结构力学 第二章 几何组成分析(典型例题)
结构力学习题解答(第二章)
W 3 5 （2 7 6） 5
分析：刚片ACD与刚片DEG都固接在地基上，组成一个几 何不变体系且无多余约束，而铰D、链杆BD、BF、DF均是 整个体系的内部联系，并非刚片ACD、刚片DEG与地基构 成几何不变体系的必要约束，对整个体系而言是多余约束， （一个铰相当于2个约束）。 结论：有5个多余约束的几何不变体系，
W 2 8 （ 3） 0 - 13
分析：由于该体系与地基是由三根既不相互平行也不相交于 一点的链杆连接，分析时可先抛开地基。ABF可视为一刚片， 在其基础上依次增加二元体BCF、CGA后形成扩大刚片Ⅰ； DEH可视为一刚片，在其基础上增加二元体DCH后形成扩 大刚片Ⅱ，扩大刚片Ⅰ、Ⅱ由铰C和链杆GE连接，满足两刚 片规则。 结论：无多余约束的几何不变体系
分析：刚片AB、AC与地基由铰A、B、C连接，满足 三钢片规则，形成一个几何不变体系，故链杆DE为多 余约束。 结论：有一个多余约束的几何不变体系
H G F E B A C D M N
W 2 15 （27 3） 0
分析：ABC可视为一刚片，在其基础上依次增加二元体 BFC、FDC、FED、FGE、GHE后形成扩大刚片Ⅰ，同理 HMN可视为刚片Ⅱ，刚片Ⅰ、Ⅱ由铰H和链杆DM连接，由 两刚片规则可知AHN为几何不变体系，视AHN为一大刚片， 它与地基由两刚片规则连接而成。 结论：无多余约束的几何不变体系
W 3 8 （2 10 4） 0
N
W 2 6 （8 4） 0
分析：把地基及其上的固定铰 支座链杆视为刚片Ⅰ，链杆DE 视为刚片Ⅱ，铰接三角形BCE 视为刚片Ⅲ，ⅠⅡ通过链杆1、 AD连接，形成虚铰M,ⅠⅢ通过 链杆2、AB连接，形成虚铰 C,ⅡⅢ通过链杆DB、FE连接， 形成虚铰N,铰C、M、N不共线， 满足三钢片规则。
结构力学
二、几何组成分析的目的
（1）判别体系是否几何不变； （2）按什么规律组成一个几何不变体系; （3）区分结构是静定的还是超静定的。
返回
§2-2 刚片、约束、体系自由度 和计算自由度
一、体系自由度的定义：
体系自由度：体系的独立运动方式数，或确定体系位置所需的独立坐标数。 例如：平面内一个点有2个自由度，一个刚片有3个自由度。
在某一瞬间可以产生微小运动的体系，称为瞬变体系，它是可变体系 的一种特殊情况。
FN
瞬变体系在工程中不能采用。
FP 2 Sin
如果一个几何可变体系可以发生大位移，则称为常变体系。
法则Ⅱ： 两刚片法则，两刚片用不完全 相交于一点且不完全平行的三 根连杆连接而成的体系，是几 何不变而无多余约束的。
两刚片以一铰及不通过该铰的一个链杆相联，构成几何不变体系。
法则Ⅲ：三刚片六连杆法则，三刚片之间用六连杆彼 此两两相连接，六连杆所组成的三个铰不在 同一条直线上，则所组成的体系是几何不变 而无多余约束的。
讨论
虚铰在无穷远的情形
二元体的概念
二元体的定义：从任意基础上用不共线的两根连杆形成一个 新结点的装置。
2.结论：给定体系为几何不变无多余约束体系。
返回
例六
试分析图示体系是否为几何不变系
解：1.几何组成分析 去除二元体 刚片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ符合三刚片法则。
2.结论：给定体系为几何不变无多余约束体系
返回
例七 试分析图示体系是否为几何不变体系
