初中数学动点最值问题解法探析
动点问题中的最值、最短路径问题解析版
专题01 动点问题中的最值、最短路径问题动点问题是初中数学阶段的难点，它贯穿于整个初中数学，自数轴起始，至几何图形的存在性、几何图形的长度及面积的最值，函数的综合类题目，无不包含其中.其中尤以几何图形的长度及面积的最值、最短路径问题的求解最为繁琐且灵活多变，而其中又有一些技巧性很强的数学思想（转化思想），本专题以几个基本的知识点为经，以历年来中考真题为纬，由浅入深探讨此类题目的求解技巧及方法.一、基础知识点综述1. 两点之间，线段最短；2. 垂线段最短；3. 若A 、B 是平面直角坐标系两定点，P 是某直线上一动点，当P 、A 、B 在一条直线上时，PA PB 最大，最大值为线段AB 的长（如下图所示）；（1）单动点模型作图方法：作已知点关于动点所在直线的对称点，连接成线段与动点所在直线的交点即为所求点的位置. 如下图所示，P 是x 轴上一动点，求PA +PB 的最小值的作图.（2）双动点模型P是∠AOB一点，M、N分别是边OA、OB上动点，求作△PMN周长最小值.作图方法：作已知点P关于动点所在直线OA、OB的对称点P’、P’’，连接P’P’’与动点所在直线的交点M、N即为所求.OBPP'P''MN5. 二次函数的最大（小）值()2y a x h k=-+，当a>0时，y有最小值k；当a<0时，y有最大值k.二、主要思想方法利用勾股定理、三角函数、相似性质等转化为以上基本图形解答. （详见精品例题解析）三、精品例题解析例1. （2019·凉山州）如图，正方形ABCD中，AB=12，AE=3，点P在BC上运动（不与B、C重合），过点P作PQ⊥EP，交CD于点Q，则CQ的最大值为例2.（2019·凉山州）如图，已知A、B两点的坐标分别为（8,0），（0,8）. 点C、F分别是直线x=－5和x轴上的动点，CF=10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE面积取最小值时，tan∠BAD=（）x y A B C F D EO x=-5A .817B . 717C . 49D . 59例3.（2019·）如图，矩形硬纸片ABCD 的顶点A 在y 轴的正半轴及原点上滑动，顶点B 在x 轴的正半轴及原点上滑动，点E 为AB 的中点，AB =24,BC =5,给出结论：①点A 从点O 出发，到点B 运动至点O 为止，点E 经过的路径长为12π；②△OAB 的面积的最大值为144；③当OD 最大时，点D 的坐标为)2626125,262625(，其中正确的结论是（填写序号）.例4.（2019·XX ）已知抛物线2y x bx c =-+（b 、c 为常数，b >0）经过点A (－1,0)，点M (m ,0)是x 轴正半轴上的动点，若点Q （1,2Q b y +22AM QM +332时，求b 的值.例5. （2019·）如图，一副含30°和45°角的三角板ABC 和EDF 拼合在个平面上，边AC 与EF 重合，12AC cm ．当点E 从点A 出发沿AC 方向滑动时，点F 同时从点C 出发沿射线BC 方向滑动．当点E 从点A 滑动到点C 时，点D 运动的路径长为cm ；连接BD ，则△ABD 的面积最大值为2cm ．例6. （2019·）如图，在菱形ABCD 中，连接BD 、AC 交于点O ，过点O 作OH ⊥BC 于点H ，以O 为圆心，OH 为半径的半圆交AC 于点M .（1）求证：DC 是圆O 的切线；（2）若AC =4MC ，且AC =8，求图中阴影部分面积；（3）在（2）的前提下，P 是线段BD 上的一动点，当PD 为何值时，PH +PM 的值最小，并求出最小值. ABC DH O M N专题01 动点问题中的最值、最短路径问题（解析）例1. （2019·凉山州）如图，正方形ABCD中，AB=12，AE=3，点P在BC上运动（不与B、C重合），过点P作PQ⊥EP，交CD于点Q，则CQ的最大值为【答案】4.