2020版高考数学大一轮复习第六章不等式推理与证明1第1讲不等关系与不等式课件文
2．若1a<1b<0，则下列不等式：①a＋1 b<a1b；②|a|＋b>0；③a－1a>b
－1b；④ln a2>ln b2 中，正确的不等式序号是________． 解析：由1a<1b<0，可知 b<a<0.①中，因为 a＋b<0，ab>0，所以 a＋1 b<0，a1b>0.故有a＋1 b<a1b，即①正确； ②中，因为 b<a<0，所以－b>－a>0. 故－b>|a|，即|a|＋b<0，故②错误；③中，因为 b<a<0，又1a<1b<0， 所以 a－1a>b－1b，故③正确；
解：要使 mx2－mx－1<0 恒成立， 若 m＝0，显然－1<0； 若 m≠0，则mΔ <＝0，m2＋4m<0 ⇒－4<m<0. 所以－4<m≤0， 即 m 的取值范围是(－4，0]．
不等式的性质及运用 (1)已知 a，b，c，d 为实数，则“a>b 且 c>d”是“ac＋ bd>bc＋ad”的________条件． (2)若1a<1b<0，则下列不等式：①a＋b<ab；②|a|>|b|；③a<b； ④ab<b2 中，正确的不等式序号为________．
解得－12<x≤1. 答案：－12，1
1．必明辨的 3 个易错点 (1)在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如 a≤b，b<c⇒a<c. (2)在乘法法则中，要特别注意“乘数 c 的符号”． (3)二次项系数中含有参数时，则应先考虑二次项系数是否为 零．
2．常用的 3 个结论 (1)不等式的倒数性质 ①a>b，ab>0⇒1a<1b； ②a<0<b⇒1a<1b； ③a>b>0，0<c<d⇒ac>bd； ④0<a<x<b 或 a<x<b<0⇒1b<1x<1a.
(2)不等式的分数性质 ①真分数的性质 ba<ba＋ ＋mm(m>0)；ba>ba－－mm(b－m>0，m>0)； ②假分数的性质 ab>ab＋ ＋mm(m>0)；ab<ab－－mm(b－m>0，m>0)．
(3)由二次函数图象与一元二次不等式的关系得到的两个常用
结论
①不等式 ax2＋bx＋c>0 对任意实数 x 恒成立⇔a＝b＝0，或 c>0
一元二次不等式恒成立问题 (1)设 0≤α≤π，不等式 8x2－(8sin α)x＋cos 2α≥0 对 x∈R 恒成立，则 α 的取值范围为________． (2)设 f(x)＝mx2－mx－1，若 f(x)<－m＋5，对于 x∈[1，3]上恒 成立，则实数 m 的取值范围为________．
②当2a>1 即 0<a<2 时，解集为x1<x<2a； ③当2a<1 即 a>2 时，解集为x2a<x<1. 综上所述，当 0<a<2 时， 不等式的解集为x1<x<2a； 当 a＝2 时，不等式的解集为∅； 当 a>2 时，不等式的解集为x2a<x<1.
【解】 设 α＋3β＝x(α＋β)＋y(α＋2β)＝(x＋y)α＋(x＋2y)β. 则xx＋ ＋y2＝y＝1， 3，解得xy＝＝2－. 1， 因为－1≤－(α＋β)≤1，2≤2(α＋2β)≤6， 两式相加，得 1≤α＋3β≤7. 所以 α＋3β 的取值范围为[1，7]．
利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点： 一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性 质时有可能扩大了变量的取值范围．解决的途径是先建立所求 范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次 性”不等关系的运算求解范围．
已知函数 f(x)＝ax2＋bx，且 1≤f(－1)≤2，2 ≤f(1)≤4.求 f(－2)的取值范围．
解：f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b，f(－2)＝4a－2b. 设 m(a＋b)＋n(a－b)＝4a－2b. 则mm＋－nn＝＝4－，2， 解得mn＝＝31.，
所以 f(－2)＝(a＋b)＋3(a－b)＝f(1)＋3f(－1)． 因为 1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4， 所以 5≤f(－2)≤10. 即 f(－2)的取值范围为[5，10]．
一元二次不等式的解法(高频考点) 解下列不等式： (1)0＜x2－x－2≤4； (2)x2－4ax－5a2＞0(a≠0)．
【解】 (1)原不等式等价于 xx22－ －xx－ －22＞ ≤04，⇔xx22－ －xx－ －26＞ ≤00， ⇔（ （xx－ －23） ）（ （xx＋ ＋12） ）＞ ≤00，⇔x－＞22≤或xx≤＜3.－1， 借助于数轴，如图所示，
原不等式的解集为x|－2≤x＜－1或2＜x≤3. (2)由 x2－4ax－5a2＞0 知(x－5a)(x＋a)＞0. 由于 a≠0 故分 a＞0 与 a＜0 讨论． 当 a＜0 时，x＜5a 或 x＞－a； 当 a＞0 时，x＜－a 或 x＞5a. 综上，a＜0 时，解集为x|x＜5a或x＞－a； a＞0 时，解集为x|x＞5a或x＜－a.
