信号与系统讲义第四章5系统频率特性与稳定性(精)
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信号与系统课件4.3~4.5
22 24
第4-4页
32
4.3
1 π π cos t + 2 3 4
周期信号的频谱
次谐波分量； 是f(t)的[π/4]/[π/12 ]=3次谐波分量； 的 次谐波分量 次谐波分量； 是f(t)的[π/3]/[π/12 ]=4次谐波分量； 的 次谐波分量
1 π 2π cos − 4 3 3
第4-9页
Fn F ( jω ) = lim = lim FnT (单位频率上的频谱） 单位频率上的频谱） 单位频率上的频谱 T →∞ 1 / T T →∞
4.4 傅里叶变换
根据傅里叶级数
Fn T = ∫
T 2 T − 2
f (t ) e
− jnΩt
dt
f (t ) =
n = −∞
∑ FTe
n
∞
jnΩ t
4.4 傅里叶变换
也可简记为
F(jω) = F [f(t)] f(t) = F –1[F(jω)] 或 f(t) ←→F(jω) F(jω)一般是复函数，写为 一般是复函数， 一般是复函数 F(jω) = | F(jω)|e j ϕ(ω) = R(ω) + jX(ω)
说明 (1)前面推导并未遵循严格的数学步骤。可证明， 前面推导并未遵循严格的数学步骤。 前面推导并未遵循严格的数学步骤 可证明， 函数f(t)的傅里叶变换存在的充分条件: 的傅里叶变换存在的充分条件 函数 的傅里叶变换存在的充分条件
−∞
∞
− jω t
d δ (t ) = e
− jωt
δ (t ) |
∞ −∞
− ∫ δ (t ) d e − jωt
−∞
∞
= ( jw) ∫ δ (t ) e − jωt d t = jw 同理，δ ( n ) (t ) ←→ ( jw) n ( n ≥ 0)
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4.3
1 π π cos t + 2 3 4
周期信号的频谱
次谐波分量； 是f(t)的[π/4]/[π/12 ]=3次谐波分量； 的 次谐波分量 次谐波分量； 是f(t)的[π/3]/[π/12 ]=4次谐波分量； 的 次谐波分量
1 π 2π cos − 4 3 3
第4-9页
Fn F ( jω ) = lim = lim FnT (单位频率上的频谱） 单位频率上的频谱） 单位频率上的频谱 T →∞ 1 / T T →∞
4.4 傅里叶变换
根据傅里叶级数
Fn T = ∫
T 2 T − 2
f (t ) e
− jnΩt
dt
f (t ) =
n = −∞
∑ FTe
n
∞
jnΩ t
4.4 傅里叶变换
也可简记为
F(jω) = F [f(t)] f(t) = F –1[F(jω)] 或 f(t) ←→F(jω) F(jω)一般是复函数，写为 一般是复函数， 一般是复函数 F(jω) = | F(jω)|e j ϕ(ω) = R(ω) + jX(ω)
说明 (1)前面推导并未遵循严格的数学步骤。可证明， 前面推导并未遵循严格的数学步骤。 前面推导并未遵循严格的数学步骤 可证明， 函数f(t)的傅里叶变换存在的充分条件: 的傅里叶变换存在的充分条件 函数 的傅里叶变换存在的充分条件
−∞
∞
− jω t
d δ (t ) = e
− jωt
δ (t ) |
∞ −∞
− ∫ δ (t ) d e − jωt
−∞
∞
= ( jw) ∫ δ (t ) e − jωt d t = jw 同理，δ ( n ) (t ) ←→ ( jw) n ( n ≥ 0)
第四章频率特性
第四章控制系统的频域分析法 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 165 频率特性法本章是通过对系统的频率特性研究分析自动控制系统，是一种经典方法。
问题：什么是频率特性，如何描述？如何利用频率特性分析控制系统？5.1 频率特性5.1.1频率特性的基本概念我们知道，系统（包括开环系统和闭环系统）对正弦输入信号的稳态反应是用以描述系统性能的一种广泛应用的工程方法。
频率特性描述了系统在正弦输入信号作用下，其输出信号与输入信号之间的关系。
设系统的传递函数为又设其中：的振幅为常值：正弦函数的角频率有一般地A（s），B（s）为s的多项式;为的极点，包括实数和共扼复数对稳定的系统而言均具有负实部。
（设系统无重极点）其中，待定，是的共扼复数，为待定系数。
由拉氏反变换可得：则输出信号的稳态分量：（对于稳定的系统具有负实部）注：如果系统中含有k个重极点，则在中将会出现象（j=0，1，2，……，k-1）这样一些项，然而对于稳定的系统来说，由于具有负实部，所以各项都将随着趋于无穷大而趋于零。
