k，使k a＋b和a＋k b共线．
二.向量的线性运算
变式1. 设 a , b 是两个非零的不共线向量 . 且向量 a , b 的起点相同，当t= 时，
1 ab 三个向量 a , tb, 3
的终点共线 .
二.向量的线性运算
(7) 方向相反的向量叫相反向量．
[
Y ] N ] Y ] N ] N ]
知识点2、向量的线性运算.
类型 加 法 代数运算
几何运算
a
坐标运算
平面向量的概念及线性运算-高考数学复习
相反 的向量；
目录
（6）平行向量：方向相同或
相反 的非零向量，也叫做共线向
量，规定：零向量与任意向量平行.
提醒
单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相
同；与向量 a 平行的单位向量有两个，即向量
｜｜
｜｜
和－
.
目录
2. 向量的线性运算
向量运算
定义
法则（或几何意义）
运算律
加法
求两个向量
b ＝5（ a ＋ b ）＝5 ，∴ ， 共线.
又它们有公共点 B ，∴ A ， B ， D 三点共线.
目录
（2）试确定实数 k ，使 ka ＋ b 和 a ＋ kb 共线.
解：∵ ka ＋ b 与 a ＋ kb 共线，
∴存在实数λ，使 ka ＋ b ＝λ（ a ＋ kb ），即 ka ＋ b ＝λ a ＋λ kb ，
＝（
）
目录
1
解析：如图所示，∵ D 为 BC 的中点，∴ ＝ （ ＋
2
2
1
1
），∵ ＝2 ，∴ ＝ ＝ ＋ ，
3
3
3
1பைடு நூலகம்
1
1
∴ ＝ － ＝ －（ ＋ ）＝－ ＋
3
3
3
2
，故选A.
3
目录
解题技法
目录
1.
1
若 P 为线段 AB 的中点， O 为平面内任一点，则 ＝ （ ＋
2
）.
2.
1
若 G 为△ ABC 的重心，则 ＋ ＋ ＝0； ＝ （ ＋
3
）.
3. ＝λ ＋μ （λ，μ为实数），若点 A ， B ， C 共线，则λ
25平面向量的概念及线性运算
P
O A
ห้องสมุดไป่ตู้ 题 型一
【例 1】给出下列命题：
平面向量的概念辨析
①若|a|＝|b|，则 a＝b； → → ②若 A，B，C，D 是不共线的四点，则AB＝DC是四边形 ABCD 为 平行四边形的充要条件； ③若 a＝b，b＝c，则 a＝c； ②③ ④a＝b 的充要条件是|a|＝|b|且 a∥b.其中正确命题的序号是______.
B O A
OP OA OB ( 1)
❷向量的中点公式 当 1 时， 2 OP＝ 1 (OA OB ). ＋ 2
B
OP OA AB
忆一忆知识要点
法则(或几何意义)
a
ka ( k 0)
运算律
( a ) ( )a | || a | 求实数λ (1)|λa|＝________. 与向量a (2)当λ>0时, λa与a的方 数乘 ( )a = a + a 的积的 向_______； 相同 运算 (3)当λ<0时, λa 与 a 的 (a + b ) a + b 相反 方 向_______； (4)当λ＝0时,λa＝__.0
→ ＝1a＋5b，ON＝2a＋2b，MN＝1a－1b. → → 综上，OM 6 6 3 3 2 6
题 型三
和△OBC 的面积之比为( A．3∶2 B．5∶2
平面向量的共线问题
) C．4∶1 D．5∶1
→ → 例 3.设 O 是△ABC 内部的一点， → ＋2OB＋2OC＝0， 且OA 则△ABC
→ → → → → 解析：如下图：∵OA＋2OB＋2OC＝0，∴OA＝－2(OB＋ → → 而OE → ∴OA → ∴|OA → OC)＝－2OE， → ＝2OD， → ＝－4OD， → |＝4|OD h1 1 |.设 A、O 到 BC 的距离分别是 h，h1，则 h ＝5.又∵△ABC S△ABC 与△OBC 同底，∴ ＝5∶1，故选 D. S△OBC
人教版数学必修第二册6.2平面向量的概念及线性运算课件
不要把它与函数图象的移动混淆．
(4) 非零向量与
Ԧ
的关系：
是与同方向的单位向量．
Ԧ
考点 2 平面向量的线性运算
[例1] (1) (202X·西安五校联考)如图，AB是圆O的一条直径，C，D
是半圆弧的两个三等分点，则 ＝( D )
A，P，B三点共线 ⇔ ＝λ(λ≠0)
⇔
＝(1－t)· ＋t
(O为平面内异于A，P，B
的任一点，t∈R)
＝x ＋y
⇔
(O为平面内异于A，P，B的任
一点，x∈R，y∈R，x＋y＝1)
2．向量的中线公式
1
2
若P为线段AB的中点，O为平面内一点，则 ＝ ( ＋ )．
向量线性运算的解题策略
(1) 向量的加减常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，
一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，
求首尾相连的向量的和用三角形法则．
(2) 找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量
转化到同一个平行四边形或三角形中求解．
跟踪训练
(202X·吉林梅河口五中4月模拟)在△ABC中，延长BC至点M使得BC＝
1
2CM，连接AM，点N为AM上一点且＝
3
，若＝λ ＋
μ ，则λ＋μ＝( A )
A.
