马氏决策ppt
2(1) q 0.8 0.2 4 4 4 2 2 2 Q 2(2) ( P )( R ) 0.7 0.3 1 19 5 q
因而f (1) max q1(1) , q 2(1) max 6, 4 6 1
0.2 2.2 … 3 23 2 2 …
1
2
d1 (1) 1
d1 (2) 1
f1 (2) max q
1(2)
,q
2(2)
max 3, 5 3
d n (i)为第n阶段处于i状态时的决策。
这表明，该厂不论处于状态1还是2，如 果再继续生产1个月，都应采取决策1， 即不论销路好还是销路差都不登广告。 如果继续生产两个月：
n（经营时间/月） （目前销路好，n月 后停业的最大总期望 报酬） （目前销路好，若n 月后停业应采取的最 优决策） （目前销路差，n月 后停业的最大总期望 报酬） （目前销路差，若n 月后停业应采取的最 优决策）
1 6
2 8.2
3 4 … 13
-1.7
PR pij rij j 1 Ｎ×1
N
N
pij
则有
Q PR pij rij ,..... pij rij j 1 j 1
N
T
Vn Q PVn1, n 2,3,...
V1 Q
0.5 0.5 仍以上述工厂为例， p 0.4 0.6
一：基本概念
1.状态转移概率 假定系统有n个可能的状态，处于这些 状态的概率分别为 p1,p2…pi ,…pn， 例如，有1000名顾客在每周只到A和B 购物，设定时间阶段为一周，在某一 周，有900名顾客到A购物，我们称为 状态1，有100名顾客到B，成为状态2， 因此，系统的两个状态和概率分别为 状态1：顾客到A购物，0.9 状态2：顾客到B购物，0.1
马氏决策规划简介
★ ★ ★ ★
★
马尔可夫过程 马尔可夫过程是一类特殊的随机过程， 它因伟大的俄国数学家马尔可夫而得名。 这种过程的特点是存在着确定的转移概 率，与系统先前的历史无关，有一个很 形象的比喻来形容这个过程：池塘里的 青蛙在荷叶上跳来跳去，如果将它在某 一时刻所在的荷叶称为状态，则青蛙未 来处于什么状态只有它现在所在的状态 有关，与它以前所处的状态无关。这种 性质就是所谓的“一阶Markov性”或 “无后效性”
0.8 0.2 P 0.7 0.3
2
问题是在若干月内采取什么决策才能使其总期望 报酬最大。
4 4 R 1 19
2
用n表示系统的阶段数。p 表示系统当前处于状 态i，下一步以d种决策方式转移到状态j的概率。 f n (i)表示系统初始状态为i，采取最优策略时的 期望报酬最大值。则有如下方程：
仍以上述工厂为例，设该工厂在每个状态可选的 决策是不登广告（记作方式1）或登广告（记作 方式2）。若不登广告，自然无广告费；若登广 告，要花额外的广告费，但下月初为销路好的概 率可增加。 决策方式1的状态转移矩阵及报酬矩阵为： 9 3 0.5 0.5 1 1 R P 0.4 0.6 3 7 选决策方式2的状态转移矩阵及报酬矩阵为：
p11 p p21
p12 0.5 p22 0.4
0.5 0.6
若在上面所述的马氏过程中，当它在任意时刻 从状态i 转移到状态j时可以获得相应的收益记 为 rij , 这种马氏过程随着状态转移可得到一系列的报 酬（效益），我们称其为赋值马氏过程，称 R= r 为报酬矩阵。
p11 p P (k ) 21 ..... pn1
p12 p22
..... .....
..... ..... pn 2 .....
