(人教版)初中九年几数学第28章锐角三角函数测试题
人教版初3数学9年级下册 第28章(锐角三角函数)期末综合复习题(含解析)
第二十八章 锐角三角函数 复习题一、单选题1．陕西渭南·九年级期末）如图，在ABC 中，90C ∠=︒，设A ∠，B ∠，C ∠所对的边分别为a ，b ，c ，则下面四个等式一定成立的是（ ）A ．sin c bB =⋅B ．cos a c B =⋅C ．tan a b B =⋅D ．tan b c B=⋅2．陕西咸阳·九年级期末）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝3，那么下列各式中，正确的是( )A ．sin B ＝23B ．cos B ＝23C ．tan B ＝23D ．tan B ＝323．陕西宝鸡·九年级期末）在△ABC 中，已知∠C ＝90°，AC ＝sin A ＝23，那么BC 边的长是（ ）A ．B ．8C ．D ．124．陕西咸阳·九年级期末）如图，点()3,4A 在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为α，则cos α=（ ）A ．34B ．35C ．45D ．435．陕西渭南·九年级期末）2cos45°的值为（ ）A ．2BC D ．16．陕西西安·九年级期末）在ABC 中，A ∠，B ∠都是锐角，且sin A =，tan B =，则ABC 的形状是（ ）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．不能确定7．陕西咸阳·九年级期末）如图，从山下乘缆车上山，缆绳与水平方向成32°的夹角，已知缆车速度为每分钟50米，从山脚下A 到山顶B 需16分钟，则山的高度为（ ）A ．800•sin32°B ．800tan32︒C ．800•tan32°D ．800sin32︒8．陕西宝鸡·九年级期末）如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯底（点O ）20米的点A 处，沿AO 所在直线行走12米到达点B 时，小明身影长度（ ）A ．变长2.5米B ．变短2米C ．变短2.5米D ．变短3米二、填空题9．陕西咸阳·九年级期末）如图所示的是一款可折叠的木制宝宝画板．若70cm AB AC ==，8cos 35ABC ∠=，则BC 的长为____________cm ．10．陕西宝鸡·九年级期末）如图，正六边形ABCDEF 的边长为2，以A 为圆心，AC 的长为半径画弧，得 EC，连接AC ，AE ，则图中阴影部分的面积为________．11．陕西咸阳·九年级期末）在ABC ∆中，(tan cos 0A B =，则∠C 的度数为____．12．陕西宝鸡·九年级期末）已知sinA=12，则锐角∠A=______．三、解答题13．陕西西安·)sin 60cos 456⎫︒-︒-⎪⎪⎭14．陕西咸阳·九年级期末）计算：2221tan 45sin 303cos 304︒+︒-︒．15．陕西宝鸡·九年级期末）计算：4cos 24|+6．16．陕西渭南·九年级期末）计算：212cos302-⎛⎫︒ ⎪⎝⎭．17．陕西咸阳·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 三个顶点的坐标分别是A （2，2），B （4，0），C （4，﹣4）．（1）请在图中，画出△ABC 向左平移6个单位长度后得到的△A 1B 1C 1；（2）以点O 为位似中心，将△ABC 缩小为原来的12，得到△A 2B 2C 2，请在图中y 轴右侧，画出△A 2B 2C 2，并求出∠A 2C 2B 2的正弦值．18．陕西宝鸡·九年级期末）在北京市开展的“首都少年先锋岗”活动中，某数学小组到人民英雄纪念碑站岗执勤，并在活动后实地测量了纪念碑的高度. 方法如下：如图，首先在测量点A 处用高为1.5m 的测角仪AC 测得人民英雄纪念碑MN 顶部M 的仰角为35°，然后在测量点B 处用同样的测角仪BD 测得人民英雄纪念碑MN 顶部M 的仰角为45°，最后测量出A ，B 两点间的距离为15m ，并且N ，B ，A 三点在一条直线上，连接CD 并延长交MN 于点E. 请你利用他们的测量结果，计算人民英雄纪念碑MN 的高度.（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7）19．陕西渭南·九年级期末）某地有一座大桥（图1），某初中数学兴趣小组想测量该大桥的外拱塔的最高点D 距离桥面的高度CD ，他们在桥面上选取了一个测量点A 测得点D 的仰角为26.6°，然后他们沿AC 方向移动40m 到达测量点B （即40m AB =），在B 点测得点D 的仰角为37°，如图2所示．求外拱塔的最高点D 距离桥面的高度CD ．[参考数据：sin 370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan 370.75︒≈，sin 26.60.45︒≈，cos26.60.89︒≈，tan 26.60.50︒≈]20．陕西汉中·九年级期末）某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量一古建筑的高度（如图1）．如图2，在地面BC 上取E ，G 两点，分别竖立两根高为2m 的标杆EF 和GH ，两标杆间隔EG 为23m ，并且古建筑AB ，标杆EF 和GH 在同一竖直平面内，从标杆EF 后退2m 到D 处（即2m ED =），从D 处观察A 点，A 、F 、D 三点成一线；从标杆GH 后退4m 到C 处（即4m CG =），从C 处观察A 点，A 、H 、C 三点也成一线．已知B 、E 、D 、G 、C 在同一直线上，AB BC ⊥，EF BC ⊥，GH BC ⊥，请根据以上测量数据，帮助实践小组求出该古建筑AB 的高度．21．陕西咸阳·九年级期末）如图，琪琪在一座桥的附近试飞一架小型无人机，为了测量无人机飞行的高度AD ，琪琪通过操控装置测得无人机俯视桥头B ，C 的俯角分别为∠EAB ＝60°和∠EAC ＝30°，且D ，B ，C 在同一水平线上．已知桥BC ＝36米，求无人机的飞行高度AD ．22．陕西渭南·九年级期末）如图，小华利用标杆和等腰直角三角尺测量楼高，他先在E 处竖立一根高1.5米的标杆DE ，发现地面上的点A 、标杆顶端D 与楼顶B 在一条直线上，测得1AE =米；然后他站在F 处利用等腰直角三角形测得视线GB 与水平面的夹角45BGM ∠=︒，小华的眼睛到地面的距离 1.5GF =米，1.5AF =米．已知点F 、A 、E 、C 在同一直线上，GF FC ⊥，DE FC ⊥，BC FC ⊥．请根据以上所测数据，计算楼高BC ．23．陕西安康·九年级期末）如图，在矩形ABCD 中，O 为边AB 上一点，以点O 为圆心，OA 为半径的O 与对角线相交于点E ，连接BE ，且BC BE =．(1)求证：BE 是O 的切线；(2)若30CAB ∠=︒，BC 长为6，求O 的半径．24．陕西西安·九年级期末）如图，将矩形ABCD 沿AE 折叠，使点D 落在BC 边的点F 处．(1)求证：△ABF ∽△FCE ；(2)已知AB ＝3，AD ＝5，求tan DAE 的值．参考答案：1．B【解析】根据∠B 的正弦、余弦、正切的定义列式，根据等式的性质变形，判断即可．解：在△ABC 中，∠C=90°，∵sinB=bc ，∴c=sin b B，A 选项等式不成立；∵cosB=a c，∴a=c•cosB ，B 选项等式成立；∵tanB=b a ，∴a=tan b B，C 选项等式不成立；∵tanB=b a ，∴b=a•tanB ，D 选项等式不成立；故选：B ．本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角是三个三角函数的定义是解题的关键．2．C∵∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝3，∴，∴sinB=AC AB ==，cosB=BC AB ==，tanB=23AC BC =，故选C.3．B【解析】根据锐角三角函数和勾股定理求解即可．解：由sin A ＝23＝BC AB，不妨设BC ＝2k ，则AB ＝3k ，由勾股定理得，AC 2+BC 2＝AB 2，即（2+（2k ）2＝（3k ）2，解得k ＝4（取正值），所以BC ＝2k ＝8，故选：B ．本题考查锐角三角函数，勾股定理，理解锐角三角函数的定义和勾股定理是正确解答的前提．【解析】过A 作AP x ⊥轴于点P ，根据勾股定理求出OA ，再根据锐角三角形函数的定义求解即可过A 作AP x ⊥轴于点PA(3，4)∴4,3AP OP ==由勾股定理得：5OA ===3cos 5OP OA α∴==故选：B ．本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义的应用，主要考查学生的理解和计算能力．5．C【解析】根据45°角的三角函数值代入计算即可.解： 2cos452== 故选C ．此题主要考查了特殊角的三角函数值的应用，熟记30°、45°、60°角的三角函数值是解题关键.6．C【解析】根据特殊角锐角三角函数值，可得60,60A B ∠=︒∠=︒ ，再由三角形的内角和等于180°，可得60C ∠=︒ ，即可求解．解：∵sin A =，tan B =∴60,60A B ∠=︒∠=︒ ，∴18060C A B ∠=︒-∠-∠=︒ ，∴A B C ∠=∠=∠ ，∴ABC 是等边三角形故选：C本题主要考查了等边三角形的判定，特殊角锐角三角函数值，熟练掌握特殊角锐角三角函数值是解题的关键．【解析】根据题意可得，90BCA ∠=︒，32BAC ∠=︒，5016800AB =⨯=米，再根据三角函数的定义，即可求解．解：根据题意可得，90BCA ∠=︒，32BAC ∠=︒，5016800AB =⨯=米，根据三角函数的定义可得：sin sin 32BC BAC AB∠=︒=∴sin 32800sin 32BC AB =⨯︒=⋅︒（米）故选：A本题考查了解直角三角形的应用，找到直角三角形并熟悉三角函数的定义是解题的关键．8．D【解析】利用相似三角形的对应边成比例可求出AM 的长，同理求出BN 的长，再求出AM 与BN 的差即可.∵OF ⊥OM,DA ⊥OM ，∴QF ∥AD ，∴△ADM ∽△OFM ，∴AM AD AM OA OF =+ ，即 1.620+8AM AM = ，解得AM ＝5cm ；同理可得，∵△BNE ∽△ONF ，∴BN AD OA AB BN OF =-+ 即 1.620128BN BN =-+ ，解得BN ＝2m ，∴AM －BN ＝5－2＝3m.故选D.本题考查了相似三角形的应用和中心投影，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.9．32【解析】过点A 作AD ⊥BC 于点D ，根据余弦定义可求BD ，然后根据等腰三角形的性质即可求出BC ．解：如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，在Rt △ABD 中，cos BD ABC AB ∠=，又AB =70cm ，8cos 35ABC ∠=，∴87035BD =，∴BD =16cm ，又AB =AC ，∴BC =2BD =32cm ．故答案为：32．本题考查了锐角三角函数，等腰三角形的性质等知识，添加辅助线AD 是解题的关键．10．2π【解析】由正六边形ABCDEF 的边长为2，可得AB =BC =2，∠ABC =∠BAF =120°，进而求出∠BAC =30°，∠CAE =60°，过B 作BH ⊥AC 于H ，由等腰三角形的性质和含30°直角三角形的性质得到AH =CH ，BH =1，在Rt △ABH 中，由勾股定理求得AH AC 解：∵正六边形ABCDEF 的边长为2，()6218021206AB BC ABC BAF -⨯︒∴==∠=∠==︒， =120°，∵∠ABC +∠BAC +∠BCA =180°，∴∠BAC =12（180°-∠ABC ）=12×（180°-120°）=30°，过B 作BH ⊥AC 于H ，∴AH =CH ，BH =12AB=12×2=1，在Rt △ABH 中，AH=，∴AC，同理可证，∠EAF =30°，∴∠CAE =∠BAF -∠BAC -∠EAF =120°-30°-30°=60°，∴2CAE S π==扇形∴图中阴影部分的面积为2π，故答案为：2π．本题考查的是正六边形的性质和扇形面积的计算、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握扇形面积公式是解题的关键．11．90︒【解析】先根据平方、绝对值的非负性求得tan A 、cos B ，再利用锐角三角函数确定A ∠、B ∠的度数，最后根据直角三角形内角和求得90C ∠=︒．解：∵(tan cos 0A B =∴tan 0cos 0A B ⎧==∴tan cos A B ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴6030A B ∠=︒⎧⎨∠=︒⎩∴90C ∠=︒．故答案是：90︒本题考查了平方、绝对值的非负性，锐角三角函数以及三角形内角和，熟悉各知识点是解题的关键．12．30°【解析】根据sin30°=12进行解答即可．∵sinA=12，∠A 为锐角，∴∠A=30°，故答案为30°．本题考查了特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解答此题的关键．13．-7【解析】首先代入特殊角的三角函数值，然后进行二次根式的混合运算．解：原式6⎫-⎪⎪⎭16=7- ．本题考查特殊角的三角函数值以及二次根式的混合运算，解决问题的关键是牢记特殊角的三角函数值以及掌握二次根式的运算法则．14．74-【解析】先将特殊角三角函数值代入，再计算乘方，然后计算乘法，最后计算加减即可．解：原式222111342⎛⎫=⨯+-⨯ ⎪⎝⎭11313444=⨯+-⨯119444=+-74=-本题考查特殊角的三角函数值，实数混合运算，熟记特殊角三角函数值和实数运算法则是解题的关键．15．7【解析】首先代入特殊角的三角函数值，再利用绝对值的性质和二次根式的乘法法则进行计算，最后计算加减即可．原式＝4×2+4﹣＝4+3=7．此题主要考查了二次根式的混合运算，关键是掌握特殊角的三角函数值和绝对值的性质，注意计算顺序．16．4--【解析】根据特殊角的三角函数值、二次根式的性质、负整数指数幂的性质进行计算．解：原式24=4=4=-．本题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题的关键．17．（1）见解析（2【解析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）利用位似图形的性质得出对应点位置，再利用锐角三角三角函数关系得出答案．（1）如图所示：△A 1B 1C 1，即为所求；（2）如图所示：△A 2B 2C 2，即为所求，由图形可知，∠A 2C 2B 2=∠ACB ，过点A 作AD ⊥BC 交BC 的延长线于点D ，由A （2，2），C （4，﹣4），B （4，0），易得D （4，2），故AD =2，CD =6，AC ==∴sin AD ACB AC ∠===即222sin A C B ∠=此题考查了作图−位似变换，平移变换，以及解直角三角形，熟练掌握位似及平移的性质是解本题的关键．