2019-2020学年山东省德州市高一下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年山东省德州市高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．已知复数z＝（1﹣i）+m（1+i）是纯虚数，则实数m＝（）A．﹣2B．﹣1C．0D．12．“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[0，10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高，现随机抽取6位小区居号，他们的幸福感指数分别为5，6，7，8，9，5，则这组数据的第80百分位数是（）A．7B．7.5C．8D．93．设α为平面，a、b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是（）A．若a∥α，b∥α，则a∥b B．若a⊥α，a∥b，则b⊥αC．若a⊥α，a⊥b，则b∥αD．若a∥α，a⊥b，则b⊥α4．已知在平行四边形ABCD中，点M、N分别是BC、CD的中点，如果＝，＝，那么向量＝（）A．B．C．D．5．已知圆锥的表面积为3π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（）A．B．C．D．6．《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事．其中，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．若双方各自拥有上等马、中等马、下等马各1匹，且双方各自随机选1匹马进行1场比赛，则田忌的马获胜的概率为（）A．B．C．D．7．如图所示，为了测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C作为测量基点，从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°，∠MAC＝75°，从C点测得∠MCA＝60°．已知山高BC＝500m，则山高MN（单位：m）为（）A．750B．750C．850D．8508．如图，在平面直角坐标系xOy中，原点O为正八边形P1P2P3P4P5P6P7P8的中心，P1P8⊥x轴，若坐标轴上的点M（异于点O）满足＝（其中1≤i，j≤8，且i，j∈N*），则满足以上条件的点M的个数为（）A．2B．4C．6D．8二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．已知复数z满足（1﹣i）z＝2i，则下列关于复数z的结论正确的是（）A．B．复数z的共轭复数为＝﹣1﹣iC．复平面内表示复数z的点位于第二象限D．复数z是方程x2+2x+2＝0的一个根10．某市教体局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了100名学生，他们的身高都处在A，B，C，D，E五个层次内，根据抽样结果得到统计图表，则下面叙述正确的是（）A．样本中女生人数多于男生人数B．样本中B层人数最多C．样本中E层次男生人数为6人D．样本中D层次男生人数多于女生人数11．已知事件A，B，且P（A）＝0.5，P（B）＝0.2，则下列结论正确的是（）A．如果B⊆A，那么P（A∪B）＝0.2，P（AB）＝0.5B．如果A与B互斥，那么P（A∪B）＝0.7，P（AB）＝0C．如果A与B相互独立，那么P（A∪B）＝0.7，P（AB）＝0D．如果A与B相互独立，那么P（）＝0.4，P（A）＝0.412．如图，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，则下列四个命题正确的是（）A．若点M，N分别是线段A′A，A′D′的中点，则MN∥BC′B．点C到平面ABC′D′的距离为C．直线BC与平面ABC′D′所成的角等于D．三棱柱AA′D′﹣BB′C′的外接球的表面积为3π三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且b cos C+c cos B＝a sin A，则A ＝．14．已知数据x1，x2，x3，…，x n的平均数为10，方差为2，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，2x3﹣1…，2x n﹣1的平均数为，方差为．15．已知||＝3，||＝2，（+2）•（﹣3）＝﹣18，则与的夹角为．16．如图，在三棱锥V﹣ABC中，AB＝2，VA＝VB，AC＝BC，VC＝1，且AV⊥BV，AC⊥BC，则二面角V﹣AB﹣C的余弦值是．四.解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知向量＝（1，2），＝（4，﹣3）．（1）若向量∥，且||＝2，求的坐标；（2）若向量+k与﹣k互相垂直，求实数k的值．18．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且a＝，c＝1，．（1）求b及△ABC的面积S；（2）若D为BC边上一点，且，______，求∠ADB的正弦值．从①AD＝1，②∠CAD＝这两个条件中任选一个，补充在上面问题中，并作答．19．在四面体A﹣BCD中，点E，F，M分别是AB，BC，CD的中点，且BD＝AC＝2，EM＝1．（1）求证：EF∥平面ACD；（2）求异面直线AC与BD所成的角．20．溺水、校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队3人，每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分．在竞赛中，甲、乙两个中学代表队狭路相逢，假设甲队每人回答问题正确的概率均为，乙队每人回答问题正确的概率分别为，且两队各人回答问题正确与否相互之间没有影响．（1）分别求甲队总得分为3分与1分的概率；（2）求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率．21．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．（1）求证：平面BDE⊥平面PAC；（2）当PA∥平面BDE时，求三棱锥P﹣BDE的体积．22．2020年开始，山东推行全新的高考制度，新高考不再分文理科，采用“3+3”模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还需要依据想考取的高校及专业要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每科满分100分，2020年初受疫情影响，全国各地推迟开学，开展线上教学．为了了解高一学生的选科意向，某学校对学生所选科目进行线上检测，下面是100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩，以组距20分成7组：[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]，画出频率分布直方图如图所示．（1）求频率分布直方图中a的值；（2）由频率分布直方图；（i）求物理、化学、生物三科总分成绩的中位数；（ii）估计这100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）为了进一步了解选科情况，由频率分布直方图，在物理、化学、生物三科总分成绩在[220，240）和[260，280）的两组中，用分层随机抽样的方法抽取7名学生，再从这7名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生来自不同组的概率．参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z＝（1﹣i）+m（1+i）是纯虚数，则实数m＝（）A．﹣2B．﹣1C．0D．1解：∵z＝（1﹣i）+m（1+i）＝（m+1）+（m﹣1）i是纯虚数，∴，解得m＝﹣1．故选：B．2．“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[0，10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高，现随机抽取6位小区居号，他们的幸福感指数分别为5，6，7，8，9，5，则这组数据的第80百分位数是（）A．7B．7.5C．8D．9解：该组数据从小到大排列为：5，5，6，7，8，9．且6×80%＝4.8，所以这组数据的第80百分位数是8．故选：C．3．设α为平面，a、b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是（）A．若a∥α，b∥α，则a∥b B．若a⊥α，a∥b，则b⊥αC．若a⊥α，a⊥b，则b∥αD．若a∥α，a⊥b，则b⊥α解：若a∥α，b∥α，则a与b相交、平行或异面，故A错误；若a⊥α，a∥b，则由直线与平面垂直的判定定理知b⊥α，故B正确；若a⊥α，a⊥b，则b∥α或b⊂α，故C错误；若a∥α，a⊥b，则b∥α，或b⊂α，或b与α相交，故D错误．故选：B．4．已知在平行四边形ABCD中，点M、N分别是BC、CD的中点，如果＝，＝，那么向量＝（）A．B．C．D．解：如图，∵＝，＝，且M、N分别是BC、CD的中点，∴＝．故选：B．5．已知圆锥的表面积为3π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（）A．B．C．D．解：设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线长为l，由πl＝2πr，得l＝2r，又S＝πr2+πr•2r＝3πr2＝3π，所以r2＝1，解得r＝1；所以圆锥的高为h＝＝＝，所以圆锥的体积为V＝πr2h＝π×12×＝π．故选：A．6．《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事．其中，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．若双方各自拥有上等马、中等马、下等马各1匹，且双方各自随机选1匹马进行1场比赛，则田忌的马获胜的概率为（）A．B．C．D．解：田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．若双方各自拥有上等马、中等马、下等马各1匹，且双方各自随机选1匹马进行1场比赛，基本事件总数n＝3×3＝9，分别为：田忌的上等马对阵齐王的上等马，田忌的上等马对阵齐王的中等马，田忌的上等马对阵齐王的下等马，田忌的中等马对阵齐王的上等马，田忌的中等马对阵齐王的中等马，田忌的上等马对阵齐王的下等马，田忌的下等马对阵齐王的上等马，田忌的下等马对阵齐王的中等马，田忌的下等马对阵齐王的下等马，田忌的马获胜包含的基本事件有3种情况，分别为：田忌的上等马对阵齐王的中等马，田忌的上等马对阵齐王的下等马，田忌的中等马对阵齐王的下等马，则田忌的马获胜的概率为P＝．故选：C．7．如图所示，为了测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C作为测量基点，从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°，∠MAC＝75°，从C点测得∠MCA＝60°．已知山高BC＝500m，则山高MN（单位：m）为（）A．750B．750C．850D．850解：在Rt△ABC中，∠CAB＝45°，BC＝500m，所以AC＝500m；在△AMC中，∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，从而∠AMC＝45°，由正弦定理得，＝，因此AM＝500×＝500m；在Rt△MNA中，AM＝500m，∠MAN＝60°，由＝sin60°，得MN＝500×＝750m．故选：A．8．如图，在平面直角坐标系xOy中，原点O为正八边形P1P2P3P4P5P6P7P8的中心，P1P8⊥x轴，若坐标轴上的点M（异于点O）满足＝（其中1≤i，j≤8，且i，j∈N*），则满足以上条件的点M的个数为（）A．2B．4C．6D．8解：坐标轴上的点M（异于点O）满足++＝（其中1≤i，j≤8，且i，j∈N*），是指任意两个以O和正八边形的顶点构成的向量的和向量落在坐标轴上，又每个（1≤i≤8，i∈N*）均存在与之关于x轴和y轴对称的向量各一个，且重复一次，∴满足以上条件的点M的个数有：＝8个，故选：D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．已知复数z满足（1﹣i）z＝2i，则下列关于复数z的结论正确的是（）A．B．复数z的共轭复数为＝﹣1﹣iC．复平面内表示复数z的点位于第二象限D．复数z是方程x2+2x+2＝0的一个根解：由（1﹣i）z＝2i，得z＝．∴|z|＝；，复平面内表示复数z的点的坐标为（﹣1，1），位于第二象限；∵（﹣1﹣i）2+2（﹣1﹣i）+2＝2i﹣2﹣2i+2＝0，∴复数z是方程x2+2x+2＝0的一个根．故选：ABCD．10．某市教体局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了100名学生，他们的身高都处在A，B，C，D，E五个层次内，根据抽样结果得到统计图表，则下面叙述正确的是（）A．样本中女生人数多于男生人数B．样本中B层人数最多C．样本中E层次男生人数为6人D．样本中D层次男生人数多于女生人数解：由女生频数直方图可知女生人数为：9+24+15+9+3＝60，则男生人数为100﹣60＝40，则A对；由图可知：女生人数中B层的人最多，男生人数中B层的人最多，则总人数中B层的人最多，B对；可求出E层为（1﹣0.1﹣0.3﹣0.25﹣0.2）×40＝6人，C对；样本中D层次男生人数为40×20%＝8，样本中D层次女生人数为9，D错，故选：ABC．11．已知事件A，B，且P（A）＝0.5，P（B）＝0.2，则下列结论正确的是（）A．如果B⊆A，那么P（A∪B）＝0.2，P（AB）＝0.5B．如果A与B互斥，那么P（A∪B）＝0.7，P（AB）＝0C．如果A与B相互独立，那么P（A∪B）＝0.7，P（AB）＝0D．如果A与B相互独立，那么P（）＝0.4，P（A）＝0.4解：由事件A，B，且P（A）＝0.5，P（B）＝0.2，知：对于A，如果B⊆A，那么P（A∪B）＝0.5，P（AB）＝0.2，故A错误；对于B，如果A与B互斥，那么P（A∪B）＝P（A）+P（B）＝0.7，P（AB）＝0，故B正确；对于C，如果A与B相互独立，那么P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB）＝0.5+0.2﹣0.5×0.2＝0.6，P（AB）＝P（A）P（B）＝0.5×0.2＝0.1，故C错误；对于D，如果A与B相互独立，那么P（）＝P（）P（）＝（1﹣0.5）×（1﹣0.2）＝0.4，P（A）＝P（A）P（）＝0.5×（1﹣0.2）＝0.4，故D正确．故选：BD．12．如图，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，则下列四个命题正确的是（）A．若点M，N分别是线段A′A，A′D′的中点，则MN∥BC′B．点C到平面ABC′D′的距离为C．直线BC与平面ABC′D′所成的角等于D．三棱柱AA′D′﹣BB′C′的外接球的表面积为3π解：正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，对于选项A：因为点M，N分别是线段A′A，A′D′的中点，则MN∥AD′，且AD′∥BC′，故MN∥BC′，故A正确；对于选项B：点C到面ABC′D′的距离为B′C长度的一半，即h＝，故选项B错误；对于选项C：直线BC与平面ABC′D′所成的角即为∠CBC′等于，故C正确；对于选项D：三棱柱AA′D′﹣BB′C′外接球半径r＝＝，故其外接球表面积S＝4πr2＝4π×＝3π，故D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且b cos C+c cos B＝a sin A，则A＝．解：∵b cos C+c cos B＝a sin A，∴sin B cos C+sin C cos B＝sin（B+C）＝sin A＝sin2A，∵sin A≠0，∴sin A＝1，∴由于A为三角形内角，可得A＝．故答案为：．14．已知数据x1，x2，x3，…，x n的平均数为10，方差为2，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，2x3﹣1…，2x n﹣1的平均数为19，方差为8．解：∵样本数据x1，x2，x3，…x n的平均数是10，方差是2，∴＝（x1+x2+x3+…+x n）＝10，s2＝[（x1﹣10）2+（x2﹣10）2+（x3﹣10）2+…+（x n﹣10）2]＝2；∴数据2x1﹣1，2x2﹣1，2x3﹣1，…，2x n﹣1的平均数是＝[（2x1﹣1）+（2x2﹣1）+（2x3﹣1）+…+（2x n﹣1）]＝2×（x1+x2+x3+…+x n）﹣1＝19，方差是s′2＝{[（2x1﹣1）﹣19]2+…+[（2x n﹣1）﹣19]2}＝22•[（x1﹣10）2+（x2﹣10）2+（x3﹣10）2+（x n﹣10）2]＝4×2＝8．故答案为：19，8．15．已知||＝3，||＝2，（+2）•（﹣3）＝﹣18，则与的夹角为．解：（+2）•（﹣3）＝2﹣﹣62＝9﹣3×2×cos＜＞﹣6×4＝﹣18，解得cos＜＞＝，故与的夹角为，故答案为：．16．如图，在三棱锥V﹣ABC中，AB＝2，VA＝VB，AC＝BC，VC＝1，且AV⊥BV，AC⊥BC，则二面角V﹣AB﹣C的余弦值是．解：取AB的中点M，连接VM、CM，∵VA＝VB，AV⊥BV，∴VM⊥AB，VM＝AB＝，∵AC＝BC，AC⊥BC，∴CM⊥AB，CM＝AB＝，∴∠VMC为二面角V﹣AB﹣C的平面角．在△VMC中，由余弦定理知，cos∠VMC＝＝＝．∴二面角V﹣AB﹣C的余弦值是．故答案为：．四.解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知向量＝（1，2），＝（4，﹣3）．（1）若向量∥，且||＝2，求的坐标；（2）若向量+k与﹣k互相垂直，求实数k的值．解：（1）∵向量＝（1，2），＝（4，﹣3），向量∥，可设＝（λ，2λ），∵||＝2，∴λ2+4λ2＝20，∴λ＝±2，∴＝（2，4），或＝（﹣2，﹣4）．（2）若向量+k与﹣k互相垂直，则（+k）•（﹣k）＝﹣k2＝25﹣k2•5＝0，∴k＝±．18．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且a＝，c＝1，．（1）求b及△ABC的面积S；（2）若D为BC边上一点，且，______，求∠ADB的正弦值．从①AD＝1，②∠CAD＝这两个条件中任选一个，补充在上面问题中，并作答．解：（1）∵a＝，c＝1，．∴由余弦定理可得（）2＝b2+12﹣2b cos，整理可得b2+b﹣6＝0，解得b＝2，或﹣3（舍去），∴S△ABC＝bc sin A＝＝．（2）若选①，当AD＝1时，在△ABC中，由正弦定理，可得，可得sin B＝，∵AD＝AB＝1，∴∠ADB＝∠B，可得sin∠ADB＝sin∠B，∴sin∠ADB＝．若选②，当∠CAD＝时，在△ABC中，由余弦定理可得cos B＝＝，∵A＝，∴∠BAD＝﹣＝，∴sin∠ADB＝cos B，可得sin∠ADB＝．19．在四面体A﹣BCD中，点E，F，M分别是AB，BC，CD的中点，且BD＝AC＝2，EM＝1．（1）求证：EF∥平面ACD；（2）求异面直线AC与BD所成的角．解：（1）证明：∵点E，F分别是AB，BC的中点，∴EF∥AC，∵EF⊄平面ACD，AC⊂平面ACD，∴EF∥平面ACD．（2）解：∵点E，F，M分别是AB，BC，CD的中点，∴EF∥AC，FM∥BD，∴∠EFM是异面直线AC与BD所成的角（或所成角的补角），在△EFM中，EF＝FM＝EM＝1，∴△EFM是等边三角形，∴∠EFM＝60°，∴异面直线AC与BD所成的角为60°．20．溺水、校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队3人，每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分．在竞赛中，甲、乙两个中学代表队狭路相逢，假设甲队每人回答问题正确的概率均为，乙队每人回答问题正确的概率分别为，且两队各人回答问题正确与否相互之间没有影响．（1）分别求甲队总得分为3分与1分的概率；（2）求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率．解：（1）记“甲队总得分为3分”为事件A，记“甲队总得分为1分”为事件B，甲队得3分，即三人都回答正确，其概率为P（A）＝＝，甲队得1分，即三人中只有1人回答正确，其余两人都答错，其概率为P（B）＝+（1﹣）×+（1﹣）×＝．∴甲队总得分为3分与1分的概率分别为，．（2）记“甲队得分为2分”为事件C，记“乙队得分为1分”为事件D，事件C即甲队三人中有2人答对，其余1人答错，则P（C）＝+（1﹣）×＝，事件D即乙队3人中只有1人答对，其余2人答错，则P（D）＝×＝，由题意得事件C与事件D相互独立，∴甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率：P（CD）＝P（C）P（D）＝＝．21．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．（1）求证：平面BDE⊥平面PAC；（2）当PA∥平面BDE时，求三棱锥P﹣BDE的体积．解：（1）证明：∵PA⊥AB，PA⊥BC，∴PA⊥面ABC，又∵BD⊂面ABC，∴PA⊥BD，又AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，∴BD⊥AC，∴BD⊥面PAC，又∵BD⊂面BDE，∴平面BDE⊥平面PAC；（2）∵PA∥平面BDE，平面PAC∩平面BDE＝ED，∴ED∥PA，∵D为AC中点，∴E为PC中点，∴V P﹣BDE＝V A﹣BDE＝＝＝＝＝．故三棱锥P﹣BDE的体积为．22．2020年开始，山东推行全新的高考制度，新高考不再分文理科，采用“3+3”模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还需要依据想考取的高校及专业要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每科满分100分，2020年初受疫情影响，全国各地推迟开学，开展线上教学．为了了解高一学生的选科意向，某学校对学生所选科目进行线上检测，下面是100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩，以组距20分成7组：[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]，画出频率分布直方图如图所示．（1）求频率分布直方图中a的值；（2）由频率分布直方图；（i）求物理、化学、生物三科总分成绩的中位数；（ii）估计这100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）为了进一步了解选科情况，由频率分布直方图，在物理、化学、生物三科总分成绩在[220，240）和[260，280）的两组中，用分层随机抽样的方法抽取7名学生，再从这7名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生来自不同组的概率．解：（1）由（0.0025+0.0095+0.011+0.0125+0.0075+a+0.0025）×20＝1，解得a＝0.005．（2）（i）∵（0.002+0.0095+0.011）×20＝0.45＜0.5，∴三科总分成绩的中位数在[220，240）内，设中位数为x，则（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（x﹣220）＝0.5，解得x＝224，即中位数为224．（ii）三科总分成绩的平均数为：170×0.04+190×0.19+210×0.22+230×0.25+250×0.15+270×0.1+290×0.05＝225.6．（3）三科总分成绩在[220，240），[260，280）两组内的学生分别为25人，10人，∴抽样比为＝，∴三科总分成绩在[220，240），[260，280）两组内抽取的学生数量分别为：25×＝5人，10×＝2人，设事件A表示“抽取的这2名学生来自不同组”，从这7名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，基本事件总数n＝，事件A包含的基本事件个数m＝＝10，∴抽取的这2名学生来自不同组的概率P（A）＝．。