p1n p2 n p3n pnn
二
马尔可夫过程的预测
三：赋值马氏过程
有一个工厂为市场生产某种产品，每月月初对产 品产品的销售情况进行了一次检查，其结果有 二：销路好（记为状态1），也可能销路差 （状态2）。若处于状态1，由于各种随机因素 的干扰，下月初仍处于销路好的概率为0.5， 转为销路差的概率也为0.5；若处于状态2，则 下月初转为销路好的概率为0.4，仍处于销路 差的概率为0.6。则他的状态转移过程为
max 7.5,8.2 8.2
d2 (1) 2
2 1(2) 2 1 2(2) 2 f 2 (2) max q p2 j f1 ( j ), q p2 j f1 ( j ) j 1 j 1
max 3 0.4 6 0.6 (3), 5 0.7 6 0.3 (3)
0 p 1(i, j 1,2,......n)
3.一步平稳转移概率
如果对于每个i和j，p pij 均成立的话 则称一步转移概率是平稳的，也就是说， 从状态i转移到状态j的概率与现在的步数 无关，这说明在研究的时间范围内，一 步平稳转移概率保持为常数。系统的转 移概率矩阵表示为
1 ij
max 6 0.5 6 0.5 (3),4 0.8 6 0.2 (3)
2 1(1) 2 1 2(1) 2 f 2 (1) max q p1 j f1 ( j ), q p1 j f1 ( j ) j 1 j 1
下面考虑系统经过一定阶段的运行后的总 期望报酬。记q(i)为状态i 做出一次转移的 N 期望报酬，则有 q (i ) pij rij i 1, 2,......N j 1 称 Q q (1), q (2).....q ( N ) 为一次转移的期望报酬向量。
T
记 Vn (i) 为系统由状态ｉ经过n次转移之后的 总期望报酬，则有
2.状态转移概率矩阵 假定市场调查数据显示，在随后的一周 内，上周去A购物的顾客有90％仍然在A 购物，有10％的顾客则流向了B，去B购 物的顾客有80％继续在B购物，而20％ 则流向了A，这些状态转移概率可用如下 矩阵表示
0.9 0.1 p 0.2 0.8
该矩阵成为超市的一步转移矩阵。 k 表示在给定 对于k步（周期）的， p
在利用上面的公式，可以得出该工厂在不同的
6 V1 Q 3
三、马氏决策规划 在赋值马氏过程中，如果在某状态选用不同 的决策能够改变相应的状态转移矩阵及报酬 矩阵，就产生了动态随机系统求值最优策略 的问题。马氏决策规划就是研究这类问题的。 下面我们通过实例来介绍马氏决策规划中有 限阶段的一种求解方法——值迭代法。设系 统目标为总期望报酬最大化。
ij
周期内处于状态i 的系统在经过k步后转移到状 态j的概率，p(k) 表示系统的k步转移 概率矩阵，则有 p k11 p k12 ..... p k1n k k k p 21 p 22 ..... p 2 n P(k ) ..... ..... ..... p3n k k k p n1 p n 2 ..... p nn 状态转移概率矩阵描述了研究对象的变化过程， 它有如下特征： n k k pij 1 ij j 1
9 3 R 3 7
0.5 0.5 9 3 6 根据以上公式得 Q PR 0.4 0.6 3 7 3 即如果当前销路好，则下月获利6000元， 否则下月亏损3000元
6 0.5 0.5 6 7.5 V2 Q PV1 3 0.4 0.6 3 2.4
max 2.4, 1.7 1.7
d2 (2) 2
这表明，如果继续生产两个月，第1个月不登广 告，第2个月等广告。
同样可以计算出经3步，4步，……转移时的结 果， 将结果列入表中，利用上述的值迭代法， 可以算出系统当前处于状态i，经任意n步转移 应采取怎样的最优策略以及所获得的总报酬期 望值。
N d d f n (i) max q (i) pij f n1 ( j ) d1,2 j 1
d ij
n 2,...
f1 (i ) max q d (i )
d 1,2
由于
1(1) q 0.5 0.5 9 3 6 1 1 1 Q 1(2) ( P )( R ) 0.4 0.6 3 7 3 q
ij N *N
上述工厂若某月初销路好，下月初仍销路好可 获利9千元，下月初转为销路差可获利3千元， 若某月初销路差，下月初转为销路好课获利3 千元，下月初仍为销路差要亏本7千元。 则报酬矩阵为 r r 9 3
R r r 3 7 21 22
11 12
vn (i ) pij rij vn 1 ( j ) q (i ) pij vn 1 ( j ) j 1 j 1
N N
i 1 , 2..... N
其中 表示有状态ｉ转移到状态ｊ的 概率，rij 表示由状态ｉ转移到状态ｊ的 相应报酬。称 Vn vn (1), vn (2),....vn ( N ) T 为ｎ次转移的总期望报酬向量。 对 P pij N N , R rij N N 定义乘法
因而f (1) max q1(1) , q 2(1) max 6, 4 6 1
0.2 2.2 … 3 23 2 2 …
1
2
d1 (1) 1
d1 (2) 1
f1 (2) max q
1(2)
,q
2(2)
max 3, 5 3
d n (i)为第n阶段处于i状态时的决策。
这表明，该厂不论处于状态1还是2，如 果再继续生产1个月，都应采取决策1， 即不论销路好还是销路差都不登广告。 如果继续生产两个月：
n（经营时间/月） （目前销路好，n月 后停业的最大总期望 报酬） （目前销路好，若n 月后停业应采取的最 优决策） （目前销路差，n月 后停业的最大总期望 报酬） （目前销路差，若n 月后停业应采取的最 优决策）
1 6
2 8.2
3 4 … 13
-1.7
PR pij rij j 1 Ｎ×1
N
N
pij
则有
Q PR pij rij ,..... pij rij j 1 j 1
N
T
Vn Q PVn1, n 2,3,...
