多元线性回归分析
多元线性回归分析
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二、多元线性回归模型的建立
由于二元线性回归方程是最典型的多元线性回归方程， 通过观察求解二元线性回归方程的参数的过程，就可了 解其他类型的多元线性回归方程参数的求解方法。设有 二元线性回归方程： yc a b1x1 b2 x2
统计学
一、多元线性回归分析的意义
粮食亩产量受播种量、施肥量、降雨量等 因素的影响；又如，彩电的销售额受彩电 价格、广告费支出、消费者购买力等因素 的影响；再如，企业产品成本受原材料价 格、原材料消耗、产量、质量、工艺技术 水平等因素的影响。
对于上述情况，如果只用一个自变量来进 行回归分析，分析的结果就存在问题，如 果将影响因变量的多个因素结合在一起进 行分析，则更能揭示现象内在的规律。
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二、多元线性回归模型的建立
多元线性回归分析研究因变量和多个自变量间的线性关 系因，变这 量种 Y与线自性变关量系可用数学模型x来1, 之x表2,间x示3,存。,在设xn线因性变关量系为，Y,可 用多元线性回归方程来表示这种关系。设多元线性回归 方程为：yc a b1 x1 b2 x2 b3 x3 bn xn
要确定该回归方程，须先求解a、b1、b2三个参数。用最
小二乘法求解得x1方y y程a组nax如1 b1下b1：x1x12b2
x2 b2
x1x2
x2 y a
x2 b1
x1x2 b2
x22
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统计学Biblioteka
多元线性回归分析
简介多元线性回归分析是一种统计技术，用于评估两个或多个自变量与因变量之间的关系。
它被用来解释基于自变量变化的因变量的变化。
这种技术被广泛用于许多领域，包括经济学、金融学、市场营销和社会科学。
在这篇文章中，我们将详细讨论多元线性回归分析。
我们将研究多元线性回归分析的假设，它是如何工作的，以及如何用它来进行预测。
最后，我们将讨论多元线性回归分析的一些限制，以及如何解决这些限制。
多元线性回归分析的假设在进行多元线性回归分析之前，有一些假设必须得到满足，才能使结果有效。
这些假设包括。
1）线性。
自变量和因变量之间的关系必须是线性的。
2）无多重共线性。
自变量之间不应高度相关。
3）无自相关性。
数据集内的连续观测值之间不应该有任何相关性。
4）同质性。
残差的方差应该在自变量的所有数值中保持不变。
5）正态性。
残差应遵循正态分布。
6）误差的独立性。
残差不应相互关联，也不应与数据集中的任何其他变量关联。
7）没有异常值。
数据集中不应有任何可能影响分析结果的异常值。
多重线性回归分析如何工作？多元线性回归分析是基于一个简单的数学方程，描述一个或多个自变量的变化如何影响因变量（Y）的变化。
这个方程被称为"回归方程"，可以写成以下形式。
Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε 其中Y是因变量；X1到Xn是自变量；β0到βn是系数；ε是代表没有被任何自变量解释的随机变化的误差项（也被称为"噪音"）。
系数（β0到βn）表示当所有其他因素保持不变时（即当所有其他自变量保持其平均值时），每个自变量对Y的变化有多大贡献。
例如，如果X1的系数为0.5，那么这意味着当所有其他因素保持不变时（即当所有其他独立变量保持其平均值时），X1每增加一单位，Y就会增加0.5单位。
同样，如果X2的系数为-0.3，那么这意味着当所有其他因素保持不变时（即所有其他独立变量保持其平均值时），X2每增加一个单位，Y就会减少0.3个单位。
多元线性回归分析
S /(n k 1) 或 t ˆi / cii
S /(n k 1)
c 式中 ii 是矩阵 (X ' X )1对角线上的第 i 个元素，S 表示残
差平方和 。 当检验统计量的值大于给定显著性下的临界值时，拒绝 原假设，认为回归系数是显著的
（六）利用已通过检验的回归方程进行预测。
市场调查
多元线性回归分析
多元线性回归是在简单线性回归基础上推广而来。是 用来分析多个自变量对多个因变量如何产生影响的，最常见 的是分析多个自变量对一个因变量的影响方向和影响程度。
