贝塞尔公式(建议收藏)
计量贝塞尔公式范文
计量贝塞尔公式范文贝塞尔公式是在数学和物理学中常用的一个计量公式，它用于计算贝塞尔函数，这是一类重要的特殊函数。
贝塞尔函数广泛应用于波动理论、信号处理、电磁学、量子力学及其他领域。
贝塞尔公式是一个复杂的公式，它可以用不同的方式表示，下面我们将详细介绍贝塞尔公式及其应用。
贝塞尔函数是由弗里德里希·贝塞尔研究并命名的，它出现在解决柱坐标系中的波动方程时。
贝塞尔函数具有无穷多个解，而贝塞尔函数的具体形式和性质取决于输入参数。
贝塞尔公式实际上是一类特殊函数的定义和计算规则。
贝塞尔公式具有不同的形式，其中最常见的形式是第一类贝塞尔函数和第二类贝塞尔函数。
第一类贝塞尔函数（Jn）由以下公式给出：Jn(x)=Σ(−1)^k*(x/2)^(2k+n)/(k!*(k+n)!)，k从0到无穷大其中x是实数，k是非负整数，n是非负整数。
该公式表示了贝塞尔函数在数轴上的取值。
贝塞尔函数的图像通常由周期性的振荡和指数衰减形成。
第一类贝塞尔函数在物理学中常常用来表示波的柱坐标调制。
第二类贝塞尔函数（Yn）由以下公式给出：Yn(x) = (Jn(x) * cos(nπ) - J−n(x)) / sin(nπ)，当cos(nπ)≠0Yn(x) = lim (Jn(x) * cos(nπ) - J−n(x)) / sin(nπ)，当cos(nπ)=0其中n是非负整数。
第二类贝塞尔函数是第一个贝塞尔函数的补函数，它是贝塞尔函数的幂记录版本。
当x接近0时，第二类贝塞尔函数会出现无穷大的奇点。
第二类贝塞尔函数也用于波的柱坐标调制。
贝塞尔公式有许多重要的应用，其中之一是在声学中的应用。
贝塞尔函数被广泛应用于描述声波的振动模式和传播。
例如，在管道中的声波传播可以用贝塞尔函数来描述。
贝塞尔函数也被用于解决波动方程和边界值问题。
另一个重要的应用是电磁学中的应用。
贝塞尔函数被用来描述电磁波的振动模式和传播，在电磁学中，贝塞尔函数通常用于解决透射线和辐射模式的问题。
贝塞尔函数的有关公式
贝塞尔函数的有关公式C.贝塞尔函数的有关公式贝塞尔方程的持解B(z)为(柱)贝塞尔函数。
有 p第一类柱贝塞尔函数J(z) pnp为整数n时，J=(,1)J; ,n np不为整数时，J与J线性无关。
p,p第二类柱贝塞尔函数N(z)(柱诺依曼函数) pnn为整数时N=(,1)N。
,n n第三类柱贝塞尔函数H(z) (柱汉开尔函数): p(1) 第一类柱汉开尔函数 H(z)= J(z)+j N(z) pp p(2)第二类柱汉开尔函数 H(z)= J(z),j N(z) pp p大宗量z小宗量z 0，为欧拉常数见微波与光电子学中的电磁理论 p668J(z)的母函数和有关公式 nz(t/2-1/2t)函数e称为第一类贝塞尔函数的母函数，或称生成函数，若将此函数在t=0附近展开成罗朗级数，可得到j j 在上式中作代换，令t=e，t= je等，可得又可得如z=x为实数贝塞尔函数的加法公式J(z)的零点,nniJ’(z)的零点,nni半整数阶贝塞尔函数J(z)的零点,n+1/2npJ'(z)的零点,'n+1/2npD(朗斯基行列式及其它关系式E(修正贝塞尔函数有关公式贝塞尔方程中用(jz)代换z，得到修正的贝塞尔方程方程的两个线性无关的解为,p I(z)=jJ(jz)(称为第一类修正的柱贝塞尔函数。
ppp+1(1)K(z)=(,/2)jH(jz)(称为第二类修正的柱贝塞尔函数。
pp大宗量z小宗量z 0(0210)《古代散文》复习思考题一、填空题1(甲骨卜辞、和《易经》中的卦、爻辞是我国古代散文的萌芽。
2(深于比兴、，是先秦散文的突出特点。
3(《》长于描写外交辞令。
4(《国语》的突出特点是长于。
5(“兼爱”、“非攻”是思想的核心。
6(先秦诸子中，善养“浩然之气”。
7(先秦诸子中，提出了“言不尽意”、“得意忘言” 的观点。
8(荀子的《》是我国最早以“赋”名篇的作品。
9(《鵩鸟赋》是的骚体赋。