V1 Q
0.5 0.5 仍以上述工厂为例， p 0.4 0.6
一：基本概念
1.状态转移概率 假定系统有n个可能的状态，处于这些 状态的概率分别为 p1,p2…pi ,…pn， 例如，有1000名顾客在每周只到A和B 购物，设定时间阶段为一周，在某一 周，有900名顾客到A购物，我们称为 状态1，有100名顾客到B，成为状态2， 因此，系统的两个状态和概率分别为 状态1：顾客到A购物，0.9 状态2：顾客到B购物，0.1
马氏决策规划简介
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马尔可夫过程 马尔可夫过程是一类特殊的随机过程， 它因伟大的俄国数学家马尔可夫而得名。 这种过程的特点是存在着确定的转移概 率，与系统先前的历史无关，有一个很 形象的比喻来形容这个过程：池塘里的 青蛙在荷叶上跳来跳去，如果将它在某 一时刻所在的荷叶称为状态，则青蛙未 来处于什么状态只有它现在所在的状态 有关，与它以前所处的状态无关。这种 性质就是所谓的“一阶Markov性”或 “无后效性”
0.8 0.2 P 0.7 0.3
2
问题是在若干月内采取什么决策才能使其总期望 报酬最大。
4 4 R 1 19
2
用n表示系统的阶段数。p 表示系统当前处于状 态i，下一步以d种决策方式转移到状态j的概率。 f n (i)表示系统初始状态为i，采取最优策略时的 期望报酬最大值。则有如下方程：
仍以上述工厂为例，设该工厂在每个状态可选的 决策是不登广告（记作方式1）或登广告（记作 方式2）。若不登广告，自然无广告费；若登广 告，要花额外的广告费，但下月初为销路好的概 率可增加。 决策方式1的状态转移矩阵及报酬矩阵为： 9 3 0.5 0.5 1 1 R P 0.4 0.6 3 7 选决策方式2的状态转移矩阵及报酬矩阵为：
p11 p p21
p12 0.5 p22 0.4
0.5 0.6
若在上面所述的马氏过程中，当它在任意时刻 从状态i 转移到状态j时可以获得相应的收益记 为 rij , 这种马氏过程随着状态转移可得到一系列的报 酬（效益），我们称其为赋值马氏过程，称 R= r 为报酬矩阵。
p11 p P (k ) 21 ..... pn1
p12 p22
..... .....
..... ..... pn 2 .....
p1n p2 n p3n pnn
二
马尔可夫过程的预测
三：赋值马氏过程
有一个工厂为市场生产某种产品，每月月初对产 品产品的销售情况进行了一次检查，其结果有 二：销路好（记为状态1），也可能销路差 （状态2）。若处于状态1，由于各种随机因素 的干扰，下月初仍处于销路好的概率为0.5， 转为销路差的概率也为0.5；若处于状态2，则 下月初转为销路好的概率为0.4，仍处于销路 差的概率为0.6。则他的状态转移过程为
max 7.5,8.2 8.2
d2 (1) 2
2 1(2) 2 1 2(2) 2 f 2 (2) max q p2 j f1 ( j ), q p2 j f1 ( j ) j 1 j 1
max 3 0.4 6 0.6 (3), 5 0.7 6 0.3 (3)
0 p 1(i, j 1,2,......n)
3.一步平稳转移概率
如果对于每个i和j，p pij 均成立的话 则称一步转移概率是平稳的，也就是说， 从状态i转移到状态j的概率与现在的步数 无关，这说明在研究的时间范围内，一 步平稳转移概率保持为常数。系统的转 移概率矩阵表示为
1 ij
max 6 0.5 6 0.5 (3),4 0.8 6 0.2 (3)
2 1(1) 2 1 2(1) 2 f 2 (1) max q p1 j f1 ( j ), q p1 j f1 ( j ) j 1 j 1
下面考虑系统经过一定阶段的运行后的总 期望报酬。记q(i)为状态i 做出一次转移的 N 期望报酬，则有 q (i ) pij rij i 1, 2,......N j 1 称 Q q (1), q (2).....q ( N ) 为一次转移的期望报酬向量。
T
记 Vn (i) 为系统由状态ｉ经过n次转移之后的 总期望报酬，则有
2.状态转移概率矩阵 假定市场调查数据显示，在随后的一周 内，上周去A购物的顾客有90％仍然在A 购物，有10％的顾客则流向了B，去B购 物的顾客有80％继续在B购物，而20％ 则流向了A，这些状态转移概率可用如下 矩阵表示
0.9 0.1 p 0.2 0.8
该矩阵成为超市的一步转移矩阵。 k 表示在给定 对于k步（周期）的， p
在利用上面的公式，可以得出该工厂在不同的
6 V1 Q 3
三、马氏决策规划 在赋值马氏过程中，如果在某状态选用不同 的决策能够改变相应的状态转移矩阵及报酬 矩阵，就产生了动态随机系统求值最优策略 的问题。马氏决策规划就是研究这类问题的。 下面我们通过实例来介绍马氏决策规划中有 限阶段的一种求解方法——值迭代法。设系 统目标为总期望报酬最大化。
ij
周期内处于状态i 的系统在经过k步后转移到状 态j的概率，p(k) 表示系统的k步转移 概率矩阵，则有 p k11 p k12 ..... p k1n k k k p 21 p 22 ..... p 2 n P(k ) ..... ..... ..... p3n k k k p n1 p n 2 ..... p nn 状态转移概率矩阵描述了研究对象的变化过程， 它有如下特征： n k k pij 1 ij j 1
9 3 R 3 7
0.5 0.5 9 3 6 根据以上公式得 Q PR 0.4 0.6 3 7 3 即如果当前销路好，则下月获利6000元， 否则下月亏损3000元
6 0.5 0.5 6 7.5 V2 Q PV1 3 0.4 0.6 3 2.4
max 2.4, 1.7 1.7
d2 (2) 2
这表明，如果继续生产两个月，第1个月不登广 告，第2个月等广告。
同样可以计算出经3步，4步，……转移时的结 果， 将结果列入表中，利用上述的值迭代法， 可以算出系统当前处于状态i，经任意n步转移 应采取怎样的最优策略以及所获得的总报酬期 望值。
N d d f n (i) max q (i) pij f n1 ( j ) d1,2 j 1
d ij
n 2,...