2019-2020学年山东省德州市高一下学期期末数学试题(解析版) (1)
2019-2020学年山东省德州市高一下学期期末数学试题一、单选题1．已知i 是虚数单位，(1)2z i i +=，则复数z 所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【分析】利用复数的运算法则求解复数z ，再利用共轭复数的性质求z ，进而确定z 所对应的点的位置. 【详解】由(1)2z i i +=， 得()()()()2121211112i i i i z i i i i -+====+++-， 所以1z i =-，所以复数z 所对应的点为()1,1-，在第四象限， 故选：D.【点睛】对于复数的乘法，类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可；对于复数的除法，关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式.2． sin 70cos 25sin 20sin 25-的值为（ ）A ．1-B ．CD ．1【答案】C【分析】先利用诱导公式再利用两角差的正弦公式化简可得答案.【详解】 sin 70cos 25sin 20sin 25sin 70cos 25cos70sin 25-=-()2sin 7025sin 452=-==. 故选：C.3．若圆锥的轴截面是顶角为120的等腰三角形，且圆锥的母线长为2，则该圆锥的侧面积为（ ）A B ．2πC ．D ．【答案】C【分析】由已知求出圆锥的底面半径，根据侧面积公式可得答案.【详解】如图圆锥的轴截面是顶角为120，即60APO ∠=，2AP =，90POA ∠=, 所以3AO =，所以圆锥的侧面积为23AO PA ππ⨯⨯=. 故选：C.4．25202520tan tan tan tan +︒+︒=（ ） A ．1 B ．3C 3D ．-1【答案】A【分析】利用两角和的正切公式化简求解即可. 【详解】2520tan 45121520tan tan tan tan +︒︒=-︒=，252021250tan tan tan tan +︒=︒∴-，故252025201252025201tan tan tan tan tan tan tan tan +︒+︒=-︒+︒=； 故选：A.5．一个正三棱锥的底面边长是66 ） A ．23B ．36C ．32D ．3【答案】D【分析】画出正三棱锥A BCD -的图像，得到底面正三角形的中心O 到正三角形的CD 的距离，再利用勾股定理求斜高即可.【详解】正三棱锥A BCD -的底面边长6BC CD DB ===, 高6AO =，所以底面正三角形的中心O到正三角形的CD 的距离为31633OH =⨯⨯=， 故正三棱锥的斜高22633AH AO OH =+=+=；故选：D.6．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当扇形的圆心角的弧度数为()35π-时，扇面看上去形状较为美观，那么此时12S S 的值为（ ）A 51- B ．51+ C 35D ．35【答案】A【分析】由题意知1S 与2S 之比即为各扇形圆心角之比，根据扇形圆心角弧度数可求剩余部分圆心角弧度数，进而可求比值.【详解】由扇形的圆心角的弧度数为(35π， 可知剩余部分圆心角弧度数为(()23551πππ-=，故) ()12355151SSππ--==-，故选：A.7．已知sin4sin2()ππαα⎛⎫=+⎝+⎪⎭，则2sin22sinαα+=（）A．4017B．3617C．3217D．2417【答案】D【分析】由条件可得sin4cosαα=-，又由22222sin cos2sinsin22sinsin cosααααααα++=+可得答案.【详解】由in4(s2)sinπααπ⎛⎫=+⎪⎝⎭+可得sin4cosαα-=，即sin4cosαα=-()()2222 2222222224cos cos24cossin22sin2sin cos2sin24cos24 sin22sinsin cos sin cos17cos174cos cosαααααααααααααααααα-⨯⨯+-+++=====++-+故选：D8．《九章算术》是我国古代数学名著﹐它在几何学中的研究比西方早1000多年.在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图P ABCD-是阳马，PA⊥平面,5,3ABCD PA AB==，4BC=.则该阳马的外接球的表面积为（）A．12523πB．50πC．100πD．5003π【答案】B【分析】连接AC，BD，交于1O，取PC中点O，连接1OO，则可证明1OO⊥平面ABCD，即O为该四棱锥的外接球的球心，在Rt PAC△中，求得PC的值，进而可求得外接球半径R，代入公式，即可求得答案.【详解】连接AC，BD，交于1O，取PC中点O，连接1OO，如图所示因为1,O O 分别为PC ，AC 的中点， 所以1//OO PA ， 又PA ⊥平面ABCD ， 所以1OO ⊥平面ABCD ，所以O 到A,B,C,D 的距离都相等，又PO OC ，所以O 为该四棱锥的外接球的球心， 在Rt PAC △中，5PA =，2222345AC AB BC ++=，所以22225552PC PA AC =+=+=所以该四棱锥的外接球的半径5222PC R ==， 所以该阳马的外接球的表面积22524450S R πππ==⨯=⎝⎭. 故选：B 二、多选题9．下列函数中，周期为π，且在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数的是（ ）A ．tan 6y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．tan 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】AD【分析】求出周期和单调递增区间2,33k x k k Z ππππ-+<<+∈可判断A ；求出周期为π2可判断B ；求出周期和单调递增区间27,36k x k k Z ππππ+≤≤+∈，可判断C ；求出周期和单调递增区间,63k x k k Z ππππ-≤≤+∈，可判断D.【详解】对于A ，函数tan 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的周期为π，单调递增区间为,262k x k k Z πππππ-+<+<+∈，即2,33k x k k Z ππππ-+<<+∈， 当0k =时单调递增区间为233x ππ-<<，所以在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，符合题意，正确； 对于B ，函数tan 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的周期为π2，不合题意，故错误；对于C ，函数cos 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的周期为π，单调递增区间为2222,3k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，即27,36k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 1k =-时单调递增区间为36x ππ-≤≤，所以在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上不是增函数，不合题意，错误；对于D ，函数sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的周期为π，单调递增区间为222,262k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，即,63k x k k Z ππππ-≤≤+∈，0k =时单调递增区间为63x ππ-≤≤，所以在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数，符合题意.故选：AD.【点睛】本小题主要考查三角函数的周期性和单调性，解题关键点是熟练掌握三角函数的基本性质、基础知识，属于基础题.10．函数()()sin (0f x A x ωϕω=+>且)ϕπ<在一个周期内的图像如图所示，下列结论正确的是（ ）A ．2ω=B ．()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．433f π⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．()2cos 26x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】AC【分析】根据函数图象先求出函数()f x 的解析式，再对选项进行逐一判断即可得出答案. 【详解】由函数()()sin (0f x A x ωϕω=+>且)ϕπ<的图象可得：252,21212A T ππππω⎡⎤⎛⎫===--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,所以2ω= ，故选项A 正确. 即()()2sin 2f x x ϕ=+，由22126f sin ππϕ⎛⎫-=-+= ⎛⎫ ⎪⎝⎪⎭⎭⎝ 所以2,62k k Z ππϕπ-+=+∈,则22,3k k Z πϕπ=+∈，又ϕπ< 所以23ϕπ=所以()22sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以选项B 不正确.所以4821022sin 2sin 2sin 33333f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==-=⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C 正确. 又()222sin 22cos 22cos 22cos 232366f x x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=--=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦, 所以D 不正确. 故选：AC【点睛】关键点睛：本题考查根据函数()()f x Asin x ωϕ=+图象求出函数解析式，解答本题的关键是先根据图象求出振幅A ,由周期求出ω,再根据特殊值求出ϕ的值，即252,21212A T ππππω⎡⎤⎛⎫===--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，22126f sin ππϕ⎛⎫-=-+= ⎛⎫ ⎪⎝⎪⎭⎭⎝，属于中档题. 11．已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不重合的平面，则下列结论正确的是（ ） A ．若,//m n n α⊥，则m α⊥ B ．若,,m n αβαβ⊥⊥⊥，则m n ⊥C ．若,,,m n m αβαβ⊥⋂=⊥则n β⊥D ．若,m n αα⊂⊂，且m 与n 不平行，//,//,m n ββ则//αβ 【答案】BD【分析】结合空间线面位置关系及平行垂直的判定与性质定理对选项进行分别判断. 【详解】A ：若,//m n n α⊥，则m 与α平行或相交或m α⊂，A 选项错误；B ：因为,ααβ⊥⊥m ，所以//m β或m β⊂，又n β⊥，所以m n ⊥，B 选项正确；C ：若,,,m n m αβαβ⊥⋂=⊥则n 与β相交或平行或n β⊂，C 选项错误；D ：若一个平面内两条相交直线都平行与另一个平面，则这两个平面平行，D 选项正确； 故选：BD.12．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()()(::5:)4:6b c c a a b +++=，下列结论正确的是（ ）A ．::7:5:3sinA sinB sinC = B ．0AB AC ⋅>C ．若6c =，则ABC 的面积是D ．若8+=b c ，则ABC 【答案】ACD【分析】先利用已知条件设4,5,6b c k c a k a b k +=+=+=，进而得到 3.5, 2.5, 1.5a k b c k ===，利用正弦定理可判定选项A ；利用向量的数量积公式可判断选项B ；利用余弦定理和三角形的面积公式可判定选项C ；利用余弦定理和正弦定理可判断选项D. 【详解】依题意，设4,5,6b c k c a k a b k +=+=+=， 所以 3.5, 2.5, 1.5a k b c k ===，由正弦定理得：::::7:5:3sinA sinB sinC a b c ==， 故选项A 正确；222222cos 22b c a b c a AB AC bc A bc bc +-+-⋅==⨯=222222.5 1.5 3.515028k k +-==-<，故选项B 不正确；若6c =，则4k =， 所以14,10a b ==，所以222106141cos 21062A +-==-⨯⨯，所以sin 2A =，故ABC 的面积是：11sin 61022bc A =⨯⨯= 故选项C 正确；若8+=b c ，则2k =， 所以7,5,3a b c ===，所以2225371cos 2532A +-==-⨯⨯，所以sin A =， 则利用正弦定理得：ABC 的外接圆半径是：12sin 3a A ⨯=， 故选项D 正确； 故选：ACD.【点睛】关键点睛：本题主要考查正余弦定理以及三角形面积公式. 利用已知条件设4,5,6b c k c a k a b k +=+=+=，再利用正余弦定理以及三角形面积公式求解是解决本题的关键.三、填空题 13．若复数3412iz i-=+则z =________________________．【分析】利用复数的除法运算法则化简，然后求解复数的模． 【详解】复数z 满足34(34)(12)5101212(12)(12)5i i i iz i i i i -----====--++-．则||z ==故答案为：5；14．如图，在矩形OACB中，,E F分别为AC和BC上的中点，若OC mOE nOF=+，其中,,m n R∈则m n+的值为_______．【答案】43【分析】由平面向量的线性运算，化简得到2233OC OA OB OE OF=+=+，即可求解,m n的值得到答案．【详解】由题意，OC OA OB=+，因为12OF OB BF OB OA=+=+,12OE OA AE OA OB=+=+,所以两式相加得，()()133222OF OE OA OB OA OB OA OB OC+=+++=+=,所以2233OC OF OE=+，得23m n==，所以43m n+=，故答案为：43．【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算，以及平面向量的基本定理的应用，其中解答中根据平面向量的基本定理，合理进行向量的线性运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．15．已知函数()()()3212cos1,244xf x xg xππ-⎛⎫=--=⎪⎝⎭，若()f x与()g x的图象的交点分别为()()()1122,,,,,,n nx y x y x y⋯，则()1ni iix y=+=∑_________．【答案】5【分析】在同一坐标系中作出()f x与()g x的图象，得到交点的个数，再根据()f x与()g x的图象的都关于点()1,0对称求解.【详解】函数()22cos 1cos sin 242f x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫=--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 在同一坐标系中作出()f x 与()g x 的图象，如图所示：当3x ≥时，()21g x ≥>，且()g x 为增函数，当1x ≤-时，()21g x ≤-<-，且()g x 为增函数，所以由图知：()f x 与()g x 的图象有5个交点，又因为()f x 与()g x 的图象的都关于点()1,0对称，所以()555111505i i ii i i i x y x y ===+=+=+=∑∑∑故答案为：5四、双空题16．如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，1AB 与平面ABCD 所成角的大小为______________．二面角111B AC B --的正切值为___________【答案】4π 2【分析】由题意知1AA ⊥平面ABCD ，所以1A BA ∠即为1A B 与平面ABCD 所成角，在1A BA 中求1A BA ∠即可；连接11B D ，交11AC 于点O ，连接OB ，故11OB AC ⊥，所以1BOB ∠即为二面角111B AC B --的平面角.【详解】由题意知1AA ⊥平面ABCD ，所以1A BA ∠即为1A B 与平面ABCD 所成角，又1AB AA =，190AAB ∠=︒， 所以145ABA ∠=︒，即1A B 与平面ABCD 所成角的大小为4π； 如图，连接11B D ，交11AC 于点O ，连接OB ，则1111B D AC ⊥，又11A B C B =，11OAOC =， 所以11OB AC ⊥，所以1BOB ∠即为二面角111B AC B --的平面角；因为1BB ⊥平面1111D C B A ，所以11BB OB ⊥，所以190OB B ∠=︒,又1111111222OB B D A B BB ===,所以111tan BB BOB OB ∠==故答案为：4π【点睛】(1)求直线与平面所成的角的一般步骤：①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解．(2)作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．五、解答题17．已知向量,,a b c 在同一平面上，且(2,1)a =-.（1）若//a c ，且25c =，求向量c 的坐标﹔（2）若()3,2b =，且ka b -与2a b +垂直，求k 的值.【答案】（1）(105,5c =-或(105,c =-；（2）223k =-. 【分析】（1）由条件设(2),c a λλλ-==()225λ-+=，求出λ，即可得出答案.(2)由条件可得()23,2ka b k k -=---，()24,5a b +=，则()()20ka b a b -⋅+=，由此可得答案.【详解】（1）//a c ，设(2),c a λλλ-==25c =25= 25=.λ∴=，λ∴=±(105,5c =-或(105,c =-.（2）()23,2ka b k k -=---，()24,5a b +=()()2ka b a b -⊥+，()()20ka b a b ∴-⋅+=，即423()20)(5k k -+--=即322,k -=则223k =-18．已知33542cos a a πππ⎛⎫⎛⎫=<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+（1）求cosa 的值;（2）求24sin cos aa π-⎛⎫ ⎪⎝⎭的值. 【答案】（1）（2）85-. 【分析】（1）先利用已知条件求出37244πππα<+<，进而得到sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，最后利用两角差的余弦公式求解即可；（2）直接利用二倍角公式，两角差的正弦公式以及辅助角公式化简求解即可.【详解】解：（1）350,547444cos ππππαα⎛⎫++< <⎪⎝⎭=>， 37244πππα∴<+<， 4sin 45πα⎛⎫∴+=- ⎪⎝⎭，4cos sin 2444cos cos ππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎡⎭⎣⎦⎤∴==⎢⎥⎣⎦3455⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=； ()222242sin cos a a π⎛⎫ ⎝⎭⎪=-)sin cos a a =+2sin 4a π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 85=-. 19．如图，已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60,ABC PA ∠=︒⊥平面,,ABCD E F 分别为,BC PA 的中点.（1）求证:AE PD ⊥;（2）求证://EF 平面PCD .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）连AC ，利用已知条件可得AE BC ⊥，PA AE ⊥，进而得到AE AD ⊥，再利用线面垂直的判定定理得到AE ⊥面PAD ，即可得出结论；（2）取PD 的中点M ，连,FM MC ，利用已知条件得到四边形FECM 是平行四边形，进而得到//EF MC ，再利用线面平行的判定定理即可得出结果. 【详解】证明：（1）连AC ，60ABC ∠=，底面ABCD 为菱形，ABC ∴是等边三角形，BE EC =，AE BC ∴⊥，又//BC AD ，AE AD ∴⊥，又PA ⊥面,ABCD AE ⊂面ABCD ，PA AE ∴⊥，PA AD A ⋂=，AE ∴⊥面,PAD PD ⊂面PAD ，AE PD ∴⊥.()2取PD 的中点M ，连,FM MC ，PF FA =， 所以11//,22FM AD FM AD =， 又11//,22EC AD EC AD =， //,FM EC FM EC ∴=，∴四边形FECM 是平行四边形，//EF MC ∴，又EF ⊄面,PCD MC ⊂面PCD ，//EF ∴面PCD .20．在条件①向量(2,)m a c b =-与向量(),n cosC cosB =共线;②;2A C csin bsinC +=③22()sinA sinC sinB sinAsinC -=-中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，13,7b a c =+=且满足_ .求三角形的面积. (注:如选择多个条件分别解答﹐按第一个解答计分.) 