10(枚乘的《》标志着散体赋的正式形成。
三阶贝塞尔曲线公式
三阶贝塞尔曲线公式三阶贝塞尔曲线作为一种应用广泛、精度较高的数学曲线，被用于各种复杂的几何形状建模，例如自然界中的山、河、瀑布等，同时也广泛应用于微分平面、立体几何图形的建模中。
因此，贝塞尔曲线的公式被称为是数学中的一个“神奇”。
三阶贝塞尔曲线是一种特殊的曲线，它由给定的四个控制点（两个端点和两个控制点）确定，并可以用曲线上每一点的坐标来表示。
最常见的贝塞尔曲线公式为：B（t）＝（1-t）^3p1+3（1-t）^2tP2+3（1-t）t^2p3+t^3p4，其中t是一个变量，取值范围为[0,1]，p1,p2,p3,p4分别表示四个控制点。
三阶贝塞尔曲线有多种计算方法，其中一种计算方法为采用矩阵的运算，矩阵乘法是由一组数字组成的平面表进行乘法运算的方法，即将贝塞尔曲线的坐标转换成矩阵，利用矩阵乘法求得对应的点坐标，在确定t值后可以求出任意一点的坐标。
另外，三阶贝塞尔曲线还有一种特殊的运算方法贝塞尔基函数，即将曲线上的每一点表达成一个基函数的线性组合，其定义如下：B （t）＝a0+a1t+a2t^2+a3t^3，其中a0,a1,a2,a3分别是四个控制点的坐标，t是一个变量，取值范围为[0,1]。
可以利用基函数的方法更加方便地求得三阶贝塞尔曲线的控制点和任意点的坐标。
三阶贝塞尔曲线由于其灵活性和较高的精度，在实际工程中应用广泛。
例如，在计算机图形学中，三阶贝塞尔曲线可以用来建模更加美观的圆弧和复杂的曲线；在机器人控制领域，三阶贝塞尔曲线可以用来控制机器人的运动轨迹；在几何建模领域，三阶贝塞尔曲线可以用来建模复杂的四边形。
此外，三阶贝塞尔曲线还可以应用于计算机动画、游戏制作和仿真等领域。
从上面可以看出，三阶贝塞尔曲线拥有丰富的功能和广泛的应用。
它是一种有趣且实用的数学曲线，在几何建模、动画和实时控制等方面都有着重要的应用价值。
因此，掌握三阶贝塞尔曲线的公式及其计算方法，对于更加有效地利用它具有重要的意义。
三阶贝塞尔曲线公式
三阶贝塞尔曲线公式
贝塞尔曲线是计算机图形学中被广泛使用的一种曲线，它是一个灵活多样的几何表达方式。
三阶贝塞尔曲线，即指的是三次贝塞尔曲线，是最常用的曲线。
它的最常用的公式如下：
P(t) = (1-t)P0 + 3(1-t)tP1 + 3(1-t)tP2 + tP3，其中P(t)表示t时刻的点的坐标，P0、P1、P2、P3分别表示贝塞尔曲线上的四个基准点的坐标，t的定义域为[0,1]。
三阶贝塞尔曲线的特点在于它可以准确反映出一系列点连续变
化状态，它可以做到在四个基准点之间“平滑”地过渡，使图形看起来更加圆润。
此外，三阶贝塞尔曲线也有很多控制工具，可以通过改变基准点的位置和改变起始点和结束点的位置，从而轻松调整三阶贝塞尔曲线，以达到画出不同曲线的目的。
三阶贝塞尔曲线在计算机图形学中有着重要的作用。
它可以用来表示图形变化的状态，如：可以用来表示离散的几何图形，如多边形、四边形等，也可以用来表示精细的曲线，如云状曲线、抛物线等。
此外，三阶贝塞尔曲线可以用在更多的应用场景中，如：绘制复杂的三维模型；制作动画；用于计算机视觉等。
例如，在计算机视觉中，三阶贝塞尔曲线可以用来检测和识别图形特征，如轮廓和凸包，以及对对象进行分类，恢复和重建，而且这些操作也可以运用在图像处理过程中。
因此可以看出，三阶贝塞尔曲线具有广泛的应用，它不仅可以用来形成复杂的几何图形，也可以用来检测和识别图形特征，从而为计
算机图形学所做出重要的贡献。
贝塞尔函数的有关公式
C.贝塞尔函数的有关公式贝塞尔方程的持解B p(z)为(柱)贝塞尔函数。
有第一类柱贝塞尔函数J p(z)p为整数n时，J-n=(-1)n J n；p不为整数时，J p与J-p线性无关。
第二类柱贝塞尔函数N p(z)(柱诺依曼函数)n为整数时N-n=(-1)n N n。