f1 (i ) max q d (i )
d 1,2
由于
1(1) q 0.5 0.5 9 3 6 1 1 1 Q 1(2) ( P )( R ) 0.4 0.6 3 7 3 q
ij N *N
上述工厂若某月初销路好，下月初仍销路好可 获利9千元，下月初转为销路差可获利3千元， 若某月初销路差，下月初转为销路好课获利3 千元，下月初仍为销路差要亏本7千元。 则报酬矩阵为 r r 9 3
R r r 3 7 21 22
11 12
vn (i ) pij rij vn 1 ( j ) q (i ) pij vn 1 ( j ) j 1 j 1
N N
i 1 , 2..... N
其中 表示有状态ｉ转移到状态ｊ的 概率，rij 表示由状态ｉ转移到状态ｊ的 相应报酬。称 Vn vn (1), vn (2),....vn ( N ) T 为ｎ次转移的总期望报酬向量。 对 P pij N N , R rij N N 定义乘法
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第07章 动态规划 《运筹学》PPT课件
最优路径问题 资源分配问题 排序问题 投资问题 装载问题 生产计划与库存问题 生产过程的最优控制等
动态规划
模型分类
离散确定型 离散随机型 连续确定型 连续随机型
§1 多阶 段决 策过 程的 最优
化
多阶段决策问题
(Multi-Stage decision process)
决策u1 决策u2
决策uk
32
维护费
8 8 9 9 10 6 6 8 8 10 5 6 8 9 5 5 6 4 54Βιβλιοθήκη 新设备购置费 5050
52 52 55 60
旧设备折价
20 15 10 5 2 30 25 20 15 10 31 26 21 15 33 28 20 35 30
40
§1 多阶 段决 策过 程的 最优
化
3)连续生产过程的控制 问题：一般化工生产过程中，
本章 内容
多阶段决策过程的最优化 动态规划的基本概念和基本原理 动态规划模型的建立与求解 动态规划在经济管理中的应用 马氏决策规划简介
创始时间 创始人
上个世纪50年代
美国数学家贝尔曼 （Richard. Bellman)
是运筹学的一个主要分支 是解决多阶段决策过程的最优化的一
种方法多阶段决策过程： 多阶段决策过程的最优化的目标： 达到整个活动过程的总体效果最优 •主要用于解决：
不过，实际中尚有许多不包含时间 因素的一类“静态”决策问题，就其本 质而言是一次决策问题，是非动态决策 问题，但是也可以人为地引入阶段的概 念当作多阶段决策问题，应用动态规划 方法加以解决。
§1 多阶 段决 策过 程的 最优
化
4）资源分配问题：便属于这类静 态问题。如：某工业部门或公司，拟对 其所属企业进行稀缺资源分配，为此需 要制定出收益最大的资源分配方案。这 种问题原本要求一次确定出对各企业的 资源分配量，它与时间因素无关，不属 动态决策，但是，我们可以人为地规定 一个资源分配的阶段和顺序，从而使其 变成一个多阶段决策问题(后面我们将 详细讨论这个问题)。
动态规划
模型分类
离散确定型 离散随机型 连续确定型 连续随机型
§1 多阶 段决 策过 程的 最优
化
多阶段决策问题
(Multi-Stage decision process)
决策u1 决策u2
决策uk
32
维护费
8 8 9 9 10 6 6 8 8 10 5 6 8 9 5 5 6 4 54Βιβλιοθήκη 新设备购置费 5050
52 52 55 60
旧设备折价
20 15 10 5 2 30 25 20 15 10 31 26 21 15 33 28 20 35 30
40
§1 多阶 段决 策过 程的 最优
化
3)连续生产过程的控制 问题：一般化工生产过程中，
本章 内容
多阶段决策过程的最优化 动态规划的基本概念和基本原理 动态规划模型的建立与求解 动态规划在经济管理中的应用 马氏决策规划简介
创始时间 创始人
上个世纪50年代
美国数学家贝尔曼 （Richard. Bellman)
是运筹学的一个主要分支 是解决多阶段决策过程的最优化的一
种方法多阶段决策过程： 多阶段决策过程的最优化的目标： 达到整个活动过程的总体效果最优 •主要用于解决：
不过，实际中尚有许多不包含时间 因素的一类“静态”决策问题，就其本 质而言是一次决策问题，是非动态决策 问题，但是也可以人为地引入阶段的概 念当作多阶段决策问题，应用动态规划 方法加以解决。
§1 多阶 段决 策过 程的 最优
