[最新]贝塞尔公式
别捷尔斯公式与贝塞尔公式
别捷尔斯公式与贝塞尔公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：别捷尔斯公式与贝塞尔公式是数学中常见的两个重要公式，它们在物理学、工程学、计算机科学等领域都有广泛的运用。
本文将分别介绍这两个公式的概念、历史、应用以及区别，希望能为读者更深入地了解它们的意义和作用。
一、别捷尔斯公式别捷尔斯公式是由法国数学家安贝尔-阿尔方斯·别捷尔斯（Jean-Baptiste Joseph Fourier）于19世纪提出的一种数学解析方法，用于将周期函数展开成无限三角级数的形式。
别捷尔斯公式可以将任意一个以正弦和余弦函数为基础的周期函数表示成其对应的傅立叶级数，这为我们研究和描述周期性现象提供了非常方便的工具。
历史上，别捷尔斯公式的提出对于数学和物理学的发展产生了深远的影响。
通过别捷尔斯公式，人们可以更好地理解波动现象、振动现象以及其他周期性现象，从而研究出许多重要的物理规律和方程，比如热传导方程、振动方程等。
别捷尔斯公式也被广泛用于信号处理、通信系统、图像处理等领域。
别捷尔斯公式的数学表达形式比较简单，是一个正弦和余弦函数的线性组合。
它的应用范围很广，可以用来近似描述各种周期性现象。
别捷尔斯公式也为其他数学方法和技术的发展提供了重要的思路和基础。
二、贝塞尔公式贝塞尔公式是由德国数学家弗里德里希·贝塞尔（Friedrich Bessel）提出的一种特殊函数的表示方法。
贝塞尔函数是一类重要的特殊函数，广泛应用于科学与工程中。
贝塞尔函数可以描述一些非周期性的振动和波动现象，例如在量子力学、电磁学、流体力学等领域都有重要的应用。
贝塞尔函数比较特殊的地方在于它们具有无穷多个复数根和极点，因此有时候需要采用数值计算的方法来求解。
贝塞尔函数在求解热传导方程、辐射传热方程、波动方程等偏微分方程时，具有重要的作用，可以提供更精确和更有效的解析方法。
贝塞尔函数的性质和应用远不止于此，它们还可以用来描述声波、光波、电磁波等多种波动现象，同时也可以用于图像处理、通信系统、卫星导航等领域。
贝塞尔函数的递推公式
贝塞尔函数的递推公式
贝塞尔函数 (Bessel Function) 是一类特殊函数的总称，它是
贝塞尔方程的标准解函数。
在物理和工程中，贝塞尔函数是最常用的函数之一。
它涉及到许多重要的数学和物理学问题，如波动问题、有势场问题等。
贝塞尔函数的具体形式随着方程中实数α的变化而变化，α被称为贝塞尔函数的阶数。
实际应用中，常见α为整数 n，对应 n 贝塞
尔函数。
贝塞尔函数的递推公式可以通过使用贝塞尔方程的通解形式推
导出来。
具体来说，设 y0(x) 为贝塞尔方程的标准解函数，则 y1(x) 满足以下递推公式:
y1(x) = -x^2y0""(x) - 2xy0(x) + y0(x)^2
其中，"表示求导。
这个递推公式可以用来构建贝塞尔函数的任
意阶导数和解函数。
贝塞尔函数在数学和物理学中的应用非常广泛，除了上述问题外，它还与级数展开、格林函数、刘维尔定理等数学问题相关。
因此，掌握贝塞尔函数的递推公式和解函数对于数学和物理学的学习都具有
重要意义。
贝塞尔函数的递推公式
xn J n (x) nxn1J n (x) xn J n1 (x),
11
d
dx
xn J n (x)
x n J n1 (x),
(25)
d
dx
xn J n (x)
x n J n1 (x).