1
3
B．
1
3
பைடு நூலகம்
1
3
1
2
1
2
1
3
C．－
1
3
1
3
D．－
3
2
平面向量的概念及线性运算(课堂PPT)
3
动脑思考 探索新知
在数学与物理学中，有两种量．只有大小，没有方向的量 做数量（标量） ，例如质量、时间、温度、面积、密度等． 既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量）， 如力、速度、位移等．
向量的大小叫做向量的模．向量a, A B 的模依次记作 a ， A B ．
模为零的向量叫做零向量．记作0， 零向量的方向是不确定的．
O A O B O A ( O B ) = O A B O B O O A B A ．
即
O A O BB A ． （7．2）
观察图可以得到：起点相同的
a－b
A
两个向量a、 b，其差a − b仍然是一
B
个向量，其起点是减向量b的终点，
b
a
终点是被减向量a的终点．
O
21
巩固知识 典型例题
生活中的一些问题．
作业
32
平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法 具有以下的性质：
(1) a＋0 = 0＋a=a； a＋（− a）= 0； (2) a＋b = b＋a； (3) （a＋b）＋ c = a ＋（b＋c）．
16
巩固知识 典型例题
例3 一艘船以12 km/h的速度航行，方向垂直于河岸，已知水流
速度为5 km/h，求该船的实际航行速度．
模为1的向量叫做单位向量．
B a A
4
巩固知识 典型例题
例1 一架飞机从A处向正南方向飞行200km，另一架飞机从A处 朝北偏东45°方向飞行200km， 两架飞机的位移相同吗？分别用有向 线段表示两架飞机的位移．
解 位移是向量．虽然这两个向量的模相等，但是它们的方向不
同，所以两架飞机的位移不相同．两架飞机位移的有向线段表示分别
第1讲 平面向量的概念及线性运算
第1讲平面向量的概念及线性运算1.了解向量的实际背景.2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义.3.理解向量的几何表示.4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.1.向量的有关概念(1)向量：既有大小又有□1方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的□2模.(2)零向量：长度为□30的向量，其方向是任意的.(3)单位向量：长度等于□41个单位长度的向量.(4)平行向量：方向相同或□5相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任意向量共线.(5)相等向量：长度相等且方向□6相同的向量.(6)相反向量：长度相等且方向□7相反的向量.2.平面向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算□8三角形法则□9平行四边形法则(1)交换律：a ＋b ＝□10b ＋a ；(2)结合律：(a ＋b )＋c＝□11a ＋(b ＋c )减法求a 与b 的相反向量－b 的和的运算叫做a 与b 的差□12三角形法则a －b ＝□13a ＋(－b )数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa与a的方向□14相同；当λ＜0时，λa与a的方向□15相反；当λ＝0时，λa＝□160(1)结合律：λ(μa)＝□17λμa＝□18μ(λa)；(2)第一分配律：(λ＋μ)a＝□19λa＋μa；(3)第二分配律：λ(a＋b)＝□20λa＋λb3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使□21b＝λa.共线向量定理中易忽视“a≠0”，若忽视“a≠0”，则λ可能不存在；也可能有无数个.常用结论1.若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则OP→＝12(OA→＋OB→).2.若G为△ABC的重心，则有(1)GA→＋GB→＋GC→＝0；(2)AG→＝13(AB→＋AC→).1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量.()(2)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反.()(3)若向量AB→与向量CD→是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上.