第二章 几何组成分析
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结构力学《第二章几何组成分析》龙奴球
第二章 结构的几何构造分析
瞬变体系（
×）
体系是由三个刚片用三个共线的铰 ABC相连，故为瞬变体系。（ ）
×
第二章 结构的几何构造分析
几种常用的分析途径
1、去掉二元体，将体系简单化，然 后再分析。
D A
C
B
依次去掉二元体A、B、C、D后， 剩下大地。故该体系为无多余约 束的几何不变体系。
第二章 结构的几何构造分析 2、如上部体系与基础用满足要求三个约束相联可去掉 基础，只分析上部。
第二章 结构的几何构造分析
用一链杆将一刚片与地面相联 两刚片用一链杆相联
1、2、3、4是链杆， 折线型链杆、曲线型 链杆可用直线型链杆 代替。
3 6 4
Ⅰ
1 5
5、6不是链杆。
第二章 结构的几何构造分析
单铰：联结两个刚片的铰称为单铰
一个单铰相当于几个约束呢？ 在平面内两个刚片自由 度等于6 加入一个单铰后自由度 等于4，减少了2个自由 度
A
C B
规则4 三刚片以不在一条直线 上的三铰 两两相连，组成无多余 约束的几何不变体系。
如约束不满足限制条件，将出现下列几种形式的瞬变体系
三铰共线瞬变体系
第二章 结构的几何构造分析
关于无穷远瞬铰的情况
1 C II
I A
2
B
III
图示体系，一个瞬铰C在无穷远处，铰A、 B连线与形成瞬铰的链杆1、2不平行，故三个 铰不在同一直线上，该体系几何不变且无多 余约束。
(3) 各∞点都在同一直线上，此直线称为∞线。
(4) 各有限远点都不在∞线上。
第二章 结构的几何构造分析
§2-2 几何不变体系的组成规则
基本规律：三角形规律
几何组成分析
3
1 2
3
A
A
1
B
2
C
3
1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3
几何常变体系
几何瞬变体系
几何瞬变体系
2.基本原则二： 三刚片组成原则 三刚片由三个不共线的铰两两相连，组成无多余约束几 何不变体系。
1.基本原则一： 二刚片组成原则
二刚片由三个不平行、不交于一点的链杆相连，组成无 多余约束几何不变体系。
虚铰
无多余约束几何不变体系
无多余约束几何不变体系
两个链杆相当于一个铰,故二刚片组成原则可改写为: 二刚片由不共线的一个铰和一个链杆相连，组成无多余约 束几何不变体系。
几何常变体系
1 2
几何瞬变体系
4.有多余约束几何不变体系: 减少一个或多个约束(链杆)仍为几 何不变的体系。
无多余约束几何不变体系
有多余约束几何不变体系
无多余约束几何不变体系 二、约束
有多余约束几何不变体系
＝
一个链杆为一个约束 一个铰链相当于两个链杆,为两个约束
虚铰 交于无穷远
＝
固定端相当于三个链杆,为三个约束
二、无多余约束几何不变体系的组成原则
无多余约束几 何不变体系
无多余约束几 何不变体系
几何瞬变体系
3.二元片理论 一个铰连接两个不共线的链杆称为二元片。 在一个体系上增加或减少一个二元片，不改 变原体系的几何组成性质。 二元片
＝
无多余约束几何不变体系
＝
有一个多余约束几何不变体系
三、刚片的划分 1. 铰接三链杆的三角形为无多余约束几何不变体系，可作为一 个刚片。在此基础上增加若干个二元片，仍为无多余约束几何不 变体系，可视作该刚片的扩大。
1 2
3
A
A
1
B
2
C
3
1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3
几何常变体系
几何瞬变体系
几何瞬变体系
2.基本原则二： 三刚片组成原则 三刚片由三个不共线的铰两两相连，组成无多余约束几 何不变体系。
1.基本原则一： 二刚片组成原则
二刚片由三个不平行、不交于一点的链杆相连，组成无 多余约束几何不变体系。
虚铰
无多余约束几何不变体系
无多余约束几何不变体系
两个链杆相当于一个铰,故二刚片组成原则可改写为: 二刚片由不共线的一个铰和一个链杆相连，组成无多余约 束几何不变体系。
几何常变体系
1 2
几何瞬变体系
4.有多余约束几何不变体系: 减少一个或多个约束(链杆)仍为几 何不变的体系。
无多余约束几何不变体系
有多余约束几何不变体系
无多余约束几何不变体系 二、约束
有多余约束几何不变体系
＝
一个链杆为一个约束 一个铰链相当于两个链杆,为两个约束
虚铰 交于无穷远
＝