(n∈N，n≥2)
可开方性
a>b>0⇒n a__>__n b(n∈N，n ≥2)
注意 ⇒
同正
2.“三个二次”的关系
判别式 Δ＝b2
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
－4ac
二次函数 y＝
ax2＋bx＋
c(a>0)的图象
判别式 Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
一元二次方程 ax2＋ 有两相异实根 有两相等实根 bx＋c＝0(a>0)的根 x1，x2(x1<x2) x1＝x2＝－2ba
【解析】 (1)因为 c>d，所以 c－d>0.又 a>b，所以两边同时乘 以(c－d)，得 a(c－d)>b(c－d)，即 ac＋bd>bc＋ad.若 ac＋bd>bc ＋ad，则 a(c－d)>b(c－d)，也可能 a<b 且 c<d，所以“a>b 且 c>d”是“ac＋bd>bc＋ad”的充分不必要条件． (2)因为1a<1b<0，所以 b<a<0，a＋b<0，ab>0，所以 a＋b<ab，|a|<|b|， 在 b<a 两边同时乘以 b，因为 b<0，所以 ab<b2.因此正确的是 ①④.
解析：当 c＝0 时，可知①不正确；当 c＜0 时，可知②不正确； 由 a3＞b3 且 ab＜0，知 a＞0 且 b＜0，所以1a＞1b成立，③正确； 当 a＜0 且 b＜0 时，可知④不正确．
答案：③
2．已知
a，b
为
实
数
，
则
“a>b>1”
是
“
1 a－1
<
1 b－1
”
的
_______________________条件．
在所给的四个条件： ①b>0>a；②0>a>b；③a>0>b；④a>b>0 中， 能推出1a<1b成立的有________个． 解析：1a<1b成立，即b－aba<0 成立，逐个验证可得， ①②④满足题意．
答案：3
若 α，β 满足－ 1≤1≤ α α＋＋2ββ ≤≤31，，试求 α＋3β 的取值范围．
注意 ⇔ ⇒ ⇔
1．不等式的性质 性质
性质内容
可乘性 同向可加性
ac>>0b⇒ac__> __bc ac<>0b⇒ac__< __bc ac>>db⇒a＋c__>__b＋d
注意 c 的符号
⇒
性质
性质内容
同向同正可乘性 可乘方性
ac>>db>ห้องสมุดไป่ตู้00⇒ac__>__bd a>b>0⇒an__>__bn
(1)解一元二次不等式的一般步骤 ①对不等式变形，使一端为 0 且二次项系数大于 0，即 ax2＋bx ＋c＞0(a＞0)，ax2＋bx＋c＜0(a＞0)； ②计算相应的判别式； ③当 Δ≥0 时，求出相应的一元二次方程的根； ④根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集．
(2)解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一 般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类， 其次根据根是否存在，即 Δ 的符号进行分类，最后在根存在时， 根据根的大小进行分类．
当 m>0 时，g(x)在[1，3]上是增函数，所以 g(x)max＝g(3)＝7m －6<0，所以 m<67，所以 0<m<67； 当 m＝0 时，－6<0 恒成立； 当 m<0 时，g(x)在[1，3]上是减函数，所以 g(x)max＝g(1)＝m－ 6<0，所以 m<6，所以 m<0. 综上所述，m 的取值范围是{m|m<67}．
【答案】 (1)充分不必要 (2)①④
判断多个不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说 明．常用的推理判断需要利用不等式的性质，常见的反例构成 方式可从以下几个方面思考： (1)不等式两边都乘以一个代数式时，考察所乘的代数式是正 数、负数或 0； (2)不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时平方后不等号 方向不一定保持不变； (3)不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时取倒数后不等 号方向不变等．
已知关于 x 的不等式：（a＋x－1）1x－3<1. (1)当 a＝1 时，解该不等式； (2)当 a>0 时，解该不等式．
2020高考数学一轮复习第六章不等式、推理与证明6.1不等关系与不等式课件文
2．已知 x<1，比较 x3－1 与 2x2－2x 的大小．
解析：x3－1－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1 ＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2 ＝(x－1)(x2－x＋1)
二、必明 2 个易误点 1．在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如 a≤b，b<c ⇒a<c. 2．在乘法法则中，要特别注意“乘数 c 的符号”，例如当 c≠0 时，有 a>b⇒ac2>bc2；若无 c≠0 这个条件，a>b⇒ac2>bc2 就是错误 结论(当 c＝0 时，取“＝”)．
【小题热身】
(8)开方法则：a>b>0⇒n
n a>
b(n∈N，n≥2)．(单向性)
3．倒数性质 (1)设 ab>0，则 a<b⇔1a>1b.(双向性) (2)a<0<b⇒1a<1b. (3)a>b>0,0<c<d⇒ac>bd. (4)0<a<x<b 或 a<x<b<0⇒1b<1x<1a.