化
4）资源分配问题：便属于这类静 态问题。如：某工业部门或公司，拟对 其所属企业进行稀缺资源分配，为此需 要制定出收益最大的资源分配方案。这 种问题原本要求一次确定出对各企业的 资源分配量，它与时间因素无关，不属 动态决策，但是，我们可以人为地规定 一个资源分配的阶段和顺序，从而使其 变成一个多阶段决策问题(后面我们将 详细讨论这个问题)。
《马尔柯夫预测法》PPT课件
第八章 马尔可夫预测与决策法
3. 状态转移矩阵
类似地，可以推出
P(k) Pk
（8.1.8）
即 k 步状态转移概率矩阵等于一步状态转移概率矩阵的 k 次方。
12
第八章 马尔可夫预测与决策法
例 8.1.2
例 8.1.2 某经济系统有三种状态 E1, E2 , E3 （比如畅销，一般，滞销）。系统状
则称 X n , n 0为马尔柯夫链。
X n 所可能取到的每一个值 E1, E2 ,, Em ; E j 称为状态。
3
第八章 马尔可夫预测与决策法
第8.1 马尔柯夫链简介
2. 状态转移概率
由定义 8.1.1 可知，马尔柯夫链的概率特性取决于条件概率
P X mk E j X m Ei
（8.1.2）
N
p1k pk1 k 1
N
= p2k pk1
k 1 N
pNk pk1
k 1
N
p1k pk 2
k 1 N
p2k pk2
k 1
N
pNk pk 2
N
k 1
N
k 1
N
p1k
p2k
p Nk
pkN pkN pkN
==
p11 p21
pN1
k 1
k 1
p12 p22
在概率论中，条件概率 P( A | B) 表达了由状态Ｂ向状态Ａ转移的概率，简称为状态转移概
率。式（8.1.2）中条件概率的含义是，某系统在时刻m 处于状态 Ei 的条件下，到时刻m k
处于状态 E j 的概率。
定义 8.1.2 称
p(k) ij
(m)
P
X mk E j
ch7 动态规划的基本方法 PPT课件
不包含时间因素的静态决策问题（本质上是一 次决策问题）也可以适当地引入阶段的概念，作为 多阶段的决策问题用动态规划方法来解决。
4 . 线性规划、非线性规划等静态的规划问题也 可以通过适当地引入阶段的概念，应用动态规划方 法加以解决。
5 . 最短路径问题：给定一个交通网络图如下， 其中两点之间的数字表示距离（或花费），试求从A 点到G点的最短距离（总费用最小）。
min
dd11
( (
A, A,
B1 ) B2 )
9
且 u5 (E3 ) F2 。
类似地，可算得
当 k 4 时，有
f4 (D1) 7
u4 (D1) E2
f4 (D2 ) 6
u4 (D2 ) E2
f 4 (D3 ) 8
u4 (D3 ) E2
当 k 3 时，有
f3 (C1) 13
u3 (C1) D1
f3 (C2 ) 10
过程由一个状态到另
一个状态的演变过程。 如果第k阶段状态变量 sk的值、该阶段的决策 变量一经确定，第k+1 阶段状态变量sk+1的值 也就确定。
s1
u1 1
s2
u2 2
s3
sk
uk k
sk+1
能用动态规划方法求解的多阶段决策过程是一类 特殊的多阶段决策过程，即具有无后效性的多阶段 决策过程。
无后效性(马尔可夫性)
小结:
无后效性
动态规划本质上是多阶段决策过程;
概念 : 阶段变量k﹑状态变量sk﹑决策变量uk;
方程 :状态转移方程 sk1 Tk (sk , uk )
指标: Vk,n Vk,n (sk , uk , sk1, uk1,, sn1)
4 . 线性规划、非线性规划等静态的规划问题也 可以通过适当地引入阶段的概念，应用动态规划方 法加以解决。
5 . 最短路径问题：给定一个交通网络图如下， 其中两点之间的数字表示距离（或花费），试求从A 点到G点的最短距离（总费用最小）。
min
dd11
( (
A, A,
B1 ) B2 )
9
且 u5 (E3 ) F2 。
类似地，可算得
当 k 4 时，有
f4 (D1) 7
u4 (D1) E2
f4 (D2 ) 6
u4 (D2 ) E2
f 4 (D3 ) 8
u4 (D3 ) E2
当 k 3 时，有
f3 (C1) 13
u3 (C1) D1
f3 (C2 ) 10
过程由一个状态到另
一个状态的演变过程。 如果第k阶段状态变量 sk的值、该阶段的决策 变量一经确定，第k+1 阶段状态变量sk+1的值 也就确定。
s1
u1 1
s2
u2 2
s3
sk
uk k
sk+1
能用动态规划方法求解的多阶段决策过程是一类 特殊的多阶段决策过程，即具有无后效性的多阶段 决策过程。
