第二章_平面体系的几何组成分析
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第二章平面体系的几何组成分析
第二章平面体系的几何组成分析学习要求：掌握自由度及约束的概念。
能够利用简单的几何组成规则分析体系的几何组成性质。
学习重点：三个简单几何组成规则的灵活应用。
常见问题解答1、什么是几何不变体系？在任意荷载作用下，若不考虑材料的变形，其几何形状与位置均保持不变，这样的体系称为几何不变体系。
2、什么是几何可变体系？即使不考虑材料的变形，在很小的荷载作用下，也会引起其几何形状的改变，这样的体系称为几何可变体系。
3、什么是自由度？所谓自由度，是指体系运动时可以独立变化的几何参数的数目，即确定体系位置所需要的独立坐标的数目。
一个点在平面内的自由度等于2，一个刚片在平面内的自由度等于3。
4、什么是约束？体系的自由度将因为加入限制运动的装置而减少。
这种减少自由度的装置称为约束。
一根链杆相当于一个约束，一个单铰相当于两个约束，一个刚结点相当于三个约束。
5、什么是多余约束？如果在一个体系中增加一个约束，而体系的自由度并不因此减少，则称此约束为多余约束。
一个平面体系的计算自由度等于零，则该体系一定是几何不变体系？这个说法是错误的。
一个平面体系的计算自由度有以下三种情况：⑴W≥0，表示体系缺少足够的联系，因此体系一定是几何可变的。
⑵W=0，表示体系有成为几何不变体系所需的最少约束数。
如果布置合理，体系将是没有多余约束的几何不变体系。
如果布置不合理，体系是几何可变的。
⑶W≤0，表示体系有多余的约束，而体系是否几何不变还是要看约束布置是否合理。
6、什么是两刚片规则？两个刚片用不全平行也不全交于一点的三根链杆相联，组成的体系是无多余约束的几何不变体系。
或者：两个刚片用一个铰和一根不通过该铰的链杆相联，组成的体系是无多余约束的几何不变体系。
什么是三刚片规则？三个刚片用不在同一直线上的三个单铰两两相联，组成的体系是无多余约束的几何不变体系。
7、什么是二元体规则？在一个体系上添加或去掉一个二元体不会改变原体系的几何组成性质。
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三、点、刚片、结构的自由度
四、约束（联系）
1、约束：凡能减少自由度的装置。
2、一根链杆相当于一个约束(图3）。
y
o
x
（图3）
y
o
x
x
y
3、一个简单铰相当于两个约束(图4）。
y
o
x
（图4）
y
o
x
x
y
4、联结n个刚片的复铰相当于(n-1)个简单铰，减少(n-1)×2个约束（图5）。
（图5）
F
A
B
C
实饺：几何可变
虚饺：几何瞬变
2、三根链杆相互平行
实饺
虚饺
三饺共线（瞬变）
三个刚片上用不在同一直线上的三个铰两两相联结，形成无多余约束的几何不变体系。
三、三个刚片间的联结（规则三）：
第四节 几何组成分析的方法、步骤和举例
一、方法 一般先考察体系的计算自由度，若W0，则体系为几何可变，不必进行 几何组成分析；若W0，则应进行几何组成分析。
三、举例
例题1
结论: 无多余约束几何不变体系
第五节 体系几何组成与静定性的关系
一、几何可变体系 一般无静力解答。
二、无多余联系的几何不变体系 静力解答唯一确定。
三、几何瞬变体系 其平衡方程或者没有有限值解答，或在特殊情况下，解答不确定。
四、具有多余联系的几何不变体系 静力解答有无穷多组解。
二、两个刚片之间的联结（规则二）：
两个刚片上用一个铰和一根不通过此铰的一根链杆相连结，形成无多余约束的几何不变体系（或：两个刚片上用三根不交于一点、也不全平行的三根链杆相连结 ，形成无多余约束的几何不变体系）。
特殊情况： 1、三根链杆交于一点
四、约束（联系）
1、约束：凡能减少自由度的装置。
2、一根链杆相当于一个约束(图3）。
y
o
x
（图3）
y
o
x
x
y
3、一个简单铰相当于两个约束(图4）。
y
o
x
（图4）
y
o
x
x
y
4、联结n个刚片的复铰相当于(n-1)个简单铰，减少(n-1)×2个约束（图5）。
（图5）
F
A
B
C
实饺：几何可变
虚饺：几何瞬变