4．有关分数的性质 若 a>b>0，m>0，则 (1)ba<ba＋ ＋mm；ba>ba－ －mm(b－m>0) (2)ab>ab＋ ＋mm；ab<ab－ －mm(b－m>0)
考向三 求代数式的取值范围问题
[互动讲练型]
[例] 设 f(x)＝ax2＋bx，若 1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，则 f(－2)
的取值范围是________．
2020高考数学理科大一轮复习第六章不等式_推理与证明__导学案6.1
第六章不等式、推理与证明第一节不等关系与不等式知识点一两个实数比较大小1．限速40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，写成不等式就是(D)A．v<40 km/h B．v>40 km/hC．v≠40 km/h D．v≤40 km/h解析：由汽车的速度v不超过40 km/h，知小于等于40 km/h.即v≤40 km/h.故选D.2．设a＝2，b＝7－3，c＝6－2，则a，b，c中最大者为a.解析：因为b－c＝7－3－(6－2)＝(7＋2)－(6＋3)，(7＋2)2＝9＋214，(6＋3)2＝9＋218，所以b－c<0，即b<c.又a－c＝2－(6－2)＝22－6＝8－6>0，所以a>c.所以a，b，c中最大者为a.知识点二不等式的性质1．对称性：a>b⇔b<a；2．传递性：a>b，b>c⇒a>c；3．可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；4．可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；5．可乘方：a>b>0⇒a n>b n(n∈N，n≥2)；6．可开方：a>b>0⇒na>nb(n∈N，n≥2)．3．(2019·南宁、柳州联考)设a>b，a，b，c∈R，则下列式子正确的是(C)A ．ac 2>bc 2 B.a b >1 C ．a －c >b －cD ．a 2>b 2解析：a >b ，若c ＝0，则ac 2＝bc 2，故A 错；a >b ，若b <0，则ab <1，故B 错；a >b ，不论c 取何值，都有a －c >b －c ，故C 正确；a >b ，若a ，b 都小于0，则a 2<b 2，故D 错．于是选C.4．已知下列四个条件：①b >0>a ；②0>a >b ；③a >0>b ；④a >b >0.不能推出1a <1b 成立的序号是③.解析：①若b >0>a ，则1a <0<1b ，故①正确；②若0>a >b ，则ab >0，∴a ab >bab ，即1a <1b ，故②正确；③若a >0>b ，则1a >0>1b ，故不能推出1a <1b ，因此③不正确；④若a >b >0，则a ab >b ab ，即1a <1b ，故④正确．综上可知，不能推出1a <1b 成立的是③.5．若1<α<3，－4<β<2，则α2－β的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，112.解析：由1<α<3得12<α2<32， 由－4<β<2得－2<－β<4， 所以－32<α2－β<112，所以α2－β的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，112.1．比较两个代数式的大小通常用作差法或作商法，也可结合函数、不等式的性质比较．2．倒数性质的几个必备结论 (1)a >b ，ab >0⇒1a <1b . (2)a <0<b ⇒1a <1b . (3)a >b >0,0<c <d ⇒a c >bd .(4)0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1a .考向一 比较大小【例1】 (1)已知a ，b ，c 为正数，且3a ＝4b ＝6c ，则下列正确的是( ) A ．6c <3a <4b B ．6c <4b <3a C ．3a <4b <6cD ．4b <3a <6c(2)已知a >b >0，P ＝a 2－b 2a 2＋b 2，Q ＝a －b a ＋b，则P ，Q 的大小关系为________．【解析】 (1)令3a ＝4b ＝6c ＝k ，则a ＝log 3k ，b ＝log 4k ，c ＝log 6k ，则3a4b ＝3log 3k 4log 4k ＝3lg44lg3＝lg64lg81<1，则3a <4b ，又4b 6c ＝2log 4k 3log 6k ＝2lg63lg4＝lg36lg64<1，则4b <6c ，所以3a <4b <6c ，故选C.(2)P －Q ＝a 2－b 2a 2＋b 2－a －b a ＋b＝(a 2－b 2)(a ＋b )－(a －b )(a 2＋b 2)(a 2＋b 2)(a ＋b ) ＝(a －b )[(a ＋b )2－(a 2＋b 2)](a 2＋b 2)(a ＋b )＝2ab (a －b )(a 2＋b 2)(a ＋b ). 因为a >b >0，所以2ab >0，a －b >0，a 2＋b 2>0，a ＋b >0，所以2ab (a －b )(a 2＋b 2)(a ＋b )>0，所以P >Q .【答案】 (1)C (2)P >Q(1)判断两个式子的大小关系的方法：作差、作商法；不等式性质法；单调性法；中间量法；特殊值法；数形结合法等.(2)作差法的一般步骤：作差，变形，定号，得出结论.