18．人民英雄纪念碑MN.的高度约为36.5米.试题分析：由题意得，四边形ACDB ，ACEN 为矩形，从而得EN=AC=1.5.AB=CD=15，在Rt △MED 中，由题意可得ME=DE ，设ME ＝DE ＝x ，则EC ＝x+15，在Rt △MEC 中，可得ME=EC ⋅tan ∠MCE ，从而有x≈0.7(x+15)，求出x 的值，从而得MN=ME+EN≈36.5 .试题解析：由题意得，四边形ACDB ，ACEN 为矩形，∴EN=AC=1.5，AB=CD=15，在Rt MED 中，∠MED ＝90°，∠MDE ＝45°，∴∠EMD ＝∠MDE ＝45°，∴ME ＝DE ，设ME ＝DE ＝x ，则EC ＝x+15，在Rt MEC 中，∠MEC ＝90°，∠MCE ＝35°，∵tan ME EC MCE =⋅∠，∴()0.715x x ≈+ ，∴35x ≈ ，∴35ME ≈ ，∴36.5MN ME EN =+≈，∴人民英雄纪念碑MN.的高度约为36.5米.19．外拱塔的最高点D 距离桥面的高度CD 为60m【解析】分别在两个直角三角形中由三角函数值建立方程，联立即可求出．解：设m DC x =，在Rt ADC 中，26.6A ∠=︒，∴tan 26.60.50CD AC ︒≈=∴2AC CD=在Rt BDC 中，37DBC ∠=︒，∴tan 370.75CDBC︒≈=∴43BC CD =∵40AC BC -=，∴即42403CD CD -=，解得60CD =，答：外拱塔的最高点D 距离桥面的高度CD 为60m ．本题考查了解直角三角形应用题，一般步骤为弄清题中的名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型，将实际问题中的数量关系归结为解直角三角形的问题，当有些图形不是直角三角形时，可适当添加辅助线，把它们分割成直角三角形或矩形，寻找直角三角形，并解这个三角形．20．古建筑AB 的高度为25m ．【解析】设=AB x ，=BE y ，证明ABD FED ∽，得到222+=x y ，再证明∽ABC HGC △△，得到2724+=x y ，利用227=24++y y 求出=23y ，将=23y 代入222+=x y 得：25x =．解：设=AB x ，=BE y ，∵AB BC ⊥，EF BC ⊥，∴AB EF ∥，∵∠=∠ADB FDE ，∴ABD FED ∽，∴=AB BD FE DE ，即222+=x y ，同理：∽ABC HGC △△，∴=AB BC HG GC，∵=23427++=++=+BC BE EG GC y y ，∴2724+=x y ，∴227=24++y y ，解得：=23y ，将=23y 代入222+=x y 得：25x =，∴古建筑AB 的高度为25m ．本题考查解直角三角形，相似三角形的判定及性质，解题关键是利用相似三角形的性质求出227=24++y y ，求出y ，再进一步求出x ．21．【解析】由锐角三角函数定义得CD =，BD AD =，再由36BC CD BD AD =-==米，即可求出AD 的长．解：60EAB ∠=︒ ，30EAC ∠=︒，9060CAD EAC ∴∠=︒-∠=︒，9030BAD EAB ∠=︒-∠=︒，tan CD AD CAD ∴=⋅∠=，tan BD AD BAD AD =⋅∠=，36BC CD BD AD ∴=-==米，AD ∴=（米)．答：无人机的飞行高度AD 为米．本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题，掌握仰角俯角定义和锐角三角函数定义．22．9m【解析】连接GD ，并延长交BC 于点H ，证明BH =GH ，设BC =x ，则BH =x -1.5，用x 表示出GH 、BH 、EC 、DH ，根据tan DE BC BAE AE AC∠==列出关于x 的方程，解方程即可得出BC ．解：连接GD ，并延长交BC 于点H ，∵GF ⊥CF ，DE ⊥CF ，HC ⊥FC ，∴GF DE HC ∥∥，∵GF =DE ，∴四边形DEFG 为平行四边形，∵∠GFE =90°，∴四边形DEFG 为矩形，∴DG =EF ，∵1m AE =， 1.5m AF =，∴ 2.5m DG EF AE AF ==+=，∵∠DEC =∠EDH =∠ECH =90°，∴四边形DECH 为矩形，∴∠DHC =90°，DH =CE ，DE =CH =1.5m ，∴∠DHB =90°，∵∠BGH =45°，∴∠GBH =45°，∴∠BGH =∠GBH ，∴GH =BH ，设BC =x ，则BH =x -1.5，∴GH =BH =x -1.5，∴EC =DH =GH -DG =x -1.5-2.5=x -4，∴143AC AE EC x x =+=+-=-，∵tan DE BC BAE AE AC ∠==，∴1.513x x =-，解得：9x =，即楼高BC 为9m ．本题主要考查了矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，根据tan DE BC BAE AE AC∠==列出关于x 的方程，是解题的关键．23．(1)见解析(2)O 的半径为【解析】（1）根据矩形的性质得出∠ABC =90°，由等腰三角形的性质得出∠EAO =∠AEO ，∠CEB =∠ACB ，证出∠OEB =90°，则可得出结论；（2）证明△BCE 为等边三角形，由等边三角形的性质得出∠CBE =60°，CB =BE =6，由直角三角形的性质可得出答案．（1）证明：连接OE ，∵四边形ABCD 是矩形，∴90ABC ∠=︒，∵OA OE =，BE BC =，∴EAO AEO ∠=∠，CEB ACB ∠=∠，∴90ACB CAB AEO CEB ∠+∠=∠+∠=︒，∴90OEB ∠=︒，∵OE 为O 的半径，∴BE 是O 的切线；（2）解：∵30CAB ∠=︒，90ABC ∠=︒，∴60ACB ∠=︒，∵BC BE =，∴BCE 为等边三角形，∴60CBE ∠=︒，6CB BE ==，∴30OBE ∠=︒，∴tan 30OE BE =︒=∴6OE ==O 的半径为本题考查了切线的判定，矩形的性质、直角三角形的边角关系以及特殊锐角三角函数值，掌握直角三角形的边角关系以及矩形、等腰三角形的性质是解题的关键．24．(1)见解析(2)13【解析】（1）由折叠的性质得90AFE D ∠=∠=︒，进而得出BAF CFE ∠=∠，即可证明△ABF ∽△FCE ；（2）设DE x =，则3EC x =-，由折叠的性质知，EF DE x ==，5AF AD ==，利用勾股定理求出BF ，进而求出CF ，在△CEF 中根据勾股定理列方程求出x ，则tan DE DAE AD∠=．（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴90B C D ∠=∠=∠=︒，由折叠的性质知，90AFE D ∠=∠=︒，∴90CFE AFB ∠+∠=︒，90BAF AFB ∠+∠=︒，∴BAF CFE ∠=∠．在△ABF 和△FCE 中，BAF CFE B C ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩，∴△ABF ∽△FCE ；（2）解：∵矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝5，∴3DC AB ==，5BC AD ==，设DE x =，则3EC x =-，由折叠的性质知，EF DE x ==，5AF AD ==，由勾股定理得，4BF ===，∴541FC BC BF =-=-=，在△CEF 中，由勾股定理得：222EF EC CF =+，即()22231x x =-+，解得53x =，∴53DE =，∴511tan 353DE DAE AD ∠==⨯=．本题考查矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定，勾股定理，三角函数解直角三角形等知识点，利用折叠的性质得出90AFE D ∠=∠=︒，EF DE =，AF AD =是解题的关键．。
人教版初3数学9年级下册 第28章(锐角三角函数)正切函数专题练习(含答案)
人教版九年级数学下册第二十八章锐角三角函数之正切函数专题练习一、选择题1.如图，第一象限的点P的坐标是(a，b)，则tan ∠POx等于( )A．abB．baC．aa2+b2D．ba2+b22.如图，点A(t,3)在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝2，则t的值是( )A． 1B． 1.5C． 2D． 33.在直角坐标系xOy中，点P(4，y)在第四象限内，且OP与x轴正半轴的夹角的正切值是2，则y 的值是( )A． 2B． 8C．－2D．－84.正比例函数y＝kx的图象经过点(3,2)，则它与x轴所夹锐角的正切值是( )A．23B．32C．132D．1335.根据图中的信息，经过估算，下列数值与tanα值最接近的是( )A． 0.26B． 0.43C． 0.90D． 2.236.如图，在2×3的正方形网格中，tan ∠ACB的值为( )A．223B．2105C．12D． 27.如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形顶点，⊙O的半径为1，P是⊙O上的点，且位于右上方的小正方形内，则tan ∠APB等于( )A． 1B．3C．33D．128.如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tan B′的值为( )A．12B．13C．14D．249.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝2，AC＝1，则tan A的值为( )A．12B．32C．33D．310.如图，E在矩形ABCD的边CD上，AB＝2BC，则tan ∠CBE＋tan ∠DAE的值是( )A． 2B． 2＋3C． 2－3D． 2＋2311.在Rt△ABC中，∠A＝90°，如果把这个直角三角形的各边长都扩大2倍，那么所得到的直角三角形中，∠B的正切值( )A．扩大2倍B．缩小2倍C．扩大4倍D．大小不变12.比较tan 20°，tan 50°，tan 70°的大小，下列不等式正确的是( )A． tan 70°＜tan 50°＜tan 20°B． tan 50°＜tan 20°＜tan 70°C． tan 20°＜tan 50°＜tan 70°D． tan 20°＜tan 70°＜tan 50°二、填空题13.如图，P(12，a)在反比例函数y＝60图象上，PH⊥x轴于H，则tan ∠POH的值为__________．x14.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C对边，如果2b＝3a，则tan A＝__________.15.在一个直角三角形中，如果各边的长度都扩大4倍，那么它的两个锐角的正切值__________．16.已知∠B是△ABC中最小的内角，则tan B的取值范围是____________．17.比较大小：tan 50°________tan 48°.三、解答题18.如图，在平面直角坐标系中，已知点B(4,2)，BA⊥x轴于A.求tan ∠BOA的值．19.如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝6，S△ABC＝12.试求tan B的值．答案解析1.【答案】B【解析】如图因为第一象限的点P的坐标是(a，b)，所以tan ∠POx＝ba.故选B.2.【答案】B【解析】如图，tanα＝ABOB ＝2，即3t＝2，解得t＝1.5.故选B.3.【答案】D【解析】如图，∵点P(4，y)在第四象限内，∴OA＝4，PA＝－y又OP与x轴正半轴的夹角的正切值是2，∴tan ∠AOP＝2，∴PAOA＝2，∴－y＝2×4，∴y＝－8.故选D.4.【答案】A【解析】如图，过A作AB⊥x轴于B，∵A(3,2)，∴AB＝2，OB＝3，∵正比例函数y＝kx的图象经过点(3,2)，∴它与x轴所夹锐角的正切值是tan ∠AOB＝ABOB ＝23，故选A.5.【答案】B【解析】如图，AB≈2.6，OB＝6，tanα＝ABOB ≈2.66≈0.43.故选B.6.【答案】D【解析】如图，过A作AD⊥BC于D，设每个小正方形边长为1，在Rt△ACD中，AD＝2，CD＝1，则tan ∠ACB＝ADCD＝2，故选D.7.【答案】A【解析】∵A、B、O是小正方形顶点，∴∠AOB＝90°，∴∠APB＝12∠AOB＝45°，∴tan ∠APB＝1.故选A.8.【答案】B【解析】设每个小正方形边长为1，过C点作CD⊥AB，垂足为D.根据旋转性质可知，∠B′＝∠B.在Rt△BCD中，CD＝1，BD＝3，故tan B＝CDBD ＝13，则tan B′＝tan B＝13.故选B.9.【答案】D【解析】∵AB＝2，AC＝1，∴CB＝22−12＝3，∴tan A＝BCAC＝3，故选D.10.【答案】【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴tan ∠CBE＝CEBC ，tan ∠DAE＝DEAD，∵AD＝BC，CE＋DE＝CD＝AB＝2AD，∴tan ∠CBE＋tan ∠DAE＝CEBC ＋DEAD＝CDAD＝2ADAD＝2.故选A.11.【答案】D【解析】把这个直角三角形的各边长都扩大2倍，那么所得到的直角三角形与原来的三角形相似，则∠B的大小不变，则∠B的正切值不变．故选D.12.【答案】C【解析】由锐角的正切值随角增大而增大，得tan 20°＜tan 50°＜tan 70°，故C符合题意，故选C.13.【答案】512【解析】∵P(12，a)在反比例函数y＝60x图象上，∴a＝6012＝5，∵PH⊥x轴于H，∴PH＝5，OH＝12，∴tan ∠POH＝512.14.【答案】23【解析】∵∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C对边，∴tan A＝ab，∵2b＝3a，∴a b ＝23，∴tan A ＝a b ＝23.15.【答案】不变【解析】∵锐角的正切值是该角的对边与邻边的比，∴当各边都扩大为原来的4倍时，比值不变．16.【答案】0＜tan B ≤3【解析】根据三角形的内角和定理，易知三角形的最小内角不大于60°.根据题意，知：0°＜∠B ≤60°.又tan 60°＝3，故0＜tan B ≤3.17.【答案】＞【解析】根据锐角三角函数的增减性：正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)，∵50°＞48°，∴tan 50°＞tan 48°.18.【答案】解 tan ∠BOA ＝AB OA ＝24＝12.【解析】19.【答案】解 如图，过点A 作AD ⊥BC 的延长线于D ，S △ABC ＝12BC ·AD ＝12×6×AD ＝12，解得AD ＝4，在Rt △ABD 中，BD ＝AB 2−AD 2＝82−42＝43，tan B ＝AD BD ＝443＝33.【解析】过点A作AD⊥BC的延长线于D，利用三角形的面积求出AD，再利用勾股定理列式求出BD，然后根据锐角的正切值等于对边比邻边列式计算即可得解．。
