第11章 质点的运动微分方程
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sg v0 cos 0 2 gH
v0 sin0 2 gH
理论力学电子教案
质点的运动微分方程
25
抛射初速度大小与发射角0为：
2 2 g s 2 2 v0 (v0 cos 0 ) (v0 sin 0 ) 2 gH 2 gH
9.812 52 2 9.81 1.5 m/s 10.5 m/s 2 9.81 1.5
理论力学电子教案
质点的运动微分方程
11
思 考 题 11-1
要使车子在水平直线轨道上匀速前进，为什么 还需不断对它施加水平推力？这与惯性定律有无矛 盾？
思 考 题 11-2
试比较下述几种情况下站在电梯中的人对电梯 地板的压力大小：(a) 电梯静止不动；(b) 电梯 匀速上升；(c) 电梯匀速下降；(d) 电梯加速上 升；(e) 电梯减速下降。
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质点的运动微分方程
8
第二定律（力与加速度之间关系的定律） 质点受外力作用时，将产生加速度，加速度的 方向与力的方向相同，大小与力的大小成正比。 F ma (11-1) 或简写为： F ma
上式称为质点动力学基本方程。 从该式还可以看出，质点质量越大，其运动状态 越不容易改变，也就是质点的惯性越大，因此，质 量是质点惯性的度量。
理论力学电子教案
质点的运动微分方程
16
(1) 第一类：已知质点的运动，求作用在质点上的力 （微分问题）解题步骤和要点： 1) 正确选择研究对象；（一般选择联系已知量和 待求量的质点）。 2) 正确进行受力分析,画出受力图； (应在一般 位臵上进行分析)。 3) 正确进行运动分析；（分析质点运动的特征 量）。 4) 选择并列出适当形式的质点运动微分方程； （建立坐标系）。 5) 求解未知量。
理论力学电子教案
质点的运动微分方程
5
3.
质点动力学 动力学分类： 质点系动力学
质点动力学是质点系动力学的基础。
4. 动力学的基本问题：大体上可分为两类： 第一类：已知物体的运动情况，求作用力； 第二类：已知物体的受力情况，求物体的运动。 综合性问题： 已知部分力，部分运动求另一部分力、部分运动。 已知主动力，求运动，再由运动求约束力。
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(2) 第二类：已知作用在质点上的力，求质点的运动 （积分问题）解题步骤如下： 1) 正确选择研究对象。 2) 正确进行受力分析，画出受力图。判断力是 什么性质的力（应放在一般位臵上进行分析， 对变力建立力的表达式）。 3) 正确进行运动分析。(除应分析质点的运动 特征外，还要确定出其运动初始条件）。
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质点的运动微分方程
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§11-1 动力学基本定律
1. 动力学基本定律 动力学基本定律是动力学的基础,但它们只能 直接应用于质点。对于质点系,应该将它们分别应 用于每一质点,然后导出质点系的运动规律。 质点是物体最简单、最基本的模型，是构成复 杂物体系统的基础，质点动力学基本方程给出了质 点受力与其运动变化的关系，质点动力学的基础是 三个基本定律，这些定律是牛顿在总结前人研究成 果基础上提出的，称为牛顿三定律。
则在任意位臵时的速度
2 2 gR v (v 2 0 2 gR) x
2
2
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质点的运动微分方程
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2 2 gR 例题 11-3 v (v 2 0 2 gR) x 2 可见，v随着x的增加而减小。若 v0 2 gR 则 在某一位臵 x=R+H 时速度将减小到零，物体回 2 落。若 v0 2 gR 时，无论x多大（甚至为∞），物 体也不会回落。因此脱离地球引力而一去不返 时 （ x ）的最小初速度
理论力学电子教案
质点的运动微分方程
12
思 考 题 11-3
以下说法是否正确？(a) 质点如有运动则它一定 受力，其运动方向总是与所受力的方向一致； (b) 质点运动时，如速度大则它所受的力也大， 速度小则所受的力也小，若速度为零则质点不受力 ；(c) 机车以某一力牵引车辆加速前进时，车辆给机 车的反力必小于机车对列车的牵引力。
v0 sin 0 1 2 H 1 2 1.5 0 tan tan tan 31 v0 cos 0 s 5
1
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质点的运动微分方程
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铅垂上抛的物体， 至少应具有多大的初速才可不再回 到地球。这一速度称为第二宇宙速 度。不计空气阻力。 解：取物体（视为质点)为研究 对象，建立坐标，并作受力图。
例题 11-1
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质点的运动微分方程
19
例题 11-1 4. 列出质点运动微分方程
dv mat Ft , m mg sin (1) dt 2 v man Fn , m FT mg cos ( 2) l