()(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之亦成立.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2.回源教材(1)已知a，b是两个不共线向量，向量b－t a与12a－32b共线，则实数t ＝.解析：因为b－t a与12a－32b共线，所以存在λ∈R，使得b－t a＝λ(12a－32b)，t ，＝1，＝－23，＝13.答案：13(2)若AB →＝3a ，CD →＝－5a ，且|AD →|＝|BC →|，则四边形ABCD 的形状是.解析：因为AB→＝3a ，CD →＝－5a ，故AB →∥CD →，且|AB →|≠|CD →|.又|AD →|＝|BC →|，所以四边形ABCD 是等腰梯形.答案：等腰梯形(3)在平行四边形ABCD 中，BC 的中点为M ，且AB →＝a ，AD →＝b ，用a ，b 表示AM→＝.解析：AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋12AD →＝a ＋12b .答案：a ＋12b平面向量的概念例1(1)如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心，则与BC→相等的向量为()A.BA →B.CD →C.AD→ D.OD→解析：D A ，B 选项均与BC →方向不同，C 选项与BC →长度不相等，D 选项与BC →方向相同，长度相等.(2)(多选)下列命题中正确的是()A.向量AB→的长度与向量BA →的长度相等B.向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反C.两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同D.两个终点相同的向量，一定是共线向量解析：AC对于A ，向量AB →与向量BA →的长度相等，方向相反，故A 正确；对于B ，向量a 与b 平行，且a 或b 为零向量时，不满足条件，故B 错误；对于C ，两个有共同起点且相等的向量，其终点也相同，故C 正确；对于D ，两个终点相同的向量，不一定是共线向量，故D 错误.反思感悟平行向量有关概念的四个关注点(1)非零向量的平行具有传递性.(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.(4)a|a |是与a 同方向的单位向量.训练1(1)(2024·福州模拟)如图，在正△ABC 中，D ，E ，F 均为所在边的中点，则以下向量和FC→相等的是()A.EF →B.FB →C.DF→ D.ED→解析：D ∵EF→，FB →，DF →与FC →方向不同，∴EF →，FB →，DF →与FC →均不相等；∵ED→与FC →方向相同，长度相等，∴ED →＝FC →.(2)(多选)下列说法中正确的是()A.单位向量都相等B.任一向量与它的相反向量不相等C.若|a |＝|b |，则a 与b 的长度相等，与方向无关D.若a 与b 是相反向量，则|a |＝|b |解析：CD 对于A ，单位向量方向不同时并不相等，A 错误；对于B ，0的相反向量为0，B 错误；对于C ，|a |＝|b |，则a 与b 的长度相等，与方向无关，C 正确；对于D ，相反向量是长度相等，方向相反的向量，D 正确.平面向量的线性运算向量的线性运算例2(2024·德宏州质量监测)在△ABC 中，若AD 为BC 边上的中线，点E在AD 上，且AE ＝2ED ，则EB →＝()A.23AB →－13AC →B.23AC →－13AB →C.76AB →－56AC →D.76AC →－56AB →解析：A 如图所示.在△ABC 中，因为AD 为BC 边上的中线，所以D 为BC 的中点.由平行四边形法则，得AD→＝12(AB →＋AC →).又点E 在AD 上，且AE ＝2ED ，所以EA→＝－23AD →，所以EB→＝EA →＋AB →＝－23AD →＋AB →＝－23×12(AB →＋AC →)＋AB→＝－13AB →－13AC →＋AB→＝23AB →－13AC →.故选A.根据向量线性运算求参数例3(2024·江西重点中学协作体第一次联考)如图，在平行四边形ABCD 中，M 为BC 的中点，AC 与MD 相交于点P .若AP→＝xAB →＋yAD →，则x ＋y ＝()A.1B.43C.53D.2解析：B 因为在平行四边形ABCD 中，M 为BC 的中点，AC 与MD 相交于点P ，所以AD CM ＝AP PC ＝2，所以AP →＝23AC →＝23(AB →＋AD →).