2020年浙江省杭州高二(下)期中数学试卷解析版

期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.复数的共轭复数是（）A. 1+2iB. 1-2iC. 2+iD. 2-i2.一个袋子中有4个红球，2个白球，若从中任取2个球，则这2个球中有白球的概率是（）A. B. C. D.3.二项式（-3x）6的展开式中的常数项为（）A. -540B. 135C. 270D. 5404.若（1+2x）2（1-x）5=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，则a2+a4+a6=（）A. 32B. 16C. 15D. 05.用数学归纳法证明不等式++…+＞（n＞1，n∈N*）的过程中，从n=k到n=k+1时左边需增加的代数式是（）A. B. -C. +D.6.已知，且，则，的值满足（）A. ，都大于1B. ，至少有一个小于1C. ，都小于1D. 以上说法都不正确7.已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡．若顾客甲没有银联卡，顾客乙只带了现金，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中的三种结账方式，那么他们结账方式的可能情况有（）种A. 19B. 26C. 7D. 128.函数f（x）=2x2-ln|x|的部分图象大致为（）A. B.C. D.9.已知函数f（x）=m ln（x+1）-3x-3，若不等式f（x）＞mx-3e x在x∈（0，+∞）上恒成立，则实数m的取值范围是（）A. 0≤m≤3B. m≥3C. m≤3D. m≤010.已知函数，关于x的方程有m个不同的实数解，则m的所有可能的值构成的集合为（）A. {3}B. {3，5}C. {3，4}D. {3，4，5}二、填空题（本大题共7小题，共37.0分）11.现有5件相同的产品，其中3件合格，2件不合格，从中随机抽检2件，则一件合格，另一件不合格的概率为______．12.已知复数z=lg（m2+2m-14）+（m2-m-6）i，若复数z是实数，则实数m=______；若复数z对应的点位于复平面的第二象限，则实数m的取值范围为______．13.已知随机变量的分布列为：ξ-102P x y若，则x+y=______；D（ξ）=______．14.在（1-ax+x2）5的展开式中，x3的系数为30，则实数a的值为______．15.若存在x0∈R，满足f（x0）=g（x0）且f'（x0）=g'（x0），则称x0为函数f（x）与g（x）的一个“S点”，若函数f（x）=ax2-1与g（x）=ln x存在“S点”，则实数a=______．16.在一个如图所示的6个区域栽种观赏植物，要求同一块区域中种同一种植物，相邻的两块区域中种不同的植物．现有4种不同的植物可供选择，则不同的栽种方案的总数______．（结果用数字表示）17.设函数f（x）=e x（2x-1）-ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）＜0，则a的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共73.0分）18.如图是一旅游景区供游客行走的路线图，假设从进口A开始到出口B，每遇到一个岔路口，每位游客选择其中一条道路行进是等可能的．现有甲、乙、丙、丁共4名游客结伴到旅游景区游玩，他们从进口A的岔路口就开始选择道路自行游玩，并按箭头所指路线行走，最后到出口B中，设点C是其中的一个交叉路口点．（1）求甲经过点C的概率；（2）设这4名游客中恰有X名游客都是经过点C，求随机变量X的概率分别和数学期望．19.在（x2）n的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为．（1）求n的值；（2）求展开式中所有的有理项；（3）求展开式中系数最大的项．20.已知函数，记数列{a n}的前n项和为S n，且有a1=f（1）．当n≥2时，．（1）计算a1，a2，a3，a4；（2）请归纳猜测数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．21.已知函数f（x）=axe x-1，g（x）=ln x+kx．（1）求g（x）的单调区间；（2）若k=1，f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．22.已知函数，g（x）=ax2+bx．（1）当a=2，b=-3时，求函数f（x）在x=1处的切线方程，并求函数f（x）的最大值；（2）若函数y=f（x）的两个零点分别为x1，x2，且x1≠x2，求证：．答案和解析1.【答案】A【解析】解：由=，得复数的共轭复数是：1+2i．故选：A．直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2.【答案】B【解析】解：一个袋子中有4个红球，2个白球，从中任取2个球，基本事件总数n==15，这2个球中有白球包含的基本事件个数m=+=9，∴这2个球中有白球的概率是p==．故选：B．从中任取2个球，基本事件总数n==15，这2个球中有白球包含的基本事件个数m=+=9，由此能求出这2个球中有白球的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】B【解析】解：二项式（-3x）6的展开式的通项公式为T r+1=•（-3）r•，令=0，求得r=2，可得展开式中的常数项为•9=135，故选：B．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．4.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．令x=0，得a0=1；再分别令x=1，x=-1，可得a2+a4+a6的值．【解答】解：对于（1+2x）2（1-x）5=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，令x=0，得a0=1，令x=1，可得a0+a1+a2+…+a7=0，再令x=-1，可得a0-a1+a2-a3…+a6-a7=32，∴2（a0+a2+a4+a6）=32，∴a2+a4+a6=15，故选：C．5.【答案】B【解析】解：当n=k时，左边的代数式为++…+，当n=k+1时，左边的代数式为++…+++，故用n=k+1时左边的代数式减去n=k时左边的代数式的结果为：+-=-．故选：B．求出当n=k时，左边的代数式，当n=k+1时，左边的代数式，相减可得结果．本题考查用数学归纳法证明不等式，注意式子的结构特征，以及从n=k到n=k+1项的变化．6.【答案】B【解析】解：∵x＞0，y＞0且y-x＞1，∴x＜y-1，∴-x＞1-y，∴＜=-1，取特殊值判断，当x=1,y=4时，,当x=1.5,y=4时，,当x=1,y=5时，,所以可大于1，可等于1，可小于1，∴可小于1，可等于1，可大于1，故，至少有一个小于1．故选：B．根据不等式的性质和函数的性质即可判断．本题考查了不等式的性质和函数的性质，考查了转化能力和运算能力，属于中档题．7.【答案】B【解析】解：顾客甲没有银联卡，顾客乙只带了现金，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，①当甲丙丁顾客都不选微信时，则甲有2种选择，当甲选择现金时，其余2人A22=2种，当甲选择支付宝时，丙丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选支付宝或现金，故有1+C21C21=5，故有2+5=7种，②当甲丙丁顾客都不选支付宝时，则甲有2种选择，当甲选择现金时，其余2人A22=2种，当甲选择微信时，丙丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选微信或现金，故有1+C21C21=5，故有2+5=7种，③当甲丙丁顾客都不选银联卡时，若有人使用现金，则C31A22=6种，若没有人使用现金，则有C32A22=6种，故有6+6=12种，根据分步计数原理可得共有7+7+6+6=26种，故选：B．由题意，根据甲丙丁的支付方式进行分类，根据分类计数原理即可求出．本题考查了分步计数原理和分类计数原理，考查了转化思想，属于难题8.【答案】A【解析】解：函数f（x）=2x2-ln|x|为偶函数，则其图象关于y轴对称，排除B；当x＞0时，f（x）=2x2-ln x，f′（x）=4x-．当x∈（0，）时，f′（x）＜0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0．∴f（x）在（0，）上为减函数，在（，+∞）上为增函数，∴f（x）有极小值f（）=＞0．结合选项可得，函数f（x）=2x2-ln|x|的部分图象大致为A．故选：A．由函数为偶函数排除B；再由导数研究单调性且求得极值判断．本题考查函数奇偶性的判断及应用，训练了利用导数研究函数的单调性，是中档题．9.【答案】C【解析】【分析】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题.令g（x）=m ln x-3x问题等价于g（x+1）＞g（e x）在（0，+∞）上恒成立，根据函数的单调性求出a的范围即可.【解答】解：令g（x）=m ln x-3x，问题等价于g（x+1）＞g（e x）在（0，+∞）上恒成立，因为x∈（0，+∞）时，1＜x+1＜e x，所以只需g（x）在（1，+∞）上递减，即x＞1，f′（x）≤0恒成立，即，∴m≤3（x+1），∴m≤3.故选C.10.【答案】A【解析】解：函数f（x）的导数为f′（x）====，由f′（x）＞0，得-1＜x＜3，f（x）递增；由f′（x）＜0，得x＞3或x＜-1，f（x）递减．即有f（x）在x=-1处取得极小值f（-1）=-2e；在x=3处取得极大值f（3）=，作出f（x）的图象，如图所示；关于x的方程，令n=f（x），则n2-nt-=0，由判别式△=t2+＞0，方程有两个不等实根，n1n2=-＜0，则原方程有一正一负实根．而-2e×═-，即当n1=，则n2=-2e，此时y=n1，和f（x）有两个交点，y=n2与f（x）有1个交点，此时共有3个交点，当n1＞，则-2e＜n2＜0，此时y=n1，和f（x）有1个交点，y=n2与f（x）有2个交点，此时共有3个交点，当0＜n1＜则n2＜-2e，此时y=n1和f（x）有3个交点，y=n2与f（x）有0交点，此时共有3个交点，当-2e＜n1＜0，则或n2＞，此时y=n1和f（x）有2个交点，y=n2与f（x）有1个交点，此时共有3个交点，当n1=-2e，则n2=，此时y=n1和f（x）有1个交点，y=n2与f（x）有2个交点，此时共有3个交点，当n1＜-2e，则0＜n2＜，此时y=n1和f（x）有0个交点，y=n2与f（x）有3个交点，此时共有3个交点，综上方程[f（x）]2+tf（x）-=0（t∈R）恒有3个不同的实数解，即m=3，即m的所有可能的值构成的集合为{3}，故选：A．求函数f（x）的导数，判断函数的极值，作出函数f（x）的图象，设n=f（x），利用根与系数之间的关系得到n2-nt-=0，由判别式△=t2+＞0，方程有两个不等实根，n1n2=-＜0，利用数形结合进行讨论求解即可．本题考查方程的根的个数的判断，考查函数方程的转化思想，注意运用二次方程的判别式和韦达定理，考查数形结合和分类讨论的思想方法，综合性较强，难度较大．11.【答案】【解析】解：从5件产品中任意抽取2件有=10种抽法，其中一件合格、另一件不合格的抽法有=6种．根据古典概型的概率计算公式可得一件合格，另一件不合格的概率P=．故答案为．分别求出基本事件的总数和要求事件包含的基本事件的个数，根据古典概型的概率计算公式即可得出．熟练掌握古典概型的概率计算公式、组合和组合数的计算公式是解题的关键．12.【答案】3 （-5，-1-）【解析】解：∵z=lg（m2+2m-14）+（m2-m-6）i为实数，∴，解得m=3；由复数z对应的点位于复平面的第二象限，得，解得-5＜m＜-1-．∴实数m的取值范围为（-5，-1-）．故答案为：3；（-5，-1-）．由实部真数大于0且虚部为0求解m值；由实部真数大于0且小于1，虚部大于0联立不等式组求解．本题考查复数的基本概念，考查对数函数的性质，训练了一元二次不等式组的解法，是基础题．13.【答案】【解析】解：由题意得：，解得x=，y=，∴x+y=，D（ξ）=（-1-）2×+（0-）2×+（2-）2×=．故答案为：，．由离散型随机变量的分布列的性质及数学期望的性质列方程组，能求出x，y，由此能求出x+y和D（ξ）．本题考查概率的求法，考查离散型随机离题的方差的求法，考查离散型随机变量的分布列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.【答案】-1【解析】解：在（1-ax+x2）5的展开式中，通项公式T r+1=（x2-ax）r，（x2-ax）r的通项公式T k+1=（x2）r-k（-ax）k=（-a）k x2r-k，令2r-k=3．则r=2时，k=1；r=3时，k=3．∴x3的系数为30=+，解得a=-1．故答案为：-1．利用通项公式即可得出．本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.【答案】【解析】解：f′（x）=2ax，g′（x）=（x＞0），令f′（x）=g′（x）可得a=，令f（x）=g（x）可得a=，令F（x）=-=（x＞0），设函数f（x）=ax2-1与g（x）=ln x的“S点”为x0，则x0为F（x）的零点．令F（x）=0可得1+2ln x=0，故x=，即x0=．把x0=代入a=可得a=．故答案为：．分别令f′（x）=g′（x），f（x）=g（x），分离参数可得a=，a=，则数f（x）与g（x）的“S点”为F（x）=-的零点，求出零点即可得出a的值．本题考查了函数零点的计算，函数与方程的应用，属于中档题．16.【答案】588【解析】解：根据题意，分2步进行分析：①，对于区域B有4种情况可选，E区域与B相邻，有3种情况可选：②，对于剩下的4个区域，分4种情况讨论：A区域与E区域的相同，C区域与E区域的也相同；此时D区域的选法有3种，F区域的选法也有3种，此时ADCF的区域有3×3=9种；A区域与E区域的不相同，C区域与E区域的相同；此时A区域的选法有2种，D区域的选法有2种，F区域的选法有3种，此时ADCF的区域有2×2×3=12种；A区域与E区域的相同，C区域与E区域的不相同；此C区域的选法有2种，F区域的选法有2种，D区域的选法有3种，此时ADCF的区域有2×2×3=12种；A区域与E区域的不相同，C区域与E区域也不相同；此时A区域的选法有2种，D区域的选法有2种，C区域的选法有2种，F区域的选法有2种，此时ADCF的区域有2×2×2×2=16种；则ADCF的区域的选法有9+12+12+16=49种栽种方案；则有12×49=588种不同的栽种方案；故答案为：588．根据题意，分2步进行分析：①，对于区域B有4种情况可选，E区域与B相邻，有3种情况可选：②，对于剩下的4个区域，分4种情况讨论，由加法原理求出其栽种方案数目，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分步计、分类数原理的应用，属于基础题．17.【答案】[，1）【解析】解：函数f（x）=e x（2x-1）-ax+a，其中a＜1，设g（x）=e x（2x-1），y=ax-a，∵存在唯一的整数x0，使得f（x0）＜0，∴存在唯一的整数x0，使得g（x0）在直线y=ax-a的下方，∵g′（x）=e x（2x+1），∴当x＜-时，g′（x）＜0，∴当x=-时，[g（x）]min=g（-）=-．当x=0时，g（0）=-1，g（1）=e＞0，直线y=ax-a恒过（1，0），斜率为a，故-a＞g（0）=-1，且g（-1）=-3e-1≥-a-a，解得．∴a的取值范围是[，1）．故答案为：[，1）．设g（x）=e x（2x-1），y=ax-a，则存在唯一的整数x0，使得g（x0）在直线y=ax-a的下方，由此利用导数性质能求出a的取值范围．本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．18.【答案】解：（1）设“甲从进口A开始到出口B经过点C”为事件M，甲选中间的路的概率为，在前面从岔路到达点C的概率为，这两步事件相互独立，∴选择从中间一条路走到点C的概率为：P1==，同理，选择从最右边的道路走到点C的概率为P2==，∵选择中间道路和最右边道路行走的两个事件彼此互斥，∴P（M）=P1+P2=，∴甲经过点C的概率为．（2）随机变量可能的取值为0，1，2，3，4，P（X=0）=，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，P（X=4）==，∴X的分布列为：X01 2 3 4PE（X）=+4×=．【解析】（1）设“甲从进口A开始到出口B经过点C”为事件M，甲选中间的路的概率为，在前面从岔路到达点C的概率为，这两步事件相互独立，由此利用互斥事件概率加法公式能求出甲经过点C的概率．（2）随机变量可能的取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：（1）有题意知：通项公式为T r+1=•2r•，则第4项的系数为•23，倒数第4项的系数为•2m-3，则有=，即=，∴m=7．（2）由（1）可得当2m-为整数时，即r=0，2，4，6时，为有理项．故所有的有理项为T1=x14，T3=84x9，T5=560x4，T7=448x-1．（3）设展开式中第r+1项的系数最大，则，求得≤r≤，∴r=5，故系数最大项为T6=•25•=672．【解析】（1）由题意根据二项展开式的通项公式，求得m的值．（2）令x的幂指数等于整数，求得r的值，可得结论．（3）设展开式中第r+1项的系数最大，根据，求得r的范围，可得结论．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．20.【答案】解：（1）函数，a1=f（1）=1．当n≥2时，．即S n+a n=（n2+5n+2）．∴S2+a2=，解得a2=．同理可得：a3=，a4=．（2）猜测数列{a n}的通项公式为a n=，用数学归纳法证明．（i）n=1，2时，成立．（ii）假设n=k∈N*时成立，k≥2，即a k=．S k=1++=-．则n=k+1时，S k+2a k+1=[（k+1）2+5（k+1）+2]，∴-+2a k+1=（k2+7k+8），解得a k+1=+k+1+1．∴n=k+1时成立．综上可得：数列{a n}的通项公式为a n=．【解析】（1）函数，a1=f（1）=1．当n≥2时，．即S n+a n=（n2+5n+2）．n=2，3，4时解出即可．（2）猜测数列{a n}的通项公式为a n=，用数学归纳法证明即可．本题考查了数列递推关系、数学归纳法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.【答案】解：（1）g（x）=ln x+kx的定义域为（0，+∞），g′（x）=+k，当k≥0时，g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）上是增函数；当k＜0时，令g′（x））=+k=0，得x=-，令g′（x）=+k＞0，得0＜x＜-，所以g（x）在（0，-）上是增函数，令g′（x）=+k＜0，得x＞-，所以g（x）在（-，+∞）上是减函数；（2）当k=1时，f（x）≥g（x）恒成立，即axe x-1≥ln x+kx恒成立，因为x＞0，所以a≥．令h（x）=．h′（x）=，令p（x）=-ln x-x，p′（x）=--1＜0，故p（x）在（0，+∞）上单调递减，且p（）=1-＞0，p（1）=-1＜0，故存在t∈（，1）使得p（t）=-ln t-t=0，即ln t+t=0，t=e-t，当x∈（0，t）时，p（x）＞0，h′（x）＞0；当x∈（t，+∞），p（x）＜0，h'（x）＜0；所以h（x）max=h（t）===1，所以a≥1；故实数a的取值范围是{a|a≥1}．【解析】（1）求函数的导数，分类讨论k的取值范围可求g（x）的单调区间；（2）（分离参数、设而不求，转化为函数问题）若k=1，f（x）≥g（x）恒成立，即axe x-1≥ln x+kx恒成立因为x＞0，所以a≥．令h（x）=．求函数h（x）的最大值即可求实数a的取值范围．本题考查了导数的综合应用问题，考查恒成立问题，正确求导是关键．属于中档题．22.【答案】（1）解：当a=2，b=-3时，（x＞0）则f'（e）=-1，切点为，故函数f（x）在x=1处的切线方程为．……（3分），令h（x）=1-ln x-x2，则h（x）=1-ln x-x2在（0，+∞）是减函数又h（1）=0∴x∈（0，1），h（x）＞0，f'（x）＞0，x∈（1，+∞），h（x）＜0，f'（x）＜0，f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）是减函数，f max（x）=f（1）=2…………（7分）（2）证明：∵x1，x2是f（x）的两个零点，不妨设x1＜x2，∴f（x1）=f（x2）=0，，∴，，相减得：，⇒，⇒，，∴⇒，令，即证0＜t＜1时，，，令，，在（0，1）上是增函数，又∵m（1）=0，∴t∈（0，1），m（t）＜0，命题得证…………（12分）【解析】（1）代入a，b的值，求出函数的导数，求出切点坐标，求出切线方程，求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的最大值即可；（2）根据函数的单调性求出令，即证0＜t＜1，，令，根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．。

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浙江省杭州地区含周边重点中学2019_2020学年高二数学下学期期中试题含解析

【解析】
【分析】
（1）利用三角恒等变换化简至标准正弦型三角函数，再求最小正周期即可；
（2）根据题意，求得的范围，结合正弦函数单调性，即可求得值域.
【详解】（1）∵
∴ 的最小正周期
（2）因为，所以
因为在上是增函数，在上是减函数，
而，，
所以在的值域为 .
【点睛】本题考查利用三角恒等变换化简三角函数，涉及正弦型三角函数的值域和最小正周期的求解，属综合基础题.
【解析】
【分析】
（1）利用的关系，进行下标缩放，即可容易求得；由等差数列的基本量，列出方程组，即可求得；
（2）利用数学归纳法进行分步证明即可.
【详解】（1）因为
所以
相减得
由得，
所以数列是以，公比为的等比数列，
∴
而，数列为等差数列，
又，不妨设其公差为，
由可得，
解得或（舍）（数列单调递增）
浙江省杭州地区（含周边）重点中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题（含解析）
一、选择题
1. 设集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据集合的交运算，即可求得结果.
【详解】因为，
故可得 .
故选：C.
【点睛】本题考查集合的交运算，属基础题.
2. 若复数，其中i为虚数单位，则 =
故有个极小值点，1个极大值点.
故选：A.
【点睛】本题考查函数极值点的求解，涉及数形结合，以及函数单调性的判断，属综合中档题.
10. 设数列满足，对任意的恒成立，则下列说法正确的是（）
A. B.
C. D.