5. 求解未知量
v2 由( 2)式得 FT mg (cos ) , gl 其中 , v为变量。
例题 11-3
mM F f 2 x
mM mgR2 因为mg f 2 所以 F R x2
M——地球质量，f——万有引力常数
d2 x mgR2 建立质点运动微分方程 m 2 dt x2
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例题 11-3
即： mv x
dv x mgR d x dv x dv x dx v xdv x 2 ( 2 ) dx dt dx dt dx x dt v x mgR2 v0mv xdv x R x 2 dx (t 0时x R, v x v0 )
质点的运动微分方程
22
解：已知力为常量，属于第二类问题。 选择填充材料M为研究对象，画受力图，M作 斜抛运动。
t 0, x0 0, y0 0; v0 x v0 cos 0 , v0 y v0 sin 0 , v0 , 0 待求
t 瞬时 , M A , x s , y H , vx , v y
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质点的运动微分方程
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第三定律（作用与反作用定律） 两个质点间相互作用的力，总是大小相等，方 向相反，且沿着同一直线，分别作用在这两个质 点上。 在静力学里，研究物体的平衡用到它。在动力 学里，这一定律依然成立。 由于作用与反作用，引起了机械运动在相互 作用的两质点（物体）间发生转移。力就是这种 机械运动转移的反映。
代入初始条件得 : c1 v0 cos0 , c2 v0 sin0 , c3 c4 0
1 2 则运动方程为 : x v0 t cos 0 , y v0 t sin 0 gt 2
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质点的运动微分方程
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1 2 运动方程为 : x v0 t cos 0 , y v0 t sin 0 gt 2 2 1 x 则轨迹方程为 : y x tan 0 g 2 2 v0 cos 2 0 dy 代入最高点A处值，得： v0 sin 0 gt 0, dt v0 sin 0 即t , 将到达A点时的时间t，x=s，y=H g 代入运动方程，得
P=mg
由(1)式知 重物作减速运动 , 因此 0时 , FT FTmax 2 v0 FTmax mg(1 ) gl
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质点的运动微分方程
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例题 11-1
[讨论] (1) 减小绳子拉力途径：减小跑车速度或者增加绳 子长度。 (2) 拉力FTmax由两部分组成, 一部分等于物体重量, 称为静拉力。一部分由加速度引起，称为附加 动拉力。全部拉力称为动拉力。
思 考 题 11-4
若不计空气阻力，自由下落的石块与向下仍（即 给以向下的初速）的石块，哪一个加速度较大？
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§11-2 质点的运动微分方程
动力学基本方程是矢量方程，为了便于计算，常 将它改写成投影式，并表示为微分形式的方程，称 为质点的运动微分方程。
ma F
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质点的运动微分方程
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2. 力学模型 (1) 质点：具有一定质量，而其形状和大小对所 研究的问题不起主要作用，可以忽略 不计的物体。
例如： 研究卫星的轨道时，卫星
质点
研究卫星的姿态时
刚体作平动时,刚体
刚体；
质点。
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质点的运动微分方程
4
(2) 质点系：由有限或无限个有着一定联系的质点 组成的系统。 自由质点系：质点系中各质点的运动不受约束的 限制。 非自由质点系：质点系中的质点的运动受到约 束的限制。质点系是力学中普遍 的抽象化模型；包括刚体、弹性 体、流体。 刚体是一个特殊的质点系，由无数个相互间保 持距离不变的质点组成。又称为不变质点系。
P mg
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列直角坐标形式的质点 运动微分方程并对其积 分运算
dx dv x m 0 c1 x c1t c3 dt dt 1 2 y gt c2 t c4 m dv y mg dy gt c 2 2 dt dt
4) 选择并列出适当形式的质点运动微分方程。
5) 求解未知量。根据力的函数形式决定如何积分， 并利用运动的初始条件，求出质点的运动。
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桥式起重机跑车用钢丝绳吊挂一质量 为m的重物，沿水平横梁作匀速运动，速度为v0，重 物中心至悬挂点距离为l。突然刹车，重物因惯性绕 悬挂点向前摆动，试求钢丝绳的最大拉力。 解： 1. 选重物(抽象为质点)为 研究对象 2. 受力分析 3. 运动分析，沿以悬挂点 为圆心, l 为半径的圆弧摆 动。