2、三根链杆相互平行
实饺
虚饺
三饺共线（瞬变）
三个刚片上用不在同一直线上的三个铰两两相联结，形成无多余约束的几何不变体系。
三、三个刚片间的联结（规则三）：
第四节 几何组成分析的方法、步骤和举例
一、方法 一般先考察体系的计算自由度，若W0，则体系为几何可变，不必进行 几何组成分析；若W0，则应进行几何组成分析。
三、举例
例题1
结论: 无多余约束几何不变体系
第五节 体系几何组成与静定性的关系
一、几何可变体系 一般无静力解答。
二、无多余联系的几何不变体系 静力解答唯一确定。
三、几何瞬变体系 其平衡方程或者没有有限值解答，或在特殊情况下，解答不确定。
四、具有多余联系的几何不变体系 静力解答有无穷多组解。
二、两个刚片之间的联结（规则二）：
两个刚片上用一个铰和一根不通过此铰的一根链杆相连结，形成无多余约束的几何不变体系（或：两个刚片上用三根不交于一点、也不全平行的三根链杆相连结 ，形成无多余约束的几何不变体系）。
特殊情况： 1、三根链杆交于一点
结构力学
二、几何组成分析的目的
（1）判别体系是否几何不变； （2）按什么规律组成一个几何不变体系; （3）区分结构是静定的还是超静定的。
返回
§2-2 刚片、约束、体系自由度 和计算自由度
一、体系自由度的定义：
体系自由度：体系的独立运动方式数，或确定体系位置所需的独立坐标数。 例如：平面内一个点有2个自由度，一个刚片有3个自由度。
在某一瞬间可以产生微小运动的体系，称为瞬变体系，它是可变体系 的一种特殊情况。
FN
瞬变体系在工程中不能采用。
FP 2 Sin
如果一个几何可变体系可以发生大位移，则称为常变体系。
法则Ⅱ： 两刚片法则，两刚片用不完全 相交于一点且不完全平行的三 根连杆连接而成的体系，是几 何不变而无多余约束的。
两刚片以一铰及不通过该铰的一个链杆相联，构成几何不变体系。
法则Ⅲ：三刚片六连杆法则，三刚片之间用六连杆彼 此两两相连接，六连杆所组成的三个铰不在 同一条直线上，则所组成的体系是几何不变 而无多余约束的。
讨论
虚铰在无穷远的情形
二元体的概念
二元体的定义：从任意基础上用不共线的两根连杆形成一个 新结点的装置。
2.结论：给定体系为几何不变无多余约束体系。
返回
例六
试分析图示体系是否为几何不变系
解：1.几何组成分析 去除二元体 刚片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ符合三刚片法则。
2.结论：给定体系为几何不变无多余约束体系
返回
例七 试分析图示体系是否为几何不变体系
解：1.几何组成分析 ABEF与基础之间符合两刚片法则，组成新刚片Ⅲ 在刚片Ⅲ上增加一个二元体形成新节点G，由二元体的性质知 体系仍为几何不变，看作刚片Ⅳ CDHI看作刚片Ⅴ,刚片Ⅳ、Ⅴ之间三根连杆交于点D。 2.结论：该体系为几何瞬变体系。
二章平面体系的几何组成分析
对结构进行分析计算时，必须首先分析判别它是否 是几何不变的，这一过程称为几何组成分析。
对结构进行几何组成分析的目的： （1）判断某一体系是否几何不变，从而确定它能否 作为结构，以保证结构的几何不变性。 （2）根据体系的几何组成，确定结构是静定结构的
（3）通过几何组成分析，明确结构各部分在几何组 成上的相互关系，从而选择简便合理的计算顺序。
再见
（图中虚线所示），依次去掉二元体（DG、FG）、 （EF、CF），对余下部分，将折 杆ADE、杆BE和基础分别看 作刚片，它们通过不共线 的三个铰A、E、B两两相连 故为无多余约束的几何不 变体系。
图2.12
例4 试对图2.13所示体系进行几何组成分析。 解:体系基础以上部分与基础用三根不交于一点且不完
相当于2（n-1）个约束。
(e)复刚结
相当于3（n-1）个约束。
图2.3
（2）支座约束 （a）辊轴支座 相当于一个约束。 （b）铰支座 相当于一个约束。 （c）固定支座 相当于一个约束。
2.2.3必要约束和多余约束
必要约束 体系中能限制体系自由度的约束； 多余约束 对限制体系自由度不起作用的约束。
成的，但并非杆系任意组成都能作为工程结构使用。如 图所示。
图a
图b
由上图可以看出，平面杆件体系可以分为两类： （1）几何不变体系 在不考虑材料应变的假定下，