无后效性(马尔可夫性)
小结:
无后效性
动态规划本质上是多阶段决策过程;
概念 : 阶段变量k﹑状态变量sk﹑决策变量uk;
方程 :状态转移方程 sk1 Tk (sk , uk )
指标: Vk,n Vk,n (sk , uk , sk1, uk1,, sn1)
运筹学课件——第4讲马尔可夫决策(精)
例：人力资源预测
• 某高校1990年为编制师资发展规划，需要预测 为了教师队伍的结构。现在对教师状况进行如 下四个分类：青年，中年，老年和流退（流失 或退休）。根据历史资料以及调查分析，各类 教师按照一年一期的状态转移概率矩阵如下， 目前青年教师400人，中年教师360人，老年教 师300人。试分析3年后教师的结构以及为保持 编制不变，3年内应当多少硕士和博士毕业生 充实教师队伍？
0 . 4 0 .3 0 .3 0.3 0.5 0.2 P1 0.3 0.7 0 0.6 0.1 0.3 P 2 0.6 0.3 0.1 0.4 0.5 0.1 u= （ 0.5 ，0.25 ， 0.25 ）
u 1= （ 0.39 ， 0.44 ，0.17 ） u2= （ 0.44 ， 0.42 ，0.14 ）
例：三品牌洗衣粉下月 购买意愿调查
A A B C 40 60 60 B 30 30 30 C 30 60 30 调查总数 100 150 120
• 求（ 1 ）一步状态转移概率矩阵 P （ 1 ）=? • （ 2 ）购买 C 品牌的顾客在未来第 2 个月购买 各品牌的概率? • （ 3 ）二步状态转移概率矩阵 P （ 2 ）=? • 您发现P（K）的一般规律了吗？
320 240 240 N 360 180 60 360 60 180
2
3
状态转移概率矩阵 P
• 从转移频数矩阵到状态转移概率矩阵 P ： • 用各行总数分别去除转移频数矩阵 N 的每行 各元素，得到状态转移概率矩阵 P 如下：
320 240 240 /800 N 360 180 60 /600 360 60 180 /600
经济预测与决策课件 第6章 马尔柯夫预测法
6.1 马尔柯夫预测法的基本原理
【例6.1.1】
在对产品抽样检验时，每次取一件，以随机变量 表示检验结
果， 1 表示废品， 0 表示合格品，连续进行n 次，即抽
n件检验，从而得到随机变量序列：1,2,L ,n L记为
，
而状态n , n空 1间, 2E,L={0，1}。
【例6.1.2】
统计某种商品在t时刻的库存量，假若该仓库最大的容量为R；t
（3）对于任意i，j∈E，pij
(0)
1 0
i j i j
一步转移矩阵的形式如下：
p11
p=
p21
pn1
p12 p22 pn2
p1n p2n pnn
i，j =1，2，…，n
6.1 马尔柯夫预测法的基本原理
⒊ 转移矩阵的计算
（1）根据概率的古典定义计算
若事物由状态i，经过一步转向状态j的次数为 nij ，则一
一、 随机过程的概念
设｛ i ；t T ｝是一组随机变量， T 是一个实数集合， 若对任意的实数 t∈ T ； i都是一个随机变量，则称 ｛ i ；t T ｝是一个随机过程。 T是参数t的集合，才可以看成时间， i 的每一个取值 可称为随机过程中的一个状态，而状态的所有可能值构成 的集合称为状态空间，记为E。 • 当T是正整数集合时，随机过程又称为随机序列。下面要 讲的马尔柯夫链就是一类随机序列。
（第一次从1中取）
p12 =p(2 2 1 1) 1 4
（第二次从2中取）
p13 =p(2 3 1 1) 1 4 p21 =p(2 1 1 2) 2 3
（第二次从3中取） p22 p(2 2 1 2) 0
p23 =p(2 3 1 2) 1 3
马尔科夫预测与决策ppt课件
故可用矩阵式表达所有状态:
[S1(k),S2(k), …… ,SN(k)]= [S1(0),S2(0), …… ,SN(0)] P[k]
即 S(k) = S(0) P [k] 当满足稳定性假设时,有
S(k) = S(0) Pk 这个公式称为已知初始状态条件下的市场占有
率k步预测模型.
例:东南亚各国味精市场占有率预测, 初期工作: a)行销上海,日本,香港味精,确定状态1,2,3. b)市场调查,求得目前状况,即初始分布 c)调查流动状况;上月转本月情况,求出一步状 态转移概率. 1)初始向量: 设 上海味精状况为1;
马尔科夫决策基本方法是用转移概率 矩阵进行预测和决策。
P(k)
P1k1 P2k1
P1k2 P2k2
P1kn P2kn
............................