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质点的运动微分方程
1
第 11 章 质点的运动微分方程
§11-1 动力学基本定律 §11-2 质点的运动微分方程 §11-3 非惯性系中质点动力学的基本方程
理论力学电子教案
质点的运动微分方程
2
引
言
1. 动力学的研究内容 研究物体的机械运动与它的 质量和受力情况之间的关系。 美国的Tacoma老 桥于1940年11月7日因 风力引起的振动而产生 断裂破坏。 建造设计风速 60m/s 破坏时的风速 19m/s
理论力学电子教案
质点的运动微分方程
15
2. 质点运动微分方程在自然轴上投影 2 v dv 由运动学知 at , an dt 动力学基本方程在自然轴系上的投影为：
dv m Ft dt 2 v m Fn
(11-5)
式(11-4) 和(11-5)是两种常用 的质点运动微分方程。可以求 解质点动力学两类问题。
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质点的运动微分方程
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2. 惯性参考系 动力学基本定律在其中能正确成立的参考系称 为惯性参考系,简称惯性系。在一般问题中,与地球 固接的参考系或相对于地面作惯性运动的参考系, 可近似看成惯性系。
以牛顿三定律为基础的力学，称为古典力学或 经典力学，在此范畴，质量、空间和时间是“绝对” 的，与运动没有关系，但近代物理已经证明，质量、 时间和空间都与物体的运动速度有关，只是当物体 的运动速度远小于光速时，物体的运动对质量、时 间和空间的影响是微不足道的。
(11-2) (11-3)
d r m 2 F dt
2
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质点的运动微分方程
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1. 质点运动微分方程在直角坐标投影 设质量为m的质点M，作平面曲线运动。取直 角坐标系Oxy，将质点受到的力与加速度在直角坐 标轴上投影得：
d2 x m 2 Fx dt (11-4) 2 d y m 2 Fy dt
FTmax
2 v0 mg(1 ) gl
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例题 11-2
煤矿用填充机进行填充, 为保证充填材料抛到 距离为s=5 m，H=1.5 m的顶板A处。试求 (1)充填 材料需有多大的初速度v0 ？ (2)初速 v0 与水平的 夹角 0？ 不计空气阻力。
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第一定律（惯性定律） 质点如不受外力作用，则将保持静止或作匀速 直线运动。
质点保持静止或作匀速直线运动，也就是保 持其运动状态不变，这种性质称为惯性。故点的 匀速直线运动，称为惯性运动。所以第一定律也 称为惯性定律。
当质点受到外力作用，而这些作用又不互相 抵消时，它的运动状态将按一定规律发生变化。 第二定律就表明了这一变化规律。
v0 sin0 2 gH
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抛射初速度大小与发射角0为：
2 2 g s 2 2 v0 (v0 cos 0 ) (v0 sin 0 ) 2 gH 2 gH
9.812 52 2 9.81 1.5 m/s 10.5 m/s 2 9.81 1.5
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思 考 题 11-1
要使车子在水平直线轨道上匀速前进，为什么 还需不断对它施加水平推力？这与惯性定律有无矛 盾？
思 考 题 11-2
试比较下述几种情况下站在电梯中的人对电梯 地板的压力大小：(a) 电梯静止不动；(b) 电梯 匀速上升；(c) 电梯匀速下降；(d) 电梯加速上 升；(e) 电梯减速下降。
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第二定律（力与加速度之间关系的定律） 质点受外力作用时，将产生加速度，加速度的 方向与力的方向相同，大小与力的大小成正比。 F ma (11-1) 或简写为： F ma
上式称为质点动力学基本方程。 从该式还可以看出，质点质量越大，其运动状态 越不容易改变，也就是质点的惯性越大，因此，质 量是质点惯性的度量。
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(1) 第一类：已知质点的运动，求作用在质点上的力 （微分问题）解题步骤和要点： 1) 正确选择研究对象；（一般选择联系已知量和 待求量的质点）。 2) 正确进行受力分析,画出受力图； (应在一般 位臵上进行分析)。 3) 正确进行运动分析；（分析质点运动的特征 量）。 4) 选择并列出适当形式的质点运动微分方程； （建立坐标系）。 5) 求解未知量。
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3.