【解析】解：∵PQ⊥EP，∴∠EPQ=90°，即∠EPB+∠QPC=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠C=90°，∠EPB+∠BEP=90°，∴∠BEP=∠QPC，∴△BEP∽△CPQ，∴BE BP CP CQ=，∵AB=12，AE=3，∴BE=9，设CQ=y，BP=x，CP=12－x，（0<x<12）∴912xx y=-，即()()21216499x xy x-==--+，∴当x=6时，y有最大值为4，即CQ的最大值为4.【点睛】此题为“一线三直角模型”，解题方法为相似三角形性质求解，综合利用二次函数的性质求解最值问题.例2.（2019·）如图，已知A、B两点的坐标分别为（8,0），（0,8）. 点C、F分别是直线x=－5和x轴上的动点，CF=10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE面积取最小值时，tan∠BAD=（）A . 817B . 717C . 49D . 59【答案】B .【解析】解：S △ABE =142BE OA BE ⨯⨯=,当BE 取最小值时，△ABE 面积为最小值.设x =－5与x 轴交于点G ，连接DG ，因为D 为CF 中点，△CFG 为直角三角形，所以DG =152CD =,∴D 点的运动轨迹为以G 为圆心，以5半径的圆上，如图所示 xyABD E O x=-5G由图可知：当AD 与圆G 相切时，BE 的长度最小，如下图，xyABD E O x=-5G H过点E 作EH ⊥AB 于H ，∵OG =5，OA =8，DG =5，在Rt △ADG 中，由勾股定理得：AD =12，△AOE ∽△ADG ， ∴AO AD OE DG =, 求得：OE =103， 由OB =OA=8，得：BE =143，∠B =45°，AB =82 ∴EH =BH =27223BE =,AH =AB -BH =1723， ∴tan ∠BAD =727317172EH AH ==, 故答案为B .【点睛】此题解题的关键是找到△ABE 面积最小时即是AD 与D 的远动轨迹圆相切的时刻. 进而构造以∠BAD 为角的直角三角形，利用勾股定理求出边长，代入三角函数定义求解.例3.（2019·）如图，矩形硬纸片ABCD 的顶点A 在y 轴的正半轴及原点上滑动，顶点B 在x 轴的正半轴及原点上滑动，点E 为AB 的中点，AB =24,BC =5,给出结论：①点A 从点O 出发，到点B 运动至点O 为止，点E 经过的路径长为12π；②△OAB 的面积的最大值为144；③当OD 最大时，点D 的坐标为)2626125,262625(，其中正确的结论是（填写序号）.【答案】②③.【解析】解：根据题意可知：OE =12AB =12,即E 的轨迹为以O 为圆心以12为半径的四分之一圆（第一象限的部分），根据弧长公式，得点E 的路径长为：9012180π⨯⨯=6π，故①错误； 因为AB =24,当斜边AB 上的高取最大值时，△OAB 的面积取最大值，点O 在以AB 为直径的圆上（圆心为E ），当OE ⊥AB 时，斜边AB 上的高最大， 所以△OAB 的面积取最大值为：124122⨯⨯=144，故②正确；连接OE 、DE ，得：OD ≤OE +DE ，当O 、E 、D 三点共线时取等号，即OD 的最大值为25，如图，过点D 作DF ⊥y 轴于F ，过点E 作EG ⊥y 轴于G ,25DF OD 即：1225EG DF =，512AF AD EG AE ==, 即：51125AF EG DF ==,设DF =x ，在Rt △ADF 中，由勾股定理得：221255x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得：x =26，在Rt △ODF 中，由勾股定理得：OF =26，即点D 的坐标为)2626125,262625(，故③正确.综上所述，答案为：②③. 例4.