高考数学命题思路分析及复习策略
高考数学命题思路分析及复习策略
分别是 A B , PC 的中
点 ,若 AB CD 是平行
四边形, 求证:MN
∥平面 PA D .
图8
这是去年我在江苏省海安中学听一位老师在
高三复习课“空间平行关系”一课上所讲的第一
道例题. 问题提出后 ,学生很快提出了两种思路 : 思路 1 连结 A 与 PD 中点 ,证明 M N 与连
线平行 ; 思路 2 证明 M , N 及 PB 中点所在平面平行
等可以得到等差数
列{ an} 的首项 a1 、公差 d 与等差数列{ bn} 的首项
b1 与公差 d′之间的关系 : a1
=
3 4
d , b1
=
d , d′=
5 d ,于是 , a9
2
b7
=
a1 b1
+ +
68dd′=
3 4
d
+
8d
d + 15 d
=
35 64
.
上文中介绍的 2006 年北京卷第 5 题所反映
象 ……)
南京师范大学葛军教授曾经提出过下面的问
题 :你看到“已知一元二次方程 x2 + bx + c = 0 的 两个根是 x1 , x2 ”能想到哪些东西 ?他认为 , 应该 想到 (1) 根与系数关系 ; (2) 函数图象 、顶点 、对称 轴分别用系数或根表示的式子 ; (3) 方程根的判 别式 > 0 ; (4) 用求根公式表示系数与根的关系 ; (5) 函数解析式的根的表示法 x2 + bx + c = ( x x1 ) ( x - x2 ) ; ……. 他以 1997 年高考压轴题“设二 次函数 f ( x) = ax 2 + bx + c ,方程 f ( x) - x = 0
2023 全国新高考1卷数学解读
2023 全国新高考1卷数学解读一、引言2023年全国新高考1卷数学试卷已经出炉，本文将对这份试卷进行详细的解读和分析。
通过解读这份试卷，我们可以了解到2023年新高考数学试题的命题思路、难易程度、考点分布以及备考建议等信息，帮助广大考生和教师更好地理解和应对新高考数学考试。
二、试卷整体分析1. 命题思路2023年全国新高考1卷数学试卷遵循了“立德树人、服务选才、引导教学”的命题原则，注重考查学生的基础知识、基本技能和基本思想方法，突出了数学的综合性、应用性和创新性。
试题设计合理，难度适中，区分度良好，有利于选拔具有数学潜力和创新能力的优秀学生。
2. 难易程度从整体上看，2023年全国新高考1卷数学试卷的难度适中。
试题设计注重基础知识和基本技能的考查，同时也涉及一些较高层次的知识点和解题方法。
部分试题难度较大，需要学生具备较高的思维能力和解题技巧。
3. 考点分布2023年全国新高考1卷数学试卷的考点分布较为广泛，涵盖了代数、几何、概率与统计等多个领域。
其中，代数部分主要考查了函数、数列、不等式等知识点；几何部分主要考查了解析几何和立体几何的相关内容；概率与统计部分则主要考查了概率论和数理统计的基础知识。
三、试题详解1. 选择题选择题部分共12小题，每小题5分，共60分。
这些题目主要考查了学生的基础知识和基本技能，涉及的知识点包括函数、数列、不等式、三角函数等。
其中，部分题目难度较大，需要学生具备较高的思维能力和解题技巧。
2. 填空题填空题部分共4小题，每小题5分，共20分。
这些题目主要考查了学生的基础知识和基本技能的掌握情况，涉及的知识点包括解析几何、立体几何等。
部分题目难度较大，需要学生具备较高的空间想象能力和逻辑推理能力。
3. 解答题解答题部分共6小题，共计70分。
这些题目主要考查了学生的综合应用能力和创新能力，涉及的知识点包括函数与导数、数列与不等式、三角函数与解三角形、概率与统计等。
部分题目难度较大，需要学生具备较高的思维能力和解题技巧。
高考历年真题复习有哪些高效策略
高考历年真题复习有哪些高效策略高考，对于每一位学子来说，都是人生中的一次重要挑战。
而历年真题作为高考复习的宝贵资源，蕴含着丰富的命题规律、考点分布和解题思路。