(26)
如果将以上两式左端的导数表出，化简后则得
xJ n (x) nJ n (x) xJ n1(x), xJ n (x) nJ n (x) xJ n1(x),
Y0 (x)
2
J
0
(
x)
ln
x 2
C
2
(1) m
m0
1 (m!) 2
x 2m
2
m1 k 0
k
1, 1
Yn
(x)
2
Jn
( x) ln
x 2
C
1
n1 m0
(n
m 1)! m!
x 2
n2m
1
(1) m
m0
1
x n2m
m!(n m)! 2
nm1
1
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x 2
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m1 k 0
k
1, 1
Yn
(x)
2
Jn
( x) ln
x 2
C
1
n1 m0
(n
m 1)! m!
x 2
n2m
贝塞尔公式计算器算法
贝塞尔公式计算器算法
贝塞尔公式是一种用于生成平滑曲线的算法。
它的原理是通过控制点来确定曲线的形状，以及参数来确定曲线在控制点之间的曲率。
以下是贝塞尔公式计算器算法的详细解释：
1. 控制点
贝塞尔曲线的形状是由一系列控制点来决定的。
通常情况下，每个控制点都有一个在曲线上对应的点。
控制点的数量并不固定，但是越多越容易生成平滑的曲线。
2. 参数
贝塞尔曲线的参数是通过一个叫做“t”的变量来控制的。
t的范围通常在0到1之间，它表示曲线上某个点的位置。
通过改变t的值，我们可以得到曲线上的不同点，从而生成整条曲线。
3. 公式
贝塞尔曲线的公式非常简单，但是需要用到一些高中数学中的知识。
我们通过控制点和参数来计算曲线上某个点的位置，公式如下：
P(t) = (1-t)^(n-i) * t^i * Pi
其中，n是控制点的数量，i是当前点在控制点中的索引，Pi是第i 个控制点的坐标。
4. 算法
在实现贝塞尔公式计算器算法的时候，我们需要按照以下步骤进行：
（1）获取所有的控制点坐标；
（2）根据控制点的数量和参数，计算出曲线上每个点的坐标；
（3）将所有点连接起来，生成曲线。
在计算每个点的坐标时，我们可以通过递归的方式来实现。
对于每个点，我们需要计算出它左边和右边的两个点，然后再用这两个点来计算当前点的坐标。
最终，我们可以得到一条平滑的曲线。
总体来说，贝塞尔公式计算器算法并不复杂，但是需要一定的数学基础和编程技能。
通过这个算法，我们可以轻松生成各种漂亮的曲线。
三阶贝塞尔曲线公式
三阶贝塞尔曲线公式
贝塞尔曲线是计算机图形学中被广泛使用的一种曲线，它是一个灵活多样的几何表达方式。
三阶贝塞尔曲线，即指的是三次贝塞尔曲线，是最常用的曲线。
它的最常用的公式如下：
P(t) = (1-t)P0 + 3(1-t)tP1 + 3(1-t)tP2 + tP3，其中P(t)表示t时刻的点的坐标，P0、P1、P2、P3分别表示贝塞尔曲线上的四个基准点的坐标，t的定义域为[0,1]。
三阶贝塞尔曲线的特点在于它可以准确反映出一系列点连续变
化状态，它可以做到在四个基准点之间“平滑”地过渡，使图形看起来更加圆润。
此外，三阶贝塞尔曲线也有很多控制工具，可以通过改变基准点的位置和改变起始点和结束点的位置，从而轻松调整三阶贝塞尔曲线，以达到画出不同曲线的目的。
三阶贝塞尔曲线在计算机图形学中有着重要的作用。
它可以用来表示图形变化的状态，如：可以用来表示离散的几何图形，如多边形、四边形等，也可以用来表示精细的曲线，如云状曲线、抛物线等。
此外，三阶贝塞尔曲线可以用在更多的应用场景中，如：绘制复杂的三维模型；制作动画；用于计算机视觉等。
例如，在计算机视觉中，三阶贝塞尔曲线可以用来检测和识别图形特征，如轮廓和凸包，以及对对象进行分类，恢复和重建，而且这些操作也可以运用在图像处理过程中。
因此可以看出，三阶贝塞尔曲线具有广泛的应用，它不仅可以用来形成复杂的几何图形，也可以用来检测和识别图形特征，从而为计
算机图形学所做出重要的贡献。
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[最新]贝塞尔公式样本标准差的表示公式数学表达式:, S-标准偏差(%), n-试样总数或测量次数，一般n值不应少于20-30个, i-物料中某成分的各次测量值，1,n; [编辑]标准偏差的使用方法, 在价格变化剧烈时，该指标值通常很高。