其几何形状和位置保持不变的体系，如图(b)。 （2）几何可变体系 在不考虑材料应变的假定下，
其几何形状和位置可以改变的体系，如图(a)。
2.1.2 几何组成分析的目的
推论： 两刚片用三根不全平行也不交于一点的链杆相 连，则组成无多余约束的几何不变体系。
规则三：三刚片规则
三刚片用三个不共线的铰两两相连，组成无多余约 束的几何不变体系。
对结构进行几何组成分析的目的： （1）判断某一体系是否几何不变，从而确定它能否 作为结构，以保证结构的几何不变性。 （2）根据体系的几何组成，确定结构是静定结构的
（3）通过几何组成分析，明确结构各部分在几何组 成上的相互关系，从而选择简便合理的计算顺序。
再见
（图中虚线所示），依次去掉二元体（DG、FG）、 （EF、CF），对余下部分，将折 杆ADE、杆BE和基础分别看 作刚片，它们通过不共线 的三个铰A、E、B两两相连 故为无多余约束的几何不 变体系。
图2.12
例4 试对图2.13所示体系进行几何组成分析。 解:体系基础以上部分与基础用三根不交于一点且不完
相当于2（n-1）个约束。
(e)复刚结
相当于3（n-1）个约束。
图2.3
（2）支座约束 （a）辊轴支座 相当于一个约束。 （b）铰支座 相当于一个约束。 （c）固定支座 相当于一个约束。
2.2.3必要约束和多余约束
必要约束 体系中能限制体系自由度的约束； 多余约束 对限制体系自由度不起作用的约束。
成的，但并非杆系任意组成都能作为工程结构使用。如 图所示。
图a
图b
由上图可以看出，平面杆件体系可以分为两类： （1）几何不变体系 在不考虑材料应变的假定下，
其几何形状和位置保持不变的体系，如图(b)。 （2）几何可变体系 在不考虑材料应变的假定下，
其几何形状和位置可以改变的体系，如图(a)。
2.1.2 几何组成分析的目的
推论： 两刚片用三根不全平行也不交于一点的链杆相 连，则组成无多余约束的几何不变体系。
规则三：三刚片规则
三刚片用三个不共线的铰两两相连，组成无多余约 束的几何不变体系。
平面体系的几何组成分析
土i
木g
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程t 学s
2.1.2 造成几何可变的原因
院R
®e s
2. 外部支承不恰当：如图a所示简支梁，本为几何不变体
e r
系；但若将A端水平支杆移至C处并竖向设置，如图b所示，则在图
v e
示FP作用下，梁AB将相对于地基发生刚性平移，即变成了几何可
d
变体系。
FP A
FP
C
B
B
A A1
C1
B1
a) 几何不变体系
q2
II
1个单铰相当于2个约束,减少2个自由度。 (2) 复铰（连接两个刚片以上的铰） 连接n个刚片的复铰可折算成（n-1）个单铰，相当于2(n-1) 个约 束。
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重A
庆l
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2.2 几何组成分析的几个概念
r v
图b所示，则当结点C处作用FP时，该桁架杆件之间将产生刚性位
e
移，即变成了几何可变体系。
d
C FP
D
C
FP
C1
D D1
A
B
A
B
a) 几何不变体系
b) 几何可变体系
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2.1 几何不变体系和几何可变体系
B
A2
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第2章 平面体系的几何组成分析
[例] 试对图示体系进行几何组成分析
因三铰在一直线上， 故该体系为瞬变体系。
例 试分析图所示体系的几何组成。
解 (1) 用公式 (2-1) 计算体 系的自由度 m = 3， h = 2， r = 5 W = 3m－2h－r = 3 × 3－2 × 2－5 = 0
