(完整版)2018初三数学中考复习动点或最值问题专题复习训练题及答案
2018 初三数学中考复习 动点或最值问题 专题复习训练题
一、选择题
1．(2016·百色)如图，正△ABC 的边长为2，过点B 的直线l ⊥AB ，且△ABC 与△A ′BC ′关于直线l 对称，D 为线段BC ′上一动点，则AD ＋CD 的最小值是( A )
A ．4
B ．3 2
C ．2 3
D ．2＋ 3
2．如图，直线y ＝2
3x ＋4与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，点C ，D 分别为线
段AB ，OB 的中点，点P 为OA 上一动点，PC ＋PD 值最小时点P 的坐标为( C )
A ．(－3，0)
B ．(－6，0)
C ．(－32，0)
D ．(－5
2
，0)
3．已知a ≥2，m 2－2am ＋2＝0，n 2－2an ＋2＝0，则(m －1)2＋(n －1)2的最小值是( A )
A ．6
B ．3
C ．－3
D ．0
4．矩形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B 的坐标为(3，4)，D 是OA 的中点，点E 在AB 上，当△CDE 的周长最小时，点E 的坐标为( B )
A ．(3，1)
B ．(3，43)
C ．(3，5
3
) D ．(3，2)
5．如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，tanC ＝3
4，AB ＝6 cm.动点P 从点A 开始沿边
AB 向点B 以1 cm/s 的速度移动，动点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以2 cm/s 的
速度移动．若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，在运动过程中，△PBQ的最大面积是( C )
A．18 cm2 B．12 cm2 C．9 cm2 D．3 cm2
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2.P是AB边上一动点，PD⊥AC于点D，点E在P的右侧，且PE＝1，连接CE.P从点A出发，沿AB方向运动，当E到达点B时，P停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积S1＋S2的大小变化情况是( C )
A．一直减小 B．一直不变
C．先减小后增大 D．先增大后减小
二、填空题
7．如图，正方形ABCD 的边长是8，P 是CD 上的一点，且PD 的长为2，M 是其对角线AC 上的一个动点，则DM ＋MP 的最小值是___10__．
8．如图，已知点A 是双曲线y ＝6
x 在第三象限分支上的一个动点，连接AO 并
延长交另一分支于点B ，以AB 为边作等边三角形ABC ，点C 在第四象限内，且随着点A 的运动，点C 的位置也在不断变化，但点C 始终在双曲线y ＝k
x 上运动，
则k 的值是
9．如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，BC ＝20，DE 是△ABC 的中位线，点M 是边BC 上一点，BM ＝3，点N 是线段MC 上的一个动点，连接DN ，ME ，DN 与ME 相交于点O.若△OMN 是直角三角形，则DO 的长是__256或50
13
__．
10．如图，边长为4的正方形ABCD 内接于点O ，点E 是AB ︵
上的一动点(不与A ，B 重合)，点F 是BC ︵
上的一点，连接OE ，OF ，分别与AB ，BC 交于点G ，H ，且∠EOF ＝90°，有以下结论：
①AE ︵＝BF ︵；
②△OGH 是等腰直角三角形；
③四边形OGBH 的面积随着点E 位置的变化而变化；
④△GBH周长的最小值为4＋ 2.
其中正确的是__①②__．(把你认为正确结论的序号都填上)
11. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1，0)，B(1－a，0)，C(1＋a，0)(a ＞0)，点P在以D(4，4)为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC＝90°，则a的最大值是__6__．
12. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A，B的坐标分别为(8，0)，(0，23)，C是AB的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，动点P从点D出发，沿DC向点C匀速运动，过点P作x轴的垂线，垂足为E，连接BP，EC.当BP所在直线与EC所在直线第一次垂直时，点P的坐标为3)_____．
13. 如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，点A的坐标为(－1，0)，∠ABO＝30°，线段PQ的端点P从点O出发，沿△OBA的边按O→B→A→O 运动一周，同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动，如果PQ＝3，那么当点P运动一周时，点Q运动的总路程为__4__．
三、解答题
14．如图，抛物线y＝1
2
x2＋bx－2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且
A(－1，0)．
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
(2)点M是x轴上的一个动点，当△DCM的周长最小时，求点M的坐标．
解：(1)∵点A(－1，0)在抛物线y ＝12x 2＋bx －2上，∴1
2×(－1)2＋b ×(－1)－2
＝0，解得b ＝－32，∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－32x －2，∵y ＝12x 2－32x －2＝1
2(x
－32)2－258，∴顶点D 的坐标为(32，－25
8
)
(2)作出点C 关于x 轴的对称点C ′，则C ′(0，2)，连接C ′D 交x 轴于点M ，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，CD 一定，当MC ＋MD 的值最小时，△CDM 的周长最小，设直线C ′D 的解析式为y ＝ax ＋b(a ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，32
a ＋
b ＝－258，解得
a ＝－4112，
b ＝2，∴y C ′D ＝－4112x ＋2，当y ＝0时，－4112x ＋2＝0，则x ＝2441，∴M(2441，
0)。
2018年中考数学压轴题专题32动态几何之双(多)动点形成的最值问题(解析版)
AG AC
5t 6
4 (5ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
t) ，∴ S= SΔPMN = 1 MN ?PG= GN ?PG= (5
2t )
4 (5
8t 2 t) =
60t
100 ；
3
2
3
3
10
③当 2.5 t
时， M 在 N的右边，在 AC上逐渐远离 C，如图 3．
3
MN =NB+AM－ AB= 3t t 10 = 4t 10 ， GN=MG =2t 5 ， AM=t， ∴ AG= AM－ MG = t (2 t 5) = 5 t ，
10
5
2
2
1
1 26
10
FM = t ， 5
∴
SΔKAC
=
2
AC? EK =
2
6 t = t ， ∵ 1.4 55
t
，∴当 t 3
1.4 时 ， SΔKAC 的 最 小 值 =
6 1.4 1.68 ，当 t 5
10
时，
3
SΔKAC
的最大值
6
=
5
10 3
4 ．∴当 P在 CA上运动时，△ KAC 面积的最小值为
8 t ， ∴ QP=
QF 2
PF 2 =
BP 5
5
5
(8
8 t)2
( 4 t )2 = 4 1 t 2
8 t
4
5
5
55
3
40
①当 PQ=PB 时，∵ PF ⊥ QB，∴ BF=QF，∴ BQ=2BF，即： 8 t 2 t ，解得 t= ；
5
11
②当 PQ=BQ 时，即 4 1 t2 5
2018年人教版中考数学经典复习题中考动点问题
中考动点问题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.数学思想：分类思想 函数思想 方程思想 数形结合思想 转化思想函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析. 一、应用勾股定理建立函数解析式例1 )如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G.(1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.(2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围).(3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长.解:(1)当点P 在弧AB 上运动时,OP 保持不变,于是线段GO 、GP 、GH中,有长度保持不变的线段，这条线段是GH=32NH=2132⋅OP=2.(2)在Rt △POH 中, 22236x PH OP OH -=-=, ∴2362121x OH MH -==. 在Rt △MPH 中,.∴y =GP=32MP=233631x + (0<x <6).(3)△PGH 是等腰三角形有三种可能情况:①GP=PH 时,x x =+233631,解得6=x . 经检验, 6=x 是原方程的根,且符合题意. ②GP=GH 时, 2336312=+x ,解得0=x . 经检验, 0=x 是原方程的根,但不符合题意. ③PH=GH 时,2=x .综上所述,如果△PGH 是等腰三角形,那么线段PH 的长为6或2.二、应用比例式建立函数解析式例2 如图2,在△ABC 中,AB=AC=1,点D,E 在直线BC 上运动.设BD=,x CE=y . (1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式；(2)如果∠BAC 的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由.2222233621419x x x MH PH MP +=-+=+=HM NGPOAB图1x y解:(1)在△ABC 中,∵AB=AC,∠BAC=30°,∴∠ABC=∠ACB=75°, ∴∠ABD=∠ACE=105°.