因此具有重极点的稳定系统的稳态分量具有和上式相同的形式。
可按下式计算：（由留数公式）及其中为一复数，可表示为其中，模幅角同样可以证明，是的偶函数是的奇函数证明：设式中则有是的偶函数是的奇函数稳定的线性定常系统在正弦输入下的稳态响应为：可见：线性定常系统在正弦信作用下的稳态响应仍是与输入信号同频率的正弦信号。
其振幅是输入信号振幅R的倍，在相位上，正弦输出相对于输入的相移，同样是的函数，对确定的来说，振幅C及相移将是确定的。
综上：在正弦输入信号的作用下，线性定常系统的输出信号的稳态分量是和正弦输入信号同频率的正弦函数，其振幅C与输入正弦的振幅R 的比值C/R=是角频率的函数。
它描述系统对不同频率的输入信号在稳态情况下的衰减（或放大）特性，定义这种振幅比依赖于频率的函数为系统的幅频特性。
相对于输入信号r(t)的相移也是的函数，是系统输出信号的稳态分量对正弦输入信号r(t)的相移为该系统的相频特性，它描述系统的稳态输出对不同频率的正弦输入信号在相位上产生相角滞后或相角超前的特性。
信号与系统讲义第四章5系统频率特性及稳定性汇总
非最小相移函数＝最小相移函数×全通函数
（系统的串联）
2020/3/10
信号与系统
2020/3/10
信号与系统
4.11 线性系统的稳定性
1、稳定系统
有限（界）激励，产生有限（界）输出，稳定系统 有限（界）激励，产生无限（界）输出，为不稳定系统
r(t) h(t)*e(t) h( )e(t )d
4.8由系统函数零、极点分布分析频响特性
一、系统的频响特性
1、频响特性
在正弦信号激励下稳态响应随频率的变化
H( j) H( j) e j()
幅频特性 相频特性
2020/3/10
信号与系统
分析正弦信号e(t) Em sin 0t u(t)激励下系统的响应？
H (s)为稳定系统，极点在左半开平面,自由响应为暂态响应
➢ 系统的极零点图 ➢ 确定系统的时域响应特性、系统稳定性分析 ➢ 绘制系统的幅频响应和相频响应特性曲线，通频特性分析
2020/3/10
信号与系统
作业
4-39(a)(e) 4-42 (b) 4-45
自读4.9节内容 预习 4.12 4.13章节内容
2020/3/10
信号与系统
H ( j)
K
0
系统的零、极点分布→系统的频率响应特性 零、极点分布特点？？
2020/3/10
信号与系统
全通系统的零、极点分布
•极点在S左半平面，零点在右半平面 •极点数＝零点数，且与虚轴成镜像对称
2020/3/10
信号与系统
幅频特性： 相频特性：
2020/3/10
信号与系统
二、最小相移系统
e(t) Me
（系统的串联）
2020/3/10
信号与系统
2020/3/10
信号与系统
4.11 线性系统的稳定性
1、稳定系统
有限（界）激励，产生有限（界）输出，稳定系统 有限（界）激励，产生无限（界）输出，为不稳定系统
r(t) h(t)*e(t) h( )e(t )d
4.8由系统函数零、极点分布分析频响特性
一、系统的频响特性
1、频响特性
在正弦信号激励下稳态响应随频率的变化
H( j) H( j) e j()
幅频特性 相频特性
2020/3/10
信号与系统
分析正弦信号e(t) Em sin 0t u(t)激励下系统的响应？
H (s)为稳定系统，极点在左半开平面,自由响应为暂态响应
➢ 系统的极零点图 ➢ 确定系统的时域响应特性、系统稳定性分析 ➢ 绘制系统的幅频响应和相频响应特性曲线，通频特性分析
2020/3/10
信号与系统
作业
4-39(a)(e) 4-42 (b) 4-45
自读4.9节内容 预习 4.12 4.13章节内容
2020/3/10
信号与系统
H ( j)
K
0
系统的零、极点分布→系统的频率响应特性 零、极点分布特点？？
2020/3/10
信号与系统
全通系统的零、极点分布
•极点在S左半平面，零点在右半平面 •极点数＝零点数，且与虚轴成镜像对称
2020/3/10
信号与系统
幅频特性： 相频特性：
2020/3/10
信号与系统
二、最小相移系统
e(t) Me
《信号与系统》课程讲义4-4
40 ⋅4 s 10 17 10 1 ⋅ + 2 − ⋅ V2 ( s ) = 2 s + 16 17 s + 16 17 s + 1 10 40 10 − t v2 (t ) = [ cos 4t + sin 4t − e ]u (t ) 17 17 17
故：
10 − t 10 = [− e + cos(4t − 76 )]u (t ) 17 17
s +1 1 = 解： H ( s ) = 2 s + 3s + 2 s + 2 1 1 1 1 1 1 Rzs ( s) = ⋅ = ( − ) ↔ rzs (t ) = (1 − e −2t )u (t ) s+2 s 2 s s+2 2 α 2 + 3α + 2 = 0 ，α = −1， = −2 α