【答案】33ABC S =【分析】若选①，根据向量共线，可得)2(0a c cosB bcosC --=，利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式，即可求得12cosB =，根据角B 的范围，即可求得角B 的值，根据余弦定理，可求得ac 的值，代入面积公式，即可求得答案；若选②，利用正弦定理边化角，结合二倍角公式，即可求得2B sin 的值，即可求得角B 的值，根据余弦定理，可求得ac 的值，代入面积公式，即可求得答案；若选③：根据正弦定理角化边，结合余弦定理，即可求得角B 的值，根据余弦定理，可求得ac 的值，代入面积公式，即可求得答案.【详解】解:若选①向量(2,)m a c b =-与向量(),n cosC cosB =共线，()20a c cosB bcosC -∴-=由正弦定理边化角得20()sinA sinC cosB sinBcosC --=，即()2sinAcosB sinCcosB sinBcosC sin B C =+=+，又()sinA sin B C =+，2,sinAcosB sinA ∴=(0,)A π∈，∴0sinA ≠12cosB ∴=， ()0,B π∈，3B π∴=；由余弦定理得2222b a c accosB =+-， ∴()2222213234933a c accosa c ac a c ac ac π=+-=+-=+-=-， 12,ac ∴=∴三角形的面积为1112222ABC S acsinB ==⨯⨯= 若选②：由题设及正弦定理得2A C sinCsinsinBsinC +=， ()0,C π∈，0,sinC ∴≠ ∴2A C sin sinB += 由A BC π++=，可得cos 2222A C B B sin sin π+⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， ∴cos 2222B B B sin cos = 0,22B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴0,2B cos ≠ ∴122B sin =， 26B π∴=， ∴3B π=.由余弦定理得2222b a c accosB =+-，∴()2222213234933a c accosa c ac a c ac ac π=+-=+-=+-=-， 12,ac ∴=∴三角形的面积为1131233222ABC S acsinB ==⨯⨯=； 若选③：由已知得222sin A sin C sin B sinAsinC +-=，由正弦定理角化边得222a c b ac +-=由余弦定理得2221222ac cosB ac a a c c b +-=== ()0,B π∈，∴3B π=由余弦定理得2222b a c accosB =+-，∴()2222213234933a c accosa c ac a c ac ac π=+-=+-=+-=-， 12,ac ∴= ∴三角形的面积为1131233222ABC S acsinB ==⨯⨯=； 【点睛】解题的关键是熟练掌握正弦定理、余弦定理、面积公式并灵活应用，化简时需注意各角的范围，考查计算化简的能力，属中档题.21．如图，四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，PAD ∆为等边三角形，,E F 分别为PC 和BD 的中点，且EF CD ⊥.（1）证明:CD ⊥平面PAD ;（2）求点C 到平面PDB 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2221. 【分析】（1）连接AC ，分别证得EF CD ⊥和PA CD ⊥，利用线面垂直的判定，即可求解. （2）利用等积法，即可求解.【详解】（1）如图所示，连接AC ，由ABCD 是边长为2的正方形，因为F 是BD 的中点，可得AC 的中点，在PAC △中，因为,E F 分别是,PC AC 的中点，可得//EF PA ，又因为EF CD ⊥，所以PA CD ⊥，又由AD CD ⊥，且AD AP A =，所以CD ⊥平面PAD .（2）如图所示，取AD 中点O ，连接PO ，因为PAD △是边长为2的等边三角形，所以PO AD ⊥且3PO =， 由（1）知平面PAD ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ， 可得111232233323P BDC BDC V S PO -=⋅=⨯⨯⨯⨯=， 连接OB ，则225OB AO AB =+=，所以2222PB PO OB =+=， 又2222BD AB AD =+=， 又2PD =，所以212(22)172PBD S =⨯⨯-=, 设点C 到平面PDB 的距离为h ，则1773C PBD h V h -=⨯⨯=， 即723h =，解得221h =.22．已知函数()()2sin 0,22x f x ωϕωπϕ=≥<⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图像向右平移6π个单位长度得到()g x 的图像， ()g x 图像关于原点对称，()f x 的相邻两条对称轴的距离是2π. （1）求()f x 在[]0,π上的增区间;（2）若()230f x m -=+在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两解，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）70,,,1212ππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；（2）1332⎛- ⎝⎦.【分析】（1）由()f x 的相邻两条对称轴的距离是2π，可得函数的周期，从而得出ω的值，由平移得出()g x 的解析式，根据()g x 图像关于原点对称，可求出ϕ的值，从而可求()f x 单调增区间,得出答案.（2）令23t x π=+ 则4,33t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则[2s n i t ∈，根据()230f x m -=+有两解，即2sin 32t m =-有两解，从而可得答案.【详解】解:由()f x 的相邻两条对称轴的距离是2π，则22T ππω==，1,ω∴= ()()2sin 2f x x ϕ∴=+()2sin 2sin 2326x g x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎛⎫==-+ ⎪⎝⎥⎝⎣⎦⎭⎭ 函数()g x 的图像关于原点对称，3k πϕπ-+=，,2πϕ< 所以3πϕ=()2sin 23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭ （1）由222232k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈ 得51212k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈ 令0k =得51212x ππ-≤≤ 1k =得7131212x ππ≤≤ ()f x ∴在[]0,π增区间是70,,,1212ππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()2令23t x π=+，0,,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则4,33t ππ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦所以[2s n i t ∈若()230f x m -=+有两解，即2sin 32t m =-在4,33t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两解，由2sin y t =322m ≤-<，即123m <≤12m ∴<≤m ∴的取值范围是133,2⎛⎤- ⎥ ⎝⎦【点睛】关键点睛：本题考查求正弦型函数的单调增区间和根据方程的解个数求参数的范围问题，解答本题的关键是设23t x π=+，由0,,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则4,33t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以[2s n ,2]i 3t ∈-若()230f x m -=+有两解，即2sin 32t m =-在4,33t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两解，然后数形结合求解，属于中档题.。
【期末冲刺】2019—2020学年高一年级下学期期末冲刺满分训练卷——第十一章 立体几何初步(解析版)
2019—2020学年高一年级下学期期末冲刺满分训练卷第十章 立体几何初步 期末单元测试卷（范围：新教材人教B 版 必修四 考试时间：90分钟 满分：150分）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1.以下命题（其中a 、b 表示直线，α表示平面）中，正确的命题是( )A. 若//a b ，b α⊂，则//a αB. 若//a α，//b α，则//a bC. 若//a b ，b α⊥，则a α⊥D. 若//a α，b α⊂，则//a b答案及解析：1.C【分析】根据线线、线面有关定理对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对于A 选项，直线a 可能含于平面α，所以A 选项错误.对于B 选项，,a b 可能异面，所以B 选项错误.对于C 选项，由于//a b ，b α⊥，所以a α⊥，所以C 选项正确.对于D 选项，,a b 可能异面，所以D 选项错误.故选：C【点睛】本小题主要考查空间线线、线面位置关系的判断，属于基础题.2.下列命题正确的是（ ）A. 有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱。
B. 有两个面平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱。
C. 绕直角三角形的一边旋转所形成的几何体叫圆锥。
D. 用一个面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台。
答案及解析：2.B【分析】根据课本中的相关概念依次判断选项即可.【详解】对于A 选项，几何体可以是棱台，满足有两个面平行，其余各面都是四边形，故选项不正确；对于B ，根据课本中棱柱的概念得到是正确的；对于C ，当绕直角三角形的斜边旋转时构成的几何体不是圆锥，故不正确；对于D ，用平行于底面的平面截圆锥得到的剩余的几何体是棱台，故不正确.故答案为：B.【点睛】这个题目考查了几何体的基本概念，属于基础题.3.在正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，动点E 在棱BB 1上，动点F 在线段A 1C 1上，O 为底面ABCD 的中心，若1,BE x A F y ==，则四面体O-AEF 的体积( )A. 与x ，y 都有关B. 与x ，y 都无关C. 与x 有关，与y 无关D. 与y 有关，与x 无关答案及解析：3.B【分析】 根据等体积法以及锥体体积公式判断选择.【详解】因为V O －AEF ＝V E －OAF ，所以，考察△AOF 的面积和点E 到平面AOF 的距离的值，因为BB 1∥平面ACC 1A 1，所以，点E 到平面AOE 的距离为定值，又AO ∥A 1C 1，所以，OA 为定值，点F 到直线AO 的距离也为定值，即△AOF 的面积是定值，所以，四面体O-AEF 的体积与x ，y 都无关，选B 。
2019-2020学年环大罗山联盟高一下学期期末数学试卷
2019-2020学年环大罗山联盟高一下学期期末数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分） 1.在△ABC 中，下列等式一定成立的是( )A. sin(A +B)=−sinCB. cos(A +B)=cosCC. cosB+C 2=sin A2D. sinB+C 2=sin A22.已知点A 和B在直线的两侧，则直线倾斜角的取值范围是( )A.B.C.D.3. 设变量、满足约束条件，则目标函数的最小值为( )A.B. C. D.4.在直角梯形ABCD 中，AB//CD ，AB ⊥AD ，AB =2，AD =√3，∠CAB =π3，点F 是线段AB上的一点，若BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CE⃗⃗⃗⃗⃗ ，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−174，则λ=( ) A. 14B. 13C. 12D. 235.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4≤4，S 5≥15，则a 4的最小值为( )A. 6B. 7C. 8D. 96.已知tanα=−13，则12sinαcosα+cos 2α=( )A. 103B. 3C. −103D. −37.六安滨河公园喷泉中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在水柱正西方向的A 处测得水柱顶端的仰角为45°，沿A 处向南偏东30°前进50米到达点B 处，在B 处测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( )A. 15mB. 30mC. 25mD. 50m8.设min{p,q}表示p，q中较小的一个，给出下列命题：①min{x2,x−1}=x−1；②设θ∈(0, π2]，则min{sinθsin2θ+1, 12}=12；③设a，b∈N∗，则min{a, 2ba2+b2}的最大值是1，其中所有正确命题的序号有()A. ①B. ③C. ①②D. ①③9.已知函数f(x)=2sinωx(其中ω>0)，若对任意x1∈[−3π4,0)，存在x2∈(0,π3]，使得f(x1)=f(x2)，则ω的取值范围为()A. ω≥3B. 0<ω≤3C. ω≥92D. 0<ω≤9210.已知数列{a n}，{b n}满足b n=log2a n，n∈N∗，其中{b n}是等差数列，且a8⋅a2008=14，则b1+ b2+b3+⋯+b2015=()A. log22015B. 2015C. −2015D. 1008二、单空题（本大题共3小题，共12.0分）11.求值：cos330°=______．12.已知函数f(x)=ax2+a2x+2b−a3，当x∈(−∞,−2)∪(6,+∞)时，f(x)<0，当∈(−2,6)时，f(x)>0．(1)求a、b的值；(2)设F(x)=−k4f(x)+4(k+1)x+2(6k−1)，则当k取何值时，函数F(x)的值恒为负数？13.如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E为AB的中点．以A为圆心，AE为半径，作弧交AD于点F.若P为劣弧上的动点，则的最小值为________ ．三、多空题（本大题共4小题，共24.0分）14.直线l：y=−x+1的倾斜角为，经过点(1,3)且与直线l垂直的直线的斜截式方程为15.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，若c=2acosB，S=12a2−14c2，则△ABC的形状为(1)，C的大小为(2)．16. 已知函数f(x)=cos(2x +φ)(−π2<φ<0)． ①函数f(x)的最小正周期为 ； ②若函数f(x)在区间[π3,4π3]上有且只有三个零点，则φ的值是 ．17. 已知点A(2,5)，B(3,−2)，则向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ = ，与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 同向的单位向量为 ． 四、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18. 已知向量m ⃗⃗⃗ =(1,1)，向量n ⃗ 与向量m ⃗⃗⃗ 的夹角为3π4，且m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−1． (1)求向量n ⃗ ；(2)设向量a ⃗ =(1,0)，向量b ⃗ =(cosx,sinx)，其中x ∈R ，若n ⃗ ⋅a ⃗ =0，试求|n ⃗ +b ⃗ |的取值范围．19. 已知直线L 1：(3−a)x +(2a −1)y +10=0，直线L 2：(2a +1)x +(a +5)y −6=0． ①若L 1⊥L 2，求a 的值； ②若L 1//L 2，求a 的值．20. 在△ ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、 B 、C 的对边长，已知a 、b 、c 成等比数列，A 、B 、C 成等差数列，求B 的大小以及的值。
2019-2020学年人教A版山东省青岛市胶州市高一第一学期期末数学试卷 含解析
2019-2020学年高一第一学期期末数学试卷一、选择题1．已知扇形的圆心角为30°，半径为6，则该扇形的弧长为（）A．πB．C．D．2．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：m/s）可以表示为，其中Q表示鱼的耗氧量的单位数．当一条鲑鱼的游速为m/s时，则它的耗氧量的单位数为（）A．900 B．1600 C．2700 D．81003．函数f（x）＝+lg（x+2）的定义域是（）A．（﹣2，）B．（﹣2，] C．（﹣2，+∞）D．（）4．角θ的终边上一点，则＝（）A．B．C．D．5．已知θ∈（0，π），则“”的必要不充分条件是（）A．B．C．D．6．函数f（x）＝lgx与g（x）＝cos x的图象的交点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．不确定7．函数f（x）＝cos2x+sin x（x∈R）的最大值为（）A．﹣1 B．C．1 D．8．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（x）＝f（x+4），且f（1）＝1，则f（2019）+f（2020）＝（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9．下列函数是偶函数的是（）A．f（x）＝tan x B．f（x）＝sin x C．f（x）＝cos x D．f（x）＝lg|x| 10．已知a＝30.1，b＝log0.93，c＝sin（cos1），则下述正确的是（）A．a＞b B．a＞c C．b＞c D．b＞011．已知函数，若函数g（x）＝f（x）﹣m恰有2个零点，则实数m可以是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．212．已知，且tanα，tanβ是方程x2﹣kx+2＝0的两不等实根，则下列结论正确的是（）A．tanα+tanβ＝﹣k B．tan（α+β）＝﹣kC．D．k+tanα≥4三、填空题13．若tanθ＝2，则＝．14．已知幂函数f（x）的图象经过点，则f（4）的值为．15．求值：sin220°（tan10°﹣）＝．16．已知函数，g（x）＝x2﹣2x，对任意的，总存在x2∈[﹣1，2]，使得f（x1）＝g（x2），则实数a的取值范围是．四、解答题17．已知集合A＝{y|y＝2x，﹣1≤x≤2}，集合B＝{x∈R|﹣1＜lnx≤2}，集合C＝{x∈R|x2﹣x﹣6≥0}．（1）求B∩C；（2）设全集U＝R，求（∁U A）∩C；（3）若，证明：a∈A∪B．18．已知函数f（x）＝1+log a x（a＞0，a≠1）的图象恒过点A，点A在直线y＝mx+n（mn ＞0）上．（1）求的最小值；（2）若a＝2，当x∈[2，4]时，求y＝[f（x）]2﹣2f（x）+3的值域．19．已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）求函数f（x）在上的最小值．20．函数f（x）＝A sin（ωx+φ）在R上的最大值为，f（0）＝1．（1）若点在f（x）的图象上，求函数f（x）图象的对称中心；（2）将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位，再将所得的图象纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，得函数y＝g（x）的图象，若y＝g（x）在上为增函数，求ω的最大值．21．如图，长方形ABCD中，AB＝2，BC＝，点E，F，G分别在线段AB，BC，DA（含端点）上，E为AB中点，EF⊥EG，设∠AEG＝θ．（1）求角θ的取值范围；（2）求出△EFG周长l关于角θ的函数解析式f（θ），并求△EFG周长l的取值范围．22．设函数f（x）的定义域为I，对于区间D⊆I，若∃x1，x2∈D（x1＜x2）满足f（x1）+f （x2）＝1，则称区间D为函数f（x）的V区间．（1）证明：区间（0，2）是函数的V区间；（2）若区间[0，a]（a＞0）是函数的V区间，求实数a的取值范围；（3）已知函数在区间[0，+∞）上的图象连续不断，且在[0，+∞）上仅有2个零点，证明：区间[π，+∞）不是函数f（x）的V区间．参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的．1．已知扇形的圆心角为30°，半径为6，则该扇形的弧长为（）A．πB．C．D．【分析】根据弧长的公式l＝，代入直接求解即可．解：根据弧长的公式l＝，得l＝＝π．故选：A．2．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：m/s）可以表示为，其中Q表示鱼的耗氧量的单位数．当一条鲑鱼的游速为m/s时，则它的耗氧量的单位数为（）A．900 B．1600 C．2700 D．8100【分析】令v＝得，，解出Q即可．解：令v＝得，，∴，∴，∴Q＝2700，故选：C．3．函数f（x）＝+lg（x+2）的定义域是（）A．（﹣2，）B．（﹣2，] C．（﹣2，+∞）D．（）【分析】由分母中根式内部的代数式大于0，对数式的真数大于0联立不等式组求解．解：由，解得﹣2＜x＜．∴函数f（x）＝+lg（x+2）的定义域是（﹣2，）．故选：A．4．角θ的终边上一点，则＝（）A．B．C．D．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得所给式子的值．解：角θ的终边上一点，则＝sinα＝＝，故选：A．5．已知θ∈（0，π），则“”的必要不充分条件是（）A．B．C．D．【分析】根据三角函数的特殊值和充分必要条件的定义即可判断．解：θ∈（0，π），则“”，则sinθ＝，若sinθ＝，则θ＝或θ＝，故“”的必要不充分条件是sinθ＝，故选：B．6．函数f（x）＝lgx与g（x）＝cos x的图象的交点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．不确定【分析】画出图象，根据函数的单调性值域即可得出．解：画出图象，lg1＝0，lg10＝1，cos x∈[﹣1，1]，可得f（x）＝lgx与g（x）＝cos x的图象的交点个数为3．故选：C．7．函数f（x）＝cos2x+sin x（x∈R）的最大值为（）A．﹣1 B．C．1 D．【分析】配方后得到关于sin x的二次函数，由x取任意实数，得到sin x∈[﹣1，1]，利用二次函数的性质即可求出函数的最大值．解：f（x）＝cos2x+sin x＝1﹣sin2x+sin x＝﹣sin2x+sin x+1＝﹣（sin x﹣）2+，∵x∈R，∴sin x∈[﹣1，1]，则sin x＝时函数的最大值为．故选：D．8．