5_3交错级数 绝对收敛与条件收敛

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交错级数收敛性的几个结果及其应用

交错级数收敛性的几个结果及其应用

对于无法用莱布尼兹判别法判定的三类交错级数 , 利用常数项级数收敛的定义及相关结果 , 可以证明在 一定条件下它们都是收敛的 , 并通过实例说明所得结果的应用价值 . 关键词 级数 ; 敛散性 ; 条件收敛 ; 绝对收敛 . 中图分类号 O122 . 7
关于交错级数收敛性的判别主要采用莱布尼兹判别法 . 莱布尼兹判别法只是一个充分条件 , 要 求数列{ un } 满足单调递减且lim un = 0 . 有大量的交错级数虽然不满足莱布尼兹判别法的条件 , 但
n →∞
却是收敛的 . 下面以定理的形式介绍几个新的判别交错级数收敛性的方法 , 最后通过例子说明这些方法在 判别级数敛散性方面的可行性 . 定理 1 设{ un } 单调递增 , un , v n > 0 , 且lim un = + ∞, lim
n →∞
vn vn = 0 , 则当级数 2 收敛时 , 级 n →∞ u n n=1 un
2
lim
n →∞
vn n 2 2 u n v n + ( - 1) u n v n un v n 1 = lim 2 = 1, n 2 = lim n →∞ u n v n + ( - 1 ) u n v n n →∞ vn n vn ( ) 1 + 1 2 un un
2 2
2

因此 , 级数




3 收稿日期 :2008 - 04 - 25 ,修改日期 :2009 - 03 - 26.
30
高等数学研究 2009 年 5 月
vn vn 1 , n 2 < n 2 = n u n + un v n + ( - 1) v n u n v n + ( - 1) v n un + ( - 1) v n

第三节 绝对收敛与条件收敛

第三节  绝对收敛与条件收敛

0 vn un ,0 wn un ,
由正项级数的比较审敛法可知级数
v 与 w 均收敛.
n 1 n n 1 n


un vn wn ,
因此级数
u
n 1

n
收敛.
例4 判别下列级数的敛散性,如果收敛,则进一步判别是条件 敛,还是绝对收敛. sin n 1 2 n 1 n 1 n 1 (4) sin( n 1 ). (1) ; (3) ( 1) ; (2) ( 1) ; 3
a1 lim sn 1, 因此级数 n a

2
2 n 2 n (4) sin( n 1 ) (1) sin[( n 1 n) ] (1) sin

n 1 n
,
lim sin
n

n2 1 n
0,{sin

n2 1 n
}单减,级数 sin n 2 1 收敛,
n 1


又n 时, sin
2n 1 ln(1 n) n 1 n 1 sin n 1 1 sin n 绝对收敛; 解 (1)因为 , 3 3 3 收敛, 3 n n n 1 n n n 1
n 1
n
n 1
(2)根据莱布尼兹判别法可知该级数条件收敛;
(3)因为 lim
n 1 1 , 该级数发散; n 2n 1 2
ln 3 ln 4 ln n ln x 1 ln x , , , , (2)令f ( x) , f ( x) 0( x e), 因此数列 3 4 n x x
单减, 且lim n
ln n 0, 所以该级数收敛; n

交错级数的收敛条件

交错级数的收敛条件

交错级数的收敛条件交错级数是指由正负项交替出现的无穷级数,其一般形式为$$a_1 -a_2 + a_3 - a_4 + \ldots = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} a_n $$其中$a_n$为序列中的第n个项。

对于交错级数的收敛性,我们可以通过研究其收敛条件来进行分析。

在接下来的讨论中,我们将探讨一些关于交错级数收敛性的重要结果。

**1. 莱布尼茨判别法**莱布尼茨判别法是用来判定交错级数收敛性的一种方法。

对于交错级数$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} a_n$,如果满足以下两个条件,则该级数收敛:- 序列$\{a_n\}$单调递减,即$a_{n+1} \leq a_n$对所有n成立;- $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$根据莱布尼茨判别法,如果以上两个条件均成立,交错级数一定收敛。

这个结果在分析交错级数的收敛性时非常有用。

**2. 绝对收敛和条件收敛**对于交错级数,我们可以进一步将其分类为两种情况:**绝对收敛**和**条件收敛**。

如果交错级数的绝对值级数$\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|$收敛,则称该交错级数是绝对收敛的;如果绝对值级数发散但交错级数本身收敛,则称该交错级数是条件收敛的。