第三类柱贝塞尔函数H p(z) (柱汉开尔函数)：第一类柱汉开尔函数H p(1)(z)= J p(z)+j N p(z)第二类柱汉开尔函数H p(2)(z)= J p(z)-j N p(z)大宗量z小宗量z 0，为欧拉常数见微波与光电子学中的电磁理论p668J n(z)的母函数和有关公式函数e z(t/2-1/2t)称为第一类贝塞尔函数的母函数，或称生成函数，若将此函数在t=0附近展开成罗朗级数，可得到在上式中作代换，令t=e j ，t= je j 等，可得又可得如z=x为实数贝塞尔函数的加法公式J n(z)的零点 niJ’n(z)的零点γni半整数阶贝塞尔函数J n+1/2(z)的零点χnpJ'n+1/2(z)的零点χ'npD．朗斯基行列式及其它关系式E．修正贝塞尔函数有关公式贝塞尔方程中用(j z)代换z，得到修正的贝塞尔方程方程的两个线性无关的解为I p(z)=j-p J p(j z)．称为第一类修正的柱贝塞尔函数。
K p(z)=(π/2)j p+1H p(1)(j z)．称为第二类修正的柱贝塞尔函数。
大宗量z小宗量z 0（0210）《古代散文》复习思考题一、填空题1．甲骨卜辞、和《易经》中的卦、爻辞是我国古代散文的萌芽。
2．深于比兴、，是先秦散文的突出特点。
3．《》长于描写外交辞令。
4．《国语》的突出特点是长于。
5．“兼爱”、“非攻”是思想的核心。
6．先秦诸子中，善养“浩然之气”。
7．先秦诸子中，提出了“言不尽意”、“得意忘言”的观点。
8．荀子的《》是我国最早以“赋”名篇的作品。
9．《鵩鸟赋》是的骚体赋。
10．枚乘的《》标志着散体赋的正式形成。
贝塞尔公式详细推导过程
贝塞尔公式详细推导过程《贝塞尔公式的详细推导过程》引言：贝塞尔公式是数学中一种重要且广泛应用的公式，它的推导过程相对较复杂、细致，但却十分精彩。
在本文中，我们将详细介绍贝塞尔公式的推导过程，让读者对这一公式有更深入的理解。
一、贝塞尔公式的定义：贝塞尔公式是一种用连分数表示的数学公式，其一般形式为：J_n(x) = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} \cos(n\theta - x\sin\theta)d\theta其中，J_n(x) 表示第n阶贝塞尔函数，x 是实数，\theta 表示角度，\pi 表示圆周率。
二、推导过程：1. 首先，我们从欧拉公式 e^ix = \cos(x) + i\sin(x) 出发，将其展开得到：e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)2. 接下来，我们将展开中的i\sin(x) 转化为两个实数的乘积。
我们知道，正弦函数的定义式为：\sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}代入之前的展开式，得到：i\sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2}3. 现在，我们用这个展开式来推导贝塞尔公式。
我们首先将贝塞尔函数展开成幂级数形式：J_n(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k}4. 接下来，我们将展开式中的 e^{ix} 替换为 \cos(x) + i\sin(x)：J_n(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} \left(\cos(x) + i\sin(x)\right)5. 然后，我们将正弦函数用欧拉公式展开为两个指数函数的乘积：J_n(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} \left(\cos(x) + i\frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2}\right)6. 