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（x）＝f（x+4），且f（1）＝1，则f（2019）+f（2020）＝（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【分析】根据题意，由f（x）＝f（x+4）可得f（2019）＝f（﹣1+505×4）＝f（﹣1），f（2020）＝f（505×4）＝f（0），结合奇函数的性质求出f（0）与f（1）的值，相加即可得答案．解：根据题意，函数f（x）满足f（x）＝f（x+4），则f（2019）＝f（﹣1+505×4）＝f（﹣1），f（2020）＝f（505×4）＝f（0），又由函数f（x）是定义在R上的奇函数且f（1）＝1，则f（0）＝0，f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣1，则f（2019）+f（2020）＝f（0）+f（﹣1）＝﹣1；二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9．下列函数是偶函数的是（）A．f（x）＝tan x B．f（x）＝sin x C．f（x）＝cos x D．f（x）＝lg|x| 【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合即可得答案．解：根据题意，依次分析选项：对于A，f（x）＝tan x，是正切函数，是奇函数，不符合题意；对于B，f（x）＝sin x，是正弦函数，是奇函数，不符合题意；对于C，f（x）＝cos x，是余弦函数，是偶函数，符合题意；对于D，f（x）＝lg|x|，其定义域为{x|x≠0}有f（﹣x）＝lg|﹣x|＝lg|x|＝f（x），是偶函数，符合题意；故选：CD．10．已知a＝30.1，b＝log0.93，c＝sin（cos1），则下述正确的是（）A．a＞b B．a＞c C．b＞c D．b＞0【分析】利用指数对数函数、三角函数的单调性即可得出．解：a＝30.1＞1，b＝log0.93＜0，c＝sin（cos1）∈（0，1），则：a＞c＞b．故选：AB．11．已知函数，若函数g（x）＝f（x）﹣m恰有2个零点，则实数m可以是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【分析】画出函数f（x）的图象，进而得出结论．解：画出函数f（x）的图象，x∈[1，+∞）时，f（x）＝﹣（x﹣2）2+1．若函数g（x）＝f（x）﹣m恰有2个零点，则实数m＝1，或m≤0．因此m可以为﹣1，0，1．12．已知，且tanα，tanβ是方程x2﹣kx+2＝0的两不等实根，则下列结论正确的是（）A．tanα+tanβ＝﹣k B．tan（α+β）＝﹣kC．D．k+tanα≥4【分析】由题意利用韦达定理，基本不等式，得出结论．解：∵已知，且tanα，tanβ是方程x2﹣kx+2＝0的两不等实根，∴tanα+tanβ＝k＞0，tanα•tanβ＝2，∴k＞2＝2，故选：BC．三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．13．若tanθ＝2，则＝．【分析】由已知可得，＝，代入即可求解．解：若tanθ＝2，则＝＝．故答案为：14．已知幂函数f（x）的图象经过点，则f（4）的值为 2 ．【分析】设幂函数f（x）＝x a，由f（x）过点（2，），知2a＝，由此能求出f （4）．解：设幂函数f（x）＝x a，∵f（x）过点（2，），∴2a＝，a＝∴f（4）＝＝2，故答案为：2．15．求值：sin220°（tan10°﹣）＝ 1 ．【分析】由已知结合同角基本关系及两角差的正弦公式，辅助角公式，二倍角公式对已知式子进行化简即可求解．解：：sin220°（tan10°﹣）＝﹣sin40°（），＝＝﹣sin40°×，＝＝＝1．故答案为：1．16．已知函数，g（x）＝x2﹣2x，对任意的，总存在x2∈[﹣1，2]，使得f（x1）＝g（x2），则实数a的取值范围是[0，1] ．【分析】先分别求出f（x）和g（x）的值域，再根据“任意”是“存在”的子集列式解得即可．解：当x∈[，2]时，f（x）＝log x+a为递减函数，∴f（x）∈[﹣1+a，2+a]；当x∈[﹣1，2]时，g（x）＝x2﹣2x∈[﹣1，3]，对任意的，总存在x2∈[﹣1，2]，使得f（x1）＝g（x2）⇔[﹣1+a，2+a]⊆[﹣1，3]，∴，解得0≤a≤1，故答案为[0，1]．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知集合A＝{y|y＝2x，﹣1≤x≤2}，集合B＝{x∈R|﹣1＜lnx≤2}，集合C＝{x∈R|x2﹣x﹣6≥0}．（1）求B∩C；（2）设全集U＝R，求（∁U A）∩C；（3）若，证明：a∈A∪B．【分析】（1）首先确定A、B，C，然后根据交集的定义求解即可；（2）先求出其补集，然后根据交集的定义求解即可；（3）先根据指数和对数的运算性质求出a即可求出结论解：因为集合A＝{y|y＝2x，﹣1≤x≤2}，集合B＝{x∈R|﹣1＜lnx≤2}，集合C＝{x∈R|x2﹣x﹣6≥0}．∴A＝[，4]；B＝（，e2），C＝（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）∴B∩C＝[3，e2）；（2）全集U＝R，∁U A＝（﹣∞，∪（4，+∞）；∴（∁U A）∩C═（﹣∞，﹣2]∪（4，+∞）；（3）∵＝lg0.05﹣7+9﹣lg＝lg0.1+2＝1；∴1∈A，1∈B；∴a∈A∪B．18．已知函数f（x）＝1+log a x（a＞0，a≠1）的图象恒过点A，点A在直线y＝mx+n（mn ＞0）上．（1）求的最小值；（2）若a＝2，当x∈[2，4]时，求y＝[f（x）]2﹣2f（x）+3的值域．【分析】（1）先求出函数f（x）过的定点A的坐标，代入直线方程，再利用基本不等式即可求出结果；（2）由x的范围，算出log2x的范围，即可求出y的值域．解：（1）∵log a1＝0，∴函数f（x）＝1+log a x的图象恒过点A的坐标为（1，1），∵点A（1，1）在直线y＝mx+n（mn＞0）上，∴m+n＝1，∵mn＞0，∴∴，当且仅当m＝n时，等号成立，∴的最小值为4；（2）当a＝2时，f（x）＝1+log2x，∴＝，∵2≤x≤4，∴1≤log2x≤2，∴3≤y≤6，∴y的值域为：[3，6]．19．已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）求函数f（x）在上的最小值．【分析】（1）结合二倍角公式及辅助角公式对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的周期公式及单调性即可分别求解；（2）结合正弦函数的性质即可求解函数的值域，进而可求最小值．解：（1）＝＝2sin（2x+）+3，T＝π，令2x+，k∈Z，解可得，，即函数的单调递减区间为（），k∈Z，（2）由0≤x可得，2x+，所以﹣sin（2x+）≤1即函数的最小值2．20．函数f（x）＝A sin（ωx+φ）在R上的最大值为，f（0）＝1．（1）若点在f（x）的图象上，求函数f（x）图象的对称中心；（2）将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位，再将所得的图象纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，得函数y＝g（x）的图象，若y＝g（x）在上为增函数，求ω的最大值．【分析】（1）由题意，A＝，再由f（0）＝1，求得φ，结合点在f（x）的图象上求得ω，则函数解析式可求，进一步求得函数的对称中心坐标；（2）由题意求得函数g（x）的解析式，得到函数的增区间，再由y＝g（x）在上为增函数列关于ω的不等式组求解．解：（1）由题意，A＝，由f（0）＝φ＝1，得sinφ＝，∵0＜φ＜，∴φ＝，则f（x）＝．又，∴sin（）＝1．得＝，k∈Z．∴ω＝2+16k，k∈Z．∵0＜ω＜16，∴取k＝0，得ω＝2．∴f（x）＝．由，得x＝，k∈Z．∴函数f（x）图象的对称中心为（，0），k∈Z；（2）将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位，再将所得的图象纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，得函数y＝g（x）的图象，则g（x）＝sin（4x）．由，k∈Z，，k∈Z，取k＝0，得．由y＝g（x）在上为增函数，得，解得．∴ω的最大值为2．21．如图，长方形ABCD中，AB＝2，BC＝，点E，F，G分别在线段AB，BC，DA（含端点）上，E为AB中点，EF⊥EG，设∠AEG＝θ．（1）求角θ的取值范围；（2）求出△EFG周长l关于角θ的函数解析式f（θ），并求△EFG周长l的取值范围．【分析】（1）分析出何时最大何时最小即可求出其范围；（2）在三个直角三角形中分别求出三边长，再结合三角函数的取值范围即可求解解：（1）因为长方形ABCD中，AB＝2，BC＝，点E，F，G分别在线段AB，BC，DA（含端点）上，E为AB中点，EF⊥EG，设∠AEG＝θ．∴当点F在点C时，这时角θ最小，求得此时θ＝；当点G在D点时，这时角θ最大，求得此时θ＝．∴角θ的取值范围：[，]；（2）△EFG周长l＝EG+EF+FG＝++；∴f（θ）＝；θ∈[，]；设sinθ+cosθ＝t，则sinθ•cosθ＝；∴f（θ）＝＝由θ∈[，]；得≤θ+≤，得≤t≤，∴≤t﹣1≤﹣1，从而+1≤≤+1，当θ＝时，f（θ）min＝2（+1），当θ＝或时，f（θ）max＝2（+1），∴△EFG周长l的取值范围：[2（，2（+1）]22．设函数f（x）的定义域为I，对于区间D⊆I，若∃x1，x2∈D（x1＜x2）满足f（x1）+f （x2）＝1，则称区间D为函数f（x）的V区间．（1）证明：区间（0，2）是函数的V区间；（2）若区间[0，a]（a＞0）是函数的V区间，求实数a的取值范围；（3）已知函数在区间[0，+∞）上的图象连续不断，且在[0，+∞）上仅有2个零点，证明：区间[π，+∞）不是函数f（x）的V区间．【分析】（1）由函数f（x）的V区间的定义，结合对数的运算性质，即可得证；（2）由函数f（x）的V区间的定义和指数函数的单调性，结合不等式的性质，可得所求范围；（3）运用函数的零点存在定理和函数f（x）的V区间的定义，证明函数f（x）在[0，π）上至少存在两个零点，即为f（x）在[π，+∞）上不存在零点，可得证明．解：（1）证明：设x1，x2∈（0，2）（x1＜x2），若f（x1）+f（x2）＝1，则+lgx1++lgx2＝1，所以lgx1+lgx2＝lg（x1x2）＝0，即x1x2＝1，取x1＝，x2＝，满足定义，所以区间（0，2）是函数f（x）＝+lgx的V区间；（2）因为区间[0，a]是函数f（x）＝（）x的V区间，所以∃x1，x2∈[0，a]（x1＜x2），使得（）+（）＝1，因为f（x）＝（）x在[0，a]上单调递减，所以（）＞（）a，（）≥（）a，（）+（）≥2•（）a＝（）a﹣1，所以（）a﹣1＜1，即a﹣1＞0，即a＞1，故所求实数a的取值范围为（1，+∞）；（3）证明：因为f（）＝＞0，f（π）＝﹣＜0，所以f（x）在（，π）上存在零点．又因为f（0）＝0，所以函数f（x）在[0，π）上至少存在两个零点．因为函数f（x）在[0，+∞）上仅有2个零点，所以f（x）在[π，+∞）上不存在零点，又因为f（π）＜0，所以∀x∈[π，+∞），f（x）＜0，所以∀x1，x2∈[π，+∞）（x1＜x2），f（x1）+f（x2）＜0，即因此不存在∀x1，x2∈[π，+∞）（x1＜x2），满足f（x1）+f（x2）＝1，所以区间[π，+∞），不是函数f（x）的V区间．。
山东省德州市2019-2020学年高一下学期数学期末考试试卷 (II)卷
山东省德州市 2019-2020 学年高一下学期数学期末考试试卷 （II）卷姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2018 高一下·四川月考) 如图，将一个边长为 1 的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边 向外作正三角形，并擦去中间一段，得图（2），如此继续下去，得图（3）…，设第 个图形的边长为 ，则数 列 的通项公式为（ ）A. B.C.D.2. （2 分） 两直线与的位置关系是（ ）A . 相交B . 平行C . 重合D . 平行或重合3. （2 分） 设 是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是（ ）A.若，则第1页共9页B.若，则C.若，则D.若，则4. （2 分） (2019 高二上·诸暨期末) 已知，（）A.B.C.，，，，则下列不等式成立的是D. 5. （2 分） 设 是公差不为 0 的等差数列，成等比数列，则 的前 n 项和 （ ）A. B. C. D.6. （2 分） 在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且 A=2B，则 等于（ ） A.B. C.第2页共9页D.7. （2 分） 把边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起形成三棱锥 C－ABD 的主视图与俯视图如图所示，则左 视图的面积为（ ）A.B.C.D. 8. （2 分） (2018 高二上·武邑月考) 直线(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0 与(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0 互相垂直， 则 a 等于（ ） A . －1 B.1 C . ±1D.－9. （2 分） 设集合 M 和 N 为平面中的两个点集，若存在点， 使得对任意的点，均有， 则称为点集 M 和 N 的距离，记为.已知集合,， 则 d(M,N)=（ ）A.B.第3页共9页C.D.10. （2 分） A，B 是海面上位于东西方向相距 5（3+ ）海里的两个观测点．现位于 A 点北偏东 45°，B 点 北偏西 60°的 D 点有一艘轮船发出求救信号，位于 B 点南偏西 60°且与 B 点相距 20 海里的 C 点的救援船立即前 往营救，其航行速度为 30 海里/小时，该救援船到达 D 点需要的时间为（ ）小时．A.1 B.2C . 1+D. 11. （2 分） 已知直线 a，b 和平面 M，N，且 a⊥M，则下列说法正确的是（ ） A . b∥M⇒ b⊥a B . b⊥a⇒ b∥M C . N⊥M⇒ a∥N D . a⊄N⇒ M∩N≠∅12. （2 分） (2018·河北模拟) 已知函数的图象经过点，．当时， A.7 B.6 C.5 D.4，记数列 的前 项和为 ，当时， 的值为（ ）第4页共9页二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） 若关于 x，y 的二元一次方程组无解，则 a=________．14. （1 分） (2018 高二上·淮安期中) 已知一个圆锥的侧面积是 则此圆锥的底面半径为________．，若母线与底面所成角为 ，15. （1 分） (2016 高三上·定州期中) 在△ABC 内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，cos = acosB+bcosA=2，则△ABC 的面积的最大值为________．，且16. （1 分） (2017 高二上·宜昌期末) 已知正四棱柱（底面是正方形，侧棱垂直于底面）的高为 4，体积为 16，八个顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是________．三、 解答题 (共 6 题；共 55 分)17. （10 分） (2018 高二下·保山期末) 已知函数 f（x）=|x﹣3|+|x+m|（x∈R）．（1） 当 m=1 时，求不等式 f（x）≥6 的解集；（2） 若不等式 f（x）≤5 的解集不是空集，求参数 m 的取值范围．18. （10 分） (2019 高二上·拉萨期中) 等比数列 的前 项和为 ，，.（1） 求数列 的通项公式；（2） 若，求 .19. （10 分） (2018 高二上·黑龙江期末) 已知 ．（1） 求角 的大小；分别为三个内角的对边,且（2），求的面积．20. （5 分） 长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，AA1= ， AB=BC=2，O 是底面对角线的交点．（Ⅰ）求证：B1D1∥平面 BC1D；（Ⅱ）求证：A1O⊥平面 BC1D；第5页共9页（Ⅲ）求三棱锥 A1﹣DBC1 的体积．21. （10 分） (2020·兴平模拟) 在中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且. （1） 求角 的值；（2） 若，且的面积为，求 边上的中线的大小.22. （10 分） 数列{an}满足 a1=4，an=4﹣（n≥2），设 bn=．（1） 判断数列{bn}是否为等差数列并证明；（2） 求数列{an}的通项公式．第6页共9页一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13-1、 14-1、 15-1、参考答案第7页共9页16-1、三、 解答题 (共 6 题；共 55 分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、 20-1、答案：略 21-1、答案：略 21-2、答案：略第8页共9页22-1、 22-2、第9页共9页。
2019-2020学年辽宁省辽阳市高一下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年辽宁省辽阳市高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共12小题）.1．sin（﹣480°）等于（）A．﹣B．C．﹣D．2．一个几何体有6个顶点，则这个几何体可能是（）A．三棱柱B．四棱锥C．四棱柱D．五棱台3．已知复数z满足z（1+i）＝2i8，则z的虚部为（）A．1B．i C．﹣1D．﹣i4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b═3，c＝2，A＝，则a＝（）A．5B．C．29D．5．平面向量＝（1，m），＝（﹣1，），且|﹣|＝||，则||＝（）A．B．C．D．6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知A＝，B＝，a＝2，则△ABC的面积为（）A．B．9﹣3C．D．3+97．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形BCC1B1为正方形，BC＝2AB＝4，AB⊥BC，则异面直线AC1与BC所成角的余弦值为（）A．B．C．D．8．下列函数中，周期为π的奇函数是（）A．y＝cos B．y＝sin（2x+3π）C．y＝cos（π+2x）D．y＝|cos（x﹣）|9．如图，在△ABC中，＝3，＝3，则＝（）A．+B．+C．+D．+10．已知直线x＝是函数f（x）＝sin2+sinωx﹣（0＜ω≤8）图象的一条对称轴，则ω＝（）A．2B．4C．6D．811．已知正方形ABCD的边长是4，将△ABC沿对角线AC折到△AB'C的位置，连接B'D．在翻折过程中，给出以下结论：①AB'⊥平面B'CD恒成立；②三棱锥B'﹣ACD的外接球的表面积始终是32π；③当二面角B'﹣AC﹣D为时，B'D＝4；④三棱锥B'﹣ACD体积的最大值是．其中结论正确的个数是（）A．1B．2C．3D．412．将函数y＝sin x的图象向右平移个单位长度，再将横坐标缩短为原来的（ω＞0）得到函数y＝f（x）的图象，若y＝f（x）在[0，]上的最大值为，则ω的取值个数为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡中的横线上. 13．已知扇形的半径与面积都为2，则这个扇形的圆心角的弧度数是．14．在复平面内，复数z＝2i对应的点为Z，将向量绕原点O按逆时针方向旋转，所得向量对应的复数是．15．已知点P（1，3）是角α终边上的一点，则tan（α+）＝．16．已知O为△ABC内一点，且满足+3+5＝，延长AO交BC于点D．若＝λ，则λ＝．三、解答题：本题共6小题，共70分要求写出必要的文字说明和解题过程．17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，在①b cos A cos C＝a sin B sin C﹣b；②b sin B cos C+c sin2B＝a cos B；③+a＝2c这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．已知D是BC上的一点，BC＝2BD＞AB，AD＝2，AB＝6，若____，求△ACD的面积．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BC＝CC1，E，F，G，H分别是棱AB，AA1，CC1，C1D1的中点．（1）证明：C1E⊥B1C．（2）证明：平面DEF∥平面B1GH．19．已知单位向量，的夹角为，向量＝λ﹣，向量＝2+3．（1）若∥，求λ的值；（2）若⊥，求||．20．已知向量＝（cos（x﹣），sin（x﹣）），向量＝（，﹣1），函数f（x）＝•．（1）求f（x）的最大值；（2）若f（﹣α），f（﹣α）是关于x的方程25x2﹣10x+t＝0的两根，且α∈（0，π），求+及t的值．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA＝AB＝2，AD＝4，E是PB的中点，AF⊥PC，垂足为F．（1）证明：PD∥平面ACE．（2）求三棱锥A﹣CEF的体积．22．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（1）求A，ω和φ的值；（2）求函数y＝f（x）在[1，2]上的单调递减区间；（3）若函数y＝f（x）在区间[a，b]上恰有2020个零点，求b﹣a的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．sin（﹣480°）等于（）A．﹣B．C．﹣D．【分析】所求式子中的角度变形后，利用诱导公式化简即可得到结果．解：sin（﹣480°）＝﹣sin480°＝﹣sin（360°+120°）＝﹣sin120°＝﹣．故选：C．2．一个几何体有6个顶点，则这个几何体可能是（）A．三棱柱B．四棱锥C．四棱柱D．五棱台【分析】通过棱锥，棱柱，棱台的顶点个数，判断选项即可．解：三棱柱上下两个平面都是三角形，有6个顶点，满足题意，A正确；四棱锥5个顶点，B不正确；四棱柱，有8的顶点，C不正确；五棱台有10个顶点，D不正确；故选：A．3．已知复数z满足z（1+i）＝2i8，则z的虚部为（）A．1B．i C．﹣1D．﹣i【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由z（1+i）＝2i8＝2，得z＝，∴z的虚部为﹣1．故选：C．4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b═3，c＝2，A＝，则a＝（）A．5B．C．29D．【分析】直接利用余弦定理求出结果．解：已知b═3，c＝2，A＝，利用余弦定理：a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝9+8﹣，解得a＝．故选：B．5．平面向量＝（1，m），＝（﹣1，），且|﹣|＝||，则||＝（）A．B．C．D．