解：1.几何组成分析 ABEF与基础之间符合两刚片法则，组成新刚片Ⅲ 在刚片Ⅲ上增加一个二元体形成新节点G，由二元体的性质知 体系仍为几何不变，看作刚片Ⅳ CDHI看作刚片Ⅴ,刚片Ⅳ、Ⅴ之间三根连杆交于点D。 2.结论：该体系为几何瞬变体系。
结构力学第二章 平面体系的几何组成分析
不完全铰节点 1个单铰
13/73
2-1 几何构造分析的几个概念
四、约束 两个互不相连的刚片，若用刚结点连接， 则两者被连为一体成为一个刚片，自由 度由6减少为3。 一个单刚结点相当于3个约束。 单刚结点
三个互不相连的刚片，若用刚结点连接， 自由度由9减少为3。
由此类推:
复刚节点
连接 n 个刚片的复刚结点，它相当于n－1 个单刚结点或3(n－ 1)个约束。
A A
1 B
2 C B
1
3
2 C
B 1
A 2
C
几何可变 几何不变 有多余约束
几何不变 无多余约束
规律1 一个刚片与一个点用两根链杆相连，且三个铰不在同一 直线上，则组成几何不变的整体，并且没有多余约束。
23/73
2-2 平面几何不变体系的组成规律
二、两个刚片之间的联结方式
A 2 B I 3 C
A II B I 3 C
16/73
2-1 几何构造分析的几个概念
六、瞬变体系
B 1
I II A
2
I
C
A
II
1 B
2 C
两根链杆彼此共线 1、从微小运动的角度看，这是一个可变体系。 左图两圆弧相切，A点可作微小运动； 右图两圆弧相交，A点被完全固定。
17/73
2-1 几何构造分析的几个概念
六、瞬变体系
B 1
I II A
2
I A 1 B C 2 D
在体系运动的过程中，瞬铰的位臵随之变 化。 用瞬铰替换对应的两个链杆约束，这种约 束的等效变换只适用于瞬时微小运动。
20/73
2-1 几何构造分析的几个概念
八、无穷远处的瞬铰
结构力学几何组成分析例题
[例5] 试对图示体系进行几何组成分析，如是具有多余约 束的几何不变体系，则须指出多余约束的数目。
J
6
[例6] 试对图示体系进行几何组成分析，如是具有多余约 束的几何不变体系，则须指出多余约束的数目。
7
[例7] 试对图示体系进行几何组成分析，如是具有多余约 束的几何不变体系，则须指出多余约束的数目。
8
[例8] 试对图示体系进行几何组成分析，如是具有多余约 束的几何不变体系，则须指出多余约束的数目。
9
[例9] 试对图示体系进行几何组成分析，如是具有多余约 束的几何不变体系，则须指出多余约束的数目。
10
结构力学几何组成分析例题
1
结构力学几何组成分析例题
2
[例2] 试对图示体系进行几何组成分析，如是具有多余约 束的几何不变体系，则须指出多余约束的数目。
3
[例3] 试对图示体系进行几何组成分析，如是具有多余约 束的几何不变体系，则须指出多余约束的数目。
4
[例4] 试对图示体系进行几何组成分析，如是具有多余约 束的几何不变体系，则须指出多余约束的数目。
结构力学习题
2、产生位移的原因主要有三种
3、变形体系的虚功原理:
a）荷载作用 b）温度改变和材料胀缩
c）支座沉降和制造误差
变形体虚功原理：各微段内力在应变上所作的内虚功总和Wv，
等于荷载在位移上以及支座反力在支座位移上所作的外虚功总
和W。
F + FRk ck = FN du + M d + FS ds
M
M
第四章
一、三铰拱的主要受力特点：
静定拱
在竖向荷载作用下，产生水平推力。 优点：水平推力的存在使拱截面弯矩减小，轴力增大； 截面应力分布较梁均匀。节省材料，自重轻能跨越大跨 度；截面一般只有压应力，宜采用耐压不耐拉的材料砖、 石、混凝土。使用空间大。 缺点：施工不便；增大了基础的材料用量。
