高中数学线性规划问题(精选.)
高中数学简单线性规划复习题及答案(最全面)
简单线性规划复习题及答案（1）1、设,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥-020202y x y x y x ，则22y x ++的最大值为 452、设变量,x y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥-≤-+030201825y x y x y x ，若直线20kx y -+=经过该可行域，则k 的最大值为答案：13、若实数x 、y ，满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥123400y x y x ，则13++=x y z 的取值范围是]7,43[．4、设y x z +=，其中y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-≥+k y y x y x 0002，若z 的最大值为6，则z 的最小值为5、已知x 、y 满足以下条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则22z x y =+的取值范围是 4[,13]56、已知实数,x y 满足约束条件1010310x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则22(1)(1)x y -+-的最小值为 127、已知,x y 满足约束条件1000x x y x y m -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，若1y x +的最大值为2，则m 的值为 58、表示如图中阴影部分所示平面区域的不等式组是⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤--≤-+0623063201232y x y x y x9、若曲线y ＝ x 2上存在点（x ，y ）满足约束条件20,220,x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪>⎩，则实数m 的取值范围是 (,1)-∞10、已知实数y ,x 满足10103x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，则3z x y =+的最小值为 －311、若,x y 满足约束条件10,0,40,x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则x y的最小值为 13. 12、已知110220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩，则22(2)(1)x y ++-的最小值为＿＿＿10＿13、已知,x y 满足不等式0303x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则函数3z x y =+取得最大值是 1214、已知x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x ，则z ＝2x ＋4y 的最小值是－615、以原点为圆心的圆全部在区域⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤-+≥+-0943042063y x y x y x 内，则圆面积的最大值为 π51616、已知y x z k y x x y x z y x 42,0305,,+=⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤≥+-且满足的最小值为－6，则常数k = 0 . 17、已知,x y 满足约束条件，03440x x y y ≥⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩则222x y x ++的最小值是 118、在平面直角坐标系中，不等式组0,0,,x y x y x a +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩（a 为常数），表示的平面区域的面积是8，则2x y +的最小值 14-19、已知集合22{(,)1}A x y x y =+=，{(,)2}B x y kx y =-≤，其中,x y R ∈.若A B ⊆，则实数k 的取值范围是⎡⎣20、若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为 12-21、若实数x ，y 满足不等式组201020x y x y a -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩，目标函数2t x y =-的最大值为2，则实数a 的值是 222、已知点(,)P x y 满足条件020x y x x y k ≥⎧⎪≤⎨⎪++≤⎩，若3z x y =+的最大值为8，则实数k = 6- .23、设实数x , y 满足的最大值是则x y y y x y x ,03204202⎪⎩⎪⎨⎧≤->-+≤-- 23.24、已知实数y x , 22222)(y x y y x +++的取值范围为 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+221,35．简单线性规划复习题及答案（2）1、设实数x,y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≤--0205202y y x y x 则y x x y z +=的取值范围是 10[2,]3由于yx表示可行域内的点()x y ，与原点(00)，的连线的斜 率，如图2，求出可行域的顶点坐标(31)(12)A B ，，，， (42)C ，，则11232OA OB OC k k k ===，，，可见123y x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，结合双勾函数的图象，得1023z ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，2、若实数,x y 满足不等式组22000x y x y m y ++≥⎧⎪++≤⎨⎪≥⎩，且2z y x =-的最小值等于2-，则实数m 的值等于 1-3、设实数x 、y 满足26260,0x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩，则{}max 231,22z x y x y =+-++的取值范围是 [2,9]【解析】作出可行域如图，当平行直线系231x y z +-=在直线BC 与点A 间运动时，23122x y x y +-≥++，此时[]2315,9z x y =+-∈，平行直线线22x y Z ++=在点 O 与BC 之间运动时，23122x y x y +-≤++，此时，[]222,8z x y =++∈. ∴[]2,9z ∈图23 A yxOcB 634、佛山某家电企业要将刚刚生产的100台变频空调送往市内某商场，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供调配。
高中数学线性规划各类习题精选5
2．已知点 P( x , y) 在不等式组 ⎨ y - 1 ≤ 0 表示的平面区域内运动，则 z = x - y 的最大 ⎪ x + 2 y - 2 ≥ 0 3．若实数 x, y 满足 ⎨ x + y ≥ 0，则 z = 3x +2 y 的最大值是（）5．设变量 x, y 满足约束条件 ⎨ y ≥ 3x ，若目标函数 z = x + y 的最大值为 14，则 a 值⎪x + ay ≤ 7 A ．1B ． 1 6．已知实数 x, y 满足 ⎨ x - y ≤ 0 ，则 2 x - y 的最大值为（）1高中数学线性规划各类习题精选 5学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设 ， 满足约束条件，若目标函数 的最大值为 12，则A ．B ．的最小值为（ ）C ．D ．4⎧ x - 2 ≤ 0 ⎪ ⎩值是（）A ． -1B ． -2C ．2D ．3⎧ x - y + 1 ≥ 0⎪ ⎪ ⎩x ≤ 0A ．13B ．9C ．1D ．34．已知实数 ， 满足，如果目标函数 的最小值为 ，则实数 等于（）A ．6B ．5C ．4D ．3⎧x ≥ 0 ⎪⎩为（）1 1 1 或C ．D ．2 32 3⎧ x + y - 1 ≤ 0 ⎪⎪ ⎩ x ≥ 01⎪ y ≥ 09．若实数 x, y 满足条件 ⎨ y - x ≤ 2 ，则 z = x - 2 y 的最小值为（ ） ⎪ y ≥ 0 A ．-1 B ．-2 C ． - 5 12．已知 a > 0 ， x, y 满足约束条件 { x + y ≤ 3 ，若 z = 2 x + y 的最大值为 ，y ≥ a (x - 2) A ． 113．已知 x 、y 满足约束条件 ⎨ x - y ≤ 0 则 z = x + 2 y 的最大值为（ ）14．已知 x, y 满足 ⎨ x + y ≤ 4记目标函数 z = 2 x + y 最大值为 a ，最小值为 b ，则⎪x - y - 2 ≤ 0⎧ x - y ≥ 0 ⎪2 x + y ≤ 27．