∵∠BAC=30°,∠DAE=105°, ∴∠DAB+∠CAE=75°, 又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°, ∴∠CAE=∠ADB,∴△ADB ∽△EAC, ∴AC BD CE AB =,∴11x y =, ∴xy 1=. (2)由于∠DAB+∠CAE=αβ-,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=290α-︒,且函数关系式成立,∴290α-︒=αβ-, 整理得=-2αβ︒90.当=-2αβ︒90时,函数解析式xy 1=成立. 三、应用求图形面积的方法建立函数关系式例4 如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A 的半径为1.若点O 在BC 边上运动(与点B 、C 不重合),设BO=x ,△AOC 的面积为y .(1)求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域. (2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当⊙O 与⊙A 相切时, △AOC 的面积.解:(1)过点A 作AH ⊥BC,垂足为H.∵∠BAC=90°,AB=AC=22, ∴BC=4,AH=21BC=2. ∴OC=4-x . ∵AH OC S AOC ⋅=∆21, ∴4+-=x y (40<<x ). (2)①当⊙O 与⊙A 外切时,在Rt △AOH 中,OA=1+x ,OH=x -2, ∴222)2(2)1(x x -+=+. 解得67=x . 此时,△AOC 的面积y =617674=-. ②当⊙O 与⊙A 内切时,在Rt △AOH 中,OA=1-x ,OH=2-x , ∴222)2(2)1(-+=-x x . 解得27=x . 此时,△AOC 的面积y =21274=-. 综上所述,当⊙O 与⊙A 相切时,△AOC 的面积为617或21.动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
2018年中考数学《几何图形的动点问题》同步提分训练含答案解析
2018年中考数学提分训练: 几何图形的动点问题一、选择题1.如图，在Rt△PMN中，∠P=90°，PM=PN，MN=6cm，矩形ABCD中AB=2cm，BC=10cm，点C和点M重合，点B，C（M）、N在同一直线上，令Rt△PMN不动，矩形ABCD沿MN所在直线以每秒1cm的速度向右移动，至点C与点N重合为止，设移动x秒后，矩形ABCD与△PMN重叠部分的面积为y，则y与x 的大致图象是（）A. B. C. D.2.如图1,在矩形ABCD中,动点E从A出发,沿方向运动,当点E到达点C时停止运动,过点E做,交CD于F点,设点E运动路程为x, ,如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象,当点E在BC上运动时,FC的最大长度是,则矩形ABCD的面积是( )A. B. C. 6 D. 53.如图甲，A，B是半径为1的⊙O上两点，且OA⊥OB．点P从A出发，在⊙O上以每秒一个单位的速度匀速运动，回到点A运动结束．设运动时间为x，弦BP的长度为y，那么如图乙图象中可能表示y与x的函数关系的是（）A. ①B. ④C. ①或③D. ②或④4.如图，平行四边形ABCD中，AB= cm，BC=2cm，∠ABC=45°，点P从点B出发，以1cm/s的速度沿折线BC→CD→DA运动，到达点A为止，设运动时间为t(s)，△ABP的面积为S(cm2)，则S与t的大致图象是（）A. B. C. D.5.如图,矩形ABCD,R是CD的中点,点M在BC边上运动,E，F分别为AM，MR的中点,则EF的长随M点的运动( )A. 变短B. 变长C. 不变D. 无法确定二、填空题6.在Rt△ABC中，AB=1，∠A=60°，∠ABC=90°，如图所示将Rt△ABC沿直线l无滑动地滚动至Rt△DEF，则点B所经过的路径与直线l所围成的封闭图形的面积为________．（结果不取近似值）7.如图，在平面直角坐标系中，A(4，0)、B(0，-3)，以点B为圆心、2 为半径的⊙B上有一动点P.连接AP，若点C为AP的中点，连接OC，则OC的最小值为________．8.如图，在△ABC中，BC＝AC＝5，AB＝8，CD为AB边的高，点A在x轴上，点B在y轴上，点C在第一象限，若A从原点出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动，则点B随之沿y轴下滑，并带动△ABC 在平面内滑动，设运动时间为t秒，当B到达原点时停止运动（1）连接OC，线段OC的长随t的变化而变化，当OC最大时，t＝________；（2）当△ABC的边与坐标轴平行时，t＝________。
2018年中考压轴题(动点问题) 精品
2018压轴题-动点问题1、（2018包头）如图，已知ABC△中，10AB AC==厘米，8BC=厘米，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，BPD△与CQP△是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使BPD△与CQP△全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC△三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在ABC△的哪条边上相遇？2、（2018齐齐哈尔）直线364y x=-+与坐标轴分别交于A B、两点，动点P Q、同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O→B→A运动．（1）直接写出A B、两点的坐标；（2）设点Q的运动时间为t秒，OPQ△的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；（3）当485S=时，求出点P的坐标，并直接写出以点O P Q、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．3（2018深圳）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x－8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P.（1）连结PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；（2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？4（2018哈尔滨）如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（－3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．（1）求直线AC的解析式；（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．5（2018河北）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C 出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．（1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是；（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；（4）当DE经过点C 时，请直接．．写出t的值．6（2018河南））如图，在Rt ABC°，°，2BC=．点ACB B∠=∠=△中，9060O是AC的中点，过点O的直线l从与AC重合的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交AB边于点D．过点C作CE AB∥交直线l于点E，设直线l的旋转角为α．（1）①当α=度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为；②当α=度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为；α=°时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由．（2）当90（备用图）7（2018济南）如图，在梯形ABCD 中，3545AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒． （1）求BC 的长．（2）当MN AB ∥时，求t 的值． （3）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．8（2018江西）如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，过点E 作EF BC ∥交CD 于点F ．46AB BC ==，，60B =︒∠. （1）求点E 到BC 的距离；（2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM EF ⊥交BC 于点M ，过M 作MN AB ∥交折线ADC 于点N ，连结PN ，设EP x =.①当点N 在线段AD 上时（如图2），PMN △的形状是否发生改变？若不变，求出PMN △的周长；若改变，请说明理由；②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使PMN △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由.CMA D E BF C图4（备用）ADE BF C图5（备用）A D E BF C图1 图2A D EBF C PNM 图3A D EBFCPN M（第25题）9（2018兰州）如图①，正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限．动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C →D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．(1)当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；(2)求正方形边长及顶点C的坐标；(3)在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标；(4)如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．10（2018临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD∠的是正方形，点E是边BC的中点．