【分析】本题先对|﹣|＝||两边进行平方，转化成向量进行计算，化简整理可得，然后根据向量内积的坐标运算可解出m的值，即可计算出||的值．解：依题意，由|﹣|＝||，可得|﹣|2＝||2，即（﹣）2＝（）2，化简整理，得，∴1×（﹣1）+m×＝0，解得m＝，∴＝（1，），∴||＝＝．故选：A．6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知A＝，B＝，a＝2，则△ABC的面积为（）A．B．9﹣3C．D．3+9【分析】由已知利用正弦定理可得b的值，根据两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式即可计算得解．解：∵A＝，B＝，a＝2，∴由正弦定理，可得b＝＝＝3，∴S△ABC＝ab sin C＝ab sin（A+B）＝ab（sin cos+cos sin）＝（）＝．故选：C．7．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形BCC1B1为正方形，BC＝2AB＝4，AB⊥BC，则异面直线AC1与BC所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】由BC∥B1C1，得∠AC1B1是异面直线AC1与BC所成角（或所成角的补角），连结AB1，推导出B1C1⊥A1B1，B1C1⊥BB1，从而得到B1C1⊥平面ABB1A1，B1C1⊥AB1，由此能求出异面直线AC1与BC所成角的余弦值．解：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵BC∥B1C1，∴∠AC1B1是异面直线AC1与BC所成角（或所成角的补角），如图，连结AB1，∵四边形BCC1B1为正方形，BC＝2AB＝4，AB⊥BC，∴B1C1⊥A1B1，B1C1⊥BB1，∵A1B1∩BB1＝B1，∴B1C1⊥平面ABB1A1，∴B1C1⊥AB1，AB1＝＝2，AC1＝＝6，∴cos∠AC1B1＝，∴异面直线AC1与BC所成角的余弦值为．故选：C．8．下列函数中，周期为π的奇函数是（）A．y＝cos B．y＝sin（2x+3π）C．y＝cos（π+2x）D．y＝|cos（x﹣）|【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与周期性，综合即可得答案．解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝cos＝﹣sin，是奇函数，周期T＝＝4π，不符合题意；对于B，y＝sin（2x+3π）＝﹣sin2x，是奇函数，周期T＝＝π，符合题意；对于C，y＝cos（π+2x）＝cos x，是偶函数，不符合题意；对于D，y＝|cos（x﹣）|＝|sin x|，是偶函数，不符合题意；故选：B．9．如图，在△ABC中，＝3，＝3，则＝（）A．+B．+C．+D．+【分析】根据条件＝，结合＝3，代入化简可得＝，再由向量加法法则可得答案解：因为＝3，即有＝，因为＝3，所以＝，则＝＝（）＝，所以＝＝，故选：A．10．已知直线x＝是函数f（x）＝sin2+sinωx﹣（0＜ω≤8）图象的一条对称轴，则ω＝（）A．2B．4C．6D．8【分析】首先通过三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质的应用求出结果．解：函数f（x）＝sin2+sinωx﹣＝ωx）+ωx﹣＝sin （ωx﹣），令：ω﹣＝（k∈Z），解得ω＝4+（k∈Z），由于0＜ω≤8，所以ω＝4．故选：B．11．已知正方形ABCD的边长是4，将△ABC沿对角线AC折到△AB'C的位置，连接B'D．在翻折过程中，给出以下结论：①AB'⊥平面B'CD恒成立；②三棱锥B'﹣ACD的外接球的表面积始终是32π；③当二面角B'﹣AC﹣D为时，B'D＝4；④三棱锥B'﹣ACD体积的最大值是．其中结论正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】对于①，若AB′⊥平面B′CD，则AB′⊥CD，推导出平面AB′D⊥平面ACD，在翻折过程中，B′始终在BD正上方，平面AB′D⊥平面ACD不成立；对于②，取AC中点O，推导出三棱锥B′﹣ACD的外接球半径R＝2，其表面积S ＝32π；对于③，当二面角B′﹣AC﹣D为时，OB′⊥OD，从而B′D＝4；对于④，当平面B′AC⊥平面ACD时，三棱锥B′﹣ACD的体积取最大值．解：对于①若AB′⊥平面B′CD，则AB′⊥CD，∵CD⊥AD，∴CD⊥平面AB′D，∵CD⊂平面ACD，∴平面AB′D⊥平面ACD，∵在翻折过程中，B′始终在BD正上方，不可能在AD正上方，∴平面AB′D⊥平面ACD不成立，故①错误；对于②，取AC中点O，∵ABCD是正方形，∴OA＝OB＝OB′＝OC＝OD＝2，则三棱锥B′﹣ACD的外接球半径R＝2，其表面积S＝4πR2＝32π，故②正确；对于③，当二面角B′﹣AC﹣D为时，OB′⊥OD，∴B′D＝，故③正确；对于④，当平面B′AC⊥平面ACD时，三棱锥B′﹣ACD的体积取最大值，最大值为×42×＝，故④正确．故选：C．12．将函数y＝sin x的图象向右平移个单位长度，再将横坐标缩短为原来的（ω＞0）得到函数y＝f（x）的图象，若y＝f（x）在[0，]上的最大值为，则ω的取值个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】利用函数图象的平移与伸缩变换求得f（x）的解析式，再由x的范围求得ωx ﹣的范围，结合y＝f（x）在[0，]上的最大值为，分类求解得答案．解：将函数y＝sin x的图象向右平移个单位长度，可得y＝sin（x﹣）的图象．再将横坐标缩短为原来的（ω＞0）得到函数y＝f（x）＝sin（ωx﹣）的图象，∵x∈[0，]上，∴ωx﹣∈[﹣，π]，当π≥，即ω≥4时，则＝1，求得ω＝5．当π＜，即0＜ω＜4时，由题意可得sinπ＝，作出函数y＝sin[（x﹣1）]与y＝的图象如图：由图可知，此时函数y＝sin[（x﹣1）]与y＝的图象有唯一交点，则sinπ＝有唯一解．综上，ω的取值个数为2．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡中的横线上. 13．已知扇形的半径与面积都为2，则这个扇形的圆心角的弧度数是1．【分析】设扇形的圆心角为α，由此求出弧长和面积，列方程求得α的值．解：设扇形的圆心角为α，则弧长l＝2α，所以扇形的面积为：S＝rl＝×2×2α＝2，解得α＝1．故答案为：1．14．在复平面内，复数z＝2i对应的点为Z，将向量绕原点O按逆时针方向旋转，所得向量对应的复数是．【分析】把复数2i直接乘以旋转复数cos+i sin得答案．解：复数z＝2i对应的点为Z，将向量绕原点O按逆时针方向旋转，所得复数为2i（cos+i sin）＝2i（）＝﹣+i．故答案为：+i．15．已知点P（1，3）是角α终边上的一点，则tan（α+）＝﹣2．【分析】直接利用三角函数的定义和和角公式的运用求出结果．解：点P（1，3）是角α终边上的一点，所以tanα＝3，则：＝﹣2．故答案为：﹣216．已知O为△ABC内一点，且满足+3+5＝，延长AO交BC于点D．若＝λ，则λ＝．【分析】条件可整理为＝+，结合＝λ，得到＝+，设＝k，列出关于λ，k的方程组，解之即可．解：因为+3+5＝，所以+5（）＝，所以9＝3+5，则＝+，因为＝λ，即﹣＝λ（），所以＝+，设＝k＝+，则，解得，故答案为：．三、解答题：本题共6小题，共70分要求写出必要的文字说明和解题过程．17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，在①b cos A cos C＝a sin B sin C﹣b；②b sin B cos C+c sin2B＝a cos B；③+a＝2c这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．已知D是BC上的一点，BC＝2BD＞AB，AD＝2，AB＝6，若____，求△ACD的面积．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【分析】若选择①，利用正弦定理，两角差的余弦函数公式化简已知等式，结合sin B≠0，可求cos B＝，结合范围B∈（0，π），可求B＝；若选择②，利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式，结合sin A≠0，可求tan B＝，结合范围B∈（0，π），可求B＝；若选择③，利用两角和的正弦函数公式化简已知等式，结合sin C≠0，可得cos B＝，结合范围B∈（0，π），可求B＝，在△ABD中，由余弦定理可得BD的值，进而根据三角形的面积公式即可计算求解．解：若选择①，则sin B cos A cos C＝sin A sin B sin C﹣sin B，因为sin B≠0，所以cos A cos C﹣sin A sin C＝﹣，即cos（A+C）＝﹣，因为B＝π﹣（A+C），所以cos（A+C）＝﹣cos B＝﹣，即cos B＝，因为B∈（0，π），所以B＝．若选择②，则sin2B cos C+sin C sin2B＝sin A cos B，即sin2B cos C+sin C sin B cos B＝sin A cos B，可得sin B sin（B+C）＝sin A cos B，可得sin B sin A＝sin A cos B，因为sin A≠0，可得sin B＝cos B，可得tan B＝，因为B∈（0，π），所以B＝．若选择③，则sin B cos A+sin A cos B＝2sin C cos B，即sin（B+A）＝2sin C cos B，可得sin C ＝2sin C cos B，因为sin C≠0，可得cos B＝，因为B∈（0，π），所以B＝，在△ABD中，由余弦定理可得AD2＝AB2+BD2﹣2AB•BD•cos B，可得28＝36+BD2﹣2×，解得BD＝4，或2，因为BC＝2BD＞AB＝6，所以BD＝4，所以BC＝2BD＝8，所以S△ACD＝S△ABD＝AB•BD•sin B＝＝6．18．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BC＝CC1，E，F，G，H分别是棱AB，AA1，CC1，C1D1的中点．（1）证明：C1E⊥B1C．（2）证明：平面DEF∥平面B1GH．【分析】（1）连接BC1，可证四边形BCC1B1为正方形，得B1C⊥BC1，再由AB⊥平面BCC1B1，得AB⊥B1C，利用直线与平面垂直的判定可得B1C⊥平面BEC1，从而得C1E ⊥B1C；（2）由E，F，G，H分别是AB，AA1，CC1，C1D1的中点，可得EF∥GH，ED∥B1H，由直线与平面平行的判定可得EF∥平面B1GH，同理可证ED∥平面B1GH，由平面与平面平行的判定可得平面DEF∥平面B1GH．【解答】证明：（1）连接BC1，EC1，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵BC＝CC1，∴四边形BCC1B1为正方形，则B1C⊥BC1，又AB⊥平面BCC1B1，∴AB⊥B1C，∵AB∩BC1＝B，AB，BC1⊂平面BEC1，∴B1C⊥平面BEC1，而C1E⊂平面BEC1，∴C1E⊥B1C；（2）∵E，F，G，H分别是AB，AA1，CC1，C1D1的中点，∴可得EF∥GH，ED∥B1H，∵EF⊄平面B1GH，GH⊂平面B1GH，∴EF∥平面B1GH，同理可证ED∥平面B1GH，∵ED∩EF＝E，ED，EF⊂平面DEF，∴平面DEF∥平面B1GH．19．已知单位向量，的夹角为，向量＝λ﹣，向量＝2+3．（1）若∥，求λ的值；（2）若⊥，求||．【分析】（1）由题意利用两个向量共线的性质，求出λ的值．（2）由题意利用两个向量垂直的性质，求出λ的值，可得，从而求出||．解：（1）∵单位向量，的夹角为，∴与不共线．∵向量＝λ﹣，向量＝2+3，若∥，则＝，∴λ＝﹣．（2）若⊥，∵•＝1×1×cos＝﹣．∴•＝（λ﹣）•（2+3）＝2λ+（3λ﹣2）•﹣3＝2λ+（3λ﹣2）•（﹣）﹣3＝0，求得λ＝4，∴＝4﹣，∴||＝＝＝＝．20．已知向量＝（cos（x﹣），sin（x﹣）），向量＝（，﹣1），函数f（x）＝•．（1）求f（x）的最大值；（2）若f（﹣α），f（﹣α）是关于x的方程25x2﹣10x+t＝0的两根，且α∈（0，π），求+及t的值．【分析】（1）通过向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，结合三角函数的最值求解即可．（2）利用方程的根，推出三角函数关系式，然后转化求解表达式的值即可．解：（1）向量＝（cos（x﹣），sin（x﹣）），向量＝（，﹣1），函数f（x）＝•＝cos（x﹣）﹣sin（x﹣）＝2cos（x﹣+）＝2cos x，所以函数f（x）的最大值为2．（2）f（﹣α），f（﹣α）是关于x的方程25x2﹣10x+t＝0的两根，即2cosα与2sinα，α∈（0，π），是关于x的方程25x2﹣10x+t＝0的两根，所以2cosα+2sinα＝，4cosαsinα＝，因为（cosα+sinα）2＝1+2cosαsinα，所以，解得t＝﹣48．所以+＝＝sinα+cosα＝．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA＝AB＝2，AD＝4，E是PB的中点，AF⊥PC，垂足为F．（1）证明：PD∥平面ACE．（2）求三棱锥A﹣CEF的体积．【分析】（1）连结BD，交AC于H，连结EH，推导出EH∥PD，由此能证明PD∥平面ACE．（2）推导出PA⊥BC，BC⊥AB，BC⊥平面PAB，BC⊥AE，AE⊥PB，PC⊥平面AEF，由此能求出三棱锥A﹣CEF的体积．解：（1）证明：连结BD，交AC于H，连结EH，∵四边形ABCD是矩形，∴H是BD的中点，∵E是PB的中点，∴EH∥PD，∵EH⊂平面ACE，PD⊄平面ACE，∴PD∥平面ACE．（2）∵在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，∴PA⊥BC，BC⊥AB，又PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB，∵AE⊂平面PAB，∴BC⊥AE，∵PA＝AB＝2，且E是PB的中点，∴AE⊥PB，且AE＝，∵AF⊥PC，且AE∩AF＝A，∴PC⊥平面AEF，在Rt△PAC中，PA＝2，AC＝＝2，则PC＝＝2，∵AF⊥PC，∴AF＝＝＝，则EF＝＝，CF＝＝，∴三棱锥A﹣CEF的体积：V＝＝＝．22．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（1）求A，ω和φ的值；（2）求函数y＝f（x）在[1，2]上的单调递减区间；（3）若函数y＝f（x）在区间[a，b]上恰有2020个零点，求b﹣a的取值范围．【分析】（1）有图象可得A＝1，T＝2，进而求得ω＝π，令x＝，则π+φ＝+2kπ（k∈Z），结合|φ|＜，可求得φ；（2）由（1）求得f（x）解析式，令+2kπ≤πx﹣≤+2kπ，k∈Z，解之即可；（3）条件转化为f（x）在[）上有两个零点，即可得b﹣a取值范围．解：（1）由题可得A＝1，T＝2（）＝2，则＝π，当x＝时，f（x）取得最大值，则π+φ＝+2kπ（k∈Z），所以φ＝﹣+2kπ（k∈Z），又因为|φ|＜，故φ＝﹣；（2）由（1）可知f（x）＝sin（πx﹣），令+2kπ≤πx﹣≤+2kπ，k∈Z，则≤x≤，k∈Z，故f（x）的单调递减区间为[，]（k∈Z），则f（x）在[1，2]上的单调递减区间为[1，]；（3）令f（x）＝sin（πx﹣）＝0，则πx﹣＝kπ，解得x＝k+，k∈Z，所以f（x）在[）上有两个零点，因为f（x）周期为2，若函数y＝f（x）在区间[a，b]上恰有2020个零点，则1009×2+1≤b﹣a＜1010×2，解得b﹣a的取值范围为[2019，2020）．。
2019-2020学年辽宁省锦州市高一下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年辽宁省锦州市高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共10小题）.1．求值：sin150°＝（）A．B．C．﹣D．﹣2．已知复数z满足z（l+i）＝2﹣i，则复数z在复平面内对应的点所在象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．在△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c且有a cos A＝b cos B，则此三角形是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰三角形或直角三角形4．已知＝（﹣1，2），＝（3，m），若，则m＝（）A．4B．3C．D．5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2，c＝2，A＝30°，则角C 为（）A．60°B．60°或120°C．45°D．45°或135°6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛7．函数y＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（）A．f（x）＝2sin（2x﹣）B．f（x）＝2sin（2x﹣）C．f（x）＝2sin（2x+）D．f（x）＝2sin（x+）8．定义运算：＝ad﹣bc．已知α，β都是锐角，且cosα＝，＝﹣，则cosβ＝（）A．B．C．D．9．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若AB＝，则AB1与C1B所成的角的大小为（）A．60°B．90°C．75°D．105°10．已知函数f（x）满足f（x）＝f（x+π），当0≤x≤时，f（x）＝4sin2x；当≤x ＜π时，f（x）＝x﹣4，若函数g（x）＝f（x）﹣ax在[0，2π）上有五个零点，则a 的最小值为（）A．B．C．D．二、多项选择题：本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．11．将函数f（x）＝cos（2x+）﹣1的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数g（x）的图象，则下列关于函数g（x）的说法正确的是（）A．最小正周期为πB．图象关于点（，0）对称C．图象关于y轴对称D．在区间（，π）上单调递增12．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列选项正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊥α，则m∥nC．若α⊥β，m⊥α，则m∥βD．若n∥α，n⊥β，则α⊥β三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知角θ的终边经过点P（﹣1，3），则cosθ＝，cos2θ＝．14．复数范围内关于x的方程x2+x+1＝0的解集为．15．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶D在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝m．16．在三棱锥P﹣ABC中，AB＝BC＝5，AC＝6，P在底面ABC内的射影D位于直线AC 上，且AD＝2CD，PD＝4，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知||＝4，||＝3，（2）＝61，求：（1）向量与的夹角θ；（2）||．18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC，E，F，G分别为BB1，AC，AA1的中点．（1）求证：平面BFG∥平面A1EC；（2）求证：BF⊥平面ACC1A1．19．在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2+c2＝b2+ac．（1）求角B的大小：（2）求cos A+cos C的最大值．20．如图，摩天轮上一点P在t时刻距离地面高度满足y＝A sin（ωt+φ）+b，φ∈[﹣π，π]，已知某摩天轮的半径为50米，点O距地面的高度为60米，摩天轮做匀速转动，每3分钟转一圈，点P的起始位置在摩天轮的最低点处．（1）根据条件写出y（米）关于t（分钟）的解析式；（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P距离地面超过85米？21．已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为正方形，且PA⊥底面ABCD，过AB的平面与侧面PCD的交线为EF，且满足S△PEF：S四边形CDEF＝1：3（S△PEF表示△PEF的面积）．（1）证明：PB∥平面ACE；（2）当PA＝2AD＝2时，求点F到平面ACE的距离．22．已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，且sin C sin（B+）＝sin A．（1）求的值；（2）已知函数f（B）＝k（sin B+cos B）+sin B cos B（k∈R），若函数g（x）＝log2（x2﹣4cos A•x+2cos A）的定义域为R，求函数f（B）的值域．参考答案一、单项选择题（共10小题）.1．求值：sin150°＝（）A．B．C．﹣D．﹣解：sin150°＝sin（180°﹣30°）＝sin30°＝．故选：A．2．已知复数z满足z（l+i）＝2﹣i，则复数z在复平面内对应的点所在象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：复数z满足（1+i）z＝2﹣i，∴（1﹣i）（1+i）z＝（1﹣i）（2﹣i），∴2z＝1﹣3i，∴z＝i．则复数z在复平面内对应的点在第四象限．故选：D．3．在△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c且有a cos A＝b cos B，则此三角形是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰三角形或直角三角形解：在△ABC中，由a cos A＝b cos B，利用正弦定理可得sin A cos A＝cos B sin B，即sin2A＝sin2B，∴2A＝2B或2A+2B＝π，即A＝B或A+B＝．若A＝B，则△ABC为等腰三角形，若A+B＝，则C＝，△ABC为直角三角形，故选：D．4．已知＝（﹣1，2），＝（3，m），若，则m＝（）A．4B．3C．D．解：∵，又∵，∴＝0即﹣1×3+2m＝0即m＝故选：D．5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2，c＝2，A＝30°，则角C 为（）A．60°B．60°或120°C．45°D．45°或135°解：由正弦定理得得＝得sin C＝，∵c＞a，∴C＞A，得C＝60°或120°，故选：B．6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛解：设圆锥的底面半径为r，则r＝8，解得r＝，故米堆的体积为××π×（）2×5≈，∵1斛米的体积约为1.62立方，∴÷1.62≈22，故选：B．7．函数y＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（）A．f（x）＝2sin（2x﹣）B．f（x）＝2sin（2x﹣）C．f（x）＝2sin（2x+）D．f（x）＝2sin（x+）解：根据函数y＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象，可得A＝2，•＝+，∴ω＝2．