若不等式组 ⎨ ，表示的平面区域是一个三角形，则 a 的取值范围是（ ）⎪⎩ x + y ≤ a4 4 4A ．a≥B ．0＜a≤1C ．1 ≤a≤D ．0＜a≤1 或 a≥3338．设 x ，y 满足约束条件，则 z=2x-3y 的最小值是（ ）A ．-7B ．-6C ．-5D ．-3⎧ y + x ≤ 1 ⎪⎩7D ． -2 2⎧ x ≤ 0 ⎪ y ≥ 010．已知由不等式 ⎨ 确定的平面区域 Ω 的面积为 7，则 k 的值（）⎪ y - kx ≤ 2 ⎪⎩ y - x - 4 ≤ 0A ． -2B ． -1C ． -3D ． 211．如果实数 x 、y 满足关系，则 的取值范围是（ ）A ．[3，4]B ．[2，3]C ．D ．x ≥ 1112则 a = （ ）1 B ．C ．1D ．242⎧ x + y - 1 ≤ 0 ⎪⎪ ⎩x ≥ 0A 、﹣2B 、﹣1C 、1D 、2⎧ x ≥ 1⎪⎪⎩ y ≤ 2 217．若 x, y 满足约束条件 ⎨ y ≥ 0 ，则目标函数 z = 2 x + 3 y 的最大值为________ ． ⎪2x + y ≤ 2 18．若实数 x ， y 满足 ⎨ x + y ≥ 0 ，则目标函数 z = x + 2 y 的取值范围是_______． ⎪ x ≤ 0 19．实数 x, y 满足 ⎨ x - y ≥ 1 ，则目标函数 z = x + y - 3 的最小值是______．⎪ x - 2 y ≤ 2 21．已知变量 x, y 满足 ⎨ x + y - 4 ≤ 0 ，则点 (x, y )对应的区域面积是 __________， ⎪ x ≥ 1 （ ya +b =A ．1B ．2C ．7D ．8⎧ x + y - 2 2 ≥ 0 ⎪⎪15．已知不等式组 ⎨ x ≤ 2 2 表示平面区域 Ω ，过区域 Ω 中的任意一个点 P ，⎪作圆 x 2 + y 2 = 1的两条切线且切点分别为 A ，B ，当 ∆PAB 的面积最小时，cos ∠APB的值为（ ）A ． 7 1 3B ．C ．D ．8 2 43 2二、填空题16．2011•宝坻区一模）设 x ， 满足约束条件 则 z=2x+y 的最大值为 ．⎧ x ≥ 0 ⎪⎩⎧ x - y + 1 ≥ 0 ⎪⎩⎧2x + y ≤ 4 ⎪⎩20．在直角坐标系中，△的三个顶点坐标分别为 ， ， ，动点△是内的点（包括边界）．若目标函数的最大值为 2，且此时的最优解所确定的点是线段上的所有点，则目标函数 的最小值为．⎧ x - 4 y + 3 ≤ 0⎪⎩x 2 + y 2 u = 的取值范围为__________．xy22．若实数 x ，y 满足 ⎨x > 0，则 的取值范围是_________ ．⎪ y ≤ 224．已知实数 x, y 满足 ⎨ y ≥ x ，则 z =x - y2 的最大值为 ．⎪2 x + y - 6 ≥ 0 y 1 ⎪ 26．设 x ， y 满足约束条件： ⎨ y ≥x 的可行域为 M ，若存在正实数 a ，使函数 2y = 2a sin( + )cos( + ) 的图象经过区域 M 中的点，则这时 a 的取值范围M (a, b )在由不等式 ⎨ y ≥ 0 确定的平面区域内，则点 N (a - b , a + b )所 ⎪x + y ≤ 2 ⎨ x ≤ 2 ⎪ x + y - 1 ≥ 0 29．设 z = x + y ，其中实数 x, y 满足 ⎨ x - y ≤ 0 ，若 z 的最大值为12 ，则 z 的最小值⎪0 ≤ y ≤ k⎧x - y + 1 ≤ 0 ⎪y x ⎩x + y ≤ 723．已知点 P (x, y ) 满足{ y ≥ x，过点 P 的直线与圆 x 2 + y 2 = 50 相交于 A ， B 两 x ≥ 2点，则 AB 的最小值为．⎧ x ≥ 0 ⎪⎩25．设 x ， 满足约束条件，向量， ，且，则m 的最小值为_____．⎧ x ≥ 1⎪⎪⎪⎩2 x + y ≤ 10x π x π2 4 2 4是．27．已知点⎧ x ≥ 0 ⎪⎩在的平面区域面积是．⎧ x - 2 y + 1 ≥ 0 ⎪28．已知不等式组⎩ 表示的平面区域为 D ，若函数 y =| x - 1| +m 的图像上存在区域 D 上的点，则实数 m 的取值范围是________．⎧ x + 2 y ≥ 0⎪⎩为．30．已知实数 x ， y 满足约束条件 ⎨ y ≤ x,时，所表示的平面区域为 D ，则 ⎪2x + y - 9 ≤ 0⎧x ≥ 0, ⎪⎩z = x + 3 y 的最大值等于，若直线 y = a( x + 1) 与区域 D 有公共点，则 a 的取值范围是．试题分析：画出不等式组 ⎨ y - 1 ≤ 0 表示的可行域如图， z = x - y 即 y= x-Z ⎪ x + 2 y - 2 ≥ 0 参考答案1．A【解析】试题分析：作出 ， 满足约束条件下平面区域，如图所示，由图知当目标函数经过点取得最大值 12，即，亦即，所以＝，当且仅当，即时等号成立，故选 A ．考点：1、简单的线性规划问题；2、基本不等式．【方法点睛】运用线性规划求解最值时，关键是要搞清楚目标函数所表示的直线的斜率与可行域便捷直线的斜率之间的大小关系，以好确定在哪个端点，目标函数取得最大值，在哪个端点，目标函数取得最小值；已知 ﹙ ﹚求的最小值，通常转化为＝ （ )，展开后利用基本不等式求解．2．C【解析】⎧ x - 2 ≤ 0 ⎪ ⎩即 t 增大，由图象得，当直线 y = - x + 过点 A(0,1) 时， t 取得最大值 2 ，即 z = 3x +2 y 的Z 的几何意义是直线 y= x-Z 在 y 轴上的截距的相反数，画直线 y= x ，平移直线 y= x ，当过点 B （2，0）时 z 有最大值 2．故选：C ．考点：简单的线性规划及利用几何意义求最值．【名师点睛】本题考查线性规划解题的基本方法，本题属于基础题，要求依据二元一次不等式组准确画出可行域，利用线性目标函数中直线的纵截距的几何意义，令 z= 0 ，画出直线 y = x ，在可行域内平移该直线，确定何时z 取得最大值，找出此时相应的最优解，依据线性目标函数求出最值，这是最基础的线性规划问题．3．B【解析】试题分析：设 t = x + 2 y ，将 t = x + 2 y 化成 y = - 1 tx + ，作出可行域与目标函数基准线2 21 1 t y = - x （如图所示）当直线 y = - x +2 2 2 t向右上方平移时，直线在 y 轴上的截距 增大，21 t2 2最大值是 32 = 9 ；故选 B ．考点：1．简单的线性规划；2．指数运算．.（ （【易错点睛】本题考查简单的线性规划问题以及指数运算，属于中档题；利用简单的线性规划知识求有关线性目标函数的最值时，一般是先画出可行域，再结合目标函数的几何意义进行求解，容易忽视的是不能准确目标函数直线与可行域边界的倾斜程度（通过比较目标函数直线的斜率和某条边界的斜率的大小），导致寻找最优解出错．4．B【解析】试题分析：由下图可得 在 处取得最大值，由，故选 B.考点：线性规划.【方法点晴】本题考查线性规划问题，灵活性较强，属于较难题型 考生应注总结解决线性规划问题的一般步骤： 1）在直角坐标系中画出对应的平面区域，即可行域； 2）将目标函数变形为；（3）作平行线：将直线 平移，使直线与可行域有交点，且观察在可行域中使 最大（或最小）时所经过的点，求出该点的坐标； 4）求出最优解：将（3）中求出的坐标代入目标函数，从而求出 的最大（小）值.5．C【解析】试题分析：首先根据已知约束条件画出其所表示的平面区域，如下图所示，然后由目标函数z = x + y 的最大值为 14，此时目标函数经过点 A(0, 7 ) ，所以14 = 0 + a 7 1，所以 a = ，故应选 C ．a 2试题分析：作出不等式组 ⎨2x + y ≤ 2 表示的平面区域，如图 ∆OAB （内部含边界），再作 ⎪ y ≥ 0 B考点：1、简单的线性规划问题．6．A【解析】试题分析：在坐标系内作出可行域，由图可知当目标函数z = 2 x - y 经过可行域内的点1 1 1 1 1A( , ) 时有最大值 z = 2 ⨯ - = ，故选 A ．2 2 2 2 2BAO考点：线性规划．7．D【解析】⎧ x - y ≥ 0 ⎪⎩直线 l : x + y = 0 ，过 A ， 作与 l 平行的直线 l , l ，由图可知当直线 x + y = a 夹在直线 l 与 l1 21之间或在直线 l 上方时，题设不等式组表示的区域是三角形，计算得0 < a ≤ 1 或 a ≥ 2选 D ．4 3．故考点：二元一次不等式组表示的平面区域．8．B【解析】试题分析：由么时候纵截距所求．得，作出可行域如图，平移直线，看什最大，即最小，所以由图可知，过点C时，所得值即为考点：线性规划问题．9．D【解析】试题分析：作出可行域，如图所示.⎪⎪ ⎧ y = x + 2 z = x - 2 y 取得最小值，由 ⎨ 得： ⎨ ，所以点 A 的坐标为 - , ⎪ ，所 ⎪ y = 3 - 3 = - 试题分析：作出不等式组 ⎨ y ≥ 0所表示的平面区域，如图所示，可知其围成的区域 ⎪ y - x - 4 ≤ 0 ⎧ y - kx = 2 2 4k - 2 1 2作直线 l : x - 2 y = 0 ，再作一组平行于 l 的直线 l : z = x - 2 y ，当直线 l 经过点 A 时，0 0⎧1 x =-2 ⎛ 13 ⎫ ⎩ y = - x + 1⎝ 2 2 ⎭ ⎪⎩ 2以 z 1 7min = - 2 2 ，故选 D ．考点：线性规划．10．B【解析】⎧ x ≤ 0 ⎪⎩是等腰直角三角形且面积为 8 ．