高中数学选修2-3学案：2 1 2第2课时两点分布与超几何分布
第二章 随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布列2.1.2 离散型随机变量的分布列第2课时 两点分布与超几何分布[学习目标] 1．加深对离散型随机变量分布列的理解和应用（重点）；2．通过实例，理解超几何分布的意义及其概率的推导过程，并能运用公式解决简单问题（重点、难点）．课前⋅自主学习 研读提炼⋅思考尝试【知识提炼⋅梳理】 1. 两个特殊分布（1）两点分布：如果随机变量X 的分布列为：则称离散型随机变量X 服从 两点分布 ，称(1)p P X ==为 成功概率 ．（2）超几何分布：一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则()k n kM N MnNC C P X k C --==，0k =，1，2，…，m ，其中min{,}m M n =，且n N ≤，M N ≤，n ，M ，*N N ∈，称分布列为 超几何分布列 ．如果随机变量X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量X 服从 超几何分布 .温馨提示：两点分布的随机变量X 只能取0和1，否则，只取两个值的分布不是两点分布. 【思考尝试⋅夯基】1．思考判断（正确的打“√”，错误的打“×”）（1）随机变量X 只取两个值的分布是两点分布. （ ）（2）新生儿的性别、投篮是否命中、买到的商品是否为正品，可用两点分布研究.（ ） （3）从3本物理书和5本数学书中选出3本，记选出的数学书为X 本，则X 服从超几何分布. （ ）[解析] （1）错，只有随机变量取0或1的分布才是二项分布. （2）对，根据两点分布的概念知，该说法正确.超几何分布.[答案] （1）×（2）√（3）√2．在100张奖券中，有4张能中奖，从中任取2张，则2张都能中奖的概率是（ ）A .150B .125C .1825D .14 950 [解析]依题意2421001825C P C ==.[答案] C3．若随机变量X 服从两点分布，且(0)0.8P X ==，(1)0.2P X ==.令32Y X =-，则(2)P Y =-= （ ）A ．0.8B ．0.2C ．0.4D ．0.1 [解析]因为32Y X =-，所以1(2)3X Y =+，当2Y =-时，0X =，所以(2)P Y =-= (0)0.8P X ==.[答案] A4．某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X 描述1次试验的成功次数，则(1)P X == ( )[解析]设失败率为p ，则成功率为2p ， 由p ＋2p ＝1，得p ＝13，所以223p =.[答案]235．一批产品共50件，其中5件次品，45件正品，从这批产品中任抽两件，则出现次品的概率为( )[解析] 出现次品的概率为245250454447115049245C P C ⨯=-=-=⨯. [答案]47245课堂⋅师生互动 典例解惑⋅探究突破类型1 两点分布（自主研析）【典例1】一个盒子中装有5个黄色玻璃球和4个红色玻璃球，从中摸出两球，记X=⎩⎪⎨⎪⎧0 (两球全红)，1 (两球非全红)，求X 的分布列．[自主解答]因为X 服从两点分布，所以则24291(0)6C P X C ===，15(1)166P X ==-=.所以X 的分布列为【归纳升华】（1点分布，如随机变量ξ的分布列如下表它就不是两点分布，但经过适当变换后，它可以变为两点分布．如令0(2)1(3)Y ξξ=⎧=⎨=⎩，则随机变量Y 服从两点分布，分布列为：（2）用两点分布不仅可以研究只有两个结果的随机试验的概率分布规律，也可以研究其它一些随机事件的概率分布．如在有多个结果的随机试验中，我们经常只关心某个随机事件是否发生，这时就可以用两点分布来研究它．[变式训练]在掷骰子试验中，有6种可能结果，如果我们只关心出现的点数是否小于4，问如何定义随机变量η，才能使η满足两点分布，并求其分布列．[解] 随机变量η可以定义为：η＝⎩⎪⎨⎪⎧1 掷出点数小于4，0 掷出点数不小于4. 显然η只取0，1两个值． 且31(1)62P η===，故η的分布列为类型2 超几何分布【典例2】老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：（1）抽到他能背诵的课文的数量的概率分布； （2）他能及格的概率．[解] （1）设抽到他能背诵的课文的数量为X ，则364310()(0,1,2,3)r r C C P X r r C -===． 所以03643101(0)30C C P X C ===，12643103(1)30C C P X C ===， 21643101(2)2C C P X C ===，30643101(3)6C C P X C ===.所以X 的概率分布为【可直接运用相关公式或结论求解．（2）超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数． [变式训练] 设10件产品中，有3件次品，7件正品，现从中抽取5件，求抽得次品件数ξ的分布列．[解] ξ的可能取值为0，1，2，3.这有0537510211(0)25212C C P C ξ====， 14375101055(1)25212C C P C ξ====，23375101055(2)25212C C P C ξ====，3237510211(3)25212C C P C ξ====.所以ξ的分布列为类型3 分布列的实际应用【典例3】在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有一等奖券1张，可获得价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖，某顾客从这10张中任抽2张，求： （1）该顾客中奖的概率；（2）该顾客获得的奖品总价值X （元）的分布列．[解]（1）方法一 0246210121133C C P C =-=-=. 方法二 11204646210302453C C C C P C +===. 即该顾客中奖的概率为23. （2）X 所有可能的取值为（单位：元）：0，10，20，50，60，且02462101(0)3C C P X C ===；11362102(10)5C C P X C ===； 232101(20)15C P X C ===；11162102(50)15C C P X C ===；11132101(60)15C C P X C ===.故X 的分布列为【归纳升华】此类题目中涉及的背景多数是生活、生产实践中的问题，如产品中的正品和次品，盒中的白球和黑球，同学中的男生和女生等，分析题意，判断其中的随机变量是否服从超几何分布是解决此类题目的关键．[变式训练] 交5元钱，可以参加一次摸奖，一袋中有同样大小的球10个，其中8个标有1元钱，2个标有5元钱，摸奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球的钱数之和，求抽奖人所得钱数的分布列．[解] 设抽奖人所得钱数为随机变量ξ，则2ξ=，6，10.2821028(2)45C P C ξ===，118221016(6)45C C P C ξ===，222101(10)45C P C ξ===. 故ξ的分布列为[课堂小结]1. 两点分布的几个特点：（1）两点分布的变量X 只取0和1；（2）两点分布中只有两个对应结果，且两个结果是对立的；（3）由对立事件概率的求法可知，已知(0)P X =与(1)P X =中的一个即可求出另一个.2．解决超几何分布问题的两个关键点：（1）超几何分布是一种重要的概率分布，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解；（2）超几何分布中，只要知道M ，N ，n ，就可以利用公式求出X 取不同k 的概率()P X k =，从而求出X 的分布列.课后⋅演练提升A 级 基础巩固 一、选择题1．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中不放回每次任意取出1个球，直到取出的球是白球为止时，所需要的取球次数为随机变量ξ，则ξ的可能取值为 （ ）A ．1，2，3，…，6B ．1，2，3，…，7C ．0，1，2，…，5D ．1，2，…，5[解析] 可能第一次就取到白球，也可能红球都取完才取到白球，所以ξ的可能取值为1，2，3，…，7. [答案]B2．下列问题中的随机变量不服从两点分布的是( )A ．抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量XB ．某射手射击一次，击中目标的次数为随机变量XC ．从装有5个红球，3个白球的袋中取1个球，令随机变量X =⎩⎪⎨⎪⎧1 取出白球0 取出红球 D ．某医生做一次手术，手术成功的次数为随机变量X [解析]选项A 中随机变量X 的取值有6个，不服从两点分布. [答案]A3．设随机变量ξ的概率分布为()1cP k k ξ==+，0k =、1、2、3，则c = （ ） A ．1425 B ．1325 C ．1225 D ．1125 [解析]依题意1234c c c c +++=，所以1225c =.[答案]C4．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以710为概率的事件是（ ）A ．都不是一等品B ．恰有一件一等品C ．至少有一件一等品D ．至多有一件一等品[解析]设取到一等品的件数是ξ，则0ξ=，1，2，(0)P ξ==023225110C C C =，(1)P ξ== 113225610C C C =，(2)P ξ==203225310C C C =，因为7(0)(1)10P P ξξ=+==，所以满足题设的事件是“至多有一件一等品”． [答案] D5．