最新高三教案-导数 精品

导 数一、 知识梳理1．导数的概念 xx x f x y x f x x ∆∆+=∆∆=→∆→∆)(lim lim)(001函数y = f (x) 在点x 0 处的导数的几何意义是曲线 y = f (x) 在点 P （x 0,f(x 0)）处的切线的斜率2．求导数的基本方法 ①常用的导数公式0c =' （c 为常数） )?x m ' = mx m-1 (m ∈N)②导数的运算法则 )v (u '+=v u '+' )v (u '-=v u '-' 3．导数的应用① 求切线的斜率 ②单调性、极值、最值 二、 基础训练 1．设P 点是曲线3233+-=x x y 上的任意一点，P 点处切线倾斜角为α，则角α的取值范围是 A ．),32[)2,0[πππB ．),65[)2,0[πππC ．),32[ππD ．)65,2(ππ 2．已知m x x x f +-=2362)( （m 为常数），在[-2，2]上有最大值3，那么此函数在[-2，2]上的最小值为A ．-37B ．-29C ．-5D ．-113．已知a ＞0 函数ax x x f -=3)( 在[1，+∞）上是单调增函数，则a 的最大值是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．34．方程076223=+-x x 在（0，2）内根的个数有 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 5．函数4331)(223---=x a ax x x f 在（3，+∞）是增函数，则实数a 的取值范围是_6．对于函数23331)(x x x f -=，给出下列命题： (1) )(x f 是增函数 (2) )(x f 是增函数，并且无极值 (3) )(x f 是增区间是（-∞，0）和（2，+∞），减区间是（0，2）(4) )0(f =0为极大值 )2(f =-4 为极小值 其中正确的题号有___________三、 典型例题例1．. 已知函数f (x )=(x －a )(x －b )(x －c )．（Ⅰ）求证：f ′(x )=(x －a )(x －b )＋(x －a ) (x －c )＋(x －b ) (x －c )；（Ⅱ）若f (x )是R 上的增函数，是否存在点P ，使f (x )的图像关于点P 中心对称？如果存在，请求出点P 坐标，并给出证明；如果不存在，请说明理由．例2．设曲线ｃ：ｙ＝ｘ２（ｘ＞０)上的点Ｐ０（ｘ０，ｙ０)，过Ｐ０作曲线ｃ的切线与x 轴交于Q １，过Q １作平行于y 轴的直线与曲线c 交于P １（ｘ１，ｙ１），然后再过Ｐ１作曲线c 的切线交x 轴于Ｑ２，过Ｑ２作平行于y 轴的直线与曲线c 交于Ｐ２（ｘ２，ｙ２），依次类推，作出以下各点：Ｐ０，Ｑ１，Ｐ１，Ｑ２，Ｐ２，Ｑ３…Ｐｎ，Ｑｎ＋１…，已知ｘ０＝２，设Ｐｎ（ｘｎ，ｙｎ）（ｎ∈N )(Ⅰ)求出过点Ｐ０的切线方程； (Ⅱ)设ｘｎ＝ｆ（ｎ），求ｆ（ｎ）的表达式；例3．设函数d cx bx ax x f 42)(23++-= （a 、b 、c 、d ∈R ）图象关于原点对称，且x =1时，)(x f 取极小值.32- （1）求a 、b 、c 、d 的值；（2）当]1,1[-∈x 时，图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？试证明你的结论；（3）若]1,1[,21-∈x x 时，求证：34|)()(|21≤-x f x f导数巩固练习1．若曲线x x x f -=4)(在P 处的切线平行于直线03=-y x ，则点P 的坐标为 A ．（1，3）B ．（-1，3）C ．（1，0）D ．（-1，0）2．已知函数1)()(23++++=x b a ax x x f 有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是A ．-1＜a ＜2B ．-3＜a ＜6C ．a ＜3或a ＞6D ．a ＜-1或a ＞2 3．函数52)(24+-=x x x f 在区间 [-2，3] 上有最大值与最小值分别是 A ．5，4 B ．13，4 C ．68，4 D ．68，54．已知5 a 方程0123=+-ax x 在区间（0，3）内根的个数是A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5．函数2)(3-+=ax x x f 在区间（1，+∞）内是单调递增，则实数a 的取值范围是_________6．过抛物线x x y 32-=上一点p 的切线的倾斜角为45°，它与两坐标轴交于A 、B 两点，则△AOB 的面积是（O 为坐标原点）_____________7．已知二次函数f (x )满足：①在x =1时有极值； ②图象过点(0,-3)，且在该点处的切线与直线2x +y =0平行．（I ）求f (x )的解析式；（II ）求函数g (x )=f (x 2)的单调递增区间 8．已知函数f(x)=x 3+(b-1)x 2+cx(b 、c 为常数).(I) 若f(x)在x=1和x=3处取的极值,试求b 、c 的值；(II) 若f(x)在x ∈(-∞,x 1)、(x 2,+∞)上单调递增且在x ∈(x 1,x 2)上单调递减,又满足x 2-x 1＞1,求证：b 2＞2(b+2c)；(III)在(2)的条件下,若t ＜x 1，试比较t 2+bt+c 与x 1的大小,并加以证明.参考答案训练反馈:1． A 2.A 3.D 4. B 5. [-3,1] 6.