第八章+各向异性媒质中的电磁波

第八章 各向异性媒质中的电磁波
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§8-1 电磁波在磁化等离子体中的传播 一、磁化等离子体的电气特性 我们知道物质可分为固体、液体和气体三类．任何一种物质， 在一定条件下都能在这三种状态之间转变．水在一个标准大气压 下，当温度降到0℃以下时，开始变成冰．而当温度升到100℃时， 水就会沸腾而变成水蒸汽． 如果温度不断升高，这时构成气体分子的原子发生分裂，形 成为独立的原子，如果再进一步升高温度，原子中的电子就会从 原子中剥离出来，成为带正电荷的原子核（称为离子）和带负电 荷的电子，这个过程称为原子的电离．当这种电离过程频繁发生， 使电子和离子的浓度达到一定数值时，物质状态就起了根本变化， 它的性质也变得与气体完全不同．为区别于固体、液体和气体这 三种状态，称物质的这种状态为等离子体．
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我们经常看到等离子态的物质。在日光灯和霓虹灯的灯管里， 在地球周围的电离层里，在大气中的闪光放电和流星的尾巴里， 都能找到等离子态。等离子体从日常生活到工业、农业、环保、 军事、宇航、能源、天体等方面，都有非常重要的应用． 等离子彩电是在两张薄玻璃板之间充填混合气体，施加电压 使之产生离子气体，然后使等离子气体放电，与基板中的荧光体 发生反应，产生彩色影像。等离子彩电又称“壁挂式电视”。 等离子体: 等离子体:电子、离子和中性粒子组成的游离气体。其电子的 负电量和离子的正电量是相等的。大气层经太阳紫外线辐射形 成的电离层、火箭喷出的废气等都是等离子体。 磁化等离子体: 磁化等离子体:加有恒定磁场的等离子体。地球具有磁场，因 此地球上方六十公里到几百公里的电离层是磁化等离子体。
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2．磁化等离子体的极化状态与张量介电常数 磁化等离子体在外加电磁场的作用下将产生运流电流。若 磁化等离子体单位体积内平均电子数为N，电子在外场作用下 的平均速度为v，则根据式(1-1-12) ，有 v v v J = ρv = − Nev v v v v v 由麦克斯伟方程第二式： ∇ × H = − Nev + jωε 0 E = jω (ε ) E = jωD
v ˆ 速度v与外加电场和外加磁场有关。若外加恒定磁场 B0 = kB0 v v v dv e v ˆ v ˆB m = −e E + v × k 0 → jωv = − E − jv x B0 + iˆv y B0 dt m e e e jωv x = − (E x + v y B0 ) , jωv y = − (E y − v x B0 ) , jωv z = − E z m m m
(
)
(
)
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v v v v v ∇ × H = − Nev + jωε 0 E = jω (ε ) E = jωD
ε11 ε12 ˆ ˆ ˆ ˆ j j − Ne(i v x + ˆv y + kvz ) + jωε0(i E x + ˆE y + kE z ) = jω ε21 ε22 ε31 ε32 ε13 E x ε23 E y ε33 E z
则：
v v v D = (ε )E = ε 0 (ε r )E
(8-1-3)
− jε 2
ε1 可以证明： (ε ) = ε 0 (ε r ) = ε 0 jε 2 0
ε1
0
0 0 ε3
(8-1-4)

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ωp ε1 = 1 − 2 ， ε2 = ， ε3 = 1 − 2 2 2 ω ω − ωg ω ω − ωg ω2 p ωg ω2 p
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(8-1-6)
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Ne 2 ωp = ， mε0 其中e为电子的电量，m为电子的质量。
eB0 ωg = m
结论： 在恒定磁场的作用下， 在恒定磁场的作用下，磁化等离子体对电场呈现出各向异性 电媒质的特性。此时的介电常数称为张量介电常数。 电媒质的特性。此时的介电常数称为张量介电常数。 Dx ε 1 − jε 2 0 E x 0 Ey ε1 D y = ε 0 jε 2 (8-1-8) D 0 0 ε 3 Ez z v ˆ 注：该张量介电常数是在外加恒定磁场 B0 = kB0 的条件下得到的。
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若B0 = 0，则ωg = 0，ε2 = 0，ε1 = ε3。矩阵 (ε) 退化成标量，
ωp 2 εe = ε0 ε3 = ε0 1 − ω < ε0 注意： 注意：非磁化等离子体等效介电常数 ε e < ε 0,且与频率有关， 非磁化等离子体为各向同性媒质。
外加恒定磁场是使等离子体成为各向异性媒质的根本原因。 外加恒定磁场是使等离子体成为各向异性媒质的根本原因。