Pmk1 Pmk2
Pmkn
其中Pij 表示概率，P(k) 表示转移概率矩阵。
1—— 3—— 2: P13 • P32
P12 = P11 • P12 + P12 • P22 +P13 • P32 =∑ P1i • Pi2
解法二： k = 2, N = 3
P11(2) P12 (2) P13(2)
P = P21(2) P22 (2) P23(2)
P31(2) P32(2) P33(2)
转移概率矩阵决策的步骤如下： 1、建立转移概率矩阵。 2、利用转移概率矩阵进行模拟预测。 3、求出转移概率矩阵的平衡状态，即稳 定状态。 4、应用转移概率矩阵进行决策
案例1 市场占有率预测
商品在市场上参与竞争，都拥有顾客，并由此而
产生销售，事实上，同一商品在某一地区所有的N个商 家（或不同品牌的N个同类产品）都拥有各自的顾客， 产生各自销售额，于是产生了市场占有率定义：
第六讲马尔可夫型决策-人教B版选修4-9风险与决策教案
第六讲马尔可夫型决策-人教B版选修4-9 风险与决策教案一、教学目标1.了解马尔可夫型决策的基本概念；2.学习如何计算马尔可夫型决策的收益及其期望值；3.熟悉风险决策的概念和风险决策的方法；4.能够应用马尔可夫型决策和风险决策方法解决实际问题。
二、教学重点1.马尔可夫型决策的基本概念；2.马尔可夫型决策的收益及其期望值的计算方法；3.风险决策的概念和方法。
三、教学难点1.马尔可夫型决策的期望值的计算方法。
四、教学内容4.1 马尔可夫型决策马尔可夫型决策是指在动态不确定条件下，在一系列决策中，对每一种状态和每一种决策所产生的效益（或称为收益）进行评估，并通过对效益进行量化，制定决策，以使总效益最大化。
因此，马尔可夫型决策需要评估每种可能的决策和每种状态下所获得的效益，并根据效益的计算结果确定最优决策。
4.2 马尔可夫型决策的计算方法在马尔可夫型决策中，一个事件或状态的过程总是处于某种状态，这种状态可以用一个有限集合中的元素来表示。
每个状态具有一定的概率转移到其他状态，这是指每个状态之间的转移是随机的。
在马尔可夫型决策中，每个状态下所获得的效益是不确定的，在确定一定期间内的效益时，需要考虑对每个状态的转移概率和每种决策的效益进行计算。
因此，在进行马尔可夫型决策时，需要进行以下计算：1.状态转移矩阵的计算；2.效益矩阵的计算；3.期望值的计算。
其中，状态转移矩阵的计算是指，针对所有可能的状态，计算出从一个状态转移到另一个状态的概率。
效益矩阵的计算是指，将每个状态下对每一种决策的效益量化，用矩阵表示。
期望值的计算是指，在马尔可夫型决策中，确定每个状态和每种决策的效益，针对所有可能的决策和状态，计算期望值，用于比较和分析优劣。
4.3 风险决策的概念和方法在风险决策中，决策者面临的是不确定、有风险的情况，需要选择一种策略来应对风险。
在风险决策中，需要考虑到风险的概率、风险的影响、决策的收益和成本等因素。
风险决策的方法包括最大期望值法、等价收益法、最小最大法、利用判断矩阵法等，适用于不同的决策场景。
运筹学课件——第4讲 马尔可夫决策参考幻灯片
对其中的一个 维修厂
进行改造，并且扩大 规 模。试决定应该 选择哪个维修厂？
0.8 0.2 0 0.2 0 0.8
0.2 0.2 0.6 来自18作业• 作业本：习题1.6 • 预习：层次分析方法决策
19
谢谢！ 再 见！
20
u2= （ 0.44 ， 0.42 ，0.14 ） 4
厂家 2 的方案选择
• 有了均衡状态时的市场占有率 u ， u1 和 u2 ，厂家 2
就能够方便地进行分别方案选择，根据前面的数据， 我们知道：
•
u=0.25 ， u1=0.44 ， u2=0.42 ，
• 因此，如果采用方案一可获利：
•
100 Х (0.44- 0.25) Х 50 – 450=500 （万元）
• 您有什么好的建议来帮助厂家 2 决策？
1
市场调查数据
• 今年一月份厂家 2 对 2000 名消费者进行了调 查，购买厂家 1 ， 2 ， 3 产品的消费者人数分别为 800 ， 600 和 600 ，得到市场占有率向量（概率向 量）为（ 0.4 ， 0.3 ， 0.3 ）；
•
同时通过询问这 2000 名消费者下月的购买
• 正规概率矩阵的例子 • 正规概率矩阵的判断方法：看任意两状态之间是否
可以相互连通（彼此到达），若是，则为正规概率 矩阵，若否，则不是正规概率矩阵。
15
马尔可夫链基本定理
• 定理：设 P 为马尔可夫链的一步状态转移概率矩 阵，如果 P 为正规概率矩阵，则存在唯一的由正 数组成的固定概率向量（均衡点） u ，并且对于 任意的初始概率向量 u0 ，向量序列:
13
牛奶厂例：市场占有率变动 表及均衡状态
月份 k
0 1 2 3 4 5 6 7
进行改造，并且扩大 规 模。试决定应该 选择哪个维修厂？
0.8 0.2 0 0.2 0 0.8
0.2 0.2 0.6 来自18作业• 作业本：习题1.6 • 预习：层次分析方法决策
19
谢谢！ 再 见！
20
u2= （ 0.44 ， 0.42 ，0.14 ） 4
厂家 2 的方案选择