浙江省2020学年高二数学下学期期中试题(含解析)

高二数学下学期期中试题（含解析）一.选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集{}{}2,1,0,1,2,,U A y y x x U =--==∈，则U A =ð （） A. {}0,1,2 B. {}2,1,0--C. {}1,2--D. {}1,2【答案】C 【解析】【分析】可求出集合A ，然后进行补集的运算即可．【详解】由题意，集合{}{}2,1,0,1,2,,U A y y x x U =--==∈，则{}0,1,2A =，所以根据集合的补集的运算，可得{}2,1U A =--ð．故选：C ．【点睛】本题主要考查了集合的表示，以及集合的补集的运算，其中解答中正确求解集合A ，再根据集合的补集的运算求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.2.若向量b r 与向量()2,1a =-r是共线向量，且b =r b =v （）A. ()6,3-B. ()6,3-C. ()6,3-或()6,3-D. ()3,6-或()3,6-【答案】C 【解析】【分析】根据b r 与a r 共线，可设()2,1b λ=-r ，再根据b =r λ的值，即可得出向量b v 的坐标．【详解】由题意，根据b r 与a r共线，所以存在实数λ，使()2,1b λ=-r ；又b =r=，解得3λ=±；∴()6,3b =-r或()6,3-．故选：C ．【点睛】本题主要考查了共线向量基本定理，向量坐标的数乘运算，以及向量坐标求向量长度的方法，其中解答中熟记向量的基本运算法则，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3.若4sin 65πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于（） A.45B. 45-C.35D. 35-【答案】A 【解析】【分析】πcos 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin （ππ23α--）结合诱导公式求解即可【详解】π4sin 65α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πcos 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin （ππ23α--）π4sin 65α⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故选A ．【点睛】本题考查诱导公式及角的变换，是基础题4.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()4f x f x +=-，当()0,2x ∈时，()21f x x =+ ，则()7f = （）A. 2B. 2-C. 1D. 1-【答案】B 【解析】【分析】由()()4f x f x +=-，可得()()()84f x f x f x +=-+=，则函数()f x 是周期为8的周期函数，据此可得()()71f f =-，结合函数的周期性与奇偶性，即可求解．【详解】根据题意，函数()f x 满足()()4f x f x +=-，则有()()()84f x f x f x +=-+=，则函数()f x 是周期为8的周期函数，则()()71f f =-，又由函数为奇函数，则()()()211112f f -=-=-+=，则()12f -=-，即()72f =-；故选：B ．【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与周期性的综合应用，其中解答中根据题设条件，求得函数的周期是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5.函数()·ln xf x e x =的大致图象为（） A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】判断函数的奇偶性和对称性的关系，利用极限思想进行求解即可【详解】解：函数()·ln xf x e x =，()--?ln -xf x e x =，()()f x f x ≠-，()()f x f x -≠-，则函数()f x 为非奇非偶函数，图象不关于y 轴对称，排除C ，D ，当(),x f x →+∞→+∞，排除B ，故选：A【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的对称性以及极限思想是解决本题的关键6.可导函数()f x 在区间(), a b 上的图象连续不断，则“存在()0, x a b ∈满足0'()0f x =”是“函数()f x 在区间(), a b 上有最小值”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】【分析】根据0()0f x '=和函数()f x 在区间(), a b 上有极值点的关系，结合具体函数，即可判断出结论．【详解】根据函数极值点的概念，可知()0, x a b ∈满足0()0f x '=，则0x 不一定是函数的极值点，例如()3,(2,2)f x x x =∈-，其中()00f '=，但0x =不是函数的极值点，此时函数()3f x x =在(2,2)x ∈-上没有最小值.又由函数(),(2,2)f x x x =∈-，其中当0x =时，函数()f x 取得最小值()00f =. 但0x =时，()f x '不存在，()2,0x ∈-时，()1f x '=-， ()0,2x ∈时，()1f x '=，所以“存在()0, x a b ∈满足0'()0f x =”不成立.所以“存在()0, x a b ∈满足0'()0f x =”是“函数()f x 在区间(), a b 上有最小值”的既不充分也不必要条件．故选：D ．【点睛】本题考查了函数有极值点的概念及应用，以及充要条件判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.从数字1到9中任取3个数字，要求既有奇数也有偶数，组成一个没有重复数字的三位数，则满足条件的三位数的个数共有（） A. 420 B. 840C. 140D. 70【答案】A【分析】根据奇数和偶数的个数分1个奇数，2个偶数和2奇数，1偶数，然后进行全排列，即可求解，得到答案．【详解】由题意，9个数字中奇数为1，3，5，7，9，偶数为2，4，6，8，三位数要求既有奇数也有偶数，则若1个奇数，2个偶数，有123543180C C A =个，若2奇数，1偶数，有213543240C A A =个，由分类计数原理可得，共有180240420+=个，故选：A ．【点睛】本题主要考查了排列、组合的应用，其中解答中结合条件分1个奇数，2个偶数和2奇数，1偶数，分类求解是解决本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.8.设向量,,a b c r r r 满足||1,||2a b ==r r ，0,()0a b c b a c ⋅=⋅+-=r r r r r r ，则||c r的最大值等于（）A. 1B. 2C. 1【答案】D 【解析】【分析】设()()()1,0,0,2,,a b c x y ===v v v，运用向量的加减运算和数量积的坐标表示，以及圆的性质，可得所求最大值．【详解】由题意，向量,,a b c v v v 满足1,2a b ==v v ，0a b ⋅=v v ，可设()()()1,0,0,2,,a b c x y ===v v v，由()0c b a c ⋅+-=v v v v，可得()()()(),1,2120x y x y x x y y ⋅--=-+-=，整理得2220x y x y +--=，即()2215124x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，即圆心(1,12)，半径则c v的最大值为2r =，【点睛】本题主要考查了向量的加减运算和数量积的坐标表示，考查圆的方程的运用，考查运算能力和推理能力，属于基础题，着重考查了推理与运算能力.9.设F 为抛物线2:8C y x =的焦点，过点()2, 0P -的直线l 交抛物线C 于, A B 两点，点Q为线段AB 的中点，若FQ =，则AB = （）B.C. D. 【答案】D 【解析】【分析】设直线l 的方程为()2y k x =+，联立方程组得2222240k x k x k +-+=（），由此利用韦达定理、点到直线距离公式能求出直线的斜率，然后利用弦长公式，即可求解．【详解】由题意，设直线l 的方程为()2y k x =+，112200, ,()()() , A x y B x y Q x y 、、，联立方程组28(2)y x y k x ⎧=⎨=+⎩，化简得2222(48)40k x k x k +-+=，∴212284k x x k -+=，124x x =，则1212()84y y k x x k +=++=，由中点公式，可得20242k x k -=，04y k =，又由=3k =±，所以21AB x =-== 故选：D ．【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系的应用，其中解题时要认真审题，注意韦达定理、点到直线距离公式的合理运用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.10.已知函数)2()log 3f x x x =--，当2019x y +=时，恒有()()()2019f x f f y +>成立，则x 的取值范围是（）A. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 1(,1)2C. (,0)-∞D. (1,)+∞【答案】C 【解析】【分析】根据函数的解析式，得出()f x 在R 上是奇函数且为减函数，据此对x 进行分情况讨论，即可求解，得到答案．【详解】由题意，函数)2()log 3f x x x =--，定义域为R ，且满足()))()22log 3log 3f x x x x x f x -=-+=+=-，所以函数()y f x =为定义在R 上的奇函数，则有()00f =，又由()f x 在[0, )+∞单调递减，则()f x 在(,?0]-∞上也为减函数，则()f x 在R 上为减函数，则()20190f <，当0x <时，20192019y x =->，即()()()2019f x f f y >>，则恒有()()()2019f x f f y +>成立，当0x =时，2019y =，此时()()()()20192019f x f f f y +==，()()()2019f x f f y +>不成立，当0x >时，20192019y x =-<，此时不能满足()()()2019f x f f y +>恒成立，所以x 的取值范围是(,0)-∞．故选：C ．【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与单调性应用问题，其中根据函数的解析式判定出函数的奇偶性和单调性，分类讨论是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11.已知复数z 满足1iz i-=（i 是虚数单位），则2z =_____；z =_____．【答案】 (1). 2i 【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简z ，进一步求得2z ，再由复数模的计算公式求z ．【详解】由题意，根据复数的运算，化简得21(1)()1i i i z i i i---===---，所以()2212, z i i z =--==故答案为：2i ．【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，以及复数模的求法，其中解答中熟记复数的运算法则，以及模的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.12.计算：4log =_____；满足log 1x >的实数x 的取值范围是_____．【答案】 (1). 14(2). 1x <．【解析】【分析】利用对数的换底公式及对数的运算性质求4log ；把log 1x >化为同底数，然后分类利用对数的运算性质求解．【详解】由题意，根据对数的运算法则，可得1242lg 21log lg 4lg 24===，由log 1log xx x >=，当01x <<时，得x >1x >时，得1x <<，∴实数x 的取值范围是1x <．故答案为：14；1x <．【点睛】本题主要考查了对数的运算性质，以及对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记对数的运算公式和对数函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于基础题．.13.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，12, A A 分别是双曲线的左、右顶点，00,() M x y 是双曲线上除两顶点外的一点，直线1MA 与直线2MA 的斜率之积是169，则双曲线的离心率为_____；若该双曲线的焦点到其渐近线的距离是4，则双曲线的方程为_____．【答案】 (1). 53 (2). 221916x y -=【解析】【分析】根据000()), (M x y x a ≠±是双曲线上一点，代入双曲线的方程，由直线1MA 与直线2MA 的斜率之积是169，求出直线1MA 与直线2MA 的斜率，然后整体代换，进而求得双曲线的离心率，再根据双曲线的焦点到其渐近线的距离是4，即可求出双曲线的方程．【详解】由题意，设000()), (M x y x a ≠±是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上一点，则2200221x y a b -=，得到2220022y x a b a-=，故2202220y b x a a =-，又()()12,0, ,0A a A a -， ∴1222000222000169MA MA y y y b k k x a x a x a a ⋅=⋅===+--，得43b a =∴53c e a ====，其渐近线的方程为b y x a =±，即43y x =±，即430x y ±=，设双曲线的一个焦点坐标为(),0c ，则双曲线的焦点到其渐近线的距离445c=，解得5c =，又因为222c a b =+，所以229, 16a b ==，故双曲线的方程为221916x y -=，故答案为：53，221916x y -=.【点睛】本题考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质，主要是离心率的求法，其中解答中熟记双曲线的几何性质，合理、准确运算是解答的关键，着重考查化简整理的运算能力，属于中档题．14.二项式()512x -的展开式中系数最大的项为_____；已知52345012345(12)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则123452345a a a a a -+-+=_____．【答案】 (1). 480x (2). 810-．【解析】【分析】由二项式()512x -的展开式中通项()152rr rr T C x +=-，列出不等式组，求得r 的值，即可得出最大的项．对于二项式52345012345(12)x a a x a x a x a x a x -=+++++，两边求导，再令1x =-，即可求解．【详解】由题意，二项式()512x -的展开式中通项公式()()15522rrrr r r T C x C x +=-=-．由()()()()115511552222r r r r r r r r C C C C --++⎧-≥-⎪⎨-≥-⎪⎩，解得4r =，即展开式的最大的项为()444455280T C x x =-⨯=．由二项展开式52345012345(12)x a a x a x a x a x a x -=+++++，两边求导可得：()42341234525122345x a a x a x a x a x -⨯⨯-=++++，令1x =-，可得()4123452345251210[1]8a a a a a -+-+=-⨯⨯-⨯-=-．故答案为：480x ，810-．【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式、导数运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.15.已知向量()2,4a =v ，向量a v在向量b v 上的投影为3，且a b -=v v b =v _____．【答案】7．【解析】【分析】根据条件即可得出220,cos ,3a a a b =〈〉=v v v v ，然后对a b -=vv 两边平方，可得出2||670b b --=v v ，即可求解b v，得到答案．【详解】根据条件：220,cos ,3a a a b =〈〉=v v v v ，且a b -=vv则()22222cos ,||62027a ba ab a b b b b -=-〈〉+=-+=vv v v v v v v v v ；整理得2||670b b --=v v ，解得7b =v或1-（舍去）．故答案为：7．【点睛】本题主要考查了向量数量积的运算及计算公式，向量投影的计算公式，向量坐标的数量积运算等知识的综合应用，其中熟记向量的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.16.3名男生和3名女生共6人站成一排，若男生甲不站两端，且不与男生乙相邻，3名女生有且只有2名女生相邻，则不同排法的种数是_____．（用数字作答）【答案】168．【解析】【分析】根据题意，假设有1、2、3、4、5、6，共6个位置；若男生甲不站两端，则甲必须在2、3、4、5的位置；据此分4种情况讨论，由加法原理计算可得答案．【详解】根据题意，假设有1、2、3、4、5、6，共6个位置，若男生甲不站两端，则甲必须在2、3、4、5位置，可分4种情况讨论：①当甲在2号位置，甲乙不能相邻，则乙可以在4、5、6号位置，若乙在4号或5号位置，只有2个位置是相邻的，有2232224A A ⨯⨯=种排法，若乙在6号位置，有23212A ⨯=种排法，由分类计数原理可得，共有241236+=种排法； ②当甲在5号位置，同理①，有36种排法；③当甲在3号位置，甲乙不能相邻，则乙可以在1、5、6号位置，若乙在1号位置，有23212A ⨯=种排法，若乙在5号位置，有223212A A ⨯=种排法，若乙在6号位置，有2232224A A ⨯⨯=种排法，由分类计数原理可得，共有12122448++=种排法；④当甲在4号位置，同理③，有48种排法，则有36364848168+++=种不同的排法；故答案为：168．【点睛】本题主要考查了排列、组合及简单的计数原理综合应用，本题解题的关键是在计算时，合理分类做到不重不漏，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.17.已知不等式()10x e a e x b -+++≤恒成立，其中e 为自然常数，则1b a+的最大值为_____．【答案】1e【解析】【分析】先利用导数确定不等式恒成立条件，再利用导数确定1b a+的最大值. 【详解】令()()1()()1xxf x e a e x b f x e a e '=-+++∴=-+ 当0e a -≥时，()0,,()f x x f x '>→+∞→+∞，不满足条件；当0e a -<时，()0ln()f x x a e '=⇒=--，当ln()x a e >--时()0,f x '<当ln()x a e <--时()0,f x '> 因此()(ln())1ln()10f x f a e a e b ≤--=---++≤，从而1ln()1,()b a e a e a a+-+≤>令2ln()ln()1(),()()ea e a e a e g x a e g x a a---+-'=>∴=再令21ln()0()e e y a e y a e a e a e-'=--∴=-<--- 所以当a e e ->时1ln 0()0,()(2)e y e g x g x g e e e'<-=∴<<=；当0a e e <-<时1ln 0()0,()(2)e y e g x g x g e e e'>-=∴><=；即max 1()(2)g x g e e ==，从而1b a+的最大值为1e .【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立以及利用导数求函数最值，考查综合分析求解能力，属较难题.三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18.设函数2()cos 2cos 1f x x x x ωωω=-+的图象关于直线x π=对称，其中常数1,12ω⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在区间30,5π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围．【答案】（1）65π（2）[]1,2- 【解析】【分析】（1）利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式为一个角的一个三角函数的形式，然后求解ω，即可求解函数的周期．（2）通过角的范围，求解相位的范围，利用正弦函数性质求得函数的最值，即可求解．【详解】（1）由题意，函数2()cos 2cos 1f x x x x ωωω=-+2cos 2x x ωω=-2sin 26x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又由函数()2sin 26f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象关于直线x π=对称，所以()2sin 226f ππωπ⎛⎫=-=± ⎪⎝⎭，所以2,62k k Z πππωπ-=+∈，解得1,23k k Z ω=+∈，又因为1,12ω⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以56ω=，即5()2sin 36f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以最小正周期为265T w ππ==. （2）因为305x π≤≤，所以556366x πππ-≤-≤，则52sin [1,2]36x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以()12f x -≤≤，即函数()f x 在区间30,5π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围[]1,2-. 【点睛】本题主要考查了两角和与差的三角函数，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，以及三角函数的图象与性质，准确运算是解答的关键，着重考查转化思想以及计算能力，属于基础题.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD是平行四边形，60ABC ∠=︒，侧面PAB ⊥底面ABCD ，90,2BAP AB AC PA ∠=︒===．（1）求证：平面PBD ⊥平面PAC ；（2）若点M 为PD 中点，求直线MC 与平面PBC 所成角的正弦值．【答案】（1）见解析（2【解析】【分析】（1）证明PA AB ⊥，推出PA ⊥面ABCD ，得到PA BD ⊥，证明BD AC ⊥，说明BD ⊥面PAC ，即可证明面PBD ⊥平面PAC ．（2）取BC 中点E ，以点A 为原点，分别以, , AE AD AP 为x 轴、y 轴、z 轴建立如图空间直角坐标系，求出面PBC 的法向量，利用空间向量的夹角公式，即可求解直线MC 与平面PBC 所成角的正弦值．【详解】（1）由题意，因为90BAP ∠=︒，则PA AB ⊥，又侧面PAB ⊥底面ABCD ，面PAB ⋂面ABCD AB =，PA ⊂面PAB ，所以PA ⊥面ABCD ，又BD ⊂面ABCD ，则PA BD ⊥ 又因为四边形ABCD 为平行四边形，且60, ABC AB AC ∠=︒= 则ABC ∆为等边三角形，则ABCD 为菱形，则BD AC ⊥又PA AC A =I ，则BD ⊥面PAC ，BD ⊂面PBD ，则面PBD ⊥平面PAC ．（2）取BC 中点E ，以点A 为原点，分别以, , AE AD AP 为x 轴、y 轴、z 轴建立如图空间直角坐标系，则()0,0,0A，,1,0)B -，0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P ，由点M 为PD 中点，()0, 1, 1M ，则0,1),1,2),2)MC PB PC =-=--=-u u u u r u u u r u u u r，设面PBC 的法向量为(,,)n x y z =r ，则00PB n PC n ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v vu u u v v，则1,0,2n ⎛= ⎝⎭r 设直线MC 与面PBC 所成角为θ，则||sin |cos ,|14||||MC n MC n MC n θ⋅=〈〉==u u u u r ru u u u r r u u u u r r 所以直线MC 与平面PBC所成角的正弦值为14．【点睛】本题考查了面面垂直的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.20.已知函数24,02()(2)2,2x x f x x x a x a x ⎧-<≤⎪=⎨⎪-++->⎩，其中a 为实数．（1）若函数()f x 为定义域上的单调函数，求a 的取值范围．（2）若7a <，满足不等式()0f x a ->成立的正整数解有且仅有一个，求a 的取值范围．【答案】（1）2a ≤（2）03a ≤< 【解析】【分析】（1）分析当02x <≤时的单调性，可得2x >的单调性，由二次函数的单调性，可得a 的范围；（2）分别讨论当0a <，当02a ≤≤时，当23a <<时，当37a ≤<，结合函数的单调性和最值，即可得到所求范围．【详解】（1）由题意，当02x <≤时，4()f x x x=-为减函数，当2x >时，()()222f x x a x a =-++-，若2a ≤时，()()222f x x a x a =-++-也为减函数，且()()20f x f <=，此时函数()f x 为定义域上的减函数，满足条件；若2a >时，()()222f x x a x a =-++-在22,2a +⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则不满足条件．综上所述，2a ≤．（2）由函数的解析式，可得()()13, 20f f ==，当0a <时，()()20, 13f a f a =>=>，不满足条件；当02a ≤≤时，()f x 为定义域上的减函数，仅有()13f a =>成立，满足条件；当23a <<时，在02x <≤上，仅有()13f a =>，对于2x >上，()f x 的最大值为22(2)1244a a f a +-⎛⎫=≤< ⎪⎝⎭，不存在x 满足()0f x a ->，满足条件；当37a ≤<时，在02x <≤上，不存在整数x 满足()0f x a ->，对于2x >上，22(2)(4)123444a a a ----=<-，不存在x 满足()0f x a ->，不满足条件；综上所述，03a ≤<．【点睛】本题主要考查了分段函数的运用，以及函数的单调性的判断和不等式有解问题，其中解答中熟练应用函数的单调性，以及把函数的有解问题转化为函数的最值问题是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档题．21.已知椭圆()2222:10x y C a b a b =>>+过点()0, 1A（1）求椭圆C 的方程；（2）过A 作斜率分别为12, k k 的两条直线，分别交椭圆于点, M N ，且122k k +=，证明：直线MN 过定点．【答案】（1）2214x y +=（2）见解析【解析】【分析】（1）利用椭圆C 过点()0, 1A 3, a b ，即可得到椭圆方程．（2）设直线方程为x t =，则()(),, ,M t s N t s -，求得1t =-，当直线MN 斜率存在时，设直线方程为：y kx b =+，与椭圆方程联立方程组，利用韦达定理以及122k k +=，得到k 与b 的关系，代入直线的方程，即可求解．【详解】（1）由题意，椭圆()2222:10x y C a b a b =>>+过点()0, 1A ，即211b=，解得1b =，由离心率3c a =222a c b -=，解得2a =，所求椭圆方程为：2214x y +=. （2）当直线MN 斜率不存在时，设直线方程为x t =，则()(),, ,M t s N t s -，则1211,s s k k t t-+==--，所以121122s s k k t t t -++=+==---，解得1t =-，当直线MN 斜率存在时，设直线方程为y kx b =+，联立方程组2244x y y kx b⎧+=⎨=+⎩，得222(41)8440k x kbx b +++-=，设1122, , ,()() M x y N x y ，则2121222844,4141kb b x x x x k k -+=-⋅=++ （*），则()()121212121212121212122(1)11y x x y x x kx x b x x y y k k x x x x x x +-++-+--+=+==，将*式代入化简可得：288244kb kb -=-，即()()110k b b ---=，整理得1k b =+，代入直线MN 方程，得()()11y b x b b x x =++=++，即()10b x x y ++-=，联立方程组10x y x +=⎧⎨=⎩，解得1,1x y =-=-，恒过定点()1,1--.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.22.设函数()2ln 1,) (f x ax x x a a R =-+-∈．（1）当0a =时，求证：()f x x ≤；（2）当1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）见解析（2）1a ≥ 【解析】【分析】（1）当0a =时，()ln 1f x x x =--，不等式()f x x ≤化为ln 10x x x ++≥，构造函数()ln 1s x x x x =++，利用导数求函数()s x 的最小值，从而证明不等式成立；（2）方法1：不等式化为2ln 1()ln 1a x x x x +≥+，令()2ln 1g x x x =+，利用导数判断()0g x >，不等式化为2ln 1ln 1x x a x x +≥+，记()2ln 1ln 1x x h x x x +=+，求出()h x 的最大值，即可得出a 的取值范围．方法2：讨论1x =时，()10f ≥，求得a 的取值范围，再证明1a ≥时，()f x 在1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭上()0f x ≥恒成立．【详解】（1）当0a =时，()()ln 1ln 1f x x x x x =--=-+，要证明()f x x ≤，即证明ln 10x x x ++≥；记()ln 1s x x x x =++，则1'()ln 1ln 2s x x x x x=+⋅+=+；当20,()x e -∈时，()'0s x < ，函数()f x 在20,()x e -∈上单调递减；当2,()x e-∈+∞时，()'0s x >，函数()f x 在2,()x e -∈+∞上单调递增；所以()()()222212110s x s ee ee---≥=-++=-≥，即()f x x ≤；（2）方法1：2ln ln 10ax x x x a -+-≥ 即2ln 1()ln 1a x x x x +≥+，令()2ln 1g x x x =+，令()()'2ln 2ln 10g x x x x x x =+=+=，得12x e -=；所以()g x 在120,x e -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调减，在12,x e -⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭单调增，则()211221111022g x g e e e --⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥=⋅-+=-> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即2ln 1()ln 1a x x x x +≥+，可化为2ln 1ln 1x x a x x +≥+，记()2ln 1ln 1x x h x x x +=+，则()()2222ln ln 2ln 1'ln 1x x x x x x h x x x -+-+-=+，且()'10h =；再令()22ln ln 2ln 1F x x x x x x x =-+-+-，当1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()()2222ln ln 2ln 1ln 12ln 1F x x x x x x x x x x x x =-+-+-=-+-+-， ()22ln 1F x x x x ≥-+-，由（1）可知1ln 1x x ≥-，0x >时成立，1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，221ln 1x x ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，由此22221()ln 111(1)0F x x x x x x x x x ⎛⎫≥-+-≥--+-=-≥ ⎪⎝⎭，()h x 在1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上单调最新Word增；当,()1x ∈+∞时，()()()22ln 12ln 10F x x x x x x =-+-+-≤，()h x 在,()1x ∈+∞上单调减；因此()()11h x h ≥=，故1a ≥；方法2：当1x =时，()110f a =-≥，由此1a ≥证明如下：当1a ≥时，()f x 在1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭上，()0f x ≥恒成立， ()()2ln 1(ln 1)f x a x x x x =+-+，同法1证明，()2ln 10g x x x =+>，()()()222ln 1ln 1l ()()()n 1ln 1ln 0f x a x x x x x x x x x x x =+-+≥+-+=-≥；所以()f x 在1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭上，()0f x ≥恒成立，故1a ≥．【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明和恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．。

