材料的热学性能
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材料的热学性能
辐射防热：利用材料表面的热辐射性能的特殊防热 方式，要求材料表面热发射率高，关键参数是材料 表面的热发射率。
吸收防热：利用材料本身的具有较大的比热容和导 热系数，以便将热量尽多地吸收或导出。关键性能 参数：材料的比热容和导热系数。
烧蚀防热：则要求协调各方面的性能参数， 如：要求高的热发射率，以便让头部表面散 失更多的热量；尽可能高的热容和尽可低的 导温系数，以便让头部吸收更多的热量而又 不至于升温过快；尽可能小的导热系数，头 部表面的热量就难以传递到内壁；头部材料 与基体材料之间的热应力应尽可能小，要求 两者间的膨胀系数尽可能地匹配。
一维双原子晶格的热振动模型运动方程：
m1x2n1 Ke (x2n2 x2n 2x2n1)
m2x2n Ke (x2n1 x2n1 2x2n )
假设 m2 m1, 则该方程的解为：
x2n1 AeitL(2n1)a
x2n
热力学定律
1 热力学第一定律：
Q E A
微分形式为：
dQ dE dA
局限性：只能说明能 量转化的数量关系， 不能解决过程进行的 限度问题，以及过程 进行的方向问题。
2 热力学第二定律：
（1）可劳修斯说法：不可能把 热从低温物体传到高温物体而 不引起其它的变化。 （2）开尔文的说法：不可能从 单一热源取热使之完全变为有 用的功而不引起其它的变化。 （3）数学表达式
本章就介绍固体材料的热容理论、材料热性能的一般规 律、主要测试方法等及其在材料中的应用，这些内容加以探 讨，以便在选材、用材、探讨新材料和新工艺方面打下物理 理论基础。
第一节 热学性能的物理基础
热运动：物质中的分子和原子均处在不停的 无规则运动状态。
吸收防热：利用材料本身的具有较大的比热容和导 热系数，以便将热量尽多地吸收或导出。关键性能 参数：材料的比热容和导热系数。
烧蚀防热：则要求协调各方面的性能参数， 如：要求高的热发射率，以便让头部表面散 失更多的热量；尽可能高的热容和尽可低的 导温系数，以便让头部吸收更多的热量而又 不至于升温过快；尽可能小的导热系数，头 部表面的热量就难以传递到内壁；头部材料 与基体材料之间的热应力应尽可能小，要求 两者间的膨胀系数尽可能地匹配。
一维双原子晶格的热振动模型运动方程：
m1x2n1 Ke (x2n2 x2n 2x2n1)
m2x2n Ke (x2n1 x2n1 2x2n )
假设 m2 m1, 则该方程的解为：
x2n1 AeitL(2n1)a
x2n
热力学定律
1 热力学第一定律：
Q E A
微分形式为：
dQ dE dA
局限性：只能说明能 量转化的数量关系， 不能解决过程进行的 限度问题，以及过程 进行的方向问题。
2 热力学第二定律：
（1）可劳修斯说法：不可能把 热从低温物体传到高温物体而 不引起其它的变化。 （2）开尔文的说法：不可能从 单一热源取热使之完全变为有 用的功而不引起其它的变化。 （3）数学表达式
本章就介绍固体材料的热容理论、材料热性能的一般规 律、主要测试方法等及其在材料中的应用，这些内容加以探 讨，以便在选材、用材、探讨新材料和新工艺方面打下物理 理论基础。
第一节 热学性能的物理基础
热运动：物质中的分子和原子均处在不停的 无规则运动状态。
材料的热学性能
材料的热学性能
材料的热学性能是指材料在热学方面的特性和性能，包括热传导、热膨胀、比热容等。
热学性能对于材料的选择、设计和应用具有重要意义。
在工程领域中，热学性能的优劣直接影响着材料的使用效果和性能表现。
首先，热传导是材料的重要热学性能之一。
热传导是指材料内部热量传递的能力，也可以理解为热量在材料内部的传播速度。
热传导系数是衡量材料热传导性能的重要参数，通常用λ表示。
热传导系数越大，材料的热传导性能越好，热量传递速度越快。
金属材料通常具有较高的热传导性能，而绝缘材料则具有较低的热传导性能。