一、多元线性回归分析在市场调查中的应用
（一）确定市场调查中因变量与自变量之间的关系 是否存在，若存在，还要分析自变量对因变量的影 响程度是多大，影响方向如何。
Yt
因变量
X it (i 1,2,, k)
自变量
i (i 1,2,, k)
总体回归系数
ut
随机误差项
作为总体回归方程的估计，样本回归方程如下：
Yˆt ˆ1 ˆ2 X 2t ˆ3 X3t ˆk X kt et
ˆi (i 1,2,, k)
总体回归系数的估计
t 1,2,, n
样本数
et 是 Yt与其估计 Yˆt之间的离差，即残差
（二）确定因变量和自变量之间的联系形式，关 键是要找出回归系数。
（三）利用已确定的因变量和自变量之间的方程 形式，在已知自变量的情况下，对因变量的取值 进行预测。
（四）在众多影响因变量的因素中，通过评价其 对因变量的贡献，来确定哪些自变量是重要的或 者说是比较重要的，为市场决策行为提供理论依 据。
（五）回归的显著性检验
包括对回归方程的显著性检验和对回归系数的显著性检验。
多元线性回归分析与变量选择
多元线性回归分析与变量选择在统计学和机器学习领域，线性回归是一种常见的回归分析方法，用于建立变量之间的线性关系模型。
当我们需要考虑多个自变量对一个因变量的影响时，就需要使用多元线性回归。
本文将介绍多元线性回归的基本概念、模型建立的步骤，并讨论如何选择合适的变量。
一、多元线性回归的基本原理多元线性回归是一种通过最小化误差平方和来拟合自变量和因变量之间的线性关系的方法。
其数学表达可以表示为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε其中，Y是因变量，Xi是自变量，β是回归系数，ε是误差项。
通过调整β的值，使得拟合值与观测值之间的误差最小化，从而找到最佳的回归模型。
二、多元线性回归的模型建立步骤1. 收集数据：获取包括自变量和因变量的一组数据集。
2. 数据预处理：对数据进行清洗、缺失值填充和异常值处理等操作，确保数据的质量。
3. 变量选择：根据问题的背景和领域知识，选择与因变量相关性较高的自变量，剔除与因变量无关或相关性较低的自变量。
变量选择的方法包括前向选择、后向选择和逐步回归等。
4. 模型建立：利用选择的自变量，建立多元线性回归模型。
5. 参数估计：通过最小二乘法或其他方法，估计回归系数的值。
6. 模型诊断：对回归模型进行检验，包括残差分析、正态性检验、多重共线性检验等。
7. 模型评估：通过各种指标，如R方、调整R方、AIC和BIC等，评估模型拟合程度和预测能力。
三、变量选择方法1. 前向选择：从一个空模型开始，逐渐添加最相关的自变量，直到变量的显著性不再提高。
2. 后向选择：从包含所有自变量的模型开始，逐渐剔除与因变量相关性较低的自变量，直到剔除的变量不再影响模型的显著性。
3. 逐步回归：结合前向选择和后向选择的方法，先进行前向选择，然后进行后向选择，直到模型满足某个停止准则。
4. 正则化方法：通过引入惩罚项，如岭回归和LASSO回归，对回归系数进行约束，从而实现变量选择。
统计学中的多元线性回归分析
统计学中的多元线性回归分析多元线性回归分析是统计学中常用的一种回归分析方法，用于研究多个自变量对一个或多个因变量的影响关系。
本文将介绍多元线性回归分析的基本原理、应用场景以及分析步骤。
1. 多元线性回归的基本原理多元线性回归分析是建立在线性回归的基础上的。
线性回归分析是研究一个自变量对一个因变量的影响关系，而多元线性回归分析则是研究多个自变量对一个或多个因变量的影响关系。
在多元线性回归中，我们假设因变量Y与自变量X1、X2、...、Xn之间存在线性关系，即Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε，其中β0、β1、β2、...、βn为回归系数，ε为误差项。
我们的目标是通过样本数据来估计回归系数，以便预测因变量Y。
2. 多元线性回归的应用场景多元线性回归分析广泛应用于各个领域，例如经济学、社会学、医学等。
以下是一些常见的应用场景：2.1 经济学领域在经济学领域，多元线性回归可以用于分析各种经济变量之间的关系。
例如，研究GDP与劳动力、资本投入等因素之间的关系，或者研究物价与通货膨胀、货币供应量等因素之间的关系。
2.2 社会学领域在社会学领域，多元线性回归可以用于分析社会现象与各种因素之间的关系。