二、反力计算公式：
FN FN P MM P EI ds + EA ds
8）该公式既用于静定结构和超静定结构。但必须是弹性体系 9）虚拟力状态：在拟求位移处沿着拟求位移的方向，虚设相应 的广义单位荷载。
A B 求A点的 水平位移 P=1 求A截面 的转角
m=1
m=1
m=1
P=1 求AB两点 的相对位移
P=1
教材57页(4-1)
注：1）该组公式仅用于：两底铰在同一水平线上且承受竖向荷载。 2）三铰拱的反力与跨度、矢高（即三铰的位臵）有关， 而与拱轴线的形状无关；水平推力与矢高成反比。
三、内力计算公式： 0 注：1、该组公式仅用于两底铰 FS = FS cos - FH sin 在同一水平线上,且承受 0 FN = - FS sin - FH cos 竖向荷载； 2、仍有 FS=dM/ds 即剪力等零处弯矩达极值； 3、 M、FS、FN图均不再为直线。 4、集中力作用处FS图将发生突变。 5、集中力偶作用处M图将发生突变。 四、三铰拱的合理轴线 在给定荷载作用下使拱内各截面弯矩 剪力等于零,只有轴力的拱轴线。合理拱轴线方程为：
02-2结构力学第二章 平面体系的几何组成分析-作业答案汇总
38 3 2 29 3 3
3个单铰结点, 3个折算为2个单铰结点的复铰结点
支杆
b3
11/73
(II III) 刚片II
(I II)
刚片III
几何不变且无多余约束
j9 单链杆：12根 复链杆：2根 折算为6根单链杆
W 2 j b 29 12 6 0
5/73
【作业1】分析图示体系的几何构造
图3
【作业1】分析图示体系的几何构造
图4
先考察如图所示结构
∞(II III)
9/73
【作业2】求图示系统的计算自由度
刚片 m 1 单刚结点 g 4 铰结点 h 0 支杆 b 3
内部无多余约束刚片
W 3m 3g 2h b
31 3 4 3 12
10/73
【作业2】求图示系统的计算自由度
刚片 m 8
单刚结点 g 2
W 3m 3g 2h b
铰结点 h 9
刚片 m 14 单铰链结点 h 18
刚片II
刚片III
(I II)
(I III) 刚片I
瞬变体系
其中折算为2个单铰结点的 复铰结点有6个
∞(II III)
其中折算为3个单铰结点的 复铰结点有2个 单刚结点 2个 g 2 和基础相连的支杆 0个 b 0
W 3m 3g 2h b
314 3 2 218 0
∞(II III)
刚片II (I II) (I III) 刚片III
刚片I
几何不变且无多余约束
(I II) 刚片II (I III) 刚片III
刚片I
几何不变且无多余约束
7/73
【作业2】求图示系统的计算自由度
图1 并进行几何构造分析
结构力学
第二章 结构的几何组成分析（一）单项选择题1．三刚片组成无多余约束的几何不变体系，其连接方式是 【 B 】A ．以任意的三个铰相连B ．以不在一条线上的三个铰相连C ．以三对平行链杆相连D ．以三个无穷远处的虚铰相连2．从一个无多余约束几何不变体系上去除二元体得到的新体系为 【 A 】 A ．无多余约束的几何不变体系 B ．有多余约束的几何不变体系 C ．常变体系 D ．瞬变体系 3．静定结构的几何组成是【 C 】A ．瞬变体系B ．常变体系C ．无多余约束的几何不变体系D ．有多余约束的几何不变体系 4．图示体系属于【 D 】A ．无多余约束的几何不变体系B ．有多余约束的几何不变体系C ．瞬变体系D ．常变体系5．图示体系是【 B 】A ．瞬变体系B ．常变体系C ．无多余约束的几何不变体系D ．有多余约束的几何不变体系 （二）填空题6．连接4个刚片的复铰相当于 6 个约束。