掌握高效的复习策略，能够让我们在真题中挖掘出更多的价值，从而提升复习效果，为高考取得优异成绩打下坚实的基础。
一、深入研究真题的命题规律在开始复习历年真题之前，我们首先要明确一个关键问题：高考真题的命题并非是随意的，而是遵循一定的规律和原则。
通过对多年真题的分析，我们可以发现，高考命题在知识点的覆盖、题型的设置、难度的分布等方面都有一定的稳定性和延续性。
比如，在数学学科中，函数、几何、数列等重点板块几乎每年都会有所涉及，而且题型和考查方式也相对固定。
在语文科目里，阅读理解、作文、古诗词鉴赏等部分的命题也有其内在的规律。
因此，我们要通过对大量真题的梳理和总结，找出这些规律。
可以将同一学科、同一知识点的真题放在一起进行对比分析，观察命题的角度、侧重点以及题型的变化趋势。
这样，我们在复习时就能做到心中有数，有针对性地进行重点突破。
二、按照考试时间全真模拟为了最大程度地发挥历年真题的作用，全真模拟考试环境是非常必要的。
在复习过程中，选择一个相对安静、不受干扰的环境，按照高考规定的时间和要求来完成真题试卷。
在模拟考试时，要严格遵守考试时间，不随意延长或缩短。
同时，要养成良好的答题习惯，如认真审题、规范书写、合理安排答题时间等。
通过全真模拟，我们不仅可以熟悉高考的考试流程和节奏，还能提前发现自己在时间管理、答题技巧等方面存在的问题，从而在后续的复习中有针对性地进行改进。
而且，全真模拟考试还能够锻炼我们的心理素质。
在模拟的过程中，我们可能会遇到一些难题或者时间紧迫的情况，这时候就需要我们保持冷静、沉着应对。
经过多次的模拟训练，我们在真正的高考考场上就能够更加从容自信，发挥出自己的最佳水平。
三、认真分析答题情况做完真题试卷后，认真分析答题情况是至关重要的一步。
高考数学命题思路分析及复习策略
高考数学命题思路分析及复习策略江苏省泰州市教育局教研室（225300）石志群从2004年开始进行分省命题试验，到今年已有18个省、市独立命题。
经过六年左、右时间的探索，很多省份都形成了具有自身特点的命题风格。
而这种风格的形成对我们研究高考数学命题技术、命题思路提供了依据，也为确定恰当的数学教学与复习策略提供了研究方向。
本文对高考数学命题(主要对江苏省)的风格、思路及对数学复习的教学策略作些粗浅的探讨，以作引玉之砖。
一、江苏省卷的风格、特点分析江苏高考数学命题经历了从全国卷到江苏卷的过渡期的“稳定”（2004年）；在教育与文化大省的背景下，努力形成江苏卷自身特点的探索期（2005年、2006年、2007年）；再到已初步形成了具有一定的稳定结构和独特风格基本成熟期（2008年、2009年）。
这个“成熟”的主要标志就是命题专家的变更并没有产生大家预想中的命题风格的大变化，而是沿着既定的目标日臻完善。
江苏高考数学命题经过六年的探索，已逐步形成风格：一是难度的控制逐步准确、合适；二是与高中教学逐步贴切，起到了较好的导向作用（这两年的高考题大多可以作为课堂教学中的好的例、习题）；三是试卷结构的改革有利于考出学生的真实的水平；四是试卷结构与形式的调整使得高中数学教学目标更明确。
具体地，有以下几方面的特点和值得研究的问题：一是整卷难度逐年下降，并逐步趋于稳定。
基础题足够基础已成为不同命题专家的共同认识（无论是填空题还是解答题，都有逐年下降的趋势）；二是填空题基本没有难题，以基础题为主，中档题次之，稍难题2条左右；三是结构基本定型，六个大题所考查的内容及位置：三角（向量）、立体几何、解析几何、函数、数列及应用问题。
而数列、函数作为压轴题的趋势有被打破的趋势：如形成固定模式，则会导致最重要的知识点、花最多时间和精力，却最没有希望得分，势必会影响今后在这两个模块上的教学投入，而且过于固定的试卷结构也不利于中学教学中对各模块的正常教学课时安排；四是压轴题难度有逐年下降的趋势，对多数考生都能有所作为的趋向明显。
2025年高考数学复习攻略