在15个村庄中，有7个村庄交通不太方便，现从中任意选10个村庄，用ξ表示10个村庄中交通不太方便的村庄数，下列概率中等于46781015C C C ⋅的是 ( ) A ．(2)P ξ= B ．(2)P ξ≤ C ．(4)P ξ=D ．(4)P ξ≤[解析]因为28781015(2)C C P C ξ==，(2)(0)(1)(2)P P P P ξξξξ≠==+=+=≠28781015C C C ， 46781015(4)C CP C ξ==，(4)(2)(3)(4)(4)P P P P P ξξξξξ≤==+=+=>=，所以选项C正确. [答案]C二、填空题6．某人投篮的命中率是不命中概率的3倍，以随机变量X 表示1次投篮的命中次数，则(1)P X ==________.[解析]设不命中的概率为p ，则命中的概率为3p ，有31p p +=，即14p =.(1)P X =是1次投篮中命中的概率，即投篮命中率． [答案]347．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取2个球，设其中有ξ个红球，则随机变量ξ的分布列为[解析] 0232251(0)10C C P C ξ===，322563(1)105C C P C ξ====，2032253(2)10C C P C ξ===. [答案]110 35 3108．已知离散型随机变量X 的分布列()15kP X k ==，1k =、2、3、4、5，令22Y X =-，则(0)P Y >=________.[解析]由已知Y 取值为0、2、4、6、8，且P (Y ＝0)＝115，P (Y ＝2)＝215，P (Y ＝4)＝315＝15，P (Y ＝6)＝415，P (Y ＝8)＝515.则P (Y >0)＝P (Y ＝2)＋P (Y ＝4)＋P (Y ＝6)＋P (Y ＝8)＝1415.[答案]1415三、解答题9．一个袋中有形状大小完全相同的3个白球和4个红球．（1）从中任意摸出一球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，求X 的分布列； （2）从中任意摸出两个球，用0表示两个球全是白球，用1表示两个球不全是白球，求X 的分布列．[解] （1）因为摸出红球的概率为14174(1)7C P X C ===，所以X 的分布列为（2）因为23271(0)7C P X C ===，所以X 的分布列为10. 生产方提供50箱的一批产品，其中有2箱不合格产品．采购方接收该批产品的准则是：从该批产品中任取5箱产品进行检测，若至多有1箱不合格产品，便接收该批产品．问：该批产品被接收的概率是多少？[解]以50箱为一批产品，从中随机抽取5箱，用X 表示“5箱中不合格产品的箱数”，则X 服从超几何分布．这批产品被接收的条件是5箱中没有不合格的或只有1箱不合格，所以被接收的概率为(1)P X ≤，即(1)P X ≤0514248248555050243245C C C C C C =+=. 答：该批产品被接收的概率是243245． B 级 能力提升1．已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其次品数为ξ，已知16(1)45P ξ==，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为( )A ．10%B ．20%C ．30%D ．40%[解析]设10件产品中有x 件次品，则1110210(10)16(1)4545x xC C x x P C ξ--====，解得2x = 或8.因为次品率不超过40%，所以2x =，所以次品率为220%10=. [答案]B2. 某班有50名学生，其中15人选修A 课程，另外35人选修B 课程，从班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是________．[解析]将50名学生看做一批产品，其中选修A 课程为不合格品，选修B 课程为合格品，随机抽取两名学生，X 表示选修A 课程的学生数，则X 服从超几何分布，其中50N =，15M =，2n =.依题意所求概率为1211550152503(1)7C C P X C --===.[答案]3 73．盒子中装着标有数字1、2、3、4、5的卡片各2张，从盒子中任取3张卡片，每张卡片被取出的可能性都相等，用ξ表示取出的3张卡片上的最大数字，求：（1）取出的3张卡片上的数字互不相同的概率；（2）随机变量ξ的概率分布．[解]（1）记“一次取出的3张卡片上的数字互不相同的事件”为A，则311152223102()3C C C CP AC==.（2）由题意ξ可能的取值为2、3、4、5，211222223101(2)30C C C CPCξ+===，211242423102(3)15C C C CPCξ+===，211262623103(4)10C C C CPCξ+===，211282823108(5)15C C C CPCξ+===.所以随机变量ξ的分布列为：。
2.2超几何分布 教案高中数学选修2-3 北师大版
§2 超几何分布●三维目标1．知识与技能(1)理解超几何分布及其推导过程．(2)能用超几何分布解决一些简单的实际问题．2．过程与方法通过具体实例，感受现实生活中的数学原型，经历概念的形成过程，体会概念的内涵．3．情感、态度与价值观体会数学来源于生活，也应该服务于生活，增强学习数学的兴趣．●重点难点重点：利用超几何分布求概率．难点：超几何分布的综合应用．教学时引导学生结合学习过的概率，通过例题与练习加深对超几何分布的理解，通过观察、比较、分析找出超几何分布的特点及概率求法，以强化重点，化解难点.(教师用书独具)●教学建议教学时通过例题让学生归纳总结超几何分布，通过独立自主和合作交流进一步理解超几何分布．●教学流程创设问题情境，提出问题．⇒通过引导学生回答问题，让学生掌握超几何分布．⇒通过例1及互动探究，掌握简单的超几何分布的分布列的求法⇒通过例2及变式训练掌握利用超几何模型．求相应事件的概率．⇒通过例3及变式训练掌握超几何分布的综合应用．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈、矫正.1．如何识别超几何分布？【提示】 超几何分布必须满足以下两条：(1)总数为N 件的物品只分为两类：M (M ≤N )件甲类(或次品)，其余的N －M 件为乙类(或正品)．(2)随机变量X 表示从N 件物品中任取n (n ≤N )件物品，其中所含甲类物品的件数． 2．在产品检验中超几何分布描述的是放回抽样还是不放回抽样？ 【提示】 不放回抽样．3．在超几何分布中，随机变量X 取值的最大值是M 吗？【提示】 不一定．当n ≥M 时，最大值为M ，当n <M 时，最大值为n . 1．超几何分布的概念一般地，设有N 件产品，其中有M (M ≤N )件次品．从中任取n (n ≤N )件产品，用X 表示取出的n 件产品中次品的件数，那么P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC nN(其中k 为非负整数)． 如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布． 2．超几何分布的表格形式所选3人中女生人数为X ，求X 的分布列．【思路探究】 写出X 的可能取值―→ 求出每个X 对应的概率―→写出分布列【自主解答】 X 的所有可能取值为0,1,2，由题意得： P (X ＝0)＝C 34C 36＝15，P (X ＝1)＝C 24C 12C 36＝35，P (X ＝2)＝C 14C 22C 36＝15.∴X 的分布列为1．解答本题易出现P (X ＝k )算错或列表时X ＝k 与P (X ＝k )的位置不对应的错误． 2．求超几何分布的分布列，关键是求得P (X ＝k )的值，而求其值，就要先分清N ，M 和n 的值．本例中若所选3人中男生人数为X ，其他条件不变，求X 的分布列． 【解】 X 的所有可能取值为1,2,3，由题意得：P (X ＝1)＝C 14C 22C 36＝15，P (X ＝2)＝C 24C 12C 36＝35，P (X ＝3)＝C 34C 36＝15.∴X 的分布列为。
高中数学北师大版高二选修2-3同步导学案：2.2_超几何分布)
§2 超几何分布1．理解超几何分布及其推导过程．(重点)2．能用超几何分布解决一些简单的实际问题．(难点)[基础·初探]教材整理超几何分布阅读教材P38～P40部分，完成下列问题．1．超几何分布的概念一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品．从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么P(X＝k)＝____________(其中k为非负整数)．如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X服从参数为N，M，n的超几何分布．2．超几何分布的表格形式【答案】 1.M N－MC n N 2.M N－MC n NM N－MC n NM N－MC n NM N－MC n N1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在产品检验中，超几何分布描述的是放回抽样．( )(2)在超几何分布中，随机变量X 取值的最大值是M.( )(3)从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数X 服从超几何分布．( )(4)在超几何分布中，只要知道N ，M 和n ，就可以根据公式，求出X 取不同值m 时的概率P(X ＝m)．( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)√2．