（2019·XX ）已知抛物线2y x bx c =-+（b 、c 为常数，b >0）经过点A (－1,0)，点M (m ,0)是x 轴正半轴上的动点.若点Q （1,2Q b y +）在抛物线上，当22AM QM +的最小值为3324时，求b 的值. 【答案】见解析. 【解析】解：∵2y x bx c =-+经过点A (－1,0)，∴1+b +c =0，即21y x bx b =--- ∵点Q （1,2Q b y +）在抛物线2y x bx c =-+上， ∴324Q b y =--， 即13,224b Q b ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭， ∵b >0，∴Q 点在第四象限，2222AM QM AM QM ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭所以只要构造出22AM QM ⎛⎫+ ⎪⎝⎭即可得到22AM QM +的最小值取N （1,0），连接AN ，过M 作MG ⊥AN 于G ，连接QM ，如图所示，△AGM 为等腰直角三角形，GM =22AM ，即当G 、M 、Q 三点共线时，GM +MQ 22QM +取最小值， 此时△MQH 为等腰直角三角形，∴QM=2QH=3224b⎛⎫+⎪⎝⎭，GM=22AM=()212m+∴()223332222=21222244bAM QM AM QM m⎛⎫⎡⎤⎛⎫+=++++=⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦①∵QH=MH，∴324b+=12b m+-，解得：m=124b-②联立①②得：m=74，b=4.即当22AM QM+的最小值为3324时，b=4.【点睛】此题需要利用等腰直角三角形将22AM QM+转化为222AM QM⎛⎫+⎪⎝⎭，进而根据两点之间线段最短及等腰三角形性质求解.例5. （2019·）如图，一副含30°和45°角的三角板ABC和EDF拼合在个平面上，边AC与EF重合，12AC cm=．当点E从点A出发沿AC方向滑动时，点F同时从点C出发沿射线BC方向滑动．当点E从点A滑动到点C时，点D运动的路径长为cm；连接BD，则△ABD的面积最大值为2cm．【答案】24-1223623126；【解析】解：如图1所示，当E运动至E’，F滑动到F’时，DD'E'G图1过D ’作D ’G ⊥AC 于G ，D ’H ⊥BC 交BC 延长线于点H ，可得∠E ’D ’G =∠F ’D ’H ，D ’E ’=D ’F ’，∴Rt △E ’D ’G ≌Rt △F ’D ’H ，∴D ’G =G ’H ,∴D ’在∠ACH 的角平分线上，即C ，D ，D ’三点共线.通过分析可知，当D ’E ’⊥AC 时，DD ’的长度最大，随后返回初始D 点，如图2所示，D 点的运动路径为D →D ’→D ，行走路线长度为2DD ’；BD'图2∵∠BAC =30°，AC =12，DE =CD∴BC =CD =DE=由图知：四边形E ’CF ’D ’为正方形，CD ’=EF =12，∴DD ’=CD ’-CD =12-D 点运动路程为2DD ’=24-D'图3如图3所示，当点D 运动至D ’时，△ABD ’的面积最大，最大面积为：'''''''ABC AE D BD F E CF D S S S S ++-△△△正方形=(((211112222⨯+⨯--⨯+⨯=【点睛】准确利用全等、角平分线判定得到D 点的运动轨迹是关键，利用三角函数及勾股定理求解，计算较为繁琐，尤其是利用割补法求解三角形的面积时对学生计算能力要求较高，此题难度较大，新颖不失难度.例6. （2019·）如图，在菱形ABCD 中，连接BD 、AC 交于点O ，过点O 作OH ⊥BC 于点H ，以O 为圆心，OH 为半径的半圆交AC 于点M .（1）求证：DC 是圆O 的切线；（2）若AC =4MC ，且AC =8，求图中阴影部分面积；（3）在（2）的前提下，P 是线段BD 上的一动点，当PD 为何值时，PH +PM 的值最小，并求出最小值.BD【答案】见解析.