(1)设a ，b ∈[0，＋∞)，A ＝a ＋b ，B ＝a ＋b ，则A ，B 的大小关系是( B )A ．A ≤B B ．A ≥BC ．A <BD ．A >B(2)若a ＝ln33，b ＝ln44，c ＝ln55，则( B ) A ．a <b <c B ．c <b <a C ．c <a <bD ．b <a <c解析：(1)∵A ≥0，B ≥0，A 2－B 2＝a ＋2ab ＋b －(a ＋b )＝2ab ≥0，∴A ≥B .(2)方法1：易知a ，b ，c 都是正数，b a ＝3ln44ln3＝log 8164<1，所以a >b ；bc ＝5ln44ln5＝log 6251 024>1，所以b >c .即c <b <a .方法2：对于函数y ＝f (x )＝ln xx ，y ′＝1－ln x x 2，易知当x >e 时，函数f (x )单调递减．因为e<3<4<5，所以f (3)>f (4)>f (5)，即c <b <a .考向二不等式的性质【例2】 (1)若a >b >0，c <d <0，则一定有( ) A.a c >b d B.a c <b d C.a d >b cD.a d <b c(2)若a >b >0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( ) A ．a ＋1b <b2a <log 2(a ＋b ) B.b 2a <log 2(a ＋b )<a ＋1b C ．a ＋1b <log 2(a ＋b )<b2a D ．log 2(a ＋b )<a ＋1b <b2a【解析】 (1)由c <d <0⇒－1d >－1c >0，又a >b >0，故由不等式性质，得－ad >－b c >0，所以a d <b c .(2)解法1：因为a >b >0，且ab ＝1，所以a >1,0<b <1，所以a ＋1b ＝a ＋a ＝2a >2，log 2(a ＋b )＝log 2a ＋1a >log 2⎝⎛⎭⎪⎫2a ·1a ＝log 22＝1，b 2a ＝1a ·2a <1.可知b 2a 最小，由选项知选B. 解法2：选择题也可以考虑直接赋值，关键是要看出由a >b >0，且ab＝1可以得出a >1>b >0，然后取符合要求的值，可以取a ＝2，b ＝12，比较4，12·22，log 232，则易得答案为B. 【答案】 (1)D (2)B(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明.常用的推理判断需要利用不等式的性质.(2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等.(1)若a ，b 为实数，则“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a ”的( A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)若1a <1b <0，则下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a | >|b |；③a <b ；④ab <b 2中，正确的不等式是( C ) A ．①② B ．②③ C ．①④D ．③④(3)(2018·北京卷)能说明“若a >b ，则1a <1b ”为假命题的一组a ，b 的值依次为1，－1(答案不唯一)．解析：(1)对于0<ab <1，如果a >0，则b >0，a <1b 成立，如果a <0，则b <0，b >1a 成立，因此“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a ”的充分条件；反之，若a ＝－1，b ＝2，结论“a <1b 或b >1a ”成立，但条件0<ab <1不成立，因此“0<ab <1”不是“a <1b 或b >1a ”的必要条件．即“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a ”的充分不必要条件．(2)因为1a <1b <0，所以b <a <0，a ＋b <0，ab >0，所以a ＋b <ab ，|a |<|b |，在b <a 两边同时乘以b ，因为b <0，所以ab <b 2.因此正确的是①④.(3)由题意知，当a ＝1，b ＝－1时，满足a >b ，但是1a >1b ，故答案可以为1，－1.(答案不唯一，满足a >0，b <0即可)考向三 不等式性质的应用【例3】 (1)三个正数a ，b ，c 满足a ≤b ＋c ≤2a ，b ≤a ＋c ≤2b ，则ba的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，32 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ C ．[2,3] D ．[1,2](2)已知－12≤2x ＋y ≤12，－12≤3x ＋y ≤12，则9x ＋y 的取值范围是________．【解析】 (1)三个正数a ，b ，c 满足a ≤b ＋c ≤2a ，b ≤a ＋c ≤2b ，∴1≤ba ＋c a ≤2，b a ≤1＋c a ≤2b a ，即－2b a ≤－1－c a ≤－b a ，∴1－2b a ≤b a －1≤2－ba ，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2b a ≤b a －1，ba －1≤2－ba ，即⎩⎪⎨⎪⎧b a ≥23，b a ≤32，∴23≤b a ≤32，故选A.