第28章 锐角三角函数 练习 2022--2023学年人教版九年级数学下册
第28章锐角三角函数（练习）-人教版九年级下册一．选择题1．正方形网格中，∠AOB如图所示放置（点A，C均在网格的格点上，且点C在OB上），则cos∠AOB的值为（）A．B．C．D．2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝9，则AC的长为（）A．6B．2C．3D．93．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，则sin B＝（）A．B．2C．D．4．如图所示，河堤横断面迎水坡AB坡比是1：2，堤高BC＝4m（）A．8B．16C．4D．45．如图所示，是由小正方形构成的4×4网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A，P，C，D均在格点上，则∠AOB和∠COD的大小关系为（）A．∠AOB＞∠COD B．∠AOB＝∠COD C．∠AOB＜∠COD D．无法确定6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，下列各式中，正确的是（）A．sin A＝B．cos A＝C．tan A＝D．cot A＝7．如图，已知Rt△ABC，CD是斜边AB边上的高（）A．CD＝AB•tan B B．CD＝AD•cot A C．CD＝AC•sin B D．CD＝BC•cos A 8．若tan A＝2，则∠A的度数估计在（）A．在0°和30°之间B．在30°和45°之间C．在45°和60°之间D．在60°和90°之间9．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，下列的三角函数对应正确的是（）A．sin∠BAD＝B．cos∠BAD＝C．sin∠CAD＝D．tan∠CAD＝10．如图，小华在课外时间利用仪器测量红旗的高度，从点A处测得旗杆顶部B的仰角为α，若AD为h米，则红旗的高度BE为（）A．（m tanα+h）米B．（+h）米C．m tanαD．米二．填空题11．计算：cos30°+sin60°＝．12．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若∠A＝60°，则sin∠ABC＝．13．已知锐角A满足tan（90°﹣A）＝，则∠A＝．14．小明沿着坡比为1：2的山坡向上走了10m，则他升高了cm．15．某学校准备改善原有户外楼梯AB的安全性能，已知原楼梯长为6米，坡角∠BAC的度数为30°（i为铅直高度与水平宽度的比）则楼梯底部A向外延伸的长度为米．（结果精确到0.1，参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73）三．解答题16．黄河是中华文明最主要的发源地，中国人称其为“母亲河”．为落实黄河文化的传承弘扬，某校组织学生到黄河某段流域进行研学旅行．某兴趣小组在只有米尺和测角仪的情况下（不能到对岸）如图，已知该段河对岸岸边有一点A，测得∠ABC＝65°，∠ACB＝45°（结果精确到1m，参考数据sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）17．一架飞机沿水平直线飞行，在点C处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为30°，面向AB方向继续飞行5米至点D处，已知建筑物AB的高为3米，求飞机飞行的高度（结果精确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）．18．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，tan C＝，BC＝12．（1）求DC边的长；（2）求cos B的值．19．若商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式动扶梯，如图所示，扶梯AB的坡度i为1：．改造后的斜坡式动扶梯的坡角∠ACB为15°．（1）请你求出AD的长度；（2）请你计算改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27）20．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点D在BC延长线上（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若AC是∠BAD的平分线，sin B＝，BC＝4。
人教版九年级数学下册第28章：锐角三角函数 全章测试含答案
人教版初中数学九年级下册第28章《锐角三角函数》全章测试一、选择题1. 在直角三角形中，如果各边都扩大1倍，则其锐角的三角函数值( )A. 都扩大1倍B.都缩小为原来的一半C.都没有变化D. 不能确定2．Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若BC ＝4，,32sin =A 则AC 的长为( )A ．6B ．52C ．53D ．132 3.已知β为锐角，cos β≤21，则β的取值范围为( ) A.30°≤β ＜90° B. 0°＜β≤60° C. 60°≤β＜90° D. 30°≤β＜60° 4．化简：140tan 240tan 2+-︒︒ 的结果为( )A.1+tan40°B. 1－tan40°C. tan40°－1D. tan 240°+1 5．△ABC 中，若AB ＝6，BC ＝8，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为( )A ．312B ．12C ．324D ．3486．如图,△ABC 中,,90︒=∠C AD 是BAC ∠的角平分线,交BC 于点D ,那么CDACAB -=( )（A ）BAC ∠sin （B ）BAC ∠cos （C ）BAC ∠tan （D ）无法确定7．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，弦AD 、BC 相交于P 点，那么ABDC的值为( )A ．sin ∠APCB ．cos ∠APC C ．tan ∠APCD ．APC∠tan 18．铁路路基的横断面是一个等腰梯形，若腰的坡度为2∶3，顶宽为3m ，路基高为4m ，则路基的下底宽应为( )A ．15mB ．12mC ．9mD ．7m 9． 已知α是锐角，且sin α+cos α=332,则sin α·cos α值为( ) A. 32 B. 23 C. 61D. 110．P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B 点，若∠APB ＝2，⊙O 的半径为R ，则AB 的长为( )A ．ααtan sin RB ．ααsin tan R C ．ααtan sin 2R D ．ααsin tan 2R二、填空题11. 计算：1sin 60cos302-= . 12.ABC △中，90C =∠，若1tan 2A =，则sin ______A =13. 已知山坡的坡度i =1，则坡角为________．14. 在△ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝60°，若D 是AC 边中点，则tan ∠DBC 的值为______． 15. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝10，若△ABC 的面积为3350，则∠A ＝______度． 第6题 第7题16. 菱形的两条对角线长分别为23和6，则菱形的相邻的两内角分别为_________.17.如图，已知直线1l ∥2l ∥3l ∥4l ，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，则sin α= ．18. 如图所示，四边形ABCD 中，∠B ＝90°，AB ＝2，CD ＝8，AC ⊥CD ，若,31s i n =∠A C B 则cos ∠ADC ＝______．19.如图，小明同学在东西方向的环海路A 处，测得海中灯塔P 在北偏东60°方向上，在A 处东500米的B 处，测得海中灯塔P 在北偏东30°方向上，则灯塔P 到环海路的距离PC ＝ 米（用根号表示）． 20.在数学活动课上，小敏，小颖分别画了△ABC •和△DEF ，数据如图7，如果把小敏画的三角形面积记作ABC S ∆，小颖画的三角形面积记作DEF S ∆，那么你认为小敏和小颖画的两个三角形的面积的大小关系是ABC S ∆ DEF S ∆.(填“＞,＜,或＝”) 三、解答题 21.计算:(1) 200822)45cot (30cot 60tan 60cot 30sin 2︒-+︒︒-︒+︒ (2) 130cos 260sin 60tan 45tan 2+︒-︒+︒-︒ (3)已知α是锐角，且sin (α+15°)=32，求8 －4cos α—( 2 －1)0+tan α的值． 22. 在Rt △ABC 中，∠C = 90°，a =3 ，c =5，求sin A 和tan A 的值.23由于保管不慎，小明把一道数学题染上了污渍，变成了“如图，在△ABC 中∠A =30°，tan B = ▲，AC =AB 的长”。
人教版初3数学9年级下册 第28章(锐角三角函数)质量检测试卷B (含解析)
人教版九年级（下）第二十八章锐角三角函数检测试卷A(时间120分钟，满分120分)一、选择题（共10小题；每小题3分，共30分）1. 在Rt△ABC中，∠C=90∘，CD是高，如果AB=m，∠A=α，那么CD的长为( )A. m⋅sinα⋅tanαB. m⋅sinα⋅cosαC. m⋅cosα⋅tanαD. m⋅cosα⋅cotα2. 在Rt△ABC中，cos A=12，那么sin A的值是( )A. 22B. 32C. 33D. 123. 如图，河堤横断面迎水坡AB的坡度是1:2，堤高BC=4 m，则坡面AB的长度是( )A. 8 mB. 16 mC. 45 mD. 43 m4. 如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4 m．如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4 m，那么相邻两树间的坡面距离为( )A. 5 mB. 6 mC. 7 mD. 8 m5. 将一张矩形纸片ABCD（如图）那样折起，使顶点C落在Cʹ处，测量得AB=4，DE=8．则sin∠CʹED为( )A. 2B. 12C. 22D. 326. 如图，一渔船在海岛A南偏东20∘方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为103海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80∘方向向海岛C靠近，同时，从A处出发的救援船沿南偏西10∘方向匀速航行，30分钟后，救援船在海岛C处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为( )A. 103海里/小时B. 15海里/小时C. 53海里/小时D. 30海里/小时7. 规定：sin(−x)=−sin x，cos(−x)=cos x，cos(x+y)=cos x cos y−sin x sin y．给出以下四个结论：；（1）sin(−30∘)=−12（2）cos2x=cos2x−sin2x；（3）cos(x−y)=cos x cos y+sin x sin y；．（4）cos15∘=6−24其中正确的结论的个数为( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8. 如图，Rt△AOB中，∠AOB=90∘，OA在x轴上，OB在y轴上，点A，B的坐标分别为(3,0)，(0,1)，把Rt△AOB沿着AB对折得到Rt△AOʹB，则点Oʹ的坐标为( )A. B. C. D.9. 如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，点D为AB的中点，AC=3，cos A=1，将△DAC沿3着CD折叠后，点A落在点E处，则BE的长为( )A. 5B. 42C. 7D. 5210. 如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则图中∠ABC的余弦值是( )A. 2B. 255C. 12D. 55二、填空题（共6小题；每小题3分，共18分）11. 某坡面的坡度是3:1，则坡角α是度．12. 如图，在Rt△ABC中，AC=2，BC=1，则tanα=．13. 在△ABC中，若∣sin A−12∣+cos=0，则∠C的度数是．14. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，则：sin A=；sin B=；cos A=；cos B=；tan A=；tan B=．15. 如图，王师傅在楼顶上的点A处测得楼前一棵树CD的顶端C的俯角为65∘，水平距离BD=10 m，楼高AB=24 m，则树高CD约为（精确到0.1 m）．16. 一个含有30∘角的三角板与一个宽为4 cm的纸条如图①所示的方式放置，∠A=30∘，∠ACB=90∘，三角板绕点C顺时针旋转45度，点B恰好落在纸条的边上（如图②），则AC=cm．三、解答题（共9小题；共72分）17. （8分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，∠B=60∘，AB=6，解这个直角三角形．18. （8分）当我们进入高中后，将会学到如下三角函数公式：tan(A+B)=tan A+tan B1−tan A tan B ，tan(A−B)=tan A−tan B1+tan A tan B．例如：tan75∘=tan(30∘+45∘)=tan30∘+tan45∘1−tan30∘⋅tan45∘=33+11−33×1=3+33−3=3+2.（1）试仿照例题，求出 tan15∘ 的准确值；（2）根据所学知识，请你巧妙地构造一个合适的直角三角形，求出 tan15∘ 的准确值（要求分母有理化），和（1）中的结论进行比较．19. （8分）如图，锐角 △ABC 中，AB =10 cm ，BC =9 cm ，△ABC 的面积为 27 cm 2，求 tanB 的值．20. （8分）计算：（1）2cos45∘−32tan30∘⋅cos30∘+sin 260∘；（2）4sin30∘tan60∘−tan45∘−tan 260∘．21. （8分）如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口 C 处测得教学楼顶部 D处的仰角为 18∘，教学楼底部 B 处的俯角为 20∘，教学楼的高 BD =21 m ．求实验楼与教学楼之间的距离 AB （结果保留整数）．参考数据：tan18∘≈0.32，tan20∘≈0.36．