浙江省杭州市高二下学期阶段性测试(期中)数学试题(解析版)

一、单选题1．已知函数，为的导函数，则的值为（） ()ln f x x x =()f x '()f x (1)f 'A ．B ．1C ．D ．013ln 3【答案】B【分析】求出函数的导函数，代入计算即可.【详解】因为，所以，所以. ()ln f x x x =()ln 1f x x '=+()1ln111f '=+=故选：B2．计算的值是（） 3477A C +A ．70 B ．245 C ．1050 D ．1680【答案】B【分析】由排列数，组合数定义可得答案.【详解】.()()347777765476524573744A C 24！！！！！⨯⨯⨯=+=⨯⨯+=-+-故选：B3．函数的大致图象为（）()22ln 41x x x f x =+A ． B ．C ．D ．【答案】A【分析】求出函数的定义域，分析函数的奇偶性以及该函数在区间上的函数值符()f x ()f x ()0,1号，结合排除法可得出合适的选项.【详解】函数的定义域为，()22ln 41x x x f x =+()(),00,-∞⋃+∞且，，所以，函数为偶函数， ()2ln 22x x x f x -=+()()()22ln ln 2222x x x x x x f x f x ----===++()f x 排除BC 选项；当时，，则，排除D 选项.01x <<ln 0x <()2ln 2ln 02222x x x x x xf x --==<++故选：A.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；（2）从函数的值域，判断图象的上下位置．（3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（5）函数的特征点，排除不合要求的图象.4．设圆：，若直线在轴上的截距为，则与的交点个数为（） C 22230x x y -+-=l y 1l C A ． B ． C ． D ．以上都有可能012【答案】C【分析】利用直线过定点，判断定点在圆内即可．【详解】解：直线在轴上的截距为， l y 1直线过定点， ∴l ()01，，220201320-⨯+-=-< 点在圆内， ∴()01，直线与的交点个数为个．∴l C 2故选：．C 5．由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio 设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线（，22221y x a b-=0a >）下支的一部分，且此双曲线的一条渐近线为，下焦点到下顶点的距离为1，则0b>30x +=该双曲线的方程为（）A ．B ．C ．D ．22197y x -=22179y x -=2213y x -=2216349y x -=【答案】A【分析】， 3b =又下焦点到下顶点的距离为1，得到关系，结合解出即可.a c 、222c ab =+ab 、【详解】因为双曲线的渐近线方程为，22221yx a b-=0ax by ±+=又双曲线的一条渐近线为，所以30x =a b -= ，又下焦点到下顶点的距离为1， 3b =所以，结合解得，， 1c a -=222c a b =+29a =27b =故选：A ．6．第十九届亚运会在杭州举行，某项目比赛期间需要安排3名志愿者完成5项工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有多少种（） A ．25 B ．100 C ．150 D ．300【答案】C【分析】根据题意先考虑工作的分组情况，再利用部分平均分组的方法计算即可. 【详解】由题意可得该5项工作可以分为1、1、3三组或1、2、2三组两种情况，对于1、1、3三组，有种分法；对于1、2、2三组，有分法；故将五31152122C C C 10A ⋅⋅=22153122C C C 15A ⋅⋅=项工作分成三组有10+15=25种分法，安排到3人有种安排方式.3325A 150⨯=故选：C7．已知是数列的前n 项和，，，当数列n S {}n a 3273S =()()*1194N n n na n a n +--=∈的前n 项和取得最大值时，n 的值为（）{}()*12N n n n a a a n ++∈A ．30 B ．31 C ．32 D ．33【答案】C【分析】由递推式得到，结合等差中项知为等差数列，进而写出其通项公式并122n n n a a a ++=+{}n a 判断单调性，最后判断上各项的符号，即可确定前n 项和取得最大值时n 的值.{}()*12N n n n a a a n ++∈【详解】①，则②， ()1194n n na n a +=-+()12194n n n a na +++=+②－①得：，即， ()()12111n n n n n a na na n a ++++-=--122n n n a a a ++=+则数列为等差数列，且，{}n a 194a =由得：，则公差，123273a a a ++=291a =2d a =13a -=-所以，数列单调递减，而，，，......， 973n a n =-{}n a 321a =332a =-345a =-设，当时，，且，， n n b a =12n n a a ++30n ≤0n b >318b =-3210b =当时，恒成立，显然，， 33n ≥0n b <31322b b +=3132330b b b ++=即数列的前32项和最大.{}()*12N n n n a a a n ++∈故选：C8．设对于曲线上任一点处的切线，总存在曲线上一点处的切线()e xf x x =--1l ()32cosg x ax x =+，使得，则实数的取值范围是（）2l 12l l ⊥a A ．B ．C ．D ．21,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦21,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1,23⎛⎫- ⎪⎝⎭12,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D【分析】由题设两曲线任意一点切线斜率分别为、，根据垂直关系()e 1m f m '=--()32sin g n a n '=-及指数函数、正弦函数的性质确定、的范围，进而判断包含关系，即可求参数范围. ()f m '()g n '【详解】由，则的切线斜率为， ()e 1x f x '=--x m =()e 11m f m '=--<-由，则的切线斜率为， ()32sin g x a x '=-x n =()32sin g n a n '=-而两曲线上总存在切线、有，即， 1l 2l 12l l ⊥1(0,1)e 132sin m a n =∈-+而，即，故，sin [1,1]n ∈-32sin [32,32]a n a a -∈-+[32,3](0)2,1a a -+⊆所以，解得，即.320321a a -≤⎧⎨+≥⎩1233a -≤≤12,33a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦故选：D二、多选题9．箱子中有6个大小、材质都相同的小球，其中4个红球，2个白球．每次从箱子中随机的摸出一个球，摸出的球不放回．设事件A 表示“第1次摸球，摸到红球”，事件B 表示“第2次摸球，摸到红球”则下列结论正确的是（） A ． B ． 2()3P A =3()5P B =C ．D ． ()25P B A =()45P B A =【答案】AD【分析】利用条件概率及全概率公式进行求解.【详解】，A 正确；14162()3C P A C ==， ()()()24465256P AB P B A P A ⨯===由全概率公式可知：3242()()()564536P B P AB P AB =+=⨯+⨯=所以BC 错误，D 正确. 故选：AD10．下列说法正确的是（）A ．若数列是等差数列，且，则{}n a ()*,,,m n s t a a a a m n s t +=+∈N m n s t +=+B ．若是等差数列的前项和，则成等差数列 n S {}n a n 232,,n n n n n S S S S S --C ．若是等比数列的前项和，则成等比数列n S {}n a n 232,,n n n n n S S S S S --D ．若是等比数列的前项和，且（其中是非零常数，），则n S {}n a n nn S Aq B =+,A B *n ∈N A B+为零【答案】BD【分析】根据题意，由等差数列的通项与求和公式，以及等比数列的通项与求和公式，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】对于A ，取数列为常数列，对任意的，都有，故错误； {}n a *,,,m n s t ∈N m n s t a a a a +=+对于B ，设等差数列的首项为，公差为，则， {}n a 1a d 12n n S a a a =+++2212212n n n n n n n S S a a a a nd a nd a nd S n d ++-=+++=++++++=+ 同理，2232212231222n n n n n n n n n n S S a a a a a a n d S S n d ++++-=+++=++++=-+ 所以，所以成等差数列，故正确；()()2322n n n n n S S S S S -=+-232,,n n n n n S S S S S --对于C ，设，则，，所以此数列不是等比数列，故错误；()1nn a =-20S =42640,0S S S S -=-=对于D ，因为，()()()11111n n n n n n n n a S S Aq B Aq B Aq Aq A q q ----=-=+-+=-=-⨯所以此数列为首项是，公比为的等比数列，则，()1A q -q ()()111n n A q q S q--=-所以，所以，故正确.nn S Aq A =-0A B +=故选:BD11．如图，已知ABC 是边长为4的等边三角形，DE ，分别是ABAC ，的中点，将ADE 沿着DE 翻折，使点A 到点P 处，得到四棱锥P −BCED ，则（）A ．翻折过程中，直线BC 始终与平面PDE 平行B ．存在某个点P 位置，满足平面PDE ⊥平面PBC C ．翻折过程中，该四棱锥的体积有最大值为3D ．当 PB =52π3【答案】ACD【分析】A 选项，通过说明可判断选项正误；B 选项，如图建立以DE 中点F 为原点的空BC DE ∥间直角坐标系，利用平面PDE 法向量与平面PBC 法向量互相垂直可判断选项正误；C 选项，易知当平面PDE ⊥平面DBCE 时，四棱锥体积最大，计算体积即可判断选项正误；D 选项，结合B 选项分析与P 坐标，后算出四边形DBCE 外接圆圆心坐标，球心坐标，即可得相应球表PB =面积.【详解】A 选项，注意到在翻折过程中，始终有又平面PDE ，平面PDE ，,BC DE A BC ⊄DE ⊂则BC 始终与平面PDE 平行，故A 正确；B 选项，取DE 中点为F ，BC 中点为G ，连接AF ，PF ，FG .如图建立以F 为原点，AF 所在直线为y 轴，FD 所在直线为x 轴，过P 点且与平面DBCE 垂直直线为z 轴建立空间直角坐标系. 由题可得P 点在yOz 平面上，设，则FA FP==PFy θ∠=，由题.()P θθ()0,πθ∈则. ()()()()100220100,,,,,,,,D B CE --,()()11,cos ,si n ，,cos ,si n PD θθPE θθ==-.()()22,cos ,si n ，,cos ,si n PB θθPC θθ=-=--设平面PDE 法向量为，()1111,,nx y z =则，取. 1111111100n PD x y z n PE x y z θθθθ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩()101,t an ,n θ=- 设平面PBC 法向量为，()2222,,n x yz =则，))222222222020n PB x y z n PC x y z θθθθ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩取.因平面PDE ⊥平面PBC ， 2011si n ,,cos θn θ⎛⎫= ⎪-⎝⎭则不存在，则不存在相应的P 点，使PDE ⊥平面PBC ，故12101si n t an cos cos θθn n θθ⋅=+=⇒-B 错误；C 选项，易知当平面PDE ⊥平面DBCE 时，四棱锥体积最大，此时为底面对应高， PF 则，其中13P DBCE V S PF -=⋅⋅()()112422S DE BC FG=+⋅=⨯+⨯=PF 则，故C 正确.3P DBCE V -=D 选项，因，，则可得.PB =()2,cos ,si n PB θθ=-π2θ=.设四边形DBCE 外接圆圆心坐标为，由题知其在y 轴上，(P ()1333,,O x y z则.因，则，()1300,,O y 11O D O B=(2233314y y y +=+-⇒=.则外接球球心O 在过且与平面DBCE 垂直的直线上，设为.()100,O 1O ()0,O t 又，则. PO PB =)2224tt t +-=+⇒=0,O ⎛ ⎝则外接球半径为：.故外接球表面积为.PO ==3952493ππ⨯=故D 正确. 故选：ACD12．已知数列的前n 项和为，，且（，2，…），则（） {}n a n S 11a =1143n n n n a a a a ++⋅=-1n =A ． B ． C ． D ． 13n n a a +<51241a =1ln 1n n a ⎛⎫<+⎪⎝⎭17114n S ≤<【答案】ABD【分析】对于A 选项，只需判断；对于B 选项，通过通项公式可求得；对于C 选项，将0n a >5a 条件转化为，举出反例即可判断；对于D 选项，将数列放缩成等比数列求和，即可判132e n n +-<断.【详解】由条件，两边同时除以，得， 1143n n n n a a a a ++⋅=-1n n a a +⋅1134n na a +=-∴，故数列是以为首项，为公比的等比数列， 111232n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭1123a +=3∴，∴， 11112323n n n a a -⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭132n n a =-对于A 选项，∵，∴， 1032n na =>-11430n n n n a a a a ++⋅=->∴，故A 选项正确； 13n n a a +<对于B ，，所以B 选项正确； 551132241a ==-对于C 选项，，等价于， 132n na =-1ln ln(32)1nn n a ⎛⎫=-<+ ⎪⎝⎭132e n n +-<因为， 55532341172.10368 2.8e -=>=>所以当时，，故C 选项错误； 5n =132e n n +->对于D 选项，，2211112223273313133n n n n n n a n -==≤=≥-⋅⎛⎫⎫-- ⎪⎝⎭⎛⎪⎝⎭（）∴1012111111131311111737373714313n n n n S ----⎛⎫≤++++=+⋅=+- ⎪⋅⋅⋅⎝⎭- ， 1173114143n -=-⋅1714<又，∴，∴，故D 选项正确. 1032n n a =>-11n S S ≥=17114nS ≤<故选：ABD.【点睛】关键点点睛：由，得，是解决本题得关键. 1143n n n n a a a a ++⋅=-111232n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭三、填空题13．二项式的展开式的常数项等于_____________．6x ⎛⎝【答案】15【分析】在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于，求出的值，即可求得常数项.x 0r 【详解】二项式的展开式的通项公式为：，6x ⎛ ⎝()36216C 1r r r r T x -+=-令，求得，3602r -=4r =所以展开式的常数项为.()446C 115-=故答案为：1514．已知随机变量服从正态分布，若，则X ()26,N σ()0σ>()30.8P X >=()39P X <<=______．【答案】0.6【分析】根据概率之和为1，求得，再利用正态曲线的对称性得，即()3P X ≤()()93P X P X ≥=≤可求得答案.【详解】解：因为，所以， ()30.8P X >=()310.80.2P X ≤=-=因为随机变量服从正态分布，X ()26,N σ()0σ>所以， ()()930.2P X P X ≥=≤=所以. ()3910.20.20.6P X <<=--=故答案为：0.6.15．如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供种不同的颜色给其中个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则65，区域涂同色的概率为_____________．A C【答案】413【分析】利用分步乘法计数原理求出所有的涂色种数，再求出，区域涂同色情况，最后利用古A C 典概型的概率公式计算可得. 【详解】依题意分4步进行分析： ①，对于区域，有6种颜色可选；A ②，对于区域，与区域相邻，有5种颜色可选；B A ③，对于区域，与、区域相邻，有4种颜色可选；D A B ④，对于区域、，若与颜色相同，区域有4种颜色可选， CE A C E 若与颜色不相同，区域有3种颜色可选，区域有3种颜色可选， A C C E 则区域、有种选择， C E 43313+⨯=综上可得不同的涂色方案有种. 654131560⨯⨯⨯=其中与颜色相同的有种， A C 6544480⨯⨯⨯=所以，区域涂同色的概率. A C 4804156013P ==故答案为：41316．已知不等式对任意恒成立，则实数的最小值为___________.11ln a x a x e x x-+≥()0,1x ∈a 【答案】e -【分析】先将不等式变形为，11ln a xe x xx a -≥-11ln ln x x a a x e e x -≥-再构造函数，利用函数单调性可得，，再分离参数转化为()()ln 0f x x x x =->1a x e x ≥，然后求出函数的最小值，即解出． ()101ln a x x x≥<<()()()ln 0,1h x x x x =∈【详解】由题意，不等式可变形为， 11ln a xe x xx a -≥-得对任意恒成立.11ln ln x x a a x e e x -≥-()0,1x ∈设，()ln f x x x =-则对任意恒成立，，1()ax f e f x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭()0,1x ∈()111x f x x x -'=-=当时，，所以函数在上单调递减， 01x <<()0f x '<()f x ()0,1当时，，所以函数在上单调递增. 1x >()0f x ¢>()f x ()1,+∞当时，，因为求实数的最小值，()0,1x ∈1x e e >a 所以考虑的情况，此时， a<01a x >因为函数在上单调递增，()f x ()1,+∞所以要使，只需，()1ax f e f x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭1a x e x ≥两边取对数，得上， 1ln a x x≥由于，所以. ()0,1x ∈1ln a x x≥令，则，()()()ln 0,1h x x x x =∈()ln 1h x x '=+令，得，()0h x '=1=x e易得在上单调递减，在上单调递增，()h x 10,e ⎛⎫⎪⎝⎭1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，所以，所以， ()min 11h x h e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭()max1e h x ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭a e ≥-所以实数的最小值为. a e -故答案为：e -【点睛】关键点睛：求解不等式问题的关键：（1）适当变形，灵活转化，结合题设条件，有时需要对不等式进行“除法”变形，从而分离参数，有时需要进行移项变形，可使不等式两边具有相同的结构特点；（2）构造函数，利用导数求解，若分离参数，则直接构造函数，并借助导数加以求解，若转化为不等式两边具有相同的结构特点，则可根据该结构特点构造函数，并借助导数加以求解.四、解答题17．已知平面向量，，函数．()sin a x x = ()2sin ,sin b x x = ()1f x a b =⋅+(1)求的单调增区间．()f x (2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对的边，若，，求△ABC 周长的取()4f A =2a =值范围．【答案】(1)πππ,π,Z 63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦(2) (]4,6【分析】(1)利用向量数量积的坐标运算求出，再通过二倍角与辅助角公式化简，带入三角函数的单调递增区间即可求得；(2)代入已知条件，余弦定理可以获得边之间的关系，再结合基本不等式即可求得周长的取值范围.【详解】（1）()212sin cos 11cos 221f x a b x x x x x =⋅+=++=-+= π2sin(226x -+，所以令，解得， πππ2π22π,Z 262k x k k -+£-£+Îππππ,Z 63k x k k -+££+Î所以函数的单调递增区间为;πππ,π,Z 63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）因为，即，解得，即，()4f A =π2sin(2)246A -+=ππ22π,Z 62A k k -=+∈ππ,Z 3A k k =+∈因为A 为三角形的内角，所以，π3A =又因为，所以，即即，解得2a =2241cos 22b c A bc +-==224,b c bc +-=22()()4334b c b c bc ++-=≤，4b c +≤又因为a ，b ，c 是的边，所以，故△ABC 周长. ABC A 2b c +>46ABC C a b c <=++≤A 所以周长的取值范围是.ABC A (]4,618．如图所示，在三棱柱中，底面是正三角形，侧面是菱形，点在平11ABC A B C -ABC A 11AAC C 1A 面的射影为线段的中点，过点，，的平面与棱交于点．ABC AC D 1B B D α11A C E(1)证明：四边形是矩形；1BB ED (2)求平面和平面夹角的余弦值． 1ABB 1BB E 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）先根据线面平行的判定定理，性质定理证出四边形是平行四边形，再由条件1BB ED 可证得平面，于是，从而四边形是矩形；BD ⊥11ACC A BD DE ⊥1BB ED （2）由（1）知，，两两垂直，以，，所在直线分别为轴､轴､轴，DB AC 1A D DB AC 1A D x y z 建立如图所示的空间直角坐标系，再分别求出平面，平面的一个法向量，然D xyz -1DBB E 11ABB A 后根据二面角的向量公式即可求出．【详解】（1）连接，，1B E DE 在三棱柱中，侧面为平行四边形，所以， 111ABC A B C -11A ABB 11//B B A A 因为平面，平面，所以平面， 1B B ⊄11A ACC 1A A ⊂11A ACC 1//B B 11A ACC 因为平面，且平面平面，所以， 1B B ⊂1BB D 1BB D ⋂11A ACC DE =1//B B DE 因此，1//A A DE 因为点是的中点，所以为中点，所以， D AC E 11A C 1B B DE =所以四边形为平行四边形，1BB ED 在正中，因为是的中点，所以，ABC A D AC BD AC ⊥由题可知平面，平面，所以，， 1A D ⊥ABC ,BD AC ⊂ABC 1A D BD ⊥1A D AC ⊥因为，平面，所以平面，1AC A D D ⋂=1,AC A D ⊂11ACC A BD ⊥11ACC A又平面，所以，故四边形为矩形. DE ⊂11ACC A BD DE ⊥1BB ED （2）由（1）知，，两两垂直，DB AC 1A D 以，，所在直线分别为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系. DB AC 1A D x y z D xyz -设，则1AD =BD =在中，，，所以. 1AA D △12AA AD =190ADA ∠=︒1A D =于是，，，，()0,0,0D ()0,1,0A -(1A )B，，.)AB =)DB =(11AA BB ==设平面的法向量为，1DBB E (),,m a b c =由，得，取.100m BB m DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩b ⎧=⎪=()1m =- 设平面的法向量为， 11ABB A (),,n x y z =由，得，取. 100n AA n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩00y y ⎧=⎪+=()1,n = 设平面和平面夹角为，1ABB 1BB E θ则cos cos ,m θ==故平面和平面. 1ABB 1BB E19．甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球2次均未命中的概率为.（Ⅰ）求乙投球的命中率；（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为，求的分布列和数学期望. 【答案】（Ⅰ）34（Ⅱ）的分布列为ξξ0 1 2 3P 1327321532932的数学期望ξ2E ξ=【详解】试题分析：对于问题（I ）由题目条件并结合间接法，即可求出乙投球的命中率；对于p 问题（II ），首先列出两人共命中的次数的所有可能的取值情况，再根据题目条件分别求出取ξξ各个值时所对应的概率，就可得到的分布列．ξ试题解析：（I ）设“甲投球一次命中”为事件，“乙投球一次命中”为事件.A B 由题意得解得或（舍去），所以乙投球的命中率为. 221(1())(1)16P B p -=-=34p =5434（II ）由题设知（I ）知，，，， 1()2P A =1()2P A =3()4P B =1()4P B =可能取值为ξ0,1,2,3故，2111(0)()((2432P P A P B B ξ==⋅=⨯=， 12(1)()()()(()P P A P B B C P B P B P A ξ==⋅+⋅⋅2113117(22444232=⨯+⨯⨯⨯=2139(3)()()()2432P P A P B B ξ==⋅=⨯= 15(2)1(0)(1)(3)32P P P P ξξξξ==-=-=-==的分布列为 ξξ0 1 23P 132 7321532932171590123232323232E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=【解析】1、概率；2、离散型随机变量及其分布列.20．已知函数，对任意，都有．()f x x ∈R ()()12023f x f x +-=(1)求的值．12f ⎛⎫⎪⎝⎭(2)数列满足：，求数列前项和． {}n a ()()12101n n a f f f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 122023n n a +⋅⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n S (3)若，证明： 22212111n n T a a a =+++ 242023n T <【答案】(1)20232(2)12n n S n +=⨯(3)证明见解析【分析】（1）依题意令，即可得解； 12x =（2）令可得，再利用倒序相加法得到，从而得到1x n=112023n f f n n -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()202312n n a +=，最后利用错位相减法计算可得； ()12122023n n n a n +⋅=+⨯（3）利用放缩法得到，利用裂项相消法计算可得.()2222111202312023414na n n n ⎛⎫=<⨯- ⎪+⎝⎭+【详解】（1）因为对任意，都有， x ∈R ()()12023f x f x +-=令，所以，所以.12x =111202322f f ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1202322f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）因为， ()()12023f x f x +-=令，则， 1x n=111112023n f f f f n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭①， ()()12101n n a f f f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又②， ()()122110n n n a f f f f f f n n n n--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋯+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相加得：，11222[(0)(1)][(([()()][(1)(0)]2023(1)n n n a f f f f f f f f n n n n n--=++++++⋯++=+所以．()202312n n a +=， ∴()()11202312212202322023n n n n n a n +++⋅=⨯=+⨯所以③，22232(1)2n n S n =⨯+⨯+++⨯ ④，23122232(1)2n n S n +=⨯+⨯+++⨯ ③④可得，-212222(1)2n n n S n +-=⨯+++-+⨯，()()11212212212n n n n n ++-=+-+⨯=-⨯-所以；12n n S n +=⨯（3）由（2）可知，()202312n n a +=所以， ()()()222222211111202320144423202312023114na n n n n n n ⎛⎫==⨯<⨯=⨯- ⎪++⎝⎭++所以 22212111n nT a a a =+++()()()22222211120232023202311214144n =⨯+⨯++⨯+++ 222211111111202312202323202334244440231n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<⨯-+⨯-+⨯-++⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ， 221120231420243n ⎛⎫=⨯-< ⎪+⎝⎭所以. 242023n T <21．已知椭圆，，为左、右焦点，直线过交椭圆于，两点．22184x y +=1F 2F l 2F A B (1)若直线垂直于轴，求；l x ||AB (2)当时，在轴上方时，求、的坐标；190F AB ∠=︒A x A B (3)若直线交轴于，直线交轴于，是否存在直线，使得，若存在，求1AF y M 1BF y N l 11F AB F MN S S =A A出直线的方程；若不存在，请说明理由． l 【答案】(1)(2)，()0,2A 82,33B ⎛⎫-⎪⎝⎭(3)存在，或20x -=20x -=【分析】（1）由题意方程求得右焦点坐标，进一步求得，的坐标，则可求；A B ||AB （2）设，由，利用数量积为0求得与的方程，再由在椭圆11(,)A x y 11290(90)F AB F AF ∠=︒∠=︒1x 1y A 上，得与的另一方程，联立即可求得的坐标．得到直线的方程，与椭圆方程联立即可求1x 1y A AB 得的坐标；B （3）设，，，，直线，联立直线方程与椭圆方程，结11(,)A x y 22(,)B x y 3(0,)M y 4(0,)N y :2l x my =+合，得，再由直线的方程：，得纵坐标11F AB F MN S S =A A 12342||||y y y y -=-1AF 11(2)2y y x x =++M，由直线的方程：，得的纵坐标，结合根与系数的13122y y x =+1BF 22(2)2y y x x =++N 24222y y x =+关系，得，解得值，从而得到直线方程． 22244416422m mm m m --+⋅+=++m 【详解】（1）解：依题意，，当轴时，将代入，解得2(2,0)F AB x ⊥2x =22184x y +=y =则，，所以(A (2,B ||AB =（2）解：设，，，， 11(,)A x y 11290(90)F AB F AF ∠=︒∠=︒ 1(2,0)F -2(2,0)F 所以，111(2,)AF x y =---211(2,)AF x y =-+-，∴22121140AF AF x y ⋅=-+=又在椭圆上，满足，即，A 2211184x y +=22114(18x y =-，解得，即．∴221144(108x x -+-=10x =(0,2)A 所以直线，:2AB y x =-+联立，解得或，所以； 222184y x x y=-+⎧⎪⎨+=⎪⎩8323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩02x y =⎧⎨=⎩82,33B ⎛⎫- ⎪⎝⎭（3）设，，，， 11(,)A x y 22(,)B x y 3(0,)M y 4(0,)N y 直线，:2l x my =+则，11212121||||2||2F AB S F F y y y y =⋅-=-A ． 1134341||||||2F MN S F O y y y y =⋅-=-A 联立，得．222184x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩22(2)440m y my ++-=则，．12242m y y m +=-+12242y y m -=+由直线的方程：，得纵坐标； 1AF 11(2)2y y x x =++M 13122y y x =+由直线的方程：，得的纵坐标． 1BF 22(2)2y y x x =++N 24222y y x =+若，即，11F AB F MN S S =A A 12342||||y y y y -=-， 121212341212121222228()||||||||2||2244(4)(4)y y y y y y y y y y x x my my my my --=-=-==-++++++，，12|(4)(4)|4my my ∴++=21212|4()16|4m y y m y y +++=代入根与系数的关系，得，解得 22244416422m mm m m --+⋅+=++m =存在直线或满足题意．∴20x -=20x -=【点睛】方法点睛：解析几何中与弦长相关的三角形面积常有两种求法：（1），其中为弦长，为另一顶点到直线的距离； 12S AB d =⋅AB d AB （2）面积等于水平宽与铅垂高积的一半.22．已知函数，.()xe f x x =()tan g x x =(1)讨论的单调性；()f x (2)设函数，试判断在内的零点个数.()()()F x f x g x =-()F x ,00,22ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】(1)在区间，上单调递减，在区间上单调递增 (,0)-∞(0,1)(1,)+∞(2)零点个数为2【分析】（1）利用导数求解单调区间即可.（2）首先将题意转化为根的个数，设，再分类讨论与sin cos 0x e x x x -=()sin cos x h x e x x x =-()h x 轴的交点个数即可.x 【详解】（1）函数的定义域为，， ()x e f x x ={}0x x ≠22(1)()x x x e x e e x f x x x'--==令，得.()0 f x '=1x =当时，；当时，； (,0)x ∈-∞()0f x '<(0,1)x ∈()0f x '<当时，，(1,)x ∈+∞()0f x '>所以在区间，上单调递减，在区间上单调递增.()f x (,0)-∞(0,1)(1,)+∞（2）令，得.()()()tan 0xF x f x g x xe x =-=-=sin cos 0x e x x x -=设，所以.()sin cos x h x e x x x =-()()()1sin cos x xh x x x x e e '=++-①当时，可知，则，所以，,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭0x e x >>x e x >e 0x x -<又，，所以，sin 0x <cos 0x >()0h x '<从而在上单调递减，()sin cos x h x e x x x =-,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭又，，(0)1h =-022h ππ⎛⎫-=> ⎪⎝⎭由零点存在定理及的单调性，得在上有一个零点.()h x ()h x ,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭②当时，，0,4x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦cos sin 0x x ≥>由（1）知函数在上单调递减，在上单调递增，()xe f x x=(0,1)(1,)+∞所以时，函数，则.0,4x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦()(1)1xf x f x e e =>=>0x e x >>所以，则恒成立.cos sin x e x x x >()sin cos 0x h e x x x x =-<所以在上无零点.()h x 0,4π⎛⎤⎥⎝⎦③当时，，，,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin cos 0x x >>()(sin cos )(cos sin )0x h x x x e x x x '=-++>则在上单调递增.()h x ,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭又，， 022h ππ⎛⎫=> ⎪⎝⎭440444e h e πππππ⎫⎛⎫==-<⎪ ⎪⎝⎭⎭所以在上存在一个零点.()h x ,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭综上，在内零点个数为2，()h x ,00,22ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即在内的零点个数为2.()F x ,00,22ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