设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为( ) A.C 380C 610C 10100 B.C 680C 410C 10100 C.C 480C 620C 10100D.C 680C 420C 10100【解析】 设X 表示任取10个球中红球的个数，则X 服从参数为N ＝100，M ＝80，n ＝10的超几何分布，取到的10个球中恰有6个红球，即X ＝6，P(X ＝6)＝C 680C 420C 10100.【答案】 D[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型]盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个白球，这些球除颜色外完全相同．(1)若用随机变量X 表示任选4个球中红球的个数，则X 服从超几何分布，其参数为( ) A ．N ＝9，M ＝4，n ＝4 B ．N ＝9，M ＝5，n ＝5 C ．N ＝13，M ＝4，n ＝4D ．N ＝14，M ＝5，n ＝5(2)若用随机变量Y 表示任选3个球中红球的个数，则Y 的可能取值为________． (3)若用随机变量Z 表示任选5个球中白球的个数，则P(Z ＝2)＝________.【精彩点拨】 着眼点：(1)超几何分布的概念；(2)参数的意义；(3)古典概型概率的计算公式． 【自主解答】 (1)根据超几何分布的定义知，N ＝9，M ＝4，n ＝4. (2)由于只选取了3个球，因此随机变量Y 的所有可能取值为0,1,2,3. (3)由古典概型概率计算公式知，P(Z ＝2)＝C 22C 37C 59＝518.【答案】 (1)A (2)0,1,2, 3 (3)518对于超几何分布要注意以下两点： 1超几何分布是不放回抽样； 2公式PX ＝k ＝C kM ·C n －kN －MC nN中各参数的意义.[再练一题]1．若将例1第(1)小题中改为“随机变量X表示不是红球的个数”，则参数N＝______，M＝______，n ＝______.【解析】根据超几何分布的定义知，N＝9，M＝5，n＝4.【答案】9 5 4袋中有8个球，其中5个黑球，3个红球，从袋中任取3个球，求取出的红球数X的分布列，并求至少有一个红球的概率．【精彩点拨】先写出X所有可能的取值，求出每一个X所对应的概率，然后写出分布列，求出概率．【自主解答】X＝0,1,2,3，X ＝0表示取出的3个球全是黑球， P(X ＝0)＝C 35C 38＝1056＝528，同理P(X ＝1)＝C 13·C 25C 38＝3056＝1528，P(X ＝2)＝C 23·C 15C 38＝1556，P(X ＝3)＝C 33C 38＝156.∴X 的分布列为至少有一个红球的概率为P(X≥1)＝1－28＝28.超几何分布的求解步骤1．辨模型：结合实际情景分析所求概率分布问题是否具有明显的两部分组成，如“男生、女生”，“正品、次品”，“优劣”等，或可转化为明显的两部分．具有该特征的概率模型为超几何分布模型．2．算概率：可以直接借助公式P(X ＝k)＝C k M C n －kN －MC n N求解，也可以利用排列组合及概率的知识求解，需注意借助公式求解时应理解参数M ，N ，n ，k 的含义．3．列分布表：把求得的概率值通过表格表示出来．[再练一题]2．从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，求取得次品数为ξ的分布列． 【解】 设随机变量ξ表示取出次品的件数，则ξ服从超几何分布，其中N ＝15，M ＝2，n ＝3.ξ的可能的取值为0,1,2，相应的概率依次为P(ξ＝0)＝C 02C 313C 315＝2235，P(ξ＝1)＝C 12C 213C 315＝1235，P(ξ＝2)＝C 22C 113C 315＝135.所以ξ的分布列为探究1 袋中有4分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球．试求得分X 的分布列．【提示】 从袋中随机摸4个球的情况为1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红四种情况，分别得分为5分，6分，7分，8分，故X 的可能取值为5,6,7,8.P(X ＝5)＝C 14C 33C 47＝435，P(X ＝6)＝C 24C 23C 47＝1835，P(X ＝7)＝C 34C 13C 47＝1235，P(X ＝8)＝C 44C 03C 47＝135.故所求的分布列为探究2 【提示】 根据随机变量X 的分布列，可以得到得分大于6分的概率为P(X>6)＝P(X ＝7)＋P(X ＝8)＝1235＋135＝1335. 交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念．记交通指数为T ，其范围为[0,10]，分别有五个级别：T ∈[0,2)畅通；T ∈[2,4)基本畅通；T ∈[4,6)轻度拥堵；T ∈[6,8)中度拥堵；T ∈[8,10]严重拥堵．晚高峰时段，从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的直方图如图221所示：图221(1)这20个路段轻度拥堵、中度拥堵的路段各有多少个？(2)从这20个路段中随机抽出3个路段，用X 表示抽取的中度拥堵的路段的个数，求X 的分布列． 【精彩点拨】 (1)求这20个路段中轻度拥堵、中度拥堵的个数，即求交通指数分别为[4,6)和[6,8)时的频数．根据频率分布直方图的性质求解．(2)先根据超几何分布的概率公式求解X 取各个值时的概率，再列出分布列．【自主解答】 (1)由直方图得：轻度拥堵的路段个数是(0.1＋0.2)×1×20＝6；中度拥堵的路段个数是(0.3＋0.2)×1×20＝10.(2)X 的可能取值为0,1,2,3.则P(X ＝0)＝C 010C 310C 320＝219；P(X ＝1)＝C 110C 210C 320＝1538；P(X ＝2)＝C 210C 110C 320＝1538；P(X ＝3)＝C 310C 010C 320＝219.所以X 的分布列为1．超几何分布具有广泛的应用，它可以用来描述产品抽样中的次品数的分布规律，也可以用来研究我们熟悉的不放回摸球游戏中的某些概率问题．在其分布列的表达式中，各个字母的含义在不同的背景下会有所不同．2．在超几何分布中，随机变量X取每个值的概率是用古典概型计算的，明确每一个基本事件的性质是正确解答此类问题的关键．[再练一题]3．某人有5把钥匙，其中只有一把能打开办公室的门，一次他醉酒后拿钥匙去开门．由于看不清是哪把钥匙，他只好逐一去试．若不能开门，则把钥匙扔到一边，记打开门时试开门的次数为ξ，试求ξ的分布列，并求他至多试开3次的概率．【解】 ξ的所有可能取值为1,2,3,4,5， 且P(ξ＝1)＝C 11C 15＝15，P(ξ＝2)＝C 14C 11C 15C 14＝15，P(ξ＝3)＝C 14C 13C 11C 15C 14C 13＝15，P(ξ＝4)＝C 14C 13C 12C 11C 15C 14C 13C 12＝15，P(ξ＝5)＝C 14C 13C 12C 11C 11C 15C 14C 13C 12C 11＝15.因此ξ的分布列为ξ 1 2 3 4 5 P1515151515由分布列知P(ξ≤3)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝5＋5＋5＝5.[构建·体系]1．盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，则取出1个白球和2个红球的概率是( ) A.3742 B.1742 C.1021D.1721【解析】 根据题意知，该问题为古典概型，∴P ＝C 14C 25C 39＝1021.【答案】 C2．某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从这10人中任选4人参加某种活动，用X 表示4人中的团员人数，则P(X ＝3)＝( ) 【导学号：62690031】A.421B.921C.621D.521【解析】 P(X ＝3)＝C 35C 15C 410＝521.【答案】 D3．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，若设X 表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数，则P(X ＝1)＝________.【解析】 X ＝1表示的结果是抽取的2台彩电有甲型和乙型彩电各一台，故所求概率P(X ＝1)＝C 13C 12C 25＝35. 【答案】 354．在某次国际会议中，需要从4个日本人，5个英国人和6个美国人中，任选4人负责新闻发布会，则恰好含有3个英国人的概率为________．(用式子表示)【解析】 设选取的4人中英国人有X 个，由题意知X 服从参数为N ＝15，M ＝5，n ＝4的超几何分布，其中X 的所有可能取值为0,1,2,3,4，且P(X ＝k)＝C k 5C 4－k10C 415(k ＝0,1,2,3,4)．∴P(X ＝3)＝C 35C 110C 415.【答案】 C 35C 110C 4155．一个袋中装有3个白球和2个黑球，它们大小相同，采用无放回地方式从袋中任取3个球，取到黑球的数目用X 表示，求随机变量X 的分布列．【解】 X 可能取的值为0,1,2. 由题意知，X 服从超几何分布， 所以P(X ＝0)＝C 02·C 33C 35＝110；P(X ＝1)＝C 12·C 23C 35＝35；P(X ＝2)＝C 22·C 13C 35＝310.所以X 的分布列为：我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张是A的概率为( )A.C34C248 C552B.C348C24 C552C ．1－C 148C 44C 552D.C 34C 248＋C 44C 148C 552【解析】 从52张扑克牌中任意抽出5张，至少有3张A 的结果数是C 34C 248＋C 44C 148，故所求概率为C 34C 248＋C 44C 148C 552. 【答案】 D2．