22. （8分）为庆祝改革开放 40 周年，某市举办了灯光秀，某教学兴趣小组为测量平安金融中心AB 的高度，他们在地面 C 处测得另一幢大厦 DE 的顶部 E 处的仰角 ∠ECD =32∘．登上大厦 DE 的顶部 E 处后，测得平安中心 AB 的顶部 A 处的仰角为 60∘，（如图）．已知 C ，D ，B 三点在同一水平直线上，且 CD =400 米，DB =200 米．（结果取整数）参考数据：sin32∘≈0.53，cos32∘≈0.85，tan32∘≈0.62，2=1.41，3=1.73．（1）求大厦DE的高度；（2）求平安金融中心AB的高度．23. （8分）如图，坡AB的铅直高度为63，坡的水平长度为6，求坡度及坡角的大小．24. （8分）计算：cot30∘−cos45∘．sin60∘−tan45∘25.（8分）如图，在△ABC中，∠B=45∘，∠C=75∘，夹边BC的长为6，求△ABC的面积．答案第一部分1. B 2. B 3. C 4. B 5. D【解析】由 tan A =BCAC ，得 tan A =23．6. D【解析】∵∠CAB =10∘+20∘=30∘，∠CBA =80∘−20∘=60∘，∴∠C =90∘， ∵AB =103 海里，∴AC =AB ⋅cos30∘=15 海里，∴ 救援船航行的速度为 15÷3060=30（海里/小时）．7. C【解析】（1）sin (−30∘)=−sin30∘=−12，故此结论正确；（2）cos 2x =cos (x +x )=cos x cos x−sin x sin x =cos 2x−sin 2x ，故此结论正确；（3）cos(x−y )=cos[x +(−y )]=cos x cos(−y )−sin x sin(−y )=cos x cos y +sin x sin y,故此结论正确；（4）cos15∘=cos(45∘−30∘)=cos45∘cos30∘+sin45∘sin30∘=22×32+22×12=64+24=6+24,故此结论错误．8. B【解析】连接 OOʹ，作 OʹH ⊥OA 于 H ．在 Rt △AOB 中，∵tan ∠BAO =OBOA =32， ∴∠BAO =30∘，由翻折可知，∠BAOʹ=30∘， ∴∠OAOʹ=60∘， ∵AO =AOʹ，∴△AOOʹ 是等边三角形， ∵OʹH ⊥OA ， ∴OH =32， ∴OHʹ=3OH =32，∴9. C【解析】如图，连接 AE ，∵AC =3，cos ∠CAB =13， ∴AB =3AC =9，由勾股定理得，BC =AB 2−AC 2=62， ∵∠ACB =90∘，点 D 为 AB 的中点， ∴CD =12AB =92，∴S △ABC =12×3×62=92，∵ 点 D 为 AB 的中点，∴S △ACD =12S △ABC =922，由翻转变换的性质可知，S 四边形ACED =92，AE ⊥CD ，则 12×CD ×AE =92，解得，AE =42，∴AF =22，由勾股定理得，DF =AD 2−AF 2=72， ∵AF =FE ，AD =DB ， ∴BE =2DF =7．10. D【解析】∵ 由图可知，AC 2=22+42=20，BC 2=12+22=5，AB 2=32+42=25， ∴△ABC 是直角三角形，且 ∠ACB =90∘， ∴cos ∠ABC =BCAB =55．第二部分11. 6012.1213. 90∘【解析】∵ 在 △ABC 中，∣sin A−12∣+cos =0，∴sin A =12，cos B =12， ∴∠A =30∘，∠B =60∘， ∴∠C =180∘−30∘−60∘=90∘．14. 45，35，35，45，43，3415. 2.6 m【解析】如图，过点 C 作 CE ⊥AB 于点 E ，则 EC =BD =10 m ．由题意可知 ∠ACE =65∘，在 Rt △AEC 中，AE =EC ⋅tan65∘≈21.45(m)，故 CD =EB =AB−AE ≈2.6(m)．16. 46【解析】如图，过点 B 作 BD 垂直于纸条，垂足为 D ，所以 BD =4 cm ，在 Rt △BDC 中，BC =2BD =42 cm ，在 Rt △ABC 中，∠A =30∘，tan A =BC AC，所以 AC =BCtan A =4233=46(cm)．第三部分17. ∠A =90∘−60∘=30∘，在 Rt △ABC 中，∠A =30∘， ∴ BC =12AB =3，∴ AC =AB 2−BC 2=62−32=33．18. （1）tan15∘=tan(45∘−30∘)=tan45∘−tan30∘1+tan30∘⋅tan45∘=1−331+33×1=3−33+3=2−3.（2） 如图：tan15∘=tan ∠BDC =BCDC =a 3a +2a=2−3．通过比较可知，所得结果一样．19. 过点 A 作 AH ⊥BC 于 H ，∵S △ABC =27 cm 2， ∴12×9×AH =27， ∴AH =6 cm ， ∵AB =10 cm ，∴BH =AB 2−AH 2=102−62=8(cm)， ∴tan B =AHBH =68=34．20. （1） 原式=2×22−32×33×32+=2−34+34=2. （2） 原式=4×123−1−(3)2=3−2.21. 过点 C 作 CM ⊥BD 于点 M ，则 CM ∥AB ，又因为 AC ∥BD ，所以四边形 ABMC 是平行四边形，AB =CM ，在 Rt △CDM 中，因为 tan ∠DCM =DMCM ，所以 DM =CM tan ∠DCM =CM tan18∘；在 Rt △BCM 中，因为 tan ∠BCM =BMCM ，所以 BM =CM tan ∠BCM =CM tan20∘，因为 DM +BM =BD ，所以 CM tan18∘+CM tan20∘=21(m)，解得：CM =21tan18∘+tan20∘≈31(m)，则 AB =CM =31 m ．答：AB 的长约为 31 m ．22. （1） ∵ 在 Rt △DCE 中，∠CDE =90∘，∠ECD =32∘ 、CD =400， ∴DE =CD ⋅tan ∠ECD ≈400×0.62=248（米）．答：大厦 DE 的高度约为 248 米．（2） 如图，作 EF ⊥AB 于 F ，由题意，得：EF =DB =200，BF =DE =248，∠AEF =60∘．在 Rt △AFE 中，∵∠AFE =90∘，∴AF =EF ⋅tan ∠AFE ≈200×1.73=346，∴AB =BF +AF =248+246=594（米）．答：平安金融中心AB的高度约为594米．23. 坡度=i=tan A=636=3，坡角=60∘．24. 原式=3−2232−1=(23−2)(3+2)(3−2)(3+2)=6+22−43−6.25. 如图，作CD⊥AB于点D，在Rt△BCD中，CD=BC⋅sin B=6×22=32，BD=BC⋅cos B=6×22=32，∴CD=BD，∴∠BCD=∠B=45∘，在Rt△ACD中，∠ACD=75∘−45∘=30∘，∴tan30∘=ADCD，∴AD=32×33=6，∴S△ABC=12×(32+6)×32=9+33．。
人教版九年级数学下册第28章《锐角三角函数》单元测试【含答案】
人教版九年级数学下册第28章《锐角三角函数》单元测试一．选择题（共10小题，满分30分）1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cos A＝（ ）A．B．C．D．2．在边长相等的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上（ ）A．B．C．D．3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，那么tan B的值是（ ）A．B．C．D．4．∠β为锐角，且2cosβ﹣1＝0，则∠β＝（ ）A．30°B．60°C．45°D．37.5°5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，则tan A的值是（ ）A．B．C．D．6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，则sin B＝（ ）A．B．2C．D．7．若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin42°16′，按键顺序正确的是（ ）A．B．C．D．8．如图，AD是△ABC的高，AB＝4，tan∠CAD＝，则BC的长为（ ）A． +1B．2+2C．2+1D． +49．如图，半径为3的⊙O内有一点A，OA＝，当∠OPA最大时，S△OPA等于（ ）A．B．C．D．110．如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，∠C＝42°，AB＝60（ ）A．60sin50°B．C．60cos50°D．60tan50°二．填空题（共10小题，满分30分）11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝ ．12．用科学计算器计算： tan16°15′≈ （结果精确到0.01）13．在△ABC中，若，∠A，∠B都是锐角 三角形．14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，那么AB的长为 ．15．比较大小：sin80° tan50°（填“＞”或“＜”）．16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos A＝ ．17．在△ABC中，若|sin A﹣|+（﹣cos B）2＝0，则∠C的度数是 ．18．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，AC＝6，则tan A的值为 ．19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，连接CD，过点B作CD的垂线，tan A＝，则cos∠DBE的值为 ．20．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1：（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），水平宽度AC＝m 米．三．解答题（共7小题，满分6021．已知cos45°＝，求cos21°+cos22°+…+cos289°的值．22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5．求sin A，cos A和tan A．23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90˚，BC＝6，求AC的长和sin A的值．24．计算：cos60°﹣2sin245°+tan230°﹣sin30°．25．计算：（1）；（2）sin245°+cos245°+tan30°tan60°﹣cos30°．26．2022年8月21日，重庆市北碚区缙云山突发山火，山火无情，各地消防迅速出动，冲锋在前，然后沿着坡比为5：12的斜坡前进104米到达B处平台，继续前进到达C，沿斜坡CD前行800米到达着火点D．（1）求着火点D距离山脚的垂直高度；（2）已知消防员在平地的平均速度为4m/s，求消防员通过平台BC的时间．（保留一位小数）（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈，≈1.732）27．如图，已知∠ABC和射线BD P（点P与点B不重合），且点P到BA、BC的距离为PE、PF．（1）若∠EBP＝40°，∠FBP＝20°，PB＝m；（2）若∠EBP＝α，∠FBP＝β，α，β都是锐角，并给出证明．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分）1．解：如图，∵∠C＝90°，∴设AC＝5k，AB＝13k，根据勾股定理得，BC＝＝，所以，sin A＝＝＝．故选：D．2．解：设点C到AB的距离为h，由勾股定理可知：AC＝＝2＝，由于S△ABC＝32﹣×6×2﹣×7×3＝9﹣8﹣3＝4．∴AB•h＝4，∴h＝，∴sin∠BAC＝＝，∴cos∠BAC＝，故选：A．3．解：∵∠C＝90°，∴tan B＝＝＝．故选：D．4．解：∵∠β为锐角，且2cosβ﹣1＝8，∴cosβ＝，∴∠β＝60°．故选：B．5．解：∵∠C＝90°，AB＝5，∴AC＝＝＝4，∴tan A＝＝，故选：D．6．解：∵∠C＝90°，tan A＝2，∴BC＝2AC，∴，∴，故C正确．故选：C．7．解：若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin42°16′，按键顺序正确的是．故选：C．8．解：∵AD是△ABC的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ABD中，cos∠BAD＝，∴cos60°＝，sin60°＝，∴AD＝4cos60°＝7×＝5＝4，在Rt△ADC中，tan∠CAD＝，∴＝，解得CD＝1，∴BC＝BD+CD＝2+1．故选：C．9．解：如图所示：∵OA、OP是定值，∴PA⊥OA时，∠OPA最大，在直角三角形OPA中，OA＝，∴PA＝＝，∴S△OPA＝OA•AP＝××＝．故选：B．10．解：过点A作AD⊥BC于点D，如图所示：∵∠BAC＝88°，∠C＝42°，∴∠B＝180°﹣88°﹣42°＝50°，在Rt△ABD中，AD＝AB×sin60×sin50°，∴点A到BC的距离为60sin50°，故A正确．故选：A．二．填空题（共10小题，满分30分）11．解：由sin A＝知，可设a＝6x，b＝3x．∴tan A＝．故答案为：．12．解： tan16°15′≈0.71，故答案为：4.71．13．解：∵，∴sin A＝，cos B＝，∴∠A＝60°，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形．故答案为：等边．14．解：∵cos A＝＝，AC＝7，∴AB＝＝8，故答案为：8．15．解：∵tan50°＞tan45°，tan45°＝1，∴tan50°＞1，又sin80°＜2，∴sin80°＜tan50°；故答案为：＜．16．解：∵在△ABC中，∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴sin B＝cos A＝．故答案为：．17．解：∵|sin A﹣|+（2＝2，∴sin A﹣＝4，，即sin A＝，cos B＝，∴∠A＝30°，∠B＝45°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°．故答案为：105°．18．解：在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∴AB＝2CD＝10，∵AC＝6，∴BC＝＝＝8，∴tan A＝＝＝，故答案为：．19．解：过点C作CF⊥AB，垂足为F，在Rt△ABC中，AC＝3a＝，∴BC＝4a，AB＝5a，∵D是AB的中点，∴CD＝AB＝a，∵△ABC的面积＝AB•CF＝，∴AB•CF＝AC•CB，∴5aCF＝3a×4a，∴CF＝a，∴cos∠DCF＝＝，∵BE⊥CD，∴∠E＝90°，∴∠EDB+∠EBD＝90°，∵∠FCD+∠CDF＝90°，∠CDF＝∠BDE，∴∠EBD＝∠DCF，∴cos∠DBE＝cos∠DCF＝，故答案为：．20．解：∵河坝横断面迎水坡AB的坡比是1：，AC＝m，∴＝，∴BC＝AC＝＝3（m），在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝＝，故答案为：6．三．解答题（共7小题，满分60分）21．解：原式＝（cos21°+cos289°）+（cos22°+cos588°）+…+（cos244°+cos246°）+cos445＝（sin21°+cos51°）+（sin22°+cos22°）+…+（sin844°+cos244°）+cos245＝44+（）2＝44．22．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5．∴AB＝＝＝13，∴sin A＝＝，cos A＝＝，tan A＝＝．23．解：∵△ABC中，tan A＝，∴＝，∴AC＝8，∴AB＝＝＝10，∴sin A＝＝24．解：原式＝﹣4×（）6+×（）2﹣＝﹣2×+×﹣＝﹣2+﹣＝﹣．25．解：（1）＝﹣4﹣7+1＝﹣4；（2）sin645°+cos245°+tan30°tan60°﹣cos30°＝＝＝．26．（1）如图所示，过点B，C，D分别作水平线的垂线，F，G，延长BC交AG于点H，BHGE是矩形，依题意，，AB＝104米，CD＝800米，在Rt△ABE中，，设BE＝8k米，∴AB＝13k，∵AB＝104米，∴k＝8，∴BE＝5×2＝40（米），AE＝12×8＝96（米），在Rt△DCH中，CD＝800米，∴DG＝DH+HG＝DH+BE＝480+40＝520（米），即着火点D距离山脚的垂直高度为520米；（2）依题意，∠DAG＝30°，∴米，∵Rt△DCH中，CH＝cos37°×CD＝≈0.8×800＝640（米），又AE＝96米，∴（米），∵消防员在平地的平均速度为4m/s，∴消防员通过平台BC的时间为（秒）．27．解：（1）在Rt△BPE中，sin∠EBP＝在Rt△BPF中，sin∠FBP＝又sin40°＞sin20°∴PE＞PF；（2）根据（1）得sin∠EBP＝＝sinα＝sinβ又∵α＞β∴sinα＞sinβ∴PE＞PF．。
