直线和圆的复习

b b （ ） （ 0时） arctan a a 直线l的倾斜角 b b arctan （ ） （ 0时） a a
特别地，P 向量 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 )为直线l上两点，而直线的方向 取P 1P 2 ( x2 x1 , y2 y1 ), 便有：k
( x a)2 ( y b)2 r 2
(2)一般方程
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx2 y 2 Dx Ey F 0
2 2
其中圆心坐标 ( D , E )
1 r 半径为 2 x （3）参数方程 D2 E 2 4F
a r cos
y b r sin
其中 (a,b) 为圆；r 为半径；θ 为参数 (4)已知直径两端的圆方程
1)两直线平行的条件 若l1：A1 x B1 y C1 0, l2 : A2 x B2 y C2 0 则l1 // l2 A1 B2 A2 B1，且A1C2 A2C1 若l1：y k1 x b1，l2：y k 2 x b2，即两直线斜率均存在 则此时l1 // l2 k1 k 2，且b1 b2
二、直线方程的各种形式
（1）点斜式方程 （2）斜截式方程 （3）两点式方程 （4）截距式方若已知直线l经过点P0 ( x0 , y0 ),且其斜率为k 直线l上任意一点P( x, y ),则（x x0 , y y0）与（ 1，k）是共线向量 k（x x0） （y y0） 0，即得直线的点斜式方 程 y y0 k（x x0）
{
这类问题可以用图解法来求最优解，但涉及更多变量的线性规划 问题不能用图解法来解； 4. 求线性规划问题的最优整数解时，常用打网格线和调整优值的 方法，这要求作图必须精确，线性目标函数对应的直线斜率与其 他程 (1)标准方程
P0 ( x0 , y0 )
x
5)直线的点法式方程 若直线l上一点P0 ( x0 , y0 ), 且已知直线l的一个法向量为 n （A, B） , ( A 2 B 2 0) 直线l上任意一点P ( x, y ), 则P0 P n, 于是得直线的点法式方 程为： A( x x0 ) B ( y y0 ) 0 (其中A, B不同为零)
( x x1 )( x x2 ) ( y y1 )( y y2 ) 0
其中 ( x1 , y1 )、 ( x2 , y2 ）过圆上一点 P ( x0 , y0 ) 圆切线 当方程为 切线方程为 当方程为 切线方程为
点与直线位置关系也可 以利用直线同一侧各点 的坐标，代入直线的一 般式方程， 方程左边值的符号必相 同的特点，根据特殊点区域 （1）二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直 角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有 点组成的平面区域。 （2）在确定区域时，在直线的某一侧取一 个特殊点(x0,y0) ，从Ax0+By0+C的正负可以 判断出Ax+By+C>0表示哪一侧的区域。一 般在C≠0时，取原点作为特殊点。
tan
又若l1：y k1 x b1，l2：y k2 x b2 则 cos 当
注意 cos 一般不能用 A1 A2 B1 B2 A B
2 1 2 1