其次，热膨胀是材料的另一个重要热学性能。
热膨胀是指材料在温度变化时的尺寸变化情况。
一般情况下，材料的热膨胀系数随着温度的升高而增大。
热膨胀性能对于材料在温度变化环境下的应用具有重要影响，尤其是在高温或低温环境下的工程应用中更为显著。
此外，材料的比热容也是其重要的热学性能之一。
比热容是指单位质量材料升高1摄氏度温度所吸收的热量。
比热容越大，材料的热稳定性越好，对温度变化的适应能力越强。
在工程设计中，通常会根据材料的比热容选择合适的材料，以满足工程的热学性能要求。
总的来说，材料的热学性能直接关系到材料的使用效果和性能表现。
在工程实践中，对于不同的工程应用，需要根据具体要求选择具有合适热学性能的材料，以确保工程的稳定性和安全性。
因此，对于材料的热学性能的研究和应用具有重要的意义，也是材料科学领域的重要研究方向之一。
第5章 材料的热学性质
C
p
(Q / T ) p (H / T ) p
C v (Q / T ) v (E / T ) p
f D ( D / T ) 1
5.1.2德拜的比热模型
f 为德拜热容函数，θ =hvmax/k称为德拜温度， C 则德拜热容的表达式 3 Nkf ( / T ) 3 Rf ( / T )
（或点阵波），晶格波是多频率振动的组合波。
2）晶格波的能量是量子化的。对于晶格波中频率 很小的波，其能量称为声子，声子是点阵波能量 的最小单位。晶格波的能量必然是单个声子能量
的整数倍。声子能量与晶格波频率ν有关，
E 声子 h
3）对于晶格波中频率很高的振动，其频率达到红
外光区，称其为光频支振动，光频支振动可以吸
D D
v D D D D
（1）当晶体处于较高温度时， kT远大于 hv ,德拜热容函数 f D ( D / T ) 1
max
C v , m 3 Rf
D
3 R 24 . 9 J /( mol K )
D
（2）当晶体处于低温时，T远小于θ ,取 θ /T→∞，则： 12
D
4
C v ,m
2）热扩散和热阻
热扩散率 α 它的物理意义是与不稳定导热 过程相联系的。
T t
dc
p
T
2
x
2
dc
p
热阻R 其中Ф为热流量。 1/R 为热导。
R
T
5.3.2材料热传导的微观机制
1）晶格振动以弹性波的形式，在固体内部通过晶 格振动的相互影响而传播，我们称之为晶格波
v ,m
3 v ,m
p
(Q / T ) p (H / T ) p
C v (Q / T ) v (E / T ) p
f D ( D / T ) 1
5.1.2德拜的比热模型
f 为德拜热容函数，θ =hvmax/k称为德拜温度， C 则德拜热容的表达式 3 Nkf ( / T ) 3 Rf ( / T )
（或点阵波），晶格波是多频率振动的组合波。
2）晶格波的能量是量子化的。对于晶格波中频率 很小的波，其能量称为声子，声子是点阵波能量 的最小单位。晶格波的能量必然是单个声子能量
的整数倍。声子能量与晶格波频率ν有关，
E 声子 h
3）对于晶格波中频率很高的振动，其频率达到红
外光区，称其为光频支振动，光频支振动可以吸
D D
v D D D D
（1）当晶体处于较高温度时， kT远大于 hv ,德拜热容函数 f D ( D / T ) 1
max
C v , m 3 Rf
D
3 R 24 . 9 J /( mol K )
D
（2）当晶体处于低温时，T远小于θ ,取 θ /T→∞，则： 12
D
4
C v ,m
2）热扩散和热阻
热扩散率 α 它的物理意义是与不稳定导热 过程相联系的。
T t
dc
p
T
2
x
2
dc
p
热阻R 其中Ф为热流量。 1/R 为热导。
R
T
5.3.2材料热传导的微观机制
1）晶格振动以弹性波的形式，在固体内部通过晶 格振动的相互影响而传播，我们称之为晶格波
v ,m
3 v ,m
第一章 材料的热学性能
1.2.2 晶态固体热容的量子理论回顾
普朗克提出振子能量的量子化理论。质点的能量 都是以 hv 为最小单位.
