贝塞尔公式(建议收藏)

样本标准差的表示公式

数学表达式：

•S—标准偏差（％）

•n—试样总数或测量次数，一般n值不应少于20—30个•i—物料中某成分的各次测量值，1～n；

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标准偏差的使用方法

•在价格变化剧烈时,该指标值通常很高。

•如果价格保持平稳,这个指标值不高。

•在价格发生剧烈的上涨/下降之前,该指标值总是很低. [编辑]

标准偏差的计算步骤

标准偏差的计算步骤是：

步骤一、（每个样本数据－样本全部数据之平均值)2。

步骤二、把步骤一所得的各个数值相加。

步骤三、把步骤二的结果除以 (n — 1)（“n”指样本数目）。

步骤四、从步骤三所得的数值之平方根就是抽样的标准偏差。［编辑］

六个计算标准偏差的公式[1]

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标准偏差的理论计算公式

设对真值为X的某量进行一组等精度测量, 其测得值为l1、

l2、……l n。令测得值l与该量真值X之差为真差占σ，则有σl i−X.。.。。。文档交流

1 =

σ2 = l2−X

……

σn = l n−X

我们定义标准偏差（也称标准差）σ为

（1）

由于真值X都是不可知的，因此真差σ占也就无法求得, 故式只有理论意义而无实用价值。

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标准偏差σ的常用估计—贝塞尔公式

由于真值是不可知的，在实际应用中, 我们常用n次测量的算术

平均值来代表真值。理论上也证明, 随着测量次数的增多，算术平均值最接近真值，当时，算术平均值就是真值。。.。。。.文档交流

于是我们用测得值l i与算术平均值之差——剩余误差(也叫残差）V i来代替真差σ，即

设一组等精度测量值为l1、l2、……l n

则

……

通过数学推导可得真差σ与剩余误差V的关系为

将上式代入式(1)有

(2)

式(2)就是著名的贝塞尔公式（Bessel).

它用于有限次测量次数时标准偏差的计算.由于当时，

,可见贝塞尔公式与σ的定义式（1）是完全一致的。

应该指出, 在n有限时, 用贝塞尔公式所得到的是标准偏差σ的一个估计值。它不是总体标准偏差σ。因此, 我们称式(2)为标准偏差σ的常用估计。为了强调这一点，我们将σ的估计值用“S ”表示。于是, 将式（2)改写为.。。。。。文档交流

（2’）

在求S时，为免去求算术平均值的麻烦，经数学推导(过程从略)有

于是，式(2’）可写为

（2")

按式(2”)求S时，只需求出各测得值的平方和和各测得值之和的平方艺 , 即可。

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标准偏差σ的无偏估计

数理统计中定义S2为样本方差

数学上已经证明S2是总体方差σ2的无偏估计。即在大量重复试验中，S2围绕σ2散布，它们之间没有系统误差.而式（2')在n有限时,S 并不是总体标准偏差σ的无偏估计，也就是说S和σ之间存在系统误差。概率统计告诉我们, 对于服从正态分布的正态总体, 总体标准偏差σ的无偏估计值为。.。。.。文档交流

（3)

令

则

即S1和S仅相差一个系数Kσ,Kσ是与样本个数测量次数有关的一个系数, Kσ值见表。

计算Kσ时用到

Γ（n + 1) = nΓ(n）

Γ（1) = 1

由表1知, 当n>30时, 。因此，当n>30时，式(3’）和式(2’)之间的差异可略而不计。在n=30~50时，最宜用贝塞尔公式求标准偏差。当n<10时，由于Kσ值的影响已不可忽略，宜用式（3’), 求标准偏差。这时再用贝塞尔公式显然是不妥的。.。。...文档交流

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标准偏差的最大似然估计

将σ的定义式（1）中的真值X用算术平均值代替且当n有限时就得到

（4）

式（4)适用于n〉50时的情况, 当n〉50时，n和(n—1)对计算结果的影响就很小了。

2。5标准偏差σ的极差估计由于以上几个标准偏差的计算公式计算量较大，不宜现场采用，而极差估计的方法则有运算简便，计算量小宜于现场采用的特点。。...。。文档交流

极差用”R"表示。所谓极差就是从正态总体中随机抽取的n个样本测得值中的最大值与最小值之差.

若对某量作次等精度测量测得l1、，且它们服从正态分布, 则

R = l max−l min

概率统计告诉我们用极差来估计总体标准偏差的计算公式为

(5)

S3称为标准偏差σ的无偏极差估计, d2为与样本个数n（测得值个数)有关的无偏极差系数，其值见表2

由表2知, 当n≤15时，, 因此, 标准偏差σ更粗略的估计值为

（5'）

还可以看出, 当200≤n≤1000时，因而又有

(5”）

显然, 不需查表利用式(5')和(5”)了即可对标准偏差值作出快速估计，用以对用贝塞尔公式及其他公式的计算结果进行校核。...。..文档交流

应指出,式（5）的准确度比用其他公式的准确度要低，但当5≤n≤15时，式（5)不仅大大提高了计算速度, 而且还颇为准确。当n〉10时, 由于舍去数据信息较多，因此误差较大，为了提高准确度，这时应将测得值分成四个或五个一组, 先求出各组的极差R1、，再由各组极差求出极差平均值. .。.。。.文档交流

极差平均值和总体标准偏差的关系为

需指出, 此时d2大小要用每组的数据个数n而不是用数据总数

N(=nK)去查表2。再则, 分组时一定要按测得值的先后顺序排列,不能打乱或颠倒。.。。...文档交流

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标准偏差σ的平均误差估计