, 如果价格保持平稳，这个指标值不高。
, 在价格发生剧烈的上涨/下降之前，该指标值总是很低。
[编辑]标准偏差的计算步骤标准偏差的计算步骤是:2 步骤一、(每个样本数据 , 样本全部数据之平均值)。
步骤二、把步骤一所得的各个数值相加。
步骤三、把步骤二的结果除以 (n - 1)(“n”指样本数目)。
步骤四、从步骤三所得的数值之平方根就是抽样的标准偏差。
[编辑][1]六个计算标准偏差的公式 [编辑]标准偏差的理论计算公式设对真值为X的某量进行一组等精度测量, 其测得值为l、l、……l。
令12n测得值l与该量真值X之差为真差占σ, 则有σ = l ? X 1iσ = l ? X 22……σ = l ? X nn我们定义标准偏差(也称标准差)σ为(1)由于真值X都是不可知的, 因此真差σ占也就无法求得, 故式只有理论意义而无实用价值。
[编辑]标准偏差σ的常用估计—贝塞尔公式由于真值是不可知的, 在实际应用中, 我们常用n次测量的算术平均值来代表真值。
理论上也证明, 随着测量次数的增多, 算术平均值最接近真值, 当时, 算术平均值就是真值。
于是我们用测得值l与算术平均值之差——剩余误差(也叫残差)V来代ii替真差σ , 即设一组等精度测量值为l、l、……l 12n则……通过数学推导可得真差σ与剩余误差V的关系为将上式代入式(1)有(2)式(2)就是著名的贝塞尔公式(Bessel)。
它用于有限次测量次数时标准偏差的计算。
由于当时，,可见贝塞尔公式与σ的定义式(1)是完全一致的。
应该指出, 在n有限时, 用贝塞尔公式所得到的是标准偏差σ的一个估计值。
它不是总体标准偏差σ。
因此, 我们称式(2)为标准偏差σ的常用估计。
贝塞尔函数的有关公式
C.贝塞尔函数的有关公式贝塞尔方程的持解B p(z)为(柱)贝塞尔函数。
有第一类柱贝塞尔函数J p(z)p为整数n时，J-n=(-1)n J n；p不为整数时，J p与J-p线性无关。
第二类柱贝塞尔函数N p(z)(柱诺依曼函数)n为整数时N-n=(-1)n N n。
第三类柱贝塞尔函数H p(z) (柱汉开尔函数)：第一类柱汉开尔函数H p(1)(z)= J p(z)+j N p(z)第二类柱汉开尔函数H p(2)(z)= J p(z)-j N p(z)大宗量z小宗量z 0，为欧拉常数见微波与光电子学中的电磁理论p668J n(z)的母函数和有关公式函数e z(t/2-1/2t)称为第一类贝塞尔函数的母函数，或称生成函数，若将此函数在t=0附近展开成罗朗级数，可得到在上式中作代换，令t=e j ，t= je j 等，可得又可得如z=x为实数贝塞尔函数的加法公式J n(z)的零点 niJ’n(z)的零点γni半整数阶贝塞尔函数J n+1/2(z)的零点χnpJ'n+1/2(z)的零点χ'npD．朗斯基行列式及其它关系式E．修正贝塞尔函数有关公式贝塞尔方程中用(j z)代换z，得到修正的贝塞尔方程方程的两个线性无关的解为I p(z)=j-p J p(j z)．称为第一类修正的柱贝塞尔函数。
K p(z)=(π/2)j p+1H p(1)(j z)．称为第二类修正的柱贝塞尔函数。
大宗量z小宗量z 0（0210）《古代散文》复习思考题一、填空题1．甲骨卜辞、和《易经》中的卦、爻辞是我国古代散文的萌芽。
2．深于比兴、，是先秦散文的突出特点。
3．《》长于描写外交辞令。
4．《国语》的突出特点是长于。
5．“兼爱”、“非攻”是思想的核心。
6．先秦诸子中，善养“浩然之气”。
7．先秦诸子中，提出了“言不尽意”、“得意忘言”的观点。
8．荀子的《》是我国最早以“赋”名篇的作品。
9．《鵩鸟赋》是的骚体赋。
10．枚乘的《》标志着散体赋的正式形成。
贝塞尔公式详细推导过程
贝塞尔公式详细推导过程《贝塞尔公式的详细推导过程》引言：贝塞尔公式是数学中一种重要且广泛应用的公式，它的推导过程相对较复杂、细致，但却十分精彩。
在本文中，我们将详细介绍贝塞尔公式的推导过程，让读者对这一公式有更深入的理解。
