北航2015年度-2016年度工科数分期末A卷标准答案
北航2015级硕士研究生数理统计参考答案(B层)
2015－2016 学年 第一学期期末试卷参考答案学号 姓名 成绩 考试日期： 2016年1月15日考试科目：《数理统计》（B 层）一、填空题（本题共16分，每小题4分）1．设12,,n x x x ，是来自正态总体2(0,)N σ的简单样本，则当c = 时，统计量221()nkk x cxx η==-∑服从F -分布，其中11nk k x x n ==∑。
（(1)n n -）2. 设12,,n x x x ，是来自两点分布(1,)B p 的简单样本，其中01p <<，2n ≥，则当c = 时，统计量2ˆ(1)cx x σ=-是参数()(1)q p p p =-的无偏估计，其中11nk k x x n ==∑。
（1n n -）3．设总体X 的密度函数为22,[0,](;)0,[0,]x x p x x θθθθ⎧∈⎪=⎨⎪∉⎩，其中0θ>，12,,,n x x x 是来自总体X 简单样本，则θ的充分统计量是 。
（()n x ） 4．设12,,n x x x ，是来自正态总体2(,)N μσ的简单样本，已知样本均值 4.25x =，μ的置信度为0.95的双侧置信区间下限为3.1，则μ的置信度为0.95的双侧置信区间为(,)。
（(3.1,5.4)）二、（本题12分）设12,,,n x x x 是来自正态总体2(1,2)N σ的简单样本。
（1）求2σ的极大似然估计2σ；（2）求2σ的一致最小方差无偏估计；（3）问2σ的一致最小方差无偏估计是否为有效估计？证明你的结论。
解（1）似然函数为22211()exp{(1)}4nnii L x σσ==--∑对数似然函数为222211ln ()(ln(4)ln )(1)24n i i n L x σπσσ==-+--∑求导，有222241ln ()1(1)24n i i L n x σσσσ=∂=-+-∂∑ 令22ln ()0L σσ∂=∂，可得θ的极大似然估计为2211ˆ(1)2n i i x n σ==-∑。
北航大一上工科数分期中考试试卷
北京航空航天大学2011-2012学年第一学期期中考试工科数学分析试卷（2011.12.25）一、计算(5’*8=40’)1) 用Stolz 定理计算极限41233122123lim n n n nn +→∞++++L .2) 设32()(1)x f x x x x =++,求()f x '.3) 求极限10(1)e lim xx x x→+-. 4)求函数2()(4)f x x x =-的拐点。
5) 设(cos sin )()=(sin cos )x a t t f x y a t t t =+⎧⎨=-⎩,求d d y x. 6) 求函数()ln f x x x =在(0,)+∞上的最值.7) 判断函数211()=e x n f x x-⋅间断点的类型. 8) 求函数2()=ln(1)f x x x ++在0x =处直到四阶的Taylor 展开（Peano 余项形式）.二、证明(15’) 1) 3sin (0)6x x x x >-> 2) 设函数1()=ln ()n f x xx n -+∈¢,证明()(1)!n n y x -=. 三、(10’) 设1110,0,(2),1,2,n n n A x x x Ax n A +><<=-=L ,证明不等式11n n x x A+<<对任意n +∈¢成立，并求出极限lim n n x →∞. 四、(10’)用Cauchy 收敛原理证明数列2sin (sin )n n k kx x k k kx ==+∑收敛. 五、(15’)设()f x 在0x 处二次可导，且()0f x ''≠，由Lagrange 中值定理知存在0()1h θ<<,使得式子000(+)()(())f x h f x f x h h h θ'=++成立，计算或者证明下列结论：1) 写出()f x 和()f x '在0x x =处的Taylor 公式；2) 证明01lim ()2h h θ→=. 六、(10’)设()f x '在(0,]a连续，且极限lim()x x →'存在，证明()f x 在(0,]a 上一致连续.[附加题]七、(10’)以下题目任选其一： 1) 设()[01]f x ∈£，，且()0f x >,令0()max (),[0,1]t x M x f t x ≤≤=∈, 证明：函数()()lim ()n n f x Q x M x →∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦连续的充要条件是()f x 单调递增. 2) 证明开区间套定理1. 设开区间序列(,),n n n I a b n +=∈¥ 满足12121n n n a a a b b b b -<<<<<<<<L L L .2. 区间长度0()n n n I b a n =-→→∞,则存在唯一1(,)n i i i a b ξ==I 满足lim lim n n n n a b ξ→∞→∞==.。
2015-2016高等数学(上)期末试题A卷解答与评分标准
2x 3 x 1 x 1
2
x 1 x 1 2! 2 2! 1 2 因为 f x 2 ， f x 2 2 3 x 1 x 1 x 1 x 13 1 2 n 所以 f n x 1 n ! n 2 , 3 , n 1 n 1 x 1 x 1 10 因此 f 0 10!