一个盒子里装有相同大小的黑球10个，红球12个，白球4个，从中任取2个，其中白球的个数记为X ，则P(X≤1)等于( )A.C 122C 14＋C 222C 226 B.C 112C 14＋C 24C 226 C.C 110C 14＋C 222C 226D.C 110C 14＋C 24C 226【解析】 由已知得，X 的可能取值为0,1,2. P(X ＝0)＝C 222C 226；P(X ＝1)＝C 122C 14C 226；P(X ＝2)＝C 24C 226，∴P(X≤1)＝P(X ＝0)＋P(X ＝1)＝C 122C 14＋C 222C 226. 【答案】 A3．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么310等于( )A ．恰有1只是坏的的概率B ．恰有两只是好的的概率C ．4只全是好的的概率D ．至多有两只是坏的的概率【解析】 恰好两只是好的概率为P ＝C 23C 27C 410＝310.【答案】 B4．某12人的兴趣小组中，有5名“特困生”，现从中任意选6人参加竞赛，用ξ表示这6人中“特困生”的人数，则下列概率中等于C 35C 37C 612的是( )A ．P(ξ＝2)B ．P(ξ＝3)C ．P(ξ≤2)D ．P(ξ≤3)【解析】 6人中“特困生”的人数为ξ，则其选法数为C ξ5·C 6－ξ7，当ξ＝3时，选法数为C 35C 37，故P(ξ＝3)＝C 35C 37C 612.【答案】 B5．一个盒子里装有相同大小的红球、白球共30个，其中白球4个．从中任取两个，则概率为C 126C 14＋C 24C 230的事件是( ) 【导学号：62690032】A ．没有白球B ．至少有一个白球C ．至少有一个红球D ．至多有一个白球【解析】 C 126C 14＋C 24C 230＝C 126C 14C 230＋C 24C 230表示任取的两个球中只有一个白球和两个都是白球的概率，即至少有一个白球的概率．【答案】 B 二、填空题6．一批产品共50件，其中5件次品，其余均为合格品，从这批产品中任意抽取两件，其中出现次品的概率为________．【解析】 设抽取的两件产品中次品的件数为X ， 则P(X ＝k)＝C k 5C 2－k45C 250(k ＝0,1,2)．∴P(X>0)＝P(X ＝1)＋P(X ＝2)＝C 15C 145C 250＋C 25C 250＝47245.【答案】472457．在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期．从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过了保质期饮料的概率为________．(结果用最简分数表示)【解析】 从这30瓶饮料中任取2瓶，设至少取到1瓶已过了保质期饮料为事件A ，则P(A)＝C 127C 13C 230＋C 23C 230＝28145. 【答案】281458．(2016·铜川高二检测)袋中有3个黑球，4个红球，除颜色外，其他均相同，从袋中任取3个球，则至少有一个红球的概率为________．【解析】 令X 表示取出的黑球个数，则X ＝0,1,2,3，P(X ＝0)＝C 33C 37＝135，故至少有一个红球的概率为P(X≥1)＝1－135＝3435.【答案】3435三、解答题9．现有10张奖券，其中8张1元，2张5元，从中同时任取3张，求所得金额的分布列． 【解】 设所得金额为X ，X 的可能取值为3,7,11. P(X ＝3)＝C 38C 310＝715，P(X ＝7)＝C 28C 12C 310＝715，P(X ＝11)＝C 18·C 22C 310＝115.故X 的分布列为10.老师要从10篇课文中随机抽2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：(1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列； (2)他能及格的概率．【解】 (1)设抽到他能背诵的课文的数量为X ，则P(X ＝k)＝C k 6C 3－k4C 310(k ＝0,1,2,3)．P(X ＝0)＝C 06C 34C 310＝130，P(X ＝1)＝C 16C 24C 310＝310，P(X ＝2)＝C 26C 14C 310＝12，P(X ＝3)＝C 36C 04C 310＝16.所以X 的分布列为(2)他能及格的概率为P(X≥2)＝P(X ＝2)＋P(X ＝3)＝2＋6＝3.[能力提升]1．一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，有如下几种变量：①X 表示取出的最大号码； ②X 表示取出的最小号码；③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X 表示取出的4个球的总得分； ④X 表示取出的黑球个数．这四种变量中服从超几何分布的是( ) A ．①② B ．③④ C ．①②④D ．①②③④【解析】 由超几何分布的概念知③④符合，故选B. 【答案】 B2．现有语文、数学课本共7本(其中语文课本不少于2本)，从中任取2本，至多有1本语文课本的概率是57，则语文课本的本数为( ) 【导学号：62690033】A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】 设语文课本有m 本，任取2本书中的语文课本数为X ，则X 服从参数为N ＝7，M ＝m ，n ＝2的超几何分布，其中X 的所有可能取值为0,1,2，且P(X ＝k)＝C k m C 2－k7－mC 27(k ＝0,1,2)．由题意，得P(X≤1)＝P(X ＝0)＋P(X ＝1)＝C 0m C 27－m C 27＋C 1m C 17－mC 27＝12×7－m 6－m 21＋m7－m 21＝57. ∴m 2－m －12＝0，解得m ＝4或m ＝－3(舍去)． 即7本书中语文课本有4本． 【答案】 C3．口袋内装有10个大小相同的球，其中5个球标有数字0,5个球标有数字1，若从口袋中摸出5个球，那么摸出的5个球所标数字之和小于2或大于3的概率是________(用数字作答)．【解析】 设摸出标有数字1的球的个数为X ，则所求的概率为： 1－P(X ＝2)－P(X ＝3)＝1－C 25C 35C 510－C 35C 25C 510＝1－5063＝1363.【答案】13634．盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球．规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得－1分．现从盒内任取3个球．(1)求取出的3个球中至少有一个红球的概率； (2)求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；(3)设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ的分布列． 【解】 (1)P ＝1－C 37C 39＝712.(2)记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B ，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件C ，则P(B ＋C)＝P(B)＋P(C)＝C 12C 23C 39＋C 22C 14C 39＝542.(3)ξ可能的取值为0,1,2,3，ξ服从超几何分布， 且P(ξ＝k)＝C k 3C 3－k 6C 39，k ＝0,1,2,3.故P(ξ＝0)＝C 36C 39＝521，P(ξ＝1)＝C 13C 26C 39＝1528，P(ξ＝2)＝C 23C 16C 39＝314，P(ξ＝3)＝C 33C 39＝184，ξ的分布列为。
2016-2017学年高二数学北师大版选修2-3学案：2.2 超几何分布 Word版含解析
§2超几何分布1．理解超几何分布及其推导过程．(重点)2．能用超几何分布解决一些简单的实际问题．(难点)[基础·初探]教材整理超几何分布阅读教材P38～P40部分，完成下列问题．1．超几何分布的概念一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品．从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么P(X＝k)＝____________(其中k 为非负整数)．如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X服从参数为N，M，n的超几何分布．2．超几何分布的表格形式【答案】 1.M N－MC n N 2.M N－MC n NM N－MC n NM N－MC n NM N－MC n N1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在产品检验中，超几何分布描述的是放回抽样．()(2)在超几何分布中，随机变量X取值的最大值是M.()(3)从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数X服从超几何分布．()(4)在超几何分布中，只要知道N，M和n，就可以根据公式，求出X取不同值m时的概率P(X＝m)．()【答案】(1)×(2)×(3)√(4)√2．设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为()A.C380C610C10100 B.C680C410C10100C.C480C620C10100 D.C680C420C10100【解析】设X表示任取10个球中红球的个数，则X服从参数为N＝100，M＝80，n＝10的超几何分布，取到的10个球中恰有6个红球，即X＝6，P(X＝6)＝C 680C420C10100.