由于直线 y = kx + 2 恒过点 B(0, 2) ，且原点的坐标恒满足y - kx ≤ 2 ，当 k = 0 时，y ≤ 2 ，此时平面区域 Ω 的面积为 6 ，由于 6 < 7 ，由此可得 k < 0 ．由⎨可得 D( , ) ，依题意应有 ⨯ 2⨯ | |= 1 ，解得 k = -1 或 k = 3 ⎩ y - x - 4 = 0k - 1 k - 1 2 k - 1 （舍去），故选 B ．考点：简单的线性规划问题．11．D【解析】试题分析：由题意得，画出不等式组表示的可行域（如图所示），又范围，其中，当取点大值．，此时可看出可行域内点与点时，目标函数取得最小值；当取点之间的连线的斜率的取值时，目标函数取得最考点：二元一次不等式组表示的平面区域及其应用．【思路点晴】本题主要考查了二元一次不等式组表示的平面区域及其应用求最值，属于基础题，解答的关键是把目标函数化简为，转化为可行域内点和点12．C之间的连线的斜率的取值，其中认真计算是题目的一个易错点．目标函数z=2x+y经过点A ⎛2a+3a⎫,⎝a+1a+1⎭2⨯2a+3+=，解得a=1，故选C．【解析】试题分析：根据题意作出x,y满足约束条件下的平面区域，如图所示，由图知，当a11 a+1a+12⎪11时取得最大值，所以2考点：简单的线性规划问题．13．D【解析】试题分析：根据约束条件可作出可行域如图，作出直线y=-1x，经过平移得当直线过点2A(0,1)时，z取到最大值2．考点：线性规划．14．D【解析】(⎪⎩y≤2212+12=2，OA=1，OA⊥AP，所以∠APO=30︒,∠APB=2∠APO=60︒，试题分析：不等式组表示的平面区域如图所示，由图易得目标函数z=2x+y在A(3,1)处取得最大值7，在B1,-1)处取得最小值1，则a+b=8，故答案为D．考点：线性规划的应用．15．B【解析】⎧x+y-22≥0⎪⎪试题分析：不等式⎨x≤22表示平面区域Ω为下图所示的∆DEF边界及内部的点，⎪由图可知，当点P在线段DE上，且OP⊥DE时，∆P AB的面积最小，这时OP=-22所以cos∠APB=12，故选B．y DB OPAFE x考点：1．线性规划；2．直线与圆的位置关系．【方法点睛】本题主要考查的是线性规划以及直线与圆的位置关系，属中档题．线性规划类问题的解题关键是先正确画出不等式组所表示的平面区域，然后确定目标函数的几何意义，通过数形结合确定目标函数何时取得最值．解题时要看清楚是求“最大值”还是求“最小值”，否则很容易出现错误；画不等式组所表示的平面区域时要通过特殊点验证，防止出现错误．16．2【解析】试题分析：先画出对应的可行域，结合图象求出目标函数取最大值时对应的点，代入即可求出其最值．解：约束条件对应的可行域如图：由图得，当z=2x+y位于点B（1，0）时，z=2x+y取最大值，此时：Z=2×1+0=2．故答案为：2．（考点：简单线性规划．17．6【解析】试题分析：如图画出可行域，目标函数 z = 2 x + 3 y 平移到 (0, 2)处有最大值 0 + 3⨯ 2 = 6 ．考点：1、可行域的画法；2、最优解的求法．【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题．求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”： 1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最有解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值．18． [0,2]【解析】试题分析：线性约束条件对应的可行域为直线 x - y + 1 = 0, x + y = 0, x = 0 围成的三角形及其内部，顶点为 (0,0 ), (0,1), - 1 , 1 ⎫，当 z = x + 2 y 过点 (0,0 )时取得最小值 0，过点 (0,1)(0, -1), (2,0 ), ⎛ 5 , 2 ⎫⎪ ，当 z = x + y - 3 过点 (0, -1) 时取得最小值 -4⎢⎣2, 3 ⎥⎦⎝ 2 2 ⎭时取得最大值 2，所以其范围是[0,2]考点：19． -4【解析】试题分析：线性约束条件对应的可行域为直线2 x + y = 4, x - y = 1, x - 2 y = 2，顶点为⎝ 3 3 ⎭考点：线性规划问题20．【解析】试题分析：先根据约束条件画出可行域，设 z=ax+by ，将最大值转化为 y 轴上的截距，当直线 ax+by=z 与可行域内的边 BC 平行时，z=ax+by 取最大值时的最优解有无数个，将 等价为斜率， 数形结合，得，且 a×1+b×0=2，∴a=2，b=1，z=2x+y当直线 z=2x+y 过点 B 时，z 取最小值，最小值为-2考点：简单线性规划的应用21．8⎡ 10 ⎤ 5【解析】A B x y y x x 13 x t 13试题分析：不等式组表示的可行域是如图所示的三角形 ABC 边界及其内部，（1，3），（1，1），C (13 7 5, 5 1 13 8 y ) 故所求面积为 ⨯ (3 - 1)⨯ ( - 1) = ， u = + ，其中 表示可行域上任2 5 5 x一点与原点连线的斜率， 函数性质得 u ∈ [2, 10]3y 7 y 1 7∈ [k , k ] = [ ,3] ， t = , u = t + , t ∈ [ ,3] 故根据对勾 OC O A考点：线性规划，对勾函数．22． [2, +∞)【解析】试题分析：作出实数 x ，y 满足的平面区域，如图所示，由图知，斜率 y的取值范围是[2, +∞) ．x考点：简单的线性规划问题．【方法点睛】运用线性规划求解最值时，关键是要搞清楚目标函数所表示的直线的斜率与可行域便捷直线的斜率之间的大小关系，以便确定在哪个端点处，目标函数取得最大值；在哪个端点处，目标函数取得最小值．23． 2 21【解析】试题分析：作出约束条件 ⎨ y ≥ x表示的可行域如图阴影部分（含边界）， ⎪2 x + y - 6 ≥ 0 联立 ⎨，解得 A （2，2）， 2 x + y - 6 = 0-x + y ≤ 7试题分析：不等式组{ y ≥ x 所表示的平面区域为如下图所示的 ∆DEF ，且 ∆DEF 在圆x ≥ 2x 2 + y 2 = 50 的内部，在 ∆DEF 区域内，其中点 D 到圆心 O 的距离最远，所以过点 D 且垂直于 OD 的弦 AB 最短，考点：1．线性规划;2．直线和圆的位置关系．【名师点睛】本题主要考查的是线性规划，属于容易题．线性规划类问题的解题关键是先正确画出不等式组所表示的平面区域，然后确定目标函数的几何意义，通过数形结合确定目标函数何时取得最值．解题时要看清楚是求“最大值”还是求“最小值”，否则很容易出现错误．24．－2【解析】⎧ x ≥ 0 ⎪⎩⎧ y = x⎩ 化目标函数 z = x - 2 y 为 y = x z，2 2由图可知，当直线y=x z-过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为2﹣2×2=﹣222．考点：简单的线性规划问题．25．-6【解析】试题分析：先根据平面向量共线（平行）的坐标表示，得m=2x-y，根据约束条件画出可行域，再利用m的几何意义求最值，只需求出直线m=2x-y过可行域内的点A时，从而得到m值即可．由向量向量，，且，得，根据约束条件画出可行域，设，将m最小值转化为y轴上的截距，当直线经过点（，）时，m最小，最小值是：2×1-8=-6．故答案为：-6．考点：平面向量共线的坐标表示；简单的线性规划26．[1,+∞)．2cos1【解析】试题分析：如下图所示，画出不等式组所表示的区域，即可行域，而xπxπy=2a sin(+)cos(+)=2424π1a sin(x+)=a cos x，故可知问题等价于点(1,)不在函数y=a cos x的上方，即22111a cos1≥⇒a≥,+∞)．22cos12cos1，∴正实数a的取值范围是[试题分析： M (a, b )在由不等式 ⎨ y ≥ 0 确定的平面区域内， ⎪x + y ≤ 2 ⎧a ≥ 0 ⎪⎪ 2 ∴ ⎨b ≥ 0 ，设 x = a - b , y = a + b ，则 ⎨ ⎪a + b ≤ 2 ⎪b = y - x ⎪⎩ 2 ⎩ ≥ 0 ，即 ⎨ y - x ≥ 0 ⎪ y ≤ 2 作出不等式组对应的平面区域如图：则对应区域为等腰直角三角形 AOB ，则 ⎨，y = 2 同理 B (- 2,2)，则 ∆AOB 的面积为 S = ⨯ 4 ⨯ 2 = 4 ．⎧考点：1．三角函数的图象和性质；2．线性规划的运用．27．4【解析】⎧ x ≥ 0 ⎪ ⎩⎪ ⎩⎧ y - x = 0⎩ 得 ⎨ x = 2 ⎩ y = 21 2考点：简单的线性规划．28．[-2,1]．【解析】试题分析：如下图所示，画出不等式组所表示的平面区域，考虑极端情况，函数图象经过点(2,-1)，此时m=-2，函数图象经过点(1,1)，此时m=1，∴实数m的取值范围是[-2,1]．考点：线性规划的运用．29．-6【解析】试题分析：可行域如图：⎧ ∴由 ⎨ x - y ≤ 0 得 A (k, k ) ，目标函数 z = x + y 在 x = k. y = k 时取最大值，即直线 z = x + y ⎩ y = k在 y 轴上的截距 z 最大，此时，12 = k + k ， k= 6 ∴得 B (-12,6 )，目标函数 z = x + y 在x = -12, k = 6 时取最小值，此时， z 的最小值为 z = -12 + 6 = -6考点：简单的线性规划3 30．12 ， (-∞, ] ． 4【解析】试题分析：如下图所示，画出不等式组所表示的可行域，作直线 l ： x + 3 y = 0 ，平移 l ，即可知，当 x = y = 3 时，z 3 的取值范围是 (-∞, ] ． 4 max = 3 + 9 = 12 ，直线 y = a( x + 1) 恒过点 (-1,0) ，∴可知实数 a考点：线性规划的运用．。
