新课标高中数学选修1-2全册学案
高中数学选修1 2教案
高中数学选修1 2教案教案标题：高中数学选修1&2教案教学目标：1. 熟练掌握高中数学选修1&2的基本概念和方法；2. 培养学生的数学思维和解决问题的能力；3. 培养学生的数学兴趣和学习动力；4. 培养学生的合作学习和团队合作能力。
教学重点：1. 理解和掌握高中数学选修1&2的基本概念；2. 掌握基本的数学计算和解题方法；3. 培养学生的数学思维和解决问题的能力。
教学难点：1. 培养学生的数学思维和解决问题的能力；2. 提高学生的数学学习兴趣和学习动力。
教学准备：1. 教学课件和教学素材；2. 教学实验器材和实验材料；3. 学生教材和参考书籍；4. 教学工具和辅助教学设备。
教学过程：第一课时：函数与方程1. 自我介绍和课程介绍（5分钟）；2. 引导学生回顾函数与方程的基本概念（10分钟）；3. 通过实例引导学生理解函数与方程的关系（15分钟）；4. 组织学生进行小组讨论，解决相关问题（15分钟）；5. 总结本节课的内容，并布置相关作业（5分钟）。
第二课时：数列与数列的运算1. 复习上节课的内容（5分钟）；2. 引导学生理解数列的概念和性质（10分钟）；3. 通过实例引导学生掌握数列的运算方法（15分钟）；4. 组织学生进行小组合作，解决相关问题（15分钟）；5. 总结本节课的内容，并布置相关作业（5分钟）。
第三课时：概率与统计1. 复习上节课的内容（5分钟）；2. 引导学生理解概率与统计的基本概念（10分钟）；3. 通过实例引导学生掌握概率与统计的计算方法（15分钟）；4. 组织学生进行小组合作，解决相关问题（15分钟）；5. 总结本节课的内容，并布置相关作业（5分钟）。
第四课时：平面向量与空间向量1. 复习上节课的内容（5分钟）；2. 引导学生理解平面向量与空间向量的基本概念（10分钟）；3. 通过实例引导学生掌握平面向量与空间向量的运算方法（15分钟）；4. 组织学生进行小组合作，解决相关问题（15分钟）；5. 总结本节课的内容，并布置相关作业（5分钟）。
金版新学案(人教版)高中数学选修1-2练习：章末高效整合1(含答案)
第一章 统计案例一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．分析人的身高与体重的关系，可以用( ) A ．残差分析 B ．回归分析 C ．等高条形图D ．独立性检验解析： 因为身高与体重是两个具有相关关系的变量，所以要用回归分析来解决． 答案： B2．如果有95%的把握说事件A 和B 有关系，那么具体计算出的数据( ) A ．k >3.841 B ．k <3.841 C ．k >6.635D ．k <6.635解析： 由独立性判断的方法可知，如果有95%的把握，则k >3.841. 答案： A3．分类变量X 和Y 的列联表如下：A ．ad －bc 越小，说明X 与Y 关系越弱B ．ad －bc 越大，说明X 与Y 关系越强C ．(ad －bc )2越大，说明X 与Y 关系越强D ．(ad －bc )2越接近于0，说明X 与Y 关系越强 解析： 因为k ＝n ad －bc 2a ＋ba ＋cb ＋dc ＋d，当(ad －bc )2越大时，k 越大，说明X 与Y 关系越强．答案： C4．已知x 与y 之间的一组数据：则y 与x 的线性回归方程y ∧＝b x ＋a 必过点是( )A ．(2,2)B ．(1.5,0)C ．(1,2)D ．(1.5,4)解析： y 与x 的线性回归方程必过样本点的中心(1.5,4)． 答案： D5．考察人的高血压病是否与食盐摄入量有关，对某地区人群进行跟踪调查，得到以下数据：A ．99%B ．95%C ．90%D ．无充分依据 解析： k ＝－2254×1 379×60×1 573≈80.155，∵80.155>6.635，∴有99%的把握认为人的高血压病与食盐摄入量有关． 答案： A6．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算K 2≈0.99，根据这一数据分析，下列说法正确的是( )A ．有99%的人认为栏目优秀B ．有99%的人认为栏目是否优秀与改革有关系C ．有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系D ．没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系解析： 由于K 2＝0.99＜2.706，所以没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系，故选D.答案： D7．已知一个线性回归方程为y ∧＝1.5x ＋45，其中x 的取值依次为1,7,5,13,19，则y ＝( ) A ．58.5 B ．46.5 C ．60D ．75解析： x ＝1＋7＋5＋13＋195＝9，因为回归直线方程过点(x ，y )，所以y ＝1.5×x＋45＝1.5×9＋45＝58.5.答案： A8．设有一个回归直线方程y ∧＝2－1.5x ，则变量x 每增加1个单位时( ) A ．y 平均增加1.5个单位 B ．y 平均增加2个单位 C ．y 平均减少1.5个单位D ．y 平均减少2个单位解析： 回归直线方程y ∧＝2－1.5x 中斜率为－1.5，它的含义是：x 每增加1个单位时，y 平均减少1.5个单位．答案： C9．对于随机变量K 2的观测值k >2.706，我们就有________的把握认为x 与y 有关系( ) A ．99% B ．95% C ．90%D ．以上都不对解析： 由临界表得P (K 2≥2.706)＝0.1，故我们有90%的把握认为x 与y 有关系． 答案： C 10．有下列说法：①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适； ②用相关指数R 2来刻画回归的效果，R 2值越大，说明模型的拟合效果越好； ③比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果越好．其中错误命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析： 观察残差图，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用模型比较理想，故①正确；相关指数R 2的值越大，模型的拟合效果越好，故②正确；研究残差平方和时，其值越小，模型的拟合效果越好，故③正确．故答案选A.答案： A11．假设有两个分类变量X 和Y ，它们的取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其2×2列联表为：( ) A ．a ＝5，b ＝4，c ＝3，d ＝2 B ．a ＝5，b ＝3，c ＝4，d ＝2 C ．a ＝2，b ＝3，c ＝4，d ＝5D ．a ＝2，b ＝3，c ＝5，d ＝4解析： 可计算|ad －bc |的值，值越大说明X 与Y 有关的可能性越大． 答案： D12．两个相关变量满足如下关系A.y ∧＝0.56x ＋997.4B ．y ∧＝0.63x －231.2C.y ∧＝50.2x ＋501.4 D ．y ∧＝60.4x ＋400.7解析： 利用公式b ∧＝∑i ＝15x i y i －5x y∑i ＝15x 2i －5x2≈0.56，a ∧＝y －b ∧x ≈997.4.∴线性回归方程为y ∧＝0.56x ＋997.4. 答案： A二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把正确的答案填在题中的横线上) 13．根据如图所示的等高条形图回答，吸烟与患肺病________关系．(“有”或“没有”)解析： 本题考查用等高条形图来分析“两分类变量”之间的关系． 答案： 有14．已知样本数为11，计算得∑i ＝111x i ＝510，∑i ＝111y i ＝214，回归方程为y ∧＝0.3x ＋a ∧，则x≈________，a ∧≈________.(精确到0.01)解析： 由题意，x ＝111∑i ＝111x i ＝51011≈46.36，y ＝111∑i ＝111y i ＝21411，因为y ＝0.3x ＋a ∧，所以21411＝0.3×51011＋a ∧，可求得a ∧≈5.55. 答案： 46.36 5.5515．某单位为了了解用电量y (度)与气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表，由表中数据得线性回归方程y ∧＝b ∧x ＋a ∧，其中b ∧＝－2.现预测当天气温为－4 ℃时，用电量的度数约为________.解析： x ＝14(18＋13＋10－1)＝10，y ＝14(24＋34＋38＋64)＝40，b ∧＝－2.又回归方程y ∧＝－2x ＋a ∧过点(10,40)，故a ∧＝60，所以当x ＝－4时，y ∧＝－2×(－4)＋60＝68. 答案： 6816．若两个分类变量X 与Y 的列联表为：则“X 与Y 之间有关系解析： 由列联表数据，可求得随机变量K 2的观测值 k ＝－225×56×50×31≈7.227＞6.635.因为P (K 2≥6.635)≈0.01.所以“x 与y 之间有关系”出错的概率仅为0.01.答案： 0.01三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)某研究者欲考察某一高考试题的得分情况是否与性别有关系，统计结果如下：及格的人中男生有290人，女生有100人；不及格的人中男生有160人，女生有350人．试根据这些数据判断这一高考试题的得分情况与性别是否有关系．解析： 根据题中数据得如下列联表：由列联表中的数据得k ＝－2450×450×390×510≈163.348＞10.828，所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“这一高考试题的得分情况与性别有关系．”18．(本小题满分12分)某产品的广告费支出x 与销售额y (单位：百万元)之间有如下对应数据：解析： 散点图如图．从散点图可以看出散点呈条状分布，所以x 、y 具有较强的线性相关关系．19．(本小题满分12分)已知10只狗的血球体积x (单位：mm 3)及红血球数y (单位：百万)的测量值如下：(2)求出y 对x 的回归直线方程；(3)若血球体积为49 mm 3，预测红血球数大约是多少． 解析： (1)散点图如图所示．(2)设线性回归方程为y ∧＝b ∧x ＋a ∧， 由表中数据代入公式，得b ∧＝∑i ＝110x i －xy i －y∑i ＝110x i －x2≈0.16，a ∧＝y －b ∧x ≈0.12.所以所求线性回归方程为y ∧＝0.16x ＋0.12.(3)把x ＝49代入线性回归方程，得y ∧＝0.16×49＋0.12＝7.96(百万)，计算结果表明，当血球体积为49 mm 3时，红血球数大约为7.96百万．20．(本小题满分12分)(2013·琼海高二检测)为了调查某地区老年人是否需要志愿者帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：(1)(2)能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？