固定端相当于三个链杆,为三个约束
二、无多余约束几何不变体系的组成原则
无多余约束几 何不变体系
无多余约束几 何不变体系
几何瞬变体系
3.二元片理论 一个铰连接两个不共线的链杆称为二元片。 在一个体系上增加或减少一个二元片，不改 变原体系的几何组成性质。 二元片
＝
无多余约束几何不变体系
＝
有一个多余约束几何不变体系
三、刚片的划分 1. 铰接三链杆的三角形为无多余约束几何不变体系，可作为一 个刚片。在此基础上增加若干个二元片，仍为无多余约束几何不 变体系，可视作该刚片的扩大。
第2章 平面体系的几何组成分析
瞬变体系
去支座后再分析
有
是什么 体系？
O是虚 O不是
铰吗？
O
无多不变
II
方法1: 若基础与系统三杆相连,去掉基础只分析系统本身。 方法2: 利用规则将小刚片变成大刚片.扩大刚片范围，减少刚片数。 方法3: 将只有两个铰与其它部分相连的刚片看成链杆。 方法4: 去掉暴露在最外边的二元体.使结构简化。 例:对图示体系作几何组成分析
刚片Ⅲ
2.几何组成分析的目的
1）如何设计一个体系为几何不变体系，从而能承受荷载。 2）判断一个已知体系是否为几何不变体系，从而确定能否作 为结构。 3）区分静定与超静定结构，以便选择计算方法。
3.几何组成分析时的注意点
1）一个结构的几何属性只于结构的几何组成有关，而与所 受荷载无关。 2）由于不考虑材料的自身应变，因此可把一根梁、一根 杆、或体系中已经确定为几何不变的某个部分看作一个刚片。
5）定向支座（平行支链杆）：可以减少二个自由度。
3.多余约束
材力中多余约束的概念是从平衡方程的个数和未知力的个数的 比较找出多余约束的。从体系自由度的角度同样可以引出多余约束 的概念 。
在一个体系中增加或减少一个约束，体系的自由度并不因 此而减少或增加，则该约束称为多余约束。
4.体系的计算自由度
方法1: 若基础与系统三杆相连,去掉基础只分析系统本身。
方法2: 利用规则3将小刚片变成大刚片.扩大刚片范围，减少刚片数。
例：对图示体系作几何组成分析
解:该体系为瞬变体系.
方法3: 将只有两个铰与其它部分相连的刚片看成链杆。
方法1: 若基础与系统三杆相连,去掉基础只分析系统本身。
方法2: 利用规则3将小刚片变成大刚片.扩大刚片范围，减少刚片数。
第2章 平面体系的几何组成分析
[例] 试对图示体系进行几何组成分析
因三铰在一直线上， 故该体系为瞬变体系。
例 试分析图所示体系的几何组成。
解 (1) 用公式 (2-1) 计算体 系的自由度 m = 3， h = 2， r = 5 W = 3m－2h－r = 3 × 3－2 × 2－5 = 0
(2)几何组成分析 先把杆 AB 、 BC 及地基分别看作是刚片 I ，Ⅱ，Ⅲ， 相互用实铰 A(1 ， 3) 、实铰 B(1 ， 2) 及虚铰 (2 ， 3) 相连， （虚铰是在两平行支承链杆的交点处，即无限远处。） 三铰不在 — 直线上，此部分是几何不变的。然后再加上 一个二元体，亦是几何不变。 因此，整个体系是几何不变的。
2.平面链杆系的自由度
仅在杆的两端用铰连接的杆件称为链杆，它是刚 片的特殊形式，桁架是由这类杆件组成。 链杆系的自由度也可以用式W = 3m – 2h – r ，但 在链杆系中复铰较多，计算有所不便，因此另外从 节点出发推导两个方便计算的公式。
在链杆系中，假如各节点都是互不相连地独 立存在，则每一节点在平面内的自由度是2。
例2-4 计算图所示体系的自由度。
解： 用式(2-3)计算 W=2j–b–r 因为 j＝9，b＝15，r＝3 所以 W= 2×9 –15 – 3 = 0 即体系没有自由度。
例2-5 计算图所示体系的自由度。
解：图中 A ， B ， C 应算作 节点。其余与地基相连的 铰不算入节点数 j 内 (因为两 斜杆视作支承链杆)。 因为 j = 3，b = 2，r = 5 所以 W = 2 j－b－r = 2× 3－2－5＝－1 即体系不但没有自由度， 且多一个约束。
解： 该体系不与基础相连，r=0，故 用式(2-2) V = 3m – 2h – 3 因为 m=7，h=7+2=9
第2章几何组成分析
6、刚片的等效代换：在不改变刚片与周围的连结方式 的前提下，可以改变它的大小、形状及内部组成。即用一个 等效（与外部连结等效）刚片代替它。
有一个多余约束的几何不变体系
Ⅰ Ⅱ Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅲ
两个刚片用三根平行不等长的链杆相连，几何瞬变体系
体系是无多余约束的几何不变体系
三、进一步举例
例题1
结论:
无多余约束的几何不变体系
A
A
相交在∞点
6 多余约束与必要约束 不减少体系自由度的约束称为多余约束。反之为必要约束。
▽注意：多余约束不改变体系的自由度，但将影响结构的受力与Байду номын сангаас形。
几何组成分析
二、 几何不变体系的基本组成规则
1、两个刚片之间的联结（规则一）： 两个刚片上用一个铰和一根不通过此铰的一根链杆相连结，形成无 多余约束的几何不变体系（或：两个刚片上用三根不交于一点、也不 全平行的三根链杆相连结 ，形成无多余约束的几何不变体系）。
几何组成分析
2.4 几何组成分析举例
一、思路 1可先考察体系的计算自由度，若W0，则体系为几 何可变，不必进行几何组成分析；若W<0，则应进行几何 组成分析（辅助）。 2若体系可视为两个或三个刚片时，则直接应用三规则 分析。 3若体系不能直接视为两个或三个刚片时，可先把其中 已分析出的几何不变部分视为一个刚片或撤去“二元体”， 使原体系简化。
一、几何可变体系 一般无静力解答。
实饺
虚饺
三饺共线 （瞬变）
几何组成分析 3、一个刚片与一个结点之间的联结（规则三）： 在刚片上用两根不在一条直线上的链杆联结出一个结点，形成 无多余约束的几何不变体系（或：在一个刚片上增加二元体）。
几何组成分析
FNAB =FNAC =FN 2FNsina=FP FN =FP /(2 sina )
例2-3-2 对下列图示体系作几何组成分析（说明 刚片和约束的恰当选择的影响）.
三、三个刚片穷远虚铰。
三个刚片由三个单铰两两相连，若三个铰都有交 点，容易由三个铰的位置得出体系几何组成的结论 。当三个单铰中有或者全部为无穷远虚铰时，可由 分析得出以下依据和结论：
点 的 自 由 度
刚 片 自 由 度
一个点：在平面内运动完全不受限制的一个点有２个自由度。 一个刚片：在平面内运动完全不受限制的一个刚片有３个自由度。
几何不变体系的自由度一定等于零 几何可变体系的自由度一定大于零 计算自由度
如图所示，平面内一根链杆ＡＢ，其一端Ａ和大地相连， 显然相对于大地来说这根链杆在平面内只有一种运动方式， 即作绕Ａ点转动，所以该体系只有一个自由度。同时又可 看到，如果用链杆ＡＢ与水平坐标的夹角作为表示该体系 运动方式的参变量，即表示该体系运动中任一时刻的位置， 表示体系位置的参变量数与体系的自由度数也是相等的。 所以，该体系的自由度数为１个。
例2-3-5 对图示各体系作几何组成分析。
§2-4几何组成分析举例
§2-5静定结构和超静定结构
• 静定结构 全部反力和内力都可由静力平衡条件求得 • 超静定结构 全部反力和内力不能仅由静力平衡条件求得
一、本章要求 １、了解几何不变体系、几何可变体系、瞬变体 系、刚片、体系的自由度、虚铰、约束及多余约束 的概念； ２、重点理解并掌握平面几何不变体系的简单组 成规则，并能灵活应用到对体系的分析中；
小
结
二、简单规则应用要点 简单规则中的四个要素：刚片个数、约束个数、 约束方式、结论。 应用简单规则对体系进行几何组成分析的要点是： 紧扣规则。即，将体系简化或分步取为两个或三个 刚片，由相应的规则进行分析；分析过程中，规则 中的四个要素均要明确表达，缺一不可。
结构力学第二章结构的几何组成分析
链杆法
链杆选取
选择适当的链杆，作为分析的基本单元。
约束条件分析
分析链杆的约束条件，确定结构的几何特性。
几何组成判定
根据链杆的几何特性和约束条件，判断结构 的几何组成。
混合法
1 2
方法选择
根据结构特点，选择刚片法或链杆法进行分析。
综合分析
综合运用刚片法和链杆法，对结构进行几何组成 分析。
3
结果判定
常变体系
在荷载作用下，体系的几何形状会发生变化，且这种变化是持续的。例如，一个由三个链杆连接的刚片，在荷载 作用下会持续发生变形。
03
几何组成分析方法
刚片法
刚片选取
选择适当的刚片，作为分析的基本单 元。
自由度计算
几何不变体系判定
根据约束条件，判断结构是否为几何 不变体系。
计算各刚片的自由度，确定约束条件。
结构力学第二章结构的几何组成分析
目录 Contents
• 几何组成分析基本概念 • 几何组成分析基本规则 • 几何组成分析方法 • 几何组成与结构性能关系 • 复杂结构几何组成分析示例 • 几何组成分析在工程应用中的意义
01
几何组成分析基本概念