式中,
＝普朗克常数，
＝普朗克常数， = 园频率。
根据麦克斯威—波尔兹曼分配定律可推导出， 在温度为T时，一个振子的平均能量为:
将上式中多项式展开各取前几项，化简得：
在高温时，
所以
即每个振子单向振动的总能量与经典理论一致。 由于1mol固体中有N个原子，每个原子的热振动自 由度是3，所以1mol固体的振动可看做3N个振子的 合成运动，则1mol固体的平均能量为：
1.1 概述
热学性能的主要应用：
（1）微波谐振腔、精密天平、标准尺、标准电容等 使用的材料要求的热膨胀系数低； （2）电真空封装材料要求具有一定的热膨胀系； （3）热敏元件要求尽可能有高的热膨胀系数； （4）工业炉衬、建筑材料、以及航天飞行器重返大 气层的隔热材料要求具有优良的隔热性能； （5）晶体管散热器等要求优良的导热性能„„
微分热分析：测定试样温度随时间的变化率。
1.2.6 热分析应用实例 1、建立合金的相图 2、热弹性马氏体相变 的研究 3、有序－无序转变的 研究 4、钢中临界点分析
本节重点掌握内容：
1、热容的德拜模型及其局限性 2、热容随温度的变化规律 3、热分析方法在相变、有序-无序转变的应用
1.3 材料的热膨胀
4、热分析测定法
热分析法分为普通热分析、示差热分析和微分热分析
普通热分析：利用加热或冷却过程中热效应所产生的 温度变化和时间关系的一种分析技术。
示差热分析：利用示差热电偶（由两对热电偶互相串 联、极性反接而成，取得热电偶两热端的温差电势） 测定待测试样和标准温差而得到的。（示差热分析仪 DTA和示差扫描量热计DSC）
材料的热学性能与测试方法
材料的热学性能与测试方法热学性能是指材料在热传导、热扩散、热传热等方面的性能表现。
它直接影响着材料的热工性能和工程应用。
为了准确评估材料的热学性能，科学家们开发了多种测试方法。
本文将讨论材料的热学性能概念、热传导性、热容性和热膨胀系数等方面，并介绍与之相关的测试方法。
一、热学性能概念在热学领域中，热学性能是指材料在热传导、储热和热膨胀等方面的特性。
它通常通过测量材料的热传导性、热容性和热膨胀系数等参数来评估。
这些参数的测量对于材料的热工设计和性能优化至关重要。
二、热传导性测试方法热传导性是材料传热的重要性能指标，常用的测试方法有热导率测试和热阻测试。
1. 热导率测试热导率是材料在单位时间内传递热量的能力，可以通过热导率测试仪进行测量。
该方法通过测量材料在稳定温度梯度下的热流量和温度差来计算热导率。
2. 热阻测试热阻反映了材料对热传导的阻碍能力，常用的测试方法是通过红外热成像技术或热阻测试仪来测量材料的热阻。
这些测试方法可以精确测量材料的热阻，并且能给出热阻随温度的变化曲线。
三、热容性测试方法热容性是指材料吸热或放热的能力，常用的测试方法有差示扫描量热法（DSC）和热比色分析法（TGA）。
1. 差示扫描量热法（DSC）DSC是一种通过测量样品与参比物在加热或降温过程中所释放或吸收的热量来确定材料的热容的方法。
该方法可以精确测量材料的热峰、热焓、熔点和玻璃转变温度等参数，从而评估材料的热容性能。
2. 热比色分析法（TGA）TGA是一种通过加热样品并监测其质量变化来测量其热容的方法。
该方法可以测量材料在不同温度下的质量损失或质量增加，从而确定其热容性能和热分解温度。
四、热膨胀系数测试方法热膨胀系数描述了材料随温度变化时的尺寸变化情况，常用的测试方法有热膨胀仪和激光干涉仪。
1. 热膨胀仪热膨胀仪能够通过监测材料在加热或降温过程中的长度变化来测量其热膨胀系数。
该方法可以测量材料在不同温度范围内的线膨胀系数和体膨胀系数。
材料的热学性能
目)，或3NAkT J/mol，(NA 为每摩尔的原子数目)，故摩尔热容为
（根据热容定义）：
Cv=3NAk=3R≈25 J.K-1.mol-1
R=8.314J/K.mol, k-玻尔兹曼常数.