附：K 2＝n ad －bc a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d.解析： (1)需要帮助的老年人的比例估计值为70500×100%＝14%.(2)k ＝－2200×300×70×430≈9.967>6.635.因为P (K 2≥6.635)≈0.010，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．21．(本小题满分13分)(2012·辽宁卷)电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？附：K 2＝n ad －bc a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d，解析： ”有25人，从而得2×2列联表如下：将2×2K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d＝－275×25×45×55＝10033≈3.030.因为3.030<3.841，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关．22．(本小题满分13分)下表提供了某厂生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据.(1)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ∧＝b ∧x ＋a ∧； (2)请求出R 2，并说明残差变量对预报变量的影响约占百分之几． (参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)解析： (1)∑i ＝14x i y i ＝66.5，∑i ＝14x 2i ＝32＋42＋52＋62＝86，x ＝4.5，y ＝3.5，b ∧＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.52＝66.5－6386－81＝0.7， a ∧＝y －b ∧x ＝3.5－0.7×4.5＝0.35，所求的线性回归方程为y ∧＝0.7x ＋0.35. (2)计算得残差及偏差的数据如下表：从而得∑i ＝14(y i －y ∧i )2＝0.05，∑i ＝14(y i －y )2＝2.5，所以R 2＝1－∑i ＝14y i －y ∧i2∑i ＝14y i －y2＝1－0.052.5＝0.98.所以残差变量对预报变量的贡献率约为2%.。
数学选修1-2学案第三章章末复习
章末复习学习目标 1.整合本章知识要点.2.进一步理解归纳推理与类比推理的概念、思维形式、应用等.3.理解演绎推理.4.进一步熟练掌握直接证明与间接证明．1．归纳与类比(1)归纳推理：由部分到整体、由个别到一般的推理． (2)类比推理：由特殊到特殊的推理．(3)合情推理：合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式． 2．演绎推理(1)演绎推理：由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断． 3．综合法和分析法(1)综合法是从已知条件推出结论的证明方法； (2)分析法是从结论追溯到条件的证明方法． 4．反证法反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理矛盾等.类型一 合情推理例1 (1)观察下列等式：⎝⎛⎭⎫sin π3－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π3－2＝43×1×2； ⎝⎛⎭⎫sin π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 4π5－2 ＝43×2×3； ⎝⎛⎭⎫sin π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π7－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 6π7－2＝43×3×4； ⎝⎛⎭⎫sin π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π9－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 8π9－2＝43×4×5； ……照此规律，⎝⎛⎭⎫sin π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 2n π2n ＋1－2＝________. 考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在数对(组)中的应用答案 43n (n ＋1)解析 第一个等式中1＝3－12，2＝3＋12；第二个等式中，2＝5－12，3＝5＋12；第三个等式中，3＝7－12，4＝7＋12.由此可推得第n 个等式等于43×2n ＋1－12×2n ＋1＋12＝43n (n ＋1)．(2)根据图(1)的面积关系：S △P A ′B ′S △P AB ＝P A ′P A ·PB ′PB ，可猜想图(2)有体积关系：V 三棱锥P －A ′B ′C ′V 三棱锥P －ABC＝________.考点 类此推理的应用题点 平面几何与立体几何之间的类比答案 P A ′P A ·PB ′PB ·PC ′PC解析 题干两图中，与△P AB ，△P A ′B ′相对应的是三棱锥P －ABC ，P －A ′B ′C ′；与△P A ′B ′两边P A ′，PB ′相对应的是三棱锥P －A ′B ′C ′的三条侧棱P A ′，PB ′，PC ′.与△P AB 的两条边P A ，PB 相对应的是三棱锥P －ABC 的三条侧棱P A ，PB ，PC .由此，类比题图(1)的面积关系，得到题图(2)的体积关系为V 三棱锥P －A ′B ′C ′V 三棱锥P －ABC＝P A ′P A ·PB ′PB ·PC ′PC .反思与感悟 (1)用归纳推理可从具体事例中发现一般规律，但应注意，仅根据一系列有限的特殊事例，所得出的一般结论不一定可靠，其结论的正确与否，还要经过严格的理论证明．(2)进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．跟踪训练1 (1)如图所示，已知正方形ABCD 的边长为1，以A 为圆心，AD 长为半径画弧，交BA 的延长线于P 1，然后以B 为圆心，BP 1长为半径画弧，交CB 的延长线于P 2，再以C 为圆心，CP 2长为半径画弧，交DC 的延长线于P 3，再以D 为圆心，DP 3长为半径画弧，交AD 的延长线于P 4，再以A 为圆心，AP 4长为半径画弧，……，如此继续下去，画出的第8道弧的半径是________，画出第n 道弧时，这n 道弧的弧长之和为________．考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在图形中的应用答案 8 n ?n ＋1?4π解析 第一道弧所在圆的半径为1，圆心角为90°，因此弧长为π2；第二道弧所在圆的半径为2，圆心角为90°，因此弧长为π；第三道弧所在圆的半径为3，圆心角为90°，因此弧长为3π2，……，第n 道弧所在圆的半径为n ，圆心角为90°，因此弧长为n π2.因此第8道弧的半径为8，且各道弧的长度构成一个以π2为首项，π2为公差的等差数列，故所求这n 道弧的弧长之和为π2n ＋n ?n －1?2·π2＝n ?n ＋1?π4. (2)设P 是△ABC 内一点，△ABC 中BC ，AC ，AB 边上的高分别为h A ，h B ，h C ，P 到BC ，AC ，AB 三边的距离依次为l a ，l b ，l c ，则有l a h A ＋l b h B ＋l ch C＝1，类比到空间，设P 是四面体ABCD 内一点，A ，B ，C ，D 四个顶点到对面的距离分别是h A ，h B ，h C ，h D ，P 到这四个面的距离依次是l a ，l b ，l c ，l d ，则有________________________． 考点 类比推理的应用题点 平面几何与立体几何之间的类比答案 l a h A ＋l b h B ＋l c h C ＋l dh D＝1解析 易知l a h A ＝13S △BCD ·l a 13S △BCD ·hA＝V 三棱锥P －BCDV 四面体ABCD ，l b h B ＝13S △ACD ·lb 13S △ACD ·h B ＝V 三棱锥P －ACD V 四面体ABCD， l c h C ＝13S △ABD ·l c 13S △ABD ·hC ＝V 三棱锥P －ABDV 四面体ABCD ， l d h D ＝13S △ABC ·ld 13S △ABC ·hD ＝V 三棱锥P －ABC V 四面体ABCD ， 故l a h A ＋l b h B ＋l c h C ＋l d h D ＝V 三棱锥P －BCD ＋V 三棱锥P －ACD ＋V 三棱锥P －ABD ＋V 三棱锥P －ABC V 四面体ABCD ＝1. 类型二 综合法与分析法例2 试用分析法和综合法分别推证下列命题：已知α∈(0，π)，求证：2sin 2α≤sin α1－cos α.考点 分析法和综合法的综合应用 题点 分析法和综合法的综合应用 证明 分析法要证2sin 2α≤sin α1－cos α成立，只需证4sin αcos α≤sin α1－cos α，∵α∈(0，π)，∴sin α>0，只需证4cos α≤11－cos α，∵1－cos α>0， ∴4cos α(1－cos α)≤1，可变形为4cos 2α－4cos α＋1≥0， 只需证(2cos α－1)2≥0，显然成立． 综合法∵11－cos α＋4(1－cos α)≥4， 当且仅当cos α＝12，即α＝π3时取等号，∴4cos α≤11－cos α.∵α∈(0，π)，∴sin α>0，∴4sin αcos α≤sin α1－cos α，∴2sin 2α≤sin α1－cos α.反思与感悟 分析法和综合法是两种思路相反的推理方法：分析法是倒溯，综合法是顺推，二者各有优缺点．分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述易错；综合法条件清晰，易于表述，因此对于难题常把二者交互运用，互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件． 跟踪训练2 设a ，b 是两个正实数，且a ≠b ，求证：a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2. 考点 分析法及应用题点 分析法解决不等式问题证明 要证a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2成立，即需证 (a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)>ab (a ＋b )成立， 即需证a 2－ab ＋b 2>ab 成立． 