质点动力学 动力学分类： 质点系动力学
质点动力学是质点系动力学的基础。
4. 动力学的基本问题：大体上可分为两类： 第一类：已知物体的运动情况，求作用力； 第二类：已知物体的受力情况，求物体的运动。 综合性问题： 已知部分力，部分运动求另一部分力、部分运动。 已知主动力，求运动，再由运动求约束力。
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(2) 第二类：已知作用在质点上的力，求质点的运动 （积分问题）解题步骤如下： 1) 正确选择研究对象。 2) 正确进行受力分析，画出受力图。判断力是 什么性质的力（应放在一般位臵上进行分析， 对变力建立力的表达式）。 3) 正确进行运动分析。(除应分析质点的运动 特征外，还要确定出其运动初始条件）。
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§11-1 动力学基本定律
1. 动力学基本定律 动力学基本定律是动力学的基础,但它们只能 直接应用于质点。对于质点系,应该将它们分别应 用于每一质点,然后导出质点系的运动规律。 质点是物体最简单、最基本的模型，是构成复 杂物体系统的基础，质点动力学基本方程给出了质 点受力与其运动变化的关系，质点动力学的基础是 三个基本定律，这些定律是牛顿在总结前人研究成 果基础上提出的，称为牛顿三定律。
则在任意位臵时的速度
2 2 gR v (v 2 0 2 gR) x
2
2
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2 2 gR 例题 11-3 v (v 2 0 2 gR) x 2 可见，v随着x的增加而减小。若 v0 2 gR 则 在某一位臵 x=R+H 时速度将减小到零，物体回 2 落。若 v0 2 gR 时，无论x多大（甚至为∞），物 体也不会回落。因此脱离地球引力而一去不返 时 （ x ）的最小初速度
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质点的运动微分方程
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思 考 题 11-3
以下说法是否正确？(a) 质点如有运动则它一定 受力，其运动方向总是与所受力的方向一致； (b) 质点运动时，如速度大则它所受的力也大， 速度小则所受的力也小，若速度为零则质点不受力 ；(c) 机车以某一力牵引车辆加速前进时，车辆给机 车的反力必小于机车对列车的牵引力。
v0 sin 0 1 2 H 1 2 1.5 0 tan tan tan 31 v0 cos 0 s 5
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铅垂上抛的物体， 至少应具有多大的初速才可不再回 到地球。这一速度称为第二宇宙速 度。不计空气阻力。 解：取物体（视为质点)为研究 对象，建立坐标，并作受力图。
例题 11-1
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例题 11-1 4. 列出质点运动微分方程
dv mat Ft , m mg sin (1) dt 2 v man Fn , m FT mg cos ( 2) l
5. 求解未知量
v2 由( 2)式得 FT mg (cos ) , gl 其中 , v为变量。
例题 11-3
mM F f 2 x
mM mgR2 因为mg f 2 所以 F R x2
M——地球质量，f——万有引力常数
d2 x mgR2 建立质点运动微分方程 m 2 dt x2
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例题 11-3
即： mv x
dv x mgR d x dv x dv x dx v xdv x 2 ( 2 ) dx dt dx dt dx x dt v x mgR2 v0mv xdv x R x 2 dx (t 0时x R, v x v0 )
质点的运动微分方程
22
解：已知力为常量，属于第二类问题。 选择填充材料M为研究对象，画受力图，M作 斜抛运动。
t 0, x0 0, y0 0; v0 x v0 cos 0 , v0 y v0 sin 0 , v0 , 0 待求
t 瞬时 , M A , x s , y H , vx , v y
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第三定律（作用与反作用定律） 两个质点间相互作用的力，总是大小相等，方 向相反，且沿着同一直线，分别作用在这两个质 点上。 在静力学里，研究物体的平衡用到它。在动力 学里，这一定律依然成立。 由于作用与反作用，引起了机械运动在相互 作用的两质点（物体）间发生转移。力就是这种 机械运动转移的反映。
代入初始条件得 : c1 v0 cos0 , c2 v0 sin0 , c3 c4 0
1 2 则运动方程为 : x v0 t cos 0 , y v0 t sin 0 gt 2
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1 2 运动方程为 : x v0 t cos 0 , y v0 t sin 0 gt 2 2 1 x 则轨迹方程为 : y x tan 0 g 2 2 v0 cos 2 0 dy 代入最高点A处值，得： v0 sin 0 gt 0, dt v0 sin 0 即t , 将到达A点时的时间t，x=s，y=H g 代入运动方程，得
P=mg
由(1)式知 重物作减速运动 , 因此 0时 , FT FTmax 2 v0 FTmax mg(1 ) gl