(2)设9x ＋y ＝a (2x ＋y )＋b (3x ＋y )，则9x ＋y ＝(2a ＋3b )x ＋(a ＋b )y ，于是比较两边系数得⎩⎨⎧2a ＋3b ＝9，a ＋b ＝1，得a ＝－6，b ＝7.由已知不等式得－3≤－6(2x ＋y )≤3，－72≤7(3x ＋y )≤72，所以－132≤9x ＋y ≤132.【答案】 (1)A (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－132，132运用不等式的性质解决问题时，常用的方法是正确使用不等式的性质直接推导，并注意不等式性质成立的条件以及等价转化的思想，比如减法可以转化为加法，除法可以转化为乘法等.但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，再通过“一次性”不等关系的运算求解范围.(1)已知－1<x <y <3，则x －y 的取值范围是(－4,0)．解析：∵－1<x <3，－1<y <3，∴－3<－y <1，∴－4<x －y <4.又∵x <y ，∴x －y <0，∴－4<x －y <0，故x －y 的取值范围为(－4,0)．(2)已知二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且1≤f (－1)≤2,3≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围．解：因为二次函数y ＝f (x )的图象过原点，所以设y ＝f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)，由题意知⎩⎨⎧ 1≤f (－1)＝a －b ≤2，3≤f (1)＝a ＋b ≤4.解法1：(待定系数法)由题意知f (－2)＝4a －2b ，设存在实数x ，y ，使得4a －2b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，即4a －2b ＝(x ＋y )a ＋(x －y )b ，所以⎩⎨⎧ x ＋y ＝4，x －y ＝－2，解得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝3，所以f (－2)＝4a －2b ＝(a ＋b )＋3(a －b )．又3≤a ＋b ≤4,3≤3(a －b )≤6，所以6≤(a ＋b )＋3(a －b )≤10，即f (－2)的取值范围是[6,10]．因为二次函数y ＝f (x )的图象过原点，所以设y ＝f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)，由题意知⎩⎨⎧ 1≤f (－1)＝a －b ≤2，3≤f (1)＝a ＋b ≤4.解法1：(待定系数法)由题意知f (－2)＝4a －2b ，设存在实数x ，y ，使得4a －2b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，即4a －2b ＝(x ＋y )a ＋(x －y )b ，所以⎩⎨⎧ x ＋y ＝4，x －y ＝－2，解得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝3，所以f (－2)＝4a －2b ＝(a ＋b )＋3(a －b )．又3≤a ＋b ≤4,3≤3(a －b )≤6，所以6≤(a ＋b )＋3(a －b )≤10，即f (－2)的取值范围是[6,10]．解法2：(运用方程思想)由⎩⎨⎧ f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝12[f (－1)＋f (1)]，b ＝12[f (1)－f (－1)]，所以f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)． 又⎩⎨⎧ 1≤f (－1)≤2，3≤f (1)≤4，所以6≤3f (－1)＋f (1)≤10，即f (－2)的取值范围是[6,10]．。
2020高考数学(苏教,理科)复习课件：第六章 不等式、推理与证明第一节 不等关系与不等式
数学
第一节 不等关系与不等式
[典例] (1)“a＋c>b＋d”是“a>b且c>d”的________条件．
(2)若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列结论：①ad＞bc；②
a d
＋
b c
＜0；③a－c＞b－d；④a·(d－c)＞b(d－c)中成立的个数是
数学
第一节 不等关系与不等式
[练一练] 若0<a<b，c>0，则ba＋ ＋cc与ab＋ ＋cc的大小关系为________． 答案：ba＋ ＋cc>ab＋ ＋cc
数学
第一节 不等关系与不等式
1.已知a1，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小
关系是________． 解析：M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)
数学
第一节 不等关系与不等式
1．不等式的倒数性质 (1)a>b，ab>0⇒1a<1b； (2)a<0<b⇒1a<1b； (3)a>b>0,0<c<d⇒ac>bd； (4)0<a<x<b 或 a<x<b<0⇒1b<1x<1a.