线性规划问题
线性规划问题为了更好地解决高中数学中线性规划问题，笔者进行了简单总结。
一、利用线性规划求最值（一）目标函数为一次函数形式求的最大值，最小值。
分析：一般的直线的规划区域只要求出区域的交点坐标（最大值，最小值存在），将坐标点代入目标函数就可以。
线性规划区域的边界点坐标分别为（3，1），（7，9），（1，3），代入目标函数可以得到最大值为（7，9）取到为21，最小值为（3，1）取到为1。
含有参数的如：目标函数最大值为12，最小值为3，那么实数k 的值为（）分析：直线x=1，x-4y+3=0，3x+5y-25=0的交点分别为a（1，1），b(1，22/5)，c(5，2)，所以最值的取得是根据直线的斜率k的范围，把变为，结合图形分析当时，由题意可得得到时，结合图形分析可知，不存在满足题意的k，因此k=2（二）目标函数为二次函数能转化为完全平方形式例2.求的最小值。
分析：先将，可以发现表示的是点（x，y）到定点的距离的平方，过m作直线ac的垂线，易知，垂足n在线段ac上，故z的最小值是|nm|=2/9（三）目标函数是反比例形式例3.求。
(分析：把等号右边转化为斜率问题进行求解)表示可行域内任意一点与定点q（-1，-1/2）连线的斜率的2倍，因为故z的范围是[3/4，7/2]求的值域分析：因为所以z可以表示为单位圆上的点与（3，2）的斜率的取值范围，所以z的取值范围是两条斜率的取值范围[]二、线性规划的面积问题(一)与向量相结合例4.在平面直角坐标系里，o为坐标原点，，p点满足，则p点轨迹表示的平面区域面积是。
设p点坐标为（x，y）根据题意可得区域面积一目了然为2。
（二）与圆相结合例5.a=，b=；(1)p=的面积；(2)求点q的面积。
分析：p点转化x-3=x1，y-1=y1，所以(x-3)2+(y-1)21区域标识的是圆边界及其内部的面积。
q点横纵坐标转化x-x2=x1，y-y2=y1所以(x-x2)2+(y-y2)2=1，所以p点的轨迹是以线性规划目标区域中任意一点为圆心的圆。
高中数学必修五线性规划
高中数学必修五：线性规划1. 设变量,x y 满足-100+20015x y x y y ≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则2+3x y 的最大值为() A ．20 B ．35 C ．45 D ．552..若直线x y 2=上存在点),(y x 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+m x y x y x 03203，则实数m 的最大值为（ ） A ．21 B ．1 C ．23 D ．3.在平面直角坐标系中，若不等式组101010x y x ax y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩（α为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则a 的值为（ ）A. -5B. 1C. 2D. 34.已知O 为直角坐标系原点，P ，Q 的坐标均满足不等式组4325022010x y x y x +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-≥⎩，则co s P O Q∠的最小值为( ) A ．12B．15 ．当实数,x y 满足不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥220y x y x 时,恒有3ax y +≤成立,则实数a 的取值范围是（ ） A ．0a ≤ B ．0a ≥ C ．02a ≤≤ D ．3a ≤6 ．已知实数⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤≥.,13,1,m y x x y y y x 满足如果目标函数y x z 45-=的最小值为—3,则实数m=（ ）A ．3B ．2C ．4D ．3117.若A 为不等式组002x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩所示的平面区域,则当a 从-2连续变化到1时,动直线x +y=a 扫过A 中的那部分区域面积为（ ）A ．2B ．1C ．34D ．748．设实数,x y 满足约束条件:360200,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12,则2294a b +的最小值为（ ）A ．12 B ．1325 C ．1 D ．29．设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥,1434,,0y x x y x 则21++x y 的取值范围是（ ） A ．]617,21[B ．]43,21[C ．]617,43[D ．),21[+∞10.若变量,x y 满足210201x y x y x -+≤⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，则点(2,)P x y x y -+表示区域的面积为（ ）A ． 34B. 43C. 12D. 111.设不等式组 110330530x y x y x y 9+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-+≤⎩表示的平面区域为D ，若指数函数y=x a 的图像上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是( )（A ）(1,3] (B )[2,3] (C ) (1,2] (D )[ 3, +∞] 12.设不等式组1230x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩所表示的平面区域是1Ω，平面区域2Ω与1Ω关于直线3490x y --=对称。
高三数学线性规划试题
高三数学线性规划试题1.变量、满足线性约束条件，则目标函数的最大值为 .【答案】【解析】作出不等式组所表示的可行域如图所示，联立得，作直线，则为直线在轴上的截距，当直线经过可行域上的点时，直线在轴上的截距最大，此时取最大值，即.【考点】线性规划.2.设，满足约束条件且的最小值为7，则A．-5B．3C．-5或3D．5或-3【答案】B【解析】根据题中约束条件可画出可行域如下图所示，两直线交点坐标为：，又由题中可知，当时，z有最小值：，则，解得：;当时，z无最小值．故选B【考点】线性规划的应用3.若、满足和，则的取值范围是________.【答案】【解析】不等式组表示的平面区域如图中，令，解方程组得，解方程组得，平移直线经过点使得取得最大值，即，当直线经过点使得取得最小值，即，故的取值范围是.【考点】不等式组表示的平面区域，求目标函数的最值，容易题.4.若变量、满足约束条件，则的最大值是（）A．2B．4C．7D．8【答案】C【解析】不等式组表示的平面区域如图的四变形（包括边界），解方程组得点，令，平移直线经过点使得取得最大值，即.选C.【考点】不等式组表示的平面区域，求目标函数的最大值，容易题.5.已知α，β是三次函数f(x)＝x3＋ax2＋2bx(a，b∈R)的两个极值点，且α∈(0,1)，β∈(1,2)，求动点(a，b)所在的区域面积S.【答案】【解析】解：由函数f(x)＝x3＋ax2＋2bx(a，b∈R)可得，f′(x)＝x2＋ax＋2b，由题意知α，β是方程x2＋ax＋2b＝0的两个根，且α∈(0,1)，β∈(1,2)，因此得到可行域即，画出可行域如图．∴动点(a，b)所在的区域面积S＝.6.设是不等式组表示的平面区域内的任意一点，向量，，若（为实数），则的最大值为（）A．4B．3C．-1D．-2【答案】A【解析】解：设点的坐标为，则，所以所以由得此不等式组对应的平面区域如下图中的阴影部分所示：设，则，当变化时，它表示一组与平行的直线，在轴上的截距为，当直线在轴上的截距最小时最大，由图可知，当直线经过点时，直线在轴上的截距最小，从面取得最大值故选A.【考点】1、向量的坐标表示与坐标运算；2、线性规划.7. [2013·陕西高考]若点(x ，y)位于曲线y ＝|x －1|与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值为________．【答案】－4 【解析】由题意知y ＝，作出曲线y ＝|x －1|与y ＝2所围成的封闭区域，如图中阴影部分所示，即得过点A(－1,2)时，2x －y 取最小值－4．8. (2014·孝感模拟)已知实数x,y 满足若z=x 2+y 2,则z 的最大值为________.【答案】13【解析】画出可行域,z=x 2+y 2=()2,表示可行域内的点(x,y)和原点(0,0)距离的平方,可知点B(2,3)是最优解,z max =13.9. 已知函数在x 1处取得极大值,在x 2处取得极小值,且x 1∈（－1，1），x 2∈（1，2），则2a+b 的取值范围是（ ） A ．（－7，2） B ．（－7，3） C ．（2，3） D ．