又AP →＝xAB →＋yAD →，所以x ＝y ＝23，x ＋y ＝43.故选B.反思感悟平面向量线性运算的常见类型及解题策略(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义.(2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值.训练2(1)(2024·茂名模拟)在△ABC 中，AB→＝c ，AC →＝b .若点M 满足MC →＝2BM →，则AM →＝()A.13b ＋23c B.23b －13c C.53c －23b D.23b ＋13c 解析：A由题意可得AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋13BC →＝AB →＋13(AC →－AB →)＝13AC →＋23AB →＝13b ＋23c .故选A.(2)在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝33，∠ABC ＝30°，AD 为BC 边上的高.若AD →＝λAB →＋μAC →，则λ－μ＝.解析：如图，∵AD 为BC 边上的高，∴AD ⊥BC .∵AB ＝2，∠ABC ＝30°，∴BD ＝3＝13BC ，∴AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC→＝AB →＋13(AC →－AB →)＝23AB →＋13AC →.又AD →＝λAB →＋μAC →，∴λ＝23，μ＝13，故λ－μ＝13.答案：13共线向量定理及应用例4(1)已知平面向量a ，b 不共线，AB→＝4a ＋6b ，BC →＝－a ＋3b ，CD →＝a ＋3b ，则()A.A ，B ，D 三点共线B.A ，B ，C 三点共线C.B ，C ，D 三点共线D.A ，C ，D 三点共线解析：D 对于A ，BD →＝BC →＋CD →＝－a ＋3b ＋(a ＋3b )＝6b ，与AB →不共线，A 不正确；对于B ，AB→＝4a ＋6b ，BC →＝－a ＋3b ，则AB →与BC →不共线，B 不正确；对于C ，BC→＝－a ＋3b ，CD →＝a ＋3b ，则BC →与CD →不共线，C 不正确；对于D ，AC →＝AB →＋BC →＝4a ＋6b ＋(－a ＋3b )＝3a ＋9b ＝3CD →，即AC →∥CD →，又线段AC 与CD 有公共点C ，所以A ，C ，D 三点共线，D 正确.故选D.(2)(2024·枣庄期末)已知D 为线段AB 上的任意一点，O 为直线AB 外一点，A 关于点O 的对称点为C .若OD→＝xOB →＋yOC →，则x －y 的值为()A.－1B.0C.1D.2解析：C依题意可得A ，B ，D 三点共线，所以OD →＝λOA →＋(1－λ)OB →.因为A关于点O 的对称点为C ，所以OC→＝－OA →，又OD →＝xOB →＋yOC →，所以OD →＝xOB →－yOA →y ＝λ，＝1－λ，则x －y ＝1－λ＋λ＝1.故选C.反思感悟利用共线向量定理解题的策略(1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用.(2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A ，B ，C 三点共线⇔AB→，AC →共线.(3)若a 与b 不共线且λa ＝μb ，则λ＝μ＝0.(4)OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若A ，B ，C 三点共线，则λ＋μ＝1.训练3(1)(多选)已知向量a ，b 是两个不共线的向量，且向量m a －3b 与a＋(2－m )b 共线，则实数m 的取值可以为()A.－1B.3C.4D.3解析：AD由a ，b 不共线易知a ＋(2－m )b 为非零向量，因为向量m a －3b与a ＋(2－m )b 共线，所以存在实数λ，使得m a －3b ＝λ[a ＋(2－m )b ]，所以＝λ，3＝λ（2－m ），得m ＝－1或m ＝3.故选AD.(2)如图，在△ABC 中，AD →＝2DB →，P 为CD 上一点，且满足AP →＝mAC →＋12AB →(m ∈R )，则m 的值为()A.－34 B.－14C.14D.34解析：C由AD→＝2DB →，可得AB →＝32AD →，即AP→＝mAC →＋12AB →＝mAC →＋34AD →.因为C ，P ，D 三点共线，所以m ＋34＝1，m ＝14.