2019-2020学年浙江省杭州二中高二(下)期中数学试卷(含答案解析)

2019-2020学年浙江省杭州二中高二(下)期中数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知复数z=1+2i32+i(i为虚数单位)，则z在复平面内所对应点的坐标为()A. (1,0)B. (−1,0)C. (0,1)D. (0,−1)2.某商场为了吸引顾客，特设了一个有奖销售活动，办法如下：凡购物满100元者得奖券一张，多购多得，每10000张奖券为一个开奖组，特等奖1名，一等奖50名，二等奖100名，那么某顾客买了1000元的物品，那么他中特等奖的概率为().A. B. C. D.3.(1−i)10(i为虚数单位)的二项展开式中的第七项为()A. −210B. 210C. −120iD. 120i4.(2x−y)4的展开式的中间项为()A. 24B. −8C. 24x2y2D. −8xy35.用数学归纳法证明“1+a+a2+⋯+a2n+1=1−a2n+21−a，(a≠1)”，在验证n=1时，左端计算所得项为()A. 1+a+a2+a3+a4B. 1+aC. 1+a+a2D. 1+a+a2+a36.已知1<a<3，2<b<4，现给出以下结论：(1)3<a+b<7；(2)−3<a−b<1；(3)2<a⋅b<12；(4)14<ab<32；以上结论正确的个数是()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7.有6名优秀毕业生到母校的3个班去作学习经验交流，则每个班至少去一名的不同分派方法种数为()A. 540B. 729C. 216D. 4208.已知函数f(x)=2x−1，则函数y=|f(x−1)|的图象可能是()A.B.C.D.9. 已知函数f(x)=x 2−3−me x ，若f(x)=0有三个不等实根，则实数m 的取值范围是( )A. (−2e,6e 3)B. (−∞,6e 3)C. (0,2e)D. (0,6e 3)10. 若f(x)是定义在R 上的函数，且满足：①f(x)是偶函数；②f(x +2)是偶函数；③当0<x ≤2时，f(x)=log 2017x ，当x =0时，f(0)=0，则方程f(x)=−2017在区间(1,10)内的多有实数根之和为( )A. 0B. 10C. 12D. 24二、单空题（本大题共5小题，共25.0分）11. (理)抛掷一枚质地均匀的骰子，记向上的点数是偶数的事件为A ，向上的点数大于2且小于或等于5的事件为B ，则事件A ∪B 的概率P(A ∪B)=______．12. {a n }是无穷数列，若{a n }是二项式(1+2x)n (n ∈N +)展开式各项系数和，则n →∞lim(1a 1+1a 2+⋯+1a n)= ______ ．13. 已知函数f(x)={13x +1,≤0|lnx|,x >0 若函数f(x)−ax =0恰有3个零点，则实数a 的取值范围为______．14. 百善孝为先，孝敬父母是中华民族的传统美德.因父母年事渐高，大张与小张兄弟俩约定：如果两人在同一天休息就一起回家陪伴父母，并把这一天记为“家庭日”.由于工作的特殊性，大张每工作三天休息一天，小张每周星期一与星期五休息，除此之外，他们没有其它休息日.已知2021年1月1日(星期五)是他们约定的“家庭日”，则2021年全年他们约定的“家庭日”共有______ 个.15. 平面直角坐标系中，若函数y =f(x)的图象将一个区域D 分成面积相等的两部分，则称f(x)等分D ，若D ={(x,y)||x|+|y|≤1}，则下列函数等分区域D 的有______(将满足要求的函数的序号写在横线上)．①y =sinx ⋅cosx ，②y =x 3+12016x ，③y =e x −1，④y =|x|−34，⑤y =−92x 2+58．三、多空题（本大题共2小题，共12.0分）16. 已知复数z =lg(m 2−4m +11)+(m 2−2m −8)i ，当实数m = (1) ，z 为实数，当实数m = (2) 时，z 为虚数． 17. 已知随机变量X 的分布列为：随机变量Y =2X +1，则X 的数学期望EX = (1) ；Y 的方差DY = (2) ．四、解答题（本大题共5小题，共73.0分）18. 某公司在新年晚会上举行抽奖活动，有甲，乙两个抽奖方案供员工选择．方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为45，第一次抽奖，若未中奖，则抽奖结束，若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖，规定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获得500元奖金，不进行第二次抽奖；若正面朝上，员工则须进行第二次抽奖，且在第二次抽奖中，若中奖，则获得1000元；若未中奖，则不能获得奖金．方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为25，每次中奖均可获得奖金400元． (Ⅰ)求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X(元)的分布列；(Ⅱ)试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，哪个方案更划算？(Ⅲ)已知公司共有100人在活动中选择了方案甲，试估计这些员工活动结束后没有获奖的人数．19. 已知在二项式(√x 3−2√x 3)n 的展开式中，第6项为常数项．(1)求n 的值，并求含x 2项的系数； (2)求展开式中所有的有理项．20.已知数列{a n}中，a10=17，其前n项和S n满足S n=n2+cn+2．(1)求实数c的值；(2)求数列{a n}的通项公式．21.(本题满分13分)已知函数。

2019-2020学年杭州地区重点中学高二(下)期中数学试卷(含答案解析)