人教版九年级下册数学第二十八章 锐角三角函数含答案解析
人教版九年级下册数学第二十八章锐角三角函数含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，在⊙O中，E是直径AB延长线上一点，CE切⊙O于点E，若CE=2BE，则∠E的余弦值为（）A. B. C. D.2、如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列线段的比中不等于sinA 的是( )A. B. C. D.3、如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为20m，DE的长为10m，则树AB的高度是（）m．A.20B.30C.30D.404、如图所示，已知：点A（0，0），B（，0），C（0，1）．在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个△B1A2B2，第3个△B2A3B3，…，则第n个等边三角形的边长等于（）A. B. C. D.5、已知Rt△ABC中，∠A=90°，则是∠B的（）A.正切；B.余切；C.正弦；D.余弦6、如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为（）．A. B. C. D.7、如图，在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，则tanB的值是（）A. B. C. D.8、如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=3, AC=4，则sinA的值为（）．.A. B. C. D.9、定义：在等腰三角形中，底边与腰的比叫做顶角的正对，顶角A的正对记作sadA，即sadA＝底边：腰．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝4∠B．则cosB•sadA＝（）A.1B.C.D.10、Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且a：b=3：4，斜边c=15，则b的值是（）A.12B.9C.4D.311、已知tanα=0.3249，则α约为（）A.17°B.18°C.19°D.20°12、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=22.5°，DE垂直平分AB交BC于E，若BE=2 ，则AC=( )A.1B.2C.3D.413、如图，在一块矩形ABCD区域内，正好划出5个全等的矩形停车位，其中EF＝a米，FG＝b米，∠AEF＝30°，则AD等于（）A.（a+ b）米B.（a+ b）米C.（a+ b）米D.（a+ b）米14、如图，平面直角坐标系中，A（8，0），B（0，6），∠BAO，∠ABO的平分线相交于点C，过点C作CD∥x轴交AB于点D，则点D的坐标为（）A.（，2）B.（，1）C.（，2）D.（，1）15、如图，已知A，B，C，D是⊙O上的点，AB⊥CD，OA=2，CD=2 ，则∠D 等于（）A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、图1是一种矩形时钟，图2是时钟示意图，时钟数字2的刻度在矩形ABCD 的对角线BD上，时钟中心在矩形ABCD对角线的交点O上.若，则BC长为________cm（结果保留根号）.17、在三角形ABC中，AB=2，AC= ，∠B=45°，则BC的长________．18、如图，射线OC与x轴正半轴的夹角为30°，点A是OC上一点，AH⊥x轴于H，将△AOH绕着点O逆时针旋转90°后，到达△DOB的位置，再将△DOB沿着y轴翻折到达△GOB的位置，若点G恰好在抛物线y=x2（x＞0）上，则点A 的坐标为________．19、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=3，点D、E分别在AB、AC 上，将△ABC沿DE折叠，点A落在AC边的点F处．若F为CE的中点，则DF 的长为________.20、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4 ，AC=4，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB于点F.若∠AB′F为直角，则AE的长为________.21、小华从斜坡底端沿斜坡走了100米后，他的垂直高度升高了50米，那么该斜坡的坡角为________度22、在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=,则cosA=________.23、如图，ABCD中，E是AD边上一点，AD=4 ，CD=3，ED= ，∠A=45．点P，Q分别是BC，CD边上的动点，且始终保持∠EPQ=45°．将CPQ沿它的一条边翻折，当翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形时，线段BP的长为________．24、把直尺、三角尺和圆形螺母按如图所示放置于桌面上，∠CAB=60°，若量出AD=6cm，则圆形螺母的外直径是________.25、已知：正方形ABCD的边长为3，点P是直线CD上一点，若DP=1，则tan∠BPC的值是________．三、解答题(共5题，共计25分)26、计算：+（tan60﹣1）0+| ﹣1|﹣2cos30°．27、教育部布的《基础教育课程改革纲要》要求每位学生每学年都要参加社会实践活动，某学校组织了一次测量探究活动，如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度1：，AB＝10米，AE＝21米，求广告牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，tan53°≈，cos53°≈0.60）28、如图，B位于A南偏西37°方向，港口C位于A南偏东35°方向，B位于C正西方向. 轮船甲从A出发沿正南方向行驶40海里到达点D处，此时轮船乙从B出发沿正东方向行驶20海里至E处，E位于D南偏西45°方向.这时，E 处距离港口C有多远？（参考数据：tan37°≈0.75，tan35°≈0.70）29、周末，小亮一家在东昌湖游玩，妈妈在湖心岛岸边P处观看小亮与爸爸在湖中划船（如图）.小船从P处出发，沿北偏东60°划行200米到达A处，接着向正南方向划行一段时间到达B处.在B处小亮观测妈妈所在的P处在北偏西37°方向上，这时小亮与妈妈相距多少米（精确到米）？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.41，≈1.73）30、每年的6至8月份是台风多发季节，某次台风来袭时，一棵大树树干AB （假定树干AB垂直于地面）被刮倾斜15°后折断倒在地上，树的项部恰好接触到地面D（如图所示），量得树干的倾斜角为∠BAC＝15°，大树被折断部分和地面所成的角∠ADC＝60°，AD＝4米，求这棵大树AB原来的高度是多少米？（结果精确到个位，参考数据：）参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、B2、D3、B4、A5、A6、D7、A8、C9、B10、A11、B12、B13、A14、A二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、28、。
人教版九年级下《第二十八章锐角三角函数》单元测试题含答案
第二十八章 锐角三角函数一、选择题(每小题3分，共30分) 1．sin60°的值等于( ) A.12 B.22 C.32 D.332．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝4，sin A ＝23，则AB 的长为( )A.83B ．6C ．12D ．8 3．已知α为锐角，且cos(90°－α)＝12，则cos α的值为( )A.33 B.22 C.12 D.324．如图1，点A (t ，3)在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为α，tan α＝32，则t 的值是( )图1A ．1B ．1.5C ．2D ．35．如图2，∠AOB 在正方形网格中，则cos ∠AOB 的值为( )图2A.12B.22C.32D.336．如图3，将△ABC 放在每个小正方形的边长都为1的网格中，点A ，B ，C 均在格点上，则tan A 的值是( )图3A.55 B.105 C ．2 D.127．如图4，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D .若AC ＝5，BC ＝2，则sin ∠ACD 的值为( )图4A.53B.2 55C.52 D.238．如图5，某酒店大门的旋转门内部由三块宽为2米，高为3米的玻璃隔板组成，三块玻璃摆放时夹角相同．若入口处两根立柱之间的距离为2米，则两立柱底端中点到转轴底端的距离为( )图5A.3米 B ．2米 C ．2 2米 D ．3米9．如图6，轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行，在M 处观测到灯塔P 在南偏西22°方向上．航行2小时后到达N 处，观测灯塔P 在南偏西44°方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近的位置，则此时轮船离灯塔的距离约为(参考数据：sin68°≈0.9272，sin46°≈0.7193，sin22°≈0.3746，sin44°≈0.6947)( )图6A ．22.48海里B ．41.68海里C ．43.16海里D ．55.63海里10．如图7，四边形BDCE 内接于以BC 为直径的⊙A ，已知BC ＝10，cos ∠BCD ＝35，∠BCE ＝30°，则线段DE 的长是( )图7A.89 B ．7 3 C ．4＋3 3 D ．3＋4 3 请将选择题答案填入下表：题号 12345678910总分答案第Ⅱ卷 (非选择题 共70分)二、填空题(每小题3分，共18分)11．如图8，在△ABC 中，∠B ＝45°，cos C ＝35，AC ＝5a ，则△ABC 的面积用含a 的式子表示是________．图812．为解决停车难的问题，在一段长56米的路段上开辟停车位，如图9，每个车位是长为5米、宽为2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出________个这样的停车位．(参考数据：2≈1.4)图913．如图10，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4，D 为BC 的中点，点E ，F 在线段AD 上，tan ∠ABC ＝3，则阴影部分的面积是________．图1014．已知△ABC ，若⎪⎪⎪⎪sin A －12与(tan B －3)2互为相反数，则∠C 的度数是________． 15．如图11，已知四边形ABCD 是正方形，以CD 为一边向CD 两旁分别作等边三角形PCD 和等边三角形QCD ，那么tan ∠PQB 的值为________．图1116.如图12，已知点A(5 3，0)，直线y ＝x ＋b(b ＞0)与y 轴交于点B ，连接AB.若∠α＝75°，则b ＝________．图12三、解答题(共52分)17．(5分)计算：cos30°tan60°－cos45°sin45°－sin260°.18．(5分)如图13，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠ABC＝45°，求BC的长及tan C 的值．图1319.(5分)如图14，在半径为1的⊙O中，∠AOB＝45°，求sin C的值．图1420．(5分)如图15，AB是长为10 m，倾斜角为37°的自动扶梯，平台BD与大楼CE垂直，且与扶梯AB的长度相等，在B处测得大楼顶部C的仰角为65°，求大楼CE的高度(结果保留整数)．(参考数据：sin37°≈35，tan37°≈34，sin65°≈910，tan65°≈157)图1521．(7分)如图16，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ABC∶∠BAD＝1∶2，BE∥AC，CE∥BD.(1)求tan∠DBC的值；(2)求证：四边形OBEC是矩形．图1622．(7分)如图17，市防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，设计师提供的方案是：水坝加高1米(EF＝1米)，背水坡AF的坡度i＝1∶1，已知AB＝3米，∠ABE＝120°，求水坝原来的高度．图1723．