90∠=，且EF交正方形外角DCGAEF平行线CF于点F，求证：AE=EF．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM =EC ，易证AME ECF △≌△，所以AE EF =．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE =EF ”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．11（2018天津）已知一个直角三角形纸片OAB ，其中9024AOB OA OB ∠===°，，．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB 交于点C ，与边AB 交于点D ．（Ⅰ）若折叠后使点B 与点A 重合，求点C 的坐标；（Ⅱ）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B '，设OB x '=，OC y =，试写出y 关于x 的函数解析式，并确定y 的取值范围；（Ⅲ）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B '，且使B D OB '∥，求此时点C 的坐标．ADFC GE 图1ADF C GE 图2 ADFC GE B图312（2018太原）问题解决 如图（1），将正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C ，D 重合），压平后得到折痕MN ．当12CE CD =时，求AMBN 的值．类比归纳在图（1）中，若13CE CD =，则AM BN 的值等于 ；若14CE CD =，则AMBN 的值等于 ；若1CE CD n =（n 为整数），则AMBN的值等于 ．（用含n 的式子表示） 联系拓广如图（2），将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C D ，重合），压平后得到折痕MN ，设()111AB CE m BC m CD n =>=，，则AMBN的值等于 ．（用含m n ，的式子表示）方法指导： 为了求得AMBN 的值，可先求BN 、AM 的长，不妨设：AB =2图（2）N A BCDEFM 图（1） A B CDEFMN。
初中数学最值问题专题
初中数学最值问题专题中考数学最值问题【例题1】(经典题)⼆次函数y=2(x ﹣3)2﹣4得最⼩值为 .【例题2】(2018江西)如图,AB 就是⊙O 得弦,AB=5,点C 就是⊙O 上得⼀个动点,且∠ACB=45°,若点M 、N 分别就是AB 、AC 得中点,则MN 长得最⼤值就是 .【例题3】(2019湖南张家界)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)过点A (1,0),B (3,0)两点,与y 轴交于点C ,OC ＝3. (1)求抛物线得解析式及顶点D 得坐标;(2)过点A 作AM ⊥BC ,垂⾜为M ,求证:四边形ADBM 为正⽅形;(3)点P 为抛物线在直线BC 下⽅图形上得⼀动点,当△PBC ⾯积最⼤时,求P 点坐标及最⼤⾯积得值; (4)若点Q 为线段OC 上得⼀动点,问AQ ＋QC 就是否存在最⼩值?若存在,求岀这个最⼩值;若不存在,请说明理由.练习1、(2018河南)要使代数式有意义,则x 得( )A 、最⼤值为B 、最⼩值为C 、最⼤值为D 、最⼤值为2、(2018四川绵阳)不等边三⾓形?ABC 得两边上得⾼分别为4与12且第三边上得⾼为整数,那么此⾼得最⼤值可能为________。
3、(2018齐齐哈尔)设a 、b 为实数,那么a ab b a b 222++--得最⼩值为_______。
4、(2018云南)如图,MN 就是⊙O 得直径,MN=4,∠AMN=40°,点B 为弧AN 得中点,点P 就是直径MN 上得⼀个动点,则PA+PB 得最⼩值为 .5、(2018海南)某⽔果店在两周内,将标价为10元/⽄得某种⽔果,经过两次降价后得价格为8、1元/⽄,并且两次降价得百分率相同.(1)求该种⽔果每次降价得百分率;(2)从第⼀次降价得第1天算起,第x 天(x 为正数)得售价、销量及储存与损耗费⽤得相关信息如表所⽰、已知该种⽔果得进价为4、1元/⽄,设销售该⽔果第x (天)得利润为y (元),求y 与x (1≤x ＜15)之间得函数关系式,并求出第⼏天时销售利润最⼤？(3)在(2)得条件下,若要使第15天得利润⽐(2)中最⼤利润最多少127、5元,则第 15天在第14天得价格基础上最多可降多少元？6、(2018湖北荆州)某玩具⼚计划⽣产⼀种玩具熊猫,每⽇最⾼产量为40只,且每⽇产出得产品全部售出,已知⽣产x 只玩具熊猫得成本为R(元),售价每只为P(元),且R 、P 与x 得关系式分别为R x =+50030,P x =-1702。
2018年中考数学专题复习第七讲几何最值问题解题策略
中考数学专题复习第七讲几何最值问题解题策略【专题分析】最值问题是初中数学的重要内容,无论是代数问题还是几何问题都有最值问题,在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论(如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等)以及用一次函数和二次函数的性质来求最值问题.【知识归纳】1.在求几何图形中的周长或线段长度最值时,解决此类问题的方法一般是先将要求线段(要求的量)用未知数x表示出来,建立函数模型(一般所表示的式子为一次函数解析式或二次函数解析式),常用勾股定理或三角形相似求得函数关系式,再用函数的增减性或最值来求解即可.2.利用对称的性质求两条线段之和最小值的问题,解决此类问题的方法为:如图,要求直线l上一动点P到点A,B距离之和的最小值,先作点A关于直线l的对称点A',连接A'B,则A'B与直线l的交点即为P点,根据对称性可知此时A'B的长即为PA+PB的最小值,求出A'B的值即可.【题型解析】题型1: 三角形中最值问题例题：（2017山东枣庄）如图，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，PC+PD值最小时点P 的坐标为（）A．（﹣3，0）B．（﹣6，0）C．（﹣，0） D．（﹣，0）【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征；PA：轴对称﹣最短路线问题．【分析】（方法一）根据一次函数解析式求出点A、B的坐标，再由中点坐标公式求出点C、D的坐标，根据对称的性质找出点D′的坐标，结合点C、D′的坐标求出直线CD′的解析式，令y=0即可求出x的值，从而得出点P的坐标．（方法二）根据一次函数解析式求出点A、B的坐标，再由中点坐标公式求出点C、D的坐标，根据对称的性质找出点D′的坐标，根据三角形中位线定理即可得出点P为线段CD′的中点，由此即可得出点P的坐标．【解答】解：（方法一）作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时PC+PD值最小，如图所示．令y=x+4中x=0，则y=4，∴点B的坐标为（0，4）；令y=x+4中y=0，则x+4=0，解得：x=﹣6，∴点A的坐标为（﹣6，0）．∵点C、D分别为线段AB、OB的中点，∴点C（﹣3，2），点D（0，2）．∵点D′和点D关于x轴对称，∴点D′的坐标为（0，﹣2）．设直线CD′的解析式为y=kx+b，∵直线CD′过点C（﹣3，2），D′（0，﹣2），∴有，解得：，∴直线CD′的解析式为y=﹣x﹣2．令y=﹣x﹣2中y=0，则0=﹣x﹣2，解得：x=﹣，∴点P的坐标为（﹣，0）．故选C．（方法二）连接CD，作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时PC+PD值最小，如图所示．令y=x+4中x=0，则y=4，∴点B的坐标为（0，4）；令y=x+4中y=0，则x+4=0，解得：x=﹣6，∴点A的坐标为（﹣6，0）．∵点C、D分别为线段AB、OB的中点，∴点C（﹣3，2），点D（0，2），CD∥x轴，∵点D′和点D关于x轴对称，∴点D′的坐标为（0，﹣2），点O为线段DD′的中点．又∵OP∥CD，∴点P为线段CD′的中点，∴点P的坐标为（﹣，0）．故选C．方法指导：出现最值问题,可转化为轴对称知识所涉及的最短路径问题是我们解答此类问题的常见方法.题型2: 四边形中最值问题例题:（2017贵州安顺）如图所示，正方形ABCD的边长为6，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为 6 ．【考点】PA：轴对称﹣最短路线问题；KK：等边三角形的性质；LE：正方形的性质．【分析】由于点B与D关于AC对称，所以连接BD，与AC的交点即为P点．此时PD+PE=BE最小，而BE是等边△ABE的边，BE=AB，由正方形ABCD的边长为6，可求出AB的长，从而得出结果．【解答】解：设BE与AC交于点P，连接BD，∵点B与D关于AC对称，∴PD=PB，最小．∴PD+PE=PB+PE=BE即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，为BE的长度；∵正方形ABCD的边长为6，∴AB=6．又∵△ABE是等边三角形，∴BE=AB=6．故所求最小值为6．故答案为：6．方法指导：本题借助不等式“a2+b2≥2ab”通过代换转化来求平行四边形面积的最值,体现了转化思想和整体思想的运用.题型3:圆中最值问题例题：（2017浙江衢州）如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为（﹣1，0），半径为1，点P为直线y=﹣x+3上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是2．【考点】MC：切线的性质；F5：一次函数的性质．【分析】连接AP，PQ，当AP最小时，PQ最小，当AP⊥直线y=﹣x+3时，PQ 最小，根据两点间的距离公式得到AP=3，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：连接AP，PQ，当AP最小时，PQ最小，∴当AP⊥直线y=﹣x+3时，PQ最小，∵A的坐标为（﹣1，0），y=﹣x+3可化为3x+4y﹣12=0，∴AP==3，∴PQ==2．方法指导: 此题综合性强,解题方法很多,考查范围较广,与初中数学很多内容有关,如勾股定理、圆周角定理及推论、垂径定理、相似、三角函数、二次函数、垂线段的性质、二次根式的计算与化简等.考查了多种数学思想,如建模思想、化归思想等.此题难度中等,有一定的灵活性,考生不易拿满分.【提升训练】1. （2017江苏盐城）如图，在边长为1的小正方形网格中，将△ABC绕某点旋转到△A'B'C'的位置，则点B运动的最短路径长为π．【考点】O4：轨迹；R2：旋转的性质．