一、贝塞尔公式的定义：贝塞尔公式是一种用连分数表示的数学公式，其一般形式为：J_n(x) = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} \cos(n\theta - x\sin\theta)d\theta其中，J_n(x) 表示第n阶贝塞尔函数，x 是实数，\theta 表示角度，\pi 表示圆周率。
二、推导过程：1. 首先，我们从欧拉公式 e^ix = \cos(x) + i\sin(x) 出发，将其展开得到：e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)2. 接下来，我们将展开中的i\sin(x) 转化为两个实数的乘积。
我们知道，正弦函数的定义式为：\sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}代入之前的展开式，得到：i\sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2}3. 现在，我们用这个展开式来推导贝塞尔公式。
我们首先将贝塞尔函数展开成幂级数形式：J_n(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k}4. 接下来，我们将展开式中的 e^{ix} 替换为 \cos(x) + i\sin(x)：J_n(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} \left(\cos(x) + i\sin(x)\right)5. 然后，我们将正弦函数用欧拉公式展开为两个指数函数的乘积：J_n(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} \left(\cos(x) + i\frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2}\right)6. 继续推导，我们可以将指数函数的乘积展开为两项之差：J_n(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} \left(\cos(x) + \frac{i e^{ix}}{2} - \frac{i e^{-ix}}{2}\right)7. 现在，我们可以将展开式中的 i 消去：J_n(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} \left(\cos(x) + \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2}\right)8. 之后，我们可以将展开式进行拆分，分别对两项进行求和，并利用复数的性质对其中的复数部分进行化简：J_n(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^n \left(\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k}\cos(x) + \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k}\frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2}\right)9. 最后，我们可以将两个求和式进行整理，将其中的复数部分转化为积分形式：J_n(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k}\cos(x) + \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k}\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} \cos(n\theta -x\sin\theta)d\theta10. 将整理后的展开式中的求和式转化为连分数形式，即可得到贝塞尔公式：J_n(x) = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} \cos(n\theta - x\sin\theta)d\theta结论：通过上述推导过程，我们可以将贝塞尔公式从指数函数的展开式推导得到，将其转化为连分数形式。