• 有了均衡状态时的市场占有率 u ， u1 和 u2 ，厂家 2
就能够方便地进行分别方案选择，根据前面的数据， 我们知道：
•
u=0.25 ， u1=0.44 ， u2=0.42 ，
• 因此，如果采用方案一可获利：
•
100 Х (0.44- 0.25) Х 50 – 450=500 （万元）
• 您有什么好的建议来帮助厂家 2 决策？
1
市场调查数据
• 今年一月份厂家 2 对 2000 名消费者进行了调 查，购买厂家 1 ， 2 ， 3 产品的消费者人数分别为 800 ， 600 和 600 ，得到市场占有率向量（概率向 量）为（ 0.4 ， 0.3 ， 0.3 ）；
•
同时通过询问这 2000 名消费者下月的购买
• 正规概率矩阵的例子 • 正规概率矩阵的判断方法：看任意两状态之间是否
可以相互连通（彼此到达），若是，则为正规概率 矩阵，若否，则不是正规概率矩阵。
15
马尔可夫链基本定理
• 定理：设 P 为马尔可夫链的一步状态转移概率矩 阵，如果 P 为正规概率矩阵，则存在唯一的由正 数组成的固定概率向量（均衡点） u ，并且对于 任意的初始概率向量 u0 ，向量序列:
13
牛奶厂例：市场占有率变动 表及均衡状态
月份 k
0 1 2 3 4 5 6 7
马尔可夫决策规划4(2)
定理4.7-ε最优马氏策略总是存在的。
（报酬函数r 有界）[证明] 记V )}({1πππβV V R V DM L =∈∃∈=+使得，则当r 有界时，V 为有界数集。
nif n i f n nr V )P ()(1∏∑-=∞==βπββββ-+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∞=∞=1)1()1()1(11111100M L M L M L M M M n nn n于是V 为有界数集，所以V 必有上确界（最小的上界）。
设上确界为*V ，则对于任意的0>ε存在∈V V ，使得ε->*V V∴存在D M ππ∈*使得V V =)(*πβ。
显然)(*πβV 是-ε最优的。
[证毕]注：这个定理实际上是在r -有界折扣模型上成立的，扩大了F 有限折扣模型。
定理4.8 在r 有界的范围内，-ε最优平稳策略总是存在的。
[证明] 由定理4.7，存在-ε最优马氏策略*π，设},,,,,{210 n f f f f =*π，记='π},,,,{21n f f f ，则有εππββ+<*)()('V V ∴ ])([)(00'εππββ+≤*V T V T f f 即 εβππββ⋅+≤**00)]([)(f f P V T V ∴ ')()(0εππββ-≥**V V T f∴ '0)()(επββ-≥*∞V f V ∴ )(0∞f V β是'εε+最优策略。
[证毕]作业题: 对于F 有限折扣模型，总存在最优平稳策略。
注意：在上述证明中均没有提到初始状态，这意味着我们得到的决策是相对于所有初始状态而言的一致最优策略。
综合结论可得出如下事实：在全体策略类∏上寻求最优策略，等价于在平稳策略类上寻求最优策略。
因为在平稳策略类上所获得的β-最优策略，在全体策略类∏上对同一β来说，它同样是最优的。
考虑到在状态集S 为有限以及所有A (i )（S i ∈）均为有限的假设下，平稳策略类仅包含有限个不同的元素、或仅有有限个平稳策略，这就使得寻求最优策略的问题大为简化。
《马氏规则的解释》课件
详细描述
在碳氢化合物中，电子云的偏向是指电子云在分子中的分布情况。电子云的偏向 决定了分子的极性和反应活性。在马氏规则中，更偏向的电子云更容易形成更稳 定的化合物，因为它们能够更好地分散负电荷和稳定分子结构。
电负性差异
总结词
电负性差异是影响碳氢化合物稳定性的另一个关键因素。
详细描述
电负性差异是指不同原子之间电负性的差异。在碳氢化合物中，电负性差异决定了分子中的电荷分布和极性。在 马氏规则中，电负性差异越大，越容易形成更稳定的化合物，因为它们能够更好地分散负电荷和稳定分子结构。
03
马氏规则的实例分析
烯烃的亲电加成反应
总结词
在烯烃的亲电加成反应中，马氏规则指出，氢原子更倾向于 加到含电子较多的碳原子上。
详细描述
当烯烃与亲电试剂发生加成反应时，电子云密度较高的碳原 子更容易与亲电试剂结合，导致氢原子主要加到电子云密度 较大的碳原子上，从而遵循马氏规则。
炔烃的亲核加成反应
马氏规则的定义
马氏规则是指在有机化学的加成 反应中，当两个碳原子相连时， 更稳定的基团趋向于占据加成反
应后新分子中的主导位置。
马氏规则的原理
马氏规则的原理是基于电子效应， 更稳定的基团具有更强的电子吸引 能力，因此在加成反应中更倾向于 占据主导位置。
马氏规则的应用
马氏规则在有机化学中广泛应用于 预测加成反应的结果，帮助科学家 更好地理解和预测化合物的性质和 行为。
马氏规则不适用于所有亲电加成反应，例如在某些反应中，取代基的位置可能受到 其他因素的影响。
马氏规则的起源和历史
马氏规则最初由化学家马丁尼 兹提出，用于解释烷烃的卤化 反应产物中取代基的位置。
后来，该规则被进一步发展和 完善，成为有机化学中的一种 重要经验规则。