2025年高考数学复习攻略高考，对于每一位学子来说，都是人生中的一次重要挑战。
而数学，作为高考中的重点科目，更是需要我们投入大量的时间和精力去复习。
距离2025 年高考还有一段时间，但提前做好规划和准备是非常必要的。
下面，我将为大家分享一份 2025 年高考数学的复习攻略，希望能对同学们有所帮助。
一、明确考试大纲和命题趋势首先，我们要清楚高考数学的考试大纲，了解考试的重点、难点和考点分布。
可以通过研究历年的高考真题，以及教育部门发布的相关信息，来把握命题的趋势。
比如，近年来，高考数学更加注重考查学生的数学思维能力、应用能力和创新能力，题目更加贴近生活实际，强调对数学知识的灵活运用。
二、制定合理的复习计划1、基础复习阶段（现在高二下学期结束）在这个阶段，要系统地梳理高中数学的基础知识，包括函数、数列、三角函数、向量、立体几何、解析几何、概率统计等。
要确保对每个知识点都有清晰的理解，掌握基本的定义、定理和公式。
可以通过教材、辅导书和课堂笔记进行复习，同时做一些基础练习题来巩固所学知识。
2、强化复习阶段（高三上学期）在基础知识扎实的基础上，进行强化训练。
针对各个知识点，做一些难度适中的综合性题目，提高解题能力和思维能力。
这个阶段要注重总结解题方法和技巧，建立错题本，将做错的题目整理出来，分析错误原因，及时进行查漏补缺。
3、冲刺复习阶段（高三下学期）进入冲刺阶段，要开始进行模拟考试和真题演练。
按照高考的时间和要求进行模拟考试，适应考试的节奏和氛围。
通过做真题，进一步熟悉高考的题型和命题规律，提高答题的速度和准确性。
同时，要对之前的错题本进行回顾，加强薄弱环节的复习。
三、掌握有效的学习方法1、多做练习题数学是一门需要大量练习的学科，只有通过不断地做题，才能熟练掌握各种解题方法和技巧。
但做题不是盲目地刷题，而是要有针对性地选择题目，注重质量而不是数量。
2、善于总结归纳在复习过程中，要学会总结归纳。
将相似的题型、解题方法进行分类整理，形成自己的知识体系。
高考数学命题思路分析及复习策略
江苏 高考 数 学 命 题 经 历 了从 全 国卷 到 江 苏 卷 的 过 渡 期 的“ 定”２０ 稳 （０ ４年 ）在 教 育 与 文 化 大 省 的背 景 下 ， 力 ； 努 形成 江 苏 卷 自身 特 点 的 探 索 期 （ ０ ５年 、 ０ ６年 、 ０ ７ ２０ ２０ ２ ０ 年 ） 再 到 已初 步 形 成 了 具 有 一 定 的 稳 定 结 构 和 独 特 风 格 ； 基 本 成 熟 期 （０ ８年 、０ ９年 ） 这 个 “ 熟 ” ２０ ２０ ． 成 的主 要 标 志 就 是命 题 专 家 的 变 更 并 没 有 产 生 大 家 预 想 中 的 命 题 风 格 的 大 变 化 ， 是 沿 着 既 定 的 目标 日臻 完 善 ． 而
定 理 、 垂 线 定 理 、 体 几 何 、 析 几 何 等 敏 感 内容 ， 规 三 立 解 中 中 矩 ． 理 分 得 清 ： 理 要 求 的 层 次 性 、 理 内 容 的 公 平 文 文 文 性 ． 统 内容 、 增 内容 层 次 分 明 ： 增 内 容 全 面 覆 盖 ， 传 新 新 传
位 于 平 衡 位 置 ） 也 即 有 时 是 个 别 题 把 关 （ 有 层 次 ） 有 ． 也 ，
江 苏 高 考 数 学 命 题 经 过 六 年 的探 索 ， 逐 步 形 成 风 已
格 ： 是 难 度 的 控 制 逐 步 准 确 、 适 ；二 是 与 高 中 教 学 逐 一 合 步 贴 切 ， 到 了 较好 的 导 向 作 用 （ 两 年 的 高 考 题 大 多 可 起 这 以作 为 课 堂 教 学 中 的 好 的 例 、 题 ） 三 是 试 卷 结 构 的 改 习 ； 革 有 利 于考 出 学 生 的 真 实 的 水 平 ； 是 试 卷 结 构 与 形 式 四 的调 整 使 得 高 中数 学 教 学 目标更 明 确 ．