1 x 2 x 1 arctan x x ln 1 x 2 C 2
（4 分） （6 分）
2、
x2
1 x
3 2 2
dx
（1 分） （2 分）
解 设 x tan x x2 tan2 t sin 2 t 2 dx sec tdt dt 3 cost sec3 t 2 2 1 x
共6页 西北工业大学命题专用纸
第3页
四、计算题（每小题 6 分，共 18 分） 1、 2 x 1 arctan x dx 解 原式 x 2 x arctanx
x2 x 1 x2
dx
（3 分）
1 x xx 1 arctanx 1 dx 2 1 x2 1 x
由条件知 lima cos x b a b 0
x 0
（2 分）
所以 lim
x 0
a cos x b a sin x a sin x a lim lim 1 x2 3 2 x 0 x 0 2x 2 x 2 ln 1 x 2 1 x
（7 分）
所以，向量 c 是向量 a 和向量 b 的角平分向量。
（8 分）
北京理工大学2015学年第二学期《工科数学分析》期末考试卷及参考答案
4
九. (9 分) 把 f (x) = x ln(2 + x) 展成 x + 1的幂级数, 并指出收敛域. 十. (9 分) 证明 (2x cos y − y2 sin x)dx + (2 y cos x − x2 sin y)dy = 0 是全微分方程, 并求其通解.
5
∫∫ 十一. (9 分) 计算积分 I = S
……………….(7 分)
∑ = −(x + 1) + ∞ (−1)n ( 1 + 1 )(x + 1)n
n=2
n n −1
………….(8 分)
收敛域为 − 2 < x ≤ 0
……………….(9 分)
十.
∂Y = −2 y sin x − 2xsin y = ∂X
∂x
∂y
故所给方程是全微分方程
……………….(2 分)
= 1 − sin1
……………….(8 分)
三.
fx′ = 2x(2 + y2 )
f y′ = 2x2 y + ln y + 1
令 fx′ = 0
f y′ = 0
得x=0 y=1 e
……………….(2 分) ……………….(3 分)
fx′′2 = 2(2 + y2 )
fx′′y = 4xy
f y′′2
dy − dx xz dy
dz = dx + xy
1 dz
z dx dz =
0
dx dx
将点 P 代入得
1 + 3 +
dy
dx dy
− +
dz = dx 3 dz
dz dx =0
2017年工科数分(A)答案
b f 2 (x)dx+2t
b
f (x)g(x)dx
b g 2 (x)dx
a
a
a
a
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------3 分
（2） f (x) dx f (x) C ;
（3）
d dx
x2 a
f (t)dt
f (x2 );
A. (1)(3);
B.(2)(4);
（4） d
b
f (x)dx
0.
dx a
C.(1)(4);
D.(2)(3) .
4. 下列广义积分中，发散的是（ C ）
A.
1
x x2
2
dx
；
C.
42
2
4
2
建议：分部 2 分，积分计算各 4 分。
3. 3 (x2017 arctan2 x 2018) 9 x2 dx 3
解 由对称性： 3 x2017 arctan2 x dx 0 3
原 式 2018 3 9 x2 dx= 2018 9 =9081 .