继续推导，我们可以将指数函数的乘积展开为两项之差：J_n(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} \left(\cos(x) + \frac{i e^{ix}}{2} - \frac{i e^{-ix}}{2}\right)7. 现在，我们可以将展开式中的 i 消去：J_n(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} \left(\cos(x) + \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2}\right)8. 之后，我们可以将展开式进行拆分，分别对两项进行求和，并利用复数的性质对其中的复数部分进行化简：J_n(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^n \left(\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k}\cos(x) + \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k}\frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2}\right)9. 最后，我们可以将两个求和式进行整理，将其中的复数部分转化为积分形式：J_n(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k}\cos(x) + \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k}\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} \cos(n\theta -x\sin\theta)d\theta10. 将整理后的展开式中的求和式转化为连分数形式，即可得到贝塞尔公式：J_n(x) = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} \cos(n\theta - x\sin\theta)d\theta结论：通过上述推导过程，我们可以将贝塞尔公式从指数函数的展开式推导得到，将其转化为连分数形式。
贝塞尔公式word精品
样本标准差的表示公式数学表达式:•S-标准偏差（%•n-试样总数或测量次数，一般n值不应少于20-30个•i-物料中某成分的各次测量值，1〜n；［编辑］标准偏差的使用方法*在价格变化剧烈时，该指标值通常很高*如果价格保持平稳，这个指标值不高。
i11M3D1 810019000TT™ImeI 77*0 I77J017TOQi ran1 TWO1 W3&»«co ii w 2900 oen oeao irw MW «OQ总如WOO n W US »RO woo t«« woo（①1 —x）2+ @ _ 础2 -- I （叭—X）2(1)•在价格发生剧烈的上涨/下降之前，该指标值总是很低。
［编辑］标准偏差的计算步骤标准偏差的计算步骤是：步骤一、（每个样本数据-样本全部数据之平均值） 步骤二、把步骤一所得的各个数值相加。
步骤四、从步骤三所得的数值之平方根就是抽样的标准偏差［编辑］六个计算标准偏差的公式⑴［编辑］标准偏差的理论计算公式设对真值为X 的某量进行一组等精度测量，其测得值为11、丨2、 测得值I 与该量真值X 之差为真差占CT ,则有 （T 1 = 1 i - X（T 2 = I 2 - X(T n= |n - X我们定义标准偏差（也称标准差）C 为步骤三、把步骤二的结果除以（n - 1）（“ n ”指样本数目）a =1 n朽(Hi=l=lun由于真值X都是不可知的，因此真差C占也就无法求得，故式只有理论意义而无实用价值。
［编辑］标准偏差b的常用估计一贝塞尔公式由于真值是不可知的，在实际应用中，我们常用n次测量的算术平均值随着测量次数的增多，算术平均值最接近真值，当时，算术平均值就是真值。