2
A2 B2
2
2
来表示
时（即l1不垂直于l2） k2 k1
tan( x, y)
t

P0 P t
为直线l倾斜角
此时，直线的参数式方程为： （cos a）t x x0 t R， （sin a）t y y0 上式称为直线l的标准参数方程 在标准参数方程中，参率为k，则 直线l的一个方向向量就是（ 1，k） 直线l的一个法向量就是（ k， 1 ） arctank （k 0时） 直线l的倾斜角 ar x1时） x2 x1 牛牛文档分 享三、平面内两直线关系
（１）两直线平行的条件 （２）两直线垂直的条件 （３）两直线重合的条件 （４）两直线相交的夹角 （５）直线到直线的角 （６）点到直线的距离 （７）两平行直线间的距离： 设直线l：Ax By C 0, 点P( x0 , y0 ) （ 1 ）当P( x0 , y0 )在直线l上 Ax0 By0 C 0 （2）当P( x0 , y0 )与l的法向量n （A, B）指向同侧 Ax0 By0 C 0 (3)当P( x0 , y0 )与l的法向量n （A, B）指向异侧 A线性规划应用问题时，其一般思维过程如下：
（1）设出决策变量，找出线性规划的约束条件和线性目标函数； （2）利用图像，在线性约束条件下找出决策变量，使目标函数 达到最大或最小；
小 结
2. 解线性规划应用问题的一般模型是：先列出约束条件组 a11x1+ a12x2+…+ a1nxn ≤b1 a21x1+ a22x2+…+ a2nxn≤b2 …… a11x1+ a12x2+…+ a1nxn ≤bn 再求c1x1+c 2x2+…+ c nxn的最大值或最小值； 3. 线性规划的讨论范围：教材中讨论了两个变量的线性规划问题，
( x a)2 ( y b)2 r 2
( x0 a)( x a) ( y0 b)( y b) r 2
3)两直线重合的条件 若l1：A1 x B1 y C1 0, l2 : A2 x B2 y C2 0 则l1重合于l2 A1 B2 A2 B1，且A1C2 A2C1 若l1：y k1 x b1，l2：y k 2 x b2， 则此时l1重合l2 k1 k 2，且b1 b2
2)直线的斜截式方程 在直线的点斜式方程中，特别地取P0为直线与y轴交点 即P0 (0, b),即得：y b kx. 于是得直线斜截式方程:y kx b 这里若已知直线l方向向量v （a，b） 且经过点P0 ( x0 , y0 ) 直线l上任一点P( x, y )则， P0 P // v, 故得直线方向式方程 （x x0 , y y0） (a, b)t (t R ) 当ab 0时， x x0 y y0 也可写为 . a b
6）直线的一般式方程 在直线的点法式方程中，记C Ax0 By0 , 则直线方程具有如下的一般式 Ax By C 0若已知直线l经过P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y 2 )两点，P ( x, y )是直线l上任意一点 则PP 两点式 1 // P 1P 2 , 当x2 x1 0，y 2 y1 0时，直线方程可以写成 x x1 y y1 x2 x1 y2 y1
2)两直线垂直的条件 若l1：A1 x B1 y C1 0, l2 : A2 x B2 y C2 0 则l1 l2 A1 A2 B1 B2 0， 若l1：y k1 x b1，l2：y k 2 x b2， 则此时l1 l2 k1k 2 1
8)直线的截距式方程 在直线的两点式方程中 ，若直线与两坐标轴都 相交，而不过原点 设与x轴交于P 1 ( a,0), ( a 0)与y轴交于P 2 (0, b), (b 0) xa y0 即得 0a b0 x y 于是可得直线的截距式 ： 1 a b 式中a，b都不为零，分别是若l1：A1 x B1 y C1 0, l2 : A2 x B2 y C2 0 l1与l2的夹角为，则 cos 当 A1 A2 B1 B2 A12 B12 A2 2 B2 2 时（即l1不垂直于l2） A1 B2 A2 B1 A1 A2 B1 B2 1 k1k2 1 k12 1 k2 2
2 2
Qlx 牛牛文档分 享7)两平行直线间的距离 若l1 // l2，l1：Ax By C1 0, l2 : Ax By C2 0 则l1与l2之间的距离d C1 C2 A2 B 2 注意：距离公式中，要求l1与l2方程的一次项对应系数相等
y
l
P( x, y)
t

P0 P t
P0 ( x直线的方向式方程可改写成如下参数式： x x0 at tR y y0 bt 式中（a，b）为直线l的方向向量，t为参变量 特别地取方向向量为（cos ， sin ），
y
x
当P位于l的法向量n （A, B）指向异侧（如图） 点P到直线l的距离d Ax By0 C QP n 0 n A2 B 2
n
P
O
对于P( x0 , y0 )在直线l上，则P到直线l的距离d 0。 故综上所述有：对任意的点P( x0 , y0 )有P点到直线l的距离 d Ax0 By0 C A B
5)直线l1到l2的角 2 当l1不垂直于l2，若l1：A1 x B1 y C1 0, l2 : A2 x B2 y C2 0 tan A1 B2 A2 B1 A1 A2 B1 B2 k2 k1 1 k1k2 l1 l2时，


2
又若l1：y k1 x b1，l2：y k2 x b2 则 tan
y
6)点到直线的距离： 设直线l：Ax By C 0, 点P ( x0 , y0 ) 当P位于l的法向量n （A, B）指向同侧（如图） QP n 点P到直线l的距离d , 其中Q点为l上任意一点 n 化简得d Ax0 By0 C A2 B 2
P
n
l
Q
O
（3）注划：求线性目标函数在线性约束条件下的最 大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
可行解 ：满足线性约束条 件的解(x，y)叫可行解；