高中数学选修2-3学案：2 1 2第2课时两点分布与超几何分布

第二章 随机变量及其分布

2.1 离散型随机变量及其分布列

2.1.2 离散型随机变量的分布列

第2课时 两点分布与超几何分布

[学习目标] 1．加深对离散型随机变量分布列的理解和应用（重点）；2．通过实例，理解超几何分布的意义及其概率的推导过程，并能运用公式解决简单问题（重点、难点）．

课前⋅自主学习 研读提炼⋅思考尝试

【知识提炼⋅梳理】 1. 两个特殊分布

（1）两点分布：如果随机变量X 的分布列为：

则称离散型随机变量X 服从 两点分布 ，称(1)p P X ==为 成功概率 ．

（2）超几何分布：一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件

次品，则()k n k

M N M

n

N

C C P X k C --==，0k =，1，2，…，m ，其中min{,}m M n =，且n N ≤，M N ≤，n ，M ，*N N ∈，

称分布列为 超几何分布列 ．如果随机变量X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量X 服从 超几何分布 .

温馨提示：两点分布的随机变量X 只能取0和1，否则，只取两个值的分布不是两点分布. 【思考尝试⋅夯基】

1．思考判断（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）随机变量X 只取两个值的分布是两点分布. （ ）

（2）新生儿的性别、投篮是否命中、买到的商品是否为正品，可用两点分布研究.（ ） （3）从3本物理书和5本数学书中选出3本，记选出的数学书为X 本，则X 服从超几何分布. （ ）

[解析] （1）错，只有随机变量取0或1的分布才是二项分布. （2）对，根据两点分布的概念知，该说法正确.

超几何分布.

[答案] （1）×（2）√（3）√

2．在100张奖券中，有4张能中奖，从中任取2张，则2张都能中奖的概率是（ ）

A .150

B .125

C .1825

D .1

4 950 [解析]依题意2

421001

825

C P C ==.

[答案] C

3．若随机变量X 服从两点分布，且(0)0.8P X ==，(1)0.2P X ==.令32Y X =-，则

(2)P Y =-= （ ）

A ．0.8

B ．0.2

C ．0.4

D ．0.1 [解析]因为32Y X =-，所以1

(2)3

X Y =

+，当2Y =-时，0X =，所以(2)P Y =-= (0)0.8P X ==.

[答案] A

4．某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X 描述1次试验的成功次数，则

(1)P X == ( )

[解析]设失败率为p ，则成功率为2p ， 由p ＋2p ＝1，得p ＝1

3，所以223

p =.

[答案]

2

3

5．一批产品共50件，其中5件次品，45件正品，从这批产品中任抽两件，则出现次品的概率为( )

[解析] 出现次品的概率为245250454447

115049245

C P C ⨯=-=-=

⨯. [答案]

47

245

课堂⋅师生互动 典例解惑⋅探究突破

类型1 两点分布（自主研析）

【典例1】一个盒子中装有5个黄色玻璃球和4个红色玻璃球，从中摸出两球，记

X

=⎩

⎪⎨

⎪⎧

0 (两球全红)，

1 (两球非全红)，求X 的分布列．

[自主解答]因为X 服从两点分布，

所以则2

4291

(0)6

C P X C ===，15(1)166P X ==-=.

所以X 的分布列为

【归纳升华】（1

点分布，如随机变量ξ的分布列如下表

它就不是两点分布，但经过适当变换后，它可以变为两点分布．如令0(2)

1(3)Y ξξ=⎧=⎨=⎩

，

则随机变量Y 服从两点分布，分布列为：

（2）用两点分布不仅可以研究只有两个结果的随机试验的概率分布规律，也可以研究其它一些随机事件的概率分布．如在有多个结果的随机试验中，我们经常只关心某个随机事件是否发生，这时就可以用两点分布来研究它．

[变式训练]在掷骰子试验中，有6种可能结果，如果我们只关心出现的点数是否小于4，问如何定义随机变量η，才能使η满足两点分布，并求其分布列．

[解] 随机变量η可以定义为：

η＝⎩

⎪⎨⎪

⎧

1 掷出点数小于4，0 掷出点数不小于4. 显然η只取0，1两个值． 且31

(1)62

P η==

=，故η的分布列为

类型2 超几何分布

【典例2】老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：

（1）抽到他能背诵的课文的数量的概率分布； （2）他能及格的概率．

[解] （1）设抽到他能背诵的课文的数量为X ，

则364

3

10

()(0,1,2,3)r r C C P X r r C -===． 所以03643101(0)30C C P X C ===，12643

103

(1)30C C P X C ===， 21643101(2)2C C P X C ===，30

643101

(3)6

C C P X C ===.

所以X 的概率分布为

【可直接运用相关公式或结论求解．

（2）超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数． [变式训练] 设10件产品中，有3件次品，7件正品，现从中抽取5件，求抽得次品件数ξ的分布列．

[解] ξ的可能取值为0，1，2，3.

这有05

375

10211

(0)25212

C C P C ξ====， 14375101055

(1)25212C C P C ξ====，

23375101055

(2)25212C C P C ξ====，

3237510211

(3)25212

C C P C ξ====.