【答案】 D[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]个白球，这些球除颜色外完全相同．(1)若用随机变量X表示任选4个球中红球的个数，则X服从超几何分布，其参数为()A．N＝9，M＝4，n＝4 B．N＝9，M＝5，n＝5C．N＝13，M＝4，n＝4 D．N＝14，M＝5，n＝5(2)若用随机变量Y表示任选3个球中红球的个数，则Y的可能取值为________．(3)若用随机变量Z表示任选5个球中白球的个数，则P(Z＝2)＝________.【精彩点拨】着眼点：(1)超几何分布的概念；(2)参数的意义；(3)古典概型概率的计算公式．【自主解答】(1)根据超几何分布的定义知，N＝9，M＝4，n＝4.(2)由于只选取了3个球，因此随机变量Y的所有可能取值为0,1,2,3.(3)由古典概型概率计算公式知，P(Z＝2)＝C22C37C59＝518.【答案】(1)A(2)0,1,2,3(3)5 18对于超几何分布要注意以下两点：(1)超几何分布是不放回抽样；(2)公式P(X＝k)＝C k M·C n－kN－MC n N中各参数的意义.[再练一题]1．若将例1第(1)小题中改为“随机变量X表示不是红球的个数”，则参数N＝______，M＝______，n＝______.【解析】根据超几何分布的定义知，N＝9，M＝5，n＝4.【答案】95 43个球，求取出的红球数X 的分布列，并求至少有一个红球的概率．【精彩点拨】 先写出X 所有可能的取值，求出每一个X 所对应的概率，然后写出分布列，求出概率．【自主解答】 X ＝0,1,2,3， X ＝0表示取出的3个球全是黑球，P (X ＝0)＝C 35C 38＝1056＝528，同理P (X ＝1)＝C 13·C 25C 38＝3056＝1528，P (X ＝2)＝C 23·C 15C 38＝1556，P (X ＝3)＝C 33C 38＝156.∴X 的分布列为至少有一个红球的概率为P (X ≥1)＝1－528＝2328.超几何分布的求解步骤1．辨模型：结合实际情景分析所求概率分布问题是否具有明显的两部分组成，如“男生、女生”，“正品、次品”，“优劣”等，或可转化为明显的两部分．具有该特征的概率模型为超几何分布模型．2．算概率：可以直接借助公式P(X＝k)＝C k M C n－kN－MC n N求解，也可以利用排列组合及概率的知识求解，需注意借助公式求解时应理解参数M，N，n，k的含义．3．列分布表：把求得的概率值通过表格表示出来．[再练一题]2．从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，求取得次品数为ξ的分布列．【解】设随机变量ξ表示取出次品的件数，则ξ服从超几何分布，其中N ＝15，M＝2，n＝3.ξ的可能的取值为0,1,2，相应的概率依次为P(ξ＝0)＝C02C313C315＝2235，P(ξ＝1)＝C12C213C315＝1235，P(ξ＝2)＝C22C113C315＝135.所以ξ的分布列为探究12分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球．试求得分X的分布列．【提示】从袋中随机摸4个球的情况为1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红四种情况，分别得分为5分，6分，7分，8分，故X的可能取值为5,6,7,8.P(X＝5)＝C14C33C47＝435，P(X＝6)＝C24C23C47＝1835，P(X＝7)＝C34C13C47＝1235，P(X＝8)＝C44C03C47＝135.故所求的分布列为探究2 【提示】 根据随机变量X 的分布列，可以得到得分大于6分的概率为P (X >6)＝P (X ＝7)＋P (X ＝8)＝1235＋135＝1335.交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念．记交通指数为T ，其范围为[0,10]，分别有五个级别：T ∈[0,2)畅通；T ∈[2,4)基本畅通；T ∈[4,6)轻度拥堵；T ∈[6,8)中度拥堵；T ∈[8,10]严重拥堵．晚高峰时段，从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的直方图如图2-2-1所示：图2-2-1(1)这20个路段轻度拥堵、中度拥堵的路段各有多少个？(2)从这20个路段中随机抽出3个路段，用X 表示抽取的中度拥堵的路段的个数，求X 的分布列．【精彩点拨】 (1)求这20个路段中轻度拥堵、中度拥堵的个数，即求交通指数分别为[4,6)和[6,8)时的频数．根据频率分布直方图的性质求解．(2)先根据超几何分布的概率公式求解X 取各个值时的概率，再列出分布列．【自主解答】 (1)由直方图得：轻度拥堵的路段个数是(0.1＋0.2)×1×20＝6；中度拥堵的路段个数是(0.3＋0.2)×1×20＝10.(2)X 的可能取值为0,1,2,3.则P (X ＝0)＝C 010C 310C 320＝219；P (X ＝1)＝C 110C 210C 320＝1538；P(X＝2)＝C210C110C320＝1538；P(X＝3)＝C310C010C320＝219.所以X的分布列为1．超几何分布具有广泛的应用，它可以用来描述产品抽样中的次品数的分布规律，也可以用来研究我们熟悉的不放回摸球游戏中的某些概率问题．在其分布列的表达式中，各个字母的含义在不同的背景下会有所不同．2．在超几何分布中，随机变量X取每个值的概率是用古典概型计算的，明确每一个基本事件的性质是正确解答此类问题的关键．[再练一题]3．某人有5把钥匙，其中只有一把能打开办公室的门，一次他醉酒后拿钥匙去开门．由于看不清是哪把钥匙，他只好逐一去试．若不能开门，则把钥匙扔到一边，记打开门时试开门的次数为ξ，试求ξ的分布列，并求他至多试开3次的概率．【解】ξ的所有可能取值为1,2,3,4,5，且P(ξ＝1)＝C 11 C15＝15，P(ξ＝2)＝C14C11C15C14＝15，P(ξ＝3)＝C14C13C11C15C14C13＝15，P(ξ＝4)＝C14C13C12C11C15C14C13C12＝15，P(ξ＝5)＝C14C13C12C11C11C15C14C13C12C11＝1 5.因此ξ的分布列为由分布列知P(ξ≤3)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝15＋15＋15＝35.[构建·体系]1．盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，则取出1个白球和2个红球的概率是()A.3742 B.1742C.1021 D.1721【解析】根据题意知，该问题为古典概型，∴P＝C14C25C39＝1021.【答案】 C2．某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从这10人中任选4人参加某种活动，用X表示4人中的团员人数，则P(X＝3)＝() 【导学号：62690031】A.421 B.921C.621 D.521【解析】P(X＝3)＝C35C15C410＝521.【答案】 D3．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，若设X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数，则P(X＝1)＝________.【解析】X＝1表示的结果是抽取的2台彩电有甲型和乙型彩电各一台，故所求概率P(X＝1)＝C 13C12 C25＝3 5.【答案】 354．在某次国际会议中，需要从4个日本人，5个英国人和6个美国人中，任选4人负责新闻发布会，则恰好含有3个英国人的概率为________．(用式子表示)【解析】 设选取的4人中英国人有X 个，由题意知X 服从参数为N ＝15，M ＝5，n ＝4的超几何分布，其中X 的所有可能取值为0,1,2,3,4，且P (X ＝k )＝C k 5C 4－k 10C 415(k ＝0,1,2,3,4)．∴P (X ＝3)＝C 35C 110C 415.【答案】 C 35C 110C 4155．一个袋中装有3个白球和2个黑球，它们大小相同，采用无放回地方式从袋中任取3个球，取到黑球的数目用X 表示，求随机变量X 的分布列．【解】 X 可能取的值为0,1,2. 由题意知，X 服从超几何分布，所以P (X ＝0)＝C 02·C 33C 35＝110；P (X ＝1)＝C 12·C 23C 35＝35；P (X ＝2)＝C 22·C 13C 35＝310.所以X 的分布列为：我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张是A 的概率为()A.C34C248 C552B.C348C24 C552C．1－C148C44 C552D.C34C248＋C44C148C552【解析】从52张扑克牌中任意抽出5张，至少有3张A的结果数是C34C248＋C44C148，故所求概率为C34C248＋C44C148C552.【答案】 D2．一个盒子里装有相同大小的黑球10个，红球12个，白球4个，从中任取2个，其中白球的个数记为X，则P(X≤1)等于()A.C122C14＋C222C226 B.C112C14＋C24C226C.C110C14＋C222C226 D.C110C14＋C24C226【解析】由已知得，X的可能取值为0,1,2.P(X＝0)＝C222C226；P(X＝1)＝C122C14C226；P(X＝2)＝C24C226，∴P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝C122C14＋C222C226.【答案】 A3．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么310等于()A．恰有1只是坏的的概率B．恰有两只是好的的概率C．4只全是好的的概率D．