几何不变体系与几何可变体系
几何不变体系
在不考虑材料应变的前提下，体 系的形状和位置都不会改变。
几何可变体系
在不考虑材料应变的前提下，体 系的形状或位置可以发生改变。
自由度与约束
自由度
描述体系运动状态的独立参数，即体系可以独立改变的坐标 数目。
约束
对体系运动状态的限制条件，即减少体系自由度的因素。
刚片与链杆
刚片
在力的作用下，形状和大小保持不变 的平面或空间图形。
第二章 几何组成分析
2. 正确区分静定结构与超静定结构。
二、基本概念
1. 几何不变体系与几何可变体系
几何不变体系—若不考虑材料的应变，体系 的位置和形状不会改变。
2
几何不变体系
几何可变体系—若不考虑材料的应变，体系 的位置和形状是可以改变的。 常变体系
几何可变体系
瞬变体系
常变体系 ——可以发生大位移的几何可变体系
叫作常变体系。 3
1）链杆 简单链杆 仅连结两个结点的杆件称为简单链 杆。一根简单链杆能减少一个自由度，故一根 简单链杆相当于一个约束。yyx Nhomakorabeaφ
x
x,
链杆约束
3 2 x 1
y x
x, y,1,2,3
7
复杂链杆 连结三个或三个以上结点的杆件称 为复杂链杆，一根复杂链杆相当于（2n-3）根 简单链杆，其中n为一根链杆连结的结点数。
2. 在进行分折应时，宜先判别体系中有无二元体，如 有，则应先撤去，以使体系得到简化。
3. 如果体系仅通过三根既不完全平行，又不完全相交 的支座链杆与基础相联接的体系，则可直接分析体系内 部的几何组成。如果体系与基础相连的支座连杆数多于 三根，应把基础也看成刚片作整体分析。
4. 已知为几何不变的部分宜作为大刚片。 5. 两根链杆相当于其交点处的虚铰。 6. 运用三刚片规则时，如何选择三个刚片是关键，刚 片选择的原则是使得三者之间彼此的连接方式是铰结。
思考题： 18-3、18-4、18-7、18-8
习题：
18-24、18-26、18-27、 18-28、18-32、18-35
预习静定梁与静定刚架
36
若连结的刚片数为m，则该复杂铰相当于(m-1) 个简单铰，故其提供的约束数为2(m-1)个。
二、基本概念
1. 几何不变体系与几何可变体系
几何不变体系—若不考虑材料的应变，体系 的位置和形状不会改变。
2
几何不变体系
几何可变体系—若不考虑材料的应变，体系 的位置和形状是可以改变的。 常变体系
几何可变体系
瞬变体系
常变体系 ——可以发生大位移的几何可变体系
叫作常变体系。 3
1）链杆 简单链杆 仅连结两个结点的杆件称为简单链 杆。一根简单链杆能减少一个自由度，故一根 简单链杆相当于一个约束。yyx Nhomakorabeaφ
x
x,
链杆约束
3 2 x 1
y x
x, y,1,2,3
7
复杂链杆 连结三个或三个以上结点的杆件称 为复杂链杆，一根复杂链杆相当于（2n-3）根 简单链杆，其中n为一根链杆连结的结点数。
2. 在进行分折应时，宜先判别体系中有无二元体，如 有，则应先撤去，以使体系得到简化。
3. 如果体系仅通过三根既不完全平行，又不完全相交 的支座链杆与基础相联接的体系，则可直接分析体系内 部的几何组成。如果体系与基础相连的支座连杆数多于 三根，应把基础也看成刚片作整体分析。
4. 已知为几何不变的部分宜作为大刚片。 5. 两根链杆相当于其交点处的虚铰。 6. 运用三刚片规则时，如何选择三个刚片是关键，刚 片选择的原则是使得三者之间彼此的连接方式是铰结。
思考题： 18-3、18-4、18-7、18-8
习题：
18-24、18-26、18-27、 18-28、18-32、18-35
预习静定梁与静定刚架
36
若连结的刚片数为m，则该复杂铰相当于(m-1) 个简单铰，故其提供的约束数为2(m-1)个。
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A
I
II
B III C
图示体系，形成瞬铰B、C的四根链杆相互平 行（不等长），故铰B、C在同一无穷远点，所 以三个铰A、 B、C位于同一直线上，故体系为 瞬变体系。
第二章 平面体系的几何构造分析
三刚片以三对平行链杆相联无 穷远处所有点均在一无穷远直 线上 瞬变体系
第二章 平面体系的几何构造分析
四个规则可归结为一个三角形法则。
第二章 平面体系的几何构造分析
例: 对图示体系作几何组成分析
解: 三刚片三铰相连,三铰不共线,所以该体系为无多余约束 的几何不变体系.