于是我们用测得值li与算术平均值…之差一一剩余误差（也叫残差）V来代替真差（T , 即Vi = Li-L设一组等精度测量值为丨1、丨2、，， In贝U —- .1 - L14 = b - EJ JV n= l n~ L通过数学推导可得真差c与剩余误差v的关系为(1)将上式代入式（1）有式(2)就是著名的贝塞尔公式(Bessel)。
正确认识贝塞尔公式
正确认识贝塞尔公式贝塞尔公式是一种数学工具，它可以用来求解傅里叶变换以及计算机图形学中的很多问题。
一、定义贝塞尔公式（Bezier formula）是由法国工程师贝塞尔（P. Bezier）在20世纪60年代提出的一种数学工具，可以用来求解傅里叶变换以及计算机图形学中的很多问题。
它将函数表达式限制为形如：f (x) = P 0 + P 1 x + P 2 x2 + P 3 x3 ... + P n xn其中，P 0 为常量，P i 为贝塞尔控制点，n 为参数的阶数。
P的乘法可以换成加法表示，从而便于计算：f (x) = P 0 + ∑(P i xi)从而得出以下控制点串行函数：f (x) = ∑(C i B i (x))其中，C i 是系数，即曲线上某一点的坐标值，B i (x) 是基函数,i=1,2,3…n+1 。
二、应用贝塞尔公式能够用来求解傅里叶变换，它可以用来分析曲线的频率谱，取得控制频率谱的性质，并可以根据频率谱的变化来确定曲线的形状，当控制频率谱的比率变动的时候，曲线的形状也会相应的发生变化。
贝塞尔公式也在计算机图形学中被广泛应用，它可以实现很多复杂的图形，比如花瓣、树叶等等，此外，贝塞尔公式还可以用来分析坐标空间中任意物体的三维模型，还可以应用于计算机游戏中各种立体物体的建模。
三、优点贝塞尔公式有许多优点：（1）贝塞尔公式可以用非常少的控制点来表示各种复杂的曲线。
（2）它可以极大的精确度来定义曲线，即使要表示的曲线很复杂，它也能保持高精度。
（3）它可以用来分析曲线的频率谱，并利用控制点控制曲线的形状。
（4）贝塞尔公式的计算过程简单，不会耗费太多的时间，可以帮助我们更快的实现图形学中的复杂形状。
四、缺点（1）贝塞尔曲线并不是自发性的，严格来讲，除了它所依赖的控制点之外，它不能体现任何其他信息。
（2）它并不是容易理解的，因为许多情况下，它的参数的计算是很困难的。
（3）它的精度是受限的，比起多边形，它所能表示的精度可能还算低。
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样本标准差的表示公式数学表达式：•S—标准偏差（％）•n—试样总数或测量次数，一般n值不应少于20—30个•i—物料中某成分的各次测量值，1～n；[编辑］标准偏差的使用方法•在价格变化剧烈时,该指标值通常很高。
•如果价格保持平稳,这个指标值不高。
•在价格发生剧烈的上涨/下降之前,该指标值总是很低. [编辑]标准偏差的计算步骤标准偏差的计算步骤是：步骤一、（每个样本数据－样本全部数据之平均值)2。
步骤二、把步骤一所得的各个数值相加。
步骤三、把步骤二的结果除以 (n — 1)（“n”指样本数目）。
步骤四、从步骤三所得的数值之平方根就是抽样的标准偏差。
［编辑］六个计算标准偏差的公式[1][编辑]标准偏差的理论计算公式设对真值为X的某量进行一组等精度测量, 其测得值为l1、l2、……l n。
令测得值l与该量真值X之差为真差占σ，则有σl i−X.。
.。
文档交流1 =σ2 = l2−X……σn = l n−X我们定义标准偏差（也称标准差）σ为（1）由于真值X都是不可知的，因此真差σ占也就无法求得, 故式只有理论意义而无实用价值。
［编辑]标准偏差σ的常用估计—贝塞尔公式由于真值是不可知的，在实际应用中, 我们常用n次测量的算术平均值来代表真值。
理论上也证明, 随着测量次数的增多，算术平均值最接近真值，当时，算术平均值就是真值。
.。