例如，研究教育水平与收入、社会地位等因素之间的关系，或者研究犯罪率与社会福利、失业率等因素之间的关系。
2.3 医学领域在医学领域，多元线性回归可以用于分析疾病或健康状况与各种因素之间的关系。
例如，研究心脏病发病率与吸烟、高血压等因素之间的关系，或者研究生存率与年龄、治疗方法等因素之间的关系。
3. 多元线性回归的分析步骤进行多元线性回归分析时，通常需要按照以下步骤进行：3.1 数据收集首先，需要收集相关的自变量和因变量的数据。
这些数据可以通过实地调查、问卷调查、实验等方式获得。
3.2 数据预处理在进行回归分析之前，需要对数据进行预处理。
这包括数据清洗、缺失值处理、异常值处理等。
如何理解和使用多元线性回归分析
如何理解和使用多元线性回归分析多元线性回归分析是一种统计分析方法，用于探索自变量与因变量之间的关系。
它基于线性假设，假设自变量和因变量之间存在线性关系，并通过最小二乘法估计未知参数。
多元线性回归可以同时考虑多个自变量对因变量的影响，相比于一元线性回归，具有更多的灵活性和应用场景。
以下是关于多元线性回归分析的理解和使用。
一、理解多元线性回归分析：1.模型表达：多元线性回归模型可以表示为：Y=β0+β1X1+β2X2+...+βnXn+ε，其中Y是因变量，X1～Xn是自变量，β0～βn是回归系数，ε是误差项。
2.线性假设：多元线性回归假设自变量和因变量之间的关系是线性的，即因变量的期望值在给定自变量的条件下是一个线性函数。
3.参数估计：根据最小二乘法原理，通过使残差平方和最小化来估计回归系数。
最小二乘估计量是使得残差平方和最小的回归系数。
4.假设检验：在多元线性回归中，常用的假设检验包括回归系数的显著性检验、模型整体的显著性检验和多重共线性检验等。
二、使用多元线性回归分析：1.确定研究目标：明确研究目标，确定自变量和因变量。
了解问题背景、变量间关系，并结合实际情况选择合适的方法进行分析。
2.数据收集与整理：收集需要的数据，包括自变量和因变量的观测值。
对数据进行验证和清洗，排除缺失值、异常值等。
3.变量选择：根据研究目标和变量间的相关性，进行自变量的筛选。
可以通过相关分析、方差膨胀因子(VIF)等指标来评估自变量间的共线性。
4.模型建立与估计：根据选定的自变量和因变量，使用统计软件进行模型建立和回归系数的估计。
多元线性回归可以通过扩展一元线性回归的方法来计算。
5.模型诊断与改善：对建立的模型进行诊断，检验残差的正态性、独立性、同方差性等假设。
若存在违反假设的情况，则需要考虑进一步改善模型。
6.模型解释与预测：解释回归系数的含义，明确变量间的关系。
利用模型进行预测和决策，对未知因变量进行估计和预测。
7.模型评价与报告：评估模型的拟合程度，包括R方、调整R方、残差分析等指标。
spss多元线性回归分析结果解读
spss多元线性回归分析结果解读SPSS多元线性回归分析结果解读1. 引言多元线性回归分析是一种常用的统计分析方法，用于研究多个自变量对因变量的影响程度及相关性。
SPSS是一个强大的统计分析软件，可以进行多元线性回归分析并提供详细的结果解读。
本文将通过解读SPSS多元线性回归分析结果，帮助读者理解分析结果并做出合理的判断。
2. 数据收集与变量说明在进行多元线性回归分析之前，首先需要收集所需的数据，并明确变量的含义。
例如，假设我们正在研究学生的考试成绩与他们的学习时间、家庭背景、社会经济地位等因素之间的关系。
收集到的数据包括每个学生的考试成绩作为因变量，以及学习时间、家庭背景、社会经济地位等作为自变量。
变量说明应当明确每个变量的测量方式和含义。
3. 描述性统计分析在进行多元线性回归分析之前，我们可以首先对数据进行描述性统计分析，以了解各个变量的分布情况。
SPSS提供了丰富的描述性统计方法，如均值、标准差、最小值、最大值等。
通过描述性统计分析，我们可以获得每个变量的分布情况，如平均值、方差等。
4. 相关性分析多元线性回归的前提是自变量和因变量之间存在一定的相关性。
因此，在进行回归分析之前，通常需要进行相关性分析来验证自变量和因变量之间的关系。
SPSS提供了相关性分析的功能，我们可以得到每对变量之间的相关系数以及其显著性水平。
5. 多元线性回归模型完成了描述性统计分析和相关性分析后，我们可以构建多元线性回归模型。
SPSS提供了简单易用的界面，我们只需要选择因变量和自变量，然后点击进行回归分析。
在SPSS中，我们可以选择不同的回归方法，如逐步回归、前向回归、后向回归等。