对于绝对收敛的交错级数,其收敛性较易判断,因为绝对值级数的收敛性通常比较容易确定。

而对于条件收敛的交错级数,收敛性的判断则需要更加仔细的分析。

例如,著名的黎曼定理指出,条件收敛的交错级数可以通过重新排列其项得到任何给定的值,这为我们理解其收敛性带来了一定的困难。

**3. 收敛范围与估值**在研究交错级数的收敛性时,我们往往需要估计其和的范围。

对于部分收敛的交错级数,我们可以通过分析其收敛到的值的范围来得到一些结论。

例如,柯西收敛准则告诉我们,如果对于任意正整数N,存在正整数M大于N,使得$\sum_{n=N+1}^{M} a_n > 0$,则交错级数的部分和会在两个相邻正整数之间波动。

第三节绝对收敛与条件收敛

第三节绝对收敛与条件收敛
第三节 绝对收敛与条件收敛
一、交错级数及其审敛法 二、级数的绝对收敛与条件收敛
一、交错级数及其审敛法
1、定义: 正、负项相间的级数称为交错级数.
(1)n1an 或 (1)nan (其中an 0)
n1
n1
2、莱布尼茨定理 如果交错级数满足条件:
(i) an an1 (n 1,2,3, );
n an
n 2
(3)
lim
n
n
|
an
|
lim
n
1 (1 2
1 )n n
e 2
1,
故原级数发散.
例2
判别级数 (1)n
n1
1 np
的收敛性.
(1) 当 p 0 时,级数发散 ; (2) 当 0<p 1 时,
级数条件收敛 ; (3) 当 p >1 时,级数绝对收敛 .
例3
判别级数 (1)n
n1
xn n
.
发散
收敛
收敛
例2
判别级数
n2
( 1)n n
1
n
的收敛性
.

(
x
x 1
)
2
(1 x ) x ( x1)2
0,
( x 2)
故函数
f (x)
x x1
单调递减,
an
an1 ,

lim
n
an
lim n n n 1
0.
故原级数收敛.
判断 an an1 常用方法有:
(1)
证明 an
an1
0

an an1
1
.
(2) 令 an f (n) , 对 f ( x)( x 1) 求导 ,由 f ( x) 的

交错级数及其审敛法绝对收敛与条件收敛

交错级数及其审敛法绝对收敛与条件收敛

级数绝对收敛与级数收敛有以下重要关系:
二、绝对收敛与条件收敛
定 理2
若级数
绝对收敛,则级数∑∞n=1un必定收敛.
证令
显然
,且
,所以
二、绝对收敛与条件收敛

由这个定理可以知道,对于一般的级数
,如果用正
项级数的审敛法判定级数
收敛,则此级数收敛.这就使得
很大一部分级数的收敛性判定问题,转化成为正项级数的收敛
,其余项rn的绝对值 ,由
一、交错级数及其审敛法
知数列s2n是单调增加的;由
知数列s2n 是有界的,故
因为

一、交错级数及其审敛法
所以级数收敛于和s,且 余项
满足收敛的两个条件,故
一、交错级数及其审敛法
【例1】
判别级数 解 因为
故函数
单调递减,所以

则由莱布尼茨定理知原级数收敛.
一、交错级数及其审敛法
交错级数交错级数是这样的级数,它的各项是正、负项交错 的,从而它可以写成下面的形式: 或
例如
是一个交错级数. 下面给出一个关于交错级数的审敛法.
一、交错级数及其审敛法
定 理1
(莱布尼茨定理)如果交错级数满足条件
则级数收敛,且其和 证 因为
性判定问题.
二、绝对收敛与条件收敛
【例2】
判别级数 由于
,而
收敛,所以
收敛,
故该级数绝对收敛,则由定理2知级数
收敛.
二、绝对收敛与条件收敛
【例3】
判别级数 绝对收敛还是条件收敛?