此热容不取决于振子的β与m，也与温度无关。这就是杜隆-珀替
定律。
（2）晶态固体热容的量子理论与德拜(Debye)T3回顾
或离子）总是围绕着平衡位置作微小振动，
称之晶体热振动。
温度体现了晶格热振动的剧烈程度，相同条件
下，晶格振动越剧烈，温度越高。
振动在晶体中的传播——波
２、格波
材料中所有质点的晶格振动以弹性波的形式在整
个材料内传播，这种存在于晶格中的波叫做格波。
格波是多频率振动的组合波。
3、声频支振动
如果振动着的质点中包含频率甚低的格波，质点彼
爱因斯坦模型近似
该模型假定：每个振子都是独立的振子，原子之间彼
此无关，每个振子振动的角频率相同
h
Cv3Nkfe
kT
h
fe
kT
爱斯坦比热函数，选取适当的ω，可
使理论上的Cv与实验的吻合。
令
h
E
k
E
Cv 3Rfe
T
θe称为爱因斯坦温度
德拜理论在低温下也不完全符合事实。主要原因是
德拜模型把晶体看成是连续介质，这对于原子振动
频率较高部分不适用；而对于金属材料，在温度很
低时，自由电子对热容的贡献亦不可忽略。
注：以上有关热容的量子理论适用于原子晶体和一
部分较简单的离子晶体。
热容的本质：
反映晶体受热后激发出的晶格波与温度的关系；
（根据热容定义）：
Cv=3NAk=3R≈25 J.K-1.mol-1
R=8.314J/K.mol, k-玻尔兹曼常数.
此热容不取决于振子的β与m，也与温度无关。这就是杜隆-珀替
定律。
（2）晶态固体热容的量子理论与德拜(Debye)T3回顾
或离子）总是围绕着平衡位置作微小振动，
称之晶体热振动。
温度体现了晶格热振动的剧烈程度，相同条件
下，晶格振动越剧烈，温度越高。
振动在晶体中的传播——波
２、格波
材料中所有质点的晶格振动以弹性波的形式在整
个材料内传播，这种存在于晶格中的波叫做格波。
格波是多频率振动的组合波。
3、声频支振动
如果振动着的质点中包含频率甚低的格波，质点彼
爱因斯坦模型近似
该模型假定：每个振子都是独立的振子，原子之间彼
此无关，每个振子振动的角频率相同
h
Cv3Nkfe
kT
h
fe
kT
爱斯坦比热函数，选取适当的ω，可
使理论上的Cv与实验的吻合。
令
h
E
k
E
Cv 3Rfe
T
θe称为爱因斯坦温度
德拜理论在低温下也不完全符合事实。主要原因是
德拜模型把晶体看成是连续介质，这对于原子振动
频率较高部分不适用；而对于金属材料，在温度很
低时，自由电子对热容的贡献亦不可忽略。
注：以上有关热容的量子理论适用于原子晶体和一
部分较简单的离子晶体。
热容的本质：
反映晶体受热后激发出的晶格波与温度的关系；
材料的热学性能
《材料物理性能》——材料的热性能
材料的热容：杜隆—珀替定律
根据经典理论，每一个自由度的平均能量是 kT
Hale Waihona Puke 其中1 2kT
是平均动能，1 2
kT
是平均势能；
k 是玻耳兹曼常
数。
若固体有N个原子，则总平均能能量， E 3NkT
则摩尔原子比热为：
CV
E T
V
3Nk
24.9J
/ K mol
《材料物理性能》
第三章 材料的热学性能
《材料物理性能》——材料的热性能
4.1 引言
热学性能：包括热容、热膨胀、热传导 等，是材料的重要物理性能之一。它在材料 科学的相变研究中有着重要的理论意义；在 工程技术包括高技术工程中也占有重要位置。
《材料物理性能》——材料的热性能
4.2 材料的热容
固体热容理论与固体的晶格振动有关。现代研究确认， 晶格振动是在弹性范围内原子的不断交替聚拢和分离。这 种运动具有波的形式，称之为晶格波(又称点阵波)。
已证明电子的平均能量为，
EF
EF0
1
2
12
kT EF0
2
则电子摩尔热容为，