第二章 平面体系的几何构造分析
一元体：一个刚片与一个体系之间只用 三根不相交于一点也不平行的链杆联结，则 该刚片称为一元体。
二元体：两个刚片与一个体系之间用 三个不在一条直线上的铰两两相联，刚两 个刚片称为二元体。
刚片组成的无多余约束的几何不变体系
C
B
规则4 三刚片以不在一条直线
上的三铰 相连，组成无多余约束
的几何不变体系。
如约束不满足限制条件，将出现下列几种形式的瞬变体系
三铰共线瞬变体系
第二章 平面体系的几何构造分析
关于无穷远瞬铰的情况
1
C
I
2 II
A
B
III
图示体系，一个瞬铰C在无穷远处，铰A、 B连线与形成瞬铰的链杆1、2不平行，故三个 铰不在同一直线上，该体系几何不变且无多 余约束。
第二章 平面体系的几何构造分析
①抛开基础,只分析上部。 ②在体系内确定三个刚片。 ③三刚片用三个不共线的
三铰相连。 ④该体系为无多余约束的
几何不变体系。
该体系是几何不变体系有四个多余约束。
第二章 平面体系的几何构造分析
作业
2-1a 2-2 b 2-3 c d 2-8 a 2-9 c 2-10 b
第二章 平面体系的几何构造分析
瞬变体系（ ）
体系是由三个刚片用三个共线的铰 ABC相连，故为瞬变体系。（）
第二章 平面体系的几何构造分析
几种常用的分析途径
1、去掉二元体，将体系简单化，然 后再分析。
D
A
C
B
依次去掉二元体A、B、C、D后， 剩下大地。故该体系为无多余约 束的几何不变体系。
第二章 平面体系的几何构造分析 2、如上部体系与基础用满足要求三个约束相联可去掉
5、刚片的等效代换：在不改变刚片与周围的连结方式 的前提下，可以改变它的大小、形状及内部组成。即用一个 等效（与外部连结等效）刚片代替它。
有一个多余约束的几何不变体系
Ⅰ
Ⅱ
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅲ
两个刚片用三根平行不等长的链杆相连，几何瞬变体系
第二章 平面体系的几何构造分析
进一步分析可得，体系是无多余约 束的几何不变体系
第二章 平面体系的几何构造分析
第二章 平面体系的几何构造分析
第二章 平面体系的几何构造分析
基本要求：
理解几何不变体系、几何可变体系、
瞬变体系和刚片、约束、自由度、计算自 由度等概念。
掌握无多余约束的几何不变体系的几
何组成规则，及常见体系的几何组成分析。
了解结构的几何特性与静力特性的关
系。
第二章 平面体系的几何构造分析
第二章 平面体系的几何构造分析
第二章 平面体系的几何构造分析
第二章 平面体系的几何构造分析
A
B
C
D
E
第二章 平面体系的几何构造分析
第二章 平面体系的几何构造分析
体系的几何组成与静力特性的关系
体系的分类 几何组成特性
静力特性
几何 不
无多余约 束的几何 不变体系
约束数目正 好布置合理
静定结构：仅由平衡条件就 可求出全部反力和内力
第二章 平面体系的几何构造分析
§2-3 平面杆件体系的计算自由度
一、计算自由度
S a c W a d S W n
1. 将体系看作刚片、铰、刚结以及链杆组成的
体系，其中刚片为被约束对象，铰、刚结、链杆 为约束。则计算自由度公式为：
W 3m (3g 2h b)
m—刚片数； g—简单刚结数； h—简单铰数；b—简单链杆数 在求解时，地基的自由度为零，不计入刚片数。
三边在两边之和大
于第三边时,能唯一
地组成一个三角
形——基本出发点.
