考研高数总复习第九章欧几里得空间第一节(讲解)
北京大学数学系《高等代数》(第3版)(欧几里得空间)笔记和课后习题(含考研真题)详解【圣才出品】
第9章欧几里得空间9.1复习笔记一、定义与基本性质1．欧几里得空间定义设V是实数域R上一线性空间，在V上定义了一个二元实函数，称为内积，记作（α，β），它具有以下性质：（1）（α，β）＝（β，α）；（2）（kα，β）＝k（α，β）；（3）（α＋β，γ）＝（α，γ）＋（β，γ）；（4）（α，α）≥0，当且仅当α＝0时（α，α）＝0.这里α，β，r是V中任意的向量，k是任意实数，这样的线性空间V称为欧几里得空间．2．长度（1）定义非负实数称为向量α的长度，记为|α|．（2）关于长度的性质①零向量的长度是零，②|kα|＝|k||α|，③长度为1的向量称为单位向量.如果α≠0，向量1αα就是一个单位向量，通常称此为把α单位化．3．向量的夹角（1）柯西-布涅柯夫斯基不等式，即对于任意的向量α，β有|（α，β）|≤|α||β|当且仅当α，β线性相关时，等号才成立．（2）非零向量α，β的夹角＜α，β＞规定为（3）如果向量α，β的内积为零，即（α，β）＝0，那么α，β称为正交或互相垂直，记为α⊥β．零向量才与自己正交．（4）勾股定理，即当α，β正交时，|α＋β|2＝|α|2＋|β|2．4．有限维空间的讨论（1）度量矩阵设V是一个n维欧几里得空间，在V中取一组基ε1，ε2，…，εn，对V中任意两个向量α＝x1ε1＋x2ε2＋…＋x nεn，β＝y1ε1＋y2ε2＋…＋y nεn，由内积的性质得a ij＝（εi，εj）（i，j＝1，2，…，n），显然a ij＝a ji，于是利用矩阵，（α，β）还可以写成（α，β）＝X'AY，其中分别是α，β的坐标，而矩阵A＝（a ij）nn称为基ε1，ε2，…，εn的度量矩阵．（2）性质①设η1，η2，…，ηn是空间V的另外一组基，而由ε1，ε2，…，εn到η1，η2，…，ηn的过渡矩阵为C，即（η1，η2，…，ηn）＝（ε1，ε2，…，εn）C，于是基η1，η2，…，ηn的度量矩阵B＝（b ij）＝（ηi，ηj）＝C'AC；表明不同基的度量矩阵是合同的．②对于非零向量α，即有（α，α）＝X'AX＞0．因此，度量矩阵是正定的．二、标准正交基1．正交向量组欧式空间V中一组非零的向量，如果它们两两正交，就称为一正交向量组．按定义，由单个非零向量所成的向量组也是正交向量组．2．标准正交基（1）定义在n维欧氏空间中，由n个向量组成的正交向量组称为正交基；由单位向量组成的正交基称为标准正交基．说明：①对一组正交基进行单位化就得到一组标准正交基．②一组基为标准正交基的充分必要条件是：它的度量矩阵为单位矩阵．（2）标准正交基的求法①定理1n维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组正交基．②定理2对于n维欧氏空间中任意一组基ε1，ε2，…，εn，都可以找到一组标准正交基η1，η2，…，ηn，使L（ε1，ε2，…，εi）＝L（η1，η2，…，ηi），i＝1，2，…，n．定理2中把一组线性无关的向量变成一单位正交向量组的方法称做施密特正交化过程．例：把α1＝（1，1，0，0），α3＝（－1，0，0，1），α2＝（1，0，1，0），α4＝（1，－1，－1，1）变成单位正交的向量组．解：①先把它们正交化，得β1＝α1＝（1，1，0，0），②再单位化，得3．基变换公式设ε1，ε2，…，εn与η1，η2，…，ηn是欧氏空间V中的两组标准正交基，它们之间的过渡矩阵是A＝（a ij），即因为η1，η2，…，ηn是标准正交基，所以矩阵A的各列就是η1，η2，…，ηn在标准正交基ε1，ε2，…，εn下的坐标．4．正交矩阵n级实数矩阵A称为正交矩阵，如果A'A＝E．