,z为金属原子价数
《材料物理性能》——材料的热性能 以铜为例，计算其自由电子热容为，
《材料物理性能》——材料的热性能 温度很低时，则电子热容与原子热容之比为，
金属热容需要同时考虑晶格振动和自由电子二部分 对热容贡献，金属热容可写成，
➢ 差热分析(DTA)
差热分析是在程序控制温度下， 测量处于同一条件下样品与参比物 的温度差和温度关系的一种技术。
参比物：又称为标准试样，往往是 稳定的物质，其导热、比热容等物 理性质与试样相近，但在应用的试 验温度内不发生组织结构变化。 试样和参比物在相同的条件下加热 和冷却。试样和参比物之间的温差 通常用对接的两支热电偶进行测定。 热电偶的两个接点分别与盛装试样 和参比物坩锅底部接触，或者分别 直接插入试样和参比物中。测得的 温差电动势经放大后由x—Y记录仪 直接把试样和参比物之间的温差记录下来。
材料物理性能(第三章-材料的热学性能).答案
1．温度（temperature）
a. 在温度不太高的范围内，主要是声子传导 。 b. 热容C在低温下与T3成正比，所以λ也近似与T3成正 比。
c. 声子平均自由程 l 随温度升
高而降低。实验表明，低温下l 值
的上限为晶粒的线度，高温下l 值
的下限为晶格间距。
d. 例如Al2O3在低温40k处，λ值
式中第一项为常数，第二项为零，则
式中， 则，
；
；如果只考虑上式的前两项，
即点阵能曲线是抛物线。原子间的引力为：
式中β是微观弹性系数，为线性简谐振动，平衡位置仍在
r0处，上式只适用于热容CV的分析。
但对于热膨胀问题，如果还只考虑前两项，就会
得出所有固体物质均无热膨胀。因此必须再考虑第三
项。此时点阵能曲线为三次抛物线，即固体的热振动 是非线性振动。用波尔兹曼统计法，可算出平均位移 （average displacement）。
如图3.1，其中声频支最大频率：
第一节 材料的热容
热容是物体温度升高1K所需要增加的能量。
（J/K）
显然，质量不同热容不同，温度不同热容也不同。比
热容单位— 另外，平均热容 , 摩尔热容单位— ， 。
范围愈大，精
度愈差。 恒压热容
恒容热容
式中：Q＝热量，E＝内能，H＝热焓。由于恒压加 热物体除温度升高外，还要对外界做功，所以 根据热力学第二定律可以导出：
后晶格振动加剧而引起的容积膨胀，而晶格振动的激化就 是热运动能量的增大。升高单位温度时能量的增量也就是 热容的定义。所以热膨胀系数显然与热容密切相关并有着 相似的规律。见图3.8。
第三节 材料的热传导
一、固体材料热传导的宏观规律
当固体材料一端的温度比另一端高时，热量会从热 端自动地传向冷端，这个现象称为热传导。
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式中： D h max 4.8 1011 max k
fD (
D
T ＝德拜特征温度
)
D
T
) 3(
T
D
)3 T
0
D
e x x4 dx x 2 (e 1)
＝德拜比热函数
其中：
h x kT
1）当温度较高时，即T﹥﹥θD时，ex=1+x 所以 D 3( ) T 3 TD x 3 dx T ] CV ,m 3R[12( ) D 0 1 x 1 1 D 1 T D 3 ( ) T 3 T 3R[12( ) . 3] 3R D 3 2）当温度很低时，即T﹤﹤θD时，通过里曼函数运算可得
假定m2﹥m1，则该方程的解为
i[t L ( 2 n 1) a ] x Ae 2 n 1 i[t L ( 2 n ) a ] x 2 n Be
2 ( m 1 2k e ) A (2k e cos La) B 0 2 (2k e cos La) A (m2 2k e ) B 0Leabharlann 第一节热学性能的物理基础