【分析】如图作线段AA′、CC′的垂直平分线相交于点P，点P即为旋转中心，观察图象可知，旋转角为90°（逆时针旋转）时B运动的路径长最短【解答】解：如图作线段AA′、CC′的垂直平分线相交于点P，点P即为旋转中心，观察图象可知，旋转角为90°（逆时针旋转）时B运动的路径长最短，PB==，∴B运动的最短路径长为==π，故答案为π．2. （2017?新疆）如图，在边长为6cm的正方形ABCD中，点E、F、G、H分别从点A、B、C、D同时出发，均以1cm/s的速度向点B、C、D、A匀速运动，当点E 到达点B时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为 3 s时，四边形EFGH的面积最小，其最小值是18 cm2．【考点】H7：二次函数的最值；LE：正方形的性质．【分析】设运动时间为t（0≤t≤6），则AE=t，AH=6﹣t，由四边形EFGH的面积=正方形ABCD的面积﹣4个△AEH的面积，即可得出S四边形EFGH关于t的函数关系式，配方后即可得出结论．【解答】解：设运动时间为t（0≤t≤6），则AE=t，AH=6﹣t，根据题意得：S四边形EFGH=S正方形ABCD﹣4S△AEH=6×6﹣4×t（6﹣t）=2t2﹣12t+36=2（t ﹣3）2+18，∴当t=3时，四边形EFGH的面积取最小值，最小值为18．故答案为：3；18【点评】本题考查了二次函数的最值、三角形以及正方形的面积，通过分割图形求面积法找出S四边形EFGH关于t的函数关系式是解题的关键．3. (2017湖北宜昌)正方形ABCD的边长为1，点O是BC边上的一个动点（与B，C不重合），以O为顶点在BC所在直线的上方作∠MON=90°．（1）当OM经过点A时，①请直接填空：ON 不可能（可能，不可能）过D点；（图1仅供分析）②如图2，在ON上截取OE=OA，过E点作EF垂直于直线BC，垂足为点F，作EH ⊥CD于H，求证：四边形EFCH为正方形．（2）当OM不过点A时，设OM交边AB于G，且OG=1．在ON上存在点P，过P 点作PK垂直于直线BC，垂足为点K，使得S△PKO=4S△OBG，连接GP，求四边形PKBG 的最大面积．【考点】LO：四边形综合题．【分析】（1）①若ON过点D时，则在△OAD中不满足勾股定理，可知不可能过D 点；②由条件可先判业四边形EFCH为矩形，再证明△OFE≌△ABO，可证得结论；（2）由条件可证明△PKO∽△OBG，利用相似三角形的性质可求得OP=2，可求得△POG面积为定值及△PKO和△OBG的关系，只要△CGB的面积有最大值时，则四边形PKBG的面积就最大，设OB=a，BG=b，由勾股定理可用b表示出a，则可用a表示出△CBG的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值，则可求得四边形PKBG面积的最大值．【解答】解：（1）①若ON过点D，则OA＞AB，OD＞CD，∴OA2＞AD2，OD2＞AD2，∴OA2+OD2＞2AD2≠AD2，∴∠AOD≠90°，这与∠MON=90°矛盾，∴ON不可能过D点，故答案为：不可能；②∵EH⊥CD，EF⊥BC，∴∠EHC=∠EFC=90°，且∠HCF=90°，∴四边形EFCH为矩形，∵∠MON=90°，∴∠EOF=90°﹣∠AOB，在正方形ABCD中，∠BAO=90°﹣∠AOB，∴∠EOF=∠BAO，在△OFE和△ABO中∴△OFE≌△ABO（AAS），∴EF=OB，OF=AB，，又OF=CF+OC=AB=BC=BO+OC=EF+OC∴CF=EF，∴四边形EFCH为正方形；（2）∵∠POK=∠OGB，∠PKO=∠OBG，∴△PKO∽△OBG，∵S△PKO=4S△OBG，∴=（）2=4，∴OP=2，∴S△POG=OG?OP=×1×2=1，设OB=a，BG=b，则a2+b2=OG2=1，∴b=，∴S△OBG=ab=a==，∴当a2=时，△OBG有最大值，此时S△PKO=4S△OBG=1，∴四边形PKBG的最大面积为1+1+=．4. （2017甘肃张掖）如图，已知二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于点B（﹣2，0），点C（8，0），与y轴交于点A．（1）求二次函数y=ax2+bx+4的表达式；（2）连接AC，AB，若点N在线段BC上运动（不与点B，C重合），过点N作NM ∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求N点的坐标；（3）连接OM，在（2）的结论下，求OM与AC的数量关系．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）由B、C的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）可设N（n，0），则可用n表示出△ABN的面积，由NM∥AC，可求得，则可用n表示出△AMN的面积，再利用二次函数的性质可求得其面积最大时n的值，即可求得N点的坐标；（3）由N点坐标可求得M点为AB的中点，由直角三角形的性质可得OM=AB，在Rt△AOB和Rt△AOC中，可分别求得AB和AC的长，可求得AB与AC的关系，从而可得到OM和AC的数量关系．【解答】解：（1）将点B，点C的坐标分别代入y=ax2+bx+4可得，解得，∴二次函数的表达式为y=﹣x2+x+4；（2）设点N的坐标为（n，0）（﹣2＜n＜8），则BN=n+2，CN=8﹣n．∵B（﹣2，0），C（8，0），∴BC=10，在y=﹣x2+x+4中令x=0，可解得y=4，∴点A（0，4），OA=4，∴S△ABN=BN?OA=（n+2）×4=2（n+2），∵MN∥AC，∴，∴==，∴，∵﹣＜0，∴当n=3时，即N（3，0）时，△AMN的面积最大；（3）当N（3，0）时，N为BC边中点，∵MN∥AC，∴M为AB边中点，∴OM=AB，∵AB===2，AC===4，∴AB=AC，∴OM=AC．5. （2017江苏盐城）【探索发现】如图①，是一张直角三角形纸片，∠B=60°，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为．【拓展应用】如图②，在△ABC中，BC=a，BC边上的高AD=h，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为．（用含a，h的代数式表示）【灵活应用】如图③，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（∠B为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积．【实际应用】如图④，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB=50cm，BC=108cm，CD=60cm，且tanB=tanC=，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M、N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，求该矩形的面积．【考点】LO：四边形综合题．【分析】【探索发现】：由中位线知EF=BC、ED=AB、由=可得；【拓展应用】：由△APN∽△ABC知=，可得PN=a﹣PQ，设PQ=x，由S矩形2+，据此可得；PQMN=PQ?PN═﹣（x﹣）【灵活应用】：添加如图1辅助线，取BF中点I，FG的中点K，由矩形性质知AE=EH20、CD=DH=16，分别证△AEF≌△HED、△CDG≌△HDE得AF=DH=16、CG=HE=20，从而判断出中位线IK的两端点在线段AB和DE上，利用【探索发现】结论解答即可；【实际应用】：延长BA、CD交于点E，过点E作EH⊥BC于点H，由tanB=tanC 知EB=EC、BH=CH=54，EH=BH=72，继而求得BE=CE=90，可判断中位线PQ的两端点在线段AB、CD上，利用【拓展应用】结论解答可得．【解答】解：【探索发现】∵EF、ED为△ABC中位线，∴ED∥AB，EF∥BC，EF=BC，ED=AB，又∠B=90°，∴四边形FEDB是矩形，则===，故答案为：；【拓展应用】∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∴=，即=，∴PN=a﹣PQ，设PQ=x，则S矩形PQMN=PQ?PN=x（a﹣x）=﹣x2+ax=﹣（x﹣）2+，∴当PQ=时，S矩形PQMN最大值为，故答案为：；【灵活应用】如图1，延长BA、DE交于点F，延长BC、ED交于点G，延长AE、CD交于点H，取BF中点I，FG的中点K，由题意知四边形ABCH是矩形，∵AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，∴EH=20、DH=16，∴AE=EH、CD=DH，在△AEF和△HED中，∵，∴△AEF≌△HED（ASA），∴AF=DH=16，同理△CDG≌△HDE，∴CG=HE=20，∴BI==24，∵BI=24＜32，∴中位线IK的两端点在线段AB和DE上，过点K作KL⊥BC于点L，由【探索发现】知矩形的最大面积为×BG?BF=×（40+20）×（32+16）=720，答：该矩形的面积为720；【实际应用】如图2，延长BA、CD交于点E，过点E作EH⊥BC于点H，∵tanB=tanC=，∴∠B=∠C，∴EB=EC，∵BC=108cm，且EH⊥BC，∴BH=CH=BC=54cm，∵tanB==，∴EH=BH=×54=72cm，在Rt△BHE中，BE==90cm，∵AB=50cm，∴AE=40cm，∴BE的中点Q在线段AB上，∵CD=60cm，∴ED=30cm，∴CE的中点P在线段CD上，∴中位线PQ的两端点在线段AB、CD上，由【拓展应用】知，矩形PQMN的最大面积为BC?EH=1944cm2，答：该矩形的面积为1944cm2．。
(完整)2018中考压轴题1.4因动点产生的平行四边形问题(含答案),推荐文档
