数学文化之旅------神奇的斐波那契数列与黄金分割

神奇的斐波那契数列与黄金分割

石家庄二中南校区孟柳

比萨的列奥纳多，又称斐波那契(Leonardo Pisano ,Fibonacci, Leonardo Bigollo，1175年-1250年)，中世纪意大利数学家，是西方第一个研究斐波那契数的人，并将现代书写数和乘数的位值表示法系统引入欧洲。

列奥纳多的父亲Guilielmo(威廉)，外号Bonacci.因此列奥纳多就得到了外号斐波那契(Fibonacci，意即filius Bonacci，Bonacci之子)。1202年，他撰写了《算盘全书》（Liber Abacci）一书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，当时仍是小伙子的列奥纳多已经开始协助父亲工作,因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯等地研究数学。于是他就学会了阿拉伯数字。

他是西方第一个研究斐波那契数的人，并将现代书写数和乘数的位值表示法系统引入欧洲。主要著作有《算盘书》《几何实践》《花朵》《平方数书》

斐波那契在《算盘书》中提出了一个有趣的兔子问题：一般而言，兔子在出生两个月后就具有了繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对兔子，如果兔子都不死，那么一年后能有多少对兔子？

拿新出生的一对兔子研究：

第一个月兔子没有繁殖能力，

两个月后生下一对小兔总数共有两对；

三个月后，老兔子生下又一对，因为上一轮的小兔没有繁殖能力，所以总数是三对；

…………..

1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……

依次类推下去，你会发现，它后一个数等于前面两个数的和。在这个数列中的数字，就被称为斐波那契数。2是第3个斐波那契数。

斐波那契数列还满足一下特点：

1.任一项的平方数都等于与它相邻的两项乘积相差1

2.相邻的4个数，内积与外积相差1

3.前一项与后一项的比大约是0.618

4.后一项比前一项大约是1.618

经研究发现，相邻两个斐波那契数的比值是随序号的增加而逐渐趋于黄金分割比的。即

f(n)/f(n-1)-→0.618…。由于菲波那契数都是整数，两个整数相除之商是有理数，所以只是逐渐逼近黄金分割比这个无理数。但是当我们继续计算出后面更大的菲波那契数时，就会发现相邻两数之比确实是非常接近黄金分割比的。

由此可见斐波那契数列与黄金分割有着密不可分的联系。

在生活中随处可见的斐波那契与黄金分割。

生物：自然界中的斐波那契数列斐波那契数列在自然科学的其他分支，有许多应用。例如，树木的生长，由于新生的枝条，往往需要一段“休息”时间，供自身生长，而后才能萌发新枝。所以，一株树苗在一段间隔，例如一年，以后长出一条新枝；第二年新枝“休息”，老枝依旧萌发；此后，老枝与“休息”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则次年“休息”。这样，一株树木各个年份的枝桠数，便构成斐波那契数列。这个规律，就是生物学上著名的“鲁德维格定律”。另外，观察延龄草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金凤花、耧斗菜、百合花、蝴蝶花的花瓣，可以发现它们花瓣数目具有斐波那契数：3、5、8、13、21、……

许多植物萌生的叶片、枝杈或瓣都按黄金分割的角度伸展：从上往下看时,它们把水平面360°角分为约222.5°和137.5°。（360×0.168=225）。即任意两相邻叶片（枝头或花瓣）都沿这两个角度伸展；这样，它们虽不断轮生，却互不重叠，有利于光合作用。例如蓟草和一些蔬菜的叶片，以及梨树枝、玫瑰花瓣等就是如此。以致有人将此戏称为“生仿”（生物仿人类智慧做黄金分割），这不能不说是生物进化的结果。有的建筑学家还按车前草叶子的排列设计螺旋状大厦，以使每个房间得到充足的阳光照射。

斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。例如，在树木的枝干上选一片叶子，记其为数0，然后依序点数叶子（假定没有折损），直到到达与那些叶子正对的位置，则其间的叶子数多半是斐波那契数。叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循回。叶子在一个循回中旋转的圈数也是斐波那契数。在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为叶序（源自希腊词，意即叶子的排列）比。多数的叶序比呈现为斐波那契数的比。

这些植物懂得斐波那契数列吗？应该并非如此，它们只是按照自然的规律才进化成这样。这似乎是植物排列种子的“优化方式”，它能使所有种子具有差不多的大小却又疏密得当，不至于在圆心处挤了太多的种子而在圆周处却又稀稀拉拉。叶子的生长方式也是如此，对于许多植物来说，每片叶子从中轴附近生长出来，为了在生长的过程中一直都能最佳地利用空间（要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出来，而不是一下子同时出现的），每片叶子和前一片叶子之间的角度应该是222.5度，这个角度称为“黄金角度”，因为它和整个圆周360度之比是黄金分割数0.618033989……

而这种生长方式就决定了斐波那契螺旋的产生。

地理： 地球表面的纬度范围是0——90°，对其进行黄金分割，则34.38°——55.62°正是地球的黄金地带。在平均气温、年日照时数、年降水量、相对湿度等方面都是适于人类生活的最佳地区。这一地区几乎囊括了世界上所有的发达国家。