【解析】（1）证明：过点O 作ON ⊥CD 于N ， AC 是菱形ABCD 的对角线，∴AC 平分∠BCD ，∵OH ⊥BC ，ON ⊥CD ，∴OH =ON ，又OH 为圆O 的半径，∴ON 为圆O 的半径，即CD 是圆O 的切线.（2）由题意知：OC =2MC =4，MC =OM =2，即OH =2，在Rt △OHC 中，OC =2OH ，可得：∠OCH =30°，∠COH =60°，由勾股定理得：CH==23OCH OMHS S S π-=-△阴影扇形（3）作点M 关于直线BD 的对称点M ’，连接M ’H 交BD 于点P ， 可知：PM =PM ’即PH +PM =PH +PM ’=HM ’，由两点之间线段最短，知此时PH +PM 最小， ∵OM ’=OM =OH ，∠MOH =60°，∴∠MM ’H =30°=∠HCM ，∴HM ’=HC=即PH +PM的最小值为在Rt △M ’PO 及Rt △COD 中，OP =OM ’ tan 30°=3，OD =OCtan 30°=3， 即PD =OP +OD=B D。
动点与最值问题解题技巧
动点与最值问题解题技巧
1. 确定问题类型：动点与最值问题是指在一定条件下，寻找某个动点的位置或数值达到最大或最小值的问题。
可以通过数学建模、图形分析、函数求导等方法解决。
2. 建立数学模型：根据问题的描述，将问题抽象为一个数学模型。
常见的方法包括建立函数关系式、约束条件和目标函数等。
3. 分析特殊情况：在解题过程中，可以通过分析极端情况或特殊情况来确定动点的位置或数值的最值。
这可以帮助我们更好地理解问题，并推导出一般情况下的解答方法。
4. 使用图形分析：如果问题涉及到几何图形，可以通过绘制图形来分析问题。
通过观察图形的形状、相交关系、对称性等特点，可以得出一些有用的信息，帮助解决动点与最值问题。
5. 求解最值：根据问题的具体要求，可以使用函数求导、代数方法、几何方法等多种方法求解最值问题。
通过求导可以找到函数的极值点，通过代数方法可以消去变量，通过几何方法可以利用几何性质得出最值。
6. 检查答案：在得到最值之后，需要对答案进行检查。
检查的方法可以是代入原问题进行验证，或者在图形上进行观察，是否符合题目的条件。
7. 总结归纳：在解决动点与最值问题时，可以总结出一些经验
和规律，并将其归纳为一般的解题技巧。
这样可以帮助我们更快地解答类似的问题，并提高解题的效率。
七下八次系列课之动点最值问题
几何模型
手拉手模型、半角模型
动点最值问题
绝对值，数轴，三角形
初中数学思想方法初一篇 第八讲 动点最值问题
七年级上册
一、最值问题 二、动点问题
七年级下册
一、最值问题 二、动点问题
七年级上册
绝对值的最值问题，
用零点分段法可以解决，但是会比较繁琐，而采用数 形结合的方法，运用绝对值的几何意义求解，往往能 取得事半功倍的效果．
2、如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，AB表示A点和B点之间的距离， 且a、b满足|a＋2|＋（b＋3a）²＝0 （1）求A、B两点之间的距离； （2）若在数轴上存在一点C，且AC＝2BC，求C点表示的数； （3）若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动； 同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽 略球的大小，可看作一点）以 原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间 为t（秒）， ①分别表示甲、乙两小球到原点的距离（用t表示）； ②求甲、乙两小球到原点的距离相等时经历的时间．
值为
．
（5）|x＋1|−|x−3|的最大值为多少？