只需证a 2－2ab ＋b 2>0成立， 即需证(a －b )2>0成立．而由已知条件可知，a ≠b ，所以a －b ≠0， 所以(a －b )2>0显然成立． 即a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2. 类型三 反证法例3 若x ，y 都是正实数，且x ＋y >2，求证：1＋x y <2与1＋yx<2中至少有一个成立．考点 反证法及应用 题点 反证法的应用证明 假设1＋x y <2和1＋yx <2都不成立，则有1＋x y ≥2和1＋yx ≥2同时成立．因为x >0且y >0，所以1＋x ≥2y 且1＋y ≥2x ，两式相加，得2＋x ＋y ≥2x ＋2y ，所以x ＋y ≤2. 这与已知x ＋y >2矛盾．故1＋x y <2与1＋y x<2中至少有一个成立．反思与感悟 反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题；涉及“都是……”“都不是……”“至少……”“至多……”等形式的命题时，也常用反证法． 跟踪训练3 已知：ac ≥2(b ＋d )．求证：方程x 2＋ax ＋b ＝0与方程x 2＋cx ＋d ＝0中至少有一个方程有实数根． 考点 反证法及应用 题点 反证法的应用证明 假设两方程都没有实数根，则Δ1＝a 2－4b <0与Δ2＝c 2－4d <0，有a 2＋c 2<4(b ＋d )，而a 2＋c 2≥2ac ，从而有4(b ＋d )>2ac ，即ac <2(b ＋d )，与已知矛盾，故原命题成立.1．数列5,9,17,33，x ，…中的x 等于( ) A ．47 B ．65 C ．63 D ．128 考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在数对(组)中的应用 答案 B解析 5＝22＋1,9＝23＋1,17＝24＋1,33＝25＋1， 归纳可得：x ＝26＋1＝65.2．在平面直角坐标系中，方程x a ＋yb＝1(ab ≠0)表示x ，y 轴上的截距分别为a ，b 的直线，类比到空间直角坐标系中，在x ，y ，z 轴上截距分别为a ，b ，c (abc ≠0)的平面方程为( )A.eq ＋y b ＋z c ＝1B.eq ＋y bc ＋z ca ＝1C.eq ＋yz bc ＋zxca＝1 D ．ax ＋by ＋cz ＝1考点 类比推理的应用题点 平面几何与立体几何之间的类比 答案 A解析 ∵在平面直角坐标系中，方程x a ＋yb ＝1表示的图形是一条直线，具有特定性质：“在x 轴，y 轴上的截距分别为a ，b ”．类比到空间直角坐标系中，在x ，y ，z 轴上的截距分别为a ，b ，c (abc ≠0)的平面方程为x a ＋y b ＋zc＝1.故选A. 3．若a >0，b >0，则有( ) A.eq>2b －a B.eq<2b －a C.eq ≥2b －a D.eq ≤2b －a 考点 综合法及应用题点 利用综合法解决不等式问题 答案 C解析 因为b 2a －(2b －a )＝b 2－2ab ＋a 2a ＝?b －a ?2a ≥0，所以b 2a≥2b －a .4．用反证法证明命题：“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( ) A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实数C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根 考点 反证法及应用 题点 如何正确进行反设 答案 A解析 方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根的反面是方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根，故选A.5．已知非零向量a ，b ，满足a ⊥b ，求证：|a |＋|b ||a －b |≤ 2.考点 分析法及应用题点 分析法解决不等式问题 证明 因为a ⊥b ，所以a·b ＝0， 要证明|a |＋|b ||a －b |≤2，只需证明|a |＋|b |≤2|a －b |，平方得|a |2＋|b |2＋2|a|·|b |≤2(|a |2＋|b |2)， 只需证明|a |2＋|b |2－2|a |·|b |≥0成立． 即只需证明(|a |－|b |)2≥0，它显然成立． 故原不等式得证．1．归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明．2．综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用．反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法.一、选择题1．如图所示的是今年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是( )考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在图形中的应用 答案 A解析 从所给三个图形中，可以看出，三个黑色三角形在进行顺时针旋转，每次旋转都是隔一格，故选A.2．若a <b <0，则下列不等式中成立的是( )A.eq<1bB ．a ＋1b >b ＋1aC ．b ＋1a >a ＋1bD.eq<b ＋1a ＋1考点 分析法及应用题点 分析法解决不等式问题 答案 C解析 取a ＝－2，b ＝－1，验证可知C 正确．3．我们把1,4,9,16,25，…这些数称为“正方形点数”，这是因为这些数量的点可以排成一个正方形，如图所示，则第n 个正方形点数是( )A ．n (n －1)B ．n (n ＋1)C ．(n ＋1)2D ．n 2考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在图形中的应用 答案 D解析 由题意可知第n 个正方形点数为n 2.4．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式S ＝底×高2，可推知扇形面积公式S 扇等于( )A.eqB.eqC.eq D ．不可类比 考点 类比推理的应用 题点 平面曲线的类比 答案 C解析 扇形的弧类比三角形的底边，扇形的半径类比三角形的高，则S 扇＝lr2.5．在△ABC 中，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，则有EF ∥BC ，这个问题的大前提为( ) A ．三角形的中位线平行于第三边 B ．三角形的中位线等于第三边的一半 C ．EF 为中位线 D ．EF ∥BC 答案 A解析 这个三段论的推理形式是，大前提：三角形的中位线平行于第三边；小前提：EF 为△ABC 的中位线；结论：EF ∥BC .6．平面内平行于同一直线的两直线平行，由此类比可以得到( ) A ．空间中平行于同一直线的两直线平行 B ．空间中平行于同一平面的两直线平行 C ．空间中平行于同一直线的两平面平行 D ．空间中平行于同一平面的两平面平行 考点 类比推理的应用题点 平面几何与立体几何之间的类比 答案 D解析 利用类比推理，平面中的直线和空间中的平面类比．7．定义运算：x ?y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥y ，y ，x <y ，例如3?4＝4，则下列等式不成立的是( )A ．x ?y ＝y ?xB ．(x ?y )?z ＝x ?(y ?z )C ．(x ?y )2＝x 2?y 2D ．c ·(x ?y )＝(c ·y )?(c ·x )(c >0) 考点 合情推理的综合应用 题点 合情推理在函数中的应用 答案 C解析 由定义可知：“?”是求两个数中的较大者，所以A ，B ，D 均是恒成立的．8．已知a＋b＋c＝0，则ab＋bc＋ca的值()A．大于0 B．小于0C．不小于0 D．不大于0考点综合法及应用题点综合法的应用答案D解析因为(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)＝0，又因为a2＋b2＋c2≥0，所以2(ab＋bc＋ca)≤0，即ab＋bc＋ca≤0.二、填空题9．如图，将平面直角坐标系中的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签：原点处标0，点(1,0)处标1，点(1，－1)处标2，点(0，－1)处标3，点(－1，－1)处标4，点(－1，0)处标5，点(－1,1)处标6，点(0,1)处标7，依此类推，则标签为2 0172的格点的坐标为________．考点归纳推理的应用题点归纳推理在图形中的应用答案(1 009,1 008)解析观察已知得点(1,0)处标1，即12，点(2,1)处标9，即32，点(3,2)处标25，即52，由此推断点(n＋1，n)处标(2n＋1)2.当2n＋1＝2 017时，n＝1 008，∴标签为2 0172的格点的坐标为(1 009,1 008)．10．已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415， (6)ab＝6ab，a，b均为正实数，由以上规律可推测出a，b的值，则a＋b＝________.考点归纳推理的应用题点归纳推理在数对(组)中的应用答案41解析由题意归纳推理得6＋ab ＝6ab，b＝62－1＝35，a＝6.∴a＋b＝6＋35＝41.11．已知等差数列{a n}的首项为8，S n是其前n项和，某同学经计算得S1＝8，S2＝20，S3＝36，S4＝65，后来该同学发现了其中一个数算错了，则算错的数应为________．考点题点答案S4＝56解析显然S1是正确的．假设后三个数均未算错，则a1＝8，a2＝12，a3＝16，a4＝29，这四项不成等差数列，但可知前三项成等差数列，故a4有误，应为20，故S4算错了，S4应为56.12．我们可以运用下面的原理解决一些相关图形的面积问题：如果与一固定直线平行的直线被甲、乙两个封闭的图形所截的线段的比值为k，那么甲的面积是乙的面积的k倍，可以从给出的简单图形(如图①②所示)中体会这个原理．现在图③中的曲线分别是x 2a 2＋y 2b2＝1与x 2＋y 2＝a 2(a >0，b >0)，运用上面的原理，则该图中椭圆的面积为________．考点 类比推理的应用 题点 平面曲线之间的类比 答案 ab π解析 设直线的方程为x ＝m (－a <m <a )，则其与圆的交点坐标为(m ，±a 2－m 2)，与椭圆交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，±b a 2－m 2a ，因此椭圆与圆截直线x ＝m 所得线段的比值为b a ，因此椭圆面积为b a ·πa 2＝ab π.三、解答题13．用综合法或分析法证明：(1)如果a ，b >0，则lg a ＋b 2≥lg a ＋lg b2；(2)6＋10>23＋2.