新高考模式下2024年高三数学一轮复习计划和策略
新高考模式下2024年高三数学一轮复习计划和策略随着新高考改革的持续深化，2024年高三数学的复习工作面临着新的挑战与机遇。
为了帮助学生高效备考，科学规划复习路径，本文特制定了新高考模式下2024年高三数学一轮复习计划和策略，涵盖“明确复习目标”、“夯实基础知识”、“精选典型例题”、“专题模块突破”、“模拟考试与反思”、“强化思维训练”、“调整复习策略”及“关注新高考动态”等八个方面。
1. 明确复习目标内容：根据新高考数学科目的考试大纲，明确复习的具体目标和要求。
设定阶段性目标，如知识点掌握程度、解题能力提升等。
策略：深入研究考试大纲，了解考试结构、题型分布及难度层次。
制定个人复习计划，确保复习目标具体、可量化、可达成。
2. 夯实基础知识内容：系统回顾并巩固高中数学的基础知识，包括函数、数列、三角函数、立体几何、解析几何、概率统计等。
策略：利用教材、教辅资料及网络资源，进行全面梳理。
通过习题练习，检验并巩固基础知识掌握情况。
3. 精选典型例题内容：选择具有代表性的例题，覆盖各章节重难点及常考题型。
策略：分析例题解题思路，总结解题方法和技巧。
举一反三，通过变式训练加深理解。
4. 专题模块突破内容：针对高考数学中的难点和热点，设置专题模块进行集中突破。
策略：划分专题，如函数与导数、圆锥曲线、数列与不等式等。
每个专题设置详细的学习计划和练习安排，确保深入理解并掌握。
5. 模拟考试与反思内容：定期进行模拟考试，模拟真实考试环境，检验复习效果。
深入分析模拟考试结果，查找问题并总结经验。
策略：选择高质量的模拟试卷，确保题目难度和题型分布接近高考。
考试后认真批改试卷，记录错题及错误原因，制定改进措施。
6. 强化思维训练内容：培养学生的数学思维能力，包括逻辑推理、空间想象、抽象概括等。
策略：通过解决复杂问题、探究性问题等，锻炼学生的思维能力。
鼓励学生参与数学竞赛、讨论班等活动，拓宽思维视野。
7. 调整复习策略内容：根据复习进度和效果，及时调整复习策略和方法。
新课标高考数学科命题思路
新课标高考数学科命题思路数学科的高考命题，按照“考查基础知识的同时，注重考查能力”的命题原则，确立以能力立意命题的指导思想.在试题命制和试卷结构上会有如下特点：一是注重对数学思想和数学方法的考查，增加能力型和应用性的试题；二是融知识、方法、思想、能力于一体，全面检测考生的数学素质；三是在兼顾试题的基础性、综合性、实践性的同时，重视试题的层次性，合理调控试题的难度，坚持多角度、多层次的考查，充分发挥数学科高考的区分、选拔功能，从而对高中数学教学起到积极的导向作用.[命题思路一]注重对基础知识的考查数学知识是命题的基础和载体.随着数学教育改革的发展，高考数学科考试对数学基础知识进行了重新认识和定位——减少了对单纯知识、公式（如三角公式）的记忆要求，降低了对运算（如指数、对数、幂的运算，复数的概念和运算）复杂性、技巧性的要求；知识作用的重新定位，就是将考试的内容更多的指向有能力价值和实践价值的数学基础知识.现代脑科学研究表明，人脑系统是非加和性的，不能把系统简单地视为其构成部分的叠加——这意味着通过把各数学知识点叠加起来进行测试的结果作为学生的数学知识和数学能力的衡量并不科学.数学学科的系统性和严密性决定了数学知识之间深刻的内在联系，包括各部分知识在各自的发展过程中的纵向联系和各部分知识之间的横向联系——高考命题就是从本质上抓住这些联系，通过分类、梳理、综合，来构建数学高考试题的框架结构.另一方面，对于支撑数学学科知识体系的重点知识，在高考试题中将保持较高的比例（80%左右），从而构成高考数学试题的主体.但是，高考命题又不刻意追求知识的覆盖面，而是从数学学科的整体高度、思维价值高度设计命题.[命题思路二]多角度、多层次地考查能力高考《考试大纲》要求：“考查基础知识的同时，注重考查能力.”