（6）式子|x−1|＋|x−2|＋|x−3|＋|x−4|＋…＋|x−197|＋|x−198|＋|x−199|有最小
值为
解：（1）.6−2.＝4，.−2−1.＝3，答案为：4，3； （2）根据两点间距离公式可知：数轴上表示x和1两点之间的距离为.x−1.，数轴上 表示x和−3两点之间的距离为 .x＋3.，故答案为：.x−1.，.x＋3.； （3）x对应点在点−5和3之间时的任意一点时|x−3|＋|x＋5|的值都是8，故答案为： 8； （4）x对应点在点−4和3之间时的任意一点，|x−3|＋|x＋4|的值最小是7，当x对应 点是3时，|x−1|＋|x−2|＋|x−3|＋|x−4|＋|x−5|的最小值为6，故答案为：7，6； （5）当x对应点不在−1和3对应点所在的线段上，即x＜−1或x＞3时，|x＋ 1|−|x−3|的最大值为4，故答案为：4．当 x＜−1 时，|x＋1|−|x−3|＝−4 应该是： 当x＞3时，|x＋1|−|x−3|的最大值为4，
初中数学动点最值问题19大模型+例题详解,彻底解决压轴难题
动点最值问题永远都是中考最难的压轴类题目，很多同学都反应不知道该怎么下手寻找思路。
其实这类题目的题型有限，全部总结归纳就是这19种，希望同学们对每一种都能掌握技巧，再遇见类似的就能及时找到思路。
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1、将军饮马模型（对称点模型）
2、利用三角形两边差求最值
3、手拉手全等取最值
4、手拉手相似取最值
5、平移构造平行四边形求最小
6、两点对称勺子型连接两端求最小
7、两点对称折线连两端求最小
8、时钟模型，中点两定边求最小值
9、时钟模型，相似两定边求最小值
10、转化构造两定边求最值
11、面积转化法求最值
12、相似转化法求最值
13、相似系数化一法求最值
14、三角函数化一求最值
15、轨迹最值
16、三动点的垂直三角形
17、旋转最值
18、隐圆最值-定角动弦
19、隐圆最值-动角定弦。
动点最值题精讲
动点最值题精讲动点最值问题是数学中一个非常重要的问题，它表示了在动态变化中，某个参数随时间而变化时可能取到的最大或最小值。
在这个过程中，我们需要找到这个参数随时间变化的规律，并且计算出这个参数的最大最小值，这需要我们掌握动点最值问题的方法和技巧。
在本文中，我们将更深入地探讨这个问题，并提供几个常见的例子和解决方案。
1. 动点最值问题的基本原理动点最值问题在数学中的表现形式是，一个点 P 在过程中不断变化，变化规律可以表示为：X=f(t), Y=g(t)。
其中 X，Y 分别表示点 P 的横坐标和纵坐标，t 表示时间。
我们需要确定 t 的范围，然后求出 X 和 Y 的最小值和最大值。
解决这个问题的基本方法是通过求导数，在函数的关键点处判断函数的值。
由于我们要求的是最大最小值，所以我们需要找到 f(t) 和 g(t) 的导数。
求导可能比较复杂，但是十分必要。
我们将在下文中讨论如何求解动点最值问题的各个方面。
2. 解决动点最值问题的技巧我们将解决动点最值问题分为以下几个步骤。
第一步，使用物理学的方法。
从物理学（运动学）的角度分析问题，求出变化过程中的速度和加速度等参数。
这种方法适用于解决一个物体在直线或平面上运动的问题。
我们可以将问题抽象为一个物理学问题，然后使用速度和加速度的公式来解决问题。
第二步，使用数学方法。
这是更为常见的方法，也是本文的核心部分。
在这种情况下，我们需要找到一个函数来表示参数的变化过程，然后对该函数求导，找到关键点，最终确定最大最小值。
第三步，使用计算机方法。
现代计算机很擅长解决动点最值问题，因为它们能够计算复杂的函数和大量的数据。
我们可以使用计算机做出模拟，然后找到最大或最小点。
这种方法往往需要程序员或科学家具备一定的计算机技能。
第四步，使用统计学方法。
在某些情况下，使用统计学方法可能更好。
例如，当我们面对大量数据时，我们可以用统计方法来确定数据变化的趋势。