再根据五点法作图，可得2×+φ＝，∴φ＝﹣，故f（x）＝2sin（2x﹣），故选：A．8．定义运算：＝ad﹣bc．已知α，β都是锐角，且cosα＝，＝﹣，则cosβ＝（）A．B．C．D．解：∵α，β都是锐角，且cosα＝，＝﹣，∴sinα＝＝，∴＝sinαcosβ﹣cosαsinβ＝cosβ﹣sinβ＝﹣．∴cosβ﹣＝﹣．整理得10cos2β+4cosβ﹣1＝0，解得cosβ＝或cosβ＝﹣（舍），故选：B．9．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若AB＝，则AB1与C1B所成的角的大小为（）A．60°B．90°C．75°D．105°解：不妨设BB1＝1，则AB＝，•＝（）•（）＝+++＝0+cos60°﹣12+0＝0∴直线AB1与C1B所成角为90°故选：B．10．已知函数f（x）满足f（x）＝f（x+π），当0≤x≤时，f（x）＝4sin2x；当≤x ＜π时，f（x）＝x﹣4，若函数g（x）＝f（x）﹣ax在[0，2π）上有五个零点，则a 的最小值为（）A．B．C．D．解：函数g（x）＝f（x）﹣ax在[0，2π）上有五个零点等价于方程f（x）﹣ax＝0在[0，2π）有五个不同的实数根，即函数y＝f（x）与函数y＝ax的图象在[0，2π）有五个交点，结合图象可得，当直线y＝ax过点（2π，4）时，a取得最小值，此时，．故选：A．二、多项选择题：本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．11．将函数f（x）＝cos（2x+）﹣1的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数g（x）的图象，则下列关于函数g（x）的说法正确的是（）A．最小正周期为πB．图象关于点（，0）对称C．图象关于y轴对称D．在区间（，π）上单调递增解：将函数f（x）＝cos（2x+）﹣1 的图象向左平移个单位长度，可得y＝cos（2x+π）﹣1＝﹣cos2x﹣1 的图象，再向上平移1个单位长度，得到函数g（x）＝﹣cos2x的图象．关于函数g（x），它的最小正周期为＝π，故A正确；令x＝，求得g（x）＝0，可得它的图象关于点（，0）对称，故B正确；由于它是偶函数，故它的图象关于y轴对称，故C正确；在区间（，π）上，2x∈（π，2π），y＝cos2x单调递增，故g（x）＝﹣cos2x单调递减，故D错误，故选：ABC．12．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列选项正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊥α，则m∥nC．若α⊥β，m⊥α，则m∥βD．若n∥α，n⊥β，则α⊥β解：由m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，知：对于A，若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故A错误；对于B，若m⊥α，n⊥α，由线面垂直的性质定理得m∥n，故B正确；对于C，若α⊥β，m⊥α，则m∥β或m⊂β，故C错误；对于D，若n∥α，n⊥β，由线面平行的性质定理和面面垂直的判定定理得α⊥β，故D 正确．故选：BD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知角θ的终边经过点P（﹣1，3），则cosθ＝﹣，cos2θ＝．解：角θ的终边上的点P（﹣1，3）到原点的距离为：r＝＝，由任意角的三角函数的定义得cosθ＝＝﹣．可得cos2θ＝1﹣2sin2θ＝1﹣2×（﹣）2＝．故答案为：﹣，．14．复数范围内关于x的方程x2+x+1＝0的解集为{﹣+i，﹣﹣i}．解：x2+x+1＝0，即为x2+x+＝﹣1+，可得（x+）2＝﹣，即x+＝±i，解得x＝﹣+i或﹣﹣i，则解集为{﹣+i，﹣﹣i}．故答案为：{﹣+i，﹣﹣i}．15．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶D在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝100m．解：由题意可得AB＝600，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°﹣75°＝105°，∴∠ACB＝45°，在△ABC中，由正弦定理可得：，即＝，∴BC＝300，在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，∴tan30°＝＝，∴DC＝100．故答案为：100．16．在三棱锥P﹣ABC中，AB＝BC＝5，AC＝6，P在底面ABC内的射影D位于直线AC 上，且AD＝2CD，PD＝4，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为．解：因为AB＝BC，所以△ABC外接圆的圆心M在BO上，设此圆的半径为r，因为BO＝4，所以（4﹣r）2+32＝r2，解得，因为OD＝OC﹣CD＝3﹣2＝1，所以，设QM＝a，易知QM⊥平面ABC，则QM∥PD，因为QP＝QB，所以，即，解得a＝1，所以球Q的半径，表面积．故答案为：．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知||＝4，||＝3，（2）＝61，求：（1）向量与的夹角θ；（2）||．解：（1）∵||＝4，||＝3，∵（2）＝4||2﹣3||2﹣4•＝37﹣4•＝61∴•＝||•||•cos＜，＞＝﹣6∴cos＜，＞＝﹣∴＜，＞＝120°∵向量与的夹角θ＝120°…（2）∵||2＝||2+||2﹣2•＝16+9+12＝37∴||＝…18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC，E，F，G分别为BB1，AC，AA1的中点．（1）求证：平面BFG∥平面A1EC；（2）求证：BF⊥平面ACC1A1．【解答】证明：（1）在△AA1C中，点F为AC的中点，G为AA1的中点，∴GF∥A1C，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵E是BB1的中点，G为AA1的中点，∴A1G∥BE，且A1E＝BE，∴四边形A1GBE是平行四边形，∴A1E∥GB，∵GB∩GF＝G，∴平面BFG∥平面A1EC．（2）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵AB＝BC，点F为AC的中点，∴BF⊥AC，又AA1⊥底面ABC，BF⊂底面ABC，∴AA1⊥BF，又AA1，AC⊂平面ACC1A1，AA1∩AC＝A，∴BF⊥平面ACC1A1．19．在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2+c2＝b2+ac．（1）求角B的大小：（2）求cos A+cos C的最大值．解：（1）在△ABC中，a2+c2＝b2+ac．所以，由于0＜B＜π，所以B＝．（2）由（1）得：A+C＝，所以＝＝．由于，所以当时，cos A+cos C的最大值为1．20．如图，摩天轮上一点P在t时刻距离地面高度满足y＝A sin（ωt+φ）+b，φ∈[﹣π，π]，已知某摩天轮的半径为50米，点O距地面的高度为60米，摩天轮做匀速转动，每3分钟转一圈，点P的起始位置在摩天轮的最低点处．（1）根据条件写出y（米）关于t（分钟）的解析式；（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P距离地面超过85米？解：（1）由题意，A＝50，b＝60，T＝3；故ω＝，故y＝50sin（t+φ）+60；则由50sinφ+60＝10及φ∈[﹣π，π]得，φ＝﹣；故y50sin（t﹣）+60；（2）在第一个3分钟内求即可，令50sin（t﹣）+60＞85；则sin（t﹣）＞；故＜t﹣＜，解得，1＜t＜2；故在摩天轮转动的一圈内，有1分钟时间点P距离地面超过85米．21．已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为正方形，且PA⊥底面ABCD，过AB的平面与侧面PCD的交线为EF，且满足S△PEF：S四边形CDEF＝1：3（S△PEF表示△PEF的面积）．（1）证明：PB∥平面ACE；（2）当PA＝2AD＝2时，求点F到平面ACE的距离．【解答】证明：（1）由题知四边形ABCD为正方形，∴AB∥CD，又CD⊂平面PCD，AB⊄平面PCD∴AB∥平面PCD又AB⊂平面ABFE，平面ABFE∩平面PCD＝EF∴EF∥AB，又AB∥CD∴EF∥CD，由S△PEF：S四边形CDEF＝1：3，知E、F分别为PC、PD的中点，连接BD交AC与G，则G为BD中点，在△PBD中FG为中位线，∴EG∥PB，∵EG∥PB，EG⊂平面ACE，PB⊄平面ACE，∴PB∥平面ACE．解：（2）∵PA＝2，AD＝AB＝1，∴，，∵CD⊥AD，CD⊥PA，AD∩PA＝A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD在Rt△CDE中，，在△ACE中由余弦定理知，∴，∴S△ACE＝，设点F到平面ACE的距离为h，则，由DG⊥AC，DG⊥PA，AC∩PA＝A，得DG⊥平面PAC，且，∵E为PD中点，∴E到平面ACF的距离为，又F为PC中点，∴S△ACF＝S△ACP＝，∴由V F﹣ACE＝V E﹣ACF，解得，∴点F到平面ACE的距离为．22．已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，且sin C sin（B+）＝sin A．（1）求的值；（2）已知函数f（B）＝k（sin B+cos B）+sin B cos B（k∈R），若函数g（x）＝log2（x2﹣4cos A•x+2cos A）的定义域为R，求函数f（B）的值域．解：（1）因为sin C sin（B+）＝sin A，所以sin B•sin C+cos B•sin C＝sin（B+C）＝sin B•cos C+cos B•sin C，即sin B•sin C＝sin B•cos C．又0＜B＜π，所以tan C＝1，可得C＝…2分可得＝＝﹣2+，…4分（2）由题意函数g（x）＝log2（x2﹣4cos A•x+2cos A）的定义域为R，得，2cos2A ﹣cos A＜0，所以0＜cos A＜，所以角A的范围是，由（1）知C＝，所以，…6分设t＝sin B+cos B＝sin（B+），因为，所以t∈（1，），…8分则sin B cos B＝，令y＝h（t）＝t2+kt﹣，t∈（1，）．（i）当k≥﹣1时，h（1）＝k，h（）＝k+，此时f（B）的值域为（k，k+），…9分（ii）当﹣≤k＜﹣1时，h（﹣k）＝﹣k2﹣，h（）＝k+，此时f（B）的值域为[﹣k2﹣，k+），…10分（iii）当﹣＜k＜﹣时，h（﹣k）＝﹣k2﹣，h（1）＝k，此时f（B）的值域为[﹣k2﹣，k），…11分（iv）当k≤﹣时，h（）＝k+，h（1）＝k，此时f（B）的值域为（k+，k）．…12分。
2020-2021学年山东省青岛市市北区高一(下)期末数学试卷(解析版)
2020-2021学年山东省青岛市市北区高一（下）期末数学试卷一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．一个家庭中先后有两个小孩，则他（她）们的性别情况可能为（）A．男女、男男、女女B．男女、女男C．男男、男女、女男、女女D．男男、女女2．向量，，且，则实数λ＝（）A．3B．﹣3C．7D．﹣13．已知复数z＝，则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．在△ABC中，若A＝105°，C＝30°，，则边c＝（）A．2B．C．D．15．已知直线m，n及平面α，β，下列命题中正确的是（）A．若m⊥α，n∥β，且m∥n，则α∥βB．若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥βC．若m⊥α，n∥β，且m⊥n，则α⊥βD．若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β6．如图是我国2016年第1季度至2020年第2季度重点城市分季度土地供应统计图，针对这些季度的数据，下列说法错误的是（）A．各季度供应规划建筑面积的极差超过15000万平方米B．各季度供应规划建筑面积的平均数超过15000万平方米C．2019年第4季度与2018年第4季度相比，供应规划建筑面积上涨幅度高于10% D．2020年第1季度与2019年第1季度相比，供应规划建筑面积下降幅度高于10% 7．如图，已知＝，＝，＝3，＝2，则＝（）A．﹣+B．﹣C．﹣D．﹣+8．在△ABC中，＝＝，则sin A：sin B：sin C＝（）A．5：3：4B．5：4：3C．：：2D．：2：二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．设，是平面内两个不共线的向量，则以下，可作为该平面内一组基底的（）A．，B．，C．，D．，10．袋中装有形状完全相同的3个白球和4个黑球，从中一次摸出了3个球，下列事件是互斥事件的是（）A．摸出三个白球事件和摸出三个黑球事件B．恰好有一黑球事件和都是黑球事件C．至少一个黑球事件和至多一个白球事件D．至少一个黑球事件和全是白球事件11．有一组样本数据x1，x2，…，x n，由这组数据得到新样本数据y1，y2，…，y n，其中y i ＝x i+c（i＝1，2，…，n），c为非零常数，则（）A．两组样本数据的样本平均数相同B．两组样本数据的样本中位数相同C．两组样本数据的样本标准差相同D．两组样本数据的样本极差相同12．设一空心球是在一个大球（称为外球）的内部挖去一个有相同球心的小球（称为内球），已知内球面上的点与外球面上的点的最短距离为1，若某正方体的所有顶点均在外球面上、所有面均与内球相切，则（）A．该正方体的棱长为2B．该正方体的体对角线长为3+C．空心球的内球半径为﹣1D．空心球的外球表面积为（12+6）π二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上.13．圆柱的底面积为S，侧面展开图为一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是．14．数据7.0，8.4，8.4，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的第30百分位数是15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin B﹣cos B＝0，a＝3，b＝7，则c＝．16．某校学生参加社会劳动实践活动，把一个半径为R的球形钢材切削成一个圆锥，当圆锥的体积最大时，高为h，则＝．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知复数（i是虚数单位）．（Ⅰ）求复数z的模长；（Ⅱ）若z2+az+b＝1+i（a，b∈R），求a，b的值．18．已知向量，．（1）求向量与的夹角；（2）若（m∈R），且，求m的值19．在一次考试中，考生要从5道题中随机抽取3道进行回答，答对其中2道题为优秀，答对其中1道题为及格，某考生能答对5道题中的2道题，试求：（1）他获得优秀的概率为多少；（2）他获得及格及及格以上的概率为多少．20．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？21．已知三棱锥A﹣PBC，∠ACB＝90°，AB＝20，BC＝4，PA⊥PC，D为AB边中点且△PDB为正三角形．（1）求证：BC⊥平面PAC；（2）求三棱锥D﹣PBC的体积．22．如图，已知△ABC中，AB＝，∠ABC＝45°，∠ACB＝60°．（1）求AC的长；（2）若CD＝5，求AD的长．参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．一个家庭中先后有两个小孩，则他（她）们的性别情况可能为（）A．男女、男男、女女B．男女、女男C．男男、男女、女男、女女D．男男、女女解：根据题意，用列举法可知，性别情况有：男男、男女、女男、女女，共4 种可能．故选：C．2．向量，，且，则实数λ＝（）A．3B．﹣3C．7D．﹣1解：根据题意，若，则有•＝2+2λ＝0，解可得：λ＝﹣1，故选：D．3．已知复数z＝，则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：z＝＝＝1+i，则＝1﹣i在复平面内对应的点（1，﹣1）位于第一象限．故选：D．4．在△ABC中，若A＝105°，C＝30°，，则边c＝（）A．2B．C．D．1解：因为A＝105°，C＝30°，所以B＝45°，则，即，解得c＝2，故选：A．5．已知直线m，n及平面α，β，下列命题中正确的是（）A．若m⊥α，n∥β，且m∥n，则α∥βB．若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥βC．若m⊥α，n∥β，且m⊥n，则α⊥βD．若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β解：（1）∵若m⊥α，n∥β，且m∥n，∴n⊥α，n∥β，∴α⊥β故A不正确；（2）若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β．不正确，如两个面相交，两个相交的墙面，直线m，n都平行于交线，也满足，m∥α，n∥β，所以B不正确；（3）若m⊥α，n∥β，且m⊥n，则有可能α∥β，不一定α⊥β，所以C不正确；（4）若m⊥α，n⊥β，且m⊥n可以判断α⊥β是正确的，因为可以设两个平面的，，可得数量积为零，⊥，所以可判断α⊥β是正确的，故D正确，故选：D．6．如图是我国2016年第1季度至2020年第2季度重点城市分季度土地供应统计图，针对这些季度的数据，下列说法错误的是（）A．各季度供应规划建筑面积的极差超过15000万平方米B．各季度供应规划建筑面积的平均数超过15000万平方米C．2019年第4季度与2018年第4季度相比，供应规划建筑面积上涨幅度高于10% D．2020年第1季度与2019年第1季度相比，供应规划建筑面积下降幅度高于10%解：对于A，供应规划建筑面积最大的是2019年Q4，约为30000万平方米，最小的是2020年Q1，约为10000万平方米，故各季度供应规划建筑面积的极差约为2000万平方米，故选项A正确；对于B，2016年平均略低于15000万平方米，2017年和2020年平均约为15000万平方米，2018和2019年平均远高于15000万平方米，所以总平均应该高于15000万平方米，故选项B正确；对于C，2019年Q4同比增长约15%，上涨幅度超过10%，故选项C正确；对于D，2020Q1同比增长约﹣8%，下降幅度低于10%，故选项D错误．故选：D．7．如图，已知＝，＝，＝3，＝2，则＝（）A．﹣+B．﹣C．﹣D．﹣+解：因为＝3，＝2，所以＝，＝，由图可得＝+＝﹣，因为，则上式可得＝（）﹣＝﹣＝，故选：D．8．在△ABC中，＝＝，则sin A：sin B：sin C＝（）A．5：3：4B．5：4：3C．：：2D．：2：解：△ABC中，∵＝＝，∴＝＝，即＝＝，即＝＝bc•，即2a2+2c2﹣2b2＝3a2+3b2﹣3c2＝6b2+6c2﹣6a2，求得a2＝，b2＝，∴a＝，b＝c，∴由正弦定理可得a：b：c＝sin A：sin B：sin C＝c：c：c＝：：2，故选：C．二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．设，是平面内两个不共线的向量，则以下，可作为该平面内一组基底的（）A．，B．，C．，D．，解：对A，不能用表示，故，不共线，所以符合；对B，，所以，共线，故不符合；对C，不能用表示，故，不共线，所以符合；对D，不能用表示，故，不共线，所以符合．故选：ACD．10．袋中装有形状完全相同的3个白球和4个黑球，从中一次摸出了3个球，下列事件是互斥事件的是（）A．摸出三个白球事件和摸出三个黑球事件B．恰好有一黑球事件和都是黑球事件C．至少一个黑球事件和至多一个白球事件D．至少一个黑球事件和全是白球事件解：根据题意，依次分析选项：对于A，摸出三个白球事件和摸出三个黑球事件不可能同时发生，故它们为互斥事件，故A正确．对于B，恰好有一黑球事件和都是黑球事件不可能同时发生，故它们为互斥事件，故B 正确．对于C，比如三个球中两个黑球和 1 个白球，则至少一个黑球事件和至多一个白球事件可同时发生，故C错误．对于D，至少一个黑球事件和全是白球事件也不可能同时发生，故D正确．故选：ABD．11．有一组样本数据x1，x2，…，x n，由这组数据得到新样本数据y1，y2，…，y n，其中y i ＝x i+c（i＝1，2，…，n），c为非零常数，则（）A．两组样本数据的样本平均数相同B．两组样本数据的样本中位数相同C．两组样本数据的样本标准差相同D．两组样本数据的样本极差相同解：对于A，两组数据的平均数的差为c，故A错误；对于B，两组样本数据的样本中位数的差是c，故B错误；对于C，∵标准差D（y i）＝D（x i+c）＝D（x i），∴两组样本数据的样本标准差相同，故C正确；对于D，∵y i＝x i+c（i＝1，2，…，n），c为非零常数，x的极差为x max﹣x min，y的极差为（x max+c）﹣（x min+c）＝x max﹣x min，∴两组样本数据的样本极差相同，故D正确．故选：CD．12．设一空心球是在一个大球（称为外球）的内部挖去一个有相同球心的小球（称为内球），已知内球面上的点与外球面上的点的最短距离为1，若某正方体的所有顶点均在外球面上、所有面均与内球相切，则（）A．该正方体的棱长为2B．该正方体的体对角线长为3+C．空心球的内球半径为﹣1D．空心球的外球表面积为（12+6）π解：设内外球的半径分别为r，R，则正方体的棱长为2r，体对角线长为2R，可得R＝，又由题意可知，R﹣r＝1，联立，解得R＝，r＝，∴正方体的棱长为，体对角线长为3+，故AC错误，B正确；外球的表面积为S＝4πR2＝4π×＝（12+6）π，故D正确．故选：BD．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上.13．圆柱的底面积为S，侧面展开图为一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是4πs．解：圆柱的底面积为S，所以底面半径为：，底面周长为：；侧面展开图为一个正方形，所以圆柱的高为：，所以圆柱的侧面积为：＝4πS故答案为：4πs14．数据7.0，8.4，8.4，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的第30百分位数是8.4解：∵数据共有8个，8×30%＝2.4，故这组数据的30百分位数是第三项数据8.4，故答案为：8.4．15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin B﹣cos B＝0，a＝3，b＝7，则c＝8．解：因为sin B﹣cos B＝0，即tan B＝，因为B为三角形内角，所以B＝60°，由余弦定理得，cos B＝＝＝，整理得c2﹣3c﹣40＝0，因为c＞0，所以c＝8或c＝﹣3（舍），故答案为：8．16．某校学生参加社会劳动实践活动，把一个半径为R的球形钢材切削成一个圆锥，当圆锥的体积最大时，高为h，则＝．解：问题转化为圆锥内接于半径为R的球，当圆锥体积最大时，求圆锥的高与球半径R 的比值．作出圆锥的轴截面如图，设圆锥的高为h，底面半径为r，则r2＝R2﹣（h﹣R）2＝2Rh﹣h2＝h（2R﹣h），∴圆锥的体积V＝＝．V′＝，由V′＝0，得h＝或h＝0（舍去）．