(2)几何组成分析 先把杆 AB 、 BC 及地基分别看作是刚片 I ，Ⅱ，Ⅲ， 相互用实铰 A(1 ， 3) 、实铰 B(1 ， 2) 及虚铰 (2 ， 3) 相连， （虚铰是在两平行支承链杆的交点处，即无限远处。） 三铰不在 — 直线上，此部分是几何不变的。然后再加上 一个二元体，亦是几何不变。 因此，整个体系是几何不变的。
2.平面链杆系的自由度
仅在杆的两端用铰连接的杆件称为链杆，它是刚 片的特殊形式，桁架是由这类杆件组成。 链杆系的自由度也可以用式W = 3m – 2h – r ，但 在链杆系中复铰较多，计算有所不便，因此另外从 节点出发推导两个方便计算的公式。
在链杆系中，假如各节点都是互不相连地独 立存在，则每一节点在平面内的自由度是2。
例2-4 计算图所示体系的自由度。
解： 用式(2-3)计算 W=2j–b–r 因为 j＝9，b＝15，r＝3 所以 W= 2×9 –15 – 3 = 0 即体系没有自由度。
例2-5 计算图所示体系的自由度。
解：图中 A ， B ， C 应算作 节点。其余与地基相连的 铰不算入节点数 j 内 (因为两 斜杆视作支承链杆)。 因为 j = 3，b = 2，r = 5 所以 W = 2 j－b－r = 2× 3－2－5＝－1 即体系不但没有自由度， 且多一个约束。
解： 该体系不与基础相连，r=0，故 用式(2-2) V = 3m – 2h – 3 因为 m=7，h=7+2=9
结构力学第2章平面体系的几何组成分析
➢ 在任意体系上依次增加，或依 次拆除二元体，原体系的自由度 数不变。
(a)
(b)
3、基本组成规则中约束方式 的影响
利用这两个规则的要点是规则中 的三个要素：
❖ 刚片及刚片数 ❖ 约束、约束数及约束的方式 ❖ 结论
两个刚片用三个链杆相连 的情况：
❖ 当三个链杆平行并且长度相等时， 是几何可变体系
两平行链杆构成一交点在无穷远的虚铰其作用相当于无穷远处的一个实铰的作用一个铰接三角形是无多余约束的几何不变体系或是刚片或是内部几何不变体系基本三角形规则基本三角形规则可用以下12两个简单组成规则等效
结构力学第2章平面体系的几何 组成分析
第二章 平面体系的几何组成分析
§2.1 概述
本章研究平面杆系结构的基本 组成规律和合理形式。
(b)
(c)
虚铰的典型运动特征为：瞬心
从瞬时运动角度来看，刚片1与刚 片2的相对运动，相当于绕两链杆 的交点处的一个实铰的转动。
(a)
(b)
➢ 两平行链杆构成一交点在 无穷远的虚铰，其作用相当于
无穷远处的一个实铰的作用 。
§2.3 平面几何不变体系的基 本组成规律
1.基本组成规律的产生 (a)
例2-4-6（多余约束）
分析图： (a)
说明：
对于有多余约束的几何不变体系， 可以用去掉约束的方法，使体系成 为无多余约束的几何不变体系，所 去掉的约束数就是原体系所具有的
多余约束数，这种方法叫拆除约束 法。
例2-4-7
分析图：
说明：
把四周用连续杆、刚结点及固定端 构成的体系叫封闭框。一个封闭框 是有3个多余约束的几何不变体系。
❖ 当三个链杆平行但长度不全相 等时，是几何瞬变体系
2 几何组成分析
n=2
刚 片
定义：在平面内可以看成是几何形状不变的物体。
一根杆件（一根梁、一个柱）、地基基础或体系中已经 肯定为几何不变的某个部分都可看作一个平面刚片。
刚片Ⅱ
刚片Ⅰ
刚片Ⅲ
刚片形状可以任意替换
每个自由刚片有 多少个 自由度呢？
平面刚体——刚片
B
刚片 自由度数
x
A
y
n=3
几何不变体系的自由度一定等于零 S=0 几何可变体系的自由度一定大于零 S>0
W=3 ×10-(2×14+3)=-1<0 W=2 ×6-13=-1<0
◆在计算自由度的式子中，部件可以是点，也可以是
刚片。但刚片必须是内部没有多余约束的刚片，如果
遇到内部有多余约束的刚片，则应把它变成内部无多 余约束的刚片，而它的附加约束则在计算体系的约束
总数时应当考虑进去。
无多余 约 束的刚片
W=2 ×6-11=1 W=3 ×8-(2×10+3)=1
例4：求下列图示体系的计算自由度
2 2
有 几 个 单 铰？
体系W 等于多少？
可变吗？
3 1
3
1
W=0,体系 是否一定 几何不变呢？
W=3 ×9-(2×12+3)=0
W<0,体系 是否一定 几何不变呢？