6. 回归结果解读在进行多元线性回归分析后，SPSS将提供详细的回归结果。
我们可以看到每个自变量的系数、标准误差、t值、显著性水平等指标。
系数表示自变量与因变量之间的关系程度，标准误差表示估计系数的不确定性，t值表示系数的显著性，显著性水平则表示系数是否显著。
多元线性回归分析简介
称
y ˆ0 ˆ1x1 ˆp xp
为 y 关于 x 的多元线性经验回归方程（函数），它表示 p+1 维空间中的一个超平面（经验回归平面）。
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
引进矩阵的形式：
设
y
y1
y2
，
X
1
1
x11 x21
有平方和分解公式 SS=SSR+SSE
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定理 4.5＇在 p 元回归分析问题中， SSR 与 SSE 相互独立，
且1
2
SSE
~
2(n
p
1)
；在原假设 H0 成立时，有
12ຫໍສະໝຸດ SSR~2(p)
。
因此取检验统计量 F=
SSR / p
H0成立时
F(p,n-p-1)
SSE / n p 1
（ xi1, , xip , yi ）（ i 1,2,, n ）到回归平面
y ˆ0 ˆ1x1 ˆp xp 的距离的大小。
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一元回归分析中旳结论全部能够推广到多 元旳情形中来。
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定理 4.2＇ 在 p 元回归分析问题中，（1） ˆ 服从 p+1 维正态分
min
0 ,1 , , p
Q(0,
1,
,p)
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定理 4.1＇在 p 元回归分析问题中， 的最小
二乘估计量为 ˆ X X 1 X Y 。
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误差方差的估计：
多元线性回归分析基础
03
伪逆矩阵
当自变量和因变量之间存在不完全的线性关系时，最小二乘法的解可能
不唯一。在这种情况下，可以使用伪逆矩阵来求解参数，它能够给出参
数的一个稳定解。
多元线性回归模型的假设检验
总结词
利用多元线性回归分析，可以预测一个地区或国家的人口数量变化趋势，为政策制定提 供依据。
详细描述
人口数量受到多种因素的影响，如出生率、死亡率、移民率等。通过收集这些因素的数 据，并利用多元线性回归分析建立模型，可以预测未来一段时间内的人口数量变化趋势。 这种预测结果可以为政府制定相关政策提供依据，例如资源分配、教育医疗等公共服务
多元线性回归模型的基本形式
Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βpXp + ε
多元线性回归模型的参数估计
01 02
最小二乘法
最小二乘法是一种常用的参数估计方法，通过最小化预测值与实际值之 间的残差平方和来估计参数。这种方法基于一系列观测数据，通过数学 优化技术求解参数值。
梯度下降法
医学研究
在生物医学领域，多元线性回归分析可用于研究疾病的发生和发展与 多个基因和环境因素之间的关系。
02
多元线性回归模型
多元线性回归模型的概述
多元线性回归模型的定义
多元线性回归模型是一种用于探索和预测多个自变量与因变量之间关系的统计方法。通过将多个自变量纳入模型， 可以分析它们对因变量的联合影响。
的规划等。
05
多元线性回归分析的注意事项
数据质量与预处理
多元线性回归分析
多元线性回归分析多元线性回归分析是一种常用的统计方法，用于研究多个自变量与因变量之间的关系。
它可以帮助我们理解多个因素对于一个目标变量的影响程度，同时也可以用于预测和解释因变量的变化。
本文将介绍多元线性回归的原理、应用和解读结果的方法。
在多元线性回归分析中，我们假设因变量与自变量之间存在线性关系。
具体而言，我们假设因变量是自变量的线性组合，加上一个误差项。
通过最小二乘法可以求得最佳拟合直线，从而获得自变量对因变量的影响。
多元线性回归分析的第一步是建立模型。
我们需要选择一个合适的因变量和若干个自变量，从而构建一个多元线性回归模型。