由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵；反过来，如果第一组基是标准正交基，同时过渡矩阵是正交矩阵，那么第二组基一定也是标准正交基．三、同构1．同构定义实数域R上欧式空间V与V'称为同构的，如果由V到V'有一个双射σ，满足（1）σ（α＋β）＝σ（α）＋σ（β），（2）σ（kα）＝kσ（α），（3）（σ（α），σ（β））＝（α，β），这里α，β∈V，k∈R，这样的映射σ称为V到V'的同构映射．同构的欧氏空间必有相同的维数．每个n维的欧氏空间都与R n同构．2．同构的性质同构作为欧氏空间之间的关系具有（1）反身性；（2）对称性；（3）传递性；（4）两个有限维欧氏空间同构的充分必要条件是它们的维数相同．.四、正交变换1．定义欧氏空间V的线性变换A称为正交变换，如果它保持向量的内积不变，即对于任意的α，β∈V，都有（Aα，Aβ）＝（α，β）．2．性质。
高等代数欧几里得空间课件
矩阵的定义
矩阵是一个由数字组成的矩形阵列，可 以表示向量之间的关系和线性变换。
VS
矩阵的性质
矩阵具有一些重要的性质，如矩阵的加法、 标量乘法和乘法满足相应的运算规则，矩 阵的转置、行列式、逆等也具有相应的性 质和定义。
矩阵的运算规则
1 2 3
矩阵的加法 矩阵的加法满足交换律和结合律，即 $A+B=B+A$和$(A+B)+C=A+(B+C)$。
运算规则二
如果 $W_1$ 和 $W_2$ 是子空间，且 $W_1 cap W_2 = {0}$， 则 $W_1 + W_2$ 是子空间。
运算规则三
如果 $W$ 是子空间，且 $u in W$，则存在唯一的 $v in W$ 使得 $u + v = 0$。
欧几里得空的同
06
构与等价
同构的定义与性质
等价性质
等价的欧几里得空间具有相同的秩，且线性变换在等价 下是可逆的。
THANKS.
矩阵运算对应线性变换运 算
矩阵的加法、标量乘法和乘法分别对应线性 变换的加法、标量乘法和复合运算。
特征与特征向量
04
特征值与特征向量的定义
特征值
对于一个给定的矩阵A，如果存在一个非零的数λ和相应的非零向量x，使得Ax=λx成立， 则称λ为矩阵A的特征值，x为矩阵A的对应于λ的特征向量。
特征向量
与特征值λ对应的非零向量x称为矩阵A的对应于λ的特征向量。
助于学生更好地理解和掌握这一概念。
04
复数域上的全体二维向量构成的集合是一个二维复数 欧几里得空间。
向量与向量的运算
ห้องสมุดไป่ตู้02
向量的定义与表示
高等代数--第九章 欧几里得空间
反过来，如果等号成立，由以上证明
过程可以看出，或者 0 ，或者 ( , ) 0, ( , ) 也就是说 , 线性相关。
结合具体例子来看一下这个不等式是很有意 思的。对于例1的空间Rn ，(5)式是:柯西不等式
| a1b1 a2b2 an bn |
这就是说，不同基的度量矩阵是合同的。
根据条件4)，对于非零向量 ，即
0 0 X 0
有
( , ) X ' AX 0,
因此，度量矩阵是正定的。 欧几里得空间以下简称为欧氏空间。 BACK
标准正交基
定义6 欧氏空间V中一组非零的向量，如果它 们两两正交，就称为一正交向量组。 按定义，由单个非零向量所成的向量组也 是正交向量组。
即对于任意的向量 , 有
| ( , ) || || | . (5)
当且仅当 , 线性相关时，等号才成立。 证明 当 0，(5)式显然成立。以下设 0。 令t是一个实变数，作向量 t . 由4)可知，不论t取何值，一定有 ( , ) ( t , t ) 0. 即 ( , ) 2( , )t ( , )t 2 0. (6)
(m1 ,i ) ( ,i ) ki (i ,i ) (i 1,2,, m).