数学
第一节 不等关系与不等式
2．不等式的分数性质 (1)真分数的性质： ba<ba＋ ＋mm；ba>ba－ －mm(b－m>0)； (2)假分数的性质： ab>ab＋ ＋mm；ab<ab－ －mm(b－m>0)．
数学
第一节 不等关系与不等式
[类题通法] (1)作差法：
比较大小的常用方法
高考数学大一轮复习-第六章 不等式与推理证明 第1课时 不等关系与不等式课件 北师大版
(2)a2a＋bb2≤－2⇔a2a＋bb2＋2＝a＋abb2≤0⇔ab＜0⇔ab＜＞00 或ab＞＜00 ，故选A. 答案 (1)C (2)A
在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和 不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质 判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函 数，指数函数的性质等．
是( )
A．a2＋1＞b2＋1
B.ba＜1
C．lg(a－b)＞0
D.13a＜13b
(2)已知a1，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N 的大小关系是( )
A．M＜N
B．M＞N
C．M＝N
D．不确定
(3)已知a＞b＞0，比较aabb与abba的大小．
审题视点 (1)运用特殊值验证即可．(2)可用作差法求解．(3)
(1)“作差比较法”的依据是“a－b＞0⇔a＞b，a－b＜0⇔a ＜b，a－b＝0⇔a＝b”，其过程可分三步：①作差；②变形；③ 判断差的符号．其中关键一步是变形．
(2)“作商比较法”的依据是“
a b
＞1，b＞0⇒a＞b”，是把两
数的大小比较转化为两数的商与1进行比较，在数式结构含有幂
或根式、绝对值时，可采用此方法．
1．实数x的绝对值不大于2，用不等式表示为( )
A．|x|>2
B．|x|≥2
C．|x|<2
D．|x|≤2
解析：“不大于”指“≤”，所以|x|≤2. 答案：D
2．某汽车公司由于发展的需要需购进一批汽车，计划使用 不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽 车和B型汽车．根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6 辆，写出满足上述所有不等关系的不等式．
高考数学一轮总复习 第6章 不等式、推理与证明 第1节 不等关系与不等式课件 理 新人教版
[谨记通法] 比较两个数(式)大小的 2 种方式
如“题组练透”第 2 题易忽视作商法．
考点二 不等式的性质 重点保分型考点——师生共研
[典例引领] 1．设 a，b∈R 则“(a－b)·a2<0”是“a<b”的
()
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：(a－b)·a2＜0，则必有 a－b＜0，即 a＜b；而 a＜
b 时，不能推出(a－b)·a2＜0，如 a＝0，b＝1，所以“(a
－b)·a2＜0”是“a＜b”的充分不必要条件．
答案：A
2．如果 a<b<0，那么下列不等式成立的是
[即时应用]
1．若 a>b>0，则下列不等式不成立的是
()
A．1a<1b
B．|a|>|b|
C．a＋b<2 ab
D．12a<12b
解析：∵a>b>0，∴1a<1b，且|a|>|b|，a＋b>2 ab，又 2a>2b，
∴12a<12b. 答案：C
2．若 a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列结论：①ad＞bc；
A．1a<1b
B．ab<b2
C．－ab<－a2
D．－1a<－1b
()
解析
[由题悟法] 不等式性质应用问题的 3 大常见类型及解题策略 (1)利用不等式性质比较大小．熟记不等式性质的条件 和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的 前提条件． (2)与充要条件相结合问题．用不等式的性质分别判断 p⇒q 和 q⇒p 是否正确，要注意特殊值法的应用． (3)与命题真假判断相结合问题．解决此类问题除根据 不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．
2020高考数学一轮复习 不等关系与不等式课件 精品
知识点
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1.会从实际情境中抽 1.多考查线性目标函
象出二元一次不等
式组.