考点 分析法和综合法的综合应用 题点 分析法和综合法的综合应用 证明 (1)当a ，b >0时，有a ＋b2≥ab ，∴lg a ＋b 2≥lg ab ，∴lg a ＋b 2≥12lg(ab )＝lg a ＋lg b 2.(2)要证6＋10>23＋2， 只需证(6＋10)2>(23＋2)2， 即260>248，这是显然成立的，∴原不等式成立． 四、探究与拓展14．某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，下表为10名学生的预在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则( ) A ．2号学生进入30秒跳绳决赛 B ．5号学生进入30秒跳绳决赛 C ．8号学生进入30秒跳绳决赛 D ．9号学生进入30秒跳绳决赛 考点 题点 答案 B解析 进入立定跳远决赛的有8人，根据成绩应是1号至8号． 若a >63，则同时进入两决赛的不是6人，不符合题意；若61≤a ≤63，则同时进入两决赛的有1,2,3,5,6,7号，符合题意； 若a ＝60，则同时进入两决赛的不是6人，不符合题意； 若a ≤59，则同时进入两决赛的有1,3,4,5,6,7号，符合题意． 综上可知，5号学生进入30秒跳绳决赛．15．已知α∈(0，π)，试用多种方法求证：2sin 2α≤sin α1－cos α.证明 方法一 (分析法)要证明2sin 2α≤sin α1－cos α成立，只要证明4sin αcos α≤sin α1－cos α.∵α∈(0，π)，∴sin α>0，∴只要证明4cos α≤11－cos α.上式可变形为4≤11－cos α＋4(1－cos α)．∵α∈(0，π)，∴1－cos α>0，∴11－cos α＋4(1－cos α)≥211－cos α·4?1－cos α?＝4，当且仅当11－cos α＝4(1－cos α)，即cos α＝12，α＝π3时取等号．∴4≤11－cos α＋4(1－cos α)成立，∴不等式2sin 2α≤sin α1－cos α成立．方法二(综合法)∵α∈(0，π)，∴1－cos α>0.∴11－cos α＋4(1－cos α)≥211－cos α·4?1－cos α?＝4，当且仅当11－cos α＝4(1－cos α)，即cos α＝12，α＝π3时取等号．∴4cos α≤11－cos α.∵α∈(0，π)，∴sin α>0.∴4sin αcos α≤sin α1－cos α，∴2sin 2α≤sin α1－cos α.。
高中数学选修1-2第2-3章导学案
第二章 推理与证明 2.1.1 合情推理（一）学习目标：结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义，能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用. 学习过程：一、预习（教材21-24）1. 哥德巴赫猜想：观察4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……, 50=13+37, ……, 100=3+97，猜测：任一偶数（除去2，它本身是一素数）可以表示成两个素数之和. 1742年写信提出，欧拉及以后的数学家无人能解，成为数学史上举世闻名的猜想. 1973年，我国数学家陈景润，证明了充分大的偶数可表示为一个素数与至多两个素数乘积之和，数学上把它称为“1+2”.2. 费马猜想：法国业余数学家之王—费马（1601-1665）在1640年通过对020213F =+=，121215F =+=，2222117F =+=，32321257F =+=，4242165537F =+=的观察，发现其结果都是素数，于是提出猜想：对所有的自然数n ，任何形如221nn F =+的数都是素数. 后来瑞士数学家欧拉，发现5252142949672976416700417F =+==⨯不是素数，推翻费马猜想.3. 四色猜想：1852年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色.”，四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用1200个小时，作了100亿逻辑判断，完成证明. 二、讲授新课：1.归纳推理：由某类事物的 具有某些特征，推出 都具有这些特征的推理，或者由 概括出一般结论的推理，称为归纳推理. 简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理.2.归纳练习：（1）由铜、铁、铝、金、银能导电，能归纳出什么结论？（2）由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和180度，能归纳出什么结论？ （3）观察等式：2221342,13593,13579164+==++==++++==，能得出怎样的结论？ 3 讨论：（1）统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，是否属归纳推理？ （2）归纳推理有何作用？ （发现新事实，获得新结论，是做出科学发现的重要手段） （3）归纳推理的结果是否正确？（不一定） 例题讲解：例1、在同一个平面内，两条直线相交，有1个焦点；3条直线相交，最多有3个交点；… …；从中归纳一般结论，n 条直线相交，最多有几个交点？例2、已知数列{}n a 的第1项1a =1，且1+n a =nna a +1（n=1,2,3,....），试归纳出通项公式.反思：证得某命题在n ＝n 0时成立；又假设在n ＝k 时命题成立，再证明n ＝k ＋1时命题也成立. 由这两步，可以归纳出什么结论？ （目的：渗透数学归纳法原理，即基础、递推关系）练习：已知(1)0,()(1)1,f af n bf n ==-= 2,0,0n a b ≥>>，推测()f n 的表达式.课堂练习1. 将全体正整数排成一个三角形数阵： 按照以上排列的规律，求第n 行(n ≥3)从左向右数第3个数．12 3 4 5 6 7 8 9 102．根据给出的等式猜测123 456³9＋7等于( )1³9＋2＝11 12³9＋3＝111 123³9＋4＝1 1111 234³9＋5＝11 111 12 345³9＋6＝111 111A ．1 111 110B ．1 111 11C ．1 111 112D ．1 111 1133．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2 041，…，则72 013的末两位数字为( )A ．01B ．43C ．07D ．494.有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹 的正六边形的个数是( )A ．26B ．31C ．32D ．365把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排 成一个正三角形(如图)，试求第七个三角形数是________．6．观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为________．2.1.1 合情推理（二）学习目标：结合已学过的数学实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用. 学习过程： 一、预习内容：（预习P24-28）根据两个对象之间在某些方面的____________,推演出它们在其他方面也______________,这样的推理通常称为类比推理.类比推理的思维过程大致为观察、比较 —— 联想、类推 —— 猜测新的结论练习：已知 0(1,2,,)i a i n >= ，考察下列式子：111()1i a a ⋅≥；121211()()()4ii a a a a ++≥；123123111()()()9iii a a a a a a ++++≥. 我们可以归纳出，对12,,,n a a a 也成立的类似不等式为 .2. 猜想数列1111,,,,13355779--⨯⨯⨯⨯ 的通项公式是 . 3. 导入：鲁班由带齿的草发明锯；人类仿照鱼类外形及沉浮原理，发明潜水艇；地球上有生命，火星与地球有许多相似点，如都是绕太阳运行、扰轴自转的行星，有大气层，也有季节变更，温度也适合生物生存，科学家猜测：火星上有生命存在. 以上都是类比思维，即类比推理.二、讲授新课： 一）1. 教学概念：由两类对象具有 ，推出 的推理. 简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理. 2.类比练习：（1）圆有切线，切线与圆只交于一点，切点到圆心的距离等于半径. 由此结论如何类比到球体？（2）平面内不共线的三点确定一个圆，由此结论如何类比得到空间的结论？ （3）由圆的一些特征，类比得到球体的相应特征. （ 探究教材P25 填表） 小结：平面→空间，圆→球，线→面.3.讨论：以平面向量为基础学习空间向量，试举例其中的一些类比思维. 二）.例题讲解：例1：类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质. （得到如下表格）类比角度 实数的加法 实数的乘法运算结果若,,a b R ∈则a b R +∈ 若,,a b R ∈则ab R ∈ 运算律逆运算加法的逆运算是减法，使得方程0a x +=有唯一解x a =-乘法的逆运算是除法，使得方程1ax =有唯一解1x a= 单位元0a a += 11a ⋅= 例2：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想.例3： 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列，类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16T 12成等比数列．类比推理的一般步骤类比推理的思维过程大致是：观察、比较→联想、类推→猜测新的结论． 该过程包括两个步骤：(1)找出两类对象之间的相似性或一致性；(2)用一类对象的性质去猜测另一类对象的性质，得出一个明确的命题(猜想)．练习：已知椭圆具有以下性质：已知M ，N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，若直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN ，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．试对双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)写出类似的性质，并加以证明．学习评价1.已知{b n }为等比数列，b 5＝2，则b 1b 2b 3…b 9＝29.若{a n }为等差数列，a 5＝2，则{a n }的类似结论为( )A ．a 1a 2a 3…a 9＝29B ．a 1＋a 2＋…＋a 9＝29C ．