7．不能起到减少自由度作用的约束称为 多余约束 。
8．将三刚片组成无多余约束的几何不变体系，必要的约束数目是 6 。
9．在一个几何不变体系上加二元体后的新体系为 几何不变体系 。
10．图示体系的几何组成是 无多与约束的几何不变体系 。
（三）分析题11～15．对图示体系进行几何组成分析（要写出分析过程）。
题4图题5图题10图解：11．撤除支座约束，剩余部分为刚片Ⅰ和Ⅱ用既不完全平行又不完全相交的三根链杆1、2、3相连，故原体系为无多余约束的几何不变体系12题解：．撤除支座约束，去除二元体C -A -D 、C -B -E ，剩余部分为刚片Ⅰ(CDE )和Ⅱ(FGH )用既不完全平行又不完全相交的三根链杆1、2、3相连，故原体系为无多余约束的几何不变体系。
AB C DEF GH题12图AB CDE FC D E F 答11图 ⅠⅡ 1 2 3 D E F GH答12图 12313题解；．撤除支座约束，去除二元体D -C -E ，剩余部分为两刚片（杆AF 和BF ）用两平行链杆相连，故原体系为有一个自由度的几何可变体系。
结构力学二(第二章)
4
B
B 杆通过铰 瞬变体系 瞬 变 体 系
瞬 变 体 系
常 变 体 系
郑州大学土木工程学院
5
规则四、一点与一刚片用两 根不共线的链杆相联，组成无多 余约束的几何不变体系。
1
A
A
2
B
C
两根共线的链杆联一点 瞬变体系
两根不共线的链杆联 结一点称为二元体。
在一体系上增加（或减去）二元体不改变原体系的机 动性，也不改变原体系的自由度。
郑州大学土木工程学院
2
3、约束：在体系内部加入的减少自由度的装置。 ⑴单链杆：仅在两处与其它物体用铰相连，不论其形状和 铰的位置如何。 一根链杆可以减少体系一个自由度，相当于一个约束。 多余约束：不减少体系自由度的约束。 注意：多余约束将影响结构的受力与变形。 ⑵单铰： 联结 两个 刚片的铰。 一个单铰可减少体系两个自由度相当于两个约束。 ⑶虚铰（瞬铰） 联结两刚片的两根不共线的链杆相当于一个单铰即瞬铰。 ⑷复铰（重铰）联结三个或三个以上刚片的铰 联结n个刚片的复铰相当于n-1个单铰，相当于 2(n-1)个约束！ ⑸刚性连接——固定支座、刚节点 一个刚性连接可减少体系三个自由度相当于三个约束。
郑州大学土木工程学院
8
1-4、瞬变体系在一般荷载作用下 （C ） A 产生很小的内力 B 不产生内力 C 产生很大的内力 D 不存在静力解答 1-5、从一个无多余约束的几何不变体系上去除二元体后得到 的新体系是 （A ） A 无多余约束的几何不变体系 B 有多余约束的几何不变体系 C 几何可变体系 D 几何瞬变体系 1-6、图示体系是什么体系？ （C ） A 无多余约束的几何不变体系 Ⅲ B A B 有多余约束的几何不变体系 C C 几何可变体系 Ⅱ Ⅰ D 几何瞬变体系
结构力学第二章几何组成分析(典型例题)
［例题2-1-1］计算图示体系的自由度。
，可变体系。
（a）（b）解：（a ）几何不变体系，无多余约束（b ）几何可变体系［例题2-1-2］计算图示体系的自由度。
桁架几何不变体系，有多余约束。
解：几何不变体系，有两个多余约束［例题2-1-3］计算图示体系的自由度。
桁架自由体。
解：几何不变体系，无多余约束［例题2-1-4］计算图示体系的自由度。
，几何可变体系。
解：几何可变体系［例题2-1-5］计算图示体系的自由度。