至多有两只是坏的的概率【解析】恰好两只是好的概率为P＝C23C27C410＝310.【答案】 B4．某12人的兴趣小组中，有5名“特困生”，现从中任意选6人参加竞赛，用ξ表示这6人中“特困生”的人数，则下列概率中等于C35C37C612的是()A．P(ξ＝2) B．P(ξ＝3)C．P(ξ≤2) D．P(ξ≤3)【解析】6人中“特困生”的人数为ξ，则其选法数为Cξ5·C6－ξ7，当ξ＝3时，选法数为C35C37，故P(ξ＝3)＝C 35C37C612.【答案】 B5．一个盒子里装有相同大小的红球、白球共30个，其中白球4个．从中任取两个，则概率为C 126C 14＋C 24C 230的事件是( ) 【导学号：62690032】A ．没有白球B ．至少有一个白球C ．至少有一个红球D ．至多有一个白球【解析】 C 126C 14＋C 24C 230＝C 126C 14C 230＋C 24C 230表示任取的两个球中只有一个白球和两个都是白球的概率，即至少有一个白球的概率．【答案】 B 二、填空题6．一批产品共50件，其中5件次品，其余均为合格品，从这批产品中任意抽取两件，其中出现次品的概率为________．【解析】 设抽取的两件产品中次品的件数为X ，则P (X ＝k )＝C k 5C 2－k45C 250(k ＝0,1,2)．∴P (X >0)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝C 15C 145C 250＋C 25C 250＝47245.【答案】 472457．在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期．从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过了保质期饮料的概率为________．(结果用最简分数表示)【解析】 从这30瓶饮料中任取2瓶，设至少取到1瓶已过了保质期饮料为事件A ，则P (A )＝C 127C 13C 230＋C 23C 230＝28145.【答案】 281458．(2016·铜川高二检测)袋中有3个黑球，4个红球，除颜色外，其他均相同，从袋中任取3个球，则至少有一个红球的概率为________．【解析】 令X 表示取出的黑球个数，则X ＝0,1,2,3，P (X ＝0)＝C 33C 37＝135，故至少有一个红球的概率为P (X ≥1)＝1－135＝3435.【答案】34 35三、解答题9．现有10张奖券，其中8张1元，2张5元，从中同时任取3张，求所得金额的分布列．【解】设所得金额为X，X的可能取值为3,7,11.P(X＝3)＝C38C310＝715，P(X＝7)＝C28C12C310＝715，P(X＝11)＝C18·C22C310＝115.故X的分布列为10.老师要从10规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：(1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列；(2)他能及格的概率．【解】(1)设抽到他能背诵的课文的数量为X，则P(X＝k)＝C k6C3－k4C310(k＝0,1,2,3)．P(X＝0)＝C06C34C310＝130，P(X＝1)＝C16C24C310＝310，P(X＝2)＝C26C14C310＝12，P(X＝3)＝C36C04C310＝16.所以X的分布列为(2)他能及格的概率为P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝12＋16＝23.[能力提升]1．一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，有如下几种变量：①X表示取出的最大号码；②X表示取出的最小号码；③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分；④X表示取出的黑球个数．这四种变量中服从超几何分布的是()A．①②B．③④C．①②④D．①②③④【解析】由超几何分布的概念知③④符合，故选B.【答案】 B2．现有语文、数学课本共7本(其中语文课本不少于2本)，从中任取2本，至多有1本语文课本的概率是57，则语文课本的本数为() 【导学号：62690033】A．2 B．3C．4 D．5【解析】设语文课本有m本，任取2本书中的语文课本数为X，则X服从参数为N＝7，M＝m，n＝2的超几何分布，其中X的所有可能取值为0,1,2，且P(X＝k)＝C k m C2－k7－mC27(k＝0,1,2)．由题意，得P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝C0m C27－mC27＋C1m C17－mC27＝1 2×(7－m)(6－m)21＋m(7－m)21＝57.∴m2－m－12＝0，解得m＝4或m＝－3(舍去)．即7本书中语文课本有4本．【答案】 C3．口袋内装有10个大小相同的球，其中5个球标有数字0,5个球标有数字1，若从口袋中摸出5个球，那么摸出的5个球所标数字之和小于2或大于3的概率是________(用数字作答)．【解析】设摸出标有数字1的球的个数为X，则所求的概率为：1－P(X＝2)－P(X＝3)＝1－C25C35C510－C35C25C510＝1－5063＝1363.【答案】13 634．盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球．规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得－1分．现从盒内任取3个球．(1)求取出的3个球中至少有一个红球的概率；(2)求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；(3)设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ的分布列．【解】(1)P＝1－C37C39＝712.(2)记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件C，则P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝C 12C23C39＋C22C14C39＝542.(3)ξ可能的取值为0,1,2,3，ξ服从超几何分布，且P(ξ＝k)＝C k3C3－k6C39，k＝0,1,2,3.故P(ξ＝0)＝C 36 C39＝5 21，P(ξ＝1)＝C13C26C39＝1528，P(ξ＝2)＝C23C16C39＝314，P(ξ＝3)＝C33C39＝184，ξ的分布列为。
高中数学2.1.3超几何分布学案新人教B版选修2-3
2.1。
3 超几何分布1。
理解超几何分布及其推导过程。
(重点、难点)2.能用超几何分布解决一些简单的实际问题。
（难点)［基础·初探]教材整理超几何分布阅读教材P44～P45例1以上部分，完成下列问题.设有总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n件(n≤N），这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量,它取值为m时的概率为P(X＝m）＝错误!（0≤m≤l，l为n和M中较小的一个),则称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N，M，n的超几何分布。
1.判断（正确的打“√”，错误的打“×"）（1）超几何分布的模型是不放回抽样.(√)（2）超几何分布的总体里可以有两类或三类特点.(×）（3)超几何分布中的参数是N，M，n。
（√)（4)超几何分布的总体往往由差异明显的两部分组成。
（√）2。
设10件产品中有3件次品，现从中抽取5件,则错误!表示（）A。
5件产品中有3件次品的概率B.5件产品中有2件次品的概率C。
5件产品中有2件正品的概率D。
5件产品中至少有2件次品的概率【解析】根据超几何分布的定义可知C2，3表示从3件次品中任选2件,C错误!表示从7件正品中任选3件，故选B。
【答案】B［质疑·手记］预习完成后，请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3:解惑：［小组合作型]超几何分布概率公式的应用从放有10个红球与15个白球的暗箱中，随意摸出5个球,规定取到一个白球得1分，一个红球得2分，求某人摸出5个球,恰好得7分的概率.【精彩点拨】摸出5个球得7分,即摸出2个红球，3个白球，然后利用超几何分布的概率公式求解即可.【自主解答】设摸出的红球个数为X,则X服从超几何分布，其中N＝25，M＝10，n＝5，由于摸出5个球,得7分，仅有两个红球的可能，那么恰好得7分的概率为P（X＝2）＝错误!≈0。
2.1.3两点分布与超几何分布
学习目标： 1．进一步理解离散型随机变量的分布列的求法、作用. 2．理解两点分布和超几何分布．
探究展示
问题 1 在掷一枚图钉的随机试验中，令 X＝ 1 针尖向上 0 针尖向下
，
如果针尖向上的概率为 0.8，试写出随机变量 X 的分布列____．
分析 由题意知：P(X＝1)＝0.8，P(X＝0)＝0.2.其分布列为： 一般地，如果随机变量 X 的分布列为： X P
k n C M C NkM n P(X＝k)＝ C N
，k＝
0,1,2，…，m(m＝min{M，n})，进行处理即可．
3
问题 3 袋中有 7 个球，其中有 4 个红球，3 个黑球，从袋 中任取 3 个球，求取出的红球数 X 的分布列及 P(X>2)．
4
精讲点拨
例 袋中装着标有数字 1,2,3,4,5 的小球各 2 个，从袋中任取 3 个 小球，每个小球被取出的可能性都相等，用 X 表示取出的 3 个小 球上的最大数字，且按 3 个小球上最大数字的 9 倍计分，求 (1)取出的 3 个小球上的数字互不相同的概率； (2)随机变量 X 的分布列； (3)计算介于 20 分到 40 分之间的概率．