数的最值问题，兼顾
2.了解二元一次不等 面积、距离、斜率等
简单的线性 式的几何意义，能用
规划
平面区域表示二元一 问题.
次不等式组.
2.常以选择题、填空
3.会从实际情境中抽 象出一些简单的二
题形式出现，主要是
元线性规划问题，并 最优解问题. 能加以解决.
2.掌握演绎推理的基本模式，并能 运用它们进行一些简单推理.
3.了解合情推理和演绎推理之间 的联系和差异.
4.了解直接证明的两种基本方法 ——分析法和综合法；了解分 析法和综合法的思考过程、特
点. 5.[理]了解数学归纳法的原理，能
用数学归纳法证明一些简单的数 学命题.
考情上线
1.其考查多蕴涵于各种题 型中，重点是演绎推理 与类比推理、归纳推理.
二次不等式模型.
在考查时可独立命
一 元 二 2.通过函数图象了解一元二次 题，兼顾“三个二
次 不 等 不等式与相应的函数、方程 次间关系问题”.
式 及 其 的联系.
2.融解法于集合问
解法 3.会解一元二次不等式，对给 题，导数的单调性
定的一元二次不等式，会设 问题之中，考查分
计求解的程序框图.
类讨论思想、数形 结合思想等.
a＞b，c＞d⇒a＋c ＞b＋d. 4.乘法性质：a＞b，c＞0⇒ac ＞ bc；
a＞b，c＜0⇒ac ＜ bc； a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac ＞bd.
5.倒数法则：a＞b，ab＞0⇒ ＜ ； ，ab＞0⇒a ＞ b.(同号即可，而不要求a，b均
大于0) 6.乘方性质：a＞b＞0⇒an ＞ bn(n∈N，n＞1). 7.开方性质：a＞b＞0⇒ ＞ (n∈N，n＞1).
2020高考数学一轮复习第六章不等式推理与证明第1讲不等关系与不等式课件
用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式
子都为正数时，也可以先平方再作差．
(2)作商法 一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与 1 的大小；④结论(注意所比较的 两个数的符号)． 3．不等式的性质 (1)对称性：a>b⇔b<a；
a>c (2)传递性：a>b，b>c⇒________； > b＋d； > (3)同向可加性：a>b⇔a＋c______ b＋c；a>b，c>d⇒a＋c_____ < bc； (4)同向同正可乘性： a>b， c>0⇒ac>bc； a>b， c<0⇒ac______ a>b>0， c>d>0
第六章
不等式 推理与证明
第一讲 不等关系与不等式
1 2 3
知识梳理双基自测 考点突破互动探究 名师讲坛素养提升
知识梳理双基自测
1．实数的大小与运算性质的关系 a－b>0 ； (1)a>b⇔________ －b＝0 ； (2)a＝b⇔a ________ a－b<0 (3)a<b⇔________. 2．比较大小的常用方法： (1)作差法 一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采
1y －(2) <0，故选 C． (3)由函数 y＝lgx 的单调性知 lga>lgb⇔a>b>0⇒ a> b，但 a> b 如 a＝1，b＝0.故选 B． lga>lgb，
考点3 不等式性质的应用——多维探究
角度1 应用性质研究不等式是否成立 (2018 例· 3课标Ⅲ，12)设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则( B)
高考数学一轮总复习第六章不等式推理与证明6.1不等关系与不等式课件理
解析：对于①，∵ab>0，bc－ad>0，∴ac－bd＝bc－abad>0，∴①正确；对于②，∵ ab>0，又ac－db>0，即bc－abad>0，∴bc－ad>0，∴②正确；对于③，∵bc－ad>0，又ac －db>0，即bc－abad>0，∴ab>0，∴③正确．故选 D.
答案：D
第二十八页，共35页。
第十四页，共35页。
3．下列四个结论，正确的是( ①a>b，c<d⇒a－c>b－d； ②a>b>0，c<d<0⇒ac>bd；
③a>b>0⇒3
3 a>
b；
④a>b>0⇒ห้องสมุดไป่ตู้12>b12.