（－1，2）【答案】B【解析】∵f′(x)= x 2+bx －a, ∴据题意知, f′(x 1)= f′(x 2)=0,又据二次函数知, f′(－1) ＞0 且f′(1)＜0且f′(2)＞0 即如图为(a,b)之可行域,A(1,0),B(2,－1),(－2,－3)．把A,B,C 三点坐标代入2a+b 得2,3,－7所以2a+b 的范围为(－7,3)10.若，满足约束条件，则的最大值为．【答案】【解析】画出可行域，如图所示，将目标函数变形为，当直线经过点时，目标函数取到最大值为．【考点】线性规划.11.若变量满足约束条件，则目标函数z=2x+3y的最大值为________.【答案】14【解析】如图所示，画出可行域，目标函数变形为，当取最大值时，纵截距最大，故将直线向上平移到E时，目标函数z=2x+3y取到最大值，此时．【考点】线性规划.12.设z=kx+y，其中实数x、y满足，若z的最大值为12，则实数k= ．【答案】2【解析】由得.作出不等式组表示的区域如图所示.由图可知，若，则当或时最大，且最大值不超过4. 若，则当时最大，由得.【考点】线性规划.13.已知实数满足，则的最小值是.【答案】4【解析】因为实数满足，如图所示，令=k,所以.由于当k<0时抛物线的开口向下，所以不合条件.所以k>0，有两种情况当k取最小值即抛物线过点.所以的最小值是.当抛物线与直线相切的情况，，即的最小值是4.【考点】1.线性规划问题.2.抛物线的问题.3.分类归纳的思想.4.构建数形结合解题的思想.14.若实数满足，则的值域是 .【答案】[1,9]【解析】首先画出可行域（如图），直线，平移直线知，过时，最小值为0，过点时，的最大值为2；根据指数函数是单调增函数，即可得到的值域为[1,9].【考点】简单线性规划的应用，函数的值域.15.假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800,502)的随机变量．记一天中从甲.地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p(1)求p的值；(参考数据：若X～N(μ，σ2)，有P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜X≤μ＋02σ)＝0.954 4，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997 4)(2)某客运公司用A、B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最辆．若每天要以不小于p小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？【答案】(1) 0.977 2 (2)配备A型车5辆、B型车12辆【解析】解：(1)由于随机变量X服从正态分布N(800，502)，故有μ＝800，σ＝50，P(700<X≤900)＝0.954 4.由正态分布的对称性，可得p＝P(X≤900)＝P(X≤800)＋P(800<X≤900)＝＋P(700<X≤900)＝0.977 2. (2)设A型、B型车辆的数量分别为x，y辆，则相应的营运成本为1 600x＋2 400y. 依题意，x，y还需满足x＋y≤21，y≤x＋7，P(X≤36x＋60y)≥p.由(1)知，p0＝P(X≤900)，故P(X≤36x＋60y)≥p等价于36x＋60y≥900.于是原问题等价于求满足约束条件且使目标函数z＝1 600x＋2 400y达到最小的x，y.作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P(5,12)，Q(7,14)，R(15,6)．由图可知，当直线z＝1 600x＋2 400y经过可行域的点P时，直线z＝1 600x＋2 400y在y轴上截距最小，即z取得最小值．故应配备A型车5辆、B型车12辆．16.已知z="2x" +y，其中x，y满足且z的最大值是最小值的4倍，则a的值是【答案】【解析】画出可行域，可知目标函数在取最小值，在取最大值，故.【考点】线性规划.17.若函数图像上存在点满足约束条件,则实数的最大值为 .【答案】2【解析】作出不等式组表示的平面区域，得到如图所示的图形（阴影），为使函数图像上存在点在阴影部分内，由得，所以，实数的最大值为2.【考点】简单线性规划的应用18.已知中心为O的正方形ABCD的边长为2，点M，N分别为线段BC，CD上的两个不同点，且||=1，则的取值范围是．【答案】【解析】设M（2，b），N（a，2）．由，可得，即（a﹣2）2+（b﹣2）2=1．且1≤a≤2，1≤b≤2．如图所示，建立平面直角坐标系．又=（1，b﹣1）•（a﹣1，1）=a+b﹣2．作出可行域，即可得出答案．如图所示，建立平面直角坐标系．设M（2，b），N（a，2）．∵，∴，即（a﹣2）2+（b﹣2）2=1．且1≤a≤2，1≤b≤2．又O（1，1），∴=（1，b﹣1）•（a﹣1，1）=a+b﹣2．令a+b﹣2=t，则目标函数b=﹣a+2+t，作出可行域，如图2，其可行域是圆弧．①当目标函数与圆弧相切与点P时，，解得t=2﹣取得最小值；②当目标函数经过点EF时，t=2+1﹣2=1取得最大值．∴．即为的取值范围．故答案为．【考点】平面向量数量积的运算点评：本题综合考查了向量的模的计算公式、线性规划等基础知识，及数形结合思想方法．熟练掌握是解题的关键．19.已知x、y满足约束条件的取值范围为【答案】[-1，2]【解析】根据二元一次不等式组画出可行域，目标函数几何意义z为直线z=x-y的纵截距相反数，平移目标函数观察z取值范围解：①如图可行域，②令z=0得直线y=x平移直线可知当直线过（0，1）时，z有最小值z=0-1=-1，直线过（2，0）时，z有最大值z=2-0=2；所以z的取值范围为[-1，2]；故答案[-1，2]。
高中数学线性规划知识总结+练习
（一） 知识内容1.二元一次不等式表示的区域对于直线(A 〉0)当B >0时, 表示直线上方区域; 表示直线的下方区域。
当B <0时, 表示直线下方区域； 表示直线的上方区域。
2.线性规划(1）不等式组是一组对变量x 、y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式,所以又可称其为线性约束条件。
z =Ax +By 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式,我们把它称为目标函数.由于z =Ax +By 又是关于x 、y 的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数。
另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示。
(2)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题.(3）那么，满足线性约束条件的解（x ,y ）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。
在上述问题中,可行域就是阴影部分表示的三角形区域。
其中可行解（)和（）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解。
线性目标函数的最值常在可行域的顶点处取得；而求最优整数解必须首先要看它们是否在可行（二）主要方法：用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：1。
首先,要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）。
2.设z =0，画出直线l 0.3.观察、分析,平移直线l 0，从而找到最优解。
4。
最后求得目标函数的最大值及最小值.（三）典例分析：1。
二元一次不等式（组)表示的平面区域【例1】 画出下列不等式（或组）表示的平面区域⑴⑵求不等式表示的平面区域的面积。
2.区域弧长、面积问题【例2】 若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则的值是( ）A ．B ．C ．D ．【例3】 若，，且当时,恒有，则以,为坐标点所形成的平面区域的面积等于 ．例题精讲高考要求板块一：线性规划【例4】已知钝角的最长边为，其余两边的长为、，则集合所表示的平面图形面积等于（）A．B．C．D．【例5】如图，在平面直角坐标系中，是一个与轴的正半轴、轴的正半轴分别相切于点、的定圆所围成的区域（含边界），、、、是该圆的四等分点．若点、点满足且，则称优于．如果中的点满足:不存在中的其它点优于,那么所有这样的点组成的集合是劣弧（）A．B．C．D．【例6】已知是由不等式组所确定的平面区域，则圆在区域内的弧长为（ )A． B．C．D．3.线性规划【例7】设变量，满足约束条件：．则目标函数的最小值为（)A．6 B．7 C．8 D．23【变式】已知实数、满足，则的最大值是( ）A．B．C．D．【例8】已知点的坐标满足条件，点为坐标原点，那么的最小值等于______，最大值等于______．【例9】设变量,满足约束条件，则函数的最大值为（）A．B．C．D．【例10】若实数满足,则的最小值为．4。
高中数学 线性规划经典例题集锦
最大，点B 使Z最小。
x 4y 3 0
由
求出A 为（5,2)。
3x 5y 25 0
x 1 由 x 4 y 3 0 求出B为（1，1)。
(3)若z=x2+y2,求z的最值.