是否收敛.如果是收敛的,是
由根值审敛法知,该级数绝对收敛.由定理2知,该级数收敛.
二、绝对收敛与条件收敛

交错级数、绝对收敛与条件收敛

交错级数、绝对收敛与条件收敛

证明
Sn u1 u2 u3 u4
rn s Sn
(1)n1un
( un1 un2
)
rn un1 un2 rn un+1.
新的交错级数
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例1
n1
(1)n1
1 n
1
1 2
1 3
1 4
(1)n1 1 n
un
1 n
单调递减
lim
n
u
n
0
故由莱布尼茨定理,
机动 前页 后页 返回
un发散
un
N
un 0
Y
| un |敛
N
用比值法
un 收敛
Y un绝对收敛

用L—准则或考察部分和


N
un收敛 Y

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rn s Sn
s
u2 uu34
O S2 S4 S6 S6
S2n S2n1
u 2 n 1S
2
n
1
S5 S3
S1(u1) x
机动 前页 后页 返回
| rn | un1 rn s Sn
u2 uu34
O S2 S4
Sn1 s | rn | S n u n 1
S3 S1(u1) x
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条件收敛.
(1)n1 1
n 1
n
条件 收敛;
(1)n1 1
n1
n2
绝对 收敛;
(1)n1 1 1
n1
n n1 n
发散
n1
(1)n1
1 n2
n1
1 n2
收敛
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交错级数收敛条件

交错级数收敛条件

交错级数收敛条件交错级数是指由正项和负项构成的级数,也就是级数中的每一项都是正项和负项的交替出现。

交错级数的一般形式可以表示为:S = a1 - a2 + a3 - a4 + a5 - a6 + ...其中,a1, a2, a3, ... 是级数的项,且满足a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ ...对于交错级数的收敛性,我们需要考虑以下两个条件:1. 单调性条件:对于交错级数的每一项,级数中正项和负项是交替出现的,也就是级数的每一项都是正项和负项的交替出现。

在这种情况下,我们可以得出交错级数的单调性:若序列 {a1, -a2, a3, -a4, ...} 为递减序列,则交错级数为单调递减的;若序列 {a1, -a2, a3, -a4, ...} 为递增序列,则交错级数为单调递增的。

2. 极限条件:交错级数的极限条件较为复杂,根据交错级数的不同形式,存在不同的收敛条件。

2.1 Leibniz判别法:若交错级数满足 Leibniz 判别法的条件,则交错级数收敛。

Leibniz 判别法的条件如下:- 序列 {a1, a2, a3, ...} 是一个正项级数,即a1 ≥ a2 ≥ a3≥ ... ≥ 0;- 序列 {a1, a2, a3, ...} 极限为 0,即 lim_{n->∞} an = 0。

2.2 绝对值收敛法:若交错级数的绝对值级数收敛,则交错级数也收敛。

绝对值级数的形式表示如下:S' = |a1| + |a2| + |a3| + ...若绝对值级数 S' 收敛,则交错级数 S 也收敛。

2.3 Dirichlet判别法:若交错级数满足 Dirichlet 判别法的条件,则交错级数收敛。

Dirichlet 判别法的条件如下:- 序列 {a1, a2, a3, ...} 是一个正项级数,即a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ ... ≥ 0;- 序列 {b1, b2, b3, ...} 是一个序列,其部分和序列 {B1, B2, B3, ...} 有界,即存在一个正数 M,使得对于级数的每一项,|Bn| ≤ M。

交错级数

交错级数

另一方面 ,如果把部分和 S2m 改写为 S2m u1 (u2 u3 ) (u2m2 u2m1 ) u2m .
由条件(1) 可知 S2m ≤ u1 , 即部分和数列有界. 根据本章第二节定理 1 ,有
lim
n
S2m

S
.
当 n 为奇数时, 我们总可把部分和写为
n1
( 1)n1
2n n2
1
条件
收敛 .
00011110的近似值项和来做为就是误差值又因为该级数是满足莱布尼茨审敛法的条件的交错级数因为其第五项观察级数1110只要前四项和来计算所以1110就可以保证近似值的误差不超过00001也是交错级数所以余项的各项取绝对值后将级数收敛如果就称原级数绝对收敛
第六模块 无穷级数
第三节 任意项级数
一、交错级数 二、绝对收敛与条件收敛
定理 1 (莱布尼茨(Leibniz)审敛法) 设交

错级数 (1)n1un满足:
n1
(1) un ≥ un1(n 1 , 2 ,3 ,);
(2)
lim
n
un

0,

则级数 (1)n1un 收敛 , 且其和 S ≤ u1 . n1
证 我们根据项数 n 是奇数或偶数分别考

将 级 数 un 的 各 项 取 绝 对 值 后得到正项 n1



级 数 un ,如 果 un 收 敛,就 称 原 级 数 un
n1
n1
n1
绝对收敛.