C
B
第二章 平面体系的几何构造分析
将BC杆视为刚片, 该体系就成为一
刚片与一点相连的几何不变体系。
B
A C
规则1 一点与一刚片用两 根不共线的链杆相连，组成无 多余约束的几何不变体系。
1
A2
两根共线的链杆连一点 瞬变体系
第二章 平面体系的几何构造分析
平面内一点
x
n=2
y
第二章 平面体系的几何构造分析
平面内一刚片
B
x
A
n=3
y
第二章 平面体系的几何构造分析
4、 约束
约束（联系）--减少自由度的装置。
单链杆：仅在两处与其它物体用铰相连，不 论其形状和铰的位置如何
一根 链杆 为一 个约 束
平面内一点
n=1
第二章 平面体系的几何构造分析
用一链杆将一刚片与地面相联 两刚片用一链杆相联
O13 O23
O12
D
ⅠF
A
B
C
Ⅲ
第二章 平面体系的几何构造分析
4、由一基本刚片开始，逐步增加二元体，扩大刚片的范围， 将体系归结为两个刚片或三个刚片相连，再用规则判定。
三刚片用不共线 三铰相连，故原 体系为无多余约 束的几何不变体 系。
Ⅲ
(Ⅱ,Ⅲ)
(Ⅰ,Ⅲ)
Ⅱ (Ⅰ,Ⅱ) Ⅰ
第二章 平面体系的几何构造分析
m、j、g、h、b意义同前。
第二章 平面体系的几何构造分析
4. 一个体系若求得W >0，一定是几何可变体
系；若W0，则可能是几何不变体系，也可能
是几何可变体系，取决于具体的几何组成。
所以W 0是体系几何不变的必要条件，而非
充分条件。
二、复链杆与复杂铰
1. 单链杆与复链杆
单链杆
复链杆——连接三个或三个以上结点的链杆称
基础，只分析上部。
抛开基础，分析上部，去掉二元体后，剩 下两个刚片用两根杆相连故：该体系为有 一个自由度的几何可变体系。
第二章 平面体系的几何构造分析
3、当体系杆件数较多时，将刚片选得分散些，刚片与刚片 间用链杆形成的虚铰相连，而不用单铰相连。
如图示，三刚片用 三个不共线的铰相 连，故：该体系为 无多余约束的几何 不变体系。
W 33 (23 3) 9 9 0
第二章 平面体系的几何构造分析
例2-3-2 求图示体系的计算自由度。 I A II
解：
1
3
2
45
m 2 g 1 h 1 b 5
W 3 2 (31 21 5)
6 10 4
例2-3-3 求图示体系的计算自由度。
第二章 平面体系的几何构造分析
A
单复刚结点
连接n个杆的
复刚结点等于多 少个单刚结点？
n-1个
第二章 平面体系的几何构造分析
5、多余约束和非多余约束
不能减少体系自由度的约束叫多余约束。 能够减少体系自由度的约束叫非多余约束。
第二章 平面体系的几何构造分析
6. 瞬变体系
几何可变体系又可分为两种：
• （1）几何常变体系：受力后可发生有限位 移。 • （2）几何瞬变体系：受力后可发生微量位 移。
A
a
当杆通过铰 瞬变体系
B
虚 铰
第二章 平面体系的几何构造分析
规则3 两刚片以不互相平行，也不相交于一点的三 根链杆相联，组成无多余约束的几何不变体系。
如约束不满足限制条件，将出现下列几种形式 的可变体系
瞬变体系
瞬变体系
常变体系
第二章 平面体系的几何构造分析
A
图示为一无多余约束的几何不变体系
将杆AC,AB,BC均看成刚片，就成为三
1.几何不变体系和几何可变体系
几何不变体系
结构
在任意荷载作用下，几何形状及位置均 保持不变的体系。（不考虑材料的应变）
几何可变体系
机构
在任意荷载作用下，几何形状及位置将发生 改变的体系。（不考虑材料的应变）
第二章 平面体系的几何构造分析
体系组成分析的目的：
(1)判定并设法保证体系的几何不变性。 (2)在结构计算时，可根据其几何组成情况，选
（a）
（e）
（c）
规则 一 二 三 四
连接对象 必要约束数
一点一刚片
两个
两刚片 三刚片
三个 六个
（b）
（d）
对约束的布置要求 两链杆不共线
链杆不过铰 三链杆不平行也不交于一点
三铰(单或虚)不共线
第二章 平面体系的几何构造分析
几何组成分析举例
利用基本组成规则，就可对体系进行几何不变性 的分析。在分析过程中应注意： ➢ 如果在分析过程中约束数目够，布置也合理，则 组成几何不变体系 ➢ 如果在分析过程中缺少必要的约束，或约束数目 够，布置不合理，则组成几何可变体系或瞬变体系。 ➢构件不能重复使用，如作为约束链杆，就不能再作 为刚片或刚片中的一部分。
A
B
C
两根不共线的链杆连结 一点称为二元体。
在一体系上增加（或 减去）二元体不改变原 体系的自由度，也不改 变原体系的机动性。
第二章 平面体系的几何构造分析
A
图示为一无多余约束的几何不变体系 实铰
杆AC、BC均看成刚片， 就成为两 刚片组成的无多余约束几何不变体系
C B
I
II
B III C
图示体系，形成瞬铰B、C的四根链杆相互平 行（不等长），故铰B、C在同一无穷远点，所 以三个铰A、 B、C位于同一直线上，故体系为 瞬变体系。
第二章 平面体系的几何构造分析
三刚片以三对平行链杆相联无 穷远处所有点均在一无穷远直 线上 瞬变体系
第二章 平面体系的几何构造分析
四个规则可归结为一个三角形法则。
第二章 平面体系的几何构造分析
例: 对图示体系作几何组成分析
解: 三刚片三铰相连,三铰不共线,所以该体系为无多余约束 的几何不变体系.