3
2
（其中 3 9 x2 dx= 9 可以看做圆心在原点，半径为 3 的上半圆的面积）
使得 f ( ) f ( ).
证明： 构造辅助函数 F (x) xf (x) ，则 F (x) 在[0,1] 上可微。且
F (1) f (1) 2
1 2
xf
(x) d
x
f
()
F (),
[0,
2017北航期末试卷A-评分标准
北京航空航天大学2016－2017 学年第二学期期末《机械原理》考试A（B）卷----评分标准班级____________任课教师___________姓名____________学号___________2017年6月19 日1. （本题14分）计算图示系统的自由度。
如有复合铰链、局部自由度、虚约束应注明。
若取图中绘有箭头的构件为原动件，试判断系统能否成为机构？为什么？ABCDE F GHI评分标准：E 处为复合铰链 （1分） H （或I ）为虚约束 （1分） B 处滚子为局部自由度 （1分）计算部分分解法1：，，（6分，每个2分）32362811L HF n P P =−−=⨯−⨯−= （公式2分，结果1分） 自由度数等于原动件数，所以该系统能成为机构（原因1分，结论1分）计算部分分解法2：，，（6分，每个2分）323729111L H F n P P k=−−−=⨯−⨯−−= （公式2分，结果1分） 自由度数等于原动件数，所以该系统能成为机构（原因1分，结论1分）2、（本题14分）在下图所示的机构中，已知原动件１以等角速度ω1沿顺时针方向转动，在图示瞬间，完成以下任务： （1）标出全部瞬心位置；（2）用瞬心法确定M 点的速度V M 的大小（只需写出表达式），并标出V M 的方向。
评分标准:(1)瞬心数目 (1)4(41)622n n −⨯−==各瞬心位置如图所示。
（标出每个瞬心2分，共12分） (2)13131M p AP v v l ω== 1分方向如图所示，竖直向下。
1分3、（本题15分）如图所示为某机床变速箱中操纵滑动齿轮的操纵机构。
已知滑动齿轮的行程H=12mm，lDE =20mm，lCD=24mm，lAD=50mm，其相互位置尺寸如图所示（图注长度尺寸单位为mm），当滑动齿轮在行程的左端时，要求操纵手柄为铅垂方向。
重新作图设计此机构：（1）确定lAB 和lBC（注：B点为示意图，并非实际位置）；（2）当单独考虑铰链四杆机构ABCD时，求该机构的最小传动角。
北航2015-2016年工科数分（1）期末_A卷_答案
北航2015-2016年⼯科数分（1）期末_A卷_答案北京航空航天⼤学2015－2016 学年第⼀学期期末考试《⼯科数学分析（Ⅰ）》（A卷）班号学号姓名主讲教师考场成绩2016年01⽉20⽇1. 下列命题中错误的是（D ）A. 若()f x 在区间(,)a b 内的原函数是常数，则()f x 在(,)a b 内恒为0;B. 若],[)(b a x f 在上可积, 则],[)(b a x f 在上必有界；C. 若],[)(b a x f 在上可积, 则()f x 在区间[,]a b 上也可积；D. 若],[)(b a x f 在上不连续，则],[)(b a x f 在上必不可积 . 2. 设()f x 满⾜等式120()2()d f x x f x x =-?，则1()d f x x ?=（ B ）A. 1;B. 1;9C. 1;-D. 1.3-3. 设函数()f x 可导，则（ C ） A.()d ();f x x f x =?B.()d ();f x x f x '=?C. ()d()d ();d f x x f x x=?D.()d ()d ().d f x x f x C x=+?4. 下列⼴义积分中，发散的是（ C ）A.1dx +∞； B.211dx x+∞?； C. 11sin d xx x+∞+?； D. 1sin d .x e x x +∞-?5. 瑕积分 31ln dxx x=?（ C ）A. l n l n 3;B. 0;C. ;+∞D. 1.1.22325x dx x x -++?解：2222223(22)52525(25)152525x x dx dxx x x x d x x dx x x x x -+-=++++++=-++++2221ln(25)512x x dx x =++-++?（） 251ln(25)arctan .22x x x C +?? =++-+建议：拆成两项2分，积分计算各2分。
北航-工科数学分析2010-2011期末试题