取
( , i ) ki (i 1,2,, m). ( i , i )
有
( i , m1 ) 0 (i 1,2,, m).
m1 0 。因此 1 , 2 ,, m , m1 由 的选择可知， 1 , 2 ,, m , 是一正交向量组，根据归纳法假定， m1 可以扩充成一正交基。于是定理得证。 定理的证明实际上也就给出了一个具体的扩 充正交向量组的方法。
高等代数-9第九章欧几里得空间
, yn ' ,
(2)当 A=E 时写出内积的具体表达式.
称A =E 时定义的内积
, ' x1 y1 x2 y2
为普通内积或按通常定义的内积.
xn yn
§1 定义与基本性质
注1 同一线性空间V 上可以定义多个内积. 线性空间V 在不同的内积定义下构成不同的欧氏空间.
因此欧氏空间V的定义是和线性空间V以及V的 内积的定义紧密联系的.
§1 定义与基本性质(P363)
注 (1) 零向量与任意向量正交,即 o .
(2) 若 , 则 o.
(3) 若 , 非零, 则 , .
2
(4) 勾股定理 , V | |2 | |2 | |2
证明
2 ,
, 2, ,
了解欧几里得空间的内积的矩阵表示, 掌握度量矩阵
§1 定义与基本性质(P359)
一. 欧几里得空间的定义 1. 定义 设V是实数域 R上的线性空间,在V上定义二
元实函数( , ) , 满足性质: , , V , k R
1) ( , ) ( , ) （对称性）
2) (k , ) k( , )
f (x)为开口向上且与x轴最多只有一个交点的抛物线.
则判别式 4(, )2 4(, )( , ) 0, 即 ( , )2 ( , )( , ), 结论成立.
§1 定义与基本性质(P362)
下证 | (, ) || || | 当且仅当 、 线性相关. " " 若 、 线性相关,不妨设 k ,
第九章 欧几里得空间(P359)
§1 定义与基本性质 §2 标准正交基 §3 同构 §4 正交变换 §5 子空间 §6 对称矩阵的标准形 §7 向量到子空间的距离─最小二乘法
(完整word版)欧氏空间doc
第九章 欧氏空间9.1 基本内容与基本结论9.1.1 基本内容 1．欧几里得空间设V 是实数域R 上一线性空间，在V 上定义了一个二元实函数，称为内积，记作),(βα，它具有以下性质：(1) ),(),(αββα=； (2) ),(),(βαβαk k =； (3) ),(),(),(γβγαγβα+=+；(4) 0),(≥αα，当且仅当0=α时，0),(=αα。
这里α，β，γ是V 中任意的向量，k 是任意实数，这样的线性空间称为欧几里得空间。
2．酉空间设V 是复数域C 上一线性空间，在V 上定义了一个二元复函数，称为内积，记作),(βα，它具有以下性质：(5) ),(),(αββα=，这里),(),(αβαβ是的共轭复数； (6) ),(),(βαβαk k =； (7) ),(),(),(γβγαγβα+=+；(8) 0),(≥αα，当且仅当0=α时，0),(=αα。
这里α，β，γ是V 中任意的向量，k 是任意复数，这样的线性空间称为酉空间。
3．向量的长度非负实数),(αα称为向量α的长度，记为α。
4．向量的夹角非零向量α，β的夹角〉〈βα,规定为 βαβαβα),(arccos ,=〉〈，πβα≤〉〈≤,0。
5．向量的正交如果向量α，β的内积为零，即0),(=βα，那么称α，β正交，记为βα⊥。
6．基的度量矩阵n εεε,,,21 是n 维欧氏空间V 的一组基，令n j i j i ij ,,2,1,),,( ==εεα，称nn ij a A )(=为基n εεε,,,21 的度量矩阵。
7．正交向量组欧氏空间V 中一组非零的向量，如果它们两两正交，就称为一正交向量组。
8．正交基，标准正交基在n 维欧氏空间中，由n 个向量组成的正交向量组称为正交基，由单位向量组成的正交基称为标准正交基。
9．正交矩阵、酉矩阵n 级实矩阵称A 为正交矩阵，如果E A A T =。
n 级复矩阵称A 为酉矩阵，如果E A A T =。
高等代数-欧几里得空间
2) (, ) (, ) (, )
s
s
推广： ( , i ) ( , i )
i 1
i 1
3) (0, ) 0
§9.1 定义与基本性质
二、欧氏空间中向量的长度
1. 引入长度概念的可能性
1）在 R3向量 的长度（模） . 2) 欧氏空间V中， ,V , (, ) 0
使得 有意义.
