全等三角形中的动点问题(教师版)

全等三角形中的动点问题

全等三角形的判断与定义

1.定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，“全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”。当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。由此，可以得出：全等三角形的对应边相等，对应角相等。

2.判定：

(1)三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”)，这一条也说明了三角形具有稳定性的原因。

(2)有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。

(3)有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。

(4)有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”)

(5)直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或“斜边，直角边”) 所以，SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。

注意：在全等的判定中，没有AAA和SSA，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。

3.性质：

(1)全等三角形的对应角相等。

(2)全等三角形的对应边相等。

(3)全等三角形的对应边上的高对应相等。

(4)全等三角形的对应角的角平分线相等。

(5)全等三角形的对应边上的中线相等。

(6)全等三角形面积相等。

(7)全等三角形周长相等。

(8)全等三角形的对应角的三角函数值相等。

1、如图，在△ABC中，∠BAD=∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，AF=10cm，AC=14cm，动点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为．

(1)求证：在运动过程中，不管取何值，都有S△AED=2S△DGC；

(2)当取何值时，△DFE与△DMG全等；

(3)在(2)的前提下，若，，求S△BFD．

（1）证明：∵∠BAD=∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，

∴DF=DM，

∵S△AED=AE•DF，S△DGC=CG•DM，

∴=，

∵点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以

1cm/s的速度从C点向A点运动，

∴AE=2tcm，CG=tcm，

∴=2，

即=2，

∴在运动过程中，不管取何值，都有S△AED=2S△DGC．

（2）解：设时间为t时，△DFE与△DMG全等，则EF=MG，

①当M在线段CG的延长线上时，

∵点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，

∴EF=AF-AE=10-2t，MG=AC-CG-AM=4-t，

即10-2t=4-t，

解得：t=6，

当t=6时，MG=-2，所以舍去；

②当M在线段CG上时，

∵点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，

∴EF=AF-AE=10-2t（cm），MG=AM-（AC-CG）=t-4（cm），

即10-2t=t-4，

解得：t=，

综上所述当t=时，△DFE与△DMG全等．

（3）∵t=，

∴AE=2t=（cm），

∵DF=DM，

∴S△ABD：S△ACD=AB：AC=BD：CD=119：126，

∵AC=14cm，

∴AB=（cm），

∴BF=AB-AF=-10=（cm），

∵S△ADE：S△BDF=AE：BF=：，S△AED=28cm2，

∴S△BDF=（cm2）．

解析：

（1）由角平分线的性质可知DF=DM，所以△AED和△DEG的面积转化为底AE和CG的比值，根据路程=速度×时间求出AE和CG的长度即可证明在运动过程中，不管取何值，都有S△AED=2S△DGC．

（2）若△DFE与△DMG全等，则EF=MG，利用已知条件求出EF和MG的长度，建立方程解方程即可求出运动的时间．

（3）利用等高三角形的面积比等于对应底的比，即可求得答案．

2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC=8cm，点P从A出发向C以1cm/s的速度运动、点Q同时从C出发向B以1cm/s的速度运动，当一个点运动到终点时，该点停止运动，另一个点继续运动，当两个点都到达终点时也停止运动．

(1)几秒后，△CPQ的面积为Rt△ABC的面积的？

(2)填空：①点经过_____秒，点P在线段AB的垂直平分

线上．

②点Q经过_____秒，点Q在∠BAC的平分线上．

（1）设经过x秒，首先求得线段BC的长，然后分x≤6

和6＜x≤8两种情况列方程求解即可；

（2）①点P在线段AB的垂直平分线上，即可得到PA=PB，从而求得时间；

②点Q在∠BAC的平分线上，则Q点到AC和AB的距离相等．

解；（1）设经过x秒．

在Rt△ABC中，

根据题意得；

当x≤6时，（8-x）x=××8×6

解得：

当6＜x≤8时，（8-x）×6=37

解得：x=7

答：经过7秒或秒．

（2）当点P在线段AB的垂直平分线上时，PA=PB，

∵设经过x秒后点P在线段AB的垂直平分线上，

∴x2=（8-x）2+62

解得：x=，

∴经过秒，点P在线段AB的垂直平分线上

②如图，作QD⊥AB于点D，

∵点Q在∠BAC的平分线上，

∴QD=QC，

设经过x秒，

则CQ=x，则QD=（6-x），

∴x=（6-x），解得：x=，

∴点Q经过秒，点Q在∠BAC的平分线上．

3、如图，△ABC是直角三角形，∠A=90°，AB=8cm，AC=6cm点P从点A出发，沿AB方向以2cm/s的速度向点B运动；同时点Q从点A出发，沿AC方向以1cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达终点，则另一个动点也停止

运动，则三角形APQ的最大面积是()

A.8cm2

B.16cm2

C.24cm2

D.32cm2

解：根据题意

沿AB方向以2cm/s的速度向点B运动；同时点Q从点A出

发，沿AC方向以1cm/s的速度向点C运动，

∴AP=2t，AQ=t，

S△APQ=t2，

∵0＜t≤4，

∴三角形APQ的最大面积是16．

故选B．

4、如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC，BD及线段AB把平面分成①、②、

③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接PA，PB，构成∠PAC，∠APB，∠PBD三个角．(提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角)