X1 0.8 P 00 0.2 1－p 1 p
则称离散型随机变量 X 服从
两点分布 ．
2
问题 2 在含有 5 件次品的 100 件产品中，任取 3 件，求： (1)取到次品数 X 的分布列； (2)至少取到 1 件次品的概率。
一般地，一个总体(共有 N 个)内含有两种不同的事物 A(M 个)， B(N—M 个)，任取 n 个，其中恰有 X 个 A 符合即可断定是超 几何分布．按照超几何分布的分布列
2019秋金版学案数学选修2-3(人教A版)练习：第二章2.1-2.1.2第2课时两点分布与超几何分布含解析
第二章随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布列2.1.2 离散开明随机变量的分布列第2课时两点分布与超几何分布A级基础巩固一、选择题1．下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是()A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数XB．从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数为XC．某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为XD．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数解析：由超几何分布的定义知，B项正确．答案：B2．若随机变量X的概率分布列为且p 1＝12p 2，则p 1等于( )A.12B.13C.14D.16解析：由p 1＋p 2＝1且p 2＝2p 1可解得p 1＝13.答案：B3．设随机变量ξ的概率分布为P (ξ＝k )＝ck ＋1，k ＝0，1，2，3，则c＝( )A.1425B.1325C.1225D.1125解析：依题意c ＋c 2＋c 3＋c4＝1，所以c ＝1225.答案：C4．盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是310的事件为( )A ．恰有1个是坏的B ．4个全是好的C ．恰有2个是好的D ．至多有2个是坏的解析：“X ＝k ”表示“取出的螺丝钉恰有k 个是好的”，则P (X ＝k )＝C k 7C 4－k3C 410(k ＝1，2，3，4)．所以P (X ＝1)＝130，P (X ＝2)＝310，P (X ＝3)＝12，P (X ＝4)＝16.答案：C5．一盒中有12个大小、形状完全相同的小球，其中9个红的，3个黑的，从盒中任取3球，x 表示取出的红球个数，P (x ＝1)的值为( )A.1220B.2755C.27220D.2125解析：由题意知，取出3球必是一红二黑，故P (x ＝1)＝C 19C 23C 312＝27220，选C 项．答案：C 二、填空题6．10名同学中有a 名女生，若从中抽取2个人作为学生代表，恰好抽取1名女生的概率为1645，则a ＝________．解析：根据题意，得1645＝C 110－a C 1aC 210，解得a ＝2或a ＝8.答案：2或87．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取2个球，设其中有ξ个红球，则随机变量ξ的分布列为：ξ 0 12P________ ____解析：P (ξ＝0)＝C 03C 22C 25＝110，P (ξ＝1)＝C 13C 12C 25＝610＝35，P (ξ＝2)＝C 23C 02C 25＝310.答案：110 35 3108．某导游团有外语导游10人，其中6人会说日语，现要选出4人去完成一项任务，则有两人会说日语的概率为________．解析：设选出4人中，会说日语的人数为X ，则X 服从N ＝10，M ＝6，n ＝4的超几何分布．所以有两人会说日语的概率为：P (X ＝2)＝C 26C 24C 410＝37.答案：37三、解答题9．某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生，4名女生，从中选出4人参与数学竞赛考试，用X 表示其中的男生人数．求X 的分布列．解：依题意随机变量X 服从超几何分布，所以P (X ＝m )＝C m 6×C 4－m4C 410(m ＝0，1，2，3，4)． 所以P (X ＝0)＝C 06×C 44C 410＝1210，P (X ＝1)＝C 16×C 34C 410＝435， P (X ＝2)＝C 26×C 24C 410＝37，P (X ＝3)＝C 36×C 14C 410＝821， P (X ＝4)＝C 46×C 04C 410＝114.所以X 的分布列为：X 0 1 2 3 4 P12104353782111410.收该批产品的准则是：从该批产品中任取5箱产品进行检测，若至多有1箱不合格产品，便接收该批产品．问：该批产品被接收的概率是多少？解：以50箱为一批产品，从中随机抽取5箱，用X 表示“5箱中不合格产品的箱数”，则X 服从超几何分布．这批产品被接收的条件是5箱中没有不合格的或只有1箱不合格，所以被接收的概率为P (X ≤1)，即P (X ≤1)＝C 02C 548C 550＋C 12C 448C 550＝243245.综上该批产品被接收的概率是243245. B 级 能力提升1．已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其次品数为ξ，已知P (ξ＝1)＝1645，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为( )A ．10%B ．20%C ．30%D ．40%解析：设10件产品中有x 件次品，则P (ξ＝1)＝C 1x C 110－xC 210＝x （10－x ）45＝1645，解得x ＝2或8.因为次品率不超过40%，所以x ＝2，所以次品率为210＝20%.答案：B2．某班有50名学生，其中15人选修A 课程，另外35人选修B 课程，从班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是________．解析：将50名学生看作一批产品，其中选修A 课程为不合格品，选修B 课程为合格品，随机抽取两名学生，X 表示选修A 课程的学生数，则X 服从超几何分布，其中N ＝50，M ＝15，n ＝2.依题意所求概率为P (X ＝1)＝C 115C 2－150－15C 250＝37. 答案：373．小王为了锻炼身体，每天坚持“健步走”，并用计步器进行统计．小王最近8天“健步走”步数的频率分布直方图及相应的消耗能量数据表如下．健步走步数/千步16171819消耗能量/卡路里400440480520(1)(2)从步数为16千步，17千步，18千步的几天中任选2天，设小王这2天通过健步走消耗的“能量和”为X，求X的分布列．解：(1)小王这8天“健步走”步数的平均数为16×3＋17×2＋18×1＋19×28＝17.25(千步)．(2)X的各种取值可能为800，840，880，920.P(X＝800)＝C23C26＝15，P(X＝840)＝C13C12C26＝25，P(X＝880)＝C13C11＋C22C26＝415，P(X＝920)＝C12C11C26＝215.则X的分布列为：X 800840880920P 1525415215。
数学高二-选修2-3学案 第二章2 超几何分布
§2 超几何分布超几何分布一般地，设有N 件产品，其中有M (M ≤N )件次品，从中任取n (n ≤N )件产品．用x 表示取出的n 件产品中次品的件数，那么P (x ＝k )＝C k M C n －k N －MC n M(其中k为非负整数)．如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称x服从参数为N ，M ，n 的超几何分布． 预习交流如何正确理解超几何分布？提示：(1)超几何分布是不放回的抽样；(2)超几何分布中各参数k ，n ，M ，N 的意义分别为：k 是取出的次品件数，n 是取出的产品数，M 是产品中的次品数，N 是产品总数．1．超几何分布的实例某班共50名学生，其中35名男生，15名女生，随机从中抽取5名同学参加学生代表大会，所抽取的5名学生代表中，求女生人数X 的分布列．思路分析：由题意知女生人数X 服从超几何分布，其中N ＝50，M ＝15，n ＝5.利用超几何分布的概率公式求解．解：从50名学生中随机抽取5人共有C 550种方法，没有女生的取法是C 015C 535，恰有1名女生的取法为C 115C 435，恰有2名女生的取法为C 215C 335，恰有3名女生的取法为C 315C 235，恰有4名女生的取法为C 415C 135，恰有5名女生的取法为C 515C 035.因此，抽取5名学生代表中，女生人数X 的分布列为：从一批含有13件正品，2件次品的产品中，不放回地任取3件，求取得次品数X 的分布列．解：设随机变量x 表示取出次品的个数，则X 服从参数N ＝15，M ＝2，n ＝3的超几何分布． 它的可能的取值为0,1,2，相应的概率依次为：P (x ＝0)＝C 02C 313C 315＝2235，P (x ＝1)＝C 12C 213C 315＝1235，P (x ＝2)＝C 22C 113C 315＝135.所以X 的分布列为：应用超几何分布的概率公式求解，关键是透彻理解超几何分布的意义，即明确k ，n ，N ，M 的实际意义及所取的相应数值．2．超几何分布的实际应用从6名男同学和4名女同学中随机选出3名同学参加一项竞技测试．试求出选3名同学中，至少有一名女同学的概率．思路分析：由题目可知选出的女同学人数服从参数N ＝10，M ＝4，n ＝3的超几何分布，根据超几何分布概率公式直接求，也可用间接法求解．