在这种情况下，我们可能使用回归方法或其他统计学方法来找到变化过程的规律，最终决定最大最小值。
动点问题最值
A动点问题最值最值问题有四种情形：定点到动点的最值，动点在圆上或直线上，就是点到圆的最近距离，和点到直线的最近距离；三角形两边之和大于第三边的问题，当两边成一直线最大；几条线段之和构成一条线段最小；还有就是对称点最小问题。
一、定点到动点所在圆的最大或最小值，动点在一个定圆上运动，其实质是圆外一点到圆的最大或最小距离，就是定点与圆心所在直线与圆的交点的两个距离。
方法：证明动点在圆上或者去找不变的特殊三角形，证明两个三角形相似，求出某些边的值。
1．如图，△ABC 、△EFG 均是边长为2的等边三角形，点D 是边BC 、EF 的中点，直线AG 、FC 相交于点M ．当△EFG 绕点D 旋转时，线段BM 长的最小值是〔〕 A ．32-B ．13+C ．2D ．13-提示：点M 在以AC 为直径的圆上2．〔2015•XX 〕如图，已知正方形ABCD 的边长为2，E 是边BC 上的动点，BF ⊥AE 交CD 于点F ，垂足为G ，连结CG ．下列说法：①AG ＞GE ；②AE =BF ；③点G 运动的路径长为π；④CG 的最小值为﹣1．其中正确的说法是②③．〔把你认为正确的说法的序号都填上〕提示：G 在以AB 为直径的圆上：正确答案是：②④3、如图，正方形ABCD 的边长为4cm,正方形AEFG 的边长为1cm ，如果正方形AEFG 绕点A旋转，那么C 、F 两点之间的最小距离为ABC4、如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°,M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是5、如图，等腰直角△ACB，AC=BC=5，等腰直角△CDP，且PB=2，将△CDP绕C点旋转. 〔1〕求证：AD=PB〔2〕若∠CPB=135°，求BD；〔3〕∠PBC=时，BD∠PBC=时，BD有最小值，并画图说明.分析：在△ABD中有：BD≤AB+AD，当BD=AB+AD时BD最大，此时AB与AD在一条直线上，且AD在BA的延长线上，又△ACB是等腰直角三角形，∠CAB=45°，由〔1〕知∠PBC=∠CAD=180°-45°=135°BD≥AB-AD，当BD=AB-AD时BD最小，此时，AB与AD在一条直线上，且AD在线段AB上，此时∠CAD=45°，所以∠PBC=∠CAD=45°6、如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°,∠BAE=135°,AD=1，，F为BE中点.〔1〕求CF的长〔2〕将△ADE绕A旋转一周，求点F运动的路径长；〔3〕△ADE绕点A旋转一周，求线段CF的X围.A BAACCAGDAGDA提示：本题根据中点构造三角形相似，△BOF∽△BAE,且12OF AE==7、如图，AB=4，O为AB中点，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一动点，以点P为直角顶点的等腰△PBC〔点P，B，C按逆时针方向排列〕则线段AC的取值X提示：发现定等腰直角△AOC与等腰直角△OBE，从而得到相似。
动点最值问题探究
动点最值问题19大模型+例题详解，彻底解决压轴难题动点最值问题永远都是中考最难的压轴类题目，很多同学都反应不知道该怎么下手寻找思路。
其实这类题目的题型有限，全部总结归纳就是这19种，希望同学们对每一种都能掌握技巧，再遇见类似的就能及时找到思路。
1、将军饮马模型（对称点模型）
2、利用三角形两边差求最值
3、手拉手全等取最值
4、手拉手相似取最值
5、平移构造平行四边形求最小
6、两点对称勺子型连接两端求最小
7、两点对称折线连两端求最小
8、时钟模型，中点两定边求最小值
9、时钟模型，相似两定边求最小值
10、转化构造两定边求最值
11、面积转化法求最值
12、相似转化法求最值
13、相似系数化一法求最值