故选C.限时规范训练(三十五)A 级基础落实练1.化简2(a －3b )－3(a ＋b )的结果为()A.a ＋4b B.－a －9b C.2a ＋b D.a －3b解析：B2(a －3b )－3(a ＋b )＝2a －6b －3a －3b ＝－a －9b .2.(多选)下列命题中，正确的是()A.若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥cB.在△ABC 中，AB→＋BC →＋CA →＝0C.若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等或相反D.如果非零向量a ，b 的方向相同或相反，那么a ＋b 的方向与a ，b 之一的方向一定相同解析：BC对于A 选项，0平行于任何向量，若b ＝0，满足a ∥b ，b ∥c ，但不一定满足a ∥c ，故A 错误；对于B 选项，首尾顺次相接，正确；对于C 选项，两个单位向量互相平行，这两个单位向量相等或相反(大小相等，方向相反)，故C 正确；对于D 选项，当a ＋b ＝0时，零向量的方向是任意的，故D 错误.3.(2024·枣庄调研)已知a ，b 是两个不共线的平面向量，向量AB →＝λa ＋b ，AC →＝a －μb (λ，μ∈R )，若AB→∥AC →，则有()A.λ＋μ＝2 B.λ－μ＝1C.λμ＝－1 D.λμ＝1解析：C因为AB →∥AC →，所以存在实数k 使AB →＝kAC →.因为AB→＝λa ＋b ，AC →＝a －μb (λ，μ∈R )，所以λa＋b＝k(a－μb)，＝k，＝－kμ，所以λμ＝－1.故选C.4.设a＝(AB→＋CD→)＋(BC→＋DA→)，b是一个非零向量，则下列结论不正确的是()A.a∥bB.a＋b＝aC.a＋b＝bD.|a＋b|＝|a|＋|b|解析：B由题意得，a＝(AB→＋CD→)＋(BC→＋DA→)＝AC→＋CA→＝0，且b是一个非零向量，所以a∥b成立，所以A正确；由以上可知a＋b＝b，所以B不正确，C正确；由|a＋b|＝|b|，|a|＋|b|＝|b|，所以|a＋b|＝|a|＋|b|，所以D正确.5.如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，BF→＝2FO→，且FC→＝λFD→＋μFE→，则λ＋μ等于()A.1B.2C.3D.4解析：D∵FC→＝FO→＋OC→＝4FO→＝4×12(FD→＋FE→)＝2FD→＋2FE→，∴λ＝μ＝2，∴λ＋μ＝4.6.在△ABC中，BD→＝13BC→，若AB→＝a，AC→＝b，则AD→等于()A.23a＋13b B.13a＋23bC.13a－23b D.23a－13b解析：A 如图，过点D 分别作AC ，AB 的平行线交AB ，AC 于点E ，F ，则四边形AEDF 为平行四边形，所以AD →＝AE →＋AF →.因为BD →＝13BC →，所以AE→＝23AB →，AF →＝13AC →，所以AD →＝23AB →＋13AC →＝23a ＋13b .7.已知向量a ，b 不共线，且c ＝λa ＋b ，d ＝a ＋(2λ－1)b ，若c 与d 共线反向，则实数λ的值为.解析：由于c 与d 共线反向，则存在实数k 使c ＝k d (k ＜0)，于是λa ＋b ＝k [a ＋(2λ－1)b ]，整理得λa ＋b ＝k a ＋(2λk －k )b .由于a ，b ＝k ，λk －k ＝1，整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－12.因为k ＜0，所以λ＜0，故λ＝－12.答案：－128.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且AB →＝a ，AD →＝b ，则BE→＝.解析：BE→＝BA →＋AD →＋12DC →＝－a ＋b ＋12a ＝b －12a .答案：b －12a9.若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状为.解析：OB →＋OC →－2OA →＝(OB →－OA →)＋(OC →－OA →)＝AB →＋AC →，OB →－OC →＝CB →＝AB →－AC →，∴|AB→＋AC →|＝|AB →－AC →|.故A ，B ，C 为矩形的三个顶点，△ABC 为直角三角形.答案：直角三角形10.设e 1，e 2是两个不共线的向量，已知AB →＝2e 1－8e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2.