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[最新]贝塞尔公式样本标准差的表示公式数学表达式:, S-标准偏差(%), n-试样总数或测量次数，一般n值不应少于20-30个, i-物料中某成分的各次测量值，1,n; [编辑]标准偏差的使用方法, 在价格变化剧烈时，该指标值通常很高。
, 如果价格保持平稳，这个指标值不高。
, 在价格发生剧烈的上涨/下降之前，该指标值总是很低。
[编辑]标准偏差的计算步骤标准偏差的计算步骤是:2 步骤一、(每个样本数据 , 样本全部数据之平均值)。
步骤二、把步骤一所得的各个数值相加。
步骤三、把步骤二的结果除以 (n - 1)(“n”指样本数目)。
步骤四、从步骤三所得的数值之平方根就是抽样的标准偏差。
[编辑][1]六个计算标准偏差的公式 [编辑]标准偏差的理论计算公式设对真值为X的某量进行一组等精度测量, 其测得值为l、l、……l。
令12n测得值l与该量真值X之差为真差占σ, 则有σ = l ? X 1iσ = l ? X 22……σ = l ? X nn我们定义标准偏差(也称标准差)σ为(1)由于真值X都是不可知的, 因此真差σ占也就无法求得, 故式只有理论意义而无实用价值。
[编辑]标准偏差σ的常用估计—贝塞尔公式由于真值是不可知的, 在实际应用中, 我们常用n次测量的算术平均值来代表真值。
理论上也证明, 随着测量次数的增多, 算术平均值最接近真值, 当时, 算术平均值就是真值。
于是我们用测得值l与算术平均值之差——剩余误差(也叫残差)V来代ii替真差σ , 即设一组等精度测量值为l、l、……l 12n则……通过数学推导可得真差σ与剩余误差V的关系为将上式代入式(1)有(2)式(2)就是著名的贝塞尔公式(Bessel)。
它用于有限次测量次数时标准偏差的计算。
由于当时，,可见贝塞尔公式与σ的定义式(1)是完全一致的。
应该指出, 在n有限时, 用贝塞尔公式所得到的是标准偏差σ的一个估计值。
它不是总体标准偏差σ。
因此, 我们称式(2)为标准偏差σ的常用估计。
为了强调这一点, 我们将σ的估计值用“S ” 表示。
于是, 将式(2)改写为(2')在求S时, 为免去求算术平均值的麻烦, 经数学推导(过程从略)有于是, 式(2')可写为(2")按式(2")求S时, 只需求出各测得值的平方和和各测得值之和的平方艺 , 即可。
[编辑]标准偏差σ的无偏估计2 数理统计中定义S为样本方差222 数学上已经证明S是总体方差σ的无偏估计。
即在大量重复试验中, S围2绕σ散布, 它们之间没有系统误差。
而式(2')在n有限时,S并不是总体标准偏差σ的无偏估计, 也就是说S和σ之间存在系统误差。
概率统计告诉我们, 对于服从正态分布的正态总体, 总体标准偏差σ的无偏估计值为(3)令则即S和S仅相差一个系数K,K是与样本个数测量次数有关的一个系数, K1σσ值见表。
σ计算K时用到σΓ(n + 1) = nΓ(n)Γ(1) = 1由表1知, 当n>30时, 。
因此, 当n>30时, 式(3')和式(2')之间的差异可略而不计。
在n=30,50时, 最宜用贝塞尔公式求标准偏差。
当n<10时, 由于K值的影响已不可忽略, 宜用式(3'), 求标准偏差。
这时σ再用贝塞尔公式显然是不妥的。
[编辑]标准偏差的最大似然估计将σ的定义式(1)中的真值X用算术平均值代替且当n有限时就得到(4)式(4)适用于n>50时的情况, 当n>50时,n和(n-1)对计算结果的影响就很小了。
2.5标准偏差σ的极差估计由于以上几个标准偏差的计算公式计算量较大, 不宜现场采用, 而极差估计的方法则有运算简便, 计算量小宜于现场采用的特点。
极差用"R"表示。
所谓极差就是从正态总体中随机抽取的n个样本测得值中的最大值与最小值之差。
若对某量作次等精度测量测得l、，且它们服从正态分布, 则 1R = l ? l maxmin概率统计告诉我们用极差来估计总体标准偏差的计算公式为(5)S称为标准偏差σ的无偏极差估计, d为与样本个数n(测得值个数)有关的32 无偏极差系数, 其值见表2由表2知, 当n?15时,, 因此, 标准偏差σ更粗略的估计值为(5')还可以看出, 当200?n?1000时，因而又有(5")显然, 不需查表利用式(5')和(5")了即可对标准偏差值作出快速估计, 用以对用贝塞尔公式及其他公式的计算结果进行校核。