定理 2 若级数 un 绝对收敛, 则级数

n1
un 必收敛.
n1
例 4 试判定级数
1 22
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(−1) n 收敛. ∑ n n =1

3) 若用比值审敛法(根值审敛法)判断出 ∑ un n =1 un+1 发散,即 lim > 1(或 lim n un > 1) ,则必有 n→∞ u n→∞ ∞ n lim un ≠ 0, 或 lim un ≠ 0, 从而∑ un 发散.
n→∞ n→∞ n =1
13
n (2) 令 u n = n , e u n +1 ∵ lim n →∞ u n
2
(n + 1) e n +1 = lim 2 n →∞ n en
2
1 ⎛ n + 1⎞ 1 = lim ⎜ ⎟ = <1 n →∞ e ⎝ n ⎠ e
2



n =1
2 2 ∞ n n n (−1) n 收敛, 因此 ∑ (−1) n 绝对收敛. n e e n =1
(C) 条件收敛 ;
n →∞
n
(D) 收敛性根据条件不能确定.
n = 1, 知 (B) 错 ; 分析: 由 lim u
1 + 1 ) +( 1 + 1 ) −( 1 + 1 ) +( 1 + 1 ) 又 S n = −( u u2 u 2 u3 u3 u 4 u 4 u5 1
+
1
1 + 1 ) + (−1) n +1 ( u un +1 n
n +1
20
1 + ( −1) n +1 1 = −u u
作业
P248 1 (3)(5), 5, 6, 8
21
注:绝对收敛级数与条件收敛级数具有不同的性质. 例如, 绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和, 但条件收敛级数不具有这条性质.
17
内容小结
∞ n =1 ∞
任意项级数审敛法
概念: 设 ∑ u n 为收敛级数
若 ∑ u n 收敛 , 称 ∑ u n 绝对收敛
n =1 ∞ n =1 ∞

若 ∑ u n 发散 , 称 ∑ u n 条件收敛
n →∞

n →∞
lim S 2 n +1 = lim ( S 2 n + u 2 n +1 ) = lim S 2 n = S
n →∞ n →∞
故级数收敛于S, 且 S ≤ u 1 , S n 的余项 :
rn = S − S n = ± (u n +1 − u n + 2 + ∴ rn = u n +1 − u n + 2 +
6
三、绝对收敛与条件收敛
首先,对任意常数项级数 ∑ u n , 构造出如下三 n =1 个正项级数: 1) 保留级数中的正项,换负项为0,得到

∑v
n =1

n
,
un + un ⎧un , un > 0, =⎨ vn = 2 ⎩ 0, un ≤ 0. ∞ 2) 保留级数中的负项,换非负项为0,得到 ∑ (− wn ), un − un ⎧un , un < 0, wn = =⎨ 2 ⎩ 0, un ≥ 0.
10

定理8. 若 ∑ u n 绝对收敛,则 ∑ vn 和 ∑ wn 都收敛; 若 ∑ u n 条件收敛,则 ∑ vn 和 ∑ wn 都发散.
n =1 n =1
n =1




n =1


n =1
n =1
un + un un − un , wn = 证:由于 vn = 2 2 ∞ ∞

若 ∑ u n 绝对收敛,则 ∑ u n 和 ∑ | un | 收敛.
14
(−1) n 例2. 判断级数 ∑ p ( p为常数 )的收敛性,若收 n =1 n 敛,请指明是绝对收敛还是条件收敛.

15
(−1) n 例2. 判断级数 ∑ p ( p为常数 )的收敛性,若收 n =1 n 敛,请指明是绝对收敛还是条件收敛.
∞ ∞ (−1) n 1 解:由于 ∑ p = ∑ p :当 p > 1 时收敛;当 p ≤ 1 n n =1 n =1 n ∞ (−1) n 时发散,而 ∑ p :当0 < p ≤ 1 时,由Leibniz判别 n =1 n (−1) n ≠ 0, 故级数发 法知级数收敛;当 p ≤ 0 时, lim p n→∞ n 散. ∞ (−1) n 所以 ∑ p :当p > 1时绝对收敛;当 0 < p ≤ 1 时条件 n =1 n 收敛;当 p ≤ 0 时发散. 16 ∞
n =1
∞ ∞
n =1
n =1
所以 ∑ vn 和 ∑ wn 收敛. 若 ∑ u n 条件收敛,则 ∑ u n 收敛, ∑ | un |发散. 所以 ∑ vn 和∑ wn 发散.
n =1
n =1