系统函数零极点∽ 系统函数零极点∽时域特性和稳定性
d 2 r (t ) dr (t ) de(t ) [例3]： 例 ： +3 + 2 r (t ) = + e( t ) 2 dt dt dt r ( 0 − ) = 1， ′(0 − ) = 1，e(t ) = u(t ) 求 rzs (t ), rh (t ) r
1 → te − at u(t ) ( s + a )2
系统函数零极点∽ 系统函数零极点∽时域特性和稳定性
iii) （实一阶） pi > 0
pi > 0 (实二阶)
jω
h(t )
0
jω
h(t )
0
aσ
0
t
0
aσ
t
1 → e at u (t ) s−a
故：
10 − t 10 = [− e + cos(4t − 76 )]u (t ) 17 17
s +1 1 = 解： H ( s ) = 2 s + 3s + 2 s + 2 1 1 1 1 1 1 Rzs ( s) = ⋅ = ( − ) ↔ rzs (t ) = (1 − e −2t )u (t ) s+2 s 2 s s+2 2 α 2 + 3α + 2 = 0 ，α = −1， = −2 α
系统函数零极点∽ 系统函数零极点∽时域特性和稳定性
d 2 r (t ) dr (t ) de(t ) [例3]： 例 ： +3 + 2 r (t ) = + e( t ) 2 dt dt dt r ( 0 − ) = 1， ′(0 − ) = 1，e(t ) = u(t ) 求 rzs (t ), rh (t ) r
1 → te − at u(t ) ( s + a )2
系统函数零极点∽ 系统函数零极点∽时域特性和稳定性
iii) （实一阶） pi > 0
pi > 0 (实二阶)
jω
h(t )
0
jω
h(t )
0
aσ
0
t
0
aσ
t
1 → e at u (t ) s−a
信号与系统3-5系统的稳定性课件
3)
由于有右半平面的极点， 所以系统不稳定。
H (s) s 1 s2 4
H (s) s2 2 s2 2s 3
由于在虚轴上有单极点，所以系统 是不稳定。
系统函数分子分母的阶数相同，极点 都在左半平面。所以系统是稳定的。
H (s) s3 2 s2 2s 3
因为分子的阶数大于分母的阶数，冲激响 应中必含有其导数项，所以系统不稳定。
渐进稳定性
稳定性是系统本身的性质所决定的，与外加信号 无关。
在时域，对于因果系统，
在时间t 趋于无限大时，h(t)是趋于零，系统是稳定的； 若时间t 趋于无限大时， h(t)是趋于有限值，则系统是
临界稳定的； 若时间t 趋于无限大时， h(t)是增长的，则系统是不稳
定的。
在s域，
系统函数的极点位于s左半平面，系统是稳定的。 极点在虚轴上有单极点，系统是临界稳定。 极点在s右半平面或在虚轴上有重极点，系统不稳定。
虚轴上的多重极点会使系统响应发散. 虚轴上的单极点，如果系统的输入信号也有相同的形
式，会使系统响应发散。从BIBO稳定性划分来看，由 于未规定临界稳定类型，因而属于不稳定的范围。
例 3.27
试用BIBO准则判别下列因果系统是否稳定？为什 么？
H (s)
s2
s2 2s 3
(s
s2 1)(s
强迫响应时间函数的形式仅由F(s)极点决定，而各系 数Ki则与H(s)和F(s)都有关系。
系统函数H(s)只能用于研究零状态响应，包含了系统 为零状态响应提供的全部信息。但是，它不包含零 输入响应的全部信息，这是因为当H(s)的零、极点相 消时，某些固有频率要丢失。
12
例 3.29
求系统 H (s) s 8 对输入f (t) 4e3t (t)的强迫响应。
信号与线性系统分析第四章
A0 An j ( nt n ) j ( nt n ) [e e ] 2 n 1 2
A0 1 j n jnt 1 An e e An e j n e jnt 2 2 n 1 2 n 1 第
23 页
指数形式的傅里叶形式
2 an T 2 bn T
T 2 T 2
f ( t ) cos(nt )dt f ( t ) sin ( nt )dt
第 11 页
T 2 T 2
例题1
an 0 n 2,4,6, 0, bn 4 , n 1,3,5, n
• 信号的傅里叶级数展开式为：
上式中第三项的n用–n代换，A– n=An、 – n= – n
A0 1 j n jnt 1 上式写为： An e e An e j n e jnt 2 2 n 1 2 n 1
令A0=A0ej0ej0t ，0=0 1 所以 f ( t ) An e j n e j nt 2 n
f (t )
n
F e
n
jnt
1 j cos(n )e jnt n n
第 19 页