第二章 平面体系的几何构造分析
一元体：一个刚片与一个体系之间只用 三根不相交于一点也不平行的链杆联结，则 该刚片称为一元体。
二元体：两个刚片与一个体系之间用 三个不在一条直线上的铰两两相联，刚两 个刚片称为二元体。
刚片组成的无多余约束的几何不变体系
C
B
规则4 三刚片以不在一条直线
上的三铰 相连，组成无多余约束
的几何不变体系。
如约束不满足限制条件，将出现下列几种形式的瞬变体系
三铰共线瞬变体系
第二章 平面体系的几何构造分析
关于无穷远瞬铰的情况
1
C
I
2 II
A
B
III
图示体系，一个瞬铰C在无穷远处，铰A、 B连线与形成瞬铰的链杆1、2不平行，故三个 铰不在同一直线上，该体系几何不变且无多 余约束。
第二章 平面体系的几何构造分析
①抛开基础,只分析上部。 ②在体系内确定三个刚片。 ③三刚片用三个不共线的
三铰相连。 ④该体系为无多余约束的
几何不变体系。
该体系是几何不变体系有四个多余约束。
第二章 平面体系的几何构造分析
作业
2-1a 2-2 b 2-3 c d 2-8 a 2-9 c 2-10 b
第二章 平面体系的几何构造分析
瞬变体系（ ）
体系是由三个刚片用三个共线的铰 ABC相连，故为瞬变体系。（）
第二章 平面体系的几何构造分析
几种常用的分析途径
1、去掉二元体，将体系简单化，然 后再分析。
D
A
C
B
依次去掉二元体A、B、C、D后， 剩下大地。故该体系为无多余约 束的几何不变体系。
第二章 平面体系的几何构造分析 2、如上部体系与基础用满足要求三个约束相联可去掉
5、刚片的等效代换：在不改变刚片与周围的连结方式 的前提下，可以改变它的大小、形状及内部组成。即用一个 等效（与外部连结等效）刚片代替它。
有一个多余约束的几何不变体系
Ⅰ
Ⅱ
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅲ
两个刚片用三根平行不等长的链杆相连，几何瞬变体系
第二章 平面体系的几何构造分析
进一步分析可得，体系是无多余约 束的几何不变体系
第二章 平面体系的几何构造分析
第二章 平面体系的几何构造分析
第二章 平面体系的几何构造分析
基本要求：
理解几何不变体系、几何可变体系、
瞬变体系和刚片、约束、自由度、计算自 由度等概念。
掌握无多余约束的几何不变体系的几
何组成规则，及常见体系的几何组成分析。
了解结构的几何特性与静力特性的关
系。
第二章 平面体系的几何构造分析
第二章 平面体系的几何构造分析
第二章 平面体系的几何构造分析
第二章 平面体系的几何构造分析
A
B
C
D
E
第二章 平面体系的几何构造分析
第二章 平面体系的几何构造分析
体系的几何组成与静力特性的关系
体系的分类 几何组成特性
静力特性
几何 不
无多余约 束的几何 不变体系
约束数目正 好布置合理
静定结构：仅由平衡条件就 可求出全部反力和内力
第二章 平面体系的几何构造分析
§2-3 平面杆件体系的计算自由度
一、计算自由度
S a c W a d S W n
1. 将体系看作刚片、铰、刚结以及链杆组成的
体系，其中刚片为被约束对象，铰、刚结、链杆 为约束。则计算自由度公式为：
W 3m (3g 2h b)
m—刚片数； g—简单刚结数； h—简单铰数；b—简单链杆数 在求解时，地基的自由度为零，不计入刚片数。
三边在两边之和大
于第三边时,能唯一
地组成一个三角
形——基本出发点.