③④ 典型例题：例1．解： （Ⅰ） ∵ f (x )=(x －a )(x －b)(x －c )＝ｘ3－（a+b +ｃ）x 2＋(ab+bc+ac )x －abc f ′(x )=3 x 2－2(a+b +ｃ)x ＋(ab+bc+ac )=[ x 2－ (a+b )x ＋ab ]＋[ x 2－ (a+c )x ＋ac ]＋[ x 2－ (b+c )x ＋bc ] =(x －a )(x －b )＋(x －a )(x －c ) ＋(x －b )(x －c )．（Ⅱ）∵f (x )是R 上的单调函数，∴f ′(x )≥0，对x ∈R 恒成立，即 3x 2－2(a+b+c )x+(ab+bc+ca )≥0 对x ∈R 恒成立． ∴△≤0, 4(a+b+c )2－12(ab+bc+ca ) ≤0， ∴ (a －b )2＋(a －c )2＋ (b －c )2≤0，∴ a=b=c ． ∴f (x )=(x －a )3 ， ∴f (x )关于点(a ，0)对称．证明如下：设点P (x ，y )是 f (x )=(x －a )3图像上的任意一点，y=(x －a )3，点P 关于点(a ，0)对称的点P ′(2a －x ，－y )， ∵(2a －x －a )3=(2a －x )3= －(x －2a )3=－y ，∴点P ′在函数f (x )=(x －a )3的图像上，即函数f (x )=(x －a )3关于点(a ，0)对称．例2．解：(Ⅰ)∵Ｋ０＝２ｘ０＝４，∴过点P ０的切线方程为４ｘ－ｙ－４＝０(Ⅱ)∵Ｋｎ＝２ｘｎ，∴过P ｎ的切线方程为ｙ－ｘｎ２＝２ｘｎ（ｘ－ｘｎ）将Q ｎ＋１（ｘｎ＋１，０）的坐标代入方程得：－ｘｎ２＝２ｘｎ（ｘｎ＋１－ｘｎ） ∴ｘｎ＋１＝2121=⇒+n n n x x x 故｛ｘｎ｝是首项为ｘ０＝２，公比为21的等比数列∴ｘｎ＝f (n )=2·（21）ｎ，即f (n )＝（21）ｎ－１例3．解（1）∵函数)(x f 图象关于原点对称，∴对任意实数)()(x f x f x -=-有，d cx bx ax d cx bx ax 42422323--+-=+---∴，即022=-d bx 恒成立 0,0==∴d b c ax x f cx ax x f +='+=∴233)(,)(，1=x 时，)(x f 取极小值3203,32-=+=+∴-c a c a 且，解得1,31-==c a（2）当]1,1[-∈x 时，图象上不存在这样的两点使结论成立.假设图象上存在两点),(11y x A 、),(22y x B ，使得过此两点处的切线互相垂直，则由,1)(2-='x x f 知两点处的切线斜率分别为1,1222211-=-=x k x k ， 且1)1()1(2221-=-⋅-x x …………（*）1x 、]1,1[2-∈x ，0)1()1(,01,0122212221≥-⋅-∴≤-≤-∴x x x x此与（*）相矛盾，故假设不成立.证明（3）)1,(,1,0)(,1)(2--∞∈±=='-='x x x f x x f 得令， 或0)(,)1,1(;0)(,),1(<'-∈>'+∞∈x f x x f x 时时，]1,1[)(-∴在x f 上是减函数，且32)1()(,32)1()(min max -===-=f x f f x f ∴在[－1，1]上，]1,1[,,32|)(|21-∈≤x x x f 于是时， 343232|)(||)(||)()(|2121=+≤+≤-x f x f x f x f .巩固练习1。

C 2.C 3.C 4．B 5.[)+∞-,3 6. 87．解：（I ）设f (x )=ax 2+bx +c ，则f '(x )=2ax +b ．由题设可得：⎪⎩⎪⎨⎧-=-='=',3)0(,2)0(,0)1(f f f 即⎪⎩⎪⎨⎧-=-==+.3,2,02c b b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-==.3,2,1c b a所以f (x )=x 2-2x -3． （II ）g (x )=f (x 2)=x 4－2x 2－3，g '(x )=4x 3－4x =4x (x －1)(x +1)．由表可得：函数g (x )的单调递增区间为(-1,0)，(1,+∞)．8． (I) f /(x)=x 2+(b-1)x+c ,据题意知,1和3是方程x 2+(b-1)x+c=0的两根,∴1-b=1+3=4, c=1×3=3,即b=-3, c=3 (II) 由题意知,当x ∈(-∞,x 1)、(x 2,+∞)时, f /(x)＞0；当x ∈(x 1,x 2)时, f /(x)＜0. 所以x 1、x 2是方程x 2+(b-1)x+c=0的两根,则x 1+x 2=1-b, x 1x 2=c.∴b 2-2(b+2c)= b 2-2b-4c=[1-(x 1+x 2)2]-2[1-(x 1+x 2)]-4x 1x 2=(x 1+x 2)2-1 ∵x 2-x 1＞1, ∴(x 1+x 2)2-1＞0 ∴b 2＞2(b+2c).(III)在(II)的条件下,由上题知x 2+(b-1)x+c=(x-x 1)(x-x 2)即x 2+bx+c=(x-x 1)(x-x 2)+ x 所以 (t 2+bt+c)-x 1=(t-x 1)(t-x 2)+t-x 1=(t-x 1)(t+1-x 2)∵x 2＞1+x 1＞1+t, ∴1+t-x 2＜0.又0＜t ＜x 1 ∴t-x 1＜0.∴(t-x 1)(t+1-x 2)＜0,故t 2+bt+c ＞x 1.。