当h∈（0，）时，V′＞0，当h∈（，2R）时，V′＜0，∴当h＝时，圆锥的体积最大，此时＝．故答案为：．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知复数（i是虚数单位）．（Ⅰ）求复数z的模长；（Ⅱ）若z2+az+b＝1+i（a，b∈R），求a，b的值．解：（Ⅰ）∵＝＝＝1﹣i，∴|z|＝＝，（Ⅱ）∵z2+az+b＝1+i，∴（1﹣i）2+a（1﹣i）+b＝1+i，∴（a+b）﹣（a+2）i＝1+i，∴，∴．18．已知向量，．（1）求向量与的夹角；（2）若（m∈R），且，求m的值解：（1）根据题意，，，则，，，设向量与的夹角为θ，则，又由θ∈[0，π]，，即向量与的夹角为（2）根据题意，，，则，若，则，又由，则有（﹣4）×3+3m＝0，解可得m＝4．19．在一次考试中，考生要从5道题中随机抽取3道进行回答，答对其中2道题为优秀，答对其中1道题为及格，某考生能答对5道题中的2道题，试求：（1）他获得优秀的概率为多少；（2）他获得及格及及格以上的概率为多少．解：不妨设这5 道题的题号分别为1，2，3，4，5，其中该考生能答对的题的题号为4，5，则从这 5 道题中任取 3 道回答，该试验的样本空间Ω＝（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5），共10 个样本点．（1）记“获得优秀”为事件A，则随机事件A中包含的样本点个数为3，故；（2）记“获得及格及及格以上”为事件B，则随机事件B中包含的样本点个数为9，故．20．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？解：（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20＝1，解方程可得x＝0.0075，∴直方图中x的值为0.0075；（2）月平均用电量的众数是＝230，∵（0.002+0.0095+0.011）×20＝0.45＜0.5，∴月平均用电量的中位数在[220，240）内，设中位数为a，由（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a﹣220）＝0.5可得a＝224，∴月平均用电量的中位数为224；（3）月平均用电量为[220，240）的用户有0.0125×20×100＝25，月平均用电量为[240，260）的用户有0.0075×20×100＝15，月平均用电量为[260，280）的用户有0.005×20×100＝10，月平均用电量为[280，300）的用户有0.0025×20×100＝5，∴抽取比例为＝，∴月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取25×＝5户．21．已知三棱锥A﹣PBC，∠ACB＝90°，AB＝20，BC＝4，PA⊥PC，D为AB边中点且△PDB为正三角形．（1）求证：BC⊥平面PAC；（2）求三棱锥D﹣PBC的体积．【解答】证明：（1）∵D为AB边中点且△PDB为正三角形∴AP⊥PB又∵PA⊥PC，PB∩PC＝B，PB，PC⊂平面PBC∴PA⊥平面PBC又∵BC⊂平面PBC∴PA⊥BC∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC又∵PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC∴BC⊥平面PAC；解：（2）在Rt△PAB中，AB＝20，PB＝AB＝10∴PA＝＝10∵D为AB边中点∴三棱锥D﹣PBC的高h＝PA＝5底面PBC中，BC＝4，∴PC＝＝2故S△PBC＝•PC•BC＝4故三棱锥D﹣PBC的体积V＝•S△PBC•h＝2022．如图，已知△ABC中，AB＝，∠ABC＝45°，∠ACB＝60°．（1）求AC的长；（2）若CD＝5，求AD的长．解：（1）如图所示：已知△ABC中，AB＝，∠ABC＝45°，∠ACB＝60°．利用正弦定理，整理得＝3．（2）利用AC＝3，∠ACD＝120°，CD＝5，利用余弦定理＝＝7．。
2019-2020学年山东省德州市高一下期末数学试卷(有答案)
山东省德州市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知平面向量，，，下列命题正确的是（）A．若=，=，则=B．若||=||，则=C．若λ=0（λ为实数），则λ=0 D．若∥，∥，则∥2．设a，b，c∈R，且b＞a，则下列命题一定正确的是（）A．bc＞ac B．b3＞a3C．b2＞a2D．＜3．等比数列{a n}中，a3a5=64，则a4=（）A．8 B．﹣8 C．8或﹣8 D．164．△ABC中，AB=2，AC=3，∠B=30°，则cosC=（）A．B．C．﹣D．±5．用火柴棒摆“三角形”，如图所示：按照规律，第5个“三角形”中需要火柴棒的根数是（）A．18 B．19 C．24 D．256．设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是（）A．a＜b＜＜ B．a＜＜＜b C．a＜＜b＜ D．＜a＜＜b7．若a∈（，π），则3cos2α=sin（﹣α），则sin2α的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣8．已知m=，则函数y=2m•x++1（x＞1）的最小值是（）A．2 B．2C．2+2D．2﹣29．如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D，测得∠BCD=75°，∠BDC=45°，CD=30米，并在C测得塔顶A的仰角为60°，则塔的高度AB为（）A．30米B．30米C．15（+1）米D．10米10．如图，正方形ABCD中，M、N分别是BC、CD的中点，若=λ+μ，则λ+μ=（）A．2 B．C．D．11．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数y=f（x）的图象（）A．关于点（，0）对称 B．关于直线x=对称C．关于点（，0）对称D．关于直线x=对称12．定义为n个正数p1，p2…p n的“平均倒数”．若已知数列{a n}的前n项的“平均倒数”为，又b n=，则++…+等于（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13．在下列均为正数的表格中，每行中的各数从左到右成等差数列，每列中的各数从上到下成等比数列，那么x+y+z=．1 x 3y a 64 8 z14．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcosC+ccosB=b，则=．15．已知x、y∈R+，且满足+=2，则8x+y的取值范围是．16．在实数集R中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”，类似的，我们在平面向量集D={|=（x，y），x∈R，y∈R}上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“›”．定义如下：对于任意两个向量=（x1，y1），=（x2，y2），›当且仅当“x1＞x2”或“x1=x2且y1＞y2”．按上述定义的关系“›”，给出如下四个命题：①若=（1，0），=（0，1），=（0，0），则››；②若＞，＞，则＞；③若＞，则对于任意∈D，（ +）＞（+）；④对于任意向量＞，=（0，0）若＞，则•＞•．其中真命题的序号为．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知a∈（，π），sina=．（Ⅰ）求tan（+2a）的值；（Ⅱ）求cos（﹣2a）的值．18．已知，是同一平面内的两个向量，其中=（1，﹣2），||=2．（Ⅰ）若∥，求向量的坐标；（Ⅱ）若（2﹣3）•（2+）=﹣20，求与的夹角θ的值．19．已知函数f（x）=x2﹣2x+2a，f（x）≤0的解集为{x|﹣2≤x≤m}．（Ⅰ）求a，m的值；（Ⅱ）若关于x的不等式（c+a）x2+2（c+a）x﹣1＜0恒成立，求实数c的取值范围．20．已知函数f（x）=2sinωxcosωx﹣2cos2ωx+（ω＞0），且y=f（x）的图象的两相邻对称轴间的距离为．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，角C为锐角，且f（C）=，c=3，sinB=2sinA，求△ABC的面积．21．某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x万件，需另投入的成本为C（x）（单位：万元），当年产量小于80万件时，C（x）=x2+10x；当年产量不小于80万件时，C（x）=51x+﹣1450．假设每万件该产品的售价为50万元，且该厂当年生产的该产品能全部销售完．（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（万件）的函数关系式；（2）年产量为多少万件时，该厂在该产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？22．已知等差数列{a n}中，前n项和为S n，a1=1，{b n}为等比数列且各项均为正数，b1=1，且满足：b2+S2=7，b3+S3=22．（Ⅰ）求a n与b n；（Ⅱ）记c n=，求{c n}的前n项和T n；（Ⅲ）若不等式（﹣1）n•m﹣T n＜对一切n∈N*恒成立，求实数m的取值范围．山东省德州市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知平面向量，，，下列命题正确的是（）A．若=，=，则=B．若||=||，则=C．若λ=0（λ为实数），则λ=0 D．若∥，∥，则∥【考点】向量数乘的运算及其几何意义．【分析】根据向量相等的概念，向量的概念，向量数乘的几何意义，以及向量平行的概念便可判断每个选项的正误，从而找出正确选项．【解答】解：根据向量相等的定义，显然时，得出，∴A正确；向量包括大小和方向，∴得不出，∴B错误；时，λ=0，或，∴C错误；若，与不平行，满足，而得不出，∴D错误．故选：A．2．设a，b，c∈R，且b＞a，则下列命题一定正确的是（）A．bc＞ac B．b3＞a3C．b2＞a2D．＜【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据不等式的基本性质，及函数的单调性，判断四个答案的真假，可得结论．【解答】解：∵b＞a，当c≤0时，bc≤ac，故A错误；y=x3为增函数，故b3＞a3，故B正确；b=1，a=﹣1时，满足b＞a，但b2=a2，故C错误；b＞0＞a时，＞，故D错误；故选：B3．等比数列{a n}中，a3a5=64，则a4=（）A．8 B．﹣8 C．8或﹣8 D．16【考点】等比数列的通项公式．【分析】由题意和等比数列的性质可得a42=64，解方程可得．【解答】解：∵等比数列{a n}中，a3a5=64，∴由等比数列的性质可得a42=a3a5=64，解得a4=±8，故选：C．4．△ABC中，AB=2，AC=3，∠B=30°，则cosC=（）A．B．C．﹣D．±【考点】正弦定理．【分析】由已知及正弦定理可得sinC=，又AB＜AC，利用大边对大角可得C为锐角，根据同角三角函数基本关系式即可求得cosC的值．【解答】解：∵AB=2，AC=3，∠B=30°，∴由正弦定理可得：sinC===，又∵AB＜AC，C为锐角，∴cosC==．故选：A．5．用火柴棒摆“三角形”，如图所示：按照规律，第5个“三角形”中需要火柴棒的根数是（）A．18 B．19 C．24 D．25【考点】归纳推理．【分析】根据图象，依次写出第1、2、3、4、5个“三角形”中需要火柴棒的根数，即可得出结论．【解答】解：由题意，第1个“三角形”中需要火柴棒的根数是3；第2个“三角形”中需要火柴棒的根数是3+4=7；第3个“三角形”中需要火柴棒的根数是3+4+5=12；第4个“三角形”中需要火柴棒的根数是3+4+5+6=18；第5个“三角形”中需要火柴棒的根数是3+4+5+6+7=25，故选：D．6．设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是（）A．a＜b＜＜ B．a＜＜＜b C．a＜＜b＜ D．＜a＜＜b【考点】基本不等式．【分析】举特值计算，排除选项可得．【解答】解：取a=1且b=4，计算可得=2，=，选项A、B、D均矛盾，B符合题意，故选：B7．若a∈（，π），则3cos2α=sin（﹣α），则sin2α的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣【考点】二倍角的正弦．【分析】由条件利用两角和差的正弦公式可得cosα+sinα=，平方再利用二倍角公式，求得sin2α的值．【解答】解：∵α∈（，π），则3cos2α=sin（﹣α），∴3（cosα+sinα）•（cosα﹣sinα）=cosα﹣sinα，∴cosα﹣sinα=0 （舍去），或cosα+sinα=，即cosα+sinα=，平方可得1+2cosα•sinα=1+sin2α=，∴sin2α=﹣，故选：C．8．已知m=，则函数y=2m•x++1（x＞1）的最小值是（）A．2 B．2C．2+2D．2﹣2【考点】基本不等式；二倍角的正切．【分析】利用二倍角公式求出m，再利用基本不等式，即可求出函数y=2m•x++1（x＞1）的最小值．【解答】解：∵x＞1，∴x﹣1＞0．m==tan45°=，y=2m•x++1=x++1=（x﹣1）++2≥2+2，故选：C．9．如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D，测得∠BCD=75°，∠BDC=45°，CD=30米，并在C测得塔顶A的仰角为60°，则塔的高度AB为（）A．30米B．30米C．15（+1）米D．10米【考点】解三角形的实际应用．【分析】在△BCD中使用正弦定理得出BC，在Rt△ABC中，利用特殊角的三角函数得出AB的值．【解答】解：∵∠BCD=75°，∠BDC=45°，∴∠CBD=60°．在△BCD中使用正弦定理得，即，∴BC==10．∵∠BCA=60°，∴∠CAB=30°，∴AB=BC=30．故选A．10．如图，正方形ABCD中，M、N分别是BC、CD的中点，若=λ+μ，则λ+μ=（）A．2 B．C．D．【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】建立平面直角坐标系，使用坐标进行计算，列方程组解出λ，μ．【解答】解：以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系，如图：设正方形边长为1，则=（1，），=（﹣，1），=（1，1）．∵=λ+μ，∴，解得．∴λ+μ=．故选：D．11．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数y=f（x）的图象（）A．关于点（，0）对称 B．关于直线x=对称C．关于点（，0）对称D．关于直线x=对称【考点】正弦函数的图象．【分析】由周期求出ω=2，故函数f（x）=sin（2x+φ），再根据图象向右平移个单位后得到的函数y=sin （2x﹣+φ]是奇函数，可得φ=﹣，从而得到函数的解析式，从而求得它的对称性．【解答】解：由题意可得=π，解得ω=2，故函数f（x）=sin（2x+φ），其图象向右平移个单位后得到的图象对应的函数为y=sin[2（x﹣）+φ]=sin（2x﹣+φ]是奇函数，又|φ|＜，故φ=﹣，故函数f（x）=sin（2x﹣），故当x=时，函数f（x）=sin=1，故函数f（x）=sin（2x﹣）关于直线x=对称，故选：D．12．定义为n个正数p1，p2…p n的“平均倒数”．若已知数列{a n}的前n项的“平均倒数”为，又b n=，则++…+等于（）A．B．C．D．【考点】数列的求和．【分析】由题意和“平均倒数”的定义列出方程，求出数列{a n}的前n项和为S n，根据求出a n，代入b n=化简求出b n，代入化简后利用裂项相消法求出式子的和．【解答】解：由题意和“平均倒数”得，=，设数列{a n}的前n项和为S n，则S n=2n2+n，当n=1时，a1=S1=3，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（2n2+n）﹣[2（n﹣1）2+（n﹣1）]=4n﹣1，当n=1时也适合上式，∴a n=4n﹣1，则b n==n，∴==，∴=（1）+（）+…+（）==，故选B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13．在下列均为正数的表格中，每行中的各数从左到右成等差数列，每列中的各数从上到下成等比数列，那么x+y+z=16．1 x 3y a 64 8 z【考点】等比数列的通项公式；等差数列的通项公式．【分析】由题意得x，y，z都是正数，且1，x，3成等差数列，1，y，4成等比数列，4，8，z成等差数列，由此能求出x+y+z的值．【解答】解：由题意得x，y，z都是正数，且：1，x，3成等差数列，∴x=，1，y，4成等比数列，∴y==2，4，8，z成等差数列，∴z=8+（8﹣4）=12，∴x+y+z=2+2+12=16．故答案为：16．14．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcosC+ccosB=b，则=．【考点】正弦定理．【分析】已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，再利用正弦定理变形即可得到结果．【解答】解：将bcosC+ccosB=b，利用正弦定理化简得：sinBcosC+sinCcosB=sinB，即sin（B+C）=sinB，∵sin（B+C）=sinA，∴sinA=sinB，利用正弦定理化简得：a=b，则=．故答案为：．15．已知x、y∈R+，且满足+=2，则8x+y的取值范围是[9，+∞）．【考点】基本不等式．【分析】利用已知条件，结合基本不等式求解表达式的最值即可．【解答】解：∵x、y∈R+，且满足+=2，∴8x+y=（+）（8x+y）=（10++）≥（10+8）=9，当且仅当=，即x=，y=3时，取等号，∴8x+y的取值范围是[9，+∞）．故答案为：[9，+∞）．16．在实数集R中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”，类似的，我们在平面向量集D={|=（x，y），x∈R，y∈R}上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“›”．定义如下：对于任意两个向量=（x1，y1），=（x2，y2），›当且仅当“x1＞x2”或“x1=x2且y1＞y2”．按上述定义的关系“›”，给出如下四个命题：①若=（1，0），=（0，1），=（0，0），则››；②若＞，＞，则＞；③若＞，则对于任意∈D，（ +）＞（+）；④对于任意向量＞，=（0，0）若＞，则•＞•．其中真命题的序号为①②③．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据已知条件中，›当且仅当“x1＞x2”或“x1=x2且y1＞y2”．按上述定义的关系“›”，判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】解：对于任意两个向量=（x1，y1），=（x2，y2），›当且仅当“x1＞x2”或“x1=x2且y1＞y2”，对于①，若=（1，0），=（0，1），=（0，0），则，且，故①正确．对于②，设向量=（x1，y1），=（x2，y2），=（x3，y3），若›，›，则有“x1＞x2”或“x1=x2且y1＞y2”，“x2＞x3”或“x2=x3且y2＞y3”．故有“x1＞x3”或“x1=x3且y1＞y3”．故有›．对于③，若›，则对于任意∈D，设=（x，y），=（x1，y1），=（x2，y2），∵“x1＞x2”或“x1=x2且y1＞y2”，∴“x+x1＞x+x2”或“x+x1=x+x2且y+y1＞y+y2”，∴（+）›（+），故③正确．对于④，设设=（x，y），=（x1，y1），=（x2，y2），由›，得“x＞0”或“x=0且y＞0”；由›，得“x1＞x2”或“x1=x2且y1＞y2”；可得“x=0且y＞0”且“x1＞x2且y1＜y2”，故有“xx1=xx2且yy1＜yy2”，所以›不成立，所以④不正确，故答案为：①②③．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知a∈（，π），sina=．（Ⅰ）求tan（+2a）的值；（Ⅱ）求cos（﹣2a）的值．【考点】三角函数的化简求值．【分析】（Ⅰ）由已知条件求出cosα的值，再求出tanα和tan2α的值，根据诱导公式进一步求出tan（+2a）的值；（Ⅱ）由sinα和cosα的值，求出sin2α和cos2α的值，根据诱导公式进一步求出cos（﹣2a）的值．【解答】解：（Ⅰ）∵sina=，a∈（，π），∴cosα=．∴．则∴tan（+2a）==；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，=，，cos（﹣2a）==．18．已知，是同一平面内的两个向量，其中=（1，﹣2），||=2．（Ⅰ）若∥，求向量的坐标；（Ⅱ）若（2﹣3）•（2+）=﹣20，求与的夹角θ的值．【考点】平面向量数量积的运算；平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】（Ⅰ）可设，这样根据条件即可建立关于x，y的方程组，解该方程组即可求出，x，y，从而得出向量的坐标；（Ⅱ）根据条件便可得出，且，这样进行向量数量积的运算便可由得出的值，进而求出的值，从而求出与的夹角．【解答】解：（Ⅰ）设，根据条件，则：；解得，或；∴，或（2，﹣4）；（Ⅱ）；∴==；解得；∴=；∴；∴．19．已知函数f（x）=x2﹣2x+2a，f（x）≤0的解集为{x|﹣2≤x≤m}．（Ⅰ）求a，m的值；（Ⅱ）若关于x的不等式（c+a）x2+2（c+a）x﹣1＜0恒成立，求实数c的取值范围．【考点】二次函数的性质；函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）得到﹣2，m是方程x2﹣2x+2a=0的根，组成方程组，解出即可；（Ⅱ）通过讨论c的范围结合二次函数的性质求出c的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）≤0的解集为{x|﹣2≤x≤m}，∴﹣2，m是方程x2﹣2x+2a=0的根，∴，解得：a=﹣4，m=4；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：a=﹣4，（c+a）x2+2（c+a）x﹣1＜0，即（c﹣4）x2+2（c﹣4）x﹣1＜0，c﹣4=0，即c=4时，﹣1＜0，成立，c﹣4≠0时，若关于x的不等式（c+a）x2+2（c+a）x﹣1＜0恒成立，则，解得：＜c＜4，综上，＜c≤4．20．已知函数f（x）=2sinωxcosωx﹣2cos2ωx+（ω＞0），且y=f（x）的图象的两相邻对称轴间的距离为．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，角C为锐角，且f（C）=，c=3，sinB=2sinA，求△ABC的面积．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象；正弦定理．【分析】（Ⅰ）利用二倍角公式及辅助角公式将f（x）化简，由y=f（x）的图象的两相邻对称轴间的距离为求得ω的值，求得f（x）的解析式，利用正弦函数单调性求得f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）f（C）=，C为锐角，求得C，由正弦定理可知：sinB=2sinA，b=2a，代入余弦定理求得a和b的值，根据三角形的面积公式，可求得△ABC的面积．