在选择自变量时，我们可以通过领域知识、经验和统计方法来确定。
同时，我们还需要确保自变量之间没有高度相关性，以避免多重共线性问题。
建立好模型之后，我们需要对数据进行拟合，从而确定回归系数。
回归系数代表了自变量对因变量的影响大小和方向。
通过最小二乘法可以求得使残差平方和最小的回归系数。
拟合好模型之后，我们还需要进行模型检验，以评估模型拟合的好坏。
模型检验包括对回归方程的显著性检验和对模型的拟合程度进行评估。
回归方程的显著性检验可以通过F检验来完成，判断回归方程是否显著。
而对模型的拟合程度进行评估可以通过判断决定系数R-squared的大小来完成。
解读多元线性回归结果时，首先需要看回归方程的显著性检验结果。
如果回归方程显著，说明至少一个自变量对因变量的影响是显著的。
接下来，可以观察回归系数的符号和大小，从中判断自变量对因变量的影响方向和相对大小。
此外，还可以通过计算标准化回归系数来比较不同自变量对因变量的相对重要性。
标准化回归系数表示自变量单位变化对因变量的单位变化的影响程度，可用于比较不同变量的重要性。
另外，决定系数R-squared可以用来评估模型对观测数据的拟合程度。
R-squared的取值范围在0到1之间，越接近1说明模型对数据的拟合越好。
但需要注意的是，R-squared并不能反映因果关系和预测能力。
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第二章 多元线性回归分析第一节 模型的假定一、多元线性回归模型研究的主要内容多元线性回归分析是一元线性回归分析的拓展，最明显的变化是解释变量个数由一个增加到多个，模型的估计与检验原理都是一样的，当然，也会出现一些新的问题，比如多重共线性、可决系数的调整等。
主要内容包括：①多元线性回归模型的定义；②假定条件，③估计方法，④估计量的特性，⑤多重可决系数，⑥t 检验和F 检验，⑦回归系数的区间估计，⑧点预测与区间预测，⑨预测结果的评价方法，⑩偏相关和复相关系数等。
二、多元线性回归模型 （一）内涵1.影响被解释变量Y 的解释变量X 有（k-1）个，这些解释变量可以分别表示为2X ，3X ，…，k X ；2.被解释变量Y 是解释变量X 的线性组合；3.被解释变量Y 是参数的线性组合。
（二）模型的形式1.数学模型表达形式在上述条件下，多元线性回归的数学模型可以表示为： 12233t t t k kt t Y X X X ββββμ=+++⋅⋅⋅++ （t=1,2,3,…,n ）2.变量的解释其中t Y 是被解释变量（因变量），kt X 是解释变量（自变量），t μ是随机误差项，k β是回归参数（通常未知）。
3.对经济问题的实际意义 （1）t Y 与kt X 存在线性关系 （2）kt X 是t Y 的重要解释变量（3）u t 代表众多影响t Y 变化的微小因素。
使t Y 的变化偏离了()12233t t t k kt E Y X X X ββββ=+++⋅⋅⋅+决定的k 维空间平面。
（三）多元线性回归模型的样本表达1.样本当给定样本()23,,,t t t kt Y X X X ⋅⋅⋅,( t = 1, 2, …, n)时,实际样本可以表示为:第一组为：()121311,,,k Y X X X ⋅⋅⋅ (1)t = 第二组为：()222322,,,k Y X X X ⋅⋅⋅ (2)t = 第三组为：()323333,,,k Y X X X ⋅⋅⋅ (3)t = …… ……第n 组为：()23,,,n n n kn Y X X X ⋅⋅⋅ ()t n = 2.方程组表达形式因此，上述模型也可以用方程组表示为：11221331112122233222312233333312233k k k k k k n n n k kn nY X X X Y X X X Y X X X Y X X X ββββμββββμββββμββββμ=+++⋅⋅⋅++=+++⋅⋅⋅++=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+++⋅⋅⋅++ 三、多元线性回归模型的6个假定条件（与一元比较） （一）随机误差项的假定随机差项t μ的数学期望为零，即有： ()0t E μ= ( t = 1, 2, …, n)（二）随机误差项方差的假定随机误差项t μ的方差是一个常数，即有：()2var t uμσ= （三）随机误差项之间关系的假定不同的随机误差项t μ和s μ之间互相独立，即有： ()cov ,0t s μμ= ( t ，s = 1, 2, …, n. t ≠s )（四）解释变量与随机误差项之间关系的假定解释变量kt X 与随机误差项t μ不相关，即有： ()cov ,0it t X μ= ( i=2,3,…,k;t = 1, 2, …,n)（五）随机误差项概率分布的假定随机差项t μ为服从正态分布的随机变量，即有：()20,tu N μσ上述五个假设与一元线性回归模型的假设条件相同。
