高等代数-9第九章欧几里得空间

设V为欧氏空间, 、为V中任意两非零向量,
称 , arccos ( , ) 为 、 的夹角. | || |
注1 0 , .
注2 内积的几何意义 (, ) | || | cos, .
2.向量的正交 设、 为欧氏空间中两个向量,若
, 0,
则称 与 正交或互相垂直, 记作 .
(2)V既有向量的线性运算,还有内积运算;
(3) , V ,( , ) R.
注2 欧几里得空间,Euclidean Space, 简称欧氏空间.
欧几里得(Euclid,约公元前330 年—前275年),古希腊数学家,是几 何学的奠基人,被称为“几何之父”. 他最著名的著作是《几何原本》.
§1 定义与基本性质
非负性 ( f , f )
b
f ( x) f ( x) dx
b f 2( x) dx 0
a
a
且 ( f , f ) 0 f (x) 0.
故( f , g) 为一内积, C(a,b) 构成欧氏空间.
§1 定义与基本性质
2. 内积的运算性质
设V为欧氏空间, , , , i V , k, l, ki R 1) ( ,k ) k( , )
内积 a b | a || b | cosa,b x1 y1 x2 y2 x3 y3
§1 定义与基本性质
并且内积 a b x1 y1 x2 y2 x3 y3 是 R3上的二元实函数且满足 : a,b,c R3, k R
1) a b b a 2) (ka) b k(a b) 3) ( a b) c a c b c 4) a a 0, 当且仅当 a o 时 a a 0.
§1 定义与基本性质(P363)
注 (1) 零向量与任意向量正交,即 o .
(2) 若 , 则 o.
(3) 若 , 非零, 则 , .
2
(4) 勾股定理 , V | |2 | |2 | |2
证明
2 ,
, 2, ,
ks ( , s )
§1 定义与基本性质(P360)
二. 欧氏空间中向量的长度
欧氏空间V中, V , ( , ) 0 使得 ( , ) 有意义.
1. 向量的长度的定义
V , | | ( , ) 称为向量 的长度.
特别地, 当 | | 1 时, 称 为单位向量.
注 (1) | | 0 且 | | 0 o. (2) ( ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ) | |2 .
例2 C(a,b)为闭区间 [a,b] 上所有实连续函数所构
成的线性空间,对于函数 f ( x), g( x) C(a,b),
定义 ( f , g)
b
f ( x)g( x) dx
a
证明 C(a,b) 对于( f , g)构成一个欧氏空间.
证明 f ( x), g( x), h( x) C(a,b), k,l R
证明 | |2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) (, ) 2(, ) ( , ) | |2 2 | || | | |2
| | | |2
两边开方，| || | | | .
§1 定义与基本性质(P362)
三. 欧氏空间中向量的夹角 1.向量的夹角定义
§1 定义与基本性质
例4 写出下列欧氏空间中的柯西－布涅柯夫斯基不等式.
(1) 在 Rn 上, x1, x2 , , xn ' , y1, y2, , yn ' ,
, x1 y1 x2 y2 xn yn .
解 x1 y1 x2 y2 xn yn
x12 x22 xn2 y12 y22 yn2
在解析几何中, a ( x1, x2 , x3 )',b ( y1, y2, y3 )' R3,
长度 | a | x12 x22 x32 a a
夹角 a,b arccos
x1 y1 x2 y2 x3 y3
x12 x22 x32 y12 y22 y32
arccos a b | a || b |
证明 当 o 时, ( ,o) 0, | | 0 | ( , ) || || | 0.
故结论成立.
§1 定义与基本性质(P361)
当 o 时, 令 x , x R 构造函数 f ( x) ( , ) ( x , x )
(, ) x(, ) x( , ) x2( , ) ( , )x2 2(, )x (, ) 由内积的非负性, f ( x) ( , ) 0, x R,
上,定义两种内积: x1, x2 ' , y1, y2 '
(1) ( , ) x1 y1 x2 y2;
(2) ( , ) x1 y1 x1 y2 x2 y1 4x2 y2 .
已知 2,1' , 4,2' ,
分别计算 | | 和 的单位化向量.
解 (1) | | 5, (2) | | 2.
在普通的内积定义下, 求 | |,( , ), , ,| | .
解 | | , 22 12 32 22 18 3 2
( , ) 21 1 2 3 2 21 0
,
2
又 1,1,5,1
| | 12 12 52 12 28 2 7.
§1 定义与基本性质(P361)
(3) | k || k || |, k R
(4)
V , o, | |
为单位向量.
称 | | 为向量 的单位化向量.
(5) V , o,
当k0
时,
k 与
有相同的单位化向量 | |
当 k 0 时,
k
的单位化向量为
|
|
§1 定义与基本性质
例3 在欧氏空间 R2 x1, x2 ' x1, x2 R
第九章 欧几里得空间(P359)
§1 定义与基本性质 §2 标准正交基 §3 同构 §4 正交变换 §5 子空间 §6 对称矩阵的标准形 §7 向量到子空间的距离─最小二乘法
§8 酉空间介绍
§1 定义与基本性质
具体的例子: R3 ( x1, x2, x3 )' | xi R,i 1,2,3
2) (, ) ( , ) ( , )
3) (,k l ) k(, ) l(, ) 4) (k l , ) k(, ) l( , )
（双线性性）
推广: ( , k11 k22 ks s ) k1( , 1) k2( , 2 )
5) (o, ) ( ,o) 0
3) ( , ) , ( , )
（线性性）
4) ( , ) 0, 当且仅当 o 时 ( , ) 0. （非负性）
则称 ( , )为和 的内积,称这种定义了内积的
实数域 R上的线性空间V为欧几里得空间.