③ ( , ) R.
§9.1 定义与基本性质
例1．在 Rn 中，对于向量
a1,a2, ,an , b1,b2, ,bn
1）定义 ( , ) a1b1 a2b2 anbn
（1）
易证 ( , ) 满足定义中的性质 1 ～ 4 .
所以, ( , ) 为内积. 这样Rn 对于内积 ( , ) 就成为一个欧氏空间.
2. 向量长度的定义
,V , ( , ) 称为向量 的长度. 特别地，当 1时，称 为单位向量.
§9.1 定义与基本性质
3. 向量长度的简单性质
1) 0; 0 0
2) k k
3）非零向量 的单位化：
1.
（3）
§9.1 定义与基本性质
三、欧氏空间中向量的夹角
1. 引入夹角概念的可能性与困难
注：
① 零向量与任意向量正交.
②
, ,
2
即 cos, 0
.
§9.1 定义与基本性质
5. 勾股定理
设V为欧氏空间， , V
2 2 2
证： 2 , , 2, ,
2 2 2
( , ) 0
.
§9.1 定义与基本性质
推广：若欧氏空间V中向量1,2 , ,m 两两正交，
当 n 3 时，1）即为几何空间 R3中内积在直角 坐标系下的表达式 . ( , )即 .
欧几里得空间
例3 已知 2,1,3,2, 1,2,2,1
在通常的内积定义下，求 ,( , ), , , .
例1 C(a,b) 为闭区间 [a,b] 上的所有实连续函数
所成线性空间，对于函数 f ( x), g( x) ，定义
b
( f , g) a f ( x)g( x) dx
②
则 C(a,b) 对于②作成一个欧氏空间.
证： f ( x), g( x), h( x) C(a,b), k R
b
1 . ( f , g) a f ( x)g( x) dx
b
( g, f )=a g( x) f ( x) dx
b
b
2 . (k f , g) a k f ( x)g( x) dx ka f ( x)g( x) dx
k( f , g)
3
.