1.4因动点产生的平行四边形问题例1 2017年成都市中考第28题如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y= ax2—2ax—3a (a v 0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，经过点A的直线l: y= kx+ b与y轴负半轴交于点C,与抛物线的另一个交点为D，且CD = 4AC .(1)直接写出点A的坐标，并求直线I的函数表达式(其中k、b用含a的式子表示)；(2)点E是直线I上方的抛物线上的动点，若厶ACE的面积的最大值为5 ,求a的值；(3)设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由.图1 备用图例2如图1,已知抛物线C: y=- x2+ bx+ c经过A(— 3,0)和B(0, 3)两点.将这条抛物线的顶点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N .(1)求抛物线C的表达式；(2)求点M的坐标；(3)将抛物线C平移到抛物线C',抛物线C的顶点记为M',它的对称轴与x轴的交点记为N'.如果以点M、N、M'、N'为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物线C怎样平移？为什么？例3 2018年上海市松江区中考模拟第24题如图1,已知抛物线y=—x2+ bx+ c经过A(0, 1)、B(4, 3)两点.(1)求抛物线的解析式；(2)求tan/ABO 的值；AB(3)过点B作BC丄x轴，垂足为C,在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段于点N，交抛物线于点M，若四边形MNCB为平行四边形，求点M的坐标.如图1,在Rt△ ABC中，/ C= 90° AC= 6, BC = 8,动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD//BC，交AB于点D，联结PQ.点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒(t>0.(1 )直接用含t的代数式分别表示：QB= ________ , PD = ________ ;(2)是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度(匀速运动)，使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q 的速度；(3)如图2,在整个运动过程中，求出线段如图1,在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B(1, 0)、C(3, 0)、D(3, 4).以A为顶点的抛物线y= ax2+ bx+ c过点C •动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动，同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动.点P、Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t秒.过点P作PE丄AB交AC于点E.(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；(2)过点E作EF丄AD于F，交抛物线于点G,当t为何值时，△ ACG的面积最大？最大值为多少？(3)在动点P、Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内(包括边界)存在点H , 使以C、Q、E、H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值.图1已知平面直角坐标系xOy (如图1), 一次函数y3x 3的图象与y轴交于点A,点M4在正比例函数y3x的图象上，且MO = MA .二次函数2y = x2+ bx+ c的图象经过点A、M .(1)求线段AM的长；(2)求这个二次函数的解析式；(3)如果点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数的图象上，点D在一次函数y 3x 3的图象上，且四边形ABCD是菱形,4求点C的坐标.将抛物线C i：y 3x23沿x轴翻折，得到抛物线C2,如图1所示.(1)请直接写出抛物线C2的表达式；(2)现将抛物线c i向左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M，与x 轴的交点从左到右依次为A、B ;将抛物线C2向右也平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D、E.①当B、D是线段AE的三等分点时，求m的值；②在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由.图11.4因动点产生的平行四边形问题答案例12017年成都市中考第28题5点E 是直线l 上方的抛物线上的动点， 若厶ACE 的面积的最大值为 -，求a 的值;4 设P 是抛物线的对称轴上的一点，点Q 在抛物线上，以点 A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点 P 的坐标；若不能，请说明理由.动感体验请打开几何画板文件名“15成都28”，拖动点E 在直线AD 上方的抛物线上运动，可以体验到，当EC 丄AC 时，△ ACE 的面积最大.点击屏幕左下角的按钮第（3）题”，拖动点H 在y 轴正半轴运动，观察点 Q 和Q 可以看到点 Q 和点Q 都可以落在抛物线上.如图1,在平面直角坐标系中，抛物线 （点A 在点B 的左侧），经过点A 的直线 另一个交点为 D ，且CD = 4AC . 直接写出点A 的坐标，并求直线y = ax 2— 2ax — 3a （a v 0）与 x 轴交于 A 、B 两点l : y = kx + b 与y 轴负半轴交于点 C ,与抛物线的(1) l 的函数表达式（其中 k 、b 用含a 的式子表示）；(2)(3)图1 备用图1.4因动点产生的平行四边形问题答案思路点拨1. 过点E作x轴的垂线交AD于F，那么△ AEF与厶CEF是共底的两个三角形.2. 以AD为分类标准讨论矩形，当AD为边时，AD与QP平行且相等，对角线AP = QD ;当AD为对角线时，AD与PQ互相平分且相等.满分解答(1) 由y= ax2—2ax—3a= a(x+ 1)(x—3),得A(—1,0).由CD = 4AC ,得X D= 4.所以D(4, 5a).由A(—1,0)、D(4, 5a),得直线l的函数表达式为y= ax+ a.(2) 如图1，过点E作x轴的垂线交AD于F.设E(x, ax2—2ax—3a), F(x, ax+ a),那么EF = y E—y F= ax2—3ax—4a. 由S SC E = S A AEF —S A CEF= 1EF(X E X A)1 EF (X E X C )2 2X A ) = 1(ax 2 3ax 4a) = -a(x 3)22 2 2得厶ACE 的面积的最大值为25a •解方程 25 a 5，得a -.8845(3) 已知A( — -, 0)、D(4, 5a), x p =-，以AD 为分类标准，分两种情况讨论： ①如图2，如果AD 为矩形的边，那么 AD//QP ，AD = QP ，对角线AP = QD • 由 x D — X A = X p — X Q ，得 X Q =— 4.当 x = — 4 时，y = a(x + 1)(X — 3) = 21a .所以 Q(— 4, 21a). 由 y D — y A = y p — y Q ，得 y p = 26a .所以 P(1,26a).由 AP 2= QD 2, 得 22 + (26a)2 = 82 + (16a)2.考点伸展第(3)题也可以这样解.设P(1,n).①如图2，当AD 时矩形的边时，/ QPD = 90°所以 处MD 2 2解得 n L -5^ .所以 P (1,d^).所以 Q ( 4,-).a aa3 将 Q ( 4, 一)代入 y = a(x + 1)(x — 3), 3 得_ 21a .所以a近aa7②如图3，当AD 为矩形的对角线时，先求得Q(2, — 3a).=1 EF% 25 a , 8整理，得7a 2= 1.所以a近.此时P (-迟.7 7②如图3，如果AD 为矩形的对角线，那么 AD 与PQ 互相平分且相等. 由 X D +X A = X P + X Q ，得 X Q = 2 .所以 Q(2, — 3a).由 y D + y A = y p + y Q ，得 y p = 8a .所以 P(1, 8a). 由 AD 2= PQ 2,得 52 + (5a)2= 12+ (11a)2.整理，得4a 2= 1 .所以a 1 .此时P (1, 4). 2DN，即 2 JNP5a 3由/ AQD = 90° 得AG QK，即3a2.解得1aGQ KD33a 5a2如图1,已知抛物线C: y=- x2+ bx+ c经过A(— 3,0)和B(0, 3)两点.将这条抛物线的顶点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N .(1)求抛物线C的表达式；(2)求点M的坐标；(3)将抛物线C平移到抛物线C',抛物线C的顶点记为M',它的对称轴与x轴的交点记为N'.如果以点M、N、M'、N'为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物线C怎样平移？为什么？动感体验请打开几何画板文件名“14陕西24”，拖动右侧的点M上下运动，可以体验到，以点M、N、M、N为顶点的平行四边形有四种情况.思路点拨1. 抛物线在平移的过程中，M' N与MN保持平行，当M' N、MN = 4时，以点M、N、M'、N'为顶点的四边形就是平行四边形.2•平行四边形的面积为16,底边MN、4,那么高NN' = 4.3. M' N= 4分两种情况：点M'在点N'的上方和下方.4. NN' = 4分两种情况：点N'在点N的右侧和左侧.满分解答(1)将A(—3,0)、B(0, 3)分别代入y=—x2+ bx+ c，得9 3b c0,c 3.解得b =—2，c= 3.所以抛物线C的表达式为y=—x2—2x+ 3.(2)由y=—x2—2x+ 3 =—(x + 1)2+ 4,得顶点M 的坐标为(一1,4).(3)抛物线在平移过程中，M N与MN保持平行，当M N'= MN = 4时，以点M、N、M '、N'为顶点的四边形就是平行四边形.所以专代入y_（x+ "J 4，得2 2 m m4 .所以DH = 4 .4 4因为平行四边形的面积为16，所以MN边对应的高NN = 4. 那么以点M、N、M '、N为顶点的平行四边形有4种情况：抛物线C直接向右平移4个单位得到平行四边形MNN M '（如图2）；抛物线C直接向左平移4个单位得到平行四边形MNN M '（如图2）；抛物线C先向右平移4个单位，再向下平移8个单位得到平行四边形MNMN'（如图3）；抛物线C先向左平移4个单位，再向下平移8个单位得到平行四边形MNMN'（如图3）. 考点伸展本题的抛物线C向右平移m个单位，两条抛物线的交点为D,那么△ MM D的面积S 关于m有怎样的函数关系？如图4,△ MM D是等腰三角形，由M（—1,4）、M （— 1 + m, 4）,可得点D的横坐标为1 34) m 2m .图4例3 2018年上海市松江区中考模拟第24题如图1,已知抛物线y=—x2+ bx+ c经过A(0, 1)、B(4, 3)两点.(1)求抛物线的解析式；(2)求tan/ABO 的值；(3)过点B作BC丄x轴，垂足为C,在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB 于点N，交抛物线于点M，若四边形MNCB为平行四边形，求点M的坐标.