多元线性回归模型增加的一个假设条件是关于多个解释变量之间关系的，这就是假设6。
（六）解释变量之间关系的假定任何解释变量之间不存在严格的线性相关关系。
即不存在完全的多重共线性。
四、多元线性回归模型的矩阵表示 （一）多元线性回归分析的四个方程1.总体回归模型12233t t t k kt s Y X X X ββββμ=+++⋅⋅⋅++2.总体回归方程()12233t t t k kt E Y X X X ββββ=+++⋅⋅⋅+3.样本回归模型12233ˆˆˆˆt t t k kt t Y X X X e ββββ=+++⋅⋅⋅++ 4.样本回归方程12233ˆˆˆˆˆt t t k ktX X X ββββ=+++⋅⋅⋅+Y （二）多元回归分析中的矩阵表示1.方程组表示的转化112213311121222332223122333333122331111k k k k k k n n n k kn nY X X X Y X X X Y X X X Y X X X ββββμββββμββββμββββμ=⨯+++⋅⋅⋅++=⨯+++⋅⋅⋅++=⨯+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⨯+++⋅⋅⋅++ 可以定义123n Y Y Y Y Y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，123k βββββ⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎪⎪⎝⎭，213112232223111k k n n kn X X X X X X X X X X ⋅⋅⋅⎛⎫⎪⋅⋅⋅⎪= ⎪ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭，123ˆˆˆˆˆk βββββ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，123n u u U u u ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，123n e e e e e ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，123ˆˆˆˆˆn ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭Y Y Y Y Y ，()()()()()123n E Y E Y E Y E Y E Y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭。
2.用矩阵表示的四个方程为 （1）总体回归模型Y X U β=+（2）总体回归方程 ()E Y X β=（3）样本回归模型 ˆY X e β=+（4）样本回归方程 ˆˆX β=Y3.假设条件的矩阵表示： 假设1:()()()()()12300000n E u E u E U E u E u ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 假设2和假设3：()()()()()()()()()()()()()()()11213112122322331323312var cov ,cov ,cov ,cov ,var cov ,cov ,var var cov ,cov ,var cov ,cov ,cov ,n n n n n n u u u u u u u u u u u u u u u u U u u u u u u u u u u u u u ⋅⋅⋅⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅ ⎪ ⎪==⋅⋅⋅ ⎪⎪ ⎪⎝⎭()()3cov ,var n n u u u ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭()()()()()()()()()()111212212231222222var cov ,cov ,cov ,var cov ,var var cov ,cov ,var 100000001000000001000n n n n n n u u u u nu u u u u u u u u u u u u U u u u u u u u I E u σσσσσ⎛⎫⋅⋅⋅⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=()()()()()()()()()()()2211211121222122212222121212'312n n n n n n n n n n n n E u u E u u u u u u u E u u E u E u u u u u u u E u u u u u E u u E u u E u u u E u u u u E UU u ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎛⎫⋅⋅⋅⎪⎛⎫⋅⋅⋅ ⎪⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎨ ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭⋅⋅⋅⎝⎭⎧⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪=⋅⋅⋅=⎨⎬ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩假设4表示矩阵X 的所有元素均为非随机因素，即X 为确定性矩阵。
假设5表示矩阵U 服从多元正态分布,即有：()220,u u nUI σσ假设6表示要求矩阵X 是满秩。
第二节 参数的最小二乘估计一、估计的基本思想多元回归分析的思想与一元回归分析一样，我们仍然是要通过样本来对总体系数β进行估计，在这里就是对系数矩阵进行估计，也就是对总体系数矩阵β进行估计，得出其估计值ˆβ。
在这个估计当中，仍然使用的是最小二乘准则，即使残差平方和达到最小值。
不同的是采用矩阵运算的形式来进行，具体步骤就是，求出残差和残差平方和，进而通过一阶必要条件来解。
二、估计的过程 （一）系数矩阵估计值由样本回归模型:ˆY X e β=+ 和样本回归方程:ˆˆX β=Y ，可得残差为：ˆˆe Y Y X β=-=-Y进而残差平方和为：()()()()()()122222121233''''''''''''''''ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ2t t n n e e e e e e e e e e e e e e Y X Y X Y X Y X Y Y X Y Y X X X Y Y X Y X X βββββββββββ⎛⎫⎪ ⎪⎪=++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭==--=--=--+=-+∑注意:1.这里运用到了矩阵转置的穿脱原理；2.运用到一个标量矩阵的转置恒等；3.注意矩阵的运算中法则特别是交换律。
就残差平方对ˆβ求偏导数并令其等于零得：()()()()()'''''2''''11''''1''1''ˆˆˆ20ˆˆˆ220ˆˆˆˆtY Y X Y X X eX Y X X X X X Y X X X X X X X Y I X X X Y X X X Yββββββββββ----∂-+∂==∂∂⇒-+=⇒=⇒=⇒=⇒=∑这就是参数矩阵的估计值。
（二）估计得到的两个有意义的伴随结论1.残差和等于零()()'''1''1'''''''''ˆˆˆ0Y X e X Y X X X e X X X Y X Y X X X X X Y X e X Y X Y X e X e βββ--=+⎫⇒=+⎪⎬=⎪⎭⇒=+⇒=+⇒=2.解释变量与残差互相独立 '00it t X e X e =⇒=∑（三）离差形式的最小二乘估计量参数矩阵的估计值为()1''ˆX X X Y β-=。