热性能的物理本质：晶格热振动（lattice heat vibration）
声子的概念
设原子间以弹性力相联系，等效弹性系数为ke，只考虑相邻 原子的相互作用，根据HOOK定律，可得运动方程为
2 n 1 k e ( x2 n 2 x2 n 2 x2 n 1 ) m1 x 2 n k e ( x 2 n 1 x 2 n 1 2 x 2 n ) m2 x
1）杜隆-珀替(Dulong-Petit)理论 （元素的热容定律） 恒压下元素的原子热容为25J/(K.mol) 2）柯普定律（化合物的热容定律） 化合物分子热容等于构成该化合物各元素原子热容之和 理论解释：C=Σnici 其中，ni＝化合物中元素i的原子数 ci＝元素 i 的摩尔热容
3）经典理论
按热容定义：1mol单原子固体物质的摩尔定容热容为
CV , m
E (3N AkT ) ( )V [ ]V 3N Ak 3R 25 J /( K .mol ) T T
固体摩尔定容热容是一个与温度无关的常数
杜隆-珀替定律在高温时与实验结果是吻合的，低温时误 差较大 经典的热容理论在低温是不适用的
在II区，理论值较实验值下降过快
实际晶体阵点间互相关联 点阵波的频率有差异
热容的Einstenm模型理论值与实验值的比较
四、德拜模型（Debye model）
假设：晶体中原子有相互作用，把晶体近似为连续介质；晶 体振动具有从0－ν max的频率分布
因此，导出的德拜热容表达式为： CV , m 3Rf D (
2 c p cV V .Vm .T /
式中：
dV V VdT
dV Vdp
容积热膨胀系数，单位：1/K 三向静力压缩系数，单位：m2/N Vm－摩尔容积，单位：m3/mol
二、晶态固体热容的经验定律（experience law） 和经典理论（classical theory）
式中，A、B分别为两类原子的振幅；ω 为角频率； L=2π /λ 为波矢值（波数）
作图如右
显然对于每一个L值，有两支 独立的振动模式ω ＋、ω －， 分别对应根号内取正、负号 时的角频率
ω ＋称为“光学支” ω －称为“声学支”
第二节
材料的热容
一、热容的基本概念
热容：是物体温度升高1K所需要增加的能量
1) 2
式中：NA：阿弗加德罗常数；k：波尔茨曼常数 h: 普朗克常数；νi：谐振子的振动频率
令：
h E k
CV , m 3R(
则：
E
T
E
)
2
eT
E
3Rf E (
2
E
T
)
(e
T
1)
爱因斯坦特征温度
爱因斯坦比热函数
θE
fE (
E
T
)
1）当T﹥﹥θE时；
有：
E
e
略去高次项，得：
比定压热容：加热过程在恒压条件下进行时，所测 定的比热容
Q 1 H 1 cp ( ) p. ( ) p. T m T m
比定容热容：加热过程在恒容条件下进行时，所测 定的比热容
Q 1 E 1 cV ( )V . ( )V . T m T m
恒压条件下：
物体除温度升高外，还要对外做功（膨胀功） 因此：cp﹥cV 根据热力学第二定律
固体中可以用谐振子来代表每个原子在一个自由度的振动； 每个自由度上的平均能量为kT；平均位能和平均动能都为 1/2.kT；一个原子有三个振动自由度，平均动能和位能的总 和就等于3kT
1mol固体中有NA个原子， 总能量：E=3NAkT=3RT
式中： NA：阿弗加德罗常数，6.023×1023/mol k：波尔茨曼常数：1.381×1023J/K R：气体常数：8.314J/(K.mol)
第七章 材料的热学性能
第一节 第二节 第三节 第四节
热学性能的物理基础 材料的热容 材料的热膨胀 材料的热传导