按照这一要求，数学高考的命题，将“以能力立意”为命题指导思想.在试题命制和试卷结构中，体现数学试题的四个鲜明特点——“概念性强；思辨性全；量化突出；解法多样”.“以能力立意”，就是以数学知识为载体，从问题入手，把握数学学科的整体意义，用统一的数学思想组织试题的材料，侧重考查考生对知识的理解和应用——尤其是综合和灵活的应用，以此来检测考生个体对知识的迁移能力，从而检测出考生个体数学思维的广度和深度以及进一步学习的潜能.高考数学试题考查的数学能力包括：（1）数学思维能力：演绎推理，归纳推理，直觉思维能力和运用数学语言的能力；（2）数学运算能力：即思维能力与运算技能的有机结合；（3）空间想象能力：视图与作图，图像与概念的结合，图像的正确处理；（4）实践能力：运用数学知识和数学思想方法观察、分析、解决实际问题；（5）创新意识：具有创新性质的思维活动。
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高考数学命题思路分析及复习策略石志群【专题名称】高中数学教与学【专题号】G312【复印期号】2010年04期【原文出处】《中学教学月刊》(苏州)2009年11期第19～21页【作者简介】石志群，江苏省泰州市教育局教研室(225300)。
从2004年开始进行分省命题试验，到今年已有18个省、市独立命题。
经过六年左右时间的探索，很多省份都形成了具有自身特点的命题风格。
而这种风格的形成对我们研究高考数学命题技术、命题思路提供了依据，也为确定恰当的数学教学与复习策略提供了研究方向。
本文对高考数学命题（以江苏省为例）的风格、思路及对数学复习的教学策略作些粗浅的探讨，以作引玉之砖。
一、江苏省卷的风格、特点分析江苏高考数学命题经历了从全国卷到江苏卷的过渡期的“稳定”（2004年）；在教育与文化大省的背景下，努力形成江苏卷自身特点的探索期（2005年、2006年、2007年）；再到已初步形成了具有一定的稳定结构和独特风格基本成熟期（2008年、2009年）。
这个“成熟”的主要标志就是命题专家的变更并没有产生大家预想中的命题风格的大变化，而是沿着既定的目标日臻完善。
江苏高考数学命题经过六年的探索，已逐步形成风格：一是难度的控制逐步准确、合适；二是与高中教学逐步贴切，起到了较好的导向作用（这两年的高考题大多可以作为课堂教学中的好的例、习题）；三是试卷结构的改革有利于考出学生的真实的水平；四是试卷结构与形式的调整使得高中数学教学目标更明确。
具体地，有以下几方面的特点和值得研究的问题：(1)整卷难度逐年下降，并逐步趋于稳定。
基础题足够基础已成为不同命题专家的共同认识（无论是填空题还是解答题，都有逐年下降的趋势）。
(2)填空题基本没有难题，以基础题为主，中档题次之，稍难题2道左右。
(3)结构基本定型，六个大题所考查的内容及位置：三角（向量）、立体几何、解析几何、函数、数列及应用问题。
而数列、函数作为压轴题的趋势有被打破的趋势：如形成固定模式，则会导致最重要的知识点、花最多时间和精力，却最没有希望得分，势必会影响今后在这两个模块上的教学投入，而且过于固定的试卷结构也不利于中学教学中对各模块的正常教学课时安排。
(4)压轴题难度有逐年下降的趋势，对多数考生都能有所作为的趋向明显。
压轴题层次分明，至少有一个小题难度较小甚至很小，以往放弃最后两题的习惯性思维必须改变。
近两年江苏高考数学大题均分情况比较见表1。
(5)附加题成为重要的得分点，值得重视。
2008年附加题均分21.76，2009年均分超过27分。
事实上，难度高于去年，而得分也高于去年，这说明，重视度对这部分的得分影响较大（2008年不计入划线，2009年计入再划线）。
表1(6)附加题得分的公平性对命题的影响：不等式得分最低，平面几何次之，矩阵与变换得分最高，连续两年如此，且今年对不等式证明的要求还有所降低（作差比较即可）。