(f
g,
h)
b
a
f (x)
k 1
l 1
nn
nn
( k , l )ckiclj
aklckiclj CiAC j
k1 l 1
k1 l 1
B (i , j ) CiAC j
C1
C
2
A
C1
,
C2
,
Cn
,Cn CAC
欧氏空间的定义
设V是实数域 R上的线性空间，对V中任意两个向量
、 , 定义一个二元实函数，记作 ( , ) ，若 ( , ) 满足性质： , , V , k R
第九章 欧氏空间
第九章 欧几里得空间§1定义与基本性质一、向量的内积定义 1 设V 是实数域R 上一个向量空间,在V 上定义了一个二元实函数，称为内积,记作),(βα,它具有以下性质:1)),(),(αββα=;2) ),(),(βαβαk k =;3) ),(),(),(γβγαγβα+=+;4) 0),(≥αα,当且仅当0=α时, 0),(=αα 这里γβα,,是V 任意的向量,k 是任意实数,这样的线性空间V 称为欧几里得空间.例1 在线性空间n R 中,对于向量 ),,,(,),,,(2121n n b b b a a a ==βα, 定义内积.),(2211n n b a b a b a +++= βα (1)则内积(1)适合定义中的条件，这样nR 就成为一个欧几里得空间.仍用n R 来表示这个欧几里得空间.在3=n 时，(1)式就是几何空间中的向量的内积在直角坐标系中的坐标表达式.例2 在n R 里, 对于向量 ),,,(,),,,(2121n n b b b a a a ==βα,定义内积.2),(2211n n b na b a b a +++= βα则内积(1)适合定义中的条件，这样n R 就也成为一个欧几里得空间.仍n R 用来表示这个欧几里得空间。
对同一个线性空间可以引入不同的内积,使得它作成欧几里德空间，但应该认为它们是不同的欧几里德空间.例 3 在闭区间],[b a 上的所有实连续函数所成的空间),(b a C 中,对于函数)(),(x g x f 定义内积 ⎰=ba dx x g x f x g x f )()())(),(( (2)对于内积(2)，),(b a C 构成一个欧几里得空间. 同样地，线性空间n x R x R ][],[对于内积(2)也构成欧几里得空间.例4 令H 是一切平方和收敛的实数列：+∞<=∑∞=1221),,,,(n nn x x x x ξ所成的集合,则H 是一个欧几里得空间,通常称为希尔伯特(Hilbert)空间（内积定义类似于例1，这是无穷维空间）.二、欧几里得空间的基本性质1）定义中条件1）表明内积是对称的.),(),(),(),()2αββααββαk k k k ==='.),(),(),(),(),(),()3γαβααγαβαγβγβα+=+=+=+'定义2 非负实数),(αα称为向量α的长度，记为α.显然，向量的长度一般是正数，只有零向量的长度才是零，这样定义的长度符合熟知的性质： αα||k k = (3)这里V R k ∈∈α,.长度为1的向量叫做单位向量.如果,0≠α由(3)式，向量αα1就是一个单位向量.用向量α的长度去除向量α，得到一个与α成比例的单位向量，通常称为把α单位化.柯西-布涅柯夫斯基不等式：即对于任意的向量βα,有βαβα≤),( (5)当且仅当βα,线性相关时，等式才成立.证明：由0),(≥++βαβαt t 对于任意实数t 成立，给出简单证明。
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在欧几里得空间的定义中，对它作为线性空间 的维数并无要求，可以是有限维的，也可以是无限 维的.
几何空间中向量的内积显然适合定义中列举的 性质，所以几何空间中向量的全体构成一个欧几里 得空间.
2. 欧几里得空间举例
下面再看两个例子.
例 1 在线性空间 Rn 中，对于向量
= (a1 , a2 , … , an ) , = (b1 , b2 , … , bn ) ,
定义内积
( , ) = a1 b1 + a2 b2 + … + an bn .
(1)
显然，内积 (1) 适合定义中的条件，这样， Rn
就成为一个欧几里得空间.
以后仍用 Rn 来表示这
个欧几里得空间. 在 n = 3 时，(1) 式就是几何空间中向量的内积
节定义与基本性质
内积
度量矩阵 举例
在线性空间中，向量之间的基本运算只有加法
与数量乘法，统称为线性运算.
如果我们以几何
空间中的向量作为线性空间理论的一个具体模型，
那么就会发现向量的度量性质，如长度、夹角等，
在线性空间的理论中没有得到反映.
但是向量的度
量性质在许多问题中(其中包括几何问题)有着特殊
的地位，因此有必要引入度量的概念.
度，记为 | |.