热学性能
热容（thermal content）
热膨胀（thermal expansion） 热传导（heat conductivity）等 本章目的就是探讨热性能与材料宏观、微观本质关系， 为研究新材料、探索新工艺打下理论基础
NaCl的摩尔热容－温度曲线
三、爱因斯坦模型（Einstein model）
假设：
晶体中每一个原子都是一个独立的振子，原子之间彼此无 关；所有原子都以相同的频率振动；振动能量是量子化的 根据量子力学热容理论得：
h i kT
CV , m
h i 2 3N Ak ( ) kT
e (e
h i kT
T
1 E 2 1 ( ) ........ T 2! T
E
CV , m 3 Re T
E
高温时，爱因斯坦理论与杜-珀定律一致，与实验结果相符
2）当T﹤﹤θE时：低温时
CV , m 3R(
E
T
) 2 .e
E
T
随温度变化的趋势与实验相符，但比实验值更快趋于零 3) 当T→0K时 CV，m= 0 ；与实验相符
Q CT ( )T （ J/K ） T
显然，质量不同热容不同，温度不同热容也不同 比热容单位— J/(kg.K) , 摩尔热容单位—J/(mol.K)
平均热容：单位质量的材料从温度T1到T2所吸收的热量的
平均值
Q 1 cJ . T2 T 1 m
当T1→T2 时： 材料的比热容：
Q 1 cZ . T m
fD (
D
T ＝德拜特征温度
)
D
T
) 3(
T
D
)3 T
0
D
e x x4 dx x 2 (e 1)
＝德拜比热函数
其中：
h x kT
1）当温度较高时，即T﹥﹥θD时，ex=1+x 所以 D 3( ) T 3 TD x 3 dx T ] CV ,m 3R[12( ) D 0 1 x 1 1 D 1 T D 3 ( ) T 3 T 3R[12( ) . 3] 3R D 3 2）当温度很低时，即T﹤﹤θD时，通过里曼函数运算可得
假定m2﹥m1，则该方程的解为
i[t L ( 2 n 1) a ] x Ae 2 n 1 i[t L ( 2 n ) a ] x 2 n Be
2 ( m 1 2k e ) A (2k e cos La) B 0 2 (2k e cos La) A (m2 2k e ) B 0Leabharlann 第一节热学性能的物理基础
热性能的物理本质：晶格热振动（lattice heat vibration）
声子的概念
设原子间以弹性力相联系，等效弹性系数为ke，只考虑相邻 原子的相互作用，根据HOOK定律，可得运动方程为
2 n 1 k e ( x2 n 2 x2 n 2 x2 n 1 ) m1 x 2 n k e ( x 2 n 1 x 2 n 1 2 x 2 n ) m2 x
1）杜隆-珀替(Dulong-Petit)理论 （元素的热容定律） 恒压下元素的原子热容为25J/(K.mol) 2）柯普定律（化合物的热容定律） 化合物分子热容等于构成该化合物各元素原子热容之和 理论解释：C=Σnici 其中，ni＝化合物中元素i的原子数 ci＝元素 i 的摩尔热容
3）经典理论
按热容定义：1mol单原子固体物质的摩尔定容热容为
CV , m
E (3N AkT ) ( )V [ ]V 3N Ak 3R 25 J /( K .mol ) T T
固体摩尔定容热容是一个与温度无关的常数
杜隆-珀替定律在高温时与实验结果是吻合的，低温时误 差较大 经典的热容理论在低温是不适用的
在II区，理论值较实验值下降过快
实际晶体阵点间互相关联 点阵波的频率有差异
热容的Einstenm模型理论值与实验值的比较
四、德拜模型（Debye model）