n =1
n =1


n =1 ∞
n =1
n =1

11
例1. 证明下列级数绝对收敛 : 2 ∞ ∞ sin nα nn (1) ∑ 4 ; (2) ∑ (−1) n . e n =1 n =1 n
2
证: ∵ S 2 n = (u1 − u 2 ) + (u3 − u 4 ) +
+ (u 2 n −1 − u 2 n ) − (u 2 n − 2 − u 2 n −1 )
S 2 n = u1 − (u 2 − u3 ) − (u 4 − u5 ) −
− u 2 n ≤ u1
∴ S 2 n 是单调递增有界数列, 故 lim S 2 n = S ≤ u 1
(A) 发散 ; (C) 条件收敛 ; (B) 绝对收敛; (D) 收敛性根据条件不能确定.
19
设 u n ≠ 0 (n = 1, 2 , 3 , ), 且 lim n = 1, 则级数 un → ∞ n ∞ 1 1 n (−1) ( + ) ( C ). ∑ un un+1 n =1 (A) 发散 ; (B) 绝对收敛;
第十章
第三节 常数项级数的审敛法
一、交错级数及其审敛法 二、绝对收敛与条件收敛
1
一 、交错级数及其审敛法
设 u n > 0 , n = 1, 2 ,
, 则各1 u n +
+ (−1) n un +
u1 − u 2 + u3 −
或 − u1 + u2 − u3 +
n =1
3) 将级数中的负项取绝对值,得到绝对级数
∑| u
n =1

n
7
|.
定义: 对任意常数项级数 ∑ u n , 若 ∑ u n 收敛 , 则称 原级数 ∑ u n 绝对收敛 ;
n =1 ∞ ∞ n =1 n =1


若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 则称原级 数 ∑ u n 条件收敛 .
n =1 n =1
Leibniz判别法: u n ≥ u n +1 > 0
n →∞
lim u n = 0
n 则交错级数 ∑ (−1) u n 收敛 n =1
18

思考与练习
设 u n ≠ 0 (n = 1, 2 , 3 , ), 且 lim n = 1, 则级数 un ∞ → ∞ n 1 1 n (−1) ( + ) ( ). ∑ un un+1 n =1
n −1
+ 10 n
n
上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?
4
用Leibniz 判别法判别下列级数的敛散性:
1)
收敛

2) 收敛
3) 收敛
上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?
1 1) ∑ ; n =1 n
发散
1 2) ∑ ; n =1 n !
收敛

n 3) ∑ n . n =1 10
12
例1. 证明下列级数绝对收敛 : 2 ∞ ∞ sin nα nn (1) ∑ 4 ; (2) ∑ (−1) n . e n =1 n =1 n
sin nα 1 证: (1) ∵ ≤ 4,而 4 n n ∴
1 ∑ n 4 收敛 , n =1




n =1
sin nα 收敛 4 n
sin nα 绝对收敛 . 因此 ∑ 4 n =1 n
u n = 2 vn − u n
n =1 ∞ ∞
n =1
∑ un 也收敛
9

n =1
∑ un , ∑ 2 vn 收敛
n =1
注:1) 2)
∑u
n =1 ∞ n =1 ∞

n
发散 ⇒ ∑ un 发散. 发散, ∑ un未必发散.
n =1 n n =1 ∞

∑u

n =1
n
例如:
(−1) 发散,而 n
n =1
例如 :∑ (−1)
n =1 ∞

n −1 1
n
为条件收敛 .
1 n −1 ∑ (−1) (n − 1)! , n =1
n =1
∑ (−1)

n −1
n 均为绝对收敛. n 10
8
定理7. 绝对收敛的级数一定收敛 . 证: 设
n =1
∑ un

收敛 , 令
vn = 1 ( u n + u n ) ( n = 1 , 2 , ) 2 ∞ 显然 vn ≥ 0 , 且 vn ≤ u n , 根据比较审敛法 ∑ vn 收敛,
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