(1)求证：A ，B ，D 三点共线；(2)若BF →＝3e 1－k e 2，且BF →∥BD →，求实数k 的值.解：(1)证明：由已知得BD →＝CD →－CB →＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2，因为AB →＝2e 1－8e 2，所以AB →＝2BD →，又AB→与BD →有公共点B ，所以A ，B ，D 三点共线.(2)由(1)知BD →＝e 1－4e 2，若BF →＝3e 1－k e 2，且BF →∥BD →，可设BF →＝λBD →(λ∈R )，所以3e 1－k e 2＝λe 1－4λe 2，即(3－λ)e 1＝(k －4λ)e 2，又e 1，e 2是两个不共线的向量，－λ＝0，－4λ＝0，解得k＝12.11.如图，在△ABC中，D为BC的四等分点，且靠近B点，E，F分别为AC，AD的三等分点，且分别靠近A，D两点，设AB→＝a，AC→＝b.(1)试用a，b表示BC→，AD→，BE→；(2)证明：B，E，F三点共线.解：(1)在△ABC中，因为AB→＝a，AC→＝b，所以BC→＝AC→－AB→＝b－a，AD→＝AB→＋BD→＝AB→＋14BC→＝a＋14(b－a)＝34a＋14b，BE→＝BA→＋AE→＝－AB→＋13AC→＝－a＋13b.(2)证明：因为BE→＝－a＋13b，BF→＝BA→＋AF→＝－AB→＋23AD→＝－a＋23(34a＋14b)＝－12a＋16b＝12(－a＋13b)，所以BF→＝12BE→，即BF→与BE→共线，且有公共点B，所以B，E，F三点共线.B级能力提升练12.设P，Q为△ABC内的两点，且AP→＝25AB→＋15→，AQ→＝14AB→＋23AC→，则△ABP 的面积与△ABQ的面积之比为()A.45B.85C.43D.310解析：D 如图，设AM →＝25AB →，AN →＝15AC →，∴AP→＝25AB →＋15AC →＝AM →＋AN →，由平行四边形法则知NP ∥AB ，∴△ABP 的面积与△ABC 的面积之比为15，同理，由AQ→＝14AB →＋23AC →，可得△ABQ 的面积与△ABC 的面积之比为23，∴△ABP 的面积与△ABQ 的面积之比为15∶23＝310.13.(2024·南昌联考)已知O 是△ABC 的外心，且OA →＋OB →＋CO →＝0，则∠ACB ＝()A.π2B.2π3C.π3D.π4解析：B 设AB 的中点为D ，如图所示.由OA →＋OB →＋CO →＝0，得OA→＋OB →＝OC →，则2OD→＝OC →，所以D 是OC 的中点.因为OA ＝OB ，AB 的中点为D ，所以AB ⊥OD ，因此有cos ∠AOD ＝cos ∠BOD ＝OD OA ＝12，则∠AOD ＝∠BOD ＝π3.因为OA ＝OB ＝OC ，所以△OAC ，△OBC 是等边三角形，所以∠ACB ＝∠ACO ＋∠BCO ＝π3＋π3＝2π3.故选B.14.经过△OAB 的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →，(m ＞0，n ＞0).(1)证明：1m ＋1n 为定值；(2)求m ＋n 的最小值.解：(1)证明：设OA→＝a ，OB →＝b .由题意知OG →＝23×12(OA →＋OB →)＝13(a ＋b )，PQ →＝OQ →－OP →＝n b －m a ，PG→＝OG →－OP →＝(13－m )a ＋13b ，由P ，G ，Q 三点共线得，存在实数λ，使得PQ →＝λPG →，则n b －m a ＝λ(13－m )a ＋13λb ，m ＝λ（13－m ），＝13λ，消去λ得1n ＋1m ＝3.(2)由(1)知，1m ＋1n ＝3，于是m ＋n ＝13(1m ＋1n)(m ＋n )＝13(2＋nm＋mn)≥13(2＋2)＝43.当且仅当m＝n＝23时，m＋n取得最小值，最小值为43.。
平面向量的线性运算
平面向量的线性运算在数学中，平面向量是向量的一种，它在平面内具有长度和方向，可以用有向线段表示。
平面向量之间可以进行线性运算，包括加法和数乘。
本文将详细介绍平面向量的线性运算及其性质。
一、平面向量的定义平面向量是指具有大小和方向的向量，它们通常用加粗的小写字母表示，如a、a等。
平面向量可以用有向线段表示，线段的起点表示向量的起点，线段的方向表示向量的方向，线段的长度表示向量的大小。
二、平面向量的加法平面向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
设有两个平面向量a和a，它们的加法定义为：a + a = a + a这意味着向量的加法满足交换律，顺序不影响结果。