刚架自由体。
解：几何不变体系，有6个多余约束［例题2-2-1］对图示体系进行几何组成分析。
两刚片规则。
几何不变体系，且无多余约束［例题2-2-2］对图示体系进行几何组成分析。
两刚片规则。
几何不变体系，且无多余约束［例题2-2-3］对图示体系进行几何组成分析。
两刚片规则。
几何不变体系，且无多余约束 ［例题2-2-4］对图示体系进行几何组成分析。
两刚片规则。
几何不变体系，有一个多余约束 ［例题2-2-5］对图示体系进行几何组成分析。
二元体规则。
几何不变体系，且无多余约束 ［例题2-2-6］对图示体系进行几何组成分析。
两刚片规则，三刚片规则。
几何不变体系，且无多余约束 ［例题2-2-7］对图示体系进行几何组成分析。
三刚片规则。
几何不变体系，且无多余约束 ［例题2-2-8］对图示体系进行几何组成分析。
三刚片规则。
几何不变体系，且无多余约束 ［例题2-3-1］对图示体系进行几何组成分析。
两刚片规则。
几何瞬变体系 ［例题2-3-2］对图示体系进行几何组成分析。
两刚片规则。
几何瞬变体系 ［例题2-3-3］对图示体系进行几何组成分析。
三刚片规则。
几何瞬变体系 ［例题2-3-4］对图示体系进行几何组成分析。
三刚片规则。
几何不变体系，且无多余约束 ［例题2-3-5］对图示体系进行几何组成分析。
三刚片规则。
几何不变体系，且无多余约束 ［例题2-3-6］对图示体系进行几何组成分析。
二元体规则，三刚片规则。
几何瞬变体系 ［例题2-3-7］对图示体系进行几何组成分析。
西北工业大学航空学院结构力学课后题答案第二章结构的几何组成分析
第二章 结构的几何组成分析2-1 分析图2-27所示平面桁架的几何不变性，并计算系统的多余约束数。
3571(a)(a)解：视杆为约束，结点为自由体。
C ＝11，N ＝7×2＝14f =11－7×2＋3=0该桁架布局合理，不存在有应力的杆，故为无多余约束的几何不变系。
(b)(b)解：视杆和铰支座为约束，结点为自由体。
C ＝9＋2＋1＝12，N ＝6×2＝12f ＝12－6×2＝0该桁架布局合理，不存在有应力的杆，故为无多余约束的几何不变系。
(c)(c)解：视杆和铰支座为约束，结点为自由体。
C ＝10＋2×2＝14，N ＝6×2＝12ｆ＝14－12＝2该桁架为有两个多余约束的几何不变系。
1217(d)(d)解：视杆和铰支座为约束，结点为自由体。
C ＝30＋3＝33，N ＝17×2＝34ｆ＝33－34＝-1故该桁架为几何可变系。
8(e)(e)解：视杆为约束，结点为自由体。
C ＝13，N ＝8×2＝16ｆ＝13－16＋3＝0将1-2-3-4、5-6-7-8看作两刚片，杆3-6、杆2-7、杆4-5相互平行，由两刚片原则知，为瞬时可变系统。
6(f)(f)解：视杆和固定铰支座为约束，结点为自由体。
C ＝22＋3×2＝28，N ＝14×2＝28ｆ＝28－28＝0将12-13-14、7-11-12、1-2-3-4-5-6-7-8-9-10看作三刚片，三刚片由铰7、铰12、铰14连结，三铰共线，故该桁架为瞬时可变系统。
(g)(g)解：视杆和固定铰支座为约束，结点为自由体。
C＝24＋4×2＝32，N＝16×2＝32ｆ＝32－32＝0由于杆15-14-3、杆12-11-4、杆9-5相交于一点，故该桁架为瞬时可变系。
(h)(h)解：视杆和固定铰支座为约束，结点为自由体。
C＝12＋2×2＝16，N＝8×2＝16ｆ＝16－16＝0该桁架布局合理，加减二元体之后，无有应力的杆，故该桁架为无多余约束的几何不变系。