2019-2020学年杭州地区重点中学高二(下)期中数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.设直线系M：xcosθ+(y−2)sinθ=1(0≤θ≤2π)，对于下列四个结论：(1)当直线垂直于y轴时，θ=0或π；(2)当θ=π时，直线倾斜角为120°；6(3)M中所有直线均经过一个定点；(4)存在定点P不在M中任意一条直线上．其中正确的是()A. ①②B. ③④C. ②③D. ②④2.已知直线l与双曲线C交于A，B两点(A,B不在同一支上)，F1，F2为双曲线的两个焦点，则F1，F2在()A. 以A，B为焦点的双曲线上B. 以A，B为焦点的椭圆上C. 以A，B为直径两端点的圆上D. 以上说法均不正确3.若f(x)=2xf′(2)+x2，则f′(1)=()A. −4B. −6C. 2D. 44.方程xy2−x2y=−2所表示的曲线的对称性是()A. 关于x轴对称B. 关于y轴对称C. 关于直线y=−x对称D. 关于原点对称)x上运动，在x轴正半轴取点B，作正三角形OAB，5.在直角坐标系xOy中，点A在曲线C：y=(32这样的正三角形有()A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个6.直线m，n均不在平面α，β内，给出下列命题：①若m//n，n//α，则m//α；②若m//β，α//β，则m//α；③若m⊥n，n⊥α，则m//α；④若m⊥β，α⊥β，则m//α；则其中正确命题的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 47. 老师要求同学们做一个三角形，使它的三条高分别为：12，1，25，则( )A. 同学们做不出符合要求的三角形B. 能做出一个锐角三角形C. 能做出一个直角三角形D. 能做出一个钝角三角形8. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C:y 2=2px(p >0)的焦点为F ，M 是抛物线C 上的点，若△OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆面积9π，则p =( )A. 2B. 4C. 3D. √39. 顶点在原点，准线为y =2的抛物线方程为( )A. y 2=8xB. y 2=−8xC. x 2=8yD. x 2=−8y10. 已知正四棱柱中，则与平面所成角的正弦值等于( )A.B.C.D.二、单空题（本大题共4小题，共18.0分）11. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,2)，B(2,2)和圆C ：(x −1)2+(y −1)2=2，P 为直线AB 上的动点，A 关于直线OP 的对称点记为Q ，则线段BQ 的长度的最小值是______． 12. 如下图，已知正三棱柱的底面边长为2，高位5，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为 .13. 在平面直角坐标系中，已知△ABC 顶点A(−1,0)和C(1,0)顶点B 在椭圆x 24+y 23=1上，则sinA+sinC 2sinB=______．14. 已知方程|ln|x −1||=m ⋅(x −1)2，有且仅有四个解：x 1，x 2，x 3，x 4，则m ⋅(x 1+x 2+x 3+x 4)=______．三、多空题（本大题共3小题，共18.0分）15.设复数z满足i(z+1)=−3+2i(i为虚数单位)，则|z+1|=(1)，z的实部是(2)．16.已知点F为抛物线y2=8x的焦点，则点F坐标为(1)；若双曲线x2a2−y22=1(a>0)的一个焦点与点F重合，则该双曲线的渐近线方程是(2)．17.在空间直角坐标系O−xyz中，已知A(2,0，0)，B(0,2，0)，C(0,0，0)，P(0,1，√3)，则三棱锥P−ABC在坐标平面xOz上的正投影图形的面积为(1)；该三棱锥的最长棱的棱长为(2)．四、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知x i>0(i=1,2，3，…n)，我们知道有(x1+x2)(1x1+1x2)≥4成立．(Ⅰ)请猜测(x1+x2+x3)(1x1+1x2+1x3)≥？；(x1+x2+x3+x4)(1x1+1x2+1x3+1x4)≥？(Ⅱ)由上述几个不等式，请你猜测与x1+x2+⋯+x n和1x1+1x2+⋯+1x n(N≥2,n∈N∗)；(有关的不等式，并用数学归纳法证明．19.已知圆O：x2+y2=4，(O为坐标原点)，直线l：2x+3y−13=0.抛物线C：y=x24．(Ⅰ)过直线l上任意一点A作圆O的两条切线，切点为B，C.求四边形ABOC的面积最小值；(Ⅱ)若圆C′过点(0,2)，且圆心C′在抛物线C上，HG是圆C′在x轴上截得的弦，试探究C′运动时，弦长|HG|是否为定值？并说明理由；(Ⅲ)过点P(−2,0)的直线PD，PE分别与圆O交于点D，E两点，若k PD⋅k PE=−2，问直线DE 是否过定点？并说明理由．20.如图，多面体ABCDEF中，平面ABCD为正方形，AD⊥DE，AB=DB．2,AE=3,ED=EC=√5，EF//DB，且EF=12(1)求证：平面ABCD⊥平面EDC；(2)求四棱锥C−BDEF的体积．21.如图，已知直线l与抛物线y2=x相交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，O为坐标原点，直线l与x轴相交于点M，且y1y2=−1．(1)求证：OA⊥OB；(2)求点M的横坐标；(3)过A，B点分别作抛物线的切线，两条切线交于点Q，求k QM⋅k AB．22.已知函数f(x)=alnx−2b在x=1处有极值1．x(Ⅰ)求实数a，b的值；(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间．【答案与解析】1.答案：D解析：解：直线系M ：xcosθ+(y −2)sinθ=1(0≤θ≤2π)，(1)当直线垂直于y 轴时，则sinθ=0，解得θ=0或π或2π，故(1)错误； (2)当θ=π6时，直线倾斜角为120°，故(2)正确； (3)如图示：，由直线系M ：xcosθ+(y −2)sinθ=1(0≤θ≤2π)，可令{x =cosθy =2+sinθ，消去θ可得 x 2+(y −2)2=1，故直线系M 表示圆x 2+(y −2)2=1的切线的集合，故(3)不正确．(4)因为对任意θ，存在定点(0,2)不在直线系M 中的任意一条上，故(4)正确；故选：D ．先弄清直线系M 中直线的特征，直线系M 表示圆x 2+(y −2)2=1的切线的集合，再判断各个结论的正确性即可．本题考查直线系方程的应用，要明确直线系M 中直线的性质，依据直线系M 表示圆x 2+(y −2)2=1的切线的集合，结合图形，判断各个命题的正确性．2.答案：B解析：解：不妨设双曲线焦点在x 轴上，方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，且A ，B 分别在左、右支上，由双曲线定义：|AF 2|−|AF 1|=2a ，|BF 1|−|BF 2|=2a ，则|AF 2|+|BF 2|=|AF 1|+|BF 1|>|AB|，由椭圆定义可知，F1，F2在以A、B为焦点的椭圆上．故选：B．由已知条件利用双曲线定义推导出|AF2|−|AF1|=2a，|BF1|−|BF2|=2a，所以|AF2|+|BF2|= |AF1|+|BF1|>|AB|，由此利用椭圆定义得到F1，F2在以A、B为焦点的椭圆上．本题考查双曲线简单性质的应用，是中档题，解题时要注意双曲线定义和椭圆定义的灵活运用．3.答案：B解析：解：∵f′(x)=2f′(2)+2x，∴f′(2)=2f′(2)+4，解得f′(2)=−4，∴f′(x)=−8+2x，∴f′(1)=−8+2=−6．故选：B．将f(x)求导，得出f′(x)=2f′(2)+2x，然后即可求出f′(2)的值，进而得出f′(x)的解析式，从而可得出f′(1)的值．本题考查了基本初等函数的求导公式，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于基础题．4.答案：C解析：本题考查点(x,y)关于x轴的对称点为(x,−y)；关于y轴的对称点为(−x,y)；关于原点的对称点为(−x,−y)；关于y=−x的对称点为(−y,−x)，属于基础题．根据对称的性质，依次将方程中的x用−x代替；将y用−y代替；将x用−y同时将y用−x代替；将x 用−x同时y用−y代替看方程是否与原方程相同．解：将方程中的x换为−x，方程变为−xy2−x2y=−2与原方程不同，故不关于y轴对称;将方程中的y换为−y，方程变为xy2+x2y=−2与原方程不同，故不关于x轴对称;将方程中的x换为−y，y换为−x，方程变为−yx2+y2x=−2与原方程相同，故曲线关于直线y=−x 对称;将方程中的x换为−x，y换为−y，方程变为−xy2+x2y=−2与原方程不同，故曲线不关于原点对称．故选：C．5.答案：A解析：解：设(a,(32)a )是曲线C ：y =(32)x 上一点，则直线OC 的斜率k =(32)a a，则k′=(ln 32⋅a−1)⋅(32)aa 2，令k′=0，则a =log 32e ，当a <log 32e 时，k′<0，当a >log 32e 时，k′>0，故a =log 32e 时，k =(32)aa 取最小值值e ⋅ln 32，由e ⋅ln 32≥√3可得： ∠BOA >π3恒成立，故不存在这样的正三角形，故选：A ．设(a,(32)a )是曲线C ：y =(32)x 上一点，则直线OC 的斜率k =(32)a a，利用导数法求出k 的最值，可得答案．本题考查的知识点是直线的斜率，利用导数研究函数的最值，难度中档．6.答案：D解析：解：注意前提条件直线m ，n 均不在平面α，β内．对于①，根据线面平行的判定定理知，m//α，故①正确；对于②，如果直线m 与平面α相交，则必与β相交，而这与α//β矛盾，故m//α，故②正确；对于③，在平面α内任取一点A ，设过A ，m 的平面γ与平面α相交于直线b ， ∵n ⊥α，∴n ⊥b ，又m ⊥n ，∴m ⊥b ，∴m//α，故③正确；对于④，设α∩β=l ，在α内作m′⊥β， ∵m ⊥β，∴m//m′，∴m//α，故④正确．故选：D ．利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．7.答案：D解析：解：它的三条高分别为：12，1，25，设三角形的面积为S ，则三条高线对应的边长不妨分别为2，1，52，最大边对应的角为θ，由余弦定理可得：254=4+1−4cosθ，可得：cosθ=−516<0，可得：θ为钝角，故三角形为钝角三角形，故选：D ．设三条高线对应的边长分别为2，1，52，最大边对应的角为θ，由余弦定理可得cosθ=−516<0，得出结论．本题考查余弦定理得应用，在(0,π)上余弦值的符号，设出边长分别为2，1，52是解题的关键，考查了转化思想，属于中档题．8.答案：B解析：本题考查圆与圆锥曲线的综合，考查学生的计算能力，属于基础题．根据△OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切，可得△OFM 的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，由此可求p 的值．解：∵△OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切， ∴△OFM 的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径 ∵圆面积为9π， ∴圆的半径为3，又∵圆心在OF 的垂直平分线上，|OF|=p2，所以p2+p4=3，∴p =4故选B ．9.答案：D解析：解：因为抛物线的顶点在原点，准线方程为y=2，所以抛物线开口向下，且p=4，则抛物线的方程是x2=−8y．故选：D．根据题意确定出抛物线开口向下，且p=4，代入抛物线的标准方程即可．本题考查抛物线的标准方程，确定出抛物线开口方向是解题的关键．10.答案：A解析：解析：设AB=1，则AA1=2，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如下图所示：则D(0,0，2)，C1(0,1，0)，B(1,1，2)，C(0,1，2)，=(1,1，0)，=(0,1，−2)，=(0,1，0)，设=(x,y，z)为平面BDC1的一个法向量，则，即，取=(−2,2，1)，设CD与平面BDC1所成角为θ，则sinθ=|，故选A．11.答案：2√2−2解析：解：根据题意，点A(0,2)，B(2,2)均在圆C(x−1)2+(y−1)2=2上，如图，A、Q关于直线OP对称，则|OA|=|OQ|=2，则Q的轨迹为以(0,0)为圆心，半径r=|OA|=2且在在圆C内的圆，部的14连接OQ、QB，分析可得：当O、Q、B三点共线时，|BQ|最小，此时|BQ|=|OB|−|OQ|=2√2−2，即线段BQ的长度的最小值是2√2−2，故答案为：2√2−2．根据题意，分析可得Q的轨迹为以(0,0)为圆心，半径r=|OA|=2且在在圆C内部的14的圆，连接OQ、QB，据此分析可得当O、Q、B三点共线时，|BQ|最小，计算可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，关键是分析Q的轨迹，属于基础题．12.答案：13．解析：略13.答案：1解析：解：∵椭圆的方程椭圆x24+y23=1，∴a=2，即AB+CB=4，∵△ABC顶点A(−1,0)和C(1,0)，∴AC=2，∵由正弦定理知：sinA+sinC2sinB =BC+AB2AC=44=1，故答案为：1．首先根据所给的椭圆的方程写出椭圆的长轴的长，两个焦点之间的距离，根据正弦定理得到角的正弦值之比就等于边长之比，把边长代入，得到比值．本题考查椭圆的性质和正弦定理的应用，解题的关键是把角的正弦值之比写成边长之比，进而和椭圆的参数结合起来．14.答案：4e解析：解：令f(x)=|ln|x−1||，g(x)=m(x−1)2，则f(x)与g(x)的图象均关于直线x=1对称，∴x1+x2+x3+x4=4，作出f(x)与g(x)的函数图象如图所示：∵方程|ln|x −2||=m(x −2)2有且仅有四个解， ∴y =m(x −1)2与y =ln(x −1)相切，设切点为(x 0,y 0)，则{y 0=m(x 0−1)2y 0=ln(x 0−1)2m(x 0−1)=1x 0−1，解得x 0=√e +1，m =1e ．∴m(x 1+x 2+x 3+x 4)=4e ．故答案为：4e ．作出两侧函数的图象，根据对称性可知x 1+x 2+x 3+x 4=4，根据图象有4个交点可知两图象相切，利用导数的几何意义求出m 即可计算答案．本题考查了方程的根与函数图象的关系，导数的几何意义，属于中档题．15.答案：√131解析：解：复数z 满足i(z +1)=−3+2i(i 为虚数单位)，则z +1=−3+2i i， ∴|z +1|=|−3+2i||i|=√13，z +1=2+3i ， z =1+3i ， ∴z 的实部是1．故答案为：√13，1．由题意得出z +1，再求它的模长，求出z ，再求它的实部．本题考查了复数的定义与运算问题，是基础题．16.答案：(2,0)y =±x解析：【试题解析】解：点F为抛物线y2=8x的焦点，2p=8，即p=4，由焦点坐标(p2,0)，即有F(2,0)，双曲线x2a2−y22=1(a>0)的一个焦点与点F(2,0)重合，可得a2+2=4，可得a=√2，即有双曲线的方程为x2−y2=2，可得渐近线方程为y=±x．故答案为：(2,0)，y=±x．由开口向右的抛物线的焦点坐标可得所求焦点F；由题意可得a=√2，由焦点在x轴上的渐近线方程可得所求方程．本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．17.答案：√32√2解析：解：如图所示，空间直角坐标系O−xyz中，A(2,0，0)，B(0,2，0)，C(0,0，0)，P(0,1，√3)，在平面yOz中过点P作PM⊥z轴，垂足为M，则△ACM是三棱锥P−ABC在坐标平面xOz上的正投影图形，其面积为S△ACM=12×2×√3=√3；三棱锥P−ABC中，AC=BC=2，AB=2√2，PB=PC=√12+(√3)2=2，PA=√PC2+AC2=2√2；∴最长棱的棱长为AB=AP=2√2．故答案为：√3；2√2．根据题意画出图形，利用空间直角坐标系求出三棱锥P−ABC在坐标平面xOz上的正投影图形的面积；计算三棱锥P−ABC中各棱长，即可得出结论．本题考查了空间直角坐标系的应用问题，是基础题．18.答案：(Ⅰ)解：(x1+x2+x3)(1x1+1x2+1x3)≥9，(x1+x2+x3+x4)(1x1+1x2+1x3+1x4)≥16(Ⅱ)证明：猜测满足的不等式为(x1+x2+⋯+x n)(1x1+1x2+⋯+1x n)≥n2(n≥2)，证明如下：(1)当n=1时，x1⋅1x1≥1，猜想成立；当n=2时，(x1+x2)(1x1+1x2)≥4，猜想成立；(2)假设当n=k时，猜想成立，即(x1+x2+⋯+x k)(1x1+1x2+⋯+1x k)≥k2，那么n=k+1时，(x1+x2+⋯+x k+1)(1x1+1x2+⋯+1x k+1x k+1)=(x1+x2+⋯+x k)(1x1+1x2+⋯+1 x k )+x k+1(1x1+1x2+⋯+1x k)+(x1+x2+⋯+x k)1x k+1+1≥k2+2√(x1+x2+⋯+x k)(1x1+1x2+⋯+1x k)+1=k2+2k+1=(k+1)2则当n=k+1时猜想也成立，根据(1)(2)可得猜想对任意的n∈N，n≥1都成立．解析：(Ⅰ)根据不等式：(x1+x2)(1x1+1x2)≥4，猜想(x1+x2+x3)(1x1+1x2+1x3)≥9，(x1+x2+x3+x4)(1x1+1x2+1x3+1x4)≥16．(Ⅱ)猜测(x1+x2+⋯+x n)(1x1+1x2+⋯+1x n)≥n2(n≥2)，再用数学归纳法证明．本题以已知不等式为载体，考查类比推理，考查数学归纳法，关键是第二步，同时应注意利用归纳假设．19.答案：解：(Ⅰ)由已知得四边形ABOC的面积S ABOC=2S△AOB=|OB|×|AB|=2√|OA|2−22≥2√d2−4．其中d为圆心O到直线l的距离=√22+32=√13．∴四边形ABOC的面积最小值为2√(√13)2−4=6(Ⅱ)设圆的圆心为C′(a,b)，∵圆C′过A(0,2)，∴圆C′的方程为(x−a)2+(y−b)2=a2+(b−2)2令y=0得：x2−2ax+4b−4=0，设圆与x轴的两交点分别为(x1,0)，(x2,0)，不妨设x 1>x 2，由可得x 1=2a+√4a 2−16b+162,x 2=2a−√4a 2−16b+162，∴x 1−x 2=√4a 2−16b +16．又∵点C′(a,b)在抛物线x 2=4y 上，∴a 2=4b ， ∴x 1−x 2=√16=4，即|HG|=4． ∴当C′运动时，弦长|HG|为定值4．(Ⅲ)由题知直线PD 和直线PE 的斜率都存在，且都不为0，不妨设直线PD 的方程y =k(x +2)，则直线PE 的方程为y =−2k (x +2)，联立方程{y =k(x +2)x 2+y 2=4，得(x +2)[(1+k 2)x +2k 2−2]=0，得x =−2或x =2−2k 21+k 2．∴D(2−2k 21+k 2,4k 1+k2)，同理，E(2k 2−84+k 2,−8k 4+k 2)可得k DE =3k2−k 2，直线DE 方程为y −4k1+k 2=3k2−k 2(x −2−2k 21+k 2)．整理可得y =3k2−k 2(x −23) ∴直线DE 是否过定点M(−23,0)，解析：(Ⅰ)设d 为圆心O 到直线l 的距离，由已知得四边形ABOC 的面积S ABOC =2S △AOB =|OB|×|AB|=2√|OA|2−22≥2√d 2−4，即可得四边形ABOC 的面积最小值 (Ⅱ)设圆的圆心为C′(a,b)，可得圆C′的方程为(x −a)2+(y −b)2=a 2+(b −2)2，令y =0得：x 2−2ax +4b −4=0，由|HG|=|x 1−x 2|求解．(Ⅲ)由题知直线PD 和直线PE 的斜率都存在，且都不为0，不妨设直线PD 的方程y =k(x +2)，则直线PE 的方程为y =−2k (x +2)，联立方程可得D(2−2k 21+k 2,4k1+k 2)，E(2k 2−84+k 2,−8k 4+k 2)，即可得可得k DE =3k2−k 2，直线DE 方程为y −4k1+k 2=3k2−k 2(x −2−2k 21+k 2).整理可得y =3k2−k 2(x −23)可得直线DE 过定点(−23, 0)．本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，设而不求的方法的应用，属于中档题．20.答案：(Ⅰ)证明：因为平面ABCD 为正方形， ∴AD ⊥DC ，又AD ⊥DE ，且DE ∩DC =D ， ∴AD ⊥平面EDC ，又AD ⊆平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面EDC ．(Ⅱ)解：连接BE ，由题意知V C−BDBF =32V C−BDE =32V E−BCD ．取CD 的中点O ，连接EO ，由ED =EC =√5，得EO ⊥DC ，由(Ⅰ)可知，EO ⊥平面ABCD ，∵CD =2，∴EO =2，∴V E−BCD =13S △BCD ⋅EO =13×12×2×2×2=43， ∴V C−BDEF =32×43=2．解析：(Ⅰ)证明AD ⊥DC ，AD ⊥DE ，推出AD ⊥平面EDC ，然后证明平面ABCD ⊥平面EDC ． (Ⅱ)连接BE ，通过V C−BDBF =32V C−BDE =32V E−BCD .转化求解体积即可．本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，几何体的体积的求法，考查计算能力．21.答案：解：(1)证明：可设直线l 的方程为x =my +t ，代入抛物线y 2=x ，可得y 2−my −t =0， A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，可得y 1+y 2=m ，y 1y 2=−t ，由y 1y 2=−1，可得t =1，由x 1x 2=(y 1y 2)2=1，可得x 1x 2+y 1y 2=1−1=0，可得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即OA ⊥OB ； (2)由直线x =my +1，令y =0，可得x =1，即M 的横坐标为1； (3)对y 2=x ，两边对x 求导，可得2yy′=1，即y′=12y ，可得A 处的切线的斜率为12y 1，切线方程为y −y 1=12y 1(x −x 1)，由y 12=x 1，y 22=x 2，可得y 1y =12(x +x 1)，①同理可得B 处的切线方程为y 2y =12(x +x 2)，②由①②可得y =x 1−x22(y 1−y 2)=y 1+y 22=m2，x =2y 1y −x 1=my 1−y 12=(y 1+y 2)y 1−y 12=y 1y 2=−1，可得Q(−1,m2)，则k QM ⋅k AB =m 2−0−1−1⋅y 1−y 2x 1−x 2=−m 4⋅1y 1+y 2=−m 4⋅1m=−14．解析：(1)可设直线l 的方程为x =my +t ，联立抛物线方程，运用韦达定理，结合条件可得t =1，再由斜率数量积的垂直性质，即可得证；(2)可令直线x =my +1中的y =0，求得M 的横坐标；(3)求得抛物线上的点处的切线的斜率和方程，求得交点Q 的坐标，再由直线的斜率公式可得所求值．本题考查抛物线的方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理和直线的斜率公式，以及抛物线的切线方程的求法和运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．22.答案：解：(Ⅰ)由条件得f′(x)=a x +2bx 2．因为f(x)在x =1处有极值1，得{f(1)=1f′(1)=0，即{−2b =1a +2b =0解得a =1，b =−12，经验证满足题意．(Ⅱ)由(Ⅰ)可得f(x)=lnx +1x ，定义域是(0,+∞)，f′(x)=1x −1x 2=x −1x2 由f′(x)>0，得x >1；f′(x)<0，得0<x <1．所以函数f(x)的单调减区间是(0,1)，单调增区间是(1,+∞)．解析：本题考查函数的导数的应用，切线方程的应用，函数的极值以及函数的单调区间的求法，考查计算能力．(Ⅰ)求出f′(x)=ax +2bx .利用f(x)在x =1处有极值1，列出方程组，即可求解a ，b 的值． (Ⅱ)利用函数的解析式，求出f(x)=lnx +1x ，定义域，求出f′(x)=1x −1x 2=x−1x 2，利用导函数的符号，求解函数的单调区间即可．。

2019-2020学年浙江省杭州高级中学高二(下)期中数学试卷(含答案解析)