y
5C
B
O1
x=1
x-4y+3=0
A
3x+5y-25=0
5
x
zmin 2, zmax 29.
求：(1). z y 3 的范围;
O
2
4x
(2).
z
y2 x 1
的范围.
2
Q
B
x3
解: (1) z y 3 表示可行域内任一点与定点Q（0,-3）连线的斜率,
x
因为kQA 2 , kQB 0,
z 所以 的范围为 ( , 2][0, ).
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(2).z y 2 表示可行域内任一点与定点
①m
0 时,
1 m
1
m1
② m 0 时,
易知, C (3,9) 到 O 距离最大,此时zmax 32 92 90 , zmin 02 02 0.
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3. (2).解: z x2 2x y2 (x 1)2 y2 1
y
6
表示可行域内任一点到定点 M ( 1,0) 距离
的平方再减去1.
过 M 作直线 AB 的垂线,垂足是 P
x 1 由 3x 5y 25 0 可得C为（1,4.4）
B
O1
x=1
A
3x+5y-25=0
5
x
zmax
kOC
高中数学-《线性规划问题》
《线性规划问题》 2019年5 月
基本要求：
（1）逻辑清晰，重难点突出； （2）板书； （3）试讲时间10分钟； （4）讲明画出二元一次不等式 组表示的平面区域的探究过程。
试讲要点
（1）Ax By C 0 在平面直角坐标系中表示？ （2）如何画出二元一次不等式表示的平面区域？
试讲要点
（3）独立思考，归纳方法
学生独立思考例3的解题步骤，总结画出二元一次不等式组表 示的平面区域的方法。教师总结小口诀：
画直线、明边界、定区域
试讲要点
新授内容结束后，教师通过多媒体出示变式题，请学生在练 习本中完成，为强化对于本节课重点知识的理解，可以进行设错 ，学生评价，教师总结，突出重点。
学生分享本节课的收获和体会，教师评价和总结。
试讲要点
（1）基础作业 （2）开放作业
整体思路
新授—知识分层，环节设计
（1）同桌讨论，分析题目 （2）小组讨论，得出结论 （3）独立思考，总结方法
练习—变式练习，巧妙设错
作业—分层作业，有针对性
直线定界，特殊点定域
试讲要点
（1）同桌讨论，分析题目
学生分析题目及表格信息后，同桌之间讨论得出不等式组。 可设置学生容易忽略的点 x 0, y 0 进行设错，强调出变量的取 值要符合实际生产生活中的要求，即得出结论
引导学生利用图形对不等式进行描述，这一部分是本节课的 重点内容，也是题本基本要求中的得分点，设置小组讨论环节， 预设学生探究可得出如何用图形表示二元一次不等式组的具体方 法，教师强调不等式组也表示平面区域，此平面区域是各个不等 式所表示平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域 的公共部分。
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高中数学线性规划问题一．选择题（共28小题）1．（2015•马鞍山一模）设变量x，y满足约束条件：，则z=x﹣3y的最小值（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣82．（2015•山东）已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=（）A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣33．（2015•重庆）若不等式组，表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为（）A．﹣3 B．1 C．D．34．（2015•福建）变量x，y满足约束条件，若z=2x﹣y的最大值为2，则实数m等于（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．25．（2015•安徽）已知x，y满足约束条件，则z=﹣2x+y的最大值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣5 D．16．（2014•新课标II）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（）A．10 B．8 C．3 D．27．（2014•安徽）x、y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A．或﹣1 B．2或C．2或1 D．2或﹣18．（2015•北京）若x，y满足，则z=x+2y的最大值为（）A．0 B．1 C．D．29．（2015•四川）设实数x，y满足，则xy的最大值为（）A．B．C．12 D．1610．（2015•广东）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最小值为（）A．4 B．C．6 D．11．（2014•新课标II）设x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值为（）A．8 B．7 C．2 D．112．（2014•北京）若x，y满足且z=y﹣x的最小值为﹣4，则k的值为（）A．2 B．﹣2 C．D．﹣13．（2015•开封模拟）设变量x、y满足约束条件，则目标函数z=x2+y2的取值范围为（）A．[2，8]B．[4，13]C．[2，13]D．14．（2016•荆州一模）已知x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．3 B．﹣3 C．1 D．15．（2015•鄂州三模）设变量x，y满足约束条件，则s=的取值范围是（）A．[1，]B．[，1]C．[1，2]D．[，2]16．（2015•会宁县校级模拟）已知变量x，y满足，则u=的值范围是（）A．[，]B．[﹣，﹣]C．[﹣，] D．[﹣，]17．（2016•杭州模拟）已知不等式组所表示的平面区域的面积为4，则k的值为（）A．1 B．﹣3 C．1或﹣3 D．018．（2016•福州模拟）若实数x，y满足不等式组目标函数t=x﹣2y的最大值为2，则实数a的值是（）A．﹣2 B．0 C．1 D．219．（2016•黔东南州模拟）变量x、y满足条件，则（x﹣2）2+y2的最小值为（）A．B．C．D．520．（2016•赤峰模拟）已知点，过点P的直线与圆x2+y2=14相交于A，B两点，则|AB|的最小值为（）A．2 B． C． D．421．（2016•九江一模）如果实数x，y满足不等式组，目标函数z=kx﹣y的最大值为6，最小值为0，则实数k的值为（）A．1 B．2 C．3 D．422．（2016•三亚校级模拟）已知a＞0，x，y满足约束条件，若z=2x+y的最小值为，则a=（）A．B．C．1 D．223．（2016•洛阳二模）若x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值为2，则实数a的值为（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣224．（2016•太原二模）设x，y满足不等式组，若z=ax+y的最大值为2a+4，最小值为a+1，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，2]B．[﹣2，1]C．[﹣3，﹣2]D．[﹣3，1]25．（2016•江门模拟）设实数x，y满足：，则z=2x+4y的最小值是（）A．B．C．1 D．826．（2016•漳州二模）设x，y满足约束条件，若z=x+3y的最大值与最小值的差为7，则实数m=（）A．B． C．D．27．（2016•河南模拟）已知O为坐标原点，A，B两点的坐标均满足不等式组，设与的夹角为θ，则tanθ的最大值为（）A．B．C．D．28．（2016•云南一模）已知变量x、y满足条件，则z=2x+y的最小值为（）A．﹣2 B．3 C．7 D．12二．填空题（共2小题）29．（2016•郴州二模）记不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与D有公共点，则a的取值范围是．30．（2015•河北）若x，y满足约束条件．则的最大值为．高中数学线性规划问题参考答案与试题解析一．选择题（共28小题）1．（2015•马鞍山一模）设变量x，y满足约束条件：，则z=x﹣3y的最小值（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8【分析】我们先画出满足约束条件：的平面区域，求出平面区域的各角点，然后将角点坐标代入目标函数，比较后，即可得到目标函数z=x﹣3y的最小值．【解答】解：根据题意，画出可行域与目标函数线如图所示，由图可知目标函数在点（﹣2，2）取最小值﹣8故选D．【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．2．（2015•山东）已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=（）A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣3【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．则A（2，0），B（1，1），若z=ax+y过A时取得最大值为4，则2a=4，解得a=2，此时，目标函数为z=2x+y，即y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为4，满足条件，若z=ax+y过B时取得最大值为4，则a+1=4，解得a=3，此时，目标函数为z=3x+y，即y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为6，不满足条件，故a=2，故选：B【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键．3．（2015•重庆）若不等式组，表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为（）A．﹣3 B．1 C．D．3【分析】作出不等式组对应的平面区域，求出三角形各顶点的坐标，利用三角形的面积公式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：若表示的平面区域为三角形，由，得，即A（2，0），则A（2，0）在直线x﹣y+2m=0的下方，即2+2m＞0，则m＞﹣1，则A（2，0），D（﹣2m，0），由，解得，即B（1﹣m，1+m），由，解得，即C（，）．则三角形ABC的面积S△ABC=S△ADB﹣S△ADC=|AD||y B﹣y C|=（2+2m）（1+m﹣）=（1+m）（1+m﹣）=，即（1+m）×=，即（1+m）2=4解得m=1或m=﹣3（舍），故选：B【点评】本题主要考查线性规划以及三角形面积的计算，求出交点坐标，结合三角形的面积公式是解决本题的关键．