在地球的北回归线附近有一条神秘地带，以盛产自然之谜著称。如著名的金字塔之谜、死海形成之谜、百慕大三角之谜、圣塔柯斯镇斜立之谜等等在地图上进行一下简单的测量就可以发现，这条地带正好落在地球的黄金分割点处

好茶产地大多位于北纬30度左右。红茶中的极品“祁红”，产地在安徽的祁门，恰好在此纬度上。黄山，庐山，九寨沟等等，及中国三大淡水湖也恰好在这黄金分割的纬度上。

太阳系就处在银河系半径的"黄金分割"处，这是否是地球上产生智能生命的原因呢?

生命：生命及生命能量的周期也遵循黄金分割线的规律。也就是说，所有这些在“斐波那契数列”中出现的数字，都是人生中的大事年份。8岁开始接受学校的熏陶；13岁青春期；21岁开始探索人生，走向社会；34岁前后可以渐渐掌控自我，成家立业；55岁时则已经积累了人生大部分的经验和智慧……这一切看似随机，冥冥中都受着自然规律的引导和限制。

而在组织行为学中，当一个组织人数超过144人左右时，其结构就不再稳定可靠，不便于单一的管理，需要另行成立分支机构，这一点也特别体现在军队的编制上。

医学：医学与0.618有着千丝万缕的联系，它可解释人为什么在环境22至24℃时感觉最舒适。因为人的体温为37℃与0.618的乘积为22.8℃，而且这一温度中机体的新陈代谢、生理节奏和生理功能均处于最佳状态。人在精神愉快时,测出的人脑电波频率下降(8赫兹)与上限(12.9赫兹)的比例,恰好为“黄金

比率”。如果这时去参加竞技或考试,则更能发挥出自身的水平。科学家们还发现，当外界环境温度为人体温度的0.618倍时，人会感到最舒服．现代医学研究还表明，0.618与养生之道息息相关，动与静是一个0.618的比例关系，大致四分动六分静，才是最佳的养生之道。医学分析还发现，饭吃六七成饱的几乎不生胃病。

武器：在冷兵器时代，虽然人们还根本不知道黄金分割率这个概念，但人们在制造宝剑、大刀、长矛等武器时，黄金分割率的法则也早已处处体现了出来，因为按这样的比例制造出来的兵器，用起来会更加得心应手。

当发射子弹的步枪刚刚制造出来的时候，它的枪把和枪身的长度比例很不科学合理，很不方便于抓握和瞄准。到了1918年，一个名叫阿尔文·约克的美远征军下士，对这种步枪进行了改造，改进后的枪型枪身和枪把的比例恰恰符合0.618的比例。

实际上，从锋利的马刀刃口的弧度，到子弹、炮弹、弹道导弹沿弹道飞行的顶点;从飞机进入俯冲轰炸状态的最佳投弹高度和角度，到坦克外壳设计时的最佳避弹坡度，我们也都能很容易地发现黄金分割率无处不在。

战略战役：0.618不仅在武器和一时一地的战场布阵上体现出来，而且在区域广阔、时间跨度长的宏观的战争中，也无不得到充分地展现。

一代枭雄的的拿破仑大帝可能怎么也不会想到，他的命运会与0.618紧紧地联系在一起。1812年6月，正是莫斯科一年中气候最为凉爽宜人的夏季，在未能消灭俄军有生力量的博罗金诺战役后，拿破仑于此时率领着他的大军进入了莫斯科。1941年6月22日，纳粹德国启动了针对苏联的"巴巴罗萨"计划，实行闪电战，在极短的时间里，就迅速占领了的苏联广袤的领土，并继续向该国的纵深推进。在长达两年多的时间里，德军一直保持着进攻的势头，直到1943年8月，"巴巴罗萨"行动结束，德军从此转入守势，再也没能力对苏军发起一次可以称之为战役行动的进攻。被所有战争史学家公认为苏联卫国战争转折点的斯大林格勒战役，就发生在战争爆发后的第17个月，正是德军由盛而衰的26个月时间轴线的黄金分割点。

音乐：钢琴的键盘吧,其上也恰好与斐波那契数列有关. 我们知道在钢琴的键盘上,从一个C 键到下一个 C 键就是音乐中的一个八度音程(如图1) . 其中共包括13 个键,有8 个白键和5 个黑键,而5 个黑键分成 2 组,一组有2 个黑键,一组有3 个黑键.2、3、5、8、13 恰好就是著名的斐波那契数列中的前几个数.

斐波那契螺旋线，也称"黄金螺旋"，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案，是自然界最完美的经典黄金比例。作图规则是在以斐波那契数为边的正方形拼成的长方形中画一个90度的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线,生活中也常见。

无论是自然界中的美，还是人类文明所造就的美，总会发现斐波那契之美的蛛丝马迹，生活中不缺少数学，缺少一双发现数学的眼睛！