.文档交流于是我们用测得值l i与算术平均值之差——剩余误差(也叫残差）V i来代替真差σ，即设一组等精度测量值为l1、l2、……l n则……通过数学推导可得真差σ与剩余误差V的关系为将上式代入式(1)有(2)式(2)就是著名的贝塞尔公式（Bessel).它用于有限次测量次数时标准偏差的计算.由于当时，,可见贝塞尔公式与σ的定义式（1）是完全一致的。
应该指出, 在n有限时, 用贝塞尔公式所得到的是标准偏差σ的一个估计值。
它不是总体标准偏差σ。
因此, 我们称式(2)为标准偏差σ的常用估计。
为了强调这一点，我们将σ的估计值用“S ”表示。
于是, 将式（2)改写为.。
文档交流（2’）在求S时，为免去求算术平均值的麻烦，经数学推导(过程从略)有于是，式(2’）可写为（2")按式(2”)求S时，只需求出各测得值的平方和和各测得值之和的平方艺 , 即可。
［编辑］标准偏差σ的无偏估计数理统计中定义S2为样本方差数学上已经证明S2是总体方差σ2的无偏估计。
即在大量重复试验中，S2围绕σ2散布，它们之间没有系统误差.而式（2')在n有限时,S 并不是总体标准偏差σ的无偏估计，也就是说S和σ之间存在系统误差。
概率统计告诉我们, 对于服从正态分布的正态总体, 总体标准偏差σ的无偏估计值为。
.。
.。
文档交流（3)令则即S1和S仅相差一个系数Kσ,Kσ是与样本个数测量次数有关的一个系数, Kσ值见表。
计算Kσ时用到Γ（n + 1) = nΓ(n）Γ（1) = 1由表1知, 当n>30时, 。
因此，当n>30时，式(3’）和式(2’)之间的差异可略而不计。
在n=30~50时，最宜用贝塞尔公式求标准偏差。
当n<10时，由于Kσ值的影响已不可忽略，宜用式（3’), 求标准偏差。
这时再用贝塞尔公式显然是不妥的。
.。
...文档交流［编辑］标准偏差的最大似然估计将σ的定义式（1）中的真值X用算术平均值代替且当n有限时就得到（4）式（4)适用于n〉50时的情况, 当n〉50时，n和(n—1)对计算结果的影响就很小了。
2。
5标准偏差σ的极差估计由于以上几个标准偏差的计算公式计算量较大，不宜现场采用，而极差估计的方法则有运算简便，计算量小宜于现场采用的特点。
...。
文档交流极差用”R"表示。
所谓极差就是从正态总体中随机抽取的n个样本测得值中的最大值与最小值之差.若对某量作次等精度测量测得l1、，且它们服从正态分布, 则R = l max−l min概率统计告诉我们用极差来估计总体标准偏差的计算公式为(5)S3称为标准偏差σ的无偏极差估计, d2为与样本个数n（测得值个数)有关的无偏极差系数，其值见表2由表2知, 当n≤15时，, 因此, 标准偏差σ更粗略的估计值为（5'）还可以看出, 当200≤n≤1000时，因而又有(5”）显然, 不需查表利用式(5')和(5”)了即可对标准偏差值作出快速估计，用以对用贝塞尔公式及其他公式的计算结果进行校核。
...。
..文档交流应指出,式（5）的准确度比用其他公式的准确度要低，但当5≤n≤15时，式（5)不仅大大提高了计算速度, 而且还颇为准确。
当n〉10时, 由于舍去数据信息较多，因此误差较大，为了提高准确度，这时应将测得值分成四个或五个一组, 先求出各组的极差R1、，再由各组极差求出极差平均值. .。
.。
.文档交流极差平均值和总体标准偏差的关系为需指出, 此时d2大小要用每组的数据个数n而不是用数据总数N(=nK)去查表2。
再则, 分组时一定要按测得值的先后顺序排列,不能打乱或颠倒。
.。
...文档交流［编辑]标准偏差σ的平均误差估计平均误差的定义为误差理论给出（A)可以证明与的关系为(证明从略）于是（B）由式（A）和式（B）得从而有式（6）就是佩特斯（C.A.F.Peters.1856)公式。
用该公式估计δ值, 由于\right｜V\right|不需平方,故计算较为简便。
但该式的准确度不如贝塞尔公式。
该式使用条件与贝塞尔公式相似。
..。
.。