四、周期信号的功率 —— Parseval 等式 A
f (t )
0
2
An cos(nt n )
n 1
周期信号一般是功率信号，其平均功率为
1 T
2
2
a0 f ( t ) an cos(nt ) bn sin( nt ) 2 n 1 n 1
2 .f(t)为奇函数——对称于原点
f (t ) f ( t )
4 an =0， bn T
信号与系统讲义第四章5系统频率特性及稳定性
大，输出信号VO(s) 与差分输入信号V1(s)和V2(s)之间满足关系式： Vo(s)A[V2(s)V1(s)]，求：（1）H(s)VV1o((ss)) (2)A满足什么条件，系统稳定？
06.06.2019
信号与系统
例：图示反馈系统，求系统函数分析稳定性 Q(s)
稳定系统的充要条件： h()d＜
06.06.2019
信号与系统
2、根据系统函数零、极点分布判断稳定性
系统稳定的条件
H(s)全部极点在s左半开平面，稳定 H(s)的极点在右半开平面，或虚轴上有二阶以
上高阶极点，不稳定 H(s)虚轴上单极点，不稳定（边界稳定）
06.06.2019
根据幅频特性的不同，可划分成如下几种
06.06.2019
截止频率－－下降3dB的频率点
信号与系统
二、由极、零点分布分析频响特性
m
(s z j)
H (s) K
j 1 n
(s pi)
i 1
s沿 虚 轴 移s 动j
m
( j z j )
H ( j) K
j 1 n
信号与系统
1 1 R1C1 R2C2
06.06.2019
信号与系统
小结： (232页)
若函数有一对非常靠近jω轴的极点，则ω 在极点附近，幅频特性出现峰点，相频特性 迅速下降
若函数有一对非常靠近jω轴的零点，则ω 在零点附近，副频特性出现下陷，相频特性 迅速上升
若系统函数的零、极点远离jω轴，则对频 率响应特性曲线的影响较小，只是大小有所 增减。
信号与系统
4.11 线性系统的稳定性
1、稳定系统
有限（界）激励，产生有限（界）输出，稳定系统 有限（界）激励，产生无限（界）输出，为不稳定系统
06.06.2019
信号与系统
例：图示反馈系统，求系统函数分析稳定性 Q(s)
稳定系统的充要条件： h()d＜
06.06.2019
信号与系统
2、根据系统函数零、极点分布判断稳定性
系统稳定的条件
H(s)全部极点在s左半开平面，稳定 H(s)的极点在右半开平面，或虚轴上有二阶以
上高阶极点，不稳定 H(s)虚轴上单极点，不稳定（边界稳定）
06.06.2019
根据幅频特性的不同，可划分成如下几种
06.06.2019
截止频率－－下降3dB的频率点
信号与系统
二、由极、零点分布分析频响特性
m
(s z j)
H (s) K
j 1 n
(s pi)
i 1
s沿 虚 轴 移s 动j
m
( j z j )
H ( j) K
j 1 n
信号与系统
1 1 R1C1 R2C2
06.06.2019
信号与系统
小结： (232页)
若函数有一对非常靠近jω轴的极点，则ω 在极点附近，幅频特性出现峰点，相频特性 迅速下降
若函数有一对非常靠近jω轴的零点，则ω 在零点附近，副频特性出现下陷，相频特性 迅速上升
若系统函数的零、极点远离jω轴，则对频 率响应特性曲线的影响较小，只是大小有所 增减。
信号与系统
4.11 线性系统的稳定性
1、稳定系统
有限（界）激励，产生有限（界）输出，稳定系统 有限（界）激励，产生无限（界）输出，为不稳定系统
机械工程控制基础(第4章_系统的频率特性分析)
对频率 的函数曲线，此即幅频特性曲线；作出相位 ) (
的函数曲线，此即相频特性曲线。
对频率
由上可知，一个系统可以用微分方程或传递函数来描述，也可以
用频率特性来描述。它们之间的相互关系如图4.1.2所示。将微分方程
的微分算子 中的s再换成 j，传递函数就变成了频率特性；反之亦然。
d 换成s后，由此方程就可获得传递函数；而将传递函数 dt
式中，
u ( ) 是频率特性的实部，称为实频特性 v( ) 是频率特性的虚部，称为虚频特性
武科大城市学院
机电学部
4.1.3 频率特性的求法
1. 根据系统的频率响应来求取
因为
K G s Ts 1 X i X i s 2 s 2
X i xo t L G s 2 s 2
G j 端点的轨迹即为频率特性的极坐标图, 或称为Nyquist 图, 如
实轴开始, 逆时针方向旋转为正, 顺时针方向旋转为负。当从0→∞时,
武科大城市学院
机电学部
图4.2.1所示。它不仅表示幅频特性和相频特性, 而且也表示实频特性和
虚频特性。图中的箭头方向为从小到大的方向。
正如4.1节所述, 系统的幅频特性和相频特
武科大城市学院
机电学部
2. 频率特性
线性系统在谐波输入作用下，其稳态输出与输入的幅值比是输入