A一、计算题（每小题6分，共60分）1、已知函数2u x yz =+，求梯度grad u 及其梯度的散度().div grad u 解：,2,,u u u x z y x y z∂∂∂===∂∂∂{2,,},grad u x z y =---------------------------------------------------------3分()()()() 2.grad u grad u grad u div grad u x y z∂∂∂=++=∂∂∂--------------------3分2、设曲线22:=14x L y +的周长为l ，求2(2).Lx y ds +⎰ 解：222(2)(4)444.LLLLx y ds x y ds xyds ds l +=++==⎰⎰⎰⎰ 3、设D 是由1,0==y x 及x y =围成的区域，计算22.y Dx e dxdy -⎰⎰解：因为2_y e dy ⎰无法用初等函数表示，所以积分时必须考虑次序，2222321112_2200..3312(1).3yy y y y Dy y x edxdy dy x edx ee dy e---====-⎰⎰⎰⎰⎰⎰4、设222:,r D x y r +≤求22201lim cos().rx y r D ex y dxdy r+-→+⎰⎰解：由积分中值定理，存在(,),r D ξη∈使得22222cos()cos().rx y D e x y dxdy e r ξηξηπ--+=+⎰⎰于是原式=2220lim cos()..r e r ξηξηππ+-→+=5、设Ω为椭球体,1222222≤++c z b y a x 计算2().x y z dxdydz Ω++⎰⎰⎰解法一：作广义极坐标变换：Asin cos :sin sin cos x ar T y br z cr ϕθϕθϕ=⎧⎪=⎨⎪=⎩则T 的Jacobi 行列式为2J(,,)sin r abcr ϕθϕ=所以2222222()[()222]()x y z dxdydzx y z xy xz yz dxdydz x y z dxdydzΩΩΩ++=+++++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2122222222402222222222002222220222(sin cos sin sin cos )sin 2(sin cos sin sin cos )sin 52(2cos 2sin )54().15d d a b c abcr drabc d a b c d abc a b c d abc a b c πππππθϕϕθϕθϕϕθϕθϕθϕϕϕθθθπ=++=++=++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰解法二因为2222()()222,x y z x y z xy xz yz ++=+++++且,,xy xz yz 分别关于,,x y z 的奇函数，所以20,20,20.xydxdydz xzdxdydz yzdxdydz ΩΩΩ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰于是2222222()[()222]()x y z dxdydzx y z xy xz yz dxdydz x y z dxdydzΩΩΩ++=+++++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰又因为22zccD z dxdydz z dz dxdy-Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中222222{(,)|1}.z x y z D x y a b c=+≤-于是2222324(1),15zccc c D z z dxdydz z dz dxdy ab z dz abc c ππ--Ω==-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰同理，232344,1515x dxdydz a bc y dxdydz ab c ππΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰故22224()().15x y z dxdydz abc a b c πΩ++=++⎰⎰⎰6、计算积分22(),x y dxdydz Ω+⎰⎰⎰其中Ω是由2z z ==围成的区域.解：作柱面坐标变换:cos ,sin ,T x r y r z zθθ===则积分区域Ω的表达式变为{(,,)|2,02,02},r z r z r θθπΩ=≤≤≤≤≤≤因此222223016().5rx y dxdydz dr d r dz πθπΩ+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰7、计算22,Lxydx x dy +⎰其中L 为有向折线OAB ，这里,,O A B 依次是点(0,0),(1,0),(1,1).解：222222LOAABxydx x dy xydx x dy xydx x dy+=+++⎰⎰⎰100(2.01)1.y dy=++=⎰8、设Ω是由球面2224x y z ++=和平面0,0,0x y z ===所围成的在第一卦限的空间区域，则三重积分222()d f x y z V Ω++⎰⎰⎰在球坐标系下的累次积分为解222220()sin d d f r r drππϕθθ⎰⎰⎰9、计算曲面积分222,x dydz y dzdx z dxdy ∑++⎰⎰其中∑是球面2222(0)x y z R z ++=≥的上侧.