a 1a 2…a 9＝2³9D ．a 1＋a 2＋…＋a 9＝2³92.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图(1)中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图(2)中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )A ．289B ．1 024C ．1 225D ．1 3782.1.2 演绎推理 一、学习目标：结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理. 二、学习过程 预习内容：（P30---33）1、 对于任意正整数n ，猜想（2n -1）与(n +1)2的大小关系？ 2、 讨论：以上推理属于什么推理，结论一定正确吗？ 3、思考：有什么推理形式能使结论一定正确呢？ 课内探究 1. 填一填：① 所有的金属都能够导电，铜是金属，所以 ；② 太阳系的行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，天王星是太阳系的大行星，因此 ； ③ 奇数都不能被2整除，2007是奇数，所以 . 2.讨论：上述例子的推理形式与我们学过的合情推理一样吗？ 3.小结：① 概念：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为____________.要点：由_____到_____的推理. ② 讨论：演绎推理与合情推理有什么区别？③ 思考：“所有的金属都能够导电，铜是金属，所以铜能导电”，它由几部分组成，各部分有什么特点？“三段论”是演绎推理的一般模式：第一段：_________________________________________；第二段：_________________________________________； 第三段：____________________________________________. ④ 举例：举出一些用“三段论”推理的例子. 例题讲解例1：证明函数f(x)=-x x 22+在（-1,∞）内是增函数.例2：在锐角三角形ABC 中， AD ⊥BC BE ⊥AC ，D ，E 是垂足. 求证：AB 的中点M 到D ，E 的距离相等.当堂检测：讨论：因为指数函数 ()n ab 是增函数，()n a b + 是指数函数，则结论是什么？讨论：演绎推理怎样才能使得结论正确？比较：合情推理与演绎推理的区别与联系？学习与评价1.演绎推理是以下列哪个为前提，推出某个特殊情况下的结论的推理方法（ ） A.一般的原理原则； B.特定的命题； C.一般的命题； D.定理、公式.2.“因为对数函数 n n n ()x y x y +=+是增函数（大前提），（b a +）+c 是对数函数（小前提），所以 (xy )z 是增函数（结论）.”上面的推理的错误是（ ）A.大前提错导致结论错；B.小前提错导致结论错；C.推理形式错导致结论错；D.大前提和小前提都错导致结论错. 3.下面几种推理过程是演绎推理的是（ ）A.两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 和∠B 是两条平行直线的同旁内角，则∠A+∠B =180°；B.由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质；.2.2.1 综合法和分析法（一）学习目标：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法； 理解综合法的思考过程、特点.学习过程：预习内容：(预习教材P36-38)证明方法可以分为直接证明和间接证明1．直接证明分为 和2．直接证明是从命题的 或 出发，根据以知的定义， 公里，定理， 推证结论的真实性。
高中数学选修1-2精品学案7：2.1.1 合情推理
2.1.1 合情推理学习目标1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理(重点、难点)．2.了解合情推理在数学发现中的作用(重点).知识提炼1．归纳推理和类比推理温馨提示根据部分对象归纳得出的结论不一定正确，类比得出的结论也不一定正确，其正确与否还要进一步判断．2．合情推理(1)含义：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．(2)合情推理的过程：从具体问题出发→观察、分析比较、联想→归纳、类比→提出猜想温馨提示合情推理得出的结论不一定是唯一的，侧重点不同，结论也会不同．思考尝试1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于归纳推理．()(2)类比推理得到的结论可以作为定理使用．()(3)归纳推理是由个别得到一般的推理．()(4)归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确．()2.观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )A. B. C.D.3．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式S ＝底×高2，可推知扇形面积等于( )A.r 22B.l 22C.lr2 D.l ＋r 24．等差数列{a n }中，a n ＞0，公差d ＞0，则有a 4·a 6＞a 3·a 7，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b n ＞0，q ＞1，写出b 5，b 7，b 4，b 8的一个不等关系________．5．观察下列各式：9－1＝8，16－4＝12，25－9＝16，36－16＝20，…，这些等式反映了自然数间的某种规律，设n 表示自然数，用关于n 的等式表示为________． 核心突破类型1 数、式、数列中的归纳推理(自主研析) 典例1 (1)观察下列等式：⎝⎛⎭⎫sin π3－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π3－2＝43×1×2； ⎝⎛⎭⎫sin π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 4π5－2＝43×2×3； ⎝⎛⎭⎫sin π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π7－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 6π7－2＝43×3×4； ⎝⎛⎭⎫sin π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π9－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 8π9－2＝43×4×5； … 照此规律，⎝⎛⎭⎫sin π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 2n π2n ＋1－2＝________．(2)已知数列{a n }的第1项a 1＝1，且a n ＋1＝a n1＋a n (n ＝1，2，3，…)，试归纳出这个数列的通项公式．归纳升华由已知数式进行归纳推理的步骤：(1)分析所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律或结构形式的特征；(2)提炼出等式(或不等式)的综合特点；(3)运用归纳推理得出一般结论．2．数列中的归纳推理：在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和．(1)通过已知条件求出数列的前几项或前n项和；(2)根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解；(3)运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式．变式训练(1)由下列各式：13＝12，13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，…请你归纳出一般结论．(2)已知数列{a n}，满足a1＝1，a n＋1＝2a n＋1(n＝1，2，3，…)．归纳猜想出数列{a n}的通项公式a n＝________．类型2图形中的归纳推理典例2有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数是()A．26 B．31 C．32 D．36变式训练如图所示，由火柴棒拼成的一列图形中，第n个图形中由n个正方形组成：通过观察可以发现：第5个图形中，火柴棒有____根；第n个图形中，火柴棒有________根．类型3类比推理典例3已知在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，有1AD2＝1AB2＋1AC2成立．那么在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想？试说明理由．归纳升华(1)在高中阶段类比方向主要集中在等差数列与等比数列，平面几何与立体几何，平面向量与空间向量等三个方面．在等差数列与等比数列的类比中，等差数列中的和类比等比数列中的积，差类比商，积类比幂．(2)平面图形与空间几何体的类比方向．试把上面的结论类比到空间，写出相应的结论．课堂小结1．归纳、推理、证明题的一般解题步骤：(1)列举出几个特殊情形，条件中已给出的此步可省略；(2)观察、分析所给特殊情形找出其共性；(3)归纳猜想出一个一般性的结论，此结论应包含前面的特殊情况；(4)对猜想的结论给出证明．2．类比推理的步骤与方法：(1)弄清两类对象之间的类比关系及类比关系之间的(细微)差别．(2)把两个系统之间的某一种一致性(相似性)确切地表述出来，也就是要把相关对象在某些方面一致性的含糊认识说清楚．——★参考答案★——思考尝试1．[答案](1)√(2)×(3)√(4)√[解析](1)对，用样本估计总体，是由个别得到一般，所以，这种估计属于归纳推理．(2)错，类比推理的结论不一定正确.(3)对，由归纳推理的概念知说法正确．(4)对，归纳推理得出的结论不一定正确． 2.[答案]A[解析]观察可发现规律：①每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次；②每行、每列有两个阴影一个空白，即得结果． 3．[答案]C[解析]三角形的高对应扇形的半径，三角形的底对应扇形的弧长， 所以可猜测为S ＝12rl ＝lr2.4．[答案]b 4＋b 8＞b 5＋b 7[解析]将乘积与和对应，再注意下标的对应， 有b 4＋b 8＞b 5＋b 7.5．[答案](n ＋2)2－n 2＝4n ＋4[解析]由已知四个式子可分析规律(n ＋2)2－n 2＝4n ＋4. 