解：设选出的女同学人数为X ，则X 的可能取值为0,1,2,3，且X 服从参数为N ＝10，M ＝4，n ＝3的超几何分布，于是选出的3名同学中，至少有一名女同学的概率为：P (X ≥1)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝C 14C 26C 310＋C 24C 16C 310＋C 34C 06C 310＝56或P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－C 04C 36C 310＝56.生产方提供50箱的一批产品，其中有2箱不合格产品，采购方接收该批产品的原则是：从该批产品中任取5箱产品进行检验，若至多有1箱不合格产品，便接收该批产品，问该批产品被接收的概率是多少？解：以50箱为一批产品，从中随机抽取5箱，用X 表示“5箱中的不合格产品的箱数”，则X 服从参数N ＝50，M ＝2，n ＝5的超几何分布，这批产品被接收的条件是任取的5箱中没有不合格或只有1箱不合格，所以被接收的概率为：P (X ≤1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝C 02C 548C 550＋C 12C 448C 550＝243245≈99.2%. 所以该批产品被接收的概率是99.2%.超几何分布是离散型随机变量的分布列中较常见的一种模型，要理解P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC n N(其中k 为非负整数)，先求出概率值，列出分布列，再求符合题意的概率．1．有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，若X 表示取得次品的个数，则P (X ＜2)＝( )．A ．715B ．815C ．1415D ．1答案：C解析：由题意知X 取0,1,2且服从超几何分布，其中N ＝10，M ＝3，n ＝2.即P (X ＜2)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝C 03C 27C 210＋C 13C 17C 210＝715＋715＝1415.2．100张奖券中有4张有奖，从这100张奖券中任取2张，则2张都中奖的概率是( )．A ．150B ．125C ．1825D ．14 950答案：C解析：由题意知中奖的奖券数X 可取0,1,2，服从超几何分布，N ＝100，M ＝4，n ＝2，∴2张都中奖的概率为P (X ＝2)＝C 24C 096C 2100＝1825.3．把X ，Y 两种遗传基因冷冻保存，若X 有30个单位，Y 有20个单位，且保存过程中有2个单位的基因失效，则X ，Y 两种基因各失效1个单位的概率是( )．A ．2449B ．125C ．130D ．1600答案：A解析：由题意知服从超几何分布，则X ，Y 两种基因各失效1个单位的概率为C 130C 120C 250＝2449.4．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任选2台，其中两种型号都齐全的概率是__________．答案：35解析：由题意知服从超几何分布，其中两种型号都齐全的概率为C 13C 12C 25＝35.5．50张彩票中只有2张中奖票，今从中任取n 张，为了使这n 张彩票里至少有一张中奖的概率大于0.5，n 至少为多少？解：设随机变量X 表示“抽出中奖票的张数”，则X 服从超几何分布，其中N ＝50，M ＝2，X 可取0,1,2，∴P (X ≥1)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝C 12C n －148C n 50＋C 22C n －248C n 50＞0.5，解得n ≥15.∴n 至少为15时，至少有一张中奖的概率大于0.5.。
人教A版高中数学选修2-2 2.1.2《两点分布和超几何分布》教案
?两点分布和超几何分布?教学设计鄞州区姜山中学蒋自佳一、教学内容解析本课题来自人教A版选修2-3第二章?随机变量及其分布?2.1?离散型随机变量及其分布列?第二课时，主要内容是学习两点分布和超几何分布模型。
两点分布是随机变量只有0和1两种结果的分布列，是最简单的分布列，也是之后学习二项分布的根底，起着承上启下的作用。
超几何分布是由有限个物体中抽出n个物体，成功抽出指定种类的物件的次数〔不归还〕。
两点分布和超几何分布列是离散型随机变量分布列两种重要模型，这局部内容以实际情境为主，需要学生具备一定建模才能，建立适宜的分布列，表达数学来源于生活并效劳于生活，促使学生在学习理论中形成和开展数学应用意识。
二、教学目的设置根据教材分析和课标要求，确定如下教学目的：1、知识与技能：掌握两点分布和超几何分布根本概念，能解决与两点分布和超几何分布相关概率问题。
2、过程与方法：学生已具有一定的分析解决抽象问题才能，通过设立详细问题情境，老师启发引导，归纳总结两点分布和超几何分布问题概念和解决规律，培养学生总结探究才能。
3、情感、态度与价值观：通过师生共同参与详细问题的分析，总结探究解决问题的方法，在循序渐进过程中对问题分析和逐步深化，激发学生学习兴趣。
根据上述目的，教学需要上力求表达六大核心素养：数学抽象，逻辑推理，数学建模，数学运算，直观想象和数据分析。
三、学生学情分析1、认知根底：学生在必修3中已经学习了有关概率统计的根底知识，利用选修2-3第一章计数原理与排列组合知识可以解决古典概型的概率，在选修2-3第二章第一课时学习了随机变量、离散型随机变量的概念，分布列概念和性质，可以解决简单的分布列问题，但学生对随机变量，离散型随机变量概念理解不够深化，求分布列过程还不纯熟。
2、才能储藏：学生可以利用已有的概率统计知识解决一些简单问题，思维活泼，初步具备自主分析和探究才能，但考虑不够严谨，容易遗漏，处理抽象问题才能还有待进步。
2.1.2两点分布与超几何分布(修改)ppt课件
所以随机变量X的分布列是 如取小数,注意保留小
p( X
k)
C5k
•
C 3k 95
C3 100
数位X不能太少0,此外四 1
舍五入时还要注意各
个概P率和等C50于• C1.935
C51•CFra bibliotek2 95
C3 100
C3 100
2
C52 • C915 C3
100
3
C53 • C905 C3
100
(2)P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)≈0.14400; 或P(X≥1)=1-P(X=0)=1- C50 • C935 ≈0.14400; C3
1
一.离散型随机变量的分布列:
1、定义 设离散型随机变量X的所有可能的取值为
x1, x2 , x3 , , xn .
X取每一个值xi(i=1,2,…,n)的概率为P(X=xi)=pi， 以表格的形式表示如下:
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
这个表就称为离散型随机变量X的概率分布列,简称为X 的分布列. 有时为了简单起见，也用等式 P(X xi ) pi,
2、对于0-1分布，设P(0)=m，0<m<1，则 P(1)= 1-m .
3、篮球比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分，已知某运动员
罚球命中概率为0.7,求他一次罚球得分的分布列。
X
0
1
P
0.3
0.7
8
例2、在含有5件次品的100件产品中, 任取3件, 求取到的次品数X的分布列. 问：X的可能取哪些值？
两点分布，而称p=P(X=1)为成功概率。
高中数学北师大版选修2-3教学案第二章 2 超几何分布 Word版含解析
§超几何分布已知在件产品中有件次品，现从这件产品中任取件，用表示取得的次品数．问题：可能取哪些值？提示：.问题：“＝”表示的试验结果是什么？(＝)的值呢？提示：任取件产品中恰有件次品．(＝)＝.问题：如何求(＝)？(＝)提示：(＝)＝.超几何分布一般地，设有件产品，其中有(≤)件是次品．从中任取(≤)件产品，用表示取出的件产品中次品的件数，那么(＝)＝(其中为非负整数)．如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称服从参数为，，的超几何分布．()超几何分布，实质上就是有总数为件的两类物品，其中一类有(≤)件，从所有物品中任取件，这件中所含这类物品的件数是一个离散型随机变量，它取值为时的概率为(＝)＝①(≤，是和中较小的一个)．()在超几何分布中，只要知道，和，就可以根据公式①求出取不同值时的概率，从而写出的分布列．[例]高三()除颜色外完全相同．现一次从中摸出个球，若摸到个红球个白球的就中一等奖，求中一等奖的概率．[思路点拨]若以个球为一批产品，则球的总数可与产品总数对应，红球数可与产品中总的不合格产品数对应，一次从中摸出个球，即＝，这个球中红球的个数是一个离散型随机变量，服从超几何分布．[精解详析]若以个球为一批产品，其中红球为不合格产品，随机抽取个球，表示取到的红球数，则服从超几何分布．由公式得(＝)＝＝≈，所以获一等奖的概率约为.[一点通]解决此类问题的关键是先判断所给问题是否属于超几何分布问题，若是，则可直接利用公式求解，要注意，，，的取值．．一批产品共件，次品率为，从中任取件，则正好取到件次品的概率是( )解析：由题意件产品中有件次品，故所求概率为＝＝.答案：．设件产品中，有件次品，现从中抽取件，用表示抽得次品的件数，则服从参数为(即定义中的，，)的超几何分布．答案：．从名男同学和名女同学中随机选出名同学参加一项竞技测试．试求出选名同学中，至少有一名女同学的概率．解：设选出的女同学人数为，则的可能取值为，且服从参数为＝，＝，＝的超几何分布，于是选出的名同学中，至少有一名女同学的概率为：(≥)＝(＝)＋(＝)＋(＝)＝＋＋＝或(≥)＝－(＝)＝－＝.[例](分)人中女生的人数，求的分布列及(<)．[思路点拨]可以将人看作件“产品”，名女生看作件“次品”，任选人中女生的人数可看作是任取件“产品”中所含的“次品”数．[精解详析]由题意分析可知，随机变量服从超几何分布．其中＝，＝，＝，(分)。