(9分)阅读下面的材料：小凯遇到这样一个问题：如图18①，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝4，BD＝6，∠AOB＝30°，求四边形ABCD的面积．小凯发现，分别过点A，C作直线BD的垂线，垂足分别为E，F，设AO为m，通过计算△ABD与△BCD的面积和可以使问题得到解决(如图②)．请回答：(1)△ABD 的面积为________(用含m 的式子表示)； (2)求四边形ABCD 的面积．参考小凯思考问题的方法，解决问题：如图③，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AC ＝a ，BD ＝b ，∠AOB ＝α(0°＜α＜90°)，则四边形ABCD 的面积为________(用含a ，b ，α的式子表示)．图1824．(9分)观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题．在锐角三角形ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，过点A 作AD ⊥BC 于点D(如图19①)，则sin B ＝AD c ，sin C ＝ADb ，即AD ＝c sin B ，AD ＝b sin C ，于是c sin B ＝b sin C ，即b sin B ＝csin C ，同理有c sin C ＝a sin A ，a sin A ＝b sin B ，所以a sin A ＝b sin B ＝c sin C. 即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素(至少有一条边)，运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素．根据上述材料，完成下列各题：(1)如图②，△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝75°，BC ＝60，则∠A ＝________°，AC ＝________；(2)如图③，在某次巡逻中，渔政船在C 处测得海岛A 在其北偏西30°的方向上，随后以40海里/时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B 处，此时又测得海岛A 在其北偏西75°的方向上，求此时渔政船距海岛A 的距离AB.(结果精确到0.01海里，6≈2.449)图19详解详析1．C2．B [解析] 由题意可得sin A ＝23＝BCAB.因为BC ＝4，所以AB ＝6.3．D [解析] 因为cos(90°－α)＝12，α为锐角，所以90°－α＝60°，所以α＝30°，所以cos α＝32. 4．C [解析] ∵点A (t ，3)在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为α，tan α＝32，∴tan α＝3t ＝32，∴t ＝2. 5．B [解析] 如图，连接AC .由网格图的特点，易得△ACO 是等腰直角三角形，所以∠AOB ＝45°，所以cos ∠AOB 的值为22.6．D [解析] 如图，连接BD .由网格图的特点可知AD ⊥BD ，由AD ＝2 2，BD ＝2，可得tan A 的值为12.7．A [解析] 在Rt △ABC 中，根据勾股定理可得AB 2＝AC 2＋BC 2＝(5)2＋22＝9，∴AB ＝3.∵∠B ＋∠BCD ＝90°，∠ACD ＋∠BCD ＝90°，∴∠B ＝∠ACD ，∴sin ∠ACD ＝sin B ＝AC AB ＝53.故选A. 8．A [解析] 如图，设转轴底端为A ，两立柱底端的点为B ，C ，BC 的中点为D ，则有AB ＝AC ＝2米，所以AD ⊥BC ，且CD ＝1米，所以AD ＝3米．9．B [解析] 如图，过点P 作P A ⊥MN 于点A ，MN ＝30×2＝60(海里)．∵∠PMN ＝22°，∠PNA ＝44°， ∴∠MPN ＝∠PNA －∠PMN ＝22°， ∴∠PMN ＝∠MPN ， ∴MN ＝PN ＝60海里． ∵∠PNA ＝44°，∴在Rt △NAP 中，P A ＝PN ·sin ∠PNA ≈60×0.6947≈41.68(海里)． 故选B.10．D [解析] 如图，过点B 作BF ⊥DE 于点F .在Rt △CBD 中，∵BC ＝10，cos ∠BCD ＝35，∴DC ＝6，∴BD ＝8.在Rt △BCE 中，BC ＝10，∠BCE ＝30°， ∴BE ＝5.在Rt △BDF 中，∠BDF ＝∠BCE ＝30°，BD ＝8， ∴DF ＝BD ·cos30°＝4 3.在Rt △BEF 中，∠BEF ＝∠BCD ， 即cos ∠BEF ＝cos ∠BCD ＝35，∴EF ＝BE ·cos ∠BEF ＝3，∴DE ＝EF ＋DF ＝3＋4 3. 11．14a 2 12.1713．6 [解析] 由等腰三角形的轴对称性可知阴影部分的面积等于△ABC 的面积的一半．因为BD ＝12BC ＝2，AD ⊥BC ，tan ∠ABC ＝3，所以AD ＝6，所以△ABC 的面积为12，所以阴影部分的面积为6.14．90° [解析] 由题意得sin A ＝12，tan B ＝3，所以∠A ＝30°，∠B ＝60°，所以∠C的度数是90°.15．2－3 [解析] 延长QP 交AB 于点F .∵四边形ABCD 是正方形，△PCD 和△QCD 是以CD 为边的等边三角形， ∴四边形PCQD 是菱形．设正方形ABCD 的边长为a ，则可得PE ＝QE ＝32a ，DE ＝EC ＝12a ，FB ＝12a ， ∴tan ∠PQB ＝FBFQ＝12a a ＋32a＝2－ 3. 16．5 [解析] 设直线y ＝x ＋b (b ＞0)与x 轴交于点C ，易得C (－b ，0)，B (0，b )， 所以OC ＝OB ， 所以∠BCO ＝45°.又因为α＝75°，所以∠BAO ＝30°. 因为OA ＝5 3，所以OB ＝5，所以b ＝5. 17.1418．解：如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D .在Rt △ABD 中，∠B ＝45°， ∵sin B ＝ADAB，∴AD ＝AB ·sin B ＝4×sin45°＝4×22＝2 2， ∴BD ＝AD ＝2 2.在Rt △ADC 中，AC ＝6，由勾股定理，得DC ＝AC 2－AD 2＝62－（2 2）2＝2 7， ∴BC ＝BD ＋DC ＝2 2＋2 7，tan C ＝AD DC ＝2 22 7＝147. 19．解：如图，过点A 作AD ⊥OB 于点D . ∵在Rt △AOD 中，∠AOB ＝45°， ∴OD ＝AD ＝OA ·cos45°＝1×22＝22， ∴BD ＝OB －OD ＝1－22， ∴AB ＝AD 2＋BD 2＝（22）2＋（1－22）2＝2－ 2. ∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC ＝90°，AC ＝2，∴sin C ＝ABAC ＝2－22.20．解：如图，过点B 作BF ⊥AE 于点F ， 则BF ＝DE .在Rt △ABF 中，sin ∠BAF ＝BF AB， 则BF ＝AB ·sin ∠BAF ≈10×35＝6(m)．在Rt △CDB 中，tan ∠CBD ＝CD BD ，则CD ＝BD ·tan65°≈10×157≈21(m)． 则CE ＝DE ＋CD ＝BF ＋CD ≈6＋21＝27(m)．答：大楼CE 的高度约是27 m.21．解：(1)∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD ∥BC ，∴∠ABC ＋∠BAD ＝180°. 又∵∠ABC ∶∠BAD ＝1∶2， ∴∠ABC ＝60°.∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠DBC ＝12∠ABC ＝30°，∴tan ∠DBC ＝tan30°＝33. (2)证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠BOC ＝90°.∵BE ∥AC ，CE ∥BD ，∴∠OBE ＝∠BOC ＝∠OCE ＝90°， ∴四边形OBEC 是矩形．22．解：如图所示，过点E 作EC ⊥BD 于点C ， 设BC ＝x 米．∵∠ABE ＝120°， ∴∠CBE ＝60°. 在Rt △BCE 中， ∵∠CBE ＝60°，∴tan60°＝CE BC ＝3，即CE ＝3x 米． ∵背水坡AF 的坡度i ＝1∶1，∴CF AC＝1. ∵AC ＝(3＋x )米，CF ＝(1＋3x )米， ∴1＋3x 3＋x＝1，解得x ＝3＋1， ∴EC ＝3x ＝(3＋3)米．答：水坝原来的高度为(3＋3)米．23．解：(1)∵AO ＝m ，∠AOB ＝30°，∴AE ＝12m ， ∴△ABD 的面积为12×12m ×6＝32m . 故答案为32m. (2)由(1)得S △ABD ＝32m . 同理，CF ＝12(4－m )， ∴S △BCD ＝12BD ·CF ＝6－32m . ∴S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝6.解决问题：分别过点A ，C 作直线BD 的垂线，垂足分别为E ，F ，设AO 为x .∵∠AOB ＝α，∴AE ＝x ·sin α，∴S △ABD ＝12BD ·AE ＝12b ·x ·sin α. 同理，CF ＝(a －x )·sin α，∴S △BCD ＝12BD ·CF ＝12b ·(a －x )·sin α. ∴S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12b ·x ·sin α＋12b ·(a －x )·sin α＝12ab ·sin α. 故答案为12ab ·sin α. 24．解：(1)60 20 6(2)依题意，得BC ＝40×0.5＝20(海里)．∵CD∥BE，∴∠DCB＋∠CBE＝180°.∵∠DCB＝30°，∴∠CBE＝150°.∵∠ABE＝75°，∴∠ABC＝75°，∴∠A＝45°.在△ABC中，ABsin∠ACB＝BC sin A，即ABsin60°＝20sin45°，解得AB＝10 6≈24.49(海里)．答：渔政船距海岛A的距离AB约为24.49海里．。
人教版九年级数学下册第二十八章： 锐角三角函数 练习(含答案)
第二十八章 锐角三角函数一、单选题1．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=12，BC=5，则sinA 的值为（ ）A ．B ．C ．D ． 2．（2016甘肃省兰州市）在Rt △ABC 中，∠C =90°，sin A =35，BC =6，则AB =（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．103．在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinB=513，则tanA 的值为（ ） A ．513 B ．1213 C ．512 D ．1254．Rt ABC 中，C 90∠=，若BC 2=，AC 3=，下列各式中正确的是 ( ) A ．2sinA 3= B ．2cosA 3= C ．2tanA 3= D ．2cotA 3= 5．如图，过点C （﹣2，5）的直线AB 分别交坐标轴于A （0，2），B 两点，则tan ∠OAB=（ ）A ．25B ．23C ．52D ．326．如图，某超市自动扶梯的倾斜角 为 ，扶梯长 为 米，则扶梯高 的长为（ ）A．米B．米C．米D．米7．聊城流传着一首家喻户晓的民谣：“东昌府，有三宝，铁塔、古楼、玉皇皋．”被人们誉为三宝之一的铁塔，初建年代在北宋早期，是本市现存最古老的建筑．如图，测绘师在离铁塔10米处的点C测得塔顶A的仰角为α，他又在离铁塔25米处的点D测得塔顶A的仰角为β，若tanαtanβ＝1，点D，C，B在同一条直线上，那么测绘师测得铁塔的高度约为(参考≈3.162)()A．15.81米B．16.81米C．30.62米D．31.62米8．若某人沿坡角为α的斜坡前进100m，则他上升的最大高度是（）A．100 αm B．100sinαm C．100cosαm D．100 αm9．某水坝的坡度i=1，坡长AB=20米，则坝的高度为（）A．10米B．20米C．40米D．2010．如图，两建筑物的水平距离为32 m，从点A测得点C的俯角为30°，点D的俯角为45°，则建筑物CD的高约为()A．14 m B．17 m C．20 m D．22 m二、填空题11．2sin45°+2sin60°﹣＝_____． 12．在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =5，BC =3，则sin A = ．13．某同学沿坡比为1： 的斜坡前进了90米,那么他上升的高度是______米14．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上，AB 与CD 相交于点P ，则tan ∠APD 的值为______.三、解答题15．计算：|﹣2|﹣2cos60°+（16）﹣1﹣（π0． 16．如图，为了测得某建筑物的高度AB ，在C 处用高为1米的测角仪CF ，测得该建筑物顶端A 的仰角为45°，再向建筑物方向前进40米，又测得该建筑物顶端A 的仰角为60°．求该建筑物的高度AB ．（结果保留根号）17．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C=45°，sinB=13，AD=1．（1）求BC的长；（2）求tan∠DAE的值．18．如图，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处D（点D与楼底C在同一水平面上）出发，沿斜面坡度为i=1的斜坡DB前进30米到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为53°，求楼房AC的高度（参考数据： 53°≈0.8， 53°≈0.6， 53°≈43，计算结果用根号表示，不取近似值）．答案1．D2．D3．D4．C5．B6．A7．A8．A9．A10．A1112．3513．4514．215．|﹣2|﹣2cos60°+（16）﹣1﹣（π﹣ ）0 =2﹣2×12+6﹣1 =6．16．解：设AM x =米，在Rt AFM ∆中，45AFM ︒∠=，∴FM AM x ==，在Rt AEM ∆中，AM tan EMAEM ∠=，则tan AM EM x AEM ==∠， 由题意得，FM EM EF -=，即40x x -=，解得，60x =+，∴61AB AM MB =+=+答：该建筑物的高度AB为(61+米．17．解：（1）在△ABC 中，∵AD 是BC 边上的高，∴∠ADB=∠ADC=90°。
人教版初3数学9年级下册 第28章(锐角三角函数)测试卷(含答案)