核心突破类型1 数、式、数列中的归纳推理(自主研析) 典例1 (1)[答案]43n (n ＋1)[解析]根据已给出的等式归纳推理求解．通过观察已给出等式的特点，可知等式右边的43是个固定数，43后面第一个数是等式左边最后一个数括号内角度中π的系数的分子的一半，43后面第二个数是第一个数的下一个自然数，所以，所求结果为43×n ×(n ＋1)，即43n (n ＋1)． (2)解：当n ＝1时，a 1＝1； 当n ＝2时，a 2＝11＋1＝12； 当n ＝3时，a 3＝121＋12＝13； 当n ＝4时，a 4＝131＋13＝14. 通过观察可得数列的前n 项都等于下标序号的倒数，因此a n ＝1n.变式训练 (1)解：由左、右两边各项幂的底数之间的关系： 1＝1， 1＋2＝3， 1＋2＋3＝6， 1＋2＋3＋4＝10， …可得一般结论：13＋23＋33＋…＋n 3＝(1＋2＋3＋…＋n )2， 即13＋23＋33＋…＋n 3＝⎣⎡⎦⎤n （n ＋1）22.(2)[答案]2n －1(n ∈N *)[解析]由a 1＝1＝21－1，a 2＝3＝22－1，a 3＝7＝23－1，a 4＝15＝24－1，a 5＝31＝25－1，可归纳猜想出a n ＝2n －1(n ∈N *)． 类型2 图形中的归纳推理 典例2 [答案]B[解析]有菱形纹的正六边形个数如下表：所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31. 变式训练 [答案]16 3n ＋1[解析]数一数可知各图形中火柴的根数依次为：4，7，10，13，…，可见后一个图形比前一个图形多3根火柴，它们构成等差数列，故第五个图形中有火柴棒16根，第n 个图形中有火柴棒3n ＋1根． 类型3 类比推理典例3 解：类比AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，可以猜想四面体ABCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD ，则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD2.证明：如图，连接BE ，并延长交CD 于F ，连接AF . 因为AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，AC ∩AD ＝A ，所以AB ⊥平面ACD . 而AF ⊂平面ACD ，所以AB ⊥AF .在Rt△ABF中，AE⊥BF，所以1AE2＝1AB2＋1AF2.又因为在Rt△ACD中，易知AF⊥CD，所以1AF2＝1AC2＋1AD2.所以1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD2，故猜想正确．变式训练解：取空间中三条侧棱两两垂直的三棱锥ABCD，即AB⊥AC，AB⊥AD，AC⊥AD，且AB＝a，AC＝b，AD＝c，则此三棱锥外接球的半径为R＝a2＋b2＋c22.。
高二数学 人教A版选修1-2导学案：2.2.2
§2.2.2 反证法5254复习1：直接证明的两种方法: 和 ; 复习2： 是间接证明的一种基本方法.二、新课导学※ 学习探究探究任务：反证法问题(1)：将9个球分别染成红色或白色,那么无论怎样染,至少有5个球是同色的,你能证明这个结论吗?问题(2):三十六口缸,九条船来装,只准装单,不准装双,你说怎么装?新知：一般地，假设原命题 ，经过正确的推理，最后得出 ，因此说明假设 ，从而证明了原命题 .这种证明方法叫 .试试： 证明：5,3,2不可能成等差数列.反思：证明基本步骤：假设原命题的结论不成立 → 从假设出发，经推理论证得到矛盾 → 矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实.※ 典型例题例1 已知0a ≠,证明x 的方程ax b =有且只有一个根.变式：证明在ABC ∆中,若C ∠是直角,那么B ∠一定是锐角.小结：应用关键：在正确的推理下得出矛盾（与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等）.例2求证圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.变式：求证：一个三角形中，至少有一个内角不少于60︒.小结：反证法适用于证明“存在性，唯一性，至少有一个，至多有一个”等字样的一些数学问题.※ 动手试试练1. 如果12x >,那么2210x x +-≠.练2. ABC∆的三边,,a b c的倒数成等差数列,求证:90B<︒.三、总结提升※学习小结1. 反证法的步骤：①否定结论；②推理论证；③导出矛盾；④肯定结论.2. 反证法适用于证明“存在性，唯一性，至少有一个，至多有一个”等字样的一些数学问题.※知识拓展空城计与反证法空城计相传三国时代,蜀国丞相兼军师诸葛亮屯兵阳平时派大将魏延领兵攻打魏国,只留下少数老弱军士守城,不料魏国大都督司马懿率大队兵马杀来,靠几个老弱士兵出城应战犹如鸡蛋碰石头,怎么办?诸葛亮冷静思考之后,传令大开城门,让老弱士兵在城门口洒扫道路,自己则登上城楼,摆好香案,端坐弹琴,态度从容,琴声优雅, 司马懿来到城前见此情况,心中疑惑,他想诸葛亮一生精明过人,谨慎有余,今天如此这般与其一生表现矛盾,恐怕城内必有伏兵,故意诱我入城,决不能中计,于是急令退兵.诸葛亮正是利用司马懿这种心理上的矛盾,才以“不守城”来达到暂时“守住城”的目的，诸葛亮从问题（守住城）的反面（不守城）考虑，来解决用直接或正面方法（用少数老在历史上留下美谈，这就是家喻户晓的“空城计”.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 用反证法证明命题“三角形的内角至少有一个不大于60︒”时，反设正确的是（）. A．假设三内角都不大于60︒B．假设三内角都大于60︒C．假设三内角至多有一个大于60︒D．假设三内角至多有两个大于60︒2. 实数,,a b c不全为0等价于为（）.A．,,a b c均不为0B．,,a b c中至多有一个为0C．,,a b c中至少有一个为0D．,,a b c中至少有一个不为03.设,,a b c都是正数，则三个数111,,a b cb c a+++（）.A．都大于2 B.至少有一个大于2 C.至少有一个不小于2 D.至少有一个不大于24. 用反证法证明命题“自然数,,a b c 中恰有一个偶数”的反设为 .5. “4x >”是“240x x ->”的 条件.1. 已知,0x y >,且2x y +>.试证:11,x y y x++中至少有一个小于2.2. .。
高中数学教案新人教版选修
高中数学全套教案新人教版选修一、第一章：导数及其应用1.1 导数的定义与计算学习目标：理解导数的定义，掌握基本的导数计算方法。
教学内容：引入导数的定义，讲解导数的计算规则，举例说明。
教学活动：讲解导数的定义，通过数学软件或板书演示导数的计算过程，学生跟随练习。
1.2 导数在函数中的应用学习目标：理解导数在函数中的应用，学会求函数的极值和单调性。
教学内容：讲解导数与函数的极值、单调性的关系，举例分析。
教学活动：通过例题讲解导数在函数中的应用，学生跟随练习，讨论解题方法。
二、第二章：积分及其应用2.1 积分的定义与计算学习目标：理解积分的定义，掌握基本的积分计算方法。
教学内容：引入积分的定义，讲解基本的积分计算规则，举例说明。
教学活动：讲解积分的定义，通过数学软件或板书演示积分的计算过程，学生跟随练习。
2.2 积分在几何中的应用学习目标：理解积分在几何中的应用，学会计算几何图形的面积和体积。
教学内容：讲解积分在几何中的应用，举例说明计算面积和体积的方法。
教学活动：通过例题讲解积分在几何中的应用，学生跟随练习，讨论解题方法。
三、第三章：概率与统计学习目标：理解概率的基本概念，学会计算事件的概率。
教学内容：讲解概率的基本定义，举例说明如何计算事件的概率。
教学活动：通过实例讲解概率的基本概念，学生跟随练习，讨论解题方法。
3.2 统计的基本概念学习目标：理解统计的基本概念，学会计算数据的均值、方差等统计量。
教学内容：讲解统计的基本定义，举例说明如何计算均值、方差等统计量。
教学活动：通过实例讲解统计的基本概念，学生跟随练习，讨论解题方法。
四、第四章：数列与级数4.1 数列的基本概念学习目标：理解数列的基本概念，学会计算数列的通项公式和求和公式。
教学内容：讲解数列的定义，举例说明如何求解数列的通项公式和求和公式。
教学活动：通过实例讲解数列的基本概念，学生跟随练习，讨论解题方法。
4.2 级数的基本概念学习目标：理解级数的基本概念，学会判断级数的收敛性。
高中数学选修1-2精品学案：第四章 数系的扩充与复 数的引入 第1课时 数系的扩充和复数的概念
第1课时数系的扩充和复数的概念1.了解引进复数的必要性,理解并掌握虚数单位i.2.理解复数的代数形式,复数虚部与实部.3.实数集、复数集、虚数集与纯虚数集的关系.重点:掌握复数的实部与虚部;实数、复数、虚数、纯虚数与复数的代数形式的实部、虚部的关系;两复数相等的充要条件.难点:体会复数问题实数化的过程.由于解方程的需要推动了数的发展,为了使类似x+5=3的方程有解,引入了负数;为了使类似5x=3的方程有解,引入了分数;为了使类似x2=3的方程有解,引入了无理数.但引入无理数后,类似x2=-1的方程在实数范围内仍然没解.问题1:为了得到方程x2=-1的解,需引入虚数单位i,试给出虚数单位i的定义?虚数单位i满足它的平方等于-1,即i2=-1.问题2:(1)复数:形如a+b i(a,b∈R)的数叫作复数.(2)复数集:全体复数所成的集合叫作复数集,用字母C表示.(3)复数的代数形式:复数通常用字母z表示,把复数表示成a+b i(a,b∈R)的形式,其中a与b分别叫作复数的实部与虚部.(4)两个复数相等的定义:如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等.这就是说,如果a、b、c、d∈R,那么a+b i=c+d i∈a=c,b=d.问题3:复数z=a+b i(a,b∈R),当b=0时,复数z是实数;当b≠0时,复数z是虚数;当时,复数z是纯虚数.问题4:两复数可不可以比较大小?当两复数是实数时,两复数可以比较大小;当两复数有一个是虚数时,两复数不能比较大小,只能分析两复数相不相等.“复数”“虚数”这两个名词,都是人们在解方程时引入的.为了用公式求一元二次、三次方程的根,就会遇到求负数的平方根的问题.1545年,意大利数学家卡丹诺在《大术》一书中,首先研究了虚数,并进行了一些计算.1.“a=0”是“复数a+b i(a,b∈R)为纯虚数”的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】a=0时,a+b i(a,b∈R)可能为纯虚数,也可能为0;a+b i为纯虚数时,a=0.所以答案为B.【答案】B2.复数z=-3-10i的实部是().A.3B.-3C.-10iD.10【解析】复数z=-3-10i的实部是-3.【答案】B3.若复数z1=a+|b|i,z2=c+|d|i(a、b、c、d∈R),则z1=z2的充要条件是.【解析】z1=z2,则它们的实部与虚部分别相等,即a=c且|b|=|d|.