所以抛物线的解析式是(2)在 Rt △ BOC 中, 9xOC = 4, BC = 3，所以 OB = 5.如图2,过点A 作AH 丄OB ,垂足为H . 在 RfAOH 中, OA= 1, sin AOH sin OBC 4,所以 AH OA sin AOH 4 .动感体验请打开几何画板文件名 “1：松江24”，拖动点N 在直线AB 上运动，可以体验到，以 M 、 N 、C 、B 为顶点的平行四边形有 4个,符合MN 在抛物线的对称轴的左侧的平行四边形 MNCB 只有一个.请打开超级画板文件名 “13松江24”，拖动点N 在直线AB 上运动，可以体验到， MN 有4次机会等于3,这说明以M 、N 、C 、B 为顶点的平行四边形有 4个，而符合MN 在抛物 线的对称轴的左侧的平行四边形 MNCB 只有一个.思路点拨1. 第(2)题求/ ABO 的正切值，要构造包含锐角/ABO 的角直角三角形.2. 第(3)题解方程 MN = y M — y N = BC ,并且检验x 的值是否在对称轴左侧.满分解答(1) 将 A(0, 1)、B(4, 3)分别代入 y =— x 2 + bx + c ,得c 1,16 4b c 3.9解得b , c = 1.22 229 12那么 MN ( x 2 —x 1) (—x 1)x 24x •2 2当四边形 MNCB 是平行四边形时， MN = BC = 3.55在 Rt △ ABH 中， tan ABOAH 422 2BH 5 5 11（3）直线AB 的 解析式为y 1 x 1.2设点M 的坐标为 (x, x 2 9 x 1)， 占 八N 的坐 1 标为（x, x所以 OH 3 , BH OB OH 竺•1)，解方程一x2+ 4x= 3，得x= 1 或x= 3.考点伸展第（3）题如果改为：点M是抛物线上的一个点，直线MN平行于y轴交直线AB于N，如果M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标.那么求点M的坐标要考虑两种情况：MN = y M —y N或MN = y N—y M.由y N—y M= 4x—x2,解方程x2—4x = 3,得x 2 , 7 （如图5）.所以符合题意的点M有4个：（1,|），（3,11），（2 可5^7）(27,（如图3）.图5如图1,在Rt △ ABC 中，/ C = 90° AC = 6, BC = 8,动点P 从点A 开始沿边 AC 向点 C 以每秒1个单位长度的速度运动，动点 Q 从点C 开始沿边CB 向点B 以每秒2个单位长 度的速度运动，过点 P 作PD//BC ，交AB 于点D ，联结PQ .点P 、Q 分别从点A 、C 同时 出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为 (1 )直接用含t 的代数式分别表示： QB= __________ , PD = _______(2) 是否存在t 的值，使四边形 PDBQ 为菱形？若存在，求出 t 的值；若不存在，说明理 由，并探究如何改变点 Q 的速度(匀速运动)，使四边形PDBQ 在某一时刻为菱形，求点 Q 的速度；动感体验请打开几何画板文件名 “12福州21”，拖动左图中的点 P 运动，可以体验到，PQ 的中 点M 的运动路径是一条线段•拖动右图中的点 Q 运动，可以体验到，当 PQ//AB 时，四边 形PDBQ 为菱形.请打开超级画板文件名 “12福州21”，拖动点Q 向上运动，可以体验到，PQ 的中点M 的运动路径是一条线段. 点击动画按钮的左部，Q 的速度变成1.07，可以体验到，当PQ//AB 时，四边形PDBQ 为菱形•点击动画按钮的中部， Q 的速度变成1.思路点拨1.菱形PDBQ 必须符合两个条件，点P 在/ ABC 的平分线上，PQ//AB .先求出点P运动的时间t ，再根据PQ//AB ，对应线段成比例求 CQ 的长，从而求出点 Q 的速度.2•探究点 M 的路径，可以先取两个极端值画线段，再验证这条线段是不是点 M 的路径.满分解答(1) QB = 8 — 2t , PD = 4t .3(2) 如图3，作/ ABC 的平分线交 CA 于P ,过点P 作PQ//AB 交BC 于Q ,那 么四边形PDBQ 是菱形.t 秒（t >0. (3)如图2,在整个运动过程中，求出线段R图3过点P作PE丄AB，垂足为E,那么BE= BC = 8.例5在 Rt △ ABC 中，AC = 6, BC = 8，所以 AB = 10.在 Rt △ APE 中，cosA AE2 3，所以 t 巴.AP t 53c1当 PQ//AB 时，CQCP, 即CQ 6空 .解得CQ 32CB CA8 69所以点Q 的运动速度为32 10 16.9 315(3) 以C 为原点建立直角坐标系.如图4,当t = 0时，PQ 的中点就是 AC 的中点E(3, 0). 如图5,当t = 4时，PQ 的中点就是 PB 的中点F(1 , 4). 直线EF 的解析式是y =— 2x + 6.如图6, PQ 的中点M 的坐标可以表示为( 乞丄,t ).经验证，点 M ( LJ , t )在直2 2线 EF 上.所以PQ 的中点M 的运动路径长就是线段 EF 的长，EF = 2 一 5 .考点伸展第(3)题求点M 的运动路径还有一种通用的方法是设二次函数： 当t = 2时，PQ 的中点为(2, 2). 设点M 的运动路径的解析式为y = ax 2+ bx + c ,代入E(3, 0)、F(1, 4)和(2, 2),9a 3b c 0,得 a b c 4, 解得 a = 0, b =— 2, c = 6. 4a 2b c 2.所以点M 的运动路径的解析式为 y = — 2x + 6.如图1,在平面直角坐标系中， 已知矩形ABCD 的三个顶点B(1, 0)、C(3, 0)、D(3, 4).以 A 为顶点的抛物线 y = ax 2 + bx + c 过点C •动点P 从点A 出发，沿线段 AB 向点B 运动，同 时动点Q 从点C 出发，沿线段 CD 向点D 运动.点P 、Q 的运动速度均为每秒 1个单位， 运动时间为t 秒.过点P 作PE 丄AB 交AC 于点E .(1) 直接写出点 A 的坐标，并求出抛物线的解析式；图6(2)过点E作EF丄AD于F，交抛物线于点G,当t为何值时，△ ACG的面积最大？最大值为多少？(3)在动点P、Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内(包括边界)存在点H , 使以C、Q、E、H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值.A e动感体验请打开几何画板文件名“12烟台26”，拖动点P在AB上运动，可以体验到，当P在AB 的中点时，△ ACG的面积最大.观察右图，我们构造了和△ CEQ中心对称的△ FQE和厶ECH ；可以体验到，线段EQ的垂直平分线可以经过点C和F，线段CE的垂直平分线可以经过点Q和H',因此以C、Q、E、H为顶点的菱形有2个.请打开超级画板文件名“12烟台26”，拖动点P在AB上运动，可以体验到，当P在AB 的中点时，即t = 2, △ ACG的面积取得最大值1.观察CQ , EQ, EC的值，发现以C、Q、E、H为顶点的菱形有2个.点击动画按钮的左部和中部，可得菱形的两种准确位置。
2018中考数学专题复习 动点通关51题(PDF 含答案)
的坐标； 为该二次函数在第一象限内图象上的动点，连接 ，设平行四边形 的面积为 ． 的值． h ， ， ，以
落在该二次函数图象上时，请直接写出此时 h 与直线 h 交于两点 ， ，与
轴交于点 ，
（1）求抛物线的解析式； （ 2）设 作 ， 是线段 上异于 的两个动点（点 在点 的右上方）， 轴的平行线，交抛物线于 ，设点 作 的横坐标为 ， 的面积为 ，把 表示为 的 的 h ，过点
函数，并求自变量 的取值范围； （3）在（2）的条件下，过点 9. 如图，在 Rt 均以每秒 的速度沿 位置，使 ‸ h 中， ?如果能，求出此时点 h h， ， h 轴的平行线，交抛物线于 ‸，试问能不能适当选择点 的坐标；如果不能，请说明理由． h cm．动点 ， 从点 cm， 分别从点 出发，以每秒
点
同时出发， cm
cm 的速度分别沿 向终点
向终点 ， 移动，同时动点 ，
移动，连接
，设移动时间为 （单位：秒）（h t t ）．
（1）当 为何值时，以 ， ， 存在，请说明由．
为顶点的三角形与 的面积
相似? 有最小值?若存在，求出 㐠 h 的最小值；若不 与 㐠 h
（2）是否存在某一时刻 ，使四边形
逆时针旋转 h 得到线段 ，连接
，且点
恰好落在抛物线
上?若存在，求 上的动点，将
11. 如图，在长方形
h ， 是
边的中点， 是线段 的最小值.
，求
12. ， 分别是不等边三角形 面上的动点，连接 （1）如图，当点 ， 在
（即 ，点 ‸， 分别是 ，
）的边
，
的中点， 是
所在平 ， ．
的内部时，求证：四边形 ‸
th且
、
九年级中考数学动点问题压轴题专题训练(含答案)
九年级中考数学动点问题压轴题专题训练1.如图1, 在平面直角坐标系中, 四边形OABC各顶点的坐标分别为O(0, 0), A(3, 3 ), B(9, 5 ), C(14, 0). 动点P与Q同时从O点出发, 运动时间为t秒, 点P沿OC方向以1单位长度/秒的速度向点C运动, 点Q沿折线OA－AB－BC运动, 在OA, AB, BC上运动的速度分别为3, , (单位长度/秒). 当P, Q中的一点到达C点时, 两点同时停止运动.(1)求AB所在直线的函数表达式.(2)如图2, 当点Q在AB上运动时, 求△CPQ的面积S关于t的函数表达式及S的最大值.(3)在P, Q的运动过程中, 若线段PQ的垂直平分线经过四边形OABC的顶点, 求相应的t值．图1 图22.如图, 抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A, B两点(A在B的左侧), 与y轴交于点N, 过A点的直线l:y=kx+n与y轴交于点C, 与抛物线y=-x2+bx+c的另一个交点为D, 已知A(-1, 0), D(5, -6), P 点为抛物线y=-x2+bx+c上一动点(不与A, D重合).(1)求抛物线和直线l的解析式;(2)当点P在直线l上方的抛物线上时, 过P点作PE∥x轴交直线l于点E, 作PF ∥y轴交直线l于点F, 求PE+PF的最大值;(3)设M为直线l上的点, 探究是否存在点M, 使得以点N, C, M, P为顶点的四边形为平行四边形.若存在, 求出点M的坐标;若不存在, 请说明理由.3.如图, 在平面直角坐标系中, 抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－2, －4 )、O(0, 0)、B(2, 0)三点.（1）求抛物线y＝ax2＋bx＋c的解析式；（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点, 求AM＋OM的最小值.4.