2019-2020学年浙江省杭州高级中学高二(下)期中数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共30.0分）1. 已知全集U ={1,2，3，4，5，6，7，8，9，10}，集合A ={2,3，5，9}，集合B ={4,5，6，7，9}，则(∁U A)∩(∁U B)=( )A. {5,9}B. {2,3}C. {1,8，10}D. {4,6，7}2.题中，真命题的有( )个A. 1B. 2C. 3D. 43. 命题甲：f(x)是R 上的单调递增函数；命题乙：∃x 1<x 2，f(x 1)<f(x 2).则甲是乙的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分且必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知实数x ，y 满足{x +y ≤2x −y ≤20≤x ≤1则z =2x +4y 的最大值是( )A. −4B. 2C. 6D. 85. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，现给出以下结论：(1)此函数一定有零点；(2)此函数可能没有零点；(3)此函数有奇数个零点；(4)此函数有偶数个零点；以上结论正确的个数是( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个6. 已知函数f(x)满足f(−x)=f(x)，当x ≥0时，f(x)=x 2−1e x，则f(x)的图象大致是( )A.B.C.D.7. 在△ABC 中，a =1，b =3，C =60°，则c =( )A. √7B. 7C. √13D. 138.若函数在上可导，下列说法正确的是()A. 若，对任意恒成立，则有B. 若，对任意恒成立，则有C. 若，对任意恒成立，则有D. 若，对任意恒成立，则有9.如图所示，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=1.若二面角C−AB−C1的大小为60°，则点C到平面C1AB的距离为()．A.B.C.D. 110.双曲线C：x24−y2=1的两条渐近线夹角(锐角)为θ，则tanθ=()A. 815B. 158C. 34D. 43二、单空题（本大题共3小题，共9.0分）11.已知函数f(x)=lnx+ax ，x∈(0,3]，其图象上任意一点P(x0,y0)处的切线的斜率k≤12恒成立，则实数a的取值范围是______．12.已知抛物线y2=2px(p>0)，F为其焦点，l为其准线，过F作一条直线交抛物线于A，B两点，A′，B′分别为A，B在l上的射线，M为A′B′的中点，给出下列命题：①A′F⊥B′F；②AM⊥BM；③A′F//BM；④A′F与AM的交点在y轴上；⑤AB′与A′B交于原点．其中真命题的是______.(写出所有真命题的序号)13. 已知函数f(x)={|2x +1|,x ≤1log 2(x −1),x >1，若f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)(x 1,x 2,x 3互不相等)，则实数x 1+x 2+x 3的取值范围为______．三、多空题（本大题共4小题，共12.0分）14. 已知复数z =i 6+1a+i (其中a ∈R ，i 是虚数单位)的实部为−1，则a = ，|z|= ． 15. 双曲线x 24−y 212=1的焦距是 (1) ，渐近线方程是 (2) ．16. 若某多面体的三视图如图所示，则此多面体的体积为，外接球的表面积为．17. 设函数f(x)={log 3x,x ∈(0,+∞)x 2+2,x ∈(−∞,0]，则f(f(−1))= (1) ，不等式f(x)≤3的解集是 (2) ．四、解答题（本大题共5小题，共60.0分） 18. 已知函数f(x)=√3sin2x +2cos 2x.(Ⅰ)当x ∈[0,π2]时，求函数f(x)的值域；(Ⅱ)设a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，f(c)=3，c =1，ab =2√3，求a ，b 的值．19. 已知函数f(x)=x +4x (其中常数a >0)．(Ⅰ)求证：f(x)在(0,2]上是减函数，在[2,+∞)上是增函数； (Ⅱ)求函数f(x)在区间[2,4]上的值域．20.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示．(Ⅰ)求f(x)的解析式；(Ⅱ)设锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若f(A)=√2，a=2，求△ABC面积的最大值．21.已知椭圆的焦点坐标为F1(−1,0)，F2(1,0)，过F2垂直于长轴的直线交椭圆于A、B两点，且|AB|=3．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)过F1点作相互垂直的直线l1，l2，分别交椭圆于P1，P2，P3，P4试探究1|P1P2|+1|P3P4|是否为定值？并求当四边形P1P2P3P4的面积S最小时，直线l1，l2的方程．22. 已知函数f(x)={−e 2x +bx +c,x ≤1a(x 2lnx −x +1)+1,x ≥1(Ⅰ)若0<b <2e 2，试讨论函数f(x)在区间(−∞,1]上的单调性； (Ⅱ)若函数f(x)在x =0处取得极值1，求f(x)在区间[−2,2]上的最大值．【答案与解析】1.答案：C解析：解：∵全集U={1,2，3，4，5，6，7，8，9，10}，集合A={2,3，5，9}，集合B={4,5，6，7，9}，∴∁U A={1,2，4，6，7，8，10}，∁U B={1,2，3，8，10}，则(∁U A)∩(∁U B)={1,8，10}．故选：C．根据全集U，以及A与B，求出A与B的补集，找出两补集的交集即可．此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2.答案：C解析：此题考查四种命题及其真假的判断．故选C．3.答案：A解析：解：根据函数单调性的定义可知，若f(x)是R上的单调递增函数，则∀x1<x2，f(x1)<f(x2)成立，∴命题乙成立．若：∃x1<x2，f(x1)<f(x2)，则不满足函数单调性定义的任意性，∴命题甲不成立．∴甲是乙成立的充分不必要条件．故选：A．根据函数单调性的定义和性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用函数单调性的定义和性质是解决本题的关键，比较基础．4.答案：D解析：解：由已知不等式组得到平面区域如图：z=2x+4y变形为y=−12x+z4，此直线经过图中D(0,2)时，在y轴截距最大即z最大，所以z的最大值为2×0+4×2=8；故选D．先作出不等式组对应的区域，由图形判断出最优解，代入目标函数计算出最大值即可．本题考查简单线性规划，解题的重点是作出正确的约束条件对应的区域，根据目标函数的形式及图象作出正确判断找出最优解．5.答案：B解析：解：函数f(x)是定义在R上的奇函数时，此函数一定有零点，因为f(x)在R上有定义，所以f(0)=0，0是f(x)的零点；所以(1)正确，(2)错误；根据奇函数的对称性知，函数f(x)有零点，则零点关于原点对称，再加上原点处，共有奇数个零点；所以(3)正确，(4)错误．综上知，正确的结论是(1)(3)，共2个．故选：B．根据奇函数的定义与性质，对题目中的命题判断正误即可．本题考查了函数的奇偶性与命题真假的判断问题，是基础题．6.答案：C解析：解：根据题意，函数f(x)满足f(−x)=f(x)，即函数f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，排除B，当x≥0时，f(x)=x2−1，则区间(0,1)上，f(x)<0，在区间(1,+∞)上，f(x)>0，排除D，e x当x→+∞时，f(x)→0，排除A，故选：C．根据题意，由f(x)满足f(−x)=f(x)可得函数f(x)为偶函数，排除B，再分析f(x)>0与f(x)<0的区间，排除D，又由当x→+∞时，f(x)→0，排除A，即可得答案．本题考查函数的图象分析，涉及函数奇偶性的性质，属于基础题．7.答案：A解析：此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，属于基础题．利用余弦定理列出关系式，将a，b及cos C的值代入即可求出c的值．解：∵在△ABC中，a=1，b=3，C=60°，∴由余弦定理得：c2=a2+b2−2abcosC=1+9−3=7，则c=√7．故选A．8.答案：D解析：构造函数则函数为单调递增，A错误构造函数，则函数单调递减B错误构造函数则函数为单调递增，，C错误则函数为单调递减，D 正确9.答案：A解析：取AB 中点D ，连接CD ，C 1D ，则∠CDC 1是二面角C −AB −C 1的平面角．因为AB =1，所以CD =，所以在Rt △DCC 1中，CC 1=CD ·tan 60°=×=，C 1D ==．设点C 到平面C 1AB 的距离为h ，由VC −C 1AB =VC 1−ABC ，得××1×ℎ=××1××，解得ℎ=.故选A10.答案：D解析：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查渐近线方程的运用，运用两直线的夹角公式计算是解题的关键，属于基础题．求出双曲线的渐近线方程，求得斜率，再由两直线的夹角公式，计算即可得到．解：双曲线C ：x 24−y 2=1的两条渐近线分别为y =±12x ，则斜率分别为−12，12．由两直线的夹角公式可得， tanθ=|12−(−12)1+12×(−12)|=43．故选D ．11.答案：a≥12解析：解：由f(x)=lnx+ax ，(a>0)，得到f′(x)=x−ax2∴f′(x0)=x0−ax02，且以y=f(x)(x∈(0,3])图象上任意一点P(x0,y0)为切点的切线的斜率k≤12恒成立则f′(x0)=x0−ax02≤12在(0,3]上恒成立，即a≥x0−12x02在(0,3]上恒成立，令g(x)=x0−12x02(0<x≤3)，可知g(x)max=g(1)=12，∴a≥12，故答案为：a≥12．切线的斜率即为函数在切点处的导数，让f′(x0)=x0−ax02≤12恒成立即可，再由不等式恒成立时所取的条件得到实数a范围．本题考查了导数的几何意义，函数在图象上某点处的切线的斜率就是在该点处的导数值，考查了利用分离变量法求参数的取值范围，此题是中档题．12.答案：①②③④⑤解析：①由于A，B在抛物线上，根据抛物线的定义可知A′F=AF，B′F=BF，从而由相等的角，由此可判断A′F⊥B′F；②取AB中点C，利用中位线即抛物线的定义可得CM=12(AF+BF)=12AB，从而AM⊥BM；③由②知，AM平分∠A′AF，从而可得A′F⊥AM，根据AM⊥BM，利用垂直于同一直线的两条直线平行，可得结论；④取AB⊥x轴，则四边形AFMA′为矩形，则可得结论；⑤取AB⊥x轴，则四边形ABB′A′为矩形，则可得结论．本题以抛物线为载体，考查抛物线的性质，解题的关键是合理运用抛物线的定义．解析：解：①由于A，B在抛物线上，根据抛物线的定义可知A′A=AF，B′B=BF，因为A′、B′分别为A、B在l上的射影，所以A′F⊥B′F；②取AB中点C，则CM=12(AF+BF)=12AB，∴AM⊥BM；③由②知，AM平分∠A′AF，∴A′F⊥AM，∵AM⊥BM，∴A′F//BM；④取AB⊥x轴，则四边形AFMA′为矩形，则可知A′F与AM的交点在y轴上；⑤取AB⊥x轴，则四边形ABB′A′为矩形，则可知AB′与A′B交于原点故答案为①②③④⑤．13.答案：(1,8)解析：本题考查分段函数的图象和运用，主要考查函数的对称性和对数的运算性质，正确画图和通过图象观察是解题的关键．作出函数f(x)的图象，令t=f(x1)=f(x2)=f(x3)，设x1<x2<x3，由图象的对称性可得x1+x2=−1，由条件可得2<x3<9，即可得到答案．解：令t=f(x1)=f(x2)=f(x3)，作出函数f(x)图象，虚线为y=t，x=1时，f(1)=3，已知f(x1)=f(x2)=f(x3)，设x1<x2<x3，则有x1+x2=−1，0<f(x3)<3．由y=3，即有log2(x−1)=3，x=9，即x3<9，y=0时，有log2(x−1)=0，解得x=2，即x3>2，即2<x3<9，可得x1+x2+x3的取值范围为(1,8)，故答案为：(1,8)．14.答案：0√2解析：本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．直接利用复数代数形式的乘除运算化简，即可求解．解：因为z=i6+1a+i =−1+a−ia2+1的实部为−1，所以−1+aa2+1=−1，解可得a=0，则z=−1−i，|z|=√2．故答案为：0，√2．15.答案：8y=±√3x解析：解：双曲线x24−y212=1的a=2，b=2√3，c=√4+12=4，可得2c=8，渐近线方程为y=±√3x.故答案为：8，y=±√3x.求得双曲线的a，b，c，可得双曲线的焦距2c，渐近线方程y=±bax.，本题考查双曲线的方程和性质，主要是焦距和渐近线方程，考查方程思想和运算能力，属于基础题．16.答案：563π解析：解：由三视图可知：该几何体是正方体切去一个角余下的部分，其主观图如下：∴多面体的体积为1−13×12×1×1×1=56．此多面体外接球的直径是此正方体的对角线√3．因此其球的表面积是4π⋅(√32)2=3π．故答案为：56，3π．由三视图可知：该几何体是正方体切去一个角余下的部分．本题考查了正方体的三视图、球的表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．17.答案：1[−1,27]解析：解：∵函数f(x)={log 3x,x ∈(0,+∞)x 2+2,x ∈(−∞,0], ∴f(−1)=(−1)2+2=3， f(f(−1))=f(3)=log 33=1，当x ∈(−∞,0]时，f(x)=x 2+2≤3，解得−1≤x ≤0；当x ∈(0,+∞)时，f(x)=log 3x ≤3，解得0<x ≤27，综上不等式f(x)≤3的解集是[−1,27]．故答案为：1，[−1,27]．推导出f(−1)=(−1)2+2=3，从而f(f(−1))=f(3)，由此能求出结果；当x ∈(−∞,0]时，f(x)=x 2+2≤3，当x ∈(0,+∞)时，f(x)=log 3x ≤3，由此能求出不等式f(x)≤3的解集．本题考查函数值、不等式的解集的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.答案：解：(Ⅰ)f(x)=√3sin2x +2cos 2x =√3sin2x +cos2x +1(2分)=2sin(2x +π6)+1(4分)∵x ∈[0,π2]，∴2x +π6∈[π6,7π6]，∴sin(2x +π6)∈[−12,1]，(6分)∴函数f(x)的值域为[0,3]. (7分) (Ⅱ)∵f(C)=3，∴2sin(2C +π6)+1=3，即sin(2C +π6)=1．∵0<C <π， ∴2C +π6∈[π6,13π6]，∴2C +π6=π2， ∴C =π6. (10分) 又c 2=a 2+b 2−2abcosC ，c =1，ab =2√3，cosC =√32，∴a 2+b 2=7.(12分)由{a 2+b 2=7ab =2√3，得 {a =2b =√3或 {a =√3b =2. (14分)解析：(Ⅰ)利用三角函数间的关系将f(x)化简为f(x)=2sin(2x +π6)+1，由x ∈[0,π2]；可求得2x +π6∈[π6,7π6]，从而可求得函数f(x)的值域．(Ⅱ)由f(C)=3可求得C ，利用余弦定理可求得a 2+b 2=7，通过解方程可求得a 、b 的值．本题考查三角函数间的关系，考查正弦函数的性质，考查余弦定理与解方程得能力，属于难题．19.答案：证明：(Ⅰ)设x 1>x 2≥2，所以x 1x 2>4，则：f(x 1)−f(x 2)=x 1+4x 1−x 2−4x 2=x 1−x 2+4x 1−4x 2=x 1−x 2−4(x 1−x 2)x 1x 2=(x 1−x 2)(x 1x 2−4)x 1x 2>所以f(x)在[2,+∞)为单调增函数．同理f(x)在(0,2]上是减函数，(Ⅱ)由(Ⅰ)知，函数f(x)在区间[2,4]上为增函数， f(2)=2+2=4，f(4)=4+1=5，所以：值域为[4,5]．解析：(Ⅰ)设x 1>x 2≥2，可得：x 1x 2>4，由于f(x 1)−f(x 2)>0，即可证明f(x)在[2,+∞)为单调增函数．同理可证f(x)在(0,2]上是减函数，(Ⅱ)函数f(x)在区间[2,4]上为增函数，计算f(2)，f(4)的值即可得解值域．本题的考点是函数单调性的判断与证明及函数的值域的求法，本题采取了定义法证明，考查了转化思想，属于基础题．20.答案：解：(Ⅰ)∵14T =14⋅2πω=π8−(−π8)=π4，∴T=2πω=π，解得ω=2．根据五点法作图可得2×π8+φ=0，求得φ=−π4，∴函数f(x)=2sin(2x−π4).(Ⅱ)设锐角△ABC中，∵f(A)=2sin(2A−π4)=√2，∴sin(2A−π4)=√22，∴A=π4．∵a=2，由余弦定理可得a2=4=b2+c2−2bc⋅cosπ4≥(2−√2)bc，∴bc≤2−2=4+2√2，当且仅当b=c时，bc最大为4+2√2，故△ABC面积12bc⋅sinA的最大值为(2+√2)×√22=√2+1．解析：本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，余弦定理、基本不等式的应用，属于中档题．(Ⅰ)根据周期求得ω，再根据五点法作图求得φ，从而求得函数f(x)的解析式；(Ⅱ)设锐角△ABC中，由f(A)=√2，求得sin(2A−π4)的值，可得A的值．由余弦定理并利用基本不等式可得bc≤2−√2=4+2√2，由此求得△ABC面积12bc⋅sinA的最大值．21.答案：解：(Ⅰ)由题意，设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，由焦点F2的坐标为(1,0)知a2−b2=1，①再由12a2+y2b2=1，整理得y=±b2a．∵过F2垂直于长轴的弦长|AB|=3，∴2b2a=3.②联立①、②可解得a2=4，b2=3．∴椭圆的方程为x24+y23=1.…(3分)(Ⅱ)若l1、l2中一条的斜率不存在，则另一条的斜率则为0，此时，|P1P2|=4，|P3P4|=|AB|=3，于是1|P1P2|+1|P3P4|=14+13=712.…(5分)若l 1、l 2的斜率均存在且不为0，设l 1的方程：y =k(x +1)，则l 2的方程：y =−1k (x +1)，联立方程{x 24+y 23=1y =−1k (x +1)消去x 得：(3k 2+4)y 2+6ky −9=0， ∴y 1+y 2=−6k 3k 2+4,y 1y 2=−93k 2+4， ∴|P 3P 4|=√1+k 2|y 1−y 2|=√1+k 2√36k 2(3k 2+4)2+363k 2+4=12(k 2+1)3k 2+4．同理可得：|P 1P 2|=12(k 2+1)4k 2+3，∴1|P 1P 2|+1|P 3P 4|=4k 2+312(k 2+1)+3k 2+412(k 2+1)=712．∴综上知1|P 1P 2|+1|P 3P 4|=712(定值).…(9分)∵1|P 1P 2|+1|P 3P 4|=712≥2√1|P 1P 2||P 3P 4|，∴|P 1P 2||P 3P 4|≥(247)2=57649， ∴S max =12|P 1P 2||P 3P 4|≥28849．当且仅当|P 1P 2|=|P 3P 4|，即12(k 2+1)4k 2+3=12(k 2+1)3k 2+4时，S 最小，此时解得k =±1，∴四边形P 1P 3P 2P 4的面积S 最小时， l 1、l 2的直线方程：y =±(x +1).…(13分)解析：(Ⅰ)设椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，由已知条件推导出a 2−b 2=1，2b 2a=3.由此能求出椭圆的方程．(Ⅱ)若l 1、l 2中一条的斜率不存在，则另一条的斜率则为0，1|P 1P 2|+1|P 3P 4|=712.若l 1、l 2的斜率均存在且不为0，设l 1的方程：y =k(x +1)，则l 2的方程：y =−1k (x +1)，联立方程{x 24+y 23=1y =−1k(x +1)得：(3k 2+4)y 2+6ky −9=0，由韦达定理求出|P 3P 4|=12(k 2+1)3k 2+4.同理可得：|P 1P 2|=12(k 2+1)4k 2+3，由此能求出四边形P 1P 3P 2P 4的面积S 最小时，l 1、l 2的直线方程．本题考查椭圆方程的求法，考查四边形面积最小时直线方程的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想和函数与方程思想的合理运用．22.答案：解：(Ⅰ)当x ≤1时，f′(x)=−2e 2x +b ，易知函数f′(x)为(−∞,1]上的减函数，令f′(x)=0得导函数有唯一零点x =12ln b2，因为0<b <2e 2，因此x =12ln b2<1，故导数值在(−∞,12ln b2)为正，在(12ln b 2,1]为负，所以函数f(x)在(−∞,12ln b2)为增函数，在(12ln b2,1]为减函数； (Ⅱ)由题意当x =0时，f(0)=c −1=1， ∴c =2，当x <1时，f′(x)=−2e 2x +b ，依题意得f′(0)=b −2=0， ∴b =2，经检验b =2，c =2符合条件，因此f(x)={−e 2x +2x +2,x ≤1a(x 2lnx −x +1)+1,x ≥1当−2≤x ≤1时，f(x)=−e 2x +2x +2，f′(x)=−2e 2x +2，令f′(x)=0得x =0当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：由上表可知f(x)在[−2,1]上的最大值为1．当1<x ≤2时，f(x)=a(x 2lnx −x +1)+1． f′(x)=a(2xlnx +x −1)，令g(x)=2xlnx +x −1，当1<x ≤2时，显然g(x)>0恒成立，当a <0时，f′(x)=a(2xlnx +x −1)<0， f(x)在(1,2]单调递减，所以f(x)<f(1)=1恒成立．此时函数在[−2,2]上的最大值为1；当a =0时，在(1,2]上f(x)=1，当a >0时，在(1,2]上f′(x)=a(2xlnx +x −1)>0 所以在(1,2]上，函数f(x)为单调递增函数． ∴f(x)在(1,2]最大值为a(4ln2−1)+1，∵a(4ln2−1)+1>1，故函数f(x)在[−2,2]上最大值为a(4ln2−1)+1．综上：当a≤0时，f(x)在[−2,2]上的最大值为1；当a>0时，f(x)在[−2,2]最大值为a(4ln2−1)+1．解析：(Ⅰ)当x≤1时，f′(x)=−2e2x+b，令f′(x)=0得导函数有唯一零点x=12ln b2，讨论各区间上导函数的符号，可得函数f(x)在区间(−∞,1]上的单调性；(Ⅱ)根据函数f(x)在x=0处取得极值1，可求出b，c的值，对a进行分类讨论，可得a取不同值时，f(x)在区间[−2,2]上的最大值．本题考查的知识点是分段函数的应用，导数法确定函数的单调性和最值，是分段函数与导数的综合应用，难度较大，属于难题．。