显然，向量的长度一般是正数，只有零向量的
长度才是零，这样定义的长度有以下的性质：
2. 性质
性质 1 设 k R, V , 则有
| k | = | k | | |.
(3)
证明
| k | (k, k)
k 2 (,) | k || | .
性质 2 柯西 - 布涅柯夫斯基不等式
= ( , ) + ( , ) .
由条件
有 ( , ) 0 .
所以对于任意的向
量 ， (,) 是有意义的. 在几何空间中，向量 的长度为 (,) . 类似地，我们在一般的欧几
里得空间中引进向量长度的概念.
二、长度
1. 定义
定义 2 非负实数
( , ) 长 称为向量 的
式就
是
| a1b1 a2b2 anbn | a12 a22 an2 b12 b22 bn2 .
对于
中的欧几里得空间 C(a , b) ，
式就是
1
1
b f (x)g(x)dx b f 2 (x)dx2 b g 2 (x)dx2 .
为
, arccos ( , ) , 0 , π . | || |
2. 三角不等式
根据柯西 - 布涅柯夫斯基不等式，我们有三角 形不等式
|+|||+||.
(6)
因为
| + |2 = ( + , + ) = ( , ) +2( , ) +( , ) | |2 +2 | | | | + | |2 = (| | + | |)2 .
在直角坐标系中的坐标表达式.
例 2 在闭区间 [a , b] 上的所有实连续函数所
成的空间 C (a , b) 中，对于函数 f (x) , g)g(x)dx .
(2)
由定积分的性质不难证明，对于内积 (2)，C (a , b)
构成一欧几里得空间.
同样地，线性空间 R[ x ] , R[ x ]n 对于内积 (2) 也构成欧几得里空间.
3. 欧几里得空间的性质
下面来看欧几里得空间的一些基本性质.
首先，定义中条件
表明内积是对称的.
因此，与
相当地就有
2 ) ( , k ) = (k , ) = k( , ) = k( , )； 3 ) ( , + ) = ( + , ) = ( , ) + ( , )
即
( , ) + 2( , ) t + ( , ) t 2 0.
(5)
取
t (, ) . ( , )
代入 (5) 式，得
( , ) ( , )2 0 , ( , )
即
( , )2 ( , ) ( , ) .
两边开方便得
1) ( , ) = ( , )； 2) (k , ) = k( , )； 3) ( + , ) = ( , ) + ( , ) ； 4) ( , ) 0，当且仅当 = 0 时 ( , ) = 0 .
这里 , , 是 V 中任意的向量，k 是任意实
解析几何中我们看到，向量的长度与夹角等度 量性质都可以通过向量的内积来表示，而且向量的 内积有明显的代数性质，所以在抽象的讨论中，我 们取内积作为基本概念.
一、内积
1. 定义
定义 1 设 V 是实数域 R 上一线性空间，在
内积 V 上定义了一个二元实函数，称为
，记作
( , )，它具有以下性质：
| ( , ) | | | | | .
当 , 线性相关时，等号显然成立.
反过来，如
果等号成立，由以上证明过程可以看出，或者 =0
或者
(, ) 0 , ( , )
也就是说 , 线性相关.
证毕
3. 两个著名的不等式
对于
中的欧几里得空间 Rn ，
设 , 是任意两个向量，则
| ( , ) | | | | |，
(4)
当且仅当 , 线性相关时，等号才成立.
证明
设 0.
当 = 0 时，(4) 式显然成立.
令 t 是一个实变数，作向量
=+t.
由
可知，不论 t 取何值，一定有
以下
( , ) = ( + t , + t ) 0.
a
a
a
4. 单位向量
长度为 1 的向量称为单位向量.
则由 | k | = | k | | |
知，向量
如果 0，
1 | |
是一个单位向量.
用向量 的长度去除向量 ，
得到一个与 成比例的单位向量，通常称为把
单位化.
三、夹角
1. 夹角的定义 定义 3 非零向量 , 的夹角 < , > 规定