4．（2015•福建）变量x，y满足约束条件，若z=2x﹣y的最大值为2，则实数m等于（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数求得m的值．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（），化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为，解得：m=1．故选：C．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．5．（2015•安徽）已知x，y满足约束条件，则z=﹣2x+y的最大值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣5 D．1【分析】首先画出平面区域，z=﹣2x+y的最大值就是y=2x+z在y轴的截距的最大值．【解答】解：由已知不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线y=2x+z经过A时使得z最大，由得到A（1，1），所以z的最大值为﹣2×1+1=﹣1；故选：A．【点评】本题考查了简单线性规划，画出平面区域，分析目标函数取最值时与平面区域的关系是关键．6．（2014•新课标II）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（）A．10 B．8 C．3 D．2【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=2x﹣y得y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点C时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大．由，解得，即C（5，2）代入目标函数z=2x﹣y，得z=2×5﹣2=8．故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．7．（2014•安徽）x、y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A．或﹣1 B．2或C．2或1 D．2或﹣1【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线y=ax+z斜率的变化，从而求出a的取值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=y﹣ax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大．若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，若a＞0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＞0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线2x﹣y+2=0平行，此时a=2，若a＜0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＜0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线x+y﹣2=0，平行，此时a=﹣1，综上a=﹣1或a=2，故选：D【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．注意要对a进行分类讨论，同时需要弄清楚最优解的定义．8．（2015•北京）若x，y满足，则z=x+2y的最大值为（）A．0 B．1 C．D．2【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数z=x+2y对应的直线进行平移，即可求出z取得最大值．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，当l经过点B时，目标函数z达到最大值∴z最大值=0+2×1=2．故选：D．【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=x+2y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．9．（2015•四川）设实数x，y满足，则xy的最大值为（）A．B．C．12 D．16【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用基本不等式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图；由图象知y≤10﹣2x，则xy≤x（10﹣2x）=2x（5﹣x））≤2（）2=，当且仅当x=，y=5时，取等号，经检验（，5）在可行域内，故xy的最大值为，故选：A【点评】本题主要考查线性规划以及基本不等式的应用，利用数形结合是解决本题的关键．10．（2015•广东）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最小值为（）A．4 B．C．6 D．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据z的几何意义，利用数形结合即可得到最小值．【解答】解：不等式组对应的平面区域如图：由z=3x+2y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+，则由图象可知当直线y=﹣x+，经过点A时直线y=﹣x+的截距最小，此时z最小，由，解得，即A（1，），此时z=3×1+2×=，故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．11．（2014•新课标II）设x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值为（）A．8 B．7 C．2 D．1【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点A时，直线y=﹣的截距最大，此时z最大．由，得，即A（3，2），此时z的最大值为z=3+2×2=7，故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．12．（2014•北京）若x，y满足且z=y﹣x的最小值为﹣4，则k的值为（）A．2 B．﹣2 C．D．﹣【分析】对不等式组中的kx﹣y+2≥0讨论，当k≥0时，可行域内没有使目标函数z=y﹣x取得最小值的最优解，k＜0时，若直线kx﹣y+2=0与x轴的交点在x+y﹣2=0与x轴的交点的左边，z=y﹣x的最小值为﹣2，不合题意，由此结合约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：对不等式组中的kx﹣y+2≥0讨论，可知直线kx﹣y+2=0与x轴的交点在x+y ﹣2=0与x轴的交点的右边，故由约束条件作出可行域如图，由kx﹣y+2=0，得x=，∴B（﹣）．由z=y﹣x得y=x+z．由图可知，当直线y=x+z过B（﹣）时直线在y轴上的截距最小，即z最小．此时，解得：k=﹣．故选：D．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．13．（2015•开封模拟）设变量x、y满足约束条件，则目标函数z=x2+y2的取值范围为（）A．[2，8]B．[4，13]C．[2，13]D．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可得到结论．．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，则z=x2+y2的几何意义为动点P（x，y）到原点的距离的平方，则当动点P位于A时，OA的距离最大，当直线x+y=2与圆x2+y2=z相切时，距离最小，即原点到直线x+y=2的距离d=，即z的最小值为z=d2=2，由，解得，即A（3，2），此时z=x2+y2=32+22=9+4=13，即z的最大值为13，即2≤z≤13，故选：C【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．14．（2016•荆州一模）已知x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．3 B．﹣3 C．1 D．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．【解答】解：作图易知可行域为一个三角形，当直线z=2x+y过点A（2，﹣1）时，z最大是3，故选A．【点评】本小题是考查线性规划问题，本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．15．（2015•鄂州三模）设变量x，y满足约束条件，则s=的取值范围是（）A．[1，]B．[，1]C．[1，2]D．[，2]【分析】先根据已知中，变量x，y满足约束条件，画出满足约束条件的可行域，进而分析s=的几何意义，我们结合图象，利用角点法，即可求出答案．【解答】解：满足约束条件的可行域如下图所示：根据题意，s=可以看作是可行域中的一点与点（﹣1，﹣1）连线的斜率，由图分析易得：当x=1，y=O时，其斜率最小，即s=取最小值当x=0，y=1时，其斜率最大，即s=取最大值2故s=的取值范围是[，2]故选D【点评】本题考查的知识点是简单线性规划，其中解答的关键是画出满足约束条件的可行域，“角点法”是解答此类问题的常用方法．16．（2015•会宁县校级模拟）已知变量x，y满足，则u=的值范围是（）A．[，]B．[﹣，﹣]C．[﹣，] D．[﹣，]【分析】化简得u=3+，其中k=表示P（x，y）、Q（﹣1，3）两点连线的斜率．画出如图可行域，得到如图所示的△ABC及其内部的区域，运动点P得到PQ斜率的最大、最小值，即可得到u=的值范围．【解答】解：∵u==3+，∴u=3+k，而k=表示直线P、Q连线的斜率，其中P（x，y），Q（﹣1，3）．作出不等式组表示的平面区域，得到如图所示的△ABC及其内部的区域其中A（1，2），B（4，2），C（3，1）设P（x，y）为区域内的动点，运动点P，可得当P与A点重合时，k PQ=﹣达到最小值；当P与B点重合时，k PQ=﹣达到最大值∴u=3+k的最大值为﹣+3=；最小值为﹣+3=因此，u=的值范围是[，]故选：A【点评】本题给出二元一次不等式组，求u=的取值范围．着重考查了直线的斜率公式、二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于中档题．17．（2016•杭州模拟）已知不等式组所表示的平面区域的面积为4，则k的值为（）A．