文档交流［编辑]标准偏差的应用实例［1]对标称值R a= 0.160 〈math> μm〈math> 的一块粗糙度样块进行检定, 顺次测得以下15个数据:1。
45，1.65,1.60,1.67，1。
52，1.46,1。
72,1.69,1。
77，1。
64,4。
56，1.50,1。
64,1。
74和1.63μm，试求该样块R n的平均值和标准偏差并判断其合格否。
.。
.。
.文档交流解：1)先求平均值2)再求标准偏差S若用无偏极差估计公式式(5）计算，首先将测得的， 15个数据按原顺序分为三组, 每组五个, 见表3。
.。
.。
.文档交流表3组号l_1l_5R11。
481.65 1.60 1.671。
520。
1921。
461。
721。
691.771。
640.3131。
561。
501.64 1.741.630。
24因每组为5个数据，按n=5由表2查得故若按常用估计即贝塞尔公式式(2’) , 则若按无偏估计公式即式(3')计算, 因n=15，由表1查得Kδ = 1。
018, 则若按最大似然估计公式即式（4’)计算, 则= 0.09296（〈math > μm〈math〉 )若按平均误差估计公式即式(6）, 则现在用式（5')对以上计算进行校核可见以上算得的S、S1、S2、S3和S4没有粗大误差。
由以上计算结果可知0。
09296〈0。
0962<0。
0979〈0。
1017<0.1062 即S2〈S〈S1〈S4 < S3可见, 最大似然估计值最小, 常用估计值S稍大, 无偏估计值S1又大，平均误差估计值S4再大，极差估计值S3最大。
纵观这几个值,它们相当接近, 最大差值仅为0。
01324μm。
从理论上讲，用无偏估计值和常用估计比较合适，在本例中, 它们仅相差0。
0017μm。
可以相信，随着的增大, S、S1、S2、S3和S4之间的差别会越来越小。
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.文档交流就本例而言，无偏极差估计值S3和无偏估计值S1仅相差0.0083μm, 这说明无偏极差估计是既可以保证一定准确度计算又简便的一种好方法。
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文档交流JJG102—89《表面粗糙度比较样块》规定R a的平均值对其标称值的偏离不应超过+12%～17％, 标准偏差应在标称值的4%~12％之间。
已得本样块二产，产均在规定范围之内，故该样块合格. 。
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文档交流[编辑]标准偏差与标准差的区别标准差(Standard Deviation)各数据偏离平均数的距离（离均差）的平均数，它是离差平方和平均后的方根。
用σ表示.因此,标准差也是一种平均数。
标准差是方差的算术平方根。
标准差能反映一个数据集的离散程度。
平均数相同的，标准差未必相同。
......文档交流例如，A、B两组各有6位学生参加同一次语文测验，A组的分数为95、85、75、65、55、45，B组的分数为73、72、71、69、68、67.这两组的平均数都是70，但A组的标准差为17。
08分，B组的标准差为2.16分，说明A组学生之间的差距要比B组学生之间的差距大得多。
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..文档交流标准偏差（Std Dev,Standard Deviation）—统计学名词。
一种量度数据分布的分散程度之标准，用以衡量数据值偏离算术平均值的程度.标准偏差越小，这些值偏离平均值就越少，反之亦然。
标准偏差的大小可通过标准偏差与平均值的倍率关系来衡量。
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..文档交流文档交流感谢聆听。