14、三角函数化一求最值
15、轨迹最值
16、三动点的垂直三角形
17、旋转最值
18、隐圆最值-定角动弦
19、隐圆最值-动角定弦。
中考数学动点最值问题归纳及解法
中考数学动点最值问题归纳及解法最值问题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题，它主要考察学生对平时所学的内容综合运用，无论是代数问题还是几何问题都有最值问题，在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论（如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）。
利用一次函数和二次函数的性质求最值。
动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。
“坐标几何题”（动点问题）分析动点个数两个一个两个问题背景特殊菱形两边上移动特殊直角梯形三边上移动抛物线中特殊直角梯形底边上移动考查难点探究相似三角形探究三角形面积函数关系式探究等腰三角形考点①菱形性质②特殊角三角函数③求直线、抛物线解析式④相似三角形⑤不等式①求直线解析式②四边形面积的表示③动三角形面积函数④矩形性质①求抛物线顶点坐标②探究平行四边形③探究动三角形面积是定值④探究等腰三角形存在性特点①菱形是含60°的特殊菱形；△AOB是底角为30°的等腰三角形。
②一个动点速度是参数字母。
③探究相似三角形时，按对应角不同分类讨论；先画图，再探究。
④通过相似三角形过度，转化相似比得出方程。
⑤利用a、t范围，运用不等式求出a、t的值。
①观察图形构造特征适当割补表示面积②动点按到拐点时间分段分类③画出矩形必备条件的图形探究其存在性①直角梯形是特殊的（一底角是45°）②点动带动线动③线动中的特殊性（两个交点D、E是定点；动线段PF长度是定值，PF=OA）④通过相似三角形过度，转化相似比得出方程。
⑤探究等腰三角形时，先画图，再探究（按边相等分类讨论）近几年共同点：①特殊四边形为背景；②点动带线动得出动三角形；③探究动三角形问题（相似、等腰三角形、面积函数关系式）；④求直线、抛物线解析式；⑤探究存在性问题时，先画出图形，再根据图形性质探究答案。
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初中数学动点最值问题解法探析
一、问题原型：
（人教版八年级上册第42页探究）如图1-1，要在燃气管道上修建一个泵站，分别向、两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？
这个“确定最短路线”问题，是一个利用轴对称解决极值的经典问题。
解这类问题
二、基本解法：
对称共线法。
利用轴对称变换，将线路中各线段映射到同一直线上（线路长度不变），确定动点位置，计算线路最短长度。
三、一般结论：
(在线段上时取等号)（如图1-2）
线段和最小，常见有三种类型：
（一）“|定动|+|定动|”型：两定点到一动点的距离和最小
通过轴对称，将动点所在直线同侧的两个定点中的其中一个，映射到直线的另一侧，当动点在这个定点的对称点及另一定点的线段上时，由“两点之间线段最短”可知线段和的最小值，最小值为定点线段的长。
1.两个定点+一个动点。
如图1-3，作一定点关于动点所在直线的对称点，线段（是另一定点）与的交点即为距离和最小时动点位置，最小距离和。
例1（2006年河南省中考题）如图2，正方形的边长为，是的中点，
是对角线上一动点，则的最小值是。
解析：与关于直线对称，连结，则。
连结,在中，，，则
故的最小值为例2 （2009年济南市中考题）如图3，已知：抛物线的对称轴为，与轴交于、两点，与轴交于点，其中，。
（1）求这条抛物线的函数表达式；
（2）已知在对称轴上存在一点，使得的周长最小，请求出点的坐标。
解析：（1）对称轴为，，由对称性可知：。
根据、、
三点坐标，利用待定系数法，可求得抛物线为：