例5：求图 示体系的计 算自由度
上部 具有多 余联系
W=2j-b-r
其中： j--结点数 b--链杆数 r-支座链杆
应用上述公式时注意：
（1）复铰要换算成单铰。 一个复铰相当于（n-1)个单铰， 其中，n：复铰联接的杆件数。 如下图所示：
（2）铰支座、定向支座相当于两个链杆， 固定端相当于三个链杆。
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三、三刚片组成规则
规则三：三个刚片用不在同一直线上的三个 铰两两相联，则组成没有多余约束的几何不 变体系。如图所示。
A
A
O2 O1 O2 O3O1
O3
B
B
C
C
第二章 平面结构的几何构造分析
现在来讨论三刚片联结的特殊情况。如果两个刚
片之间是通过平行链杆联结，则其形成的虚铰将在无 穷远处。三个刚片之间的联结包括一对、两对和三对 平行链杆的情况。
合理，因B而不能限制瞬时运动B 的情况。 C
C
A
B
A'
第二章 平面结构的几何构造分析
二、两刚片组成规则
规则二：两个刚片用一个铰和不通过该铰 的一根链杆或用不交于一点也不互相平行 的三根链杆相联结，则组成没有多余约束 的几何不变体系。如图所示。
O
几何可变体系
O
R P
几何不变体系
A
C
A CE
B
D
变，实际上就是判别该体系 是否存在刚体运动的自由度。 y
所谓体系的自由度，是指体
系运动时可以独立变化的几
何参数的数目，也就是确定
xA
物体位置所需的独立坐标数
目。例如一个点在平面内自 由运动时，其位置要用两个 o
y x
坐标和来确定（右图），所
以一个点的自由度等于2。
第二章 平面结构的几何构造分析
如一个刚片在平面
1
2
A
1
3
2
第二章 平面结构的几何构造分析
体系中的约束有的对组成几何不变体 系来说是必须的，这种约束称为必要约束， 而必要约束之外的约束称之为多余约束。 每一个必要约束都可以使体系的自由度减 少1个，而多余约束并不减少体系的自由 度。
第二章 平面结构的几何构造分析
如下图中，A点在平面内的自由度原来为2，用两 根不共线的链杆将A点与基础相联，这时A点被完全 固定，体系的自由度为零。但是再增加一根链杆，体 系的自由度仍为零，增加的链杆并不会使得体系的自 由度减少，增加的链杆就是多余约束。应当注意的是，
第二章 平面结构的几何构造分析
几何不变体系
在不计材料应变的条
件下，在很小的荷载 P A
作用下，若体系的形
状和各杆的相对位置
保持不变，则称为几
B
C
何不变体系。
PC
D
第二章 平面结构的几何构造分析
P
A
几何可变体系
B
C
如果体系的形状或 P C
D
各杆的相对位置可
以改变，则称为几
何可变体系。
A
B
第二章 平面结构的几何构造分析
第二章 平面结构的几何构造分析
第四节 平面体系几何构造分析示例
利用上一节所述的规则及方法能够解 决一般工程上常见的平面杆件体系的几何 构造分析问题。具体分析时可将易直观判 定为内部几何不变的部分当作刚片，并应 注意检查刚片之间的联系数目是否符合两 刚片或三刚片的组成规则。
第二章 平面结构的几何构造分析
内自由运动时，其 位置可由其上任一 点A的坐标、和任
y
B x'
一直线AB的倾角来 确定（右图），因
x
A y
此一个刚片的自由 o
度等于3。
A' '
y' B' x
第二章 平面结构的几何构造分析
三、约束
平面体系各部分之间以及杆件与基础之 间存在一定的联系，这种联系对体系各 部分之间的位置关系形成一定的限制， 称之为约束。体系的联结方式常见的有 链杆联结、铰联结和刚性联接等。
例2-5 试分析图（a）所示体系的几何构造。
(a) D
(b) (O2,3 )
(O1,3 )
G
E
F
D
E
(O1,2 ) F
ABC
ABC
（体系是瞬变体系 ）
第二章 平面结构的几何构造分析
第五节 平面杆系结构的计算自由度
1.体系的自由度数S
体系的自由度数S等于其各组成部分互不联结时总 的自由度数减去体系中的必要约束数，即
第二章 平面结构的几何构造分析
1.当体系上有二元体时，应去掉二元体使体系 简化，以便于应用规则。但需注意，每次只能 去掉体系外围的二元体（符合二元体的定义）， 而不能从中间任意抽取。如图。