信号的频率 的函数，称为系统的幅频特性，记为A( ) 它描述了在稳态情况下，当系统输入不同频率的谐波信号时，其幅值 的衰减或增大特性。显然
X o ( ) A( ) Xi
) 稳态输出信号与输入信号的相位差 ( （或称相移）也是 的函
1
所以
1 T 2 2 X K A o Xi 1 T 2 2
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上高阶极点，不稳定 H(s)虚轴上单极点，不稳定（边界稳定）
2019/12/5
信号与系统
例：如图放大器的输入阻抗为无限大，输出信号VO (s)
与差分输入信号V1(s)和V2 (s)之间满足关系式：
Vo (s)
A[V2 (s)
V1(s)]，求：（1）H(s)
Vo (s) V1 ( s)
(2)A满足什么条件，系统稳定？
H ( j) K
j 1 n
( j pi )
i 1
2019/12/5
信号与系统
| H ( j) | K N1N2...Nm
M1M 2 ...M n
() (1 2 ... m ) (1 2 ... n )
由系统零、极点图绘制系统的频率响应特性曲线，包括幅 频特性曲线和相频特性曲线
2019/12/5
信号与系统
2、滤波器的滤波特性
根据幅频特性的不同，可划分成如下几种
2019/12/5
截止频率－－下降3dB的频率点
信号与系统
二、由极、零点分布分析频响特性
m
(s zj )
H(s) K
j 1 n
(s pi )
i 1
s沿虚 轴移动s j源自m ( j z j )
2019/12/5
信号与系统
例：RC高通滤波网络的频响特性 H (s) V2(s) s
V1(s) s 1/ RC
2019/12/5
信号与系统
H (s) s s 1/ Rc
2019/12/5
信号与系统
例：RC低通滤波网络的频响特性 H (s) V2(s) 1/sc 1 1
非最小相移函数＝最小相移函数×全通函数
（系统的串联）
2019/12/5
信号与系统
2019/12/5
信号与系统
4.11 线性系统的稳定性
1、稳定系统
有限（界）激励，产生有限（界）输出，稳定系统 有限（界）激励，产生无限（界）输出，为不稳定系统
r(t) h(t)*e(t) h( )e(t )d
系统的极零点图 确定系统的时域响应特性、系统稳定性分析 绘制系统的幅频响应和相频响应特性曲线，通频特性分析
2019/12/5
信号与系统
作业
4-39(a)(e) 4-42 (b) 4-45
自读4.9节内容 预习 4.12 4.13章节内容
2019/12/5
信号与系统
知识回顾 Knowledge Review
R2 k
s
V1 ( s)
R1
1 sc1
R2
1 sc2
R1c1 (s 1 )(s 1 )
R1c1
R2c2
2019/12/5
信号与系统
1 1 R1C1 R2C2
2019/12/5
信号与系统
小结： (232页)
若函数有一对非常靠近jω轴的极点，则ω 在极点附近，幅频特性出现峰点，相频特性 迅速下降
V1(s) 1/ sc R Rc s 1/ Rc
2019/12/5
信号与系统
H(s) 1 1 Rc s 1/ Rc
2019/12/5
信号与系统
例 ： 二 阶RC滤 波 网 络 的 频 响 特 性 ，图 中k v3为 受 控 电 压源，且R1c1 R2c2
LP
HP
k1
H (s) V2 (s) sc1
4.8由系统函数零、极点分布分析频响特性
一、系统的频响特性
1、频响特性
在正弦信号激励下稳态响应随频率的变化
H( j) H( j) e j()
幅频特性 相频特性
2019/12/5
信号与系统
分析正弦信号e(t) Em sin 0t u(t)激励下系统的响应？
H (s)为稳定系统，极点在左半开平面,自由响应为暂态响应
e(t) Me
r(t) Me h( )d
要 使r(t) 有界，则 h( )d＜
稳定系统的充要条件： h( )d＜
2019/12/5
信号与系统
2、根据系统函数零、极点分布判断稳定性
系统稳定的条件
H(s)全部极点在s左半开平面，稳定 H(s)的极点在右半开平面，或虚轴上有二阶以
E(s) Em0 , s2 02
极点p1,2 j0
稳态响应分量
rss (t) Em H ( j0 ) sin(0t (0 )) H ( j0 ) H ( j0 ) e j (0 )
H ( j) H (s) s j
条件：系统稳定或系统函数 的收敛域包含j轴
考察下列系统的频率特性的区别：
零、极点在左半平面
极点在左半平面
2019/12/5
信号与系统
100
最小相移
50
非最小相移
0
-50
-100
-150
-200
-250
-300
-350
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