（2）与关于对称轴对称，连结，与对称轴交点即为所求点。
设直线解析式为：。
把、代入得，。
当时，，则
2.两个定点+两个动点。
两动点，其中一个随另一个动（一个主动，一个从动），并且两动点间的距离保持不变。
用平移方法，可把两动点变成一个动点，转化为“两个定点和一个动点”类型来解。
例3 如图4，河岸两侧有、两个村庄，为了村民出行方便，计划在河上修一座桥，桥修在何处才能两村村民来往路程最短？
解析：设桥端两动点为、，那么点随点而动，等于河宽，且垂直于河岸。
将向上平移河宽长到，线段与河北岸线的交点即为桥端点位置。
四边形为平行四边形，，此时值最小。
那么来往、两村最短路程为：。
例4 (2010年天津市中考)在平面角坐标系中，矩形的顶点在坐标原点，顶点、分别在轴、轴的正半轴上，，，为边的中点。
（1）若为边上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标；
（2）若，为边上的两个动点，且，当四边形的周长最小时，求点，的坐标。
解析：作点关于轴的对称点，则，。
（1）连接交轴于点，连接，此时的周长最小。
由
可知，那么，则。
（2）将向左平移2个单位（）到点，定点、分别到动点、的距离和等于为定点、到动点的距离和，即。
从而把“两个定点和两个动点”类问题转化成“两个定点和一个动点”类型。
在上截取，连接交轴于，四边形为平行四边形，。
此时值最小，则四边形的周长最小。
由、可求直线解析式为，当时，，即，则。
（也可以用（1）中相似的方法求坐标）
（二）“|动定|+|动动|”型：
两动点分别在两条直线上独立运动，一动点分别到一定点和另一动点的距离和最小。
利用轴对称变换，使一动点在另一动点的对称点与定点的线段上（两点之间线段最短），且这条线段垂直于另一动点的对称点所在直线（连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短）时，两线段和最小，最小值等于这条垂线段的长。
例5 （2009年陕西省中考）如图6，在锐角中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值为 4 。
解析：角平分线所在直线是角的对称轴，上动点关于的对称点在上，，，当时，最小。
作于，交于，
∵，
∴
作交于，
例6 如图7，四边形是等腰梯形，、在轴上，在轴上，，，，，抛物线过、两点。
（1）求、；
（2）设是轴上方抛物线上的一动点，它到轴与轴的距离之和为，求的最大值；
（3）当（2）中点运动到使取最大值时，此时记点为，设线段与轴交于点，为线段上一动点，求到点与到轴的距离之和的最小值，并求此时点的坐标。
解析：（1）由，，，可得：、、、；根据、的坐标可求出抛物线解析式为
（2）设，且，则，用零点分
段法可求得，。
当时，。
此时，则。
（3）轴与直线关于对称，作轴于，动点关于的对称点在直线上，，当垂直于直线时，的值最小。
，根据和可求直线的解析式，则有。
由
可知，。
作，过点作轴的平行线，交于，那么。
作于，则，，当是于的交点时，
与重合，有最小值5。
函数，此时，则，即。
3.“|定动|+|动动|+|动定|”型：两定点到两动点的距离、以及两动之间距离和最小。
例7 （2009年漳州中考）如图8，，是内一点，，、分别是和上的动点，求周长的最小值。
解析：分别作关于、的对称点、，连接，则，
当、在线段上时，周长最小，
∵，
∴。
则周长的最小值为
例8 （2009年恩施中考）恩施到张家界高速公路与沪渝高速公路垂直，如图9建立直角坐标系。
著名的恩施大峡谷（）和世界级自然保护区星斗山（）位于两高速公路同侧，，到直线的距离为，到直线和的距离分别为
和。
请你在旁和旁各修建一服务区、，使、、、组成的四边形的周长最小，并求出这个最小值。
解析：作点关于轴的对称点，点关于轴的对称点，连接，。
当、在线段上时，
最小。
过、分别作轴、轴的平行线交于。
在中，，，交轴于，交轴于。
，而
∴四边形的周长最小值为：。