《第二十八章锐角三角函数》测试卷一、选择题（每小题3分，共8题，共24分）1.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，AB=5，则sinB 的值是( )A ．32B ．53C ．43D ．542．若α是锐角，sinα=cos38°，则α 等于（ ） A ．52°B ．62°C ．38°D ．42°3．在△ABC 中，∠C=90°，如果AB=2，BC=1，那么∠A 的度数为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°4.在Rt △ABC 中，∠C=90°，若53sin =A ，则B tan =（ ）A ．43B ．34C ．53D ．355.如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，45A ∠≠︒，则下列比值中不等于sinA 的是（ ）A ．CD ACB ．BD CBC ．CB ABD ．CD CB6．某铁路路基的横断面是一个等腰梯形（如图），若腰的坡比为2：3，路基顶宽3米，高4米，则路基的下底宽为（ ）A ．7米B ．9米C ．12米D ．15米7．如图，用一块直径为4的圆桌布平铺在对角线长为4的正方形桌面上，若四周下垂的最大长度相等，则桌布下垂的最大长度x 为（ ）A1B．2C．1D18ABCD 中，E ，F分别为AD ，CD 的中点，BF 与CE 相交于点H ，直线EN交CB 的延长线于点N ，作CM ⊥EN 于点M ，交BF 于点G ，且CM=CD ，有以下结论：①BF ⊥CE ；②ED=EM ；③tan ∠ENC=34；④CHF DEHF S S ∆=4四边形，其中正确结论的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（每小题3分，共8题，共24分）9.已知，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，AB=10，则cosB 的值为 .10．已知α、β均为锐角，且满足0)1(tan 21sin 2=-+-βα，则α+β= .第1题第5题第6题第8题第7题第13题11.已知∠A 是锐角，若33)15tan(=- A ，则知∠A= .12．在正方形网格中，△ABC 的位置如图所示，则tan C 的值为 .13．半径为2cm 的⊙O 中，弦长为的弦所对的圆心角度数为．14．ABC ∆中，13AB AC ==，10BC =，则tan B = ．15．在△ABC 中，∠B =45°，∠C =75°，AC =6，则AB 的长是 ．16．如图，为了测量电线杆AB 的高度，小明将测量仪放在与电线杆的水平距离为9m 的D处．若测角仪CD 的高度为1.5m ，在C 处测得电线杆顶端A 的仰角为36°，则电线杆AB 的高度约为 m ．（精确到0.1m ）．（参考数据sin36°≈0.59．cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）．17．平放在地面上的三角形铁板ABC 的一部分被沙堆掩埋，其示意图如图所示，量得∠A为54°，∠B 为36°，边AB 的长为2.1m ，BC 边上露出部分BD 的长为0.6m ，则铁板BC 边被掩埋部分CD 的长是 m .（结果精确到0.1m.参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38）.18.如图，折叠矩形ABCD 的一边AD,使点D 落在BC 边的点F 处，已知BF=6cm ，且tan ∠BAF=43，则折痕AE 的长是 ．三、解答题（共8题，共66分）19．计算(每小题4分，共8分)（1）45tan 30cos 60tan 30sin 22-+-； （2）30sin 430cos 3445tan 260tan 2+--20．（8分）在直角三角形ABC 中，已知∠C=90°，AB=15，AC=9，分别求出sinA 和tanB的值．第16题第18题21．（8分）如图，在 △ABC 中，∠C=90°，AB=10，53sinB ，点D 为边 BC 的中点．(1) 求 BC 的长；(2) 求 ∠BAD 的正切值．22．（8分）在锐角△ABC 中，AD 与CE 分别是边BC 与AB 的高，AB ＝12，BC ＝16，S △ABC ＝48， 求：（1）∠B 的度数； （2）tanC 的值.23.（8分）如图，已知∠MON=25°，矩形ABCD 的边BC 在OM 上，对角线AC ⊥ON ．（1）求∠ACD 度数；（2）当AC=5时，求AD 的长．（参考数据：sin25°=0.42；cos25°=0.91；tan25°=0.47，结果精确到0.1）24．（8分）如图，某校数学兴趣小组的同学欲测量一座垂直于地面的古塔BD 的高度，他们先在A 处测得古塔顶端点D 的仰角为45°，再沿着BA 的方向后退20m 至C 处，测得古塔顶端点D 的仰角为30°.求该古塔BD 的高度（ 3≈1.732 ，结果保留一位小数）.25．（8分）如图，AB是⊙O的直径，弦DE交AB于点F，⊙O的切线BC与AD的延长线交于点C，连接AE．（1）试判断∠AED与∠C的数量关系，并说明理由；（2）若AD=3，∠C=60°，点E是半圆AB的中点，求线段AE的长．26．（10分）海中有一小岛P，在以P为圆心、半径为nmile的圆形海域内有暗礁．一轮船自西向东航行，它在A处时测得小岛P位于北偏东60 方向上，且A，P之间的距离为32nmile．若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危险？请通过计算加以说明．如果有危险，轮船自A处开始沿南偏东多少度的方向航行，能安全通过这一海域？答案与解析一、选择题（每小题3分，共8题，共24分）1.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，AB=5，则sinB 的值是( )A ．32B ．53C ．43D ．54【答案】D【考点】锐角三角函数的定义；【解答】解： ∵在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，AB=5，∴54sin ==AB AC B .故答案为：D .【分析】根据正弦函数的定义sinB=斜边的对边A ∠即可直接得出答案.2．若α是锐角，sinα=cos38°，则α 等于（ ） A ．52°B ．62°C ．38°D ．42°【答案】A【考点】互余两角三角函数的关系；【解答】解：∵sinα=cos38°， ∴α=90°﹣38°=52°．故选A ．【分析】一个角的正弦值等于它的余角的余弦值．3．在△ABC 中，∠C=90°，如果AB=2，BC=1，那么∠A 的度数为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】A【考点】解直角三角形；【解答】解：∵∠C=90°，AB=2，BC=1∴21sin ==AB BC A ∴∠A=30°.故选A .【分析】先根据正弦的定义可得∠A 的正弦值，再根据特殊角的锐角三角函数值即可得到结果.4.在Rt △ABC 中，∠C=90°，若53sin =A ，则B tan =（ ）A ．43B ．34C ．53D ．35【答案】A【考点】锐角三角形函数的定义；【解答】解：如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，3sin 5A =第1题3sin 5BC A AB ∴==，设3BC k =，则AB 5k =，由勾股定理可得k BC AB AC 422=-=，44tan 33AC k B BC k ∴===．故选A ．【分析】依题意，作出图形，设BC=3k ，则AB=5k 进而求AC ，根据正切的定义求得tanB 即可．5.如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，45A ∠≠︒，则下列比值中不等于sinA 的是（ ）A ．CD ACB．BDCB C ．CB ABD ．CD CB【答案】D【考点】锐角三角函数的定义；【解答】解：在Rt ABC ∆中，sin CBA AB= ,在Rt ACD ∆中，sin CDA AC=,90A B ∠+∠=︒ ,90B BCD ∠+∠=︒ ,A BCD ∴∠=∠ ,在Rt BCD ∆中，sin sin BDBCD A BC∠==,故选：D ．【分析】利用锐角三角函数定义判断即可．6．某铁路路基的横断面是一个等腰梯形（如图），若腰的坡比为2：3，路基顶宽3米，高4米，则路基的下底宽为（ ）A ．7米B ．9米C ．12米D ．15米【答案】D【考点】解直角三角形的应用---坡度坡角问题；【解答】解：第5题第6题∵腰的坡度为i=2：3，路基高是4米，∴BE=6米，又∵EF=AD=3米，∴BC=6+3+6=15米．故选D ．【分析】梯形上底的两个顶点向下底引垂线，得到两个直角三角形和一个矩形．利用相应的性质求解即可．7．如图，用一块直径为4的圆桌布平铺在对角线长为4的正方形桌面上，若四周下垂的最大长度相等，则桌布下垂的最大长度x 为（ ）A1B．2C．1D1【答案】B【考点】正方形的性质，垂径定理的应用，特殊角的三角函数值；【解答】如图，正方形ABCD 是圆内接正方形，4BD =，点O 是圆心，也是正方形的对角线的交点，作OF BC ⊥，垂足为F ，∵直径4BD =，∴2OB =，又∵△BOC 是等腰直角三角形，由垂径定理知点F 是BC 的中点，∴△BOF 是等腰直角三角形，∴sin 45OF OB ==°，∴2x EF OE OF ==-=故选：B ．【分析】作出图形，把实际问题转化成数学问题，求出弦心距，再用半径减弦心距即可．8．如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，CD 的中点，BF 与CE 相交于点H ，直线EN 交CB 的延长线于点N ，作CM ⊥EN 于点M ，交BF 于点G ，且CM=CD，有以下结论：第7题①BF ⊥CE ；②ED=EM ；③tan ∠ENC= 34；④CHF DEHF S S ∆=4四边形，其中正确结论的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【考点】全等三角形的判定与性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形；【解答】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴BC=CD=AD ，∠BCF=∠CDE=90°，∵DE= 12 AD ，CF= 12 CD ，∴DE=CF ，∴△CDE ≌△BCF ，∴∠CBF=∠ECD ，∵∠ECD+∠ECB=90°，∴∠CBF+∠BCE=90°，∴∠BHC=90°，∴BF ⊥CE ，故①正确，∵CM=CD ，∠CME=∠D=90°，CE=CE ，∴Rt △CEM ≌Rt △CED ，∴EM=DE ，故②正确，∴∠CED=∠CEM=∠ECN ，∴NE=NC ，设NE=CN=x ，EM=DE=AE=a ，则CM=CD=2a ，在Rt △CNM 中，（x ﹣a ）2+（2a ）2 =x 2，解得x =52 a ，tan ∠ENC=34232==a a MN CM ，故③正确，易知△CHF ∽△CDE ，∴51)(2==∆∆CE CF S S CDE CHF ，∴CHF DEHF S S ∆=4四边形，故④正确，故答案为：D ．【分析】可证△CDE ≌△BCF ，得出对应角相等可得①正确；易得Rt △CEM ≌Rt △CED ，进而得出②正确；设出参数NE=CN=x ，EM=DE=AE=a ，则CM=CD=2a ，tan ∠ENC=34232==a a MN CM ，故③正确；易知△CHF ∽△CDE,由面积比等于相似比的平方可得结论正确.二、填空题（每小题3分，共8题，共24分）第8题9.已知，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，AB=10，则cosB 的值为 .【答案】54；【考点】勾股定理，锐角三角函数的定义；【解答】∵在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，AB=10，∴,86102222=-=-=AC AB BC ∴54108cos ===AB BC B .故答案为：54．10．已知α、β均为锐角，且满足0)1(tan 21sin 2=-+-βα，则α+β= .【答案】75°；【考点】特殊角的三角函数值；非负数的性质：算术平方根；绝对值的非负性；【解答】∵0)1(tan 21sin 2=-+-βα，∴sinα=12，tanβ=1，∴α=30°，β=45°，则α+β=30°+45°=75°．故答案为：75°．【分析】根据非负数的性质求出sinα、tan β的值，然后根据特殊角的三角函数值求出两个角的度数．11.已知∠A 是锐角，若33)15tan(=-A ，则知∠A= .【答案】45°；【考点】特殊角的三角函数值；【解答】∵3330tan =，∴∠A －15°=30°，∴∠A=45°.故答案为：45°．【分析】根据特殊角的三角函数值得出3330tan =，求出∠A －15°=30°，从而求出∠A 的度数.12．在正方形网格中，△ABC 的位置如图所示，则tan C的值为 .【答案】25；【考点】锐角三角函数的定义；【解答】解：过A 作AD ⊥BC 于D ，设AD ＝5a ，CD ＝2a ，∴2525tan ===a a CD AD C ，故答案为：25【分析】过A 作AD ⊥BC 于D ，由锐角三角函数tanC=ADCD 和网格图的特征可求解.14．半径为2cm 的⊙O 中，弦长为的弦所对的圆心角度数为．【考点】垂径定理，锐角三角函数；【解答】解：如图，作OD ⊥AB ，由垂径定理知，点D 是AB 的中点，∴AD ＝12AB （cm ），∵ cos A ＝AD OA =∴∠A ＝30︒，∴∠AOD ＝60°，∴∠AOB ＝2∠AOD ＝120°，故答案为：120°．【分析】作OD ⊥AB ，由垂径定理知，点D 是AB 的中点，在直角三角形中，利用cos ADA OA=，根据比值求得 A ∠的度数，从而知道AOD ∠ 的度数，即可进一步求得最后答案．14．ABC ∆中，13AB AC ==，10BC =，则tan B = ．【答案】125【考点】勾股定理，等腰三角形的性质，三角函数的应用；【解答】解：如图，等腰ABC ∆中，13AB AC ==，10BC =，过A 作AD BC ⊥于D ，则5BD =，在Rt ABD ∆中，13AB =，5BD =，则，125132222=-=-=BD AB AD ，故12tan 5AD B BD ==．故答案为125．【分析】根据题意画出图形，由等腰三角形的性质求出BD 的长，根据勾股定理求出AD 的长，再根据锐角三角函数的定义即可求出tan B 的值．15．在△ABC 中，∠B =45°，∠C =75°，AC =6，则AB 的长是 ．【答案】333+；【考点】直角三角形、等腰直角三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质；【解答】解：作CD ⊥AB 于D ，如图所示：则∠BDC =∠ADC =90°，∵∠B =45°，∴△BCD 是等腰直角三角形，∴BD =CD ，∠BCD =45°，∵∠ACB =75°，∴∠ACD =∠ACB －∠BCD =30°，∴AD =12AC =12×6=3，CD =22AD AC- ∴BD =CD ∴AB =BD +AD ；【分析】作CD ⊥AB 于D ，则△BCD 是等腰直角三角形，得BD =CD，∠BCD =45°，求出∠ACD =30°，由直角三角形的性质得AD =12AC =3，BD =CD 16．