解法一：因为∑是关于Oyz 平面对称的上半球面，所以∑上关于Oyz 平面对称的元素i ∆∑在Oyz 平面上的有向投影i σ∆正好抵消，被积函数关于x 是偶函数，故由定义可得，20.x dydz ∑=⎰⎰同理，20.y dzdx ∑=⎰⎰所以原式=22222222224()().2Rx y R z dxdy R x y dxdy d R r rdr R π∑πθ+≤=--=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰解法二222222224()().2xyxyD D Rz dxdy z dxdy R x y dxdyd R r rdr R ∑ππθ==--=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰又2222222()()0,yzyzD D x dydz R z y dydz R z y dydz ∑=-----=⎰⎰⎰⎰⎰⎰同理,2222222()()0,zxzxD D x dydz R z x dydz R z x dydz ∑=-----=⎰⎰⎰⎰⎰⎰所以，原式4.2R π=解法三原式=22222222222240{((}00()().2xyD Rx y Rx y z dxdyR x y dxdy d R r rdr ππθ+≤+-+=++--=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰10求向量场222(,,)A x yz xy z xyz =的旋度.解：222222222((),(),())ij k rotA x z y y x z z y x x y z x yzx y zx yz ∂∂∂==---∂∂∂二、（本题满分10分）设(,)f x y 在2214x y +≤上具有连续的二阶偏导数，L 是椭圆2214x y +=的顺时针方向，求[3(,)](,)xyLy f x y dx fx y dy ++⎰的值.（利用Green 公式）解：(,)3(,),(,)(,),x y P x y y f x y Q x y f x y =+=---------------------------------------2分则(,)(,)3(,),(,),xy yx P x y Q x y f x y f x y yx∂∂=+=∂∂----------------------------4分由Green 公式得,[3(,)](,)36.xyLDy f x y dx fx y dy dxdy π ++=--=⎰⎰⎰-----------------------10分三、（本题满分10分）利用Gauss 公式计算32222cos cos cos ,()x y z dS x y z αβγ∑++++⎰⎰其中∑是包含原点的曲面222(1)(2)(3)191625x y z ---++=的外侧，cos ,cos ,cos αβγ是其外法线向量的方向余弦.解：332222222232222(,,)(,,),()()(,,)()x y P x y z Q x y z x y z x y z z R x y z x y z ==++++=++-----------------------2分对充分小的0,ε>取22221:x y z ε∑++=（取内侧），-------------------------------4分使1∑位于∑内的内区域中，记Ω为∑与1∑所围有界区域，则11332222222232222cos cos cos cos cos cos ()()cos cos cos ()x y z x y z dS dSx y z x y z x y z dS x y z αβγαβγαβγ∑∑+∑∑++++=++++++-++⎰⎰⎰⎰⎰⎰-------7分1222233++10(cos cos cos )134.x y z dV x y z dSdV εαβγεπεΩ∑≤=-++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰---------------------------------------------10分四、（本题满分10分）利用Stokes 公式计算积分222222()()()I y z dx z x dy x y dz Γ=-+-+-⎰ ，其中Γ为平面1x y z ++=与三个坐标平面的交线，从第一卦限向原点看逆时针方向．四、解：222222P(,,)=,(,,)R(,,)=,x y z y z Q x y z x z x y z y x +=++，且cos αβγ===---------------------------------------------4分则222222cos cos cos 3().2SSI dS x y z dS dS xyzy z z x x yαβγ∂∂∂==-++=-=-∂∂∂---⎰⎰-------10分或222222Sdydzdzdx dxdyI x y z y z z x x y∂∂∂∴=∂∂∂---⎰⎰2()()()...S y z dydz z x dzdx x y dxdy =-+++++=⎰⎰．