【答案】a=c且b2=d2(或写成a=c且|b|=|d|)4.判断下列命题的真假:(1)-1的平方根只有一个;(2)i是1的4次方根;(3)i是方程x6-1=0的根;(4)方程x3-x2+x-1=0的根只有一个.【解析】(1)∵(-i)2=i2=-1,∵-i也是-1的平方根,故(1)为假命题.(2)∵i2=-1,∵i4=i2·i2=(-1)2=1,故(2)为真命题.(3)i6-1=i2·i2·i2-1=(-1)3-1=-2≠0,故(3)为假命题.(4)由x3-x2+x-1=0得(x2+1)(x-1)=0,则x2=-1或x=1,即x=±i或x=1都是方程x3-x2+x-1=0的根,故(4)为假命题.对复数概念的理解已知下列命题:①复数a+b i不是实数;②两个复数不能比较大小;③若(x2-4)+(x2+3x+2)i是纯虚数,其中x∈R,则x=±2;④若复数z=a+b i,则当且仅当b≠0时,z为虚数;⑤若a+b i=c+d i,则a=c且b=d.其中真命题的个数是().A.0B.1C.3D.4【方法指导】根据复数的有关概念来判断命题的真假.【解析】①是假命题,因为当a∈R且b=0时,a+b i是实数.②是假命题,因为两个复数都是实数时,可以比较大小.③是假命题,因为由纯虚数的条件得解得x=2.④是假命题,因为没有强调a,b∈R.⑤是假命题,因为没有强调,a,b,c,d∈R这一重要条件,故选A.【答案】A【小结】对于概念的理解注意一些小细节,比如a+b i中要求a∈R,b∈R.复数概念的应用z=+(m2+5m+6)i,当实数m为何值时,(1)z是实数;(2)z是虚数;(3)z是纯虚数?【方法指导】根据复数的分类方式将问题转化为求实部和虚部应满足什么条件.【解析】(1)若z是实数,则得m=-2.(2)若z是虚数,则得m≠-2且m≠-3且m∈R.(3)若z是纯虚数,则得m=3.【小结】①本题考查复数集的分类,给出的是复数的标准代数形式即z=a+b i(a,b∈R),若不然,应先将其化为标准形式,再根据满足的条件去解;②解题中应时刻注意使式子有意义.复数相等的充要条件(1)已知(2x-1)+i=y-(3-y)i,x,y∈R,求x与y.(2)设z1=1+sin θ-icos θ,z2=+(cos θ-2)i,若z1=z2,求θ.【方法指导】确定两复数的实部与虚部,利用两复数相等的定义列方程组,解方程组.【解析】(1)根据复数相等的充要条件,得方程组解得(2)由已知,得故解得θ=2kπ(k∈Z).【小结】复数问题实数化是解决复数相等问题最基本的也是最重要的思想方法,转化过程主要依据复数相等的充要条件.基本思路是:①等式两边整理为a+b i(a,b∈R)的形式;②由复数相等的充要条件可以得到由两个实数等式所组成的方程组;③解方程组,求出相应的参数.下列命题中正确的有.①若z=a+b i(a,b∈R),则当a=0,b≠0时,z为纯虚数;②若(z1-z2)2+(z2-z3)2=0,则z1=z2=z3;③若实数a与a i对应,则实数集与纯虚数集一一对应.【解析】①正确.②错误,只有当z1,z2,z3∈R时才成立;若z1=1,z2=0,z3=i也满足题意.③错误,若a=0,则0·i=0不再是纯虚数.【答案】①复数z=log2(x2-3x-3)+ilog2(x-3),当x为何实数时:(1)z∈R;(2)z为虚数;(3)z为纯虚数?【解析】(1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为零,所以有由②得x=4,经验证满足①.所以当x=4时,z∈R.(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部非零,所以有解得即<x<4或x>4.所以当<x<4或x>4时,z为虚数.(3)因为一个复数是纯虚数时其实部为零且虚部不为0,所以有解得方程无解,所以复数z不可能是纯虚数.关于a的方程是a2-a tan θ-2-(a+1)i=0,若方程有实数根,求锐角θ和实数根.【解析】设实数根是a,则a2-a tan θ-2-(a+1)i=0,∵a,tan θ∈R,∵∵a=-1且tan θ=1,又0<θ<,∵θ=,a=-1.1.设集合C={复数},A={实数},B={纯虚数},若全集S=C,则下列结论中正确的是().A.A∈B=CB.∈S A=BC.A∩(∈S B)=∈D.B∩(∈S A)=B【答案】D2.如果复数z=(a2-3a+2)+(a-1)i为纯虚数,则实数a的值为().A.1或2B.1C.2D.不存在【解析】由a2-3a+2=0和a-1≠0,得a=2.【答案】C3.已知复数z=3-2i,则复数z的实部与虚部的积是.【解析】z=3-2i的实部和虚部分别为3,-2,故答案为-6.【答案】-64.实数m为何值时,复数z=(m2-8m+15)+(m2+3m-28)i在复平面内对应的点:(1)位于第四象限;(2)在x轴的负半轴上?【解析】(1)由已知得∵∵-7<m<3.∵当m∈(-7,3)时,z对应的点在第四象限.(2)由已知得解得m=4,即m=4时,z对应的点在x轴的负半轴上.(2019年·上海卷)设m∈R,m2+m-2+(m2-1)i是纯虚数,其中i是虚数单位,则m=.【解析】∵m2+m-2+(m2-1)i是纯虚数,∵∵m=-2.【答案】-21.复数z=-2+3i的虚部是().A.-2B.2C.3D.3i【解析】复数z=-2+3i的虚部是3.【答案】C2.若复数(2x2+5x+2)+(x2+x-2)i为虚数,则实数x满足().A.x=-B.x=-2或-C.x≠-2D.x≠1且x≠-2【解析】由题意得x2+x-2≠0,∵x≠1且x≠-2.【答案】D3.已知集合M={1,2,(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i},集合N={-1,3},若M∩N={3},则实数m的值为.【解析】由题设知3∈M,∵m2-3m-1+(m2-5m-6)i=3.∵即∵m=-1.【答案】-14.设复数z=ab+(a2+b2)i(a、b∈R),a、b分别满足什么条件时,z是实数、虚数、纯虚数?【解析】当a、b同时为0时,z为实数;当a、b不全为0时,z是虚数;当a、b有且仅有一个为0时,z为纯虚数.5.如果(x+y)i=x-1,则实数x、y的值分别为().A.x=1,y=-1B.x=0,y=-1C.x=1,y=0D.x=0,y=0【解析】根据复数相等的充要条件,可知解得【答案】A6.下列命题中,正确命题的个数是().①若x,y∈C,则x+y i=1+i的充要条件是x=y=1;②若a,b∈R且a>b,则a+i>b+i;③若x2+y2=0,则x=y=0;④一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零;⑤-1没有平方根;⑥若a∈R,则(a+1)i是纯虚数.A.0B.1C.2D.3【解析】由于x,y∈C,所以x+y i不一定是复数的代数形式,不符合复数相等的充要条件,①是假命题.由于两个虚数不能比较大小,∵②是假命题.当x=1,y=i时,x2+y2=0成立,∵③是假命题.因为复数为纯虚数要求实部为零,虚部不为零,故④错.因为-1的平方根为±i,故⑤错.当a=-1时,(a+1)i是实数0,故⑥错.【答案】A7.复数z=(a2+2a-3)+(a2-1)i(a∈R)为纯虚数,则复数z的虚部为.【解析】复数z=(a2+2a-3)+(a2-1)i(a∈R)为纯虚数,∵∵∵a=-3,∵a2-1=8,∵复数z的虚部为8.【答案】88.已知m∈R,复数z=+(m2+2m-3)i,当m为何值时:(1)z∈R;(2)z是虚数;(3)z是纯虚数;(4)z=+4i?【解析】(1)m需满足解得m=-3.(2)m需满足m2+2m-3≠0且m-1≠0,解得m≠1且m≠-3.(3)m需满足解得m=0或m=-2.(4)m需满足解得m∈∈.9.已知m、n∈R,复数z1=m2+2n-3+(m+n)i,z2=2m-3n+2+(2m-n)i,若z1=z2,则m+n=.【解析】∵z1=z2,∵∵∵n=1或n=-,m+n=3n,∵m+n的值为3或-.【答案】3或-10.已知复数z1=sin 2x+λi,z2=m+(m-cos 2x)i(λ,m,x∈R),且z1=z2.若λ=0且0<x<π,求x的值.【解析】∵z1=z2,∵∵λ=sin 2x-cos 2x.若λ=0,则sin 2x-cos 2x=0,得tan 2x=.∵0<x<π,∵0<2x<2π,∵2x=或2x=,∵x=或.。
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统计案例1.1回归分析的基本思想及初步应用1.1.1线性回归的思想方法及应用课前预习学案一、课前预习预习目标：回顾回归直线的求法，并利用回归直线进行总体估计。
二、预习内容１．回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫作回归直线。
求回归直线方程的一般步骤：①；②；③2．典型例题：研究某灌溉渠道水的流速与水深之间的关系，测得一组数据如下：水深 1.40 1.50 1.60 1.70 1.80 1.90 2.00 2.10 流速 1.70 1.79 1.88 1.95 2.03 2.10 2.16 2.21 （1）求对的回归直线方程；（2）预测水深为1.95时水的流速是多少？课内探究学案一、学习目标：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用.学习重点：了解线性回归模型与函数模型的差异，了解判断刻画模型拟合效果的方法－相关指数和残差分析.学习难点：解释残差变量的含义，了解偏差平方和分解的思想.二、学习过程1. 提问：“名师出高徒”这句彦语的意思是什么？有名气的老师就一定能教出厉害的学生吗？这两者之间是否有关？2. 复习：函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系. 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，其步骤：收集数据→作散点图→求回归直线方程→利用方程进行预报.3. 典型例题：例1从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如下表所示：编号 1 2 3 4 5 6 7 8 165 165 157 170 175 165 155 170身高/cm48 57 50 54 64 61 43 59体重/kg求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重. （分析思路→教师演示→学生整理）评注：事实上，观察上述散点图，我们可以发现女大学生的体重y和身高x之间的关系并不=+来严格刻画（因为所有的样本点不共线，所以线性模型只能近似地能用一次函数y bx a刻画身高和体重的关系）.在数据表中身高为165cm的3名女大学生的体重分别为48kg、57kg和61kg，如果能用一次函数来描述体重与身高的关系，那么身高为165cm的3名女在学生的体重应相同. 这就说明体重不仅受身高的影响还受其他因素的影响，把这种影响的结=++，果e（即残差变量或随机变量）引入到线性函数模型中，得到线性回归模型y bx a e其中残差变量. 