设直线l1: y＝k1x＋b1与l2: y＝k2x＋b2, 若l1⊥l2, 垂足为H, 则称直线l1与l2是点H的直角线.（1）已知直线①；②；③；④和点C(0, 2), 则直线_______和_______是点C的直角线（填序号即可）；（2）如图, 在平面直角坐标系中, 直角梯形OABC的顶点A(3, 0)、B(2, 7)、C(0, 7), P为线段OC上一点, 设过B、P两点的直线为l1, 过A、P两点的直线为l2, 若l1与l2是点P的直角线, 求直线l1与l2的解析式．5.如图①, 在平面直角坐标系xOy中, 已知抛物线y=ax2-2ax-8a与x轴相交于A, B两点(点A在点B的左侧), 与y轴交于点C(0, -4).(1)点A的坐标为, 点B的坐标为, 线段AC的长为, 抛物线的解析式为.(2)点P是线段BC下方抛物线上的一个动点.如果在x轴上存在点Q, 使得以点B, C, P, Q为顶点的四边形是平行四边形, 求点Q的坐标.①6.如图, 已知抛物线（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A.B（点A位于点B是左侧）, 与y轴的正半轴交于点C.（1）点B的坐标为______, 点C的坐标为__________（用含b的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P, 使得四边形PCOB的面积等于2b, 且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在, 求出点P的坐标；如果不存在, 请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q, 使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在, 求出点Q的坐标；如果不存在, 请说明理由．7.如图, 已知A.B是线段MN上的两点, , , . 以A为中心顺时针旋转点M, 以B为中心逆时针旋转点N, 使M、N两点重合成一点C, 构成△ABC, 设.（1）求x的取值范围；（2）若△ABC为直角三角形, 求x的值；（3）探究: △ABC的最大面积？8.如图, 已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(0, 1)、B(4, 3)两点.（1）求抛物线的解析式；（2）求tan∠ABO的值；（3）过点B作BC⊥x轴, 垂足为C, 在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N, 交抛物线于点M, 若四边形MNCB为平行四边形, 求点M的坐标.9.在平面直角坐标系中, 反比例函数与二次函数y＝k(x2＋x－1)的图象交于点A(1,k)和点B(－1,－k).（1）当k＝－2时, 求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大, 求k应满足的条件以及x的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q, 当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时, 求k的值．10.如图, 已知抛物线y＝ax2＋bx＋4(a≠0)的对称轴为直线x＝3, 抛物线与x轴相交于A, B两点, 与y轴相交于点C, 已知B点的坐标为(8, 0).(1)求抛物线的解析式；(2)点M为线段BC上方抛物线上的一点, 点N为线段BC上的一点, 若MN∥y 轴, 求MN的最大值；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q, 使△ACQ为等腰三角形？若存在, 求出符合条件的Q点坐标；若不存在, 请说明理由．11.如图, 直线y＝2x＋6与反比例函数y＝(k＞0)的图象交于点A(m, 8), 与x轴交于点B, 平行于x轴的直线y＝n(0＜n＜6)交反比例函数的图象于点M, 交AB于点N, 连接BM.(1)求m的值和反比例函数的解析式；(2)观察图象, 直接写出当x＞0时不等式2x＋6－＞0的解集；(3)直线y＝n沿y轴方向平移, 当n为何值时, △BMN的面积最大？最大值是多少？12.如图, 在平面直角坐标系xOy中, 顶点为M的抛物线y＝ax2＋bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B, AO＝BO＝2, ∠AOB＝120°.（1）求这条抛物线的表达式；（2）连结OM, 求∠AOM的大小；（3）如果点C在x轴上, 且△ABC与△AOM相似, 求点C的坐标．13.在直角梯形OABC中, CB//OA, ∠COA＝90°, CB＝3, OA＝6, BA＝. 分别以OA.OC边所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系.（1）求点B的坐标；（2）已知D.E分别为线段OC.OB上的点, OD＝5, OE＝2EB, 直线DE交x轴于点F. 求直线DE的解析式；（3）点M是（2）中直线DE上的一个动点, 在x轴上方的平面内是否存在另一点N, 使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在, 请求出点N的坐标；若不存在, 请说明理由．14.如图, 已知一次函数y＝－x＋7与正比例函数的图象交于点A, 且与x轴交于点B. （1）求点A和点B的坐标；（2）过点A作AC⊥y轴于点C, 过点B作直线l//y轴. 动点P从点O出发, 以每秒1个单位长的速度, 沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发, 以相同速度向左平移, 在平移过程中, 直线l交x轴于点R, 交线段BA或线段AO于点Q. 当点P到达点A时, 点P和直线l都停止运动. 在运动过程中, 设动点P运动的时间为t秒.①当t为何值时, 以A.P、R为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在, 求t的值；若不存在, 请说明理由．15.如图, 二次函数y＝a(x2－2mx－3m2)（其中a、m是常数, 且a＞0, m＞0）的图像与x轴分别交于A.B（点A位于点B的左侧）, 与y轴交于点C(0,－3), 点D在二次函数的图像上, CD//AB, 联结AD. 过点A作射线AE交二次函数的图像于点E, AB平分∠DAE.（1）用含m的式子表示a；（2）求证: 为定值；（3）设该二次函数的图像的顶点为F．探索：在x轴的负半轴上是否存在点G, 联结GF, 以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在, 只要找出一个满足要求的点G即可, 并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在, 请说明理由．16.如图, 二次函数y=-x2+4x+5的图象的顶点为D, 对称轴是直线l, 一次函数y= x+1的图象与x轴交于点A, 且与直线DA关于l的对称直线交于点B.(1)点D的坐标是.(2)直线l与直线AB交于点C, N是线段DC上一点(不与点D, C重合), 点N的纵坐标为n.过点N作直线与线段DA, DB分别交于点P, Q, 使得△DPQ与△DAB 相似.①当n= 时, 求DP的长;②若对于每一个确定的n的值, 有且只有一个△DPQ与△DAB相似, 请直接写出n的取值范围.17.已知直线y＝3x－3分别与x轴、y轴交于点A, B, 抛物线y＝ax2＋2x＋c经过点A, B. （1）求该抛物线的表达式, 并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）记该抛物线的对称轴为直线l, 点B关于直线l的对称点为C, 若点D在y 轴的正半轴上, 且四边形ABCD为梯形．①求点D的坐标；②将此抛物线向右平移, 平移后抛物线的顶点为P, 其对称轴与直线y＝3x－3交于点E, 若, 求四边形BDEP的面积.18.如图, 在平面直角坐标系xOy中, 二次函数y＝－x2＋2x＋8的图象与一次函数y＝－x＋b的图象交于A.B两点, 点A在x轴上, 点B的纵坐标为－7.点P是二次函数图象上A.B两点之间的一个动点(不与点A.B重合), 设点P的横坐标为m, 过点P作x轴的垂线交AB于点C, 作PD ⊥AB于点D.(1)求b及sin∠ACP的值；(2)用含m的代数式表示线段PD的长；(3)连接PB, 线段PC把△PDB分成两个三角形, 是否存在适合的m值, 使这两个三角形的面积之比为1∶2？如果存在, 直接写出m的值；如果不存在, 请说明理由.19.如图, 抛物线与x轴交于A.B两点（点A在点B的左侧）, 与y轴交于点C.（1）求点A.B的坐标；（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点, 当△ACD的面积等于△ACB 的面积时, 求点D的坐标；（3）若直线l过点E(4, 0), M为直线l上的动点, 当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时, 求直线l的解析式．20.已知平面直角坐标系中两定点A(－1, 0)、B(4, 0), 抛物线y＝ax2＋bx－2（a≠0）过点A.B, 顶点为C, 点P(m, n)（n＜0）为抛物线上一点.（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；（2）当∠APB为钝角时, 求m的取值范围；（3）若m＞, 当∠APB为直角时, 将该抛物线向左或向右平移t（0＜t＜）个单位, 点C、P平移后对应的点分别记为C′、P′, 是否存在t, 使得顺次首尾连接A、B、P′、C′所构成的多边形的周长最短？若存在, 求t的值并说明抛物线平移的方向；若不存在, 请说明理由．2021中考数学压轴专题训练之动点问题-答案一、解答题（本大题共20道小题）1.【答案】【思维教练】(1)设一次函数解析式, 将已知点A、B的坐标值代入求解即可；(2)S △CPQ＝·CP·Qy, CP＝14－t, 点Q在AB上, Qy即为当x＝t时的y值, 代入化简得出S与t的函数关系式, 化为顶点式得出最值；(3)垂直平分线过顶点需以时间为临界点分情况讨论, 当Q在OA上时, 过点C；当Q在AB上时, 过点A；当Q在BC上时, 过点C和点B, 再列方程并求解．解图1解: (1)把A(3, 3 ), B(9, 5 )代入y＝kx＋b,得, 解得,∴y＝33x＋23；(3分)(2)在△PQC中, PC＝14－t,∵OA＝＝6且Q在OA上速度为3单位长度/s,AB＝＝4 且Q点在AB上的速度为单位长度/s,∴Q在OA上时的横坐标为t, Q在AB上时的横坐标为t,PC边上的高线长为33t＋2 3.(6分)所以S＝(14－t)( t＋2 )＝－t2＋t＋14 (2≤t≤6).