先去最外围
的二元体
A
B
C
D
E H
F
G
第二章 平面结构的几何构造分析
2.从一个刚片（例如地基或铰结三角形）开始， 依次增加二元体，尽量扩大刚片范围，使体系 中的刚片个数尽量少，便于应用规则。如图。
A x
1
刚片的自由度由9个 减少为5个，即减少
3 2
3
1y
4个自由度。由此可
2
知，联结n个刚片的 o
x
复铰可以当作个n-1
单铰，减少2(n-1)个
自由度。
第二章 平面结构的几何构造分析
连接2个刚片的 刚性连接称为单 刚结点。如右图
联结2个以A 上刚
片的刚结点称
为复刚1结。2 如
1
2
右图
A
1
2
第二章 平面结构的几何构造分析
任何平面体系的计算自由度，按以上两种方法 计算的结果，将有以下三种情况：
（1）W并不一定是体系的实际自由度，仅说明体系 必须的约束数目够不够，即
• W>0，表明体系缺少足够的联系，因此是几何可 变的；
• W=0，表明体系具有成为几何不变所必需的最少 联系数目；
• W<0，表明体系具有多余约束。 • 对于W≤0，体系是否几何不变取决于体系的具体
第二章 平面结构的几何构造分析
第二章 平面结构的几何构造分析
第一节 概述 第二节 几何构造分析的几个概念 第三节 平面几何不变体系的组成规则 第四节 平面体系几何构造分析示例 第五节 平面杆系结构的计算自由度
第二章 平面结构的几何构造分析
第一节 概述
• 结构都是用建筑材料组成的，但并不是怎样组成都 能作为结构使用的。
规则一：一点与一个刚片用两根链杆相联
结，且两链杆不共线，则组成没有多余约
束的几何不变体系。有时也称它为二元片
的组成规则，其中两根链杆称为二元片。
如图所示 。
A
几何可 变体系
A
二元片
B
B
C
第二章 平面结构的几何构造分析
而我们把本A来是几何可变的，经A微小的运动后成 为几何不变的体系称为瞬变体系。如图所示。瞬变一 般发生在体系的刚片间本有足够的约束，但其布置不
第二章 平面结构的几何构造分析
3.如果体系的支座链杆
只有三根，且不全
平行也不交于一点，
B
A
则地基与体系本身
的联结已符合二刚
片规则，因此可去
掉支座链杆和地基
B
D
而只对体系本身进
行分析。如图所示。
第二章 平面结构的几何构造分析
当体系支座链杆多 于三根时，应考虑 把地基作为一刚片， 将体系本身和地基 一起用三刚片规则 进行分析，否则， 往往会得出错误的 结论。如图。
造。
(a)
E
(b)
E
F
DF
D
G
G
去掉支座链
杆和地基
A
CA
C
B
B
(体系为几何不变体系，且无多余约束)
第二章 平面结构的几何构造分析
例2-4 试分析图（a）所示体系的几何构 造。
(a)
(b)
14
7
9
7 41
3
6
6
3 去掉支座链
杆和地基
258
10
85 2
（体系是瞬变体系 ）
第二章 平面结构的几何构造分析
第二章 平面结构的几何构造分析
4.先确定一部分，连续几次使用二刚片或 三刚片规则，逐步扩大到整个体系。如图 所示体系。
A
B
第二章 平面结构的几何构造分析
5.链杆和刚片可以相互转化。如图所示体
系。
B
A
D
E
GH
C
F
第二章 平面结构的几何构造分析
几何构造分析小结
在进行分析时，体系中的每根杆件和 约束都不能遗漏，也不可重复使用（复铰 可重复使用，但重复使用的次数不能超过 其相当的单铰数）。当分析进行不下去时， 一般是所选择的刚片或约束不恰当，应重 新选择刚片或约束再试。对于某一体系， 可能有多种分析途径，但结论是唯一的。
单铰。如右图，刚片1、
2用单铰A相连后，还 剩下4个运动独立几何 参数（x、y、1、2），则
y x
A 1
刚片的自由度由6个减 少为4个，即减少2个
2
2
1y
自由度。由此可知，1 o
x
个单铰相当于2个约束，
可以减少2个自由度。
第二章 平面结构的几何构造分析
以此类推，联结两个
以上刚片的铰称为
y
复铰。如右图，3个 刚片用复铰A联结后，
多余约束和必要约束是相对而言的。
(a)
(b)
A
A
B
C
B
C
D
第二章 平面结构的几何构造分析
第三节 平面几何不变体系的组成规则
