高中数学_《平面向量数量积的坐标表示模夹角》教学设计学情分析教材分析课后反思

《2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》教学设计一、教材分析1、教材的地位和作用本节课是普通高中课程标准实验教科书（人教A版）《数学必修4》第二章第四节“平面向量的数量积”的第二课时---平面向量数量积的坐标表示、模、夹角。

平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算，平面向量数量积的坐标表示，就是运用坐标这一量化工具表达向量的数量积运算，为研究平面中的距离、垂直、角度等问题提供了全新的手段。

它把向量的数量积与坐标运算两个知识点紧密联系起来，是全章重点之一。

本节课是是在学生已经掌握了平面向量数量积的含义及运算律的基础上进行教学的，因此难度不大。

根据新课标的要求和学生的实际我确定本节课的重难点如下：2．教学重点、难点（1）教学重点1.掌握平面向量数量积的坐标表示方法；2.掌握向量垂直的坐标表示的条件及平面内两点间的距离公式；3.能用平面向量数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题. （２）教学难点用平面向量数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题.二、学情分析此之前学生已学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积概念及运算，但数量积是用长度和夹角这两个概念来表示的，应用起来不太方便，如何用坐标这一最基本、最常用的工具来表示数量积，使之应用更方便，就是摆在学生面前的一个亟待解决的问题。

因此，本节内容的学习是学生认知发展和知识构建的一个合情、合理的“生长点”。

三、教学目标分析根据本节课的特点,结合新课程标准对本节课的教学要求和学生的认知规律,我从以下三个方面确定了以下教学目标:(1)知识与技能目标:⑴掌握平面向量数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；⑵掌握平面向量的模的坐标公式以及平面内两点间的距离公式；⑶掌握两个平面向量的夹角的坐标公式；⑷能用平面向量数量积的坐标公式判断两个平面向量的垂直关系；(2) 过程与方法目标：经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程，体验在此基础上探究发现向量的模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣，培养学生的探究能力、创新精神。

(3)情感态度与价值观目标：引导学生探索归纳，感受、理解知识的产生和发展过程，激发学习数学的兴趣。

注重培养学生的动手能力和探索能力；同时通过平面向量数量积的数与形两种表示的相互转化，使学生进一步体会数形结合的思想。

四、教法学法分析１．教学方法“授人以鱼，不如授人以渔” 。

在教学过程中，不仅要传授学生课本知识，更重要的是培养学生善于观察、主动思考、勤于动手、学会合作等学习能力，增强学生的综合素质，所以教学方法主要采用启发探究式，来充分调动学生学习的主动性、积极性。

教师平等的参与学生的自主探究活动，通过启发、引导、激励来体现教师的主导作用，根据学生的认知情况和情感发展来调整整个学习活动的梯度和层次，引导学生全员、全过程参与，保证学生的认知水平和情感体验分层次向前推进。

2.学法分析通过教师的启发与帮助，让学生在课堂上能说一说、想一想、做一做、议一议，强调学生的发现学习、自主探究和合作交流，使学生真正成为学习的主人。

五、教学过程设计1、创设问题情景，激发学习兴趣问题1、⑴正交分解下向量的坐标表示；问题2、平面向量数量积的意义、运算律。

设计意图：回顾平面向量数量积的意义，为探究数量积的坐标表示做好准备。

2、探索研究，建构新知探究1、探究平面向量数量积的坐标表示 已知两个非零向量),(11y x a =，),(22y x b =，怎样用与的坐标来表示⋅呢？ （))((2211y x y x ++=⋅ 2211221221y y y x y x x x +⋅+⋅+=2121y y x x +=设计意图：让学生先思考，尝试归纳平面向量数量积的坐标表示，充分发挥学生学习的主动性。

探究2、探索发现向量的模、夹角等度量的坐标表示式向量的模： 设),(y x =，则有222y x +=或22||y x +=两点间的距离公式：设),(11y x A ，),(22y x B ，则),(1212y y x x --=，221221)()(||y y x x AB -+-= 两向量的夹角的坐标表示公式： 设),(11y x a =，),(22y x b =，则02121=+⇔⊥y y x x b a设非零向量),(11y x =，),(22y x =，θ为a 与b 的夹角，则222221212121||||cos y x y x y y x x b a +⋅++=⋅=θ两向量垂直的坐标表示的判断条件： 设),(11y x =，),(22y x =，则02121=+⇔⊥y y x x设计意图：通过学生的自主探究合作交流解决提出的问题并让学生展示探究结果，教师予以点评。

2、自我检测（1）、已知(34)a ,=-r ，(5,2)b =r ，则_________a b ⋅=r r ，||_______a =r ，||_______b =r . （2）、已知(32)a ,=r ，(2,3)b =r ，a r 与b r 之间的夹角为θ，则cos θ=______.（3）、若(22)BA ,=-u u u r ，C (11)B ,=u u u r ，则ABC ∠=_______设计意图：通过学生自我检测体会基础知识的简单运用，这样能够充分调动学生学习的积极性，使学生体会到成功的乐趣。