如图，为了测量电线杆AB 的高度，小明将测量仪放在与电线杆的水平距离为9m 的D 处．若测角仪CD 的高度为1.5m ，在C 处测得电线杆顶端A 的仰角为36°，则电线杆AB的高度约为 m ．（精确到0.1m ）．（参考数据sin36°≈0.59．cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）．【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；【解答】解：如图，在Rt △ACE 中，∴AE=CE•tan36°=BD•tan36°=9×tan36°≈6.57米，第16题∴AB=AE+EB=AE+CD=6.57+1.5≈8.1（米）．故答案为：8.1．【分析】根据CE 和tan36°可以求得AE 的长度，根据AB=AE+EB 即可求得AB 的长度，即可解题．17．平放在地面上的三角形铁板ABC 的一部分被沙堆掩埋，其示意图如图所示，量得∠A为54°，∠B 为36°，边AB 的长为2.1m ，BC 边上露出部分BD 的长为0.6m ，则铁板BC边被掩埋部分CD 的长是 m .（结果精确到0.1m.参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38）.【答案】1.1；【考点】解直角三角形的应用；【解答】解：∵ ∠A =54° ， ∠B =36°∴ ∠C =180°−54°−36°=90°∴在直角 △ABC 中，sinA ＝ BC AB ，则BC ＝AB•sinA ＝2.1sin54°≈2.1×0.81＝1.701，则CD ＝BC ﹣BD ＝1.701﹣0.6＝1.101≈1.1（m ），故答案为：1.1.【分析】首先根据三角形的内角和定理算出∠C 的度数，进而利用正弦三角函数的定义进行求值即可.18.如图，折叠矩形ABCD 的一边AD,使点D 落在BC 边的点F 处，已知BF=6cm ，且tan ∠BAF=43，则折痕AE 的长是 ．【考点】矩形的性质，翻折变换，解直角三角形；【解答】解：由折叠得：AF=AD,EF=DE,∵四边形ABCD 为矩形，AF=AD=BC,DC=AB,∠B=∠C=∠D=90°，第17题∵43tan ==∠AB BF BAF ,∵BF=6，∴AB=8，由勾股定理得AF=10cm ,∴AD=BC=10cm ，∴CF=BC －BF=10－6=4cm ,设EF=DE=xcm ,∴CE=DC －DE=AB －DE=（8－x ）cm,在Rt △EFC 中，由勾股定理得：222)8(4x x -+=，解得：x =5，∴DE=5cm,在Rt △ADE 中，由勾股定理得：AE 555102222=+=+=DE AD AE cm.【分析】由折叠的性质得AF=AD,EF=DE,由矩形的性质得AF=AD=BC,∠B=∠C=∠D=90°，再根据锐角三角函数的定义得出AB=8，由勾股定理得AF=10cm ，则AD=BC=10cm,CF=BC －BF=10－6=4cm ，设EF=DE=xcm ,则CE=DC －DE=AB －DE=（8－x ）cm ，然后在Rt △EFC 中，由勾股定理列出方程，解答即可.三、解答题（共8题，共66分）20．计算(每小题4分，共8分)（1）45tan 30cos 60tan 30sin 22-+-； （2） 30sin 430cos 3445tan 260tan 2+--【答案】（1）23-；（2）0.【考点】特殊角的三角函数值；【解答】解：（1）原式=231233112332122-=-+-=-+-⨯（2）原式=02332233221423341232=+--=⨯+⨯-⨯-【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入，进而化简计算得出答案.20．（8分）在直角三角形ABC 中，已知∠C=90°，AB=15，AC=9，分别求出sinA 和tanB 的值．【答案】解：如图，∵∠C=90°，AB=15，AC=9，∴BC=AB 2−AC 2=12，∴sinA=BC AB =45，tanB=AC BC =43．【考点】锐角三角函数的定义；【分析】利用勾股定理得出BC 的长，再利用锐角三角函数关系得出答案．21．（8分）如图，在 △ABC 中，∠C=90°，AB=10，53sin =B ，点D 为边 B C 的中点．(1) 求 BC 的长； (2) 求 ∠BAD 的正切值．【解答】解：（1）∵,10,53sin ==AB B ∴,5310=AC ∴AC=6，∴在Rt △ABC 中，86102222=-=-=AC AB BC .(2)如图，过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E,∵∠C=∠BED=90°，∠B=∠B,∴△BED ∽△BCA,∴CA ED BA BD BC BE ==,∴61048ED BE ==，解得：512,516==ED BE ,∴AE=AB=BE=10－516=534，∴176tan ==∠AE DE BAD .【考点】解直角三角形；【分析】（1）首先根据锐角三角函数的定义求出AC 的长，然后根据勾股定理求出BC 的长即可.（2）过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E,在证明△BED ∽△BCA ，利用相似三角形的性质可求出BE 和ED,最后利用锐角三角函数的定义求出tan ∠BA D 的值.22．（8分）在锐角△ABC 中，AD 与CE 分别是边BC 与AB 的高，AB ＝12，BC ＝16，S △ABC ＝48， 求：（1）∠B 的度数； （2）tanC 的值.【答案】解：（1）∵S △ABC ＝ 12BC•AD ＝48,BC ＝16, ∴AD ＝6,在Rt △ABD 中,AB ＝12,∴BD ＝36,sinB ＝612 ＝ 12,∴∠B ＝30°（2）∵BC ＝16,BD ＝36 ,∴CD ＝16﹣36 ,在Rt △ACD 中,∵CD ＝16﹣36 ,AD ＝6,∴tanC ＝ 616−63 ＝ 24+9337 .【考点】三角形的面积，锐角三角函数的定义；【分析】（1）根据S △ABC ＝48以及BC ＝6,可求出AD 的长度,然后由勾股定理可求出BD 的长度,然后根据锐角三角函数的定义即可求出角B 的度数,（2）由于BC ＝16,BD ＝36, 从而可知CD 的长度,在Rt △ACD 中,根据AD 与CD 的长度比即可求出tanc 的值.23.（8分）如图，已知∠MON=25°，矩形ABCD 的边BC 在OM 上，对角线AC ⊥ON ．（1）求∠ACD度数；（2）当AC=5时，求AD的长．（参考数据：sin25°=0.42；cos25°=0.91；tan25°=0.47，结果精确到0.1）【答案】（1）解：延长AC交ON于点E，如图，∵AC⊥ON，∴∠OEC=90°，在Rt△OEC中，∵∠O=25°，∴∠OCE=65°，∴∠ACB=∠OCE=65°，∴∠ACD=90°﹣∠ACB=25°（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，AD=BC，，在Rt△ABC中，∵cos∠ACB= BCAC∴BC=AC•cos65°=5×0.42=2.1，∴AD=BC=2.1【考点】解直角三角形；【分析】（1）在矩形ABCD中可知∠DCB=90°，要求∠ACD度数，只需求出∠ACB的度数，延长AC交ON于点E，在Rt△OEC∠O=25°，AC⊥ON，可求出∠OCE=65°，再利用对顶角相等可求∠ACD度数。
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第28章 锐角三角函数 测试题
(满分120分，120分钟完卷)
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是最符合题目要求的.）
1、已知α为锐角，则m=sin α+cos α的值（ ） A 、m ＞1 B 、m=1 C 、m ＜1 D 、m≥1
2、在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，则锐角A 的三角函数值（ ）
A 、 也扩大3倍
B 、 缩小为原来的3
1
C 、都不变
D 、 有的扩大，有的缩小
3、以直角坐标系的原点O 为圆心，以1为半径作圆。
若点P 是该圆上第一象限内的一点，且OP 与x 轴正方向组成的角为α，则点P 的坐标为（ ） A 、(cosα,1) B 、 (1,sinα) C 、 (sinα,cosα) D 、 (cosα,sinα)
4、如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=8cm ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于D ，
连结BD ，若cos ∠BDC=5
3
，则BC 的长是（ ） A 、4cm B 、6cm C 、8cm D 、10cm
5、已知a 为锐角，sina=cos500则a 等于 （ ）
A 、 20°
B 、
30°
C
、40° D 、50°
6、若tan(a+10°)=3，则锐角a 的度数是 ( )
A 、20°
B 、30°
C 、35°
D 、50° 7、如果α、β都是锐角，下面式子中正确的是 （ ）
A 、sin(α+β)=sin α+sin β
B 、cos(α+β)=2
1
时，α+β=60°
C 、若α≥β时，则cos α≥cos β
D 、若cos α>sin β,则α+β>90° 8、小阳发现电线杆AB 的影子落在土坡的坡面CD 和地面BC 上，量得CD=8米，BC=20米，CD 与地面成30º角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为（ ） A 、9米 B 、28米 C 、()37+米 D 、()
3214+米 9、如图,两建筑物的水平距离为am,从A 点测得D 点的俯角为a.测得C 点的俯角为β,则较低建筑物CD 的高为（ ） A 、a m B 、(a ·tan α)m C 、(a/tan α)m D 、a(tan α－tan β)m
10、如图，钓鱼竿AC 长6m ，露在水面上的鱼线BC 长23m ，某钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC 转动到C A '的位置，此时露在水面上的鱼线C B ''为33，则鱼竿转过的角度是 ( )
A ．60°
B ．45°
C ．15°
D ．90°
二、填空题（本题共10小题， 每小题3分，共30分.） 11、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝2，b ＝3，则cosA ＝ .sinB ＝ ，tanB ＝ .
12、直角三角形ABC 的面积为24cm 2，直角边AB 为6cm ，∠A 是锐角， 则sinA ＝ .
13、已知tan α＝12
5
，α是锐角，则sin α＝ .
14、cos 2(50°＋α)＋cos 2(40°－α)－tan(30°－α)tan(6015、如图，机器人从A 点，沿着西南方向，行走了个 42单位，到达B 点后观察到原点O 在它的南偏东60°
的方向上，则原来A 的坐标为 .16、等腰三角形底边长10cm ，周长为36cm .
17、某人沿着坡度i=1:3的山坡走了50米，则他离坡底水平面的高度为 米.
18、如图，在坡度为1：2 的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）的6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是 米.
19、在△ABC 中，∠ACB ＝90°，cosA=
3
3
，AB ＝8cm ， 则△ABC 的面积为 .
20、如图，在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA 为a 米，此时，梯子的倾斜角为75°，如果梯子底端不动，顶端靠在对面墙上N ，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB 为b 米，梯子的倾斜角45°，则这间房子的宽AB 是 米。
三、解答题：（本大题共6小题，共76分，解答时写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）
21、计算(8分)：(1)22tan30sin 60+3cos 30-sin 45tan 45⋅⋅
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(2)22tan30sin 60+3cos 30-sin 45tan 45⋅⋅
22、(6分)△ABC 中，∠C ＝90°
(1)已知：c ＝ 83，∠A ＝60°，求∠B 、a 、b ． (2)已知：a ＝36， ∠A ＝30°，求∠B 、b 、c.
23、(6分) 某段笔直的限速公路上，规定汽车的最高行驶速度不能超过60 km/h （即3
50
m/s ）．交通管理部门在离该公路100 m 处设置了一速度监测点A ，在如图所示的坐标系中，点A 位于y 轴上，测速路段BC 在x 轴上，点B 在点A 的北偏西60°方向上，点C 在点A 的北偏东45°方向上． （1）请在图中画出表示北偏东45°方向的射
线AC ，并标出点C 的位置； （2）点B 坐标为 ，点C 坐标为 ； （3）一辆汽车从点B 行驶到点C 所用的时间
为15 s ，请通过计算，判断该汽车在限速公路
）
24、(8分)如图,△ABC 是等腰三角形,∠ACB=90°,过BC 的中点D 作DE ⊥AB,垂足为E,连结CE,求sin ∠ACE 的值.
25、(8分)如图，某超市（大型商场）在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板（一楼的楼顶墙壁）与地面平行，请你根据图中数据计算回答：小敏身高1.85米，他乘电梯会有碰头危险吗？（sin28o ≈0.47，tan28o ≈0.53）
26、(8分)如图，已知MN 表示某引水工程的一段设计路线，从M 到N 的走向为南偏东30°，在M 的南偏东60°方向上有一点A ，以A 为圆心，500m 为半径的圆形区域为居民区。
取MN 上另一点B ，测得BA 的方向为南偏东75°.已知MB=400m ，通过计算回答，如果不改变方向，输水线路是否会穿过居民区？
27、(8分) 已知Rt △ABC 的斜边AB 的长为10cm , sinA 、sinB 是方程 m(x 2－2x)+5(x 2+x)+12=0的两根.（1）求m 的值；（2）求Rt △ABC 的内切圆的面积.
28、(10分)如图，点A(tan α，0)，B(tan β，0)在x 轴的正半轴上，点A 在点B 的左边，α、β是以线段AB 为斜边、顶点C 在x 轴上方的Rt △ABC 的两个锐角；
(1)若二次函数y=－x 2－2
5
kx+(2+2k －k 2)的图象经过A 、B 两点，求它的解析式。
(2)点C 在(1)中求出的二次函数的图象上吗?请说明。