五、（本题满分10分）设曲线积分2()Lxy dx yf x dy +⎰与路径无关，其中()f x 具有连续导数，且(0)0,f =求()f x 的表达式并计算(2,2)2(0,0)()xy dx yf x dy +⎰的值.解：令2P(,)=,(,)()x y xy Q x y yf x =则'P(,)(,)2,()x y Q x y xy y f x y x∂∂==∂∂------------------------------------2分因为P(,)(,),x y Q x y y x∂∂=∂∂所以有'2(),x f x =-------------------------------------------------4分解得，2(),f x x C =+又由于(0)0,f =知20,().C f x x ==----------------------------------------------------------6分(2,2)(2,2)222(0,0)(0,0)222()(..)8.xy dx yf x dy xy dx yx dyx x x x dx +=+=+=⎰⎰⎰-------------------------------------------10分六、（附加题满分10分）设22:0L x y x y +++=的方向为逆时针方向，证明：22sin +cos 2L y x dx x y dy π≤-≤⎰证明：令由22:0L x y x y +++=围成的区域为,D 由GREEN 公式得222222sin +cos (sin cos )sin cos LDDDy x dx x y dy x y dxdyx dxdy x dxdy-=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰---------4分2),4Dx dxdy π=+⎰⎰-----------------------------------------6分又(,),x y D ∈于是有1||,2x ≤从而2,2x π≤所以23,444x πππ<+≤------------------------------------------------------8分于是2sin(1,24x π<+≤且2(),2S D ππ==---------------------------------------10分故命题得证.。
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判断下列广义积分的敛散性，若收敛，并判别是绝对收敛或条件收敛.
＋ ln x
＋ cos 2x
（1）
1
x2 arctan x dx ;
（2）
1
dx . x
解：注意到：
lnx x2 arctan x
2
lnx x2
2
lnx x2 ,
x (1, ).
-------2 分
对于任意的 （1,2），我们有
ln x
1
lim x2 1 x
x
lim
x
ln x x 2
lim
x
(2
x )x1
1 2
1
lim
x
x 2
0.
-------2 分
因为 （1,2），
1
1 x dx 收敛．由比较判别法，我们可知无穷积分
ln x 1 x2
dx 收敛.进而，
lnx
1 x2 arctan xdx 绝对收敛．-----2 分
利用定积分定义，求极限 lim
.
n
n
解：
n n(n 1)L (2n 1)
lim
n
ln
n
lim
n
1 n
ln1
ln(1
1 n
)
L
ln(1
n
n
1 )
1
0 ln(1 x)dx
-------2 分
x
ln(1
x)
1 0
1x dx
01 x
-------2 分
ln 2
011
1 1
x
dx
ln
A. 若 f (x) 在区间 (a, b) 内的原函数是常数，则 f (x) 在 (a, b) 内恒为 0; B. 若 f (x)在[a,b] 上可积, 则 f (x)在[a,b] 上必有界 ； C. 若 f (x)在[a,b] 上可积, 则 f (x) 在区间[a,b] 上也可积 ； D. 若 f (x)在[a,b] 上不连续，则 f (x)在[a,b] 上必不可积 .
f
(x)d
(x2
)
1 2
x 2
f
( x) 10
1 2
1 x2df (x)
0
1
2
1 x2 f (x)dx 1
0
2
1
2x sin
0
x2dx
1 2
cos
x
2
1 0
1 2
(cos1 1).
建议：分部积分 2 分， f (x) 计算 2 分，结果 2 分。
三、 (本题 8 分)
n n(n 1)L (2n 1)
原式 2 1 1 x2 dx=2 1 =
1
2
（其中 1 1 x2 dx= 1 可以看做圆心在原点，半径为１的上半圆的面积，
1
2
也可以利用公式 a2 x2 dx= x a2 x2 a2 arcsin x +C 来计算.）
2
2
a
建议：对称性 3 分，剩下计算 3 分。
3. 1 1 dx
d dx
f (x) dx
f (x);
d
D.
dx
f (x) dx
f (x) C .