3、典例讲解： 例1、(3,4),(6,8),a b =-=-r r 已知求 ()()a b a b +⋅-r r r r 及a b -r r ｜｜的值. 例2、已知(1,4),(5,2),(3,4)A B C --，先作图观察△ABC 的形状，然后给出证明.例3、（1）(1(2a b ,a b ==-r r r r 已知，，求与的夹角. （2）(12)(23)2a ,b ,c a b ==--=+r r r r r 设，，又，d a mb =+u r r r ，且45c d ︒r u r 与的夹角为， 求实数m 的值.设计意图：学生才是学习活动的主体，让学生成为学习的研究者，不断地让学生体验到成功的喜悦，激发学生参与学习活动的热情，不仅使学生获得了知识，更培养了学生善于归纳总结思维品质课堂练习：教材P108习题2.4A 组第5题，教材P107练习第1～3题。

设计意图：围绕本节课的知识目标， 让学生完成4道习题。

通过练习，及时反馈学生学习达成度，同时学生可以自评这节课的学习收获。

4、总结提炼，知识升华：⑴掌握平面向量数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算； ⑵掌握平面向量的模的坐标公式以及平面内两点间的距离公式；⑶掌握两个平面向量的夹角的坐标公式；⑷能用平面向量数量积的坐标公式判断两个平面向量的垂直关系；设计意图：以学生小结为主教师帮助为辅，巩固所学知识。

在梳理本节课所学的知识点归纳的过程中进一步加深对本节课所学知识的理解与运用，培养学生归纳总结的能力。

5．布置作业，延伸课堂（1）基本题：教材P108习题2.4A组第7～11题，（2）提高拓展：B组第2～4题。

设计意图：将作业分为基本题和提高拓展题两个部分，体现分层教学思想。

基本题面向全体，注重知识反馈，提高拓展题更注重知识的延伸性、连贯性和应用性，有能力的学生可以去探求。

6、板书设计平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、坐标表示例题：二、模、夹角公式学情分析此之前学生已学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积概念及运算，但数量积是用长度和夹角这两个概念来表示的，应用起来不太方便，如何用坐标这一最基本、最常用的工具来表示数量积，使之应用更方便，就是摆在学生面前的一个亟待解决的问题。

因此，本节内容的学习是学生认知发展和知识构建的一个合情、合理的“生长点”。

效果分析本节课能有效调动课堂的气氛，感染学生的情绪，对课堂教学发挥着积极的推动作用。

教学过程中，尊重学生之间的差异，注重过程性评价与多元评价，将教学评价贯穿于本堂课的每个教学环节中，通过自我测评、同学互评、老师点评等多种评价方式让更多的学生获得学习的自信，在轻松融洽的课堂评价氛围中完成本节课的教学和学习任务。

整体上，可以完成教学任务，由于本节课是在上一节数量积的基础上进行学习的，学生对于数量积的知识掌握得比较好，于是，对于本节课的知识比较容易接受。

通过本次公开课，可以又一次学到很多东西，下一次要做得更好，我要慢慢改进我的语言表达能力，希望课堂气氛可以更加活跃。

教材分析本节课是普通高中课程标准实验教科书（人教A版）《数学必修4》第二章第四节“平面向量的数量积”的第二课时---平面向量数量积的坐标表示、模、夹角。

平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算，平面向量数量积的坐标表示，就是运用坐标这一量化工具表达向量的数量积运算，为研究平面中的距离、垂直、角度等问题提供了全新的手段。

它把向量的数量积与坐标运算两个知识点紧密联系起来，是全章重点之一。

本节课是是在学生已经掌握了平面向量数量积的含义及运算律的基础上进行教学的，因此难度不大。

评测练习1．已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( )A ．－8B ．－6C ．6D ．82．已知O 为坐标原点，向量OA →＝(2,2)，OB →＝(4,1)，在x 轴上有一点P 使得AP →·BP →有最小值，则点P 的坐标是( )A ．(－3,0)B ．(2,0)C ．(3,0)D ．(4,0)3．设a ＝(m ＋1，－3)，b ＝(1，m －1)，若(a ＋b )⊥(a －b )，则m ＝________.4．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·AF →＝2，则AE →·BF →的值是________．5．已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )，x ∈R .(1)若a ⊥b ，求x 的值； (2)若a ∥b ，求|a －b |..6．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(－2,0)．(1)求a －b 的坐标以及a －b 与a 之间的夹角；(2)当t ∈[－1,1]时，求|a －t b |的取值范围．课后反思首先，我先复习前一节课学过的内容，主要关于四个问题：1.平面向量数量积的定义；2.模的问题；3.垂直问题；4.夹角问题。

接下来，再复习两个单位向量i，j。

先从数量积的坐标表示开始，增加一道小练习，使学习对新知识马上应用；紧接给出向量的模的坐标表示，然后设计例1关于数量积和模坐标表示的考察；再接着讲解关于垂直的问题，重复强调数量积为0，并与之前的平行问题进行对于。

避免学生混淆这两个知识点。

最后讲解关于夹角的问题，强调向量夹角的取值范围，这个是学生容易忽略的问题。