在具体分析或检查体系的几何组成之 前，先必须了解几何不变体系的组成规则。 在平面体系中，组成几何不变体系的基本 规则主要有以下三种：
第二章 平面结构的几何构造分析
一、点和刚片的组成规则
W=3m—(3g+2h+b)
第二章 平面结构的几何构造分析
规则三：三个刚片用不在同一直线上的三个 铰两两相联，则组成没有多余约束的几何不 变体系。如图所示。
A
A
O2 O1 O2 O3O1
O3
B
B
C
C
第二章 平面结构的几何构造分析
现在来讨论三刚片联结的特殊情况。如果两个刚
片之间是通过平行链杆联结，则其形成的虚铰将在无 穷远处。三个刚片之间的联结包括一对、两对和三对 平行链杆的情况。
合理，因B而不能限制瞬时运动B 的情况。 C
C
A
B
A'
第二章 平面结构的几何构造分析
二、两刚片组成规则
规则二：两个刚片用一个铰和不通过该铰 的一根链杆或用不交于一点也不互相平行 的三根链杆相联结，则组成没有多余约束 的几何不变体系。如图所示。
O
几何可变体系
O
R P
几何不变体系
A
C
A CE
B
D
变，实际上就是判别该体系 是否存在刚体运动的自由度。 y
所谓体系的自由度，是指体
系运动时可以独立变化的几
何参数的数目，也就是确定
xA
物体位置所需的独立坐标数
目。例如一个点在平面内自 由运动时，其位置要用两个 o
y x
坐标和来确定（右图），所
以一个点的自由度等于2。
第二章 平面结构的几何构造分析
如一个刚片在平面
1
2
A
1
3
2
第二章 平面结构的几何构造分析
体系中的约束有的对组成几何不变体 系来说是必须的，这种约束称为必要约束， 而必要约束之外的约束称之为多余约束。 每一个必要约束都可以使体系的自由度减 少1个，而多余约束并不减少体系的自由 度。
第二章 平面结构的几何构造分析
如下图中，A点在平面内的自由度原来为2，用两 根不共线的链杆将A点与基础相联，这时A点被完全 固定，体系的自由度为零。但是再增加一根链杆，体 系的自由度仍为零，增加的链杆并不会使得体系的自 由度减少，增加的链杆就是多余约束。应当注意的是，
第二章 平面结构的几何构造分析
几何不变体系
在不计材料应变的条
件下，在很小的荷载 P A
作用下，若体系的形
状和各杆的相对位置
保持不变，则称为几
B
C
何不变体系。
PC
D
第二章 平面结构的几何构造分析
P
A
几何可变体系
B
C
如果体系的形状或 P C
D
各杆的相对位置可
以改变，则称为几
何可变体系。
A
B
第二章 平面结构的几何构造分析
第二章 平面结构的几何构造分析
第四节 平面体系几何构造分析示例
利用上一节所述的规则及方法能够解 决一般工程上常见的平面杆件体系的几何 构造分析问题。具体分析时可将易直观判 定为内部几何不变的部分当作刚片，并应 注意检查刚片之间的联系数目是否符合两 刚片或三刚片的组成规则。
第二章 平面结构的几何构造分析
内自由运动时，其 位置可由其上任一 点A的坐标、和任
y
B x'
一直线AB的倾角来 确定（右图），因
x
A y
此一个刚片的自由 o
度等于3。
A' '
y' B' x
第二章 平面结构的几何构造分析
三、约束
平面体系各部分之间以及杆件与基础之 间存在一定的联系，这种联系对体系各 部分之间的位置关系形成一定的限制， 称之为约束。体系的联结方式常见的有 链杆联结、铰联结和刚性联接等。
例2-5 试分析图（a）所示体系的几何构造。
(a) D
(b) (O2,3 )
(O1,3 )
G
E
F
D
E
(O1,2 ) F
ABC
ABC
（体系是瞬变体系 ）
第二章 平面结构的几何构造分析
第五节 平面杆系结构的计算自由度
1.体系的自由度数S
体系的自由度数S等于其各组成部分互不联结时总 的自由度数减去体系中的必要约束数，即
第二章 平面结构的几何构造分析
1.当体系上有二元体时，应去掉二元体使体系 简化，以便于应用规则。但需注意，每次只能 去掉体系外围的二元体（符合二元体的定义）， 而不能从中间任意抽取。如图。
先去最外围
的二元体
A
B
C
D
E H
F
G
第二章 平面结构的几何构造分析
2.从一个刚片（例如地基或铰结三角形）开始， 依次增加二元体，尽量扩大刚片范围，使体系 中的刚片个数尽量少，便于应用规则。如图。