2020年浙江省杭州高级中学高二(下)期中数学试卷

期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.设全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，2}，B={2，3，4}，则A∩（∁U B）=（）A. {1，2，5，6}B. {1}C. {2}D. {1，2，3，4}2.与命题“若a∈M，则b∉M”的逆否命题是（）A. 若a∉M，则b∉MB. 若b∈M，则a∉MC. 若a∉M，则b∈MD. 若b∉M，则a∈M3.已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4.若变量x，y满足约束条件，且z=3x+y的最大值为（）A. 5B. 6C. 7D. 85.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x（x+1），那么f（-1）等于（）A. -2B. -1C. 0D. 26.函数y=x ln|x|的大致图象是（）A. B.C. D.7.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2-b2=bc，sin C=sin B，则A=（）.A. 30°B. 60°C. 90°D. 120°8.已知函数，若对任意两个不相等的正数x1、x2，都有恒成立，则a的取值范围为（）A. [2，+∞）B. （4，+∞）C. （-∞，4]D. （-∞，4）9.如图，在底面为正三角形的棱台ABC-A1B1C1中，记锐二面角A1-AB-C的大小为α，锐二面角B1-BC-A的大小为β，锐二面角C1-AC-B的大小为γ，若α＞β＞γ，则（）A.B.C.D.10.已知椭圆与双曲线有相同的左、右焦点F1，F2，若点P是C1与C2在第一象限内的交点，且|F1F2|=4|PF2|，设C1与C2的离心率分别为e1，e2，则e2-e1的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共7小题，共21.0分）11.复数（i为虚数单位）的共轭复数=______，|z|=______．12.曲线的离心率为______，渐近线为______．13.已知某几何体的三视图如图，则这个几何体的体积是______，表面积是______．14.已知函数，则f（f（ln2））=______，不等式f（3-x2）＞f（2x）的解集为______．15.设曲线y=x n+1（n∈N*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x n，则x1•x2•…•x2019的值为______．16.抛物线y2=8x的焦点为F，设A（x1，y1）、B（x2，y2）是抛物线上的两个动点，若，则∠AFB的最大值为______．17.已知函数，则函数y=f（g（x））-a的零点最多有______个．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）18.已知函数．（1）求函f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位后得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在区间上的值域．19.已知函数f（x）=ax2-4ax+1+b（a＞0）的定义域为[2，3]，值域为[1，4]；设g（x）=．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若不等式g（2x）-k2x≥0在x∈[1，2]上恒成立，求实数k的取值范围．20.如图，已知四棱椎E-ABCD，△EAD是以AD为斜边的直角三角形，AE=2，∠DAE=60°，BC∥AD，AB=BC=CD=AD，P是ED的中点．（1）求证CP∥平面ABE；（2）若CE=，求直线CP与平面AED所成的角．21.如图，椭圆E：+=1（a＞b＞0）经过点A（0，1），且离心率为．（1）求椭圆E的方程；（2）若M点为右准线上一点，B为左顶点，连接BM交椭圆于N，求的取值范围；（3）经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点P，Q（均异于点A）证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值．22.函数．（1）若f（x）是定义域上的单调函数，求a的取值范围；（2）设分别为函数f（x）的极大值和极小值，若s=m-n，求s的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∁R B={1，5，6}；∴A∩（∁R B）={1，2}∩{1，5，6}={1}．故选：B．进行补集、交集的运算即可．考查全集、补集，及交集的概念，以及补集、交集的运算，列举法表示集合．2.【答案】B【解析】解：否定没有的条件作结论，否定命题的结论作条件，即可得到命题的逆否命题．命题“若a∈M，则b∉M”的逆否命题是：若b∈M，则a∉M．故选：B．直接利用四种命题是逆否关系写出结果即可．本题考查四种命题的逆否关系，基本知识的考查．3.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断及线面平行的判定,属于基础题.根据线面平行的判定定理，可判断充分性，根据线面、线线的位置关系可判断必要性，从而可得答案.【解答】解：∵mα，nα，∴当m∥n时，m∥α成立，即充分性成立，当m∥α时，m∥n不一定成立，m，n也可能是异面直线，即必要性不成立，则“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件.故选A.4.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．属于基础题.作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=3x+y得y=-3x+z，平移直线y=-3x+z，由图象可知当直线y=-3x+z经过点C时，直线y=-3x+z的截距最大，此时z最大．由，解得x=2，y=-1，即C（2，-1），代入目标函数z=3x+y得z=3×2-1=5．即目标函数z=3x+y的最大值为5．故选：A．5.【答案】A【解析】解：根据题意，f（1）=1×（1+1）=2，又由f（x）为奇函数，则f（-1）=-f（1）=-2；故选：A．由函数在x＞0时的解析式可得f（1）的值，又由f（x）为奇函数，结合奇函数的性质，可得f（-1）=-f（1），即可得答案．本题考查函数的奇偶性性质的应用，是基础题，要灵活应用函数奇偶性的性质．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查函数图象的作法，函数图象问题就是考查函数性质的问题．容易看出，该函数是奇函数，所以排除B项，再原函数式化简，去掉绝对值符号转化为分段函数，再从研究x＞0时，特殊的函数值符号、极值点、单调性、零点等性质进行判断．【解答】解：令f（x）=x ln|x|，易知f（-x）=-x ln|-x|=-x ln|x|=-f（x），所以该函数是奇函数，排除选项B；又x＞0时，f（x）=x lnx，容易判断，当x→+∞时，x lnx→+∞，排除D选项；令f（x）=0，得x lnx=0，所以x=1，即x＞0时，函数图象与x轴只有一个交点，所以C 选项满足题意．故选：C．7.【答案】C【解析】【分析】此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，属于一般题.已知第二个等式利用正弦定理化简用b表示出c，代入第一个等式表示出a，利用余弦定理表示出cos A，将表示出的a与c代入求出cos A的值，即可确定出A的度数．【解析】解：已知等式sin C=sin B，由正弦定理化简得：c=b，代入a2-b2=bc得：a2-b2=3b2，即a=2b，∴cos A===0，则A=90°，故选：C．8.【答案】A【解析】解：函数，定义域：（0，+∞）；若对任意两个不相等的正数：x1、x2，都有恒成立，则有：f（x1）-f（x2）＞4（x1-x2），∴f（x1）-4x1＞f（x2）-4x2，令：g（x）=f（x）-4x=ax2+a ln x-4x，有：g（x）=f（x）-4x=ax2+a ln x-4x，在（0，+∞）上单增，g′（x）=ax+-4≥0；在（0，+∞）上恒成立，也就是ax2-4x+a≥0恒成立，在（0，+∞）；即：a≥；x∈（0，+∞）；a≥（）max；x∈（0，+∞）；令h（x）=；x∈（0，+∞）；h′（x）=；函数h（x）在（0，1）上h′（x）＞0，h（x）单调递增，函数h（x）在（1，+∞）上h′（x）＜0，h（x）单调递减．h（1）max=2∴a≥（）max=2；故选：A．先确定g（x）=f（x）-4x=ax2+a ln x-4x，在（0，+∞）上单增，再利用导数，可得ax2-4x+a≥0恒成立，即可求出实数a的取值范围．本题考查函数单调性，考查导数知识的运用，确定g（x）=f（x）-4x=ax2+a ln x-4x，在（0，+∞）上单增是关键．属于难题．9.【答案】D【解析】【分析】本题考查三棱台中三条侧棱长的大小的求法，二面角，考查空间想象能力，属于中档题．利用二面角的定义，数形结合即可求出结果．【解答】解：在底面为正三角形的棱台ABC-A1B1C1中，棱台ABC-A1B1C1的侧棱延长交于P点，过P作在平面ABC上的射影H，设H到AB，BC，CA的距离分别为HC′，HA′，HB′，因为锐二面角A1-AB-C的大小为α，锐二面角B1-BC-A的大小为β，锐二面角C1-AC-B 的大小为γ，所以，∴，∵α＞β＞γ，∴tanα>tanβ>tanγ，则HB′>HA′>HC′，故H所在区域如图所示(D为的垂心)，比较AA1，BB1，CC1，即比较HA，HB，HC，由图可知HC>HA>HB，∴CC1>AA1>BB1．故选D．10.【答案】B【解析】【分析】本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，主要是离心率的范围，考查换元法和构造函数法，考查运算能力，属于中档题．运用椭圆和双曲线的定义，以及离心率公式和范围，结合换元法和对勾函数的单调性，即可得到所求范围．【解答】解：设|PF1|=m，|PF2|=n，由椭圆的定义可得m+n=2a1，由双曲线的定可得m-n=2a2，解得m=a1+a2，n=a1-a2，由|F1F2|=4|PF2|，可得n=c，即a1-a2=c，由e1=，e2=，可得-=，由0＜e1＜1，可得＞1，可得＞，即1＜e2＜2，则e2-e1=e2-=，可设2+e2=t（3＜t＜4），则==t+-4，由f（t）=t+-4在3＜t＜4递增，可得f（t）∈（，1）．故选：B．11.【答案】1-i【解析】解：∵=，∴，|z|=．故答案为：1-i；．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念及复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念及复数模的求法，是基础题．12.【答案】y=±2x【解析】解：根据题意，双曲线，其焦点在x轴上，且a=1，b=2，则c==，则双曲线的离心率e==，其渐近线方程y=±2x；故答案为：，y=±2x．根据题意，由双曲线的标准方程分析其焦点位置以及a、b的值，计算可得c的值，由离心率公式以及渐近线方程计算可得答案．本题考查双曲线的几何性质以及标准方程，属于基础题．13.【答案】，【解析】【分析】本题考查了棱锥的三视图和体积计算，属于基础题．几何体为三棱锥，底面为等腰三角形，一侧面垂直底面，画出直观图，求解体积以及表面积即可．【解答】解：由三视图可知几何体是底面是等腰直角三角形，一侧面垂直底面的三棱锥，棱锥的高为1，如图：AO=OD=1，BO=OC=，DO⊥底面ABC，所以几何体的体积V==．表面积为：故答案为：；．14.【答案】{x|-3＜x＜1}【解析】解：f（ln2）=e ln2=2，所以f（f（ln2））=f（2）=，当x＜0时，f（x）=，则f'（x）=x2-x＜0，所以f（x）在（-∞，0）上递增，则f（x）＜f（0）=0 又当x≤0时，f（x）=e x，在[0，+∞）上单调递增，则f（x）≥f（0）=0，所以f（x）在R上单调递增，所以由f（3-x2）＞f（2x），得3-x2＞2x，所以-3＜x＜1，所以不等式的解集为：{x|-3＜x＜1}．故答案为：；{x|-3＜x＜1}．判断函数f（x）在R上的单调性，然后根据单调性解不等式即可．本题考查了函数求值，和不等式的解法，属基础题．15.【答案】【解析】解：因为y=x n+1，故y′=（n+1）x n，所以x=1时，y′=n+1，则直线方程为y-1=（n+1）（x-1），令y=0，则x=1-=，故切线与x轴的交点为（，0），则x1•x2•…•x2019=×××…×=．故答案为：．先求出其导函数，把x=1代入，求出切线的斜率，进而得到切线方程，找到切线与x轴的交点的横坐标的表达式，化简即可求出结论．本题主要考查导函数在求切线方程中的应用以及函数与数列的综合问题．在利用导函数求切线方程时，应知道切线的斜率为导函数在切点处的函数．16.【答案】【解析】解：∵|AB|，|AF|+|BF|=x1+x2+4，∴|AF|+|BF|=|AB|．在△AFB中，由余弦定理得：cos∠AFB===-1=．又|AF|+|BF|=|AB|≥2，∴|AF|•|BF|≤|AB|2．∴cos∠AFB≥=-，∴∠AFB的最大值为，故答案为：．利用余弦定理，结合基本不等式，即可求出∠AFB的最大值．本题考查抛物线的定义，考查余弦定理、基本不等式的运用，属于中档题．17.【答案】6【解析】解：分别作出函数的图象（如右），可得g（x）的值域为（-∞，-3]∪[1，+∞），由y=f（g（x））-a=0，可得a=f[g（x）]，可令t=g（x），即y=f（t），当log35＜a＜2时，-7＜t＜-1，或2＜t＜3或3＜t＜4，由y=g（x）的图象，可得t=g（x）的交点个数为6个，则函数y=f（g（x））-a的零点最多6个．故答案为：6．分别作出y=f（x）和y=g（x）的图象，求得g（x）的值域，通过f（x）的图象，考虑log35＜a＜2时，f（t）=a的t的范围，再求t=g（x）的x的个数，可得所求结论．本题考查分段函数的图象和运用，考查函数方程的转化思想和数形结合思想，属于中档题．18.【答案】解：（1）f（x）=cos x（sin x+cos x）+=cos x sinx+cos2x+=cos2x+1=，∴f（x）的周期T=，由+2kπ（k∈Z），得-+kπ（k∈Z），∴f（x）的单调增区间为；（2）函数f（x）的图象向右平移个单位后，得g（x）==，∵x∈，∴2x-，∴，∴g（x）∈，∴g（x）的值域为：．【解析】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论；（2）根据y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，得到结果．19.【答案】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=ax2-4ax+1+b（a＞0）其图象对称轴为直线x=2，函数的定义域为[2，3]，值域为[1，4]，∴，解得：a=3，b=12；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f（x）=3x2-12x+13，g（x）==．若不等式g（2x）-k2x≥0在x∈[1，2]上恒成立，则k≤（）2-2（）+1在x∈[1，2]上恒成立，2x∈[2，4]，∈[，]，当=，即x=1时，（）2-2（）+1取最小值，故k≤．【解析】本题考查二次函数在闭区间上的最值，考查函数恒成立问题问题，考查数形结合与等价转化、函数与方程思想的综合应用，是中档题．（Ⅰ）根据函数f（x）=ax2-4ax+1+b（a＞0）的定义域为[2，3]，值域为[1，4]，其图象对称轴为直线x=2，且g（x）的最小值为1，最大值为4，列出方程可得实数a，b的值；（Ⅱ）若不等式g（2x）-k2x≥0在x∈[1，2]上恒成立，分离变量k，在x∈[1，2]上恒成立，进而得到实数k的取值范围．20.【答案】证明：（1）取AE中点G，连结PG，BG，∵BC∥AD，BC=AD，PG∥AD，PG=，∴BC∥PG，BC=PG，则四边形BCPG为平行四边形，则PC∥BG，∵BG⊂平面PAB，PC⊄平面PAB，∴CP∥平面ABE；解：（2）在等腰梯形ABCD中，过C作CO⊥AD，垂足为O，连接EO，PO，由已知可得OD=1，CD=2，则CO=，在△ODE中，由余弦定理求得，而CE=，∴OC2+OE2=CE2，即∠COE为直角，则OC⊥OE，由OC⊥AD，∴OC⊥平面AED，∴∠CPO为直线CP与平面AED所成的角，由OP=，∴tan，即∠CPO=60°．∴直线CP与平面AED所成的角为60°．【解析】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了空间角的求法，是中档题．（1）取AE的中点F，连结PG，BG，推导出四边形BCPG为平行四边形，CP∥BG，则CP∥平面ABE；（2）在等腰梯形ABCD中，过C作CO⊥AD，垂足为O，求解三角形证明OC⊥底面AED，可得∠CPO为直线CP与平面AED所成的角，进一步求解三角形得答案．21.【答案】（1）解：由题意知，b=1，再由a2=b2+c2，解得，继而得椭圆的方程为；（2）解：由（1）知，椭圆右准线方程为x=2，设M点横坐标为x0，则==，∵-＜x0≤，∴．∴的取值范围是[，+∞）；（3）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），x1x2≠0由题设知，直线PQ的方程为y=k（x-1）+1（k≠0），代入，化简得（1+2k2）x2-4k（k-1）x+2k（k-2）=0，则，由已知△＞0，从而直线AP与AQ的斜率之和=2k+（2-k）=2k-2（k-1）=2．即有直线AP与AQ斜率之和为2．【解析】（1）运用离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a，进而得到椭圆方程；（2）设P点横坐标为x0，则==，由-＜x0≤，可得的取值范围；（3）由题意设直线PQ的方程为y=k（x-1）+1（k≠0），代入椭圆方程+y2=1，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简计算即可得到结论．本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理求解．考查直线的斜率公式，属于中档题．22.【答案】解：（1）函数．定义域为（0，+∞），∴f′（x）=a+-=，∵函数f（x）在定义域（0，+∞）内为单调函数，∴f'（x）≤0或f'（x）≥0在（0，+∞）恒成立，①当a=0时，f′（x）=-＜0在（0，+∞）内恒成立，∴a=0满足题意；②当a＞0时，设g（x）=ax2-2x+a（x∈（0，+∞））由题意知△=4-4a2≤0∴a≤-1或a≥1又∵a＞0，∴a≥1，所以a的取值范围为：a=0或a≥1，（2）由导函数的ax2-2x+a，得△＞0得4-4a2＞0，即-1＜a＜1且＜a＜1，得＜a＜1，此时设f'（x）=0的两根为x1，x2，（x1＜x2），所以m=f（x1），n=f（x2），因为x1x2=1，所以x1＜1＜x2，由＜a＜1，且ax12-2x1+a=0，得＜x1＜1，所以s=m-n=ax1--2ln x1-（ax2--2ln x2）=ax1--2ln x1-（-ax1+2ln x1）=2（ax1--2ln x1），由ax12-2x1+a=0，得a=，代入上式得，s=4（-ln x1）=4（-ln x12），令x12=t，所以＜t＜1，g（x）=-ln x，则s=4g（t），g′（t）=＜0，所以g（x）在[，1]上单调递减，从而g（1）＜g（t）＜g（），即0＜g（t）＜，所以0＜s＜．s的取值范围是0＜s＜．【解析】（1）求出函数导数，令它大于等于0和小于等于0，其在定义域上恒成立，分类讨论a即可得到啊的范围，注意定义域；（2）设f'（x）=0的两根为x1，x2，（x1＜x2），所以m=f（x1），n=f（x2），因为x1x2=1，所以x1＜1＜x2，由＜a＜1，且ax12-2x1+a=0，得＜x1＜1，所以s=m-n=ax1--2ln x1-（ax2--2ln x2）=ax1--2ln x1-（-ax1+2ln x1）=2（ax1--2ln x1），由ax12-2x1+a=0，得a=，代入上式得，g（x）=-ln x，求导数，应用单调性，即可得到S的范围．本题考查导数的综合应用：求单调区间和求极值，考查二次方程的两根的关系，构造函数应用导数判断单调性，是一道综合题．。

浙江省杭州学军中学2020学年高二数学下学期期中试题(含解析)

杭州学军中学2020学年第二学期期中考试高二数学试卷一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.函数f (x )=cosx (sinx +1)的导数是（）．A.cos 2x +sinx C.cos 2x +cosx 【答案】B 【解析】【分析】由乘法求导法则求出函数的导数，再进行化简即可.【详解】由f (x )=cosx (sinx +1)可得：B.cos 2x -sinx D.cos 2x -cosxf '(x )=-sin x (sin x +1)+cos x ⋅cos x =cos x 2-sin 2x -sin x =cos 2x -sin x故答案选B【点睛】本题考查乘积的导数法则，熟练掌握乘积的导数法则和导数公式是解决本题的关键，属于基础题.2.若函数f (x )=x +x +mx +1是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是（）．32A. ,+∞⎪【答案】C 【解析】⎛1⎝3⎫⎭B. -∞,⎪⎛⎝1⎫3⎭ C.⎢,+∞⎪⎡1⎣3⎫⎭D. -∞,⎥3⎛⎝1⎤⎦若函数y=x +x +mx+1是R 上的单调函数，只需y′=3x +2x+m≥0恒成立，即△=4﹣12m≤0，∴m≥3221．3故选：C．3.用数学归纳法证明1-11111111n ∈N *)，则+-+L +-=++L +(2342n -12n n +1n +22n从k 到k +1时,左边所要添加的项是（）．12k +11C.-2k +1A.【答案】D 【解析】11-2k +22k +411-D.2k +12k +2B.分析：根据式子的结构特征，求出当n=k 时，等式的左边，再求出n=k+1时，等式的左边，比较可得所求．详解：当n=k 时，等式的左边为1-为1-11111+-+...+-，当n=k+1时，等式的左边2342k -12k1111111+-+...+-+-，故从“n=k 到n=k+1”，左边所要添加2342k -12k 2k +12(k +1)11-，故选D.2k +12k +2的项是点睛：本题考查用数学归纳法证明等式，注意式子的结构特征，以及从n=k 到n=k+1项的变化．4.自二面角内一点分别向两个平面引垂线，它们所成的角与二面角的大小关系是（）．A.相等补【答案】C 【解析】解：利用二面角的定义，可知二面角内一点分别向两个面引垂线，它们所成的角与二面角的平面角相等或者互补，选C5.如图：抛物线y =4x 的焦点为F ，弦AB 过F ，原点为O ，抛物线准线与x 轴交于点C ，2 B.互补C.无关D.相等或互．∠OFA =135︒，则tan ∠ACB 等于（）A.33B.22C.3 D.22【答案】D 【解析】【分析】先求出抛物线焦点F 和准线方程l ，从而得到C 点坐标，由∠OFA =135︒，可得直线AB 的方程，由AB 的方程与抛物线的方程联立消去y 得到关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系算出点A 与点B 的坐标，然后利用向量来求解.【详解】由抛物线y =4x 可得：焦点F 坐标（1，0），准线方程l 为：x =-1；2∴C 点坐标为（-1，0）；又Q 弦AB 过F ，∠OFA =135︒；∴直线AB 的斜率为1，方程为y =x -1，又Q 点A 与点B抛物线上⎧⎧⎧y =x -1⎪x 1=3+22⎪x 2=3-222∴两方程联立⎨2，得到x -6x +1=0，解得：⎨，⎨；y =4x ⎩⎪⎪⎩y 1=2+22⎩y 2=2-22故点A (3+22,2+22)，点B (3-22,2-22)；∴CA =(4+22,2+22)，CB =(4-22,2-22)∴cos ∠ACB =→→CA ⋅CB CA ⋅CB→→→→1=，由于∠ACB ∈(0,π)，3故sin∠ACB=1-cos2∠ACB=22；3∴tan∠ACB=故答案选Dsin∠ACB=22；cos∠ACB【点睛】本题考查抛物线的焦点坐标与准线方程，同时考查求根公式，最后利用向量的数量积求角的三角函数值是关键，属于中档题.6.已知点E,F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB,AA1的中点，点M,N分别是线段D1E与C1F上的点，则与平面ABCD垂直的直线MN有（）条A. 0【答案】B【解析】B. 1C. 2D.无数个试题分析：过A1F上的点作与平面ABCD的平行平面，分别与线段D1E与C1F相交与M,N，由面面平行的性质可得，MN平行平面ABCD，而这样的平面可以做无数个，故与平面ABCD平行的直线MN有无数条．考点：线面平行的判断．7.如图，矩形ABCD中，AB=3，沿对角线BD将△ABD折起，使A点在平面BCDBC=4，内的射影落在BC边上，若二面角C-AB-D的平面角的大小为θ，则sinθ的值等（）．A.34B.74 C.377D.45【答案】A 【解析】【分析】根据题意证明CD ⊥平面ABC 以及AB ⊥平面ACD 即可说明∠CAD 是二面角C -AB -D 的平面角，解∆CAD 即可得到答案.【详解】由A 点在平面BCD 内的射影落在BC 边上点O 处，故AO ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ；∴AO ⊥CD ，Q 在矩形ABCD 中，CD ⊥BC ，且AO 交BC 于点O ，\CD ^平面ABC ，又AB平面ABC ，故CD ⊥AB ，又在矩形ABCD 中，DA ⊥AB ，且CD 交DA 于D ，故AB ⊥平面ACD ；又AC ⊂平面ACD ，故AB ⊥AC ，由于CD ⊥AB ，AB ⊥AC ，平面CAB I 平面DAB =AB ，AD ⊂平面ABD ，AC ⊂平面ACB ；∴∠CAD 是二面角C -AB -D 的平面角，即θ=CAD ，在∆CAD 中，由CD ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，可知CD ⊥AC ，又矩形ABCD 中，AB =3，BC =4，故CD =AB =3，AD =BC =4，故sin θ=故答案选A【点睛】本题考查二面角的平面角及求法，线面垂直的证明以及性质，其中求出二面角的平面角是解题关键，属于中档题.CD 3=AD 48.三边长均为整数，且最大边长为11的三角形共有（）．A. 25个B. 26个C. 36个D. 37个【答案】C【解析】设三角形另外两边为X,Yx+y>11x-y<11x<11,y<11且均为整数所以x,y中有个数最大为11最小的整数为1，最大边为11x=1的时候1个x=2的时候2个x=3的时候3个x=4的时候4个x=5的时候5个x=6的时候6个x=7的时候5个x=8的时候4个x=9的时候3个x=10的时候2个x=11的时候1个所以共有1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=36．故选C。