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［例题2-1-1］ 计算图示体系的自由度。
，可变体系。
（a ） （
b ） 解：
（a ）
几何不变体系，无多余约束 （ b ）
几何可变体系
［例题2-1-2
］
计算图示体系的自由度。
桁架几何不变体系，有多余约束。
解：
几何不变体系，有两个多余约束 ［例题
2-1-3］
计算图示体系的自由度。
桁架自由体。
解：
几何不变体系，无多余约束 ［例题
2-1-4］ 计算图示体系的自由度。
，几何可变体系。
解：
几何可变体系 ［例题
2-1-5］
计算图示体系的自由度。
刚架自由体。
解：
几何不变体系，有6个多余约束
［例题2-2-1］
对图示体系进行几何组成分析。
两刚片规则。
几何不变体系，且无多余约束
［例题2-2-2］
对图示体系进行几何组成分析。
两刚片规则。
几何不变体系，且无多余约束
［例题2-2-3］
对图示体系进行几何组成分析。
两刚片规则。
几何不变体系，且无多余约束 ［例题2-2-4］
对图示体系进行几何组成分析。
两刚片规则。
几何不变体系，有一个多余约束
［例题2-2-5］
对图示体系进行几何组成分析。
二元体规则。
几何不变体系，且无多余约束
［例题2-2-6
］
对图示体系进行几何组成分析。
两刚片规则，三刚片规则。
几何不变体系，且无多余约束
［例题2-2-7］
对图示体系进行几何组成分析。
三刚片规则。
几何不变体系，且无多余约束
［例题
2-2-8］
对图示体系进行几何组成分析。
三刚片规则。
几何不变体系，且无多余约束［例题2-3-1］
对图示体系进行几何组成分析。
两刚片规则。
几何瞬变体系
［例题2-3-2］
对图示体系进行几何组成分析。
两刚片规则。
几何瞬变体系
［例题2-3-3］
对图示体系进行几何组成分析。
三刚片规则。
几何瞬变体系
［例题2-3-4］
对图示体系进行几何组成分析。
三刚片规则。
几何不变体系，且无多余约束
［例题
2-3-5
］
对图示体系进行几何组成分析。
三刚片规则。
几何不变体系，且无多余约束
［例题
2-3-6］
对图示体系进行几何组成分析。
二元体规则，三刚片规则。
几何瞬变体系
［例题2-3-7］
对图示体系进行几何组成分析。
三刚片规则。
几何不变体系，且无多余约束
［例题
2-3-8］
对图示体系进行几何组成分析。
二元体规则，三刚片规则。
几何瞬变体系
［例题2-3-9］
对图示体系进行几何组成分析。
二元体规则，三刚片规则。
几何瞬变体系
［例题2-3-10］
对图示体系进行几何组成分析。
三刚片规则。
几何不变体系，且无多余约束
［例题
2-3-11］
对图示体系进行几何组成分析。
三刚片规则。
几何不变体系，且无多余约束
［例题2-3-12］
对图示体系进行几何组成分析。
三刚片规则。
几何瞬变体系
［例题
2-3-13
］
对图示体系进行几何组成分析。
两刚片规则。
几何不变体系，有一个多余约束
［例题
2-3-14］
对图示体系进行几何组成分析。
三刚片规则。
几何不变体系，且无多余约束
［例题
2-3-15］
对图示体系进行几何组成分析。
两刚片规则，三刚片规则。
几何不变体系，且无多余约束
［例题
2-3-16
］
对图示体系进行几何组成分析。
三刚片规则。
几何不变体系，且无多余约束
［例题
2-3-17］
对图示体系进行几何组成分析。
两刚片规则。
几何不变体系，有一个多余约束。