4. 下列广义积分中，发散的是（ C ）
A.
1 dx ； 1 x 1 x
1
B.
1
dx ； x2
1 sin x
C.
dx ；
1
x
D. ex sin x dx . 1
5. 瑕积分 3 dx （ C ）
1 x ln x
解：原式= lim x0
0
ln(1 t)dt x2 1 x2
lim
x0
ln(1 x2 ) 2x 2x3
1
2
建议：等价代换 2 分，变上限求导 3 分，结果 1 分。
5. 已知
f (x)
x2 sin t dx, 求
1
xf (x) dx .
1t
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
解：
1 xf (x) dx 1
0
2
1 0
2
1
ln(1
x)
1 0
2 ln
2
1,
lim
n n(n 1)L
(2n 1)
n n(n1)L (2n1)
lim eln
n
n
n
n
n n(n1)L (2n1)
e lim n
ln
n
e2ln 21 4 .
e
-------2 分
-------2 分
^.
四、 (本题 10 分)
求二阶线性非齐次常微分方程 y 2 y 3y xex 的通解.
带入方程，我们有 (4 Ax 4B)ex xex.
所以， A 1 , B 0, -------2 分 4
于是非齐次方程的特解为 y 1 xex. -------1 分 4
非齐次方程的通解为
y
C1e x
C2e3x
1 4
xe x .
-------1 分
五、 (本题 12 分，每小题 6 分)
A. ln ln 3 ;
B. 0 ;
C. ;
D. 1.
^.
二、 计算题（每题 6 分，满分 30 分）
2x 3
1. x2 2x 5 dx
解：
x2
2x 3 2x
dx 5
(2x 2) 5 dx
x2 2x 5
d (x2 2x 5) 5
1 dx
x2 2x 5
x2 2x 5
01 x
解：令 x t,即则x t2 , dx 2tdt
1 1
0 1
dx x
1 1 2tdt 0 1 t
1
(2
0
2 1
)dx t
2
2 ln(1
t)
1 0
2
2 ln
2
建议：根式带换 3 分，剩下计算 3 分。
^.
x2
ln(1 t) dt
4.
lim
x0
0
x2 (1 cos x)
x2
ln(x2 2x 5) 5
1 dx
（x） 1 2 22
ln(
x2
2
x
5)
5 2
arctan
x
2
1
C.
建议：拆成两项 2 分，积分计算各 2 分。
2. 1 (x5 sin6 x cos3 x 2) 1 x2 dx 1
解：由对称性： 1 x5 sin6 x cos3 x 1 x2 dx 0, 1
2.
设 f (x) 满足等式 f (x) x2 2
1
f (x) dx ，则
1
f (x) dx =（
B
）
0
0
A. 1 ;
B. 1 ; 9
C. 1 ;
D. 1 . 3
3. 设函数 f (x) 可导，则（ C ）
A. f (x) dx f (x) ;
B. f (x) dx f (x) ;
C.
^.
北京航空航天大学
2015－2016 学年 第一学期期末考试
《 工科数学分析（Ⅰ） 》 （A 卷）
班号 主讲教师
学号 考场
姓名 成绩
题号 成绩 阅卷人 校对人
一 二 三 四 五 六 七 八 总分
2016 年 01 月 20 日
^.
一、 选择题（每题 4 分，满 20 分）
1. 下列命题中错误的是 （ D ）
解： 特征方程： 2 2 - 3 0.
-------2 分
容易求得两个特征根为： 1 3, 2 1. -------1 分
对应齐次方程的通解为： Y C1ex C2e3x. -------1 分 因为 -1不是特征根，我们设非齐次方程的特解 y ( Ax B)ex. -------2 分