A．①②
C．①④
)
B．②③ D．①③
第十五页，共35页。
解析：对于①，因为 a>b，c<d，所以－c>－d，所以 a－c>b－d.对于③，a>b>0，
(2)(a－b)·a2<0，则必有 a－b<0，即 a<b；而 a<b 时，不能推出(a－b)·a2<0，如 a ＝0，b＝1，所以“(a－b)·a2<0”是“a<b”的充分不必要条件．
【答案】 (1)B (2)A
第二十五页，共35页。
不等式性质应用问题的 3 大常见类型及解题策略 (1)利用不等式性质比较大小．熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用 是关键，要注意不等式性质成立的前提条件． (2)与充要条件相结合问题．用不等式的性质分别判断 p⇒q 和 q⇒p 是否正确， 要注意特殊值法的应用． (3)与命题真假判断相结合问题．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还 经常采用特殊值验证的方法．
高三数学一轮总复习 第六章 不等式、推理与证明 6.1 不等关系与不等式课件.ppt
□ 性质(5)：a＞b，c＞d⇒a＋c 12 _＞___b＋d(加法法则)。 □ 性质(6)：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac 13 _＞___bd(乘法法则)。 □ 性质(7)：a＞b＞0，n∈N*，n＞1⇒an 14 __＞____bn(乘方法则)。 □ 性质(8)：a＞b＞0，n∈N*，n＞1⇒n a 15 __＞____n b(开方法则)。 □ 性质(9)：ab＞0，a＞b⇒1a 16 ___＜___b1(倒数法则)。
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1．下列命题正确的是( A．若 ac＞bc，则 a＞b C．若1a＞1b，则 a＜b
) B．若 a2＞b2，则 a＞b
D．若 a＜ b，则 a＜b
解析：若 a＜ b，则( a)2＜( b)2，即 a＜b，选 D。 答案：D
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2．若 x＋y＞0，a＜0，ay＞0，则 x－y 的值( )
A．大于 0
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课堂学案 考点通关
考点例析 通关特训
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考点一
比较两个数(式)的大小
【例 1】 (1)设 x＜y＜0，比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋y)的大小；
解析：(1)(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y) ＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]＝－2xy(x－y)。 ∵x＜y＜0，∴xy＞0，x－y＜0。 ∴－2xy(x－y)＞0。 ∴(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y)。
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通关特训 1 (1)已知等比数列{an}中，a1＞0，q＞0，前 n 项和为 Sn，比较aS33与Sa55 的大小。
解析：(1)当 q＝1 时，aS33＝3，Sa55＝5，故aS33＜Sa55；当 q＞0 且 q≠1 时，Sa33－Sa55＝aa11q21－1－q3q －aa11q41－1－q5q＝q21－qq431－－q1－q5＝q4q21－－1q＝－q＋q4 1＜0，故aS33＜Sa55。综上，Sa33＜Sa55。
【2019-2020】高考数学大一轮复习第六章不等式推理与证明第一节不等关系与不等式教师用书理
教学资料范本【2019-2020】高考数学大一轮复习第六章不等式推理与证明第一节不等关系与不等式教师用书理编辑：__________________时间：__________________第一节不等关系与不等式☆☆☆20xx考纲考题考情☆☆☆考纲要求真题举例命题角度了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景。
20xx，北京卷，5,5分(不等式的性质)20xx，浙江卷，8,5分(不等式的综合应用)20xx，天津卷，7,5分(不等式的性质)20xx，山东卷，7,5分(不等式的性质)主要以客观题形式考查不等式性质；以主观题形式考查不等式与其他知识的综合。
微知识小题练自|主|排|查1．实数的大小顺序与运算性质的关系(1)a＞b⇔a－b＞0；(2)a＝b⇔a－b＝0；(3)a＜b⇔a－b＜0。
2．不等式的性质(1)对称性：a＞b⇔b＜a；(双向性)(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；(单向性)(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；(双向性)(4)a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；(单向性)(5)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；(6)a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；(单向性)(7)乘方法则：a＞b＞0⇒a n＞b n(n∈N，n≥1)；(单向性)(8)开方法则：a＞b＞0⇒na＞nb(n∈N，n≥2)；(单向性)(9)倒数性质：设ab ＞0，则a ＜b ⇔1a ＞1b ；(双向性)(10)有关分数的性质：若a ＞b ＞0，m ＞0，则 ①b a ＜b＋m a＋m ；b a ＞b－m a－m (b －m ＞0) ②a b ＞a＋m b＋m ；a b ＜a－m b－m(b －m ＞0)。
微点提醒1．在应用不等式性质时，不可强化或弱化成立的条件，如“同向不等式”才可相加、“同向且两边同正的不等式”才可相乘；“可乘性”中的c 的符号等都需注意。
2．当判断两个式子大小时，对错误的关系式举反例即可，对正确的关系式，则需推理论证。