因此，选择性与教学策略很重要。
(7)逐步克服过重的竞赛味，试题更加通俗化，更接近常规，使学生看得懂，不会有心理上的恐惧。
如今年的几道大题与去年，去年与前年比较，变化明显。
事实上，与其他省、市卷相比，江苏卷在这方面一直做得比较好。
(8)压轴题的独特风格具有延续性：数列、函数题的载体基础，不别出心裁。
其他省市卷中的数列与不等式、函数与不等式在江苏不受青睐。
导数考查层次比较基础，与其他省市的导数题的压轴风格及其与方程、不等式等的结构套路形成鲜明对照。
(9)江苏新课程卷特别注重对应用问题的考查，这两年都在区别度最高的位置设计了新颖的应用性问题。
(10)风格有多样性，即稳定之中有变化（不可能始终位于平衡位置）。
也即有时是个别题把关（也有层次），有时是多题把关（每题有一个问题难，且难得适当）。
从各方反映看，后一种风格更为大家接受。
(11)《考试说明》得到了充分尊重。
内容不出界：韦达定理、三垂线定理、立体几何、解析几何等敏感内容，中规中矩。
文理分得清：文理要求的层次性、文理内容的公平性。
传统内容、新增内容层次分明：新增内容全面覆盖，传统内容重在区分。
(12)可能出现个别有争议的“超纲”嫌疑的问题，不过可能因为出现在本来就较难的题中，并没有引起大的争议。
如2007年的第21(3)中需要解无理不等式，2009年的前n-1个正整数的平方和问题，等等。
个人的看法：到了压轴题，可能就不一定很“讲理”了，可以理解！二、高考数学命题思路分析1.源于教材的原则自自主命题以来，江苏卷在“源于教材”方面进行了很有成效的尝试，对高中数学教学起到了较好的导向作用。
从下面的内容我们可以看到，江苏卷对教材中例题、练习与习题的改编也有一个从探索到成熟的发展过程。
(1)直接改编即将教材中的问题进行较小的变化，如数据的改变、图形的添加等。
这些题大多是基础题，主要考查学生对基础知识或基本方法的掌握的情况。
范例1 （2008年江苏卷第2题）若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具）先后抛掷两次，则出现向上点数之和为4的概率是＿＿。
教材（如无特别说明，指苏教版课程标准高中数学实验教材）必修3第95页例3：将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，问：(1)共有多少种不同的结果？(2)两数之和是3的倍数的结果有多少种？(3)两数之和是3的倍数的概率是多少？高考题就是将教材中的例题的数据改了一下，在和的大小上增加了1，而在结果的情形上降了格。
图1图2图3(2)大跨度改编即教材题的背景深藏于新问题之中，从表象上已基本看不出教材中题目的形式或特征了。
范例4 （2006年江苏卷第9题）两个相同的四棱锥组成图4所示的几何体，可放人棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体的体积的可能值有(A)1个(B)2个(C)3个(D)无穷多个图4人教版全日制普通高级中学教科书《数学》第三册（选修Ⅰ2004年版）第46页习题2.5第4题：已知一个正方形内接于边长为a的正方形中（图5中课本题），问x取什么值时，内接正方形面积最小？该题经历了以下的改编过程：本题的编制过程经历了从平面向空间、从简单图形向复杂图形的演化过程，并借助体积取值的连续性，提出了一个计数问题。
应该说，这样的改编是本质的改编、创造性的改编，对教师研究教材提出了非常高的要求：不仅是在数、量、形上的不同维度的类比与复杂化，而且在高观点的数学观念上要有认识、有升华。
图5(3)组合嫁接即将几个题目进行组合、嫁接，这是一种复合型编题法。
解决这类问题的方法就是“还原”，即编题技术的逆向运行：分解。
教材必修3第10页练习3：写出解方程ax+b=0（a，b为常数）的一个算法，并画出流程图。