【解答】解：f（x）=2sinωxcosωx﹣2cos2ωx+，=sin2ωx﹣cos2ωx，=2sin（2ωx﹣），y=f（x）的图象的两相邻对称轴间的距离为，又（ω＞0），，解得：ω=1，∴f（x）=2sin（2x﹣），由﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，（k∈Z），解得：﹣+kπ≤x≤+kπ，（k∈Z），∴f（x）单调递增区间为[﹣+kπ， +kπ]，（k∈Z）；（Ⅱ）f（C）=2sin（2C﹣）=，∴2C﹣=或，∴C=或，∵角C为锐角，∴C=，sinB=2sinA，由正弦定理可知：b=2a，由余弦定理可知：c2=a2+b2﹣2abcosC，即18=a2+4a2﹣2×a×2a×，解得a=，b=2，S△ABC=absinC=××2×=3．21．某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x万件，需另投入的成本为C（x）（单位：万元），当年产量小于80万件时，C（x）=x2+10x；当年产量不小于80万件时，C（x）=51x+﹣1450．假设每万件该产品的售价为50万元，且该厂当年生产的该产品能全部销售完．（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（万件）的函数关系式；（2）年产量为多少万件时，该厂在该产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？【考点】函数模型的选择与应用；函数解析式的求解及常用方法．【分析】（1）分两种情况进行研究，当0＜x＜80时，投入成本为（万元），根据年利润=销售收入﹣成本，列出函数关系式，当x≥80时，投入成本为，根据年利润=销售收入﹣成本，列出函数关系式，最后写成分段函数的形式，从而得到答案；（2）根据年利润的解析式，分段研究函数的最值，当0＜x＜80时，利用二次函数求最值，当x≥80时，利用基本不等式求最值，最后比较两个最值，即可得到答案．【解答】解：（1）∵每件商品售价为0.005万元，∴x千件商品销售额为0.005×1000x万元，①当0＜x＜80时，根据年利润=销售收入﹣成本，∴=；②当x≥80时，根据年利润=销售收入﹣成本，∴=．综合①②可得，．（2）由（1）可知，，①当0＜x＜80时，=，∴当x=60时，L（x）取得最大值L（60）=950万元；②当x≥80时，=1200﹣200=1000，当且仅当，即x=100时，L（x）取得最大值L已知等差数列{a n}中，前n项和为S n，a1=1，{b n}为等比数列且各项均为正数，b1=1，且满足：b2+S2=7，b3+S3=22．（Ⅰ）求a n与b n；（Ⅱ）记c n=，求{c n}的前n项和T n；（Ⅲ）若不等式（﹣1）n•m﹣T n＜对一切n∈N*恒成立，求实数m的取值范围．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q＞0，由a1=1，b1=1，且满足：b2+S2=7，b3+S3=22．可得q+2+d=7，q2+3+3d=22，联立解出即可得出．（Ⅱ）c n==，利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．（Ⅲ）不等式（﹣1）n•m﹣T n＜，即（﹣1）n•m﹣4+（2+n）＜，化为：（﹣1）n•m ＜4﹣．对n分类讨论，利用数列的单调性即可得出．【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q＞0，∵a1=1，b1=1，且满足：b2+S2=7，b3+S3=22．∴q+2+d=7，q2+3+3d=22，联立解得q=4，d=1．∴a n=1+（n﹣1）=n，b n=4n﹣1．（Ⅱ）c n===，∴{c n}的前n项和T n=1++3×+…+，∴=+…+（n﹣1）+n，∴=1+++…+﹣n=﹣=2﹣（2+n），∴T n=4﹣（2+n）．（Ⅲ）不等式（﹣1）n•m﹣T n＜，即（﹣1）n•m﹣4+（2+n）＜，化为：（﹣1）n•m＜4﹣．当n为偶数时，m＜4﹣=．当n为奇数时，﹣m≤4，解得m≥﹣4．∵（﹣1）n•m﹣T n＜对一切n∈N*恒成立，∴．∴实数m的取值范围是．。
2019-2020年高二下学期期末数学试卷(文科)含解析
2019-2020年高二下学期期末数学试卷（文科）含解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U=R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|x﹣1＞0}，则A∩B=（）A．（﹣2，1）B．[1，2）C．（﹣2，1] D．（1，2）2．已知数列…，则2是这个数列的（）A．第6项B．第7项C．第11项D．第19项3．下列四个命题中的真命题为（）A．∃x0∈Z，1＜4x0＜3 B．∃x0∈Z，5x0+1=0C．∀x∈R，x2﹣1=0 D．∀x∈R，x2+x+2＞04．函数y=在x=1处的导数等于（）A．1 B．2 C．3 D．45．“a=﹣2”是“复数z=（a2﹣4）+（a+1）i（a，b∈R）为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件6．已知a=30.2，b=log64，c=log32，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a7．设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=（）A．0 B．1 C．D．58．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如表：A．0.600 B．0.828 C．2.712 D．6.0049．已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）10．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=_______．12．函数y=的值域为_______．13．若P=﹣1，Q=﹣，则P与Q的大小关系是_______．14．已知变量x，y具有线性相关关系，测得（x，y）的一组数据如下：（0，1），（1，2），（2，4），（3，5），其回归方程为=1.4x+a，则a的值等于_______．15．已知函数则的值为_______．16．按程序框图运算：若x=5，则运算进行_______次才停止；若运算进行3次才停止，则x的取值范围是_______．三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），a＞0且a≠1．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明．18．命题p方程：x2+mx+1=0有两个不等的实根，命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．19．在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？20．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．21．在无穷数列{a n}中，a1=1，对于任意n∈N*，都有a n∈N*，且a n＜a n+1．设集合A m={n|a n ≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m，即b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值，我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如：数列{a n}是1，3，4，…，它的伴随数列{b n}是1，1，2，3，…．（I）设数列{a n}是1，4，5，…，请写出{a n}的伴随数列{b n}的前5项；（II）设a n=3n﹣1（n∈N*），求数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．2015-2016学年北京市东城区高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U=R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|x﹣1＞0}，则A∩B=（）A．（﹣2，1）B．[1，2）C．（﹣2，1] D．（1，2）【考点】交集及其运算．【分析】先求出不等式x（x﹣2）＜0的解集，即求出A，再由交集的运算求出A∩B．【解答】解：由x（x﹣2）＜0得，0＜x＜2，则A={x|0＜x＜2}，B={x|x﹣1＞0}={x|x＞1}，∴A∩B═{x|1＜x＜2}=（1，2），故选D．2．已知数列…，则2是这个数列的（）A．第6项B．第7项C．第11项D．第19项【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】本题通过观察可知：原数列每一项的平方组成等差数列，且公差为3，即a n2﹣a n﹣12=3从而利用等差数列通项公式an2=2+（n﹣1）×3=3n﹣1=20，得解，n=7【解答】解：数列…，各项的平方为：2，5，8，11，…则a n2﹣a n﹣12=3，又∵a12=2，∴a n2=2+（n﹣1）×3=3n﹣1，令3n﹣1=20，则n=7．故选B．3．下列四个命题中的真命题为（）A．∃x0∈Z，1＜4x0＜3 B．∃x0∈Z，5x0+1=0 C．∀x∈R，x2﹣1=0 D．∀x∈R，x2+x+2＞0【考点】四种命题的真假关系．【分析】注意判断区分∃和∀．【解答】解：A错误，因为，不存在x0∉ZB错误，因为C错误，x=3时不满足；D中，△＜0，正确，故选D答案：D4．函数y=在x=1处的导数等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】导数的运算．【分析】先求原函数的导函数，再把x=1的值代入即可．【解答】解：∵y′=，∴y′|x=1==1．故选：A．5．“a=﹣2”是“复数z=（a2﹣4）+（a+1）i（a，b∈R）为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复数的基本概念．【分析】把a=﹣2代入复数，可以得到复数是纯虚数，当复数是纯虚数时，得到的不仅是a=﹣2这个条件，所以得到结论，前者是后者的充分不必要条件．【解答】解：a=﹣2时，Z=（22﹣4）+（﹣2+1）i=﹣i是纯虚数；Z为纯虚数时a2﹣4=0，且a+1≠0∴a=±2．∴“a=2”可以推出“Z为纯虚数”，反之不成立，故选A．6．已知a=30.2，b=log64，c=log32，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a【考点】对数值大小的比较．【分析】a=30.2＞1，利用换底公式可得：b=log64=，c=log32=，由于1＜log26＜log29，即可得出大小关系．【解答】解：∵a=30.2＞1，b=log64=，c=log32==，∵1＜log26＜log29，∴1＞b＞c，则a＞b＞c，故选：B．7．设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=（）A．0 B．1 C．D．5【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．【分析】利用奇函数的定义、函数满足的性质转化求解函数在特定自变量处的函数值是解决本题的关键．利用函数的性质寻找并建立所求的函数值与已知函数值之间的关系，用到赋值法．【解答】解：由f（1）=，对f（x+2）=f（x）+f（2），令x=﹣1，得f（1）=f（﹣1）+f（2）．又∵f（x）为奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）．于是f（2）=2f（1）=1；令x=1，得f（3）=f（1）+f（2）=，于是f（5）=f（3）+f（2）=．故选：C．8．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如表：A．0.600 B．0.828 C．2.712 D．6.004【考点】独立性检验的应用．【分析】本题考查的知识点是独立性检验公式，我们由列联表易得：a=11，b=34，c=8，d=37，代入K2的计算公式：K2=即可得到结果．【解答】解：由列联表我们易得：a=11，b=34，c=8，d=37则K2===0.6004≈0.60故选A9．已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）【考点】函数奇偶性的判断．【分析】根据奇函数的定义判断函数的奇偶性，化简函数解析式，画出函数的图象，结合图象求出函数的递减区间．【解答】解：由函数f（x）=x|x|﹣2x 可得，函数的定义域为R，且f（﹣x）=﹣x|﹣x|﹣2（﹣x ）=﹣x|x|+2x=﹣f（x），故函数为奇函数．函数f（x）=x|x|﹣2x=，如图所示：故函数的递减区间为（﹣1，1），故选C．10．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011【考点】抽象函数及其应用．【分析】首先理解⊕的运算规则，然后各选项依次分析即可．【解答】解：A选项原信息为101，则h0=a0⊕a1=1⊕0=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为11010，A选项正确；B选项原信息为110，则h0=a0⊕a1=1⊕1=0，h1=h0⊕a2=0⊕0=0，所以传输信息为01100，B 选项正确；C选项原信息为011，则h0=a0⊕a1=0⊕1=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为10110，C 选项错误；D选项原信息为001，则h0=a0⊕a1=0⊕0=0，h1=h0⊕a2=0⊕1=1，所以传输信息为00011，D 选项正确；故选C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=﹣1+i．【考点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算．【分析】由条件利用两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，计算求得结果．【解答】解：∵复数z满足（1﹣i）z=2i，则z====﹣1+i，故答案为：﹣1+i．12．函数y=的值域为{y|y≠2} ．【考点】函数的值域．【分析】函数y===2+，利用反比例函数的单调性即可得出．【解答】解：函数y===2+，当x＞1时，＞0，∴y＞2．当x＜1时，＜0，∴y＜2．综上可得：函数y=的值域为{y|y≠2}．故答案为：{y|y≠2}．13．若P=﹣1，Q=﹣，则P与Q的大小关系是P＞Q．【考点】不等式比较大小．【分析】利用作差法，和平方法即可比较大小．【解答】解：∵P=﹣1，Q=﹣，∴P﹣Q=﹣1﹣+=（+）﹣（+1）∵（+）2=12+2，（ +1）2=12+2∴+＞+1，∴P﹣Q＞0，故答案为：P＞Q14．已知变量x，y具有线性相关关系，测得（x，y）的一组数据如下：（0，1），（1，2），（2，4），（3，5），其回归方程为=1.4x+a，则a的值等于0.9．【考点】线性回归方程．【分析】求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于a的方程，解方程即可．【解答】解：∵==1.5，==3，∴这组数据的样本中心点是（1.5，3）把样本中心点代入回归直线方程，∴3=1.4×1.5+a，∴a=0.9．故答案为：0.9．15．已知函数则的值为﹣．【考点】函数的值；函数迭代．【分析】由题意可得=f（﹣）=3×（﹣），运算求得结果．【解答】解：∵函数，则=f（﹣）=3×（﹣）=﹣，故答案为﹣．16．按程序框图运算：若x=5，则运算进行4次才停止；若运算进行3次才停止，则x 的取值范围是（10，28] ．【考点】循环结构．【分析】本题的考查点是计算循环的次数，及变量初值的设定，在算法中属于难度较高的题型，处理的办法为：模拟程序的运行过程，用表格将程序运行过程中各变量的值进行管理，并分析变量的变化情况，最终得到答案．【解答】解：（1）程序在运行过程中各变量的值如下表示：x x 是否继续循环循环前5∥第一圈15 13 是第二圈39 37 是第三圈111 109 是第四圈327 325 否故循环共进行了4次；（2）由（1）中数据不难发现第n圈循环结束时，经x=（x0﹣1）×3n+1：x 是否继续循环循环前x0/第一圈（x0﹣1）×3+1 是第二圈（x0﹣1）×32+1 是第三圈（x0﹣1）×33+1 否则可得（x0﹣1）×32+1≤244且（x0﹣1）×33+1＞244解得：10＜x0≤28故答案为：4，（10，28]三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），a＞0且a≠1．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明．【考点】函数奇偶性的判断；函数的定义域及其求法．【分析】（1）使函数各部分都有意义的自变量的范围，即列出不等式组，解此不等式组求出x范围就是函数的定义域；（2）根据函数奇偶性的定义进行证明即可．【解答】解：（1）由题得，使解析式有意义的x范围是使不等式组成立的x范围，解得﹣1＜x＜1，所以函数f（x）的定义域为{x|﹣1＜x＜1}．（2）函数f（x）为奇函数，证明：由（1）知函数f（x）的定义域关于原点对称，且f（﹣x）=log a（﹣x+1）﹣log a（1+x）=﹣log a（1+x）+log a（1﹣x）=﹣[log a（1+x）﹣log a （1﹣x）]=﹣f（x）所以函数f（x）为奇函数．18．命题p方程：x2+mx+1=0有两个不等的实根，命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】先将命题p，q分别化简，然后根据若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，判断出p，q一真一假，分类讨论即可．【解答】解：由题意命题P：x2+mx+1=0有两个不等的实根，则△=m2﹣4＞0，解得m＞2或m＜﹣2，命题Q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根，则△＜0，解得﹣3＜m＜﹣1，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则p，q一真一假，（1）当P真q假时：，解得m≤﹣3，或m＞2，（2）当P假q真时：，解得﹣2≤m＜﹣1，综上所述：m的取值范围为m≤﹣3，或m＞2，或﹣2≤m＜﹣1．19．在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？【考点】函数模型的选择与应用；基本不等式在最值问题中的应用．【分析】先设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积，再利用导数的方法解决，应注意函数的定义域．【解答】解：设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积（0＜x＜60）．（0＜x＜60）令=0，解得x=0（舍去），x=40，并求得V（40）=16 000由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm320．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）把a的值代入f（x）中，求出f（x）的导函数，把x=1代入导函数中求出的导函数值即为切线的斜率，可得曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求出f（x）的导函数，分a大于等于0和a小于0两种情况讨论导函数的正负，进而得到函数的单调区间；（Ⅲ）对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），等价于f（x）max＜g（x）max，分别求出相应的最大值，即可求得实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由已知，f'（1）=2+1=3，所以斜率k=3，又切点（1，2），所以切线方程为y﹣2=3（x﹣1）），即3x﹣y﹣1=0故曲线y=f（x）在x=1处切线的切线方程为3x﹣y﹣1=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）①当a≥0时，由于x＞0，故ax+1＞0，f'（x）＞0，所以f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣②当a＜0时，由f'（x）=0，得．在区间上，f'（x）＞0，在区间上，f'（x）＜0，所以，函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）由已知，转化为f（x）max＜g（x）max．g（x）=（x﹣1）2+1，x∈[0，1]，所以g （x）max=2由（Ⅱ）知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，值域为R，故不符合题意．（或者举出反例：存在f（e3）=ae3+3＞2，故不符合题意．）当a＜0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，故f（x）的极大值即为最大值，，所以2＞﹣1﹣ln（﹣a），解得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21．在无穷数列{a n}中，a1=1，对于任意n∈N*，都有a n∈N*，且a n＜a n+1．设集合A m={n|a n ≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m，即b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值，我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如：数列{a n}是1，3，4，…，它的伴随数列{b n}是1，1，2，3，…．（I）设数列{a n}是1，4，5，…，请写出{a n}的伴随数列{b n}的前5项；（II）设a n=3n﹣1（n∈N*），求数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．【考点】数列的求和；数列的应用．【分析】（I）由{a n}伴随数列{b n}的定义可得前5项为1，1，1，2，3．（II）由a n=3n﹣1≤m，可得n≤1+log3m，m∈N*，分类讨论：当1≤m≤2时，m∈N*，b1=b2=1；当3≤m≤8时，m∈N*，b3=b4=…=b8=2；当9≤m≤20时，m∈N*，b9=b10=…=3；即可得出数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．【解答】解：（Ⅰ）数列1，4，5，…的伴随数列{b n}的前5项1，1，1，2，3；（Ⅱ）由，得n≤1+log3m（m∈N*）．∴当1≤m≤2，m∈N*时，b1=b2=1；当3≤m≤8，m∈N*时，b3=b4=…=b8=2；当9≤m≤20，m∈N*时，b9=b10=…=b20=3．∴b1+b2+…+b20=1×2+2×6+3×12=50．2016年9月9日。