当残差变量恒等于0. 因此，一次函数模型是线性回归模型的特殊形式，线性回归模型是一次函数模型的一般形式.4．相关系数：相关系数的绝对值越接近于1，两个变量的线性相关关系越强，它们的散点图越接近一条直线，这时用线性回归模型拟合这组数据就越好，此时建立的线性回归模型是有意义.5. 小结：求线性回归方程的步骤、线性回归模型与一次函数的不同.课后练习与提高1.对具有相关关系的两个变量统计分析的一种常用的方法是（）A．回归分析 B.相关系数分析 C.残差分析 D.相关指数分析2.在画两个变量的散点图时，下面叙述正确的是（）A．预报变量在轴上，解释变量在轴上B.解释变量在轴上，预报变量在轴上C.可以选择两个变量中任意一个变量在轴上D.可以选择两个变量中任意一个变量在轴上3.两个变量相关性越强，相关系数（）A．越接近于0 B.越接近于1 C.越接近于－1 D.绝对值越接近14.若散点图中所有样本点都在一条直线上，解释变量与预报变量的相关系数为（）A．0 B.1 C.－1 D.－1或15.一位母亲记录了她儿子3到9岁的身高，数据如下表：年龄（岁） 3 4 5 6 7 8 9 身高（94.8 104.2 108.7 117.8 124.3 130.8 139.0 由此她建立了身高与年龄的回归模型，她用这个模型预测儿子10岁时的身高，则下面的叙述正确的是（）A.她儿子10岁时的身高一定是145.83B.她儿子10岁时的身高在145.83以上C.她儿子10岁时的身高在145.83左右D.她儿子10岁时的身高在145.83以下学校：临清一中学科：数学编写人：金荣辉审稿人：张林统计案例1.1回归分析的基本思想及初步应用1.1.1线性回归的思想方法及应用教学要求：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用. 教学重点：了解线性回归模型与函数模型的差异，了解判断刻画模型拟合效果的方法－相关指数和残差分析.教学难点：解释残差变量的含义，了解偏差平方和分解的思想. 教学过程：一、复习准备： 1. 提问：“名师出高徒”这句彦语的意思是什么？有名气的老师就一定能教出厉害的学生吗？这两者之间是否有关？2. 复习：函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系. 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，其步骤：收集数据→作散点图→求回归直线方程→利用方程进行预报. 二、讲授新课： 1. 教学例题：① 例1 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如下表所示： 编 号 1 2 3 4 5 6 7 8 身高/cm165 165 157 170 175 165 155 170 体重/kg48 57 50 54 64 61 43 59 求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm 的女大学生的体重. （分析思路→教师演示→学生整理）第一步：作散点图 第二步：求回归方程 第三步：代值计算 ② 提问：身高为172cm 的女大学生的体重一定是60.316kg 吗？ 不一定，但一般可以认为她的体重在60.316kg 左右. ③ 解释线性回归模型与一次函数的不同 事实上，观察上述散点图，我们可以发现女大学生的体重y 和身高x 之间的关系并不能用一次函数y bx a =+来严格刻画（因为所有的样本点不共线，所以线性模型只能近似地刻画身高和体重的关系）. 在数据表中身高为165cm 的3名女大学生的体重分别为48kg 、57kg 和61kg ，如果能用一次函数来描述体重与身高的关系，那么身高为165cm 的3名女在学生的体重应相同. 这就说明体重不仅受身高的影响还受其他因素的影响，把这种影响的结果e （即残差变量或随机变量）引入到线性函数模型中，得到线性回归模型00，其中残差变量e 中包含体重不能由身高的线性函数解释的所有部分. 当残差变量恒等于0时，线性回归模型就变成一次函数模型. 因此，一次函数模型是线性回归模型的特殊形式，线性回归模型是一次函数模型的一般形式.10203040506070150155160165170175180身高/cm 体重/k g2. 相关系数：相关系数的绝对值越接近于1，两个变量的线性相关关系越强，它们的散点图越接近一条直线，这时用线性回归模型拟合这组数据就越好，此时建立的线性回归模型是有意义.3. 小结：求线性回归方程的步骤、线性回归模型与一次函数的不同.学校： 临清一中 学科：数学 编写人：金荣辉 审稿人： 贾志安1.1.2 回归分析的基本思想及其初步应用课前预习学案一、预习目标：回归分析的基本思想、方法及初步应用. 二、预习内容：1.两个变量有线性相关关系且正相关，则回归直线方程中， 的系数 （ ）A.B.C.D.2.两个变量有线性相关关系且残差的平方和等于0，则（ ）A.样本点都在回归直线上B.样本点都集中在回归直线附近C.样本点比较分散D.不存在规律课内探究学案一、学习要求：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用.学习重点：了解评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和. 学习难点：了解评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和. 二、学习过程1．由例1知，预报变量（体重）的值受解释变量（身高）或随机误差的影响.2．为了刻画预报变量（体重）的变化在多大程度上与解释变量（身高）有关？在多大程度上与随机误差有关？我们引入了评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和.3．教学总偏差平方和、残差平方和、回归平方和： （1）总偏差平方和：所有单个样本值与样本均值差的平方和，即21()ni i SST y y ==-∑.残差平方和：回归值与样本值差的平方和，即21()ni i i SSE y y ==-∑.回归平方和：相应回归值与样本均值差的平方和，即21()ni i SSR y y ==-∑.（2）学习要领：①注意i y 、i y 、y 的区别；②预报变量的变化程度可以分解为由解释变量引起的变化程度与残差变量的变化程度之和，即222111()()()nnni i i i i i i y y y y y y ===-=-+-∑∑∑；③当总偏差平方和相对固定时，残差平方和越小，则回归平方和越大，此时模型的拟合效果越好；④对于多个不同的模型，我们还可以引入相关指数22121()1()nii i n ii yy R yy ==-=--∑∑来刻画回归的效果，它表示解释变量对预报变量变化的贡献率. 2R 的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合的效果越好.4. 典型例题例2 关于x 与有如下数据： x 2 4 5 6 8 y 30 4060 50 70为了对x 、Y 两个变量进行统计分析，现有以下两种线性模型： 6.517.5y x =+，717y x =+，试比较哪一个模型拟合的效果更好.分析：既可分别求出两种模型下的总偏差平方和、残差平方和、回归平方和，也可分别求出两种模型下的相关指数，然后再进行比较，从而得出结论.5.小结：分清总偏差平方和、残差平方和、回归平方和，初步了解如何评价两个不同模型拟合效果的好坏.课后练习与提高假设美国10家最大的工业公司提供了以下数据：公司 销售总额经x 1/百万美元利润x 2/百万美元通用汽车 126974 4224 福特 96933 3835 埃克森 86656 3510 IBM 63438 3758 通用电气 55264 3939 美孚 50976 1809 菲利普·莫利斯 39069 2946 克莱斯勒 36156 359 杜邦 35209 2480 德士古324162413（1）作销售总额和利润的散点图，根据该图猜想它们之间的关系应是什么形式； （2） 建立销售总额为解释变量，利润为预报变量的回归模型，并计算残差；（3） 你认为这个模型能较好地刻画销售总额和利润之间的关系吗？请说明理由。
学校： 临清一中 学科：数学 编写人：金荣辉 审稿人：张林1.1.2 回归分析的基本思想及其初步应用教学要求：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用. 教学重点：了解评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和. 教学难点：了解评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和. 教学过程：一、复习准备：1．由例1知，预报变量（体重）的值受解释变量（身高）或随机误差的影响.2．为了刻画预报变量（体重）的变化在多大程度上与解释变量（身高）有关？在多大程度上与随机误差有关？我们引入了评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和. 二、讲授新课：1. 教学总偏差平方和、残差平方和、回归平方和：（1）总偏差平方和：所有单个样本值与样本均值差的平方和，即21()ni i SST y y ==-∑.残差平方和：回归值与样本值差的平方和，即21()ni i i SSE y y ==-∑.回归平方和：相应回归值与样本均值差的平方和，即21()ni i SSR y y ==-∑.（2）学习要领：①注意i y 、i y 、y 的区别；②预报变量的变化程度可以分解为由解释变量引起的变化程度与残差变量的变化程度之和，即222111()()()nnni i i i i i i y y y y y y ===-=-+-∑∑∑；③当总偏差平方和相对固定时，残差平方和越小，则回归平方和越大，此时模型的拟合效果越好；④对于多个不同的模型，我们还可以引入相关指数22121()1()nii i n ii yy R yy ==-=--∑∑来刻画回归的效果，它表示解释变量对预报变量变化的贡献率. 2R 的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合的效果越好. 2. 教学例题：例2 关于x 与有如下数据： x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70为了对x 、Y 两个变量进行统计分析，现有以下两种线性模型： 6.517.5y x =+，717y x =+，试比较哪一个模型拟合的效果更好.分析：既可分别求出两种模型下的总偏差平方和、残差平方和、回归平方和，也可分别求出两种模型下的相关指数，然后再进行比较，从而得出结论.学校： 临清一中 学科：数学 编写人：金荣辉 审稿人： 贾志安1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用课前预习学案2预习目标：能用所学的知识对实际问题进行回归分析，体会回归分析的实际价值与基本思想；了解判断刻画回归模型拟合好坏的方法――相关指数和残差分析。