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信号与系统
最小相移系统的极零点分布：零点全部分布在S平面 的左半平面或jω轴上。
2019/12/5
信号与系统
例：图示反馈系统，求系统函数分析稳定性 Q(s)
2019/12/5
信号与系统
系统函数小结：
系统函数的确定方法
由定义式确定：已知输入信号和零状态响应或冲激响应 由系统数学模型得出 由系统的S域模型求解 由系统的模拟框图确定
系统函数的应用
由系统函数求解系统响应：零状态响应 自由响应、强迫响应、暂态响应、稳态响应的分析 特定情况下零输入响应的确定
若函数有一对非常靠近jω轴的零点，则ω 在零点附近，副频特性出现下陷，相频特性 迅速上升
若系统函数的零、极点远离jω轴，则对频 率响应特性曲线的影响较小，只是大小有所 增减。
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信号与系统
j
2019/12/5
信号与系统
4.10全通系统和最小相移系统
一、全通系统
全通系统是指系统的幅频特性为常数，也就是说对于全 部频率的正弦信号都能按同样的幅度传输系数通过。
H ( j)
K
0
系统的零、极点分布→系统的频率响应特性 零、极点分布特点？？
2019/12/5
信号与系统
全通系统的零、极点分布
•极点在S左半平面，零点在右半平面 •极点数＝零点数，且与虚轴成镜像对称
2019/12/5
信号与系统
幅频特性： 相频特性：
2019/12/5
信号与系统
二、最小相移系统
2019/12/5
信号与系统
例：如图放大器的输入阻抗为无限大，输出信号VO (s)
与差分输入信号V1(s)和V2 (s)之间满足关系式：
Vo (s)
A[V2 (s)
V1(s)]，求：（1）H(s)
Vo (s) V1 ( s)
(2)A满足什么条件，系统稳定？
H ( j) K
j 1 n
( j pi )
i 1
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信号与系统
| H ( j) | K N1N2...Nm
M1M 2 ...M n
() (1 2 ... m ) (1 2 ... n )
由系统零、极点图绘制系统的频率响应特性曲线，包括幅 频特性曲线和相频特性曲线
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信号与系统
2、滤波器的滤波特性
根据幅频特性的不同，可划分成如下几种
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截止频率－－下降3dB的频率点
信号与系统
二、由极、零点分布分析频响特性
m
(s zj )
H(s) K
j 1 n
(s pi )
i 1
s沿虚 轴移动s j源自m ( j z j )
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信号与系统
例：RC高通滤波网络的频响特性 H (s) V2(s) s
V1(s) s 1/ RC
2019/12/5
信号与系统
H (s) s s 1/ Rc
2019/12/5
信号与系统
例：RC低通滤波网络的频响特性 H (s) V2(s) 1/sc 1 1
非最小相移函数＝最小相移函数×全通函数
（系统的串联）
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信号与系统
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信号与系统
4.11 线性系统的稳定性
1、稳定系统
有限（界）激励，产生有限（界）输出，稳定系统 有限（界）激励，产生无限（界）输出，为不稳定系统
r(t) h(t)*e(t) h( )e(t )d
系统的极零点图 确定系统的时域响应特性、系统稳定性分析 绘制系统的幅频响应和相频响应特性曲线，通频特性分析
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信号与系统
作业
4-39(a)(e) 4-42 (b) 4-45
自读4.9节内容 预习 4.12 4.13章节内容
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知识回顾 Knowledge Review
R2 k
s
V1 ( s)
R1
1 sc1
R2
1 sc2
R1c1 (s 1 )(s 1 )
R1c1
R2c2
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信号与系统