高考题第(1)、(2)题均需求直线被圆截得的弦长，这与教材必修2上的这道例题的方法是一致的；而第(2)题中，如果设点P(a,b)，直线的斜率为k，则由弦长相等最后可化为关于k的方程(a+b-2)k=b-a+3或(a-b+8)k=a+b-5。
这两个方程中至少要有一个有无数多组解，也即教材必修3上的方程ax+b=0求解算法中的一个选择分支：a=0且b=0时，也即方程有无数多个解的条件：一次项系数等于0且常数项等于0。
(4)运用方法、思想也即将教材中的方法、思想作为改编的背景材料或思维起点，这种方法编制出的问题通常有着更加高的测试效果：共同的教材，不同的理解深度，就将教师的水平、学生的能力充分地区别开了。
范例6 （2008江苏卷第18题）在平面直角坐标系xOy中，二次函数与两坐标轴有三个交点。
记过三个交点的圆为圆C。
(1)求实数b的取值范围；(2)求圆C的方程；(3)圆C是否经过定点？证明你的结论。
教材必修2第115页复习题第19题：求证：无论k取任何实数，直线(1+4k)x-(2-3k)y+(2-14k)=0必经过一个定点，并求出这个定点的坐标。
教学时就应该将解决这个问题的基本思想方法与思维策略加以充分的挖掘：思路1 k变化，方程对应的曲线也就跟着变，但无论怎样变，都经过一个定点，因而，这个点就一定是这些变化着的曲线的交点，于是思路自然就产生了：取其中两个特殊的k所对应的两条曲线，求出它们的交点，再检验对一般情况都成立。
思路2 k在变化，曲线跟着变化，而经过定点这个性质不变，也即这个性质不随着k 的变化而变化，故其与k无关，故而只要对k集项，并令k的系数为0即可确定定点了。
教学中处理这个问题时，通常只注意到突出转化思想：，但没有注意到，如果只是为了说明转化思想，本不必要将诱导公式特别给出（这也正是部分教师感到困惑的地方），给出这个诱导公式就是要突出由取导数导出新等式的数学方法，从一个方面说明导数的价值。
而(iii)题则是对学生学习能力的进一步、高层次的考查：从表达式的结构上看，分母k+1与组合数的上标的关系应该想到“求积分”的思路，而且就题目的整体结构看、从学习的类化能力看，既然等式两边求导数可以构造出新的等式，那么，在等式两边求积分也一定能得到新的等式。
因此，这个问题充分反映了教材中蕴含的思想、方法是值得深入挖掘的。
笔者一向认为：教师对教材认识的高度决定学生的思维深度。
范例8 （2008年江苏卷第19题）(I)设是各项均不为零的n(n≥4)项等差数列，且公差d≠0。
若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列。
（Ⅰ）(1)当n=4时，求的值；(2)求n的所有可能值；（Ⅱ）求证：对于给定的正整数n(n≥4)，存在一个各项及公差均不为零的等差数列，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列。
本题(1)所使用的是一个简单的事实：既成等差又成等比的三个数相等，这是研究等差数列和等比数列及其关系时的很容易想到的基本事实。
这说踢，数学教学应该抓住最基本问题挖掘最本质的知识、方法和思想。
题（Ⅱ）需要由反面思考：如果有三项成等比数列（由此可得到一个等式），那么就会出现矛盾的结论（即那个等式不可能成立）。
不仅这个反证的思想源于教材，而且产生矛盾的形式也在教材之中。
教材2-2第84页习题22第6题：证明：1，，3不可能是同一个等差数列中的三项。
证明方法就是用反证法，构造一个一边为无理数，一边为有理数的等式。
现在反思我们的教学，如果只是将反证法的思路讲一下，这个题的教学功能就没有能够充分发挥。
我认为，如果教学中对本题多问几个深究性的问题，学生对其本质就会充分理解了（是不是任取三个实数，它们都不能成为同一个等差数列中的项？是不是有了无理数就不能成为同一个等差数列中的项？怎样的三个数不能成为同一个等差数列中的项？）。
（未完待续）^。