假设：晶体中原子有相互作用，把晶体近似为连续介质；晶 体振动具有从0－ν max的频率分布
因此，导出的德拜热容表达式为： CV , m 3Rf D (
2 c p cV V .Vm .T /
式中：
dV V VdT
dV Vdp
容积热膨胀系数，单位：1/K 三向静力压缩系数，单位：m2/N Vm－摩尔容积，单位：m3/mol
二、晶态固体热容的经验定律（experience law） 和经典理论（classical theory）
式中，A、B分别为两类原子的振幅；ω 为角频率； L=2π /λ 为波矢值（波数）
作图如右
显然对于每一个L值，有两支 独立的振动模式ω ＋、ω －， 分别对应根号内取正、负号 时的角频率
ω ＋称为“光学支” ω －称为“声学支”
第二节
材料的热容
一、热容的基本概念
热容：是物体温度升高1K所需要增加的能量
1) 2
式中：NA：阿弗加德罗常数；k：波尔茨曼常数 h: 普朗克常数；νi：谐振子的振动频率
令：
h E k
CV , m 3R(
则：
E
T
E
)
2
eT
E
3Rf E (
2
E
T
)
(e
T
1)
爱因斯坦特征温度
爱因斯坦比热函数
θE
fE (
E
T
)
1）当T﹥﹥θE时；
有：
E
e
略去高次项，得：
比定压热容：加热过程在恒压条件下进行时，所测 定的比热容
Q 1 H 1 cp ( ) p. ( ) p. T m T m
比定容热容：加热过程在恒容条件下进行时，所测 定的比热容
Q 1 E 1 cV ( )V . ( )V . T m T m
恒压条件下：
物体除温度升高外，还要对外做功（膨胀功） 因此：cp﹥cV 根据热力学第二定律
固体中可以用谐振子来代表每个原子在一个自由度的振动； 每个自由度上的平均能量为kT；平均位能和平均动能都为 1/2.kT；一个原子有三个振动自由度，平均动能和位能的总 和就等于3kT
1mol固体中有NA个原子， 总能量：E=3NAkT=3RT
式中： NA：阿弗加德罗常数，6.023×1023/mol k：波尔茨曼常数：1.381×1023J/K R：气体常数：8.314J/(K.mol)
第七章 材料的热学性能
第一节 第二节 第三节 第四节
热学性能的物理基础 材料的热容 材料的热膨胀 材料的热传导
热学性能
热容（thermal content）
热膨胀（thermal expansion） 热传导（heat conductivity）等 本章目的就是探讨热性能与材料宏观、微观本质关系， 为研究新材料、探索新工艺打下理论基础
NaCl的摩尔热容－温度曲线
三、爱因斯坦模型（Einstein model）
假设：
晶体中每一个原子都是一个独立的振子，原子之间彼此无 关；所有原子都以相同的频率振动；振动能量是量子化的 根据量子力学热容理论得：
h i kT
CV , m
h i 2 3N Ak ( ) kT
e (e
h i kT
T
1 E 2 1 ( ) ........ T 2! T
E
CV , m 3 Re T
E
高温时，爱因斯坦理论与杜-珀定律一致，与实验结果相符
2）当T﹤﹤θE时：低温时
CV , m 3R(
E
T
) 2 .e
E
T
随温度变化的趋势与实验相符，但比实验值更快趋于零 3) 当T→0K时 CV，m= 0 ；与实验相符
Q CT ( )T （ J/K ） T
显然，质量不同热容不同，温度不同热容也不同 比热容单位— J/(kg.K) , 摩尔热容单位—J/(mol.K)
平均热容：单位质量的材料从温度T1到T2所吸收的热量的
平均值
Q 1 cJ . T2 T 1 m
当T1→T2 时： 材料的比热容：
Q 1 cZ . T m