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二、磁化等离子体中电磁波的波动方程 1．波动方程的建立 波动方程的建立 磁化等离子体中，（无源区）麦克斯韦方程可写为： v v v v v ∇ × E = − jωB = − jω µ0 H ∇ ⋅ D = ∇ ⋅ [(ε ) E ] = 0 v v v v v (8-1-10) ∇ × H = jωD = jω(ε ) E ∇ ⋅ B = ∇ ⋅ ( µ0 H ) = 0 对式(8-1-10)第1式等号两边进行旋度运算，可得 v v v v 2 ∇ × (∇ × E ) = −∇ E + ∇(∇ ⋅ E ) = − jω µ 0∇ × H 代入式(8-1-10)中第2式全电流定律，整理后可得 v v v 2 2 ∇ E − ∇(∇ ⋅ E ) + ω µ0 (ε )E = 0 (8-1-14) 讨论：比较各向同性媒质中电场的波动方程， 讨论：比较各向同性媒质中电场的波动方程，磁化等离子体的 波动方程中的介电常数( 是张量，电场的散度不为零。 波动方程中的介电常数 ε) 是张量，电场的散度不为零。
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2．磁化等离子体中平面电磁波的传播条件 磁化等离子体中平面电磁波的传播条件 ˆ ˆ j 传播方向的方向余弦: n = iˆ cos α x + ˆ cos α y + k cos α z v v ˆ ˆ ˆE = (i A + ˆA + kA )e − jβ (n⋅rv ) = Ae − jβ (n⋅rv ) ˆ ˆ ˆ x j y E = i E x + ˆE y + k z j z − jβ ( x cos α x + y cos α y + z cos α z ) − jβ ( x cosα x + y cosα y + z cosα z )
E x = Ax e
Ez = Az e
− jβ x cos α x + y cos α y + z cos α z
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(
， E y = Ay e
)
v v v 2 把(ε) 代入： ∇ E − ∇(∇ ⋅ E ) + ω µ0 (ε )E = 0
v ˆE − i ∂ + ˆ ∂ + k ∂ (∇ ⋅ E ) ˆ ˆ ∇ i E x + ˆE y + k z ˆ j ∂x j ∂y ∂z ε 1 − jε 2 0 v 2 + ω µ 0ε 0 j ε 2 0 E = 0 ε1 0 0 ε3
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(
)
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v ˆ ˆ ˆE x + ˆE y + kE z − i ∂ + ˆ ∂ + k ∂ (∇ ⋅ E ) ˆ ∇ i j ∂x j ∂y ∂z ε 1 − jε 2 0 v 2 + ω µ 0 ε 0 jε 2 0 E = 0 ε1 0 ε3 0
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(
)
整理： ∇ 2 E − ∂ ∂E x + ∂E y + ∂E z + k 2 (ε E − jε E ) = 0 0 1 x 2 y x
∂x ∂x ∂y ∂z ∂ ∂E x ∂E y ∂E z 2 ∇ Ey − ∂x + ∂y + ∂z + k0 ( jε 2 E x + ε 1 E y ) = 0 ∂y ∂ ∂E x ∂E y ∂E z 2 2 ∇ Ez − ∂x + ∂y + ∂z + k0 (ε 3 E z ) = 0 ∂z
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波动方程的三个标量方程式分别可以改写成 2 2 (− β 2 sin 2 α x + k 0 ε 1 ) E x + ( β 2 cos α x cos α y − jk 0 ε 2 ) E y + β 2 cos α z cos α x E z = 0
2 2 ( β 2 cos α x cos α y + jk 0 ε 2 ) E x + (− β 2 sin 2 α y + k 0 ε 1 ) E y + β 2 cos α y cos α z E z = 0 2 β 2 cos α z cos α x E x + β 2 cos α y cos α z E y + (− β 2 sin 2 α z + k 0 ε 3 ) E z = 0
(8-1-22) Ex，Ey和Ez分量有非零解的条件是：上式系数行列式为零，即
− β 2 sin 2 α x + k02 ε1 β 2 cos α x cos α y + jk02 ε2 β 2 cos α z cos α x β 2 cos α x cos α y − jk02 ε2 − β 2 sin 2 α y + k02 ε1 β 2 cos α y cos α z β 2 cos α z cos α x β 2 cos α y cos α z − β 2 sin 2 α z + k02 ε3 =0