应指出,式(5)的准确度比用其他公式的准确度要低, 但当5?n?15时,式(5)不仅大大提高了计算速度, 而且还颇为准确。
当n>10时, 由于舍去数据信息较多, 因此误差较大, 为了提高准确度, 这时应将测得值分成四个或五个一组, 先求出各组的极差R、, 再由各组极差求出极差平均值。
1极差平均值和总体标准偏差的关系为需指出, 此时d大小要用每组的数据个数n而不是用数据总数N(=nK)去查2 表2。
再则, 分组时一定要按测得值的先后顺序排列,不能打乱或颠倒。
编辑][标准偏差σ的平均误差估计平均误差的定义为误差理论给出(A)可以证明与的关系为(证明从略)于是 (B)由式(A)和式(B)得从而有式(6)就是佩特斯(C.A.F.Peters.1856)公式。
用该公式估计δ值, 由于\right|V\right|不需平方,故计算较为简便。
但该式的准确度不如贝塞尔公式。
该式使用条件与贝塞尔公式相似。
[编辑][1]标准偏差的应用实例对标称值R = 0.160 < math > μm < math > 的一块粗糙度样块进行检定, a 顺次测得以下15个数据:1.45,1.65,1.60,1.67,1.52,1.46,1.72,1.69,1.77,1.64,4.56,1.50,1.64, 1.74和1.63μm, 试求该样块R的平均值和标准偏差并判断其合格否。
n解:1)先求平均值2)再求标准偏差S若用无偏极差估计公式式(5)计算, 首先将测得的, 15个数据按原顺序分为三组, 每组五个, 见表3。
表3组号 l_1 l_5 R1 1.48 1.65 1.60 1.67 1.52 0.192 1.46 1.72 1.69 1.77 1.64 0.313 1.56 1.50 1.64 1.74 1.63 0.24因每组为5个数据, 按n=5由表2查得故若按常用估计即贝塞尔公式式(2') , 则若按无偏估计公式即式(3')计算, 因n=15，由表1查得K = 1.018, 则δ若按最大似然估计公式即式(4')计算, 则= 0.09296( < math > μm < math > )若按平均误差估计公式即式(6), 则现在用式(5')对以上计算进行校核可见以上算得的S、S、S、S和S没有粗大误差。
1234由以上计算结果可知0.09296<0.0962<0.0979<0.1017<0.1062即 < < SS < S< SS 2143可见, 最大似然估计值最小, 常用估计值S稍大, 无偏估计值S又大, 平1均误差估计值S再大, 极差估计值S最大。
纵观这几个值, 它们相当接近, 最43 。
从理论上讲, 用无偏估计值和常用估计比较合适, 在大差值仅为0.01324μm 本例中, 它们仅相差0.0017μ、、和之m。
可以相信, 随着的增大, S、SSSS1234间的差别会越来越小。
就本例而言, 无偏极差估计值S和无偏估计值S仅相差0.0083μm, 这说明31 无偏极差估计是既可以保证一定准确度计算又简便的一种好方法。
JJG102-89《表面粗糙度比较样块》规定R的平均值对其标称值的偏离不应a 超过+12%,17%, 标准偏差应在标称值的4%,12%之间。
已得本样块二产,产均在规定范围之内, 故该样块合格。
[编辑]标准偏差与标准差的区别标准差(Standard Deviation)各数据偏离平均数的距离(离均差)的平均数，它是离差平方和平均后的方根。
用σ表示。
因此，标准差也是一种平均数。
标准差是方差的算术平方根。
标准差能反映一个数据集的离散程度。
平均数相同的，标准差未必相同。
例如，A、B两组各有6位学生参加同一次语文测验，A组的分数为95、85、75、65、55、45，B组的分数为73、72、71、69、68、67。
这两组的平均数都是70，但A组的标准差为17.08分，B组的标准差为2.16分，说明A组学生之间的差距要比B组学生之间的差距大得多。
标准偏差(Std Dev,Standard Deviation) - 统计学名词。
一种量度数据分布的分散程度之标准，用以衡量数据值偏离算术平均值的程度。
标准偏差越小，这些值偏离平均值就越少，反之亦然。
标准偏差的大小可通过标准偏差与平均值的倍率关系来衡量。