A x
1
刚片的自由度由9个 减少为5个，即减少
3 2
3
1y
4个自由度。由此可
2
知，联结n个刚片的 o
x
复铰可以当作个n-1
单铰，减少2(n-1)个
自由度。
第二章 平面结构的几何构造分析
连接2个刚片的 刚性连接称为单 刚结点。如右图
联结2个以A 上刚
片的刚结点称
为复刚1结。2 如
1
2
右图
A
1
2
第二章 平面结构的几何构造分析
任何平面体系的计算自由度，按以上两种方法 计算的结果，将有以下三种情况：
（1）W并不一定是体系的实际自由度，仅说明体系 必须的约束数目够不够，即
• W>0，表明体系缺少足够的联系，因此是几何可 变的；
• W=0，表明体系具有成为几何不变所必需的最少 联系数目；
• W<0，表明体系具有多余约束。 • 对于W≤0，体系是否几何不变取决于体系的具体
第二章 平面结构的几何构造分析
第二章 平面结构的几何构造分析
第一节 概述 第二节 几何构造分析的几个概念 第三节 平面几何不变体系的组成规则 第四节 平面体系几何构造分析示例 第五节 平面杆系结构的计算自由度
第二章 平面结构的几何构造分析
第一节 概述
• 结构都是用建筑材料组成的，但并不是怎样组成都 能作为结构使用的。
规则一：一点与一个刚片用两根链杆相联
结，且两链杆不共线，则组成没有多余约
束的几何不变体系。有时也称它为二元片
的组成规则，其中两根链杆称为二元片。
如图所示 。
A
几何可 变体系
A
二元片
B
B
C
第二章 平面结构的几何构造分析
而我们把本A来是几何可变的，经A微小的运动后成 为几何不变的体系称为瞬变体系。如图所示。瞬变一 般发生在体系的刚片间本有足够的约束，但其布置不
第二章 平面结构的几何构造分析
3.如果体系的支座链杆
只有三根，且不全
平行也不交于一点，
B
A
则地基与体系本身
的联结已符合二刚
片规则，因此可去
掉支座链杆和地基
B
D
而只对体系本身进
行分析。如图所示。
第二章 平面结构的几何构造分析
当体系支座链杆多 于三根时，应考虑 把地基作为一刚片， 将体系本身和地基 一起用三刚片规则 进行分析，否则， 往往会得出错误的 结论。如图。
造。
(a)
E
(b)
E
F
DF
D
G
G
去掉支座链
杆和地基
A
CA
C
B
B
(体系为几何不变体系，且无多余约束)
第二章 平面结构的几何构造分析
例2-4 试分析图（a）所示体系的几何构 造。
(a)
(b)
14
7
9
7 41
3
6
6
3 去掉支座链
杆和地基
258
10
85 2
（体系是瞬变体系 ）
第二章 平面结构的几何构造分析
第二章 平面结构的几何构造分析
4.先确定一部分，连续几次使用二刚片或 三刚片规则，逐步扩大到整个体系。如图 所示体系。
A
B
第二章 平面结构的几何构造分析
5.链杆和刚片可以相互转化。如图所示体
系。
B
A
D
E
GH
C
F
第二章 平面结构的几何构造分析
几何构造分析小结
在进行分析时，体系中的每根杆件和 约束都不能遗漏，也不可重复使用（复铰 可重复使用，但重复使用的次数不能超过 其相当的单铰数）。当分析进行不下去时， 一般是所选择的刚片或约束不恰当，应重 新选择刚片或约束再试。对于某一体系， 可能有多种分析途径，但结论是唯一的。
单铰。如右图，刚片1、
2用单铰A相连后，还 剩下4个运动独立几何 参数（x、y、1、2），则
y x
A 1
刚片的自由度由6个减 少为4个，即减少2个
2
2
1y
自由度。由此可知，1 o
x
个单铰相当于2个约束，
可以减少2个自由度。
第二章 平面结构的几何构造分析
以此类推，联结两个
以上刚片的铰称为
y
复铰。如右图，3个 刚片用复铰A联结后，
多余约束和必要约束是相对而言的。
(a)
(b)
A
A
B
C
B
C
D
第二章 平面结构的几何构造分析
第三节 平面几何不变体系的组成规则
在具体分析或检查体系的几何组成之 前，先必须了解几何不变体系的组成规则。 在平面体系中，组成几何不变体系的基本 规则主要有以下三种：
第二章 平面结构的几何构造分析
一、点和刚片的组成规则
W=3m—(3g+2h+b)
第二章 平面结构的几何构造分析