1 1 R1C1 R2C2
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信号与系统
小结： (232页)
若函数有一对非常靠近jω轴的极点，则ω 在极点附近，幅频特性出现峰点，相频特性 迅速下降
V1(s) 1/ sc R Rc s 1/ Rc
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信号与系统
H(s) 1 1 Rc s 1/ Rc
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信号与系统
例 ： 二 阶RC滤 波 网 络 的 频 响 特 性 ，图 中k v3为 受 控 电 压源，且R1c1 R2c2
LP
HP
k1
H (s) V2 (s) sc1
4.8由系统函数零、极点分布分析频响特性
一、系统的频响特性
1、频响特性
在正弦信号激励下稳态响应随频率的变化
H( j) H( j) e j()
幅频特性 相频特性
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信号与系统
分析正弦信号e(t) Em sin 0t u(t)激励下系统的响应？
H (s)为稳定系统，极点在左半开平面,自由响应为暂态响应
e(t) Me
r(t) Me h( )d
要 使r(t) 有界，则 h( )d＜
稳定系统的充要条件： h( )d＜
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信号与系统
2、根据系统函数零、极点分布判断稳定性
系统稳定的条件
H(s)全部极点在s左半开平面，稳定 H(s)的极点在右半开平面，或虚轴上有二阶以
E(s) Em0 , s2 02
极点p1,2 j0
稳态响应分量
rss (t) Em H ( j0 ) sin(0t (0 )) H ( j0 ) H ( j0 ) e j (0 )
H ( j) H (s) s j
条件：系统稳定或系统函数 的收敛域包含j轴
考察下列系统的频率特性的区别：
零、极点在左半平面
极点在左半平面
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100
最小相移
50
非最小相移
0
-50
-100
-150
-200
-250
-300
-350
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
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信号与系统
最小相移系统的极零点分布：零点全部分布在S平面 的左半平面或jω轴上。
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例：图示反馈系统，求系统函数分析稳定性 Q(s)
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信号与系统
系统函数小结：
系统函数的确定方法
由定义式确定：已知输入信号和零状态响应或冲激响应 由系统数学模型得出 由系统的S域模型求解 由系统的模拟框图确定
系统函数的应用
由系统函数求解系统响应：零状态响应 自由响应、强迫响应、暂态响应、稳态响应的分析 特定情况下零输入响应的确定
若函数有一对非常靠近jω轴的零点，则ω 在零点附近，副频特性出现下陷，相频特性 迅速上升
若系统函数的零、极点远离jω轴，则对频 率响应特性曲线的影响较小，只是大小有所 增减。
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j
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信号与系统
4.10全通系统和最小相移系统
一、全通系统
全通系统是指系统的幅频特性为常数，也就是说对于全 部频率的正弦信号都能按同样的幅度传输系数通过。
H ( j)
K
0
系统的零、极点分布→系统的频率响应特性 零、极点分布特点？？
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信号与系统
全通系统的零、极点分布
•极点在S左半平面，零点在右半平面 •极点数＝零点数，且与虚轴成镜像对称
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信号与系统
幅频特性： 相频特性：
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二、最小相移系统