当t＝5时, S有最大值为.(7分)解图2(3)①当0＜t ≤2时, 线段PQ 的中垂线经过点C(如解图1). 可得方程(332t )2＋(14－32t )2＝(14－t )2.解得t1＝ , t2＝0(舍去), 此时t ＝ .(8分)解图3②当2＜t ≤6时, 线段PQ 的中垂线经过点A(如解图2).可得方程(33)2＋(t －3)2＝[3(t －2)]2.解得t1＝ , ∵t2＝ (舍去), 此时t ＝ .③当6＜t ≤10时,(1)线段PQ 的中垂线经过点C(如解图3).可得方程14－t ＝25－ t, 解得t ＝ .(10分)解图4(2)线段PQ 的中垂线经过点B(如解图4).可得方程(53)2＋(t －9)2＝[52(t －6)]2.解得t1＝ , t2＝ (舍去).此时t＝38＋2027.(11分)综上所述, t的值为, , , .(12分)【难点突破】解决本题的关键点在于对PQ的垂直平分线过四边形顶点的情况进行分类讨论, 在不同阶段列方程求解.2.【答案】[分析] (1)将点A, D的坐标分别代入直线表达式、抛物线的表达式, 即可求解;(2)设出P点坐标, 用参数表示PE, PF的长, 利用二次函数求最值的方法.求解;(3)分NC是平行四边形的一条边或NC是平行四边形的对角线两种情况, 分别求解即可.解:(1)将点A, D的坐标代入y=kx+n得:解得:故直线l的表达式为y=-x-1.将点A, D的坐标代入抛物线表达式,得解得故抛物线的表达式为:y=-x2+3x+4.(2)∵直线l的表达式为y=-x-1,∴C(0, -1), 则直线l与x轴的夹角为45°, 即∠OAC=45°,∵PE∥x轴, ∴∠PEF=∠OAC=45°.又∵PF∥y轴, ∴∠EPF=90°, ∴∠EFP=45°.则PE=PF.设点P坐标为(x, -x2+3x+4),则点F(x, -x-1),∴PE+PF=2PF=2(-x2+3x+4+x+1)=-2(x-2)2+18,∵-2<0, ∴当x=2时, PE+PF有最大值, 其最大值为18.(3)由题意知N(0, 4), C(0, -1), ∴NC=5,①当NC是平行四边形的一条边时, 有NC∥PM, NC=PM.设点P坐标为(x, -x2+3x+4), 则点M的坐标为(x, -x-1),∴|yM-yP|=5, 即|-x2+3x+4+x+1|=5,解得x=2±或x=0或x=4(舍去x=0),则点M坐标为(2+ , -3- )或(2- , -3+ )或(4, -5);②当NC是平行四边形的对角线时, 线段NC与PM互相平分.由题意, NC的中点坐标为0, ,设点P坐标为(m, -m2+3m+4),则点M(n', -n'-1),∴0= = ,解得:n'=0或-4(舍去n'=0), 故点M(-4, 3).综上所述, 存在点M, 使得以N, C, M, P为顶点的四边形为平行四边形, 点M的坐标分别为:(2+ , -3- ), (2- , -3+ ), (4, -5), (-4, 3).3.【答案】（1）。
2018年中考数学压轴题专题汇编36 动点综合问题 (解析版)
【点评】本题考查圆的综合问题，涉及圆的切线判定，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，学生需要根据题意画出相应的图形来分析，并且能综合运用所学知识进行解答．考点：1．圆的综合题；2．分类讨论；3．动点型；4．压轴题．归纳3：动点问题的图象基础知识归纳：动点问题经常与一次函数、反比例函数和二次函数的图象相结合．基本方法归纳：一次函数的图象是一条直线，反比例函数的图象是双曲线，二次函数的图象是抛物线．注意问题归纳：动点函数的图象问题可以借助于相似、特殊图形的性质求出函数的图象解析式，同时也可以观察图象的变化趋势．【例3】（山东省济南市）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=AD=5，BC=4，M、N、E分别是AB、AD、CB上的点，AM=CE=1，AN=3，点P从点M出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线MB﹣BE向点E运动，同时点Q从点N出发，以相同的速度沿折线ND﹣DC﹣CE向点E运动，当其中一个点到达后，另一个点也停止运动．设△APQ的面积为S，运动时间为t秒，则S与t函数关系的大致图象为（ ）A． B． C． D．【答案】D．【分析】先求出DN，判断点Q到D点时，DP⊥AB，然后分三种情况分别用三角形的面积公式计算即可．【点评】此题是动点问题的函数图象，考查了三角形的面积公式，矩形的性质，解本题的关键是分段画出图象，判断出点Q在线段CD时，PQ⊥AB是易错的地方．考点：1．动点问题的函数图象；2．分类讨论；3．分段函数；4．综合题．☞2年中考【题组】一、选择题1．（山东省泰安市）如图，正△ABC的边长为4，点P为BC边上的任意一点（不与点B、C重合），且∠APD=60°，PD交AB于点D．设BP=x，BD=y，则y关于x的函数图象大致是（ ）A． B．C． D．【答案】C．【分析】由△ABC是正三角形，∠APD=60°，可证得△BPD∽△CAP，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．【点评】此题考查了动点问题、二次函数的图象以及相似三角形的判定与性质．注意证得△BPD∽△CAP 是关键．考点：动点问题的函数图象．． ．． ．象为：，故选A ．B ．C ． D ．【答案】C ．【分析】分P 在AB 、BC 、CD 、AD 上四种情况，表示出y 与x 的函数解析式，确定出大致图象即可．【点评】此题考查了动点问题的函数图象，解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．考点：1．动点问题的函数图象；2．动点型；3．分段函数；4．分类讨论；5．函数思想．4．（ 湖北省荆州市）如图，过⊙O 外一点P 引⊙O 的两条切线PA 、PB ，切点分别是A 、B ，OP 交⊙O 于点C ，点D 是优弧上不与点A 、点C 重合的一个动点，连接AD 、CD ，若∠APB =80°，则∠ADC 的 ABC 度数是（ ）A ．15°B ．20°C ．25°D ．30°【答案】C ．【分析】根据四边形的内角和，可得∠BOA ，根据等弧所对的圆周角相等，根据圆周角定理，可得答案．，已，运动一周，同时另一端点运动的总路程为M E 2550）时，四边形8、C的坐标；若不存在，请说明理由；为该抛物线上一动点，在（39【点评】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：二次函数的性质，待定系数法确定抛物线解析式、一次函数解析式，菱形的判定，以及坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．1（3）如图，当△EFP的三个顶点分别在AB，AD，AC上运动，点P在P1，P之间运动，∴P1O=PO=3，AO=9，∴AP的最大值为12，AP的最小值为6．【点评】此题是菱形的性质题，主要考查了菱形的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数，解本题的关键是作出辅助线．考点：1．菱形的性质；2．最值问题；3．动点型．）根据矩形的性质和勾股定理得到251139，得出比例式求出的二次函数，由二次函数的性质即可得出结点较多，综合性很强，难度适中．．二次函数综合题；A D）中确定出满足条件的（3）画出符合条件的Q点，只有一种，①利用平行相似得对应高的比和对应边的比相等列比例式；②在直角△OCQ和直角△CQM利用勾股定理列方程；两方程式组成方程组求解并取舍．【点评】本题是二次函数的综合问题，综合性较强；考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，并利用方程组求图象的交点坐标，将函数和方程有机地结合，进一步把函数简单化；同时还考查了相似的性质：在二次函数的问题中，如果利用勾股定理不能求的边可以考虑利用相似的性质求解．考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．动点型；5．存在型；6．压轴题．23．（ 四川省凉山州）如图，已知抛物线（a ≠0）经过A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，2y ax bx c =++﹣3）三点，直线l 是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当点P 到点A 、点B 的距离之和最短时，求点P 的坐标；（3）点M 也是直线l 上的动点，且△MAC 为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M 的坐标．【答案】（1）；（2）P （1，0）；（3）．223y x x =--【分析】（1）直接将A 、B 、C 三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可；（2）由图知：A ．B 点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知，直线l 与x 轴的交点，即为符合条件的P 点；（3）由于△MAC 的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA =AC 、②MA =MC 、③AC =MC ；可先设出M 点的坐标，然后用M 点纵坐标表示△MAC 的三边长，再按上面的三种情况列式求解．①若MA =MC ，则，得：=，解得：m =﹣1；22MA MC =24m +2610m m ++y=【点评】本题考查二次函数综合题、锐角三角函数、最短问题、圆等知识，解题的关键是掌握待定系数法确定函数解析式，学会利用垂线段最短解决实际问题中的最短问题，学会添加辅助线，构造圆解决角度问题，属于中考压轴题．考点：1．二次函数综合题；2．动点型；3．最值问题；4．压轴题．26．（ 浙江省宁波市）如图，已知抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点32++-=mx x y B 的坐标为（3，0）（1）求m 的值及抛物线的顶点坐标．（2）点P 是抛物线对称轴l 上的一个动点，当PA +PC 的值最小时，求点P 的坐标．【答案】（1） m =2，顶点坐标为：（1，4）；（2）（1，2）．【分析】（1）首先把点B 的坐标为（3，0）代入抛物线，利用待定系数法即可求得m 的32++-=mx x y 值，继而求得抛物线的顶点坐标；（2）首先连接BC 交抛物线对称轴l 于点P ，则此时PA +PC 的值最小，然后利用待定系数法求得直线BC 的解析式，继而求得答案．【解析】（1）把点B 的坐标为（3，0）代入抛物线得：，解得：32++-=mx x y 20333m =-++m =2，∴ =，∴顶点坐标为：（1，4）．223y x x =-++2(1)4x --+。