加法的几何解释为将两个向量的起点相连，然后将它们的箭头相连，新向量的起点与第一个向量的起点相同，终点与第二个向量的终点相同。
三、平面向量的数乘平面向量的数乘是指将一个向量与一个实数相乘得到一个新的向量。
设有一个平面向量a和一个实数a，它们的数乘定义为：aa = aa数乘有以下性质：1. 数乘满足结合律：(aa)a = a(aa)，其中a和a为实数。
2. 数乘满足分配律：(a + a)a = aa + aa，其中a和a为实数。
3. 数乘满足分配律：a(a + a) = aa + aa，其中a为实数，a和a为平面向量。
四、线性组合线性组合是指将一组向量与一组实数相乘并求和得到一个新的向量。
设有a个平面向量a₁、a₂、...、aa和a个实数a₁、a₂、...、aa，它们的线性组合定义为：a₁a₁ + a₂a₂ + ... + aaaa线性组合是向量加法和数乘的联合运算，这个概念在线性代数中具有重要的应用。
五、线性运算的性质1. 交换律：向量加法满足交换律，即a + a = a + a。
2. 结合律：向量加法满足结合律，即(a + a) + a = a + (a + a)，其中a、a和a为平面向量。
3. 分配律：向量加法和数乘满足分配律，即a(a + a) = aa + aa，(a + a)a = aa + aa，其中a、a为实数，a和a为平面向量。
平面向量的概念及线性运算-课件
4. (2011·如东中学考试)已知△ABC，若点M满 足AB+AC-3AM=0,则MA+MB+MC= 0 .
解析：由已知得 A B A C 3A M
M A M B M C M A M A M B M A M C 3 M A (A B A C )3 M A A M 0
基础达标
1. (必修4P57习题3改编)如图,O为正方形ABCD对角 线的交点，四边形OAED,OCFB都是正方形，在图中 所示的向量中，与向量AE相等的向量是 B O ，与 向量BF共线的向量是 A O ，与向量CF的模相等的 向量是 C O D E B F B O C O A O D O A E D E .
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13、知人者智，自知者明。胜人者有 力，自 胜者强 。2021/2/282021/2/282021/2/282021/2/282/28/2021
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14、意志坚强的人能把世界放在手中 像泥块 一样任 意揉捏 。2021年2月28日星期 日2021/2/282021/2/282021/2/28
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15、最具挑战性的挑战莫过于提升自 我。。2021年2月2021/2/282021/2/282021/2/282/28/2021
解： 若两个向量起点相同，终点相同，则两 向量相等，但两个向量相等，不一定有相同 的起点和终点，所以①不正确；|a|＝|b|，但 a，b方向不确定，所以a，b不一定相等， 故②不正确；零向量与任一非零向量都平行， 当b＝0时，a与c不一定平行，故⑤不正确． ③④正确．
题型二 平面向量的线性运算 【例2】如图,D、E、F分别为△ABC的三边BC、 AC、AB的中点.求证:AD+BE+CF=0.
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平面向量的概念及其线性运算
考点1 向量的有关概念
（1）向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．（2）零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的．
（3）单位向量：长度等于1个单位的向量．
（4）平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．
（5）相等向量：长度相等且方向相同的向量．
（6）相反向量：长度相等且方向相反的向量．
考点2 向量的线性运算
求两个向量和的运
三角形法则
平行四边形法则（
（
的相反向
的和的运算
三角形法则
考点3 向量的数乘运算及其几何意义
(1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作
λa，它的长度与方向规定如下：
①|λa|＝|λ||a|；
②当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反；
当λ＝0时，λa＝0.