2020年浙江省杭州地区重点中学高二(下)期中数学试卷

期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知直线l：2x+y-1=0与直线l2：ax+y=0平行，若l1∥l2，则a=（）A. -2B.C. 2D.2.已知椭圆+=1上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离为（）A. 2B. 3C. 7D. 53.函数f（x）=cos x+sin x，则=（）A. B. C. D.4.方程（x2+y2+2x）（x+y-2）=0表示的曲线是（）A. 一个圆和一条射线B. 一个圆和一条直线C. 一个圆D. 一条直线5.已知函数y=f（x）的导函数f'（x）的图象如图所示，则（）A. 函数y=f（x）的区间上单调递减B. 当x=3时函数y=f（x）取得极小值C.D. 当时函数y=f（x）取得极大值6.设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面．考查下列命题，（1）若m∥α，n∥α，m∥β，n∥β，m⊥n则α∥β；（2）若m⊥β，α⊥β，则m∥α；（3）若α⊥β，m⊥α，n∥β，则m⊥n；（4）若m∥n，n⊥β，m⊂α则α⊥β其中真命题是（）A. （1）（2）B. （1）（4）C. （1）（3）D. （2）（4）7.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠CAB=120°，，AA1=2，则异面直线AB1与CA1所成角的余弦值为（）A.B.C.D.8.已知点A（a，b），B（x，y）为抛物线y=-（x-1）2上两点，且x＜a，记|AB|=g（x）．若函数g（x）在定义域（-∞，a）上单调递减，点A坐标不可能是（）A. （1，0）B. （0，-1）C. （-1，-4）D. （3，-4）9.抛物线y2=2px（p＞0）的准线交x轴于点C，焦点为F，A，B物线上的两点．若A，B，C三点共线，且满足|AF|+|BF|=|AB|，设直线AB的斜率为k，则有（）A. B. C. D.10.在矩形ABCD中，AD=1，AB=2，若点E满足，将△ADE沿AE翻折，当D'在面ABCE内的投影在∠BAE的平分线上时，分别记二面角D'-AE-B、D'-AB-E、D'-CE-B、D'-BC-A的平面角分别为α、β、γ、δ，则（）A. α＜β且γ=δB. α＞β且γ=δC. α=β且γ＜δD. α=β且γ＞δ二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.已知复数（i是虚数单位），则复数z的共轭复数=______，|z|=______．12.已知双曲线C1：与椭圆C2：有相同的焦点，则m=______；双曲线C1的渐近线方程为______．13.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______，表面积为______．14.已知圆C：（x-a）2+（y-b）2=2，圆心C在曲线y=（x∈[1，2]）上．则ab= ______ ，直线l：x+2y=0被圆C所截得的长度的取值范围是______ ．15.已知圆台上底面半径为，下底面半径为，母线长为2，AB为圆台母线，一只蚂蚁从点A出发绕圆台侧面一圈到点B，则蚂蚁经过的最短路径长度为______．16.已知椭圆长轴的右端点为A，其中O为坐标原点．若椭圆上不存在点P，使AP垂直PO，则椭圆的离心率的最大值为______．17.已知函数f（x）=e x-+ax-a2的零点不少于两个，则实数a的取值范围______．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知函数f（n）=-1+3-5+…+（-1）n•（2n-1），（n∈N*）．（1）求f（n+1）-f（n）；（2）用数学归纳法证明f（n）=（-1）n•n．19.已知点P（1，0），Q（4，0），一动点M满足|MQ|=2|MP|．（1）求点M的轨迹方程；（2）过点A（2，3）的直线l与（1）中的曲线有且仅有一个公共点，求直线l的方程．20.四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠BCD=90°，AB=AD=2DC=2．△PAD为正三角形，二面角P-AD-C的大小为．（1）线段AD的中点为M．求证：平面PMB⊥平面ABCD；（2）求直线BA与平面PAD所成角的正弦值．21.已知抛物线C的对称轴为x轴，点P（1，2）在抛物线C上，A，B是抛物线C上不同的两点，直线PA，PB的斜率为k1，k2，满足k1+k2=-4．（1）求抛物线的标准方程；（2）证明：直线AB过定点；（3）当点P到直线AB距离最大时，求△PAB的面积．22.已知函数f（x）=x2-x-a ln x，a∈R．（1）若不等式f（x）＜0无解，求a的值；（2）若函数f（x）存在两个极值点x1、x2，且x1＜x2，当恒成立时，求实数m的最小值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵l1∥l2，∴2-a=0，解得a=2．故选：C．利用直线相互平行与斜率之间的关系即可得出．本题考查了直线相互平行与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查椭圆的定义．在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口．先根据条件求出a=5；再根据椭圆定义得到关于所求距离d的等式即可得到结论．【解答】解：设所求距离为d，由题得：a=5．根据椭圆的定义椭圆上任意一点到两个焦点距离的和等于2a得：2a=3+d⇒d=2a-3=7．故选：C．3.【答案】C【解析】解：f′（x）=cos x-sin x，∴．故选：C．可以求出导函数f′（x）=cos x-sin x，带入即可求出的值．考查基本初等函数的求导公式，以及已知函数求值的方法．4.【答案】B【解析】解：方程（x2+y2+2x）（x+y-2）=0等价于x+y-2=0或x2+y2+2x=0，①在直角坐标系中，方程x+y-2=0图象为一条直线，②x2+y2+2x=0，配方得（x+1）2+y2=1，方程表示以（-1，0）为圆心，以1为半径的圆，故（x2+y2+2x）（x+y-2）=0表示一条直线和一个圆，故选：B．方程（x2+y2+2x）（x+y-2）=0等价于x+y-2=0或x2+y2+2x=0，进行分析，得结论．本题考查曲线与方程，重点是对于方程的理解，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：由导函数的图象，可知x∈（-4，），x∈（1，3）时，f′（x）＜0，函数是减函数，x＜-4，x∈（-，1），x＞3时，f′（x）＞0，函数是增函数；所以A函数y=f（x）的区间上单调递减不正确；当x=3时函数y=f（x）取得极小值正确；．所以C不正确；当时函数y=f（x）取得极小值，所以D不正确；故选：B．利用导函数的图象，判断函数的单调性以及函数的极值点，即可推出结果．本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，考查转化思想以及计算能力．6.【答案】B【解析】解：m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，（1），若m∥α，n∥α，m∥β，n∥β，m⊥n，则α∥β，正确．反之若α∩β=l，由m∥α，m∥β，由线面平行的性质定理可得m∥l，同样由n∥α，n∥β，由线面平行的性质定理可得n∥l，则m∥n，这与m⊥n矛盾，故（1）正确；（2），若m⊥β，α⊥β，由线面垂直和面面垂直的性质定理，以及线面的位置关系可得m∥α或m⊂α，故（2）错误；（3），若α⊥β，m⊥α，可得m∥β或m⊂β，又n∥β，则m，n平行或相交或异面，故（3）错误；（4），若m∥n，n⊥β，可得m⊥β，又m⊂α，则α⊥β，故（4）正确．故选：B．考虑α、β相交，运用线面平行的性质定理，推得m∥n，即可判断（1）；由线面垂直和面面垂直的性质定理，以及线面的位置关系，可判断（2）；由线面垂直和面面垂直的性质定理，以及线线的位置关系可判断（3）；由线面垂直和面面垂直的判定定理，即可判断（4）．本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，主要是平行、垂直的判定和性质的运用，考查空间想象能力和推理能力，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：取AA1的中点为E，AC的中点为D，A1B1的中点为F，AB的中点为H，连接DE，EF，FH，HD，FD，因为EF∥B1A，ED∥A1C，即∠FED（或其补角）为异面直线AB1与CA1所成角，在直角三角形FHD中，可得FD2=FH2+HD2=22+（）2=，又易得EF=ED=，在三角形DEF中，由余弦定理可得：cos∠FED==-，即异面直线AB1与CA1所成角的余弦值为，故选：D．由异面直线所成角的作法可得：∠FED（或其补角）为异面直线AB1与CA1所成角，再由异面直线所成角的求法利用余弦定理即可得解．本题考查了异面直线所成角的作法及求法，属中档题．8.【答案】D【解析】解：由题意可知，当A（3，-4）时，不妨取B（1，0），则|AB|==2，当B（0，-1）时，|AB|==3，而1＞0且2＞3，显然这与函数g（x）在定义域（-∞，a）上单调递减矛盾，即A的坐标不可能是（3，-4）．故选：D．考虑当A（3，-4）时，不妨取B（1，0），和B（0，-1），计算两点的距离|AB|，结合单调性的定义，即可得到所求结论．本题考查抛物线的方程和运用，以及两点的距离公式，函数单调性的定义，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：设A（x1，y1）B（x1，y1）AB所在直线方程为y=k（x+）联立方程整理得，k2x2+p（k2-2）x+=0x1+x2=p（），x1x2=如右图，由抛物线的定义可知||AF|=|AD|=x1+，|BF|=|BE|=x2+，|AB|==|x1-x2|==，∵，∴x1+x2+p=×即p（）+p=×解得k2=故选：A．画出示意图，设出直线的方程，由抛物线的定义可知|AF|=|AD|=x1+，|BF|=|BE|=x2+，进而求解．考察对抛物线定义的理解，以及两点间公式与方程根和斜率的关系．10.【答案】D【解析】解：在矩形ABCD中，AD=1，AB=2，若点E满足，将△ADE沿AE翻折，当D'在面ABCE内的投影在∠BAE的平分线上时，分别记二面角D'-AE-B、D'-AB-E的平面角分别为α、β，则α=β，当λ=时，如图：当D'在面ABCE内的投影在∠BAE的平分线O，O到BC的距离大于O到CE的距离，所以D'-CE-B、D'-BC-A的平面角分别为γ、δ，γ＞δ，故选：D．利用已知条件判断α=β，然后利用λ的特殊值，判断γ、δ的大小，即可得到选项．本题考查二面角的平面角的判断，以及重要结论的应用，是基本知识的考查．11.【答案】-1+i【解析】解：∵=，∴，|z|=．故答案为：-1+i；．利用复数代数形式的乘除运算化简，求其共轭复数，再由复数模的计算公式求模．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．12.【答案】5【解析】解：双曲线C1：与椭圆C2：有相同的焦点，可得2+m=16-9，解得m=5，双曲线C1：．渐近线方程为．故答案为：5；．通过双曲线与椭圆的焦点相同，列出方程求解m．然后求解双曲线的渐近线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．13.【答案】3+【解析】解：根据几何体的三视图，转换为几何体为：该几何体为正方体，沿面的对角线在左下角和右上角各截去一个三棱锥体．故：V==，S==6-3+=3+故答案为：，3+首先把几何体的三视图转换为几何体，进一步利用几何体的体积和表面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三视图和直观图之间的转换，几何体的体积和表面积公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．14.【答案】1；[，]【解析】解：∵圆C：（x-a）2+（y-b）2=2，圆心C在曲线y=（x∈[1，2]）上，∴ab=1，圆心到直线的距离d==，∵a∈[1，2]，∴b∈[，1]，∴d∈[，]，∴直线l：x+2y=0被圆C所截得的长度的取值范围是[，]故答案为1，[，]．由圆C：（x-a）2+（y-b）2=2，圆心C在曲线y=（x∈[1，2]）上，可得ab，利用弦长公式，可得结论．本题考查直线与圆位置关系的运用，考查弦长公式，考查学生的计算能力，属于中档题．15.【答案】2【解析】解：设截得圆台的圆锥的顶点为O，将圆锥沿AB所在母线展开如图，设A点展开图中的点为A'，依题意，蚂蚁经过的最短路径长度为A'B，则因为圆台上底面半径为，下底面半径为，所以OB=，AB=2，设展开图的圆心角为θ，则θ==，所以三角形OAB为等边三角形，又B为OA的中点，所以A'B=4×sin=2．故答案为：2．将截得圆台的圆锥沿AB所在母线展开，将曲面上两点的最短距离问题转化为平面内两点的最短距离，即线段的长处理即可．本题考查了曲面上两点的最短距离问题，将曲面问题转化为平面距离问题是解决问题的关键．本题属于基础题．16.【答案】【解析】解：A1（-a，0），A2（a，0），设P（x，y），则=（-x，-y），=（a-x，-y），∵使AP垂直PO，所以=0，∴（a-x）（-x）+（-y）（-y）=0，y2=ax-x2＞0，∴0＜x＜a．代入使AP垂直PO（a＞b＞0），整理得（b2-a2）x2+a3x-a2b2=0 在（0，a）上有解，令f（x）=（b2-a2）x2+a3x-a2b2=0，∵f（0）=-a2b2＜0，f（a）=0，如图：△=（a3）2-4×（b2-a2）×（-a2b2）=a2（a4-4a2b2+4b4）=a2（a2-2c2）2≥0，∴对称轴满足 0＜-＜a，∴＜1，∴＞，又 0＜＜1，∴＜e＜1，即椭圆的离心率e的取值范围是（，1）．椭圆上不存在点P，使AP垂直PO，则椭圆的离心率的最大值为：．故答案为：．由AP垂直PO，转化可得y2=ax-x2＞0，故 0＜x＜a，代入椭圆得（b2-a2）x2+a3x-a2b2=0 在（0，a）上有解，令f（x）=（b2-a2）x2+a3x-a2b2=0，结合图形，能求出椭圆的离心率e的范围．然后求解椭圆的离心率的最大值．本题考查椭圆的离心率的取值范围的求法，考查两个向量坐标形式的运算法则，两个向量的数量积公式，一元二次方程在一个区间上有实数根的条件，体现了数形结合的数学思想．17.【答案】（-∞，--ln2）【解析】解：e x-+ax-a2=0，化为：e x--a2=-ax．∴函数f（x）=e x-+ax-a2的零点不少于两个⇔函数g（x）=e x--a2，与y=-ax的图象至少有两个交点．g′（x）=e x-x=h（x），h′（x）=e x-，可得x=-ln2时，函数h（x）取得极小值，h（-ln2）=+ln2．∴g′（x）＞0，∴函数g（x）在R上单调递增，∴-a＞+ln2时，函数g（x）=e x--a2，与y=-ax的图象至少有两个交点．∴实数a的取值范围是（-∞，--ln2）．故答案为：（-∞，--ln2）．e x-+ax-a2=0，化为：e x--a2=ax．函数f（x）=e x-+ax-a2的零点不少于两个⇔函数g（x）=e x--a2，与y=-ax的图象至少有两个交点．利用导数研究函数的单调性、切线斜率即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性、切线斜率、方程的解转化为曲线的交点，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：（1）∵f（n）=-1+3-5+…+（-1）n•（2n-1），（n∈N*）．∴f（n+1）-f（n）=（-1）n+1（2n+1）．（2）证明：（i）n=1时，f（1）=-1成立．（ii）假设n=k∈N*时成立，即f（k）=（-1）k•k．则n=k+1时，f（k+1）=f（k）+（-1）k+1（2k+1）=（-1）k•k+（-1）k+1（2k+1）=（-1）k+1（2k+1-k）=（-1）k+1（k+1）．∴n=k+1时也成立．综上可得：对于任意n∈N*，f（n）=（-1）n•n．【解析】（1）由f（n）=-1+3-5+…+（-1）n•（2n-1），（n∈N*）．可得f（n+1）-f（n）=（-1）n+1（2n+1）．（2）利用数学归纳法及其（1）的结论即可得出．本题考查了数列递推关系、数学归纳法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.【答案】解：（1）设M（x，y），由|MQ|=2|MP|有：，∴x2+y2=4，∴M点的轨迹方程为x2+y2=4．（2）直线l与M点的轨迹有且只有一个公共点即为直线l与圆M相切，当直线l的斜率k不存在时，直线l的方程为：x-2=0；当直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为：y-3=k（x-2），圆心（0，0）到直线l的距离等于半径，即，此时，∴直线l的方程为5x-12y+26=0．【解析】（1）设点M的坐标，根据已知用数学表达式表示出来，再化简即可；（2）直线与曲线相交有且只有一个公共点，即为相切，可以用几何关系：圆心到直线的距离等于半径．求点的轨迹方程，求哪个点最好就设哪个点的坐标，再根据已知，用数学关系式表述x 与y之间的关系，化简即可；（2）中主要考查直线与圆相切的情况，属于基础题．20.【答案】（1）证明：如图，在直角梯形ABCD中，过D作DE⊥AB于E，由已知可得AD=2，AE=1，则DE=，∴∠BAD=，则△ABD为正三角形，又△PAD为正三角形，M为线段AD的中点，可得PM⊥AD，BM⊥AD，又PM∩BM=M，∴AD⊥平面PBM，而AD⊂平面ABCD，∴平面PMB⊥平面ABCD；（2）解：在平面PMB中，过B作BO⊥PM，垂足为O，则BO⊥平面PAD，连接AO，则AO为AB在平面PAD内的射影，∴∠BAO为直线BA与平面PAD所成角，在等边三角形ABD中，由AB=2，求得BM=，由二面角P-AD-C的大小为，可得，∴BO=，又AB=2，∴直线BA与平面PAD所成角的正弦值为．【解析】（1）由题意画出图形，在直角梯形ABCD中，过D作DE⊥AB于E，求解三角形可得△ABD为正三角形，又△PAD为正三角形，M为线段AD的中点，可得PM⊥AD，BM⊥AD，再由线面垂直的判定可得AD⊥平面PBM，从而得到平面PMB⊥平面ABCD；（2）在平面PMB中，过B作BO⊥PM，垂足为O，则BO⊥平面PAD，连接AO，则∠BAO 为直线BA与平面PAD所成角，然后求解三角形得答案．本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了线面角的求法，是中档题．21.【答案】解：（1）设抛物线的方程为y2=2ax（a＞0），点P（1，2）在抛物线上，可得22=2a×1，解得a=2，则抛物线的方程为y2=4x；（2）证明：设A（，y1），B（，y2），又P（1，2），可得k1+k2=+=-4，化为y1y2=-3（y1+y2）-8，①则直线AB的方程为y-y1=（x-），即为y=x+，将①代入上式可得y=（x-2）-3，由x=2可得y=-3，则直线AB恒过定点M（2，-3）；（3）当PM⊥AB时，P到直线AB的距离最大，由k AB k PM=-1，可得k AB=-=，则直线AB的方程为y+3=（x-2），即x=5y+17，代入抛物线方程y2=4x可得y2-20y-68=0，△=202+4×68＞0成立，y1+y2=20，y1y2=-68，|AB|=•=•=8，则△PAB的面积为S=|PM|•|AB|=×8=52．【解析】（1）设抛物线的方程为y2=2ax（a＞0），将P（1，2）代入抛物线方程，解得a，可得所求抛物线方程；（2）设A（，y1），B（，y2），由直线的斜率公式可得PA，PB的斜率，由条件可得y1，y2的关系，由点斜式方程可得直线AB的方程，化简整理，结合直线恒过定点的求法，可得证明；（3）当PM⊥AB时，P到直线AB的距离最大，由两直线垂直的条件可得此时AB的斜率，以及直线AB的方程，代入抛物线方程消去x，运用韦达定理和弦长公式，可得|AB|，再由三角形的面积公式，计算可得所求值．本题考查抛物线的方程和运用，考查直线恒过定点的求法，以及直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查化简运算能力，属于中档题．22.【答案】解：（1）f（x）=x2-x-a ln x（x＞0），则f'（x）=，f（1）=0，∵不等式f（x）＜0无解，∴f（x）极小值=f（1），∴f'（1）=2-1-a=0，∴a=1；（2）∵函数f（x）存在两个极值点x1、x2，且x1＜x2，∴f'（x）在（0，+∞）上有两个不相等的实根，即x1、x2是方程2x2-x-a=0的两个不相等的正实根，∴，．令，则0＜t＜1，∴==-==，令g（t）=（0＜t＜1），则g'（t）=，∴g（t）在（0，1）上单调递增，∴g（t）＜g（1）=0．∵当恒成立，∴m＞g（t）在（0，1）上恒成立，∴m≥g（1）=0，∴实数m的最小值为0．【解析】（1）根据f（1）=0和不等式f（x）＜0无解，可得f（x）极小值=f（1），进一步得到f'（1）=0，解方程求出a的值；（2）根据条件可知x1、x2是方程2x2-x-a=0的两个不相等的正实根，然后令，由条件可得=．构造函数g（t）=（0＜t＜1），由恒成立，可知m＞g（t）在（0，1）上恒成立，进一步求出m的最小值．本考查了不等式无解问题，不等式恒成立问题和利用导数研究函数的单调性与最值，考查了转化思想和函数思想，属难题．。

2020浙江高二下学期期中联考数学试题含答案

2020浙江⾼⼆下学期期中联考数学试题含答案数学试题注意事项：1. 本科⽬考试分试题卷和答题卷，考⽣须在答题卷上作答。

2. 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（⾮选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共40分）⼀、选择题（本⼤题共10⼩题，每⼩题4分，共40分。

在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的。

）1．若全集{}2,1,0,1-=U ，{}3|2<∈=x Z x A ，则=A C U （▲）A.{}2B.{}2,0C.{}2,1-D.{}2,0,1-2．已知复数z 满⾜i z i 31)1(-=+（i 是虚数单位），则复数z 在复平⾯内对应的点在（▲） A. 第⼀象限 B. 第⼆象限 C. 第三象限 D. 第四象限3．已知 2log ,0()3,0x x x f x x >?=?≤?，则=)]21([f f （▲）A. 13-B. 13C. 3D. 3-4．已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平⾯，则下列命题正确的是（▲） A. 若//,//m n αα，则//m n B. 若//,mααβ⊥，则m β⊥C. 若//,//m m αβ，则//αβD. 若//,,m n m n αβ⊥?，则αβ⊥5．等⽐数列{}n a 中，01>a ，则“31a a <”是“41a a <”的（▲）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分⼜不必要条件 6．若某空间⼏何体的三视图如图所⽰，则该⼏何体的表⾯积是（▲）2cmA. 5B. 325+C. 225+D. 77．已知21,F F 分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a b ya x 的左、右焦点，若双曲线右⽀上存在点A ，使1230F AF ∠=o ，且线段1AF 的中点在y 轴上，则双曲线的离⼼率是（▲）42251055俯视图左视图正视图A. 32+B. 3C.332 D. 32 8．把函数()cos()(0)6f x x π23π个单位长度后与原图像重合，则当ω取最⼩值时，()f x 的单调递减区间是（▲） A.5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈ B.7[,]()1212k k k Z ππππ--∈ C.225[,]()318318k k k Z ππππ-+∈ D.272[,]()318318k k k Z ππππ--∈ 9．在ABC ?中，⾓C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若函数1)(31)(2223+-+++=x ac c a bx x x f 有极值点，则)32sin(π+B 的最⼩值是（▲）A. 0B. 1-C.23 D. 23- 10．设函数)(x f 的定义域为D ，若存在闭区间D b a ?],[，使得函数)(x f 满⾜：①)(x f 在],[b a 上是单调函数；②)(x f 在],[b a 上的值域是]2,2[b a ，则称区间],[b a 是函数)(x f 的“和谐区间”．下列结论错．误．的是（▲） A. 函数)0()(2≥=x x x f 存在“和谐区间” B. 函数)(3)(R x x x f ∈+=不存在“和谐区间” C. 函数)0(14)(2≥+=x x xx f 存在“和谐区间” D. 函数)81(log )(-=x c c x f （0>c 且1≠c ）不存在“和谐区间”第Ⅱ卷（⾮选择题部分，共110分）⼆、填空题（本⼤题共7⼩题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11．椭圆22143x y +=的长轴长是▲，离⼼率是▲． 12．设数列{}n a 是公差为d 的等差数列，99,105642531=++=++a a a a a a ．则=n a ▲；数列{}n a 的前n 项和n S 取得最⼤值时，=n ▲．≤-≥-+≥+-020101x y x y x ，则y x z +=2的最⼤值为▲；22)1()1(++-y x 的最⼩值为▲．14. 若函数221,0(),0(2),0x x x f x a x g x x ?+->?==??为奇函数，则=a ▲，=-)]2([g f ▲．15. 已知)cos()(m x x x f ++=为奇函数，且m 满⾜不等式01582<+-m m ，则实数m 的值为▲．16.正⽅体1111D C B A ABCD -中，点P 在线段C A 1上运动（包括端点），则BP 与1AD 所成⾓的取值范围是▲．17．设M 是ABC ?内⼀点，32=?，?=∠60BAC ，定义),,()(p n m M f = 其中p n m ,,分别是MAB MAC MBC ,,的⾯积，若),,2()(y x M f =，a yx =+41，则a a 22+的取值范围是▲．三、解答题（本⼤题共5⼩题，共74分。

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