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例题 11-1
[讨论] (1) 减小绳子拉力途径：减小跑车速度或者增加绳 子长度。 (2) 拉力FTmax由两部分组成, 一部分等于物体重量, 称为静拉力。一部分由加速度引起，称为附加 动拉力。全部拉力称为动拉力。
思 考 题 11-4
若不计空气阻力，自由下落的石块与向下仍（即 给以向下的初速）的石块，哪一个加速度较大？
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§11-2 质点的运动微分方程
动力学基本方程是矢量方程，为了便于计算，常 将它改写成投影式，并表示为微分形式的方程，称 为质点的运动微分方程。
ma F
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3
2. 力学模型 (1) 质点：具有一定质量，而其形状和大小对所 研究的问题不起主要作用，可以忽略 不计的物体。
例如： 研究卫星的轨道时，卫星
质点
研究卫星的姿态时
刚体作平动时,刚体
刚体；
质点。
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4
(2) 质点系：由有限或无限个有着一定联系的质点 组成的系统。 自由质点系：质点系中各质点的运动不受约束的 限制。 非自由质点系：质点系中的质点的运动受到约 束的限制。质点系是力学中普遍 的抽象化模型；包括刚体、弹性 体、流体。 刚体是一个特殊的质点系，由无数个相互间保 持距离不变的质点组成。又称为不变质点系。
P mg
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列直角坐标形式的质点 运动微分方程并对其积 分运算
dx dv x m 0 c1 x c1t c3 dt dt 1 2 y gt c2 t c4 m dv y mg dy gt c 2 2 dt dt
4) 选择并列出适当形式的质点运动微分方程。
5) 求解未知量。根据力的函数形式决定如何积分， 并利用运动的初始条件，求出质点的运动。
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桥式起重机跑车用钢丝绳吊挂一质量 为m的重物，沿水平横梁作匀速运动，速度为v0，重 物中心至悬挂点距离为l。突然刹车，重物因惯性绕 悬挂点向前摆动，试求钢丝绳的最大拉力。 解： 1. 选重物(抽象为质点)为 研究对象 2. 受力分析 3. 运动分析，沿以悬挂点 为圆心, l 为半径的圆弧摆 动。
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第 11 章 质点的运动微分方程
§11-1 动力学基本定律 §11-2 质点的运动微分方程 §11-3 非惯性系中质点动力学的基本方程
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2
引
言
1. 动力学的研究内容 研究物体的机械运动与它的 质量和受力情况之间的关系。 美国的Tacoma老 桥于1940年11月7日因 风力引起的振动而产生 断裂破坏。 建造设计风速 60m/s 破坏时的风速 19m/s
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2. 质点运动微分方程在自然轴上投影 2 v dv 由运动学知 at , an dt 动力学基本方程在自然轴系上的投影为：
dv m Ft dt 2 v m Fn
(11-5)
式(11-4) 和(11-5)是两种常用 的质点运动微分方程。可以求 解质点动力学两类问题。
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10
2. 惯性参考系 动力学基本定律在其中能正确成立的参考系称 为惯性参考系,简称惯性系。在一般问题中,与地球 固接的参考系或相对于地面作惯性运动的参考系, 可近似看成惯性系。
以牛顿三定律为基础的力学，称为古典力学或 经典力学，在此范畴，质量、空间和时间是“绝对” 的，与运动没有关系，但近代物理已经证明，质量、 时间和空间都与物体的运动速度有关，只是当物体 的运动速度远小于光速时，物体的运动对质量、时 间和空间的影响是微不足道的。
(11-2) (11-3)
d r m 2 F dt
2
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1. 质点运动微分方程在直角坐标投影 设质量为m的质点M，作平面曲线运动。取直 角坐标系Oxy，将质点受到的力与加速度在直角坐 标轴上投影得：
d2 x m 2 Fx dt (11-4) 2 d y m 2 Fy dt
FTmax
2 v0 mg(1 ) gl
理论力学电子教案
质点的运动微分方程
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例题 11-2
煤矿用填充机进行填充, 为保证充填材料抛到 距离为s=5 m，H=1.5 m的顶板A处。试求 (1)充填 材料需有多大的初速度v0 ？ (2)初速 v0 与水平的 夹角 0？ 不计空气阻力。
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第一定律（惯性定律） 质点如不受外力作用，则将保持静止或作匀速 直线运动。
质点保持静止或作匀速直线运动，也就是保 持其运动状态不变，这种性质称为惯性。故点的 匀速直线运动，称为惯性运动。所以第一定律也 称为惯性定律。
当质点受到外力作用，而这些作用又不互相 抵消时，它的运动状态将按一定规律发生变化。 第二定律就表明了这一变化规律。