(2)运算律：设λ，μ是两个实数，则
①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb.
考点4 共线向量定理
（1）非零向量a与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa
(a≠0)；
（2）向量a与b共线的充要条件是存在唯一一对实数μ
λ,，使得λa+μb=0
向量1
向量2
三、例题精析
例题1列命题中正确的是( )．
A ．a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线
B ．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点
C ．向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量
D ．有相同起点的两个非零向量不平行
例题2如图，D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则( )．
A.AD →＋BE →＋CF →＝0
B.BD →－CF →＋DF →＝0
C.AD →＋CE →－CF →＝0
D.BD →－BE →－FC →＝0
例题3设两个非零向量a 与b 不共线．
(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →
＝3(a －b )．求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．
课堂应用
1、 D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD →
等于( )． A.－BC →＋12BA → B ．－BC →－12BA → C. BC →－12BA →
D. BC →＋12BA →
练习1、设
分别为
的三边
的中点，则
（ ）
A. B. C. D.
2、判断下列四个命题：
①若a ∥b ，则a ＝b ；②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③若|a |＝|b |，则a ∥b ； ④若a ＝b ，则|a |＝|b|.正确的个数是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
3、若O ，E ，F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )． A.EF →＝OF →＋OE → B.EF →＝OF →－OE → C.EF →＝－OF →＋OE → D.EF →＝－OF →－OE →
向量3
练习2、 如图，正六边形ABCDEF 中，．
A ．0
B ．
C ．
D ．
4、设a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与2a －b 共线，则λ＝________. 练习3.已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m)，c ＝(－1，2)，若(a ＋b)∥c ，求m 的值为
5、给出下列命题：
① 若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →
是四边形 ABCD 为平行四
边形的充要条件；②若a ＝b ，b ＝c ，则 a ＝c ； ③a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；
④若a 与b 均为非零向量，则|a ＋b | 与 |a |＋|b | 一定相等． 其中正确命题的序号是________．
6. 在 △ABC 中，AB →＝c ，AC →＝ b ， 若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →
＝( )．
A.23b ＋13c
B.53c －23b
C.23b －13c
D.13b ＋23c 练习4.设a 、b 为不共线的非零向量，
，
，
，那么
为( ) A ．
B ．
C ．
D ．
7． 已知a ，b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC →
＝a ＋μb (λ，μ∈R )，那么A ，B ，C 三点共线的充要条件是( )．
A ．λ＋μ＝2
B ．λ－μ＝1
C ．λμ＝－1
D ．λμ＝1 三角形问题
1.已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且
＝0，那么( ) A ．
B ．
C ．
D ．
2.设O在△ABC内部，且，则△ABC的面积与△AOC的面积之比为()
A．3:1 B．4:1 C．5:1 D．6:1
3、已知A、B、C三点不共线，O是△ABC内的一点，若++=0，则O是△ABC的（）
A．重心B．垂心C．内心D．外心
4、已知O ，N，P 在所在平面内，且
，且
则点O，N，P 依次是三角形
的、、心作业
1、已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb)∥c，则λ
等于()A. 1
4 B.
1
2C．1 D．2
2、已知向量OA
→＝(3，－4)，OB→＝(6，－3)，OC→＝(5－m，－3－m)，若点
A、B、C能构成三角形，则实数m满足的条件是________．
3、若向量=（2,3），=（4,7），则=( )
A （-2,-4）
B (3,4)
C (6,10
D (-6,-10)
4、设向量满足且的方向相反，则的坐标为
5、中，边上的高为，
若，则( ) A．B．C．D．
6.已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1，2)，若(a＋b)∥c，求m的值
BA CA BC
,a b||25,(2,1),
a b
==a b
与a ABC
∆AB CD
,,0,||1,||2
CB a CA b a b a b
==⋅===AD=
11
33
a b
-
22
33
a b
-
33
55
a b
-
44
55
a b
-
向量4
7.已知向量
8.在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，，则λ________．
9.若，，则的取值范围是________．
向量5
向量6
C A k=±1 A A B -1/2 ①② A
D B m ≠1
2 A (-4，-2) D。