C
B
第二章 平面体系的几何构造分析
将BC杆视为刚片, 该体系就成为一
刚片与一点相连的几何不变体系。
B
A C
规则1 一点与一刚片用两 根不共线的链杆相连，组成无 多余约束的几何不变体系。
1
A2
两根共线的链杆连一点 瞬变体系
第二章 平面体系的几何构造分析
平面内一点
x
n=2
y
第二章 平面体系的几何构造分析
平面内一刚片
B
x
A
n=3
y
第二章 平面体系的几何构造分析
4、 约束
约束（联系）--减少自由度的装置。
单链杆：仅在两处与其它物体用铰相连，不 论其形状和铰的位置如何
一根 链杆 为一 个约 束
平面内一点
n=1
第二章 平面体系的几何构造分析
用一链杆将一刚片与地面相联 两刚片用一链杆相联
O13 O23
O12
D
ⅠF
A
B
C
Ⅲ
第二章 平面体系的几何构造分析
4、由一基本刚片开始，逐步增加二元体，扩大刚片的范围， 将体系归结为两个刚片或三个刚片相连，再用规则判定。
三刚片用不共线 三铰相连，故原 体系为无多余约 束的几何不变体 系。
Ⅲ
(Ⅱ,Ⅲ)
(Ⅰ,Ⅲ)
Ⅱ (Ⅰ,Ⅱ) Ⅰ
第二章 平面体系的几何构造分析
m、j、g、h、b意义同前。
第二章 平面体系的几何构造分析
4. 一个体系若求得W >0，一定是几何可变体
系；若W0，则可能是几何不变体系，也可能
是几何可变体系，取决于具体的几何组成。
所以W 0是体系几何不变的必要条件，而非
充分条件。
二、复链杆与复杂铰
1. 单链杆与复链杆
单链杆
复链杆——连接三个或三个以上结点的链杆称
基础，只分析上部。
抛开基础，分析上部，去掉二元体后，剩 下两个刚片用两根杆相连故：该体系为有 一个自由度的几何可变体系。
第二章 平面体系的几何构造分析
3、当体系杆件数较多时，将刚片选得分散些，刚片与刚片 间用链杆形成的虚铰相连，而不用单铰相连。
如图示，三刚片用 三个不共线的铰相 连，故：该体系为 无多余约束的几何 不变体系。
W 33 (23 3) 9 9 0
第二章 平面体系的几何构造分析
例2-3-2 求图示体系的计算自由度。 I A II
解：
1
3
2
45
m 2 g 1 h 1 b 5
W 3 2 (31 21 5)
6 10 4
例2-3-3 求图示体系的计算自由度。
第二章 平面体系的几何构造分析
A
单复刚结点
连接n个杆的
复刚结点等于多 少个单刚结点？
n-1个
第二章 平面体系的几何构造分析
5、多余约束和非多余约束
不能减少体系自由度的约束叫多余约束。 能够减少体系自由度的约束叫非多余约束。
第二章 平面体系的几何构造分析
6. 瞬变体系
几何可变体系又可分为两种：
• （1）几何常变体系：受力后可发生有限位 移。 • （2）几何瞬变体系：受力后可发生微量位 移。
A
a
当杆通过铰 瞬变体系
B
虚 铰
第二章 平面体系的几何构造分析
规则3 两刚片以不互相平行，也不相交于一点的三 根链杆相联，组成无多余约束的几何不变体系。
如约束不满足限制条件，将出现下列几种形式 的可变体系
瞬变体系
瞬变体系
常变体系
第二章 平面体系的几何构造分析
A
图示为一无多余约束的几何不变体系
将杆AC,AB,BC均看成刚片，就成为三
1.几何不变体系和几何可变体系
几何不变体系
结构
在任意荷载作用下，几何形状及位置均 保持不变的体系。（不考虑材料的应变）
几何可变体系
机构
在任意荷载作用下，几何形状及位置将发生 改变的体系。（不考虑材料的应变）
第二章 平面体系的几何构造分析
体系组成分析的目的：
(1)判定并设法保证体系的几何不变性。 (2)在结构计算时，可根据其几何组成情况，选
（a）
（e）
（c）
规则 一 二 三 四
连接对象 必要约束数
一点一刚片
两个
两刚片 三刚片
三个 六个
（b）
（d）
对约束的布置要求 两链杆不共线
链杆不过铰 三链杆不平行也不交于一点
三铰(单或虚)不共线
第二章 平面体系的几何构造分析
几何组成分析举例
利用基本组成规则，就可对体系进行几何不变性 的分析。在分析过程中应注意： ➢ 如果在分析过程中约束数目够，布置也合理，则 组成几何不变体系 ➢ 如果在分析过程中缺少必要的约束，或约束数目 够，布置不合理，则组成几何可变体系或瞬变体系。 ➢构件不能重复使用，如作为约束链杆，就不能再作 为刚片或刚片中的一部分。
A
B
C
两根不共线的链杆连结 一点称为二元体。
在一体系上增加（或 减去）二元体不改变原 体系的自由度，也不改 变原体系的机动性。
第二章 平面体系的几何构造分析
A
图示为一无多余约束的几何不变体系 实铰
杆AC、BC均看成刚片， 就成为两 刚片组成的无多余约束几何不变体系
C B