1 B．﹣3 C．1或﹣3 D．0【分析】由于直线y=kx+2在y轴上的截距为2，即可作出不等式组表示的平面区域三角形；再由三角形面积公式解之即可．【解答】解：不等式组表示的平面区域如下图，解得点B的坐标为（2，2k+2），所以S△ABC=（2k+2）×2=4，解得k=1．故选A．【点评】本题考查二元一次不等式组表示的平面区域的作法．18．（2016•福州模拟）若实数x，y满足不等式组目标函数t=x﹣2y的最大值为2，则实数a的值是（）A．﹣2 B．0 C．1 D．2【分析】画出约束条件表示的可行域，然后根据目标函数z=x﹣2y的最大值为2，确定约束条件中a的值即可．【解答】解：画出约束条件表示的可行域由⇒A（2，0）是最优解，直线x+2y﹣a=0，过点A（2，0），所以a=2，故选D【点评】本题考查简单的线性规划，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题．19．（2016•黔东南州模拟）变量x、y满足条件，则（x﹣2）2+y2的最小值为（）A．B．C．D．5【分析】作出不等式组对应的平面区域，设z=（x﹣2）2+y2，利用距离公式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，设z=（x﹣2）2+y2，则z的几何意义为区域内的点到定点D（2，0）的距离的平方，由图象知CD的距离最小，此时z最小．由得，即C（0，1），此时z=（x﹣2）2+y2=4+1=5，故选：D．【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义以及两点间的距离公式，利用数形结合是解决此类问题的基本方法．20．（2016•赤峰模拟）已知点，过点P的直线与圆x2+y2=14相交于A，B两点，则|AB|的最小值为（）A．2 B． C． D．4【分析】本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得直线过在（1，3）处取得最小值．【解答】解：约束条件的可行域如下图示：画图得出P点的坐标（x，y）就是三条直线x+y=4，y﹣x=0和x=1构成的三角形区域，三个交点分别为（2，2），（1，3），（1，1），因为圆c：x2+y2=14的半径r=，得三个交点都在圆内，故过P点的直线l与圆相交的线段AB长度最短，就是过三角形区域内距离原点最远的点的弦的长度．三角形区域内距离原点最远的点就是（1，3），可用圆d：x2+y2=10与直线x=y的交点为（，）验证，过点（1，3）作垂直于直线y=3x的弦，国灰r2=14，故|AB|=2=4，所以线段AB的最小值为4．故选：D【点评】在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．21．（2016•九江一模）如果实数x，y满足不等式组，目标函数z=kx﹣y的最大值为6，最小值为0，则实数k的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】首先作出其可行域，再由题意讨论目标函数在哪个点上取得最值，解出k．【解答】解：作出其平面区域如右图：A（1，2），B（1，﹣1），C（3，0），∵目标函数z=kx﹣y的最小值为0，∴目标函数z=kx﹣y的最小值可能在A或B时取得；∴①若在A上取得，则k﹣2=0，则k=2，此时，z=2x﹣y在C点有最大值，z=2×3﹣0=6，成立；②若在B上取得，则k+1=0，则k=﹣1，此时，z=﹣x﹣y，在B点取得的应是最大值，故不成立，故选B．【点评】本题考查了简单线性规划的应用，要注意分类讨论，属于基础题．22．（2016•三亚校级模拟）已知a＞0，x，y满足约束条件，若z=2x+y的最小值为，则a=（）A．B．C．1 D．2【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即先确定z的最优解，然后确定a的值即可．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，（阴影部分）由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小．由，解得，即A（1，），∵点A也在直线y=a（x﹣3）上，∴，解得a=．故选：A．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．23．（2016•洛阳二模）若x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值为2，则实数a的值为（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2【分析】先作出不等式组的图象，利用目标函数z=x+y的最大值为2，求出交点坐标，代入3x﹣y﹣a=0即可．【解答】解：先作出不等式组的图象如图，∵目标函数z=x+y的最大值为2，∴z=x+y=2，作出直线x+y=2，由图象知x+y=2如平面区域相交A，由得，即A（1，1），同时A（1，1）也在直线3x﹣y﹣a=0上，∴3﹣1﹣a=0，则a=2，故选：A．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合以及目标函数的意义是解决本题的关键．24．（2016•太原二模）设x，y满足不等式组，若z=ax+y的最大值为2a+4，最小值为a+1，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，2]B．[﹣2，1]C．[﹣3，﹣2]D．[﹣3，1]【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：由z=ax+y得y=﹣ax+z，直线y=﹣ax+z是斜率为﹣a，y轴上的截距为z的直线，作出不等式组对应的平面区域如图：则A（1，1），B（2，4），∵z=ax+y的最大值为2a+4，最小值为a+1，∴直线z=ax+y过点B时，取得最大值为2a+4，经过点A时取得最小值为a+1，若a=0，则y=z，此时满足条件，若a＞0，则目标函数斜率k=﹣a＜0，要使目标函数在A处取得最小值，在B处取得最大值，则目标函数的斜率满足﹣a≥k BC=﹣1，即0＜a≤1，若a＜0，则目标函数斜率k=﹣a＞0，要使目标函数在A处取得最小值，在B处取得最大值，则目标函数的斜率满足﹣a≤k AC=2，即﹣2≤a＜0，综上﹣2≤a≤1，故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据条件确定A，B是最优解是解决本题的关键．注意要进行分类讨论．25．（2016•江门模拟）设实数x，y满足：，则z=2x+4y的最小值是（）A．B．C．1 D．8【分析】先根据约束条件画出可行域，设t=x+2y，把可行域内的角点代入目标函数t=x+2y 可求t的最小值，由z=2x+4y=2x+22y，可求z的最小值【解答】解：z=2x+4y=2x+22y，令t=x+2y先根据约束条件画出可行域，如图所示设z=2x+3y，将最大值转化为y轴上的截距，由可得A（﹣2，﹣1）由可得C（﹣2，3）由B（4，﹣3）把A，B，C的坐标代入分别可求t=﹣4，t=4，t=﹣2Z的最小值为故选B【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．26．（2016•漳州二模）设x，y满足约束条件，若z=x+3y的最大值与最小值的差为7，则实数m=（）A．B． C．D．【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，进一步求出最值，结合最大值与最小值的差为7求得实数m 的值．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，2），联立，解得B（m﹣1，m），化z=x+3y，得．由图可知，当直线过A时，z有最大值为7，当直线过B时，z有最大值为4m﹣1，由题意，7﹣（4m﹣1）=7，解得：m=．故选：C．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．27．（2016•河南模拟）已知O为坐标原点，A，B两点的坐标均满足不等式组，设与的夹角为θ，则tanθ的最大值为（）A．B．C．D．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合求出A，B的位置，利用向量的数量积求出夹角的余弦，即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，要使tanθ最大，则由，得，即A（1，2），由，得，即B（2，1），∴此时夹角θ最大，则，则cosθ==，∴sin，此时tan=，故选：C．【点评】本题主要考查线性规划的应用，以及向量的数量积运算，利用数形结合是解决本题的关键．28．（2016•云南一模）已知变量x、y满足条件，则z=2x+y的最小值为（）A．﹣2 B．3 C．7 D．12【分析】先由约束条件画出可行域，再求出可行域各个角点的坐标，将坐标逐一代入目标函数，验证即得答案．【解答】解：如图即为满足不等式组的可行域，将交点分别求得为（1，1），（5，2），（1，）当x=1，y=1时，2x+y=3当x=1，y=时，2x+y=当x=5，y=2时，2x+y=12∴当x=1，y=1时，2x+y有最小值3．故选：B【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．二．填空题（共2小题）29．（2016•郴州二模）记不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与D有公共点，则a的取值范围是[，4]．【分析】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入y=a（x+1）中，求出y=a（x+1）对应的a的端点值即可．【解答】解：满足约束条件的平面区域如图示：因为y=a（x+1）过定点（﹣1，0）．所以当y=a（x+1）过点B（0，4）时，得到a=4，当y=a（x+1）过点A（1，1）时，对应a=．又因为直线y=a（x+1）与平面区域D有公共点．所以≤a≤4．故答案为：[，4]【点评】在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．30．（2015•河北）若x，y满足约束条件．则的最大值为3．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．设k=，则k的几何意义为区域内的点到原点的斜率，由图象知OA的斜率最大，由，解得，即A（1，3），则k OA==3，即的最大值为3．故答案为：3．【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义以及直线的斜率，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．最新文件仅供参考已改成word文本。