§1 定义与基本性质
注1 欧几里得空间 V是特殊的线性空间. (1)V为实数域 R上的线性空间;
例1 设A是一个n阶正定矩阵，在线性空间
Rn x1, x2, , xn ' xi R,i 1,2, ,n
上,对任意向量 x1, x2, , xn ' , y1, y2,
nn
定义 , 'A
aij xi y j ,
i1 j1
(1)证明在这定义下 Rn 构成一个欧氏空间.
| m |2 .
证明 若 (i , j ) 0, i j,i, j 1,2, ,m
则 | 1 2
m
|2
m
i ,
m
j
i1 j1
mm
m
(i , j ) (i ,i ) | 1 |2 | 2 |2
i1 j1
i 1
| m |2 .
§1 定义与基本性质
例3 已知 2,1,3,2, 1,2,2,1
对称性
( f , g)
b
f ( x)g( x) dx
a
b
a g( x) f ( x) dx ( g, f ).
§1 定义与基本性质
线性性
(k
f
lg,h)
b
a
k
f
( x)
lg( x)
h( x)dx
b
b
k a f ( x)h( x)dx l a g( x)h( x)dx
k( f ,h) l(g,h)
2 的单位化向量为(1) 1 2,1' , (2) 1 2,1' .
5
2
§1 定义与基本性质(P361)
3. 柯西－布涅柯夫斯基不等式
对欧氏空间V中任意两个向量 、 ,有 | ( , ) || || |
或 ( , )2 ( , )( , ) 且等号成立当且仅当 、 线性相关.
( i , j ) xi y j
通常称 | |为 与 的距离，记作 d( , ).
§1 定义与基本性质(P363)
四. n 维欧氏空间中内积的矩阵表示
设V为欧氏空间, 1, 2 ,
对V中任意两个向量
x11 x2 2
, n 为V的一组基, xn n
y11 y2 2 yn n
n
n
nn
( , ) xii , y j j
§1 定义与基本性质
一. 欧几里得空间的定义
了解欧几里得空间的定义, 熟练掌握内积的 定义与运算性质
二. 欧几里得空间中向量的长度
了解长度的定义, 掌握柯西－布涅柯夫斯基 不等式、三角不等式
三. 欧几里得空间中向量的夹角
了解夹角、正交、距离的定义, 掌握勾股定理
四. n维欧几里得空间中内积的矩阵表示
了解欧几里得空间的内积的矩阵表示, 掌握度量矩阵
§1 定义与基本性质(P359)
一. 欧几里得空间的定义 1. 定义 设V是实数域 R上的线性空间,在V上定义二
元实函数( , ) , 满足性质: , , V , k R
1) ( , ) ( , ) （对称性）
2) (k , ) k( , )
| |2 | |2 | |2 ( , ) 0 .
§1 定义与基本性质(P363)
(5) 勾股定理的推广 设 1,2 , ,m V , 若 (i , j ) 0, i j, i, j 1,2, ,m 则称 1,2 , ,m 两两正交.
此时 | 1 2 m |2 | 1 |2 | 2 |2
f (x)为开口向上且与x轴最多只有一个交点的抛物线.
则判别式 4(, )2 4(, )( , ) 0, 即 ( , )2 ( , )( , ), 结论成立.
§1 定义与基本性质(P362)
下证 | (, ) || || | 当且仅当 、 线性相关. " " 若 、 线性相关,不妨设 k ,
(2) 在 C(a,b)上,
( f ,g)
b
f ( x)g( x) dx
a
解
b
f ( x)g( x)dx
b f 2( x)dx
b g2( x)dx
a
a
a
以上两不等式就是著名的柯西－施瓦茨不等式.
§1 定义与基本性质(P362)
3. 三角不等式
对欧氏空间中的任意两个向量 、 , 有 | || | | | .
易计算 | (, ) || k | | |2 | || | .
" " 若 | (, ) || || |, 由前面的证明过程知 或者 o , 此时 、 线性相关.
或者 f (x)与x轴有一个交点,且当 x0 , , ,
f ( x0 ) ( 0 , 0 ) ( x0 , x0 ) 0. 所以 0 x0 o, 故 、 线性相关.
因此欧氏空间也称为内积空间(Inner product space).
注2 线性性 2) (k , ) k( , )
3) ( , ) , ( , )
这两条等价于 , , V , k,l R
(k l , ) k( , ) l( , ).
§1 定义与基本性质(P360)
, yn ' ,
(2)当 A=E 时写出内积的具体表达式.
称A =E 时定义的内积
, ' x1 y1 x2 y2
为普通内积或按通常定义的内积.
xn yn
§1 定义与基本性质
注1 同一线性空间V 上可以定